Divergencia
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Teorema de Gauss (Divergencia)
El teorema de divergencia (también conocido como el teorema de Gauss) esuna generalización del teorema de Green, que relaciona una integral de super�ciesobre una super�cie cerrada con una integral de volumen.
Teorema de la Divergencia
Sea Q una región sólida limitada o acotada por una super�cie cerrda ori-entada por un verctor unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si Fes un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parcialescontinuas en Q entonces
F �N ds =RRRQ
div Fdv
Dem. Si se hace F (x; y; z) = Mbi+Nbj + Pbk, el teorema toma la forma:RRS
F �Nds =RRS
Mbi �N +Nbj �N + Pbk �Nds = RRRQ
@M@x +
@N@y +
@P@z dv
esto se puede veri�car mostrando que las tres ecuaciones siguientes son val-idas:RRS
Mbi �Nds = RRRQ
@M@x dv ó
RRS
Nbj �Nds = RRRQ
@N@y dv ó
RRS
Pbj �Nds = RRRQ
@P@z dv
trabajaremos con la última expresión. Supongamos que nuestra región Q estal que Q = S1[S2[S3, donde S1 y S2 las podemos ver como la grá�ca de unafunción g(x; y).
Por lo tanto, si S1 es tal que z = g1(x; y) y si S2 es tal que z = g2(x; y);queremos probar que:
1
RRS
Pbk �N ds =RRRQ
@P@z dv
para ello calcularemos por separado cada miembro de la igualdad y com-pararemos los resultados. Tenemos que:RR
S
Pbk �N ds =RRS2
Pbk �N2 ds+ RRS1
Pbk �N1 dsCon S1 la super�cie que se puede parametrizar (x; y; g1(x; y)), S2 la otra su-
per�cie que se puede parametrizar (x; y; g2(x; y)) y S3 el conjuntoA = f(x; y; z) 2R3 : g1(x; y) � z � g2(x; y)g, donde también suponemos a D como la proyeccióntanto de S1 como de S2.
Para calcularRRS2
Pbk �N2 ds es necesario un vector normal a la super�cie S2.Si consideramos la paramentrización de S2: r : R2 �! R3 dada por:
r(x; y) = (x; y; g2(x; y))
obtenemos:
2
@r@x = (1; 0;
@g2@x );
@r@y = (0; 1;
@g2@y )
Por lo tanto:
N = @r@x �
@r@y =
������i j k
1 0 @g2@x
0 1 @g2@y
������ = (�@g2@x ;�
@g2@y ; 1)
Por lo tanto:RRS2
Pbk �N ds =RRD
P � (0; 0; 1) � (�@g2@x ;�
@r@y ; 1) dA =
RRD
P dA =
( e l c am p o e va lu a d o e n la p a r am e t r i z a c ió n )RRD
P (x; y; g2(x; y) dA
Ahora calculamosRRS1
Pbk � N1 ds. Como S1 se parametriza r : R2 �! R3
dada por:
r(x; y) = (x; y; g1(x; y))
se tiene que:
@r@x = (1; 0;
@g1@x );
@r@y = (0; 1;
@g1@y )
Por lo tanto:
N = @r@x �
@r@y =
������i j k
1 0 @g1@x
0 1 @g1@y
������ = (�@g1@x ;�
@g1@y ;�1)
se le cambió el signo a 1 para que apuntara hacia afuera.Por lo tanto:RRS1
Pbk �N1 ds = RRS1
P � (0; 0; 1) � (�@g1@x ;�
@g1@y ;�1) ds =
RRS1
P (�1) ds( la fu n c ió n e va lu a d a e n la p a r am e t r i z a c ió n )RR
D
�P (x; y; g1(x; y)) dA
3
Por lo tanto:RRS
Pbk �N ds =RRS2
Pbk �N2 ds+ RRS1
Pbk �N1 ds =RRD
P (x; y; g2(x; y)) dA�RRD
P (x; y; g1(x; y)) dA =RRD
[P (x; y; g2(x; y))� P (x; y; g1(x; y)] dA =
RRD
"g2(x;y)Rg1(x;y)
@P@z dz
#dA =
RRRQ
@P@z dv
Las ecuaciones análogas serían:RRS
Mbi �N ds =RRRQ
@M@x dv y
RRS
Nbj �N ds =RRRQ
@N@y dv
Ejemplo. Sea Q la región sólida entre el paraboloide z = 4 � x2 � y2 y elplano XY . Veri�car el teorema de divergencia para F (x; y; z) = (2z; x; y2):
Parametrizando z = 4� x2 � y2 tenemos (x; y; 4� x2 � y2). Sea
S1 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 = 4, z = 0gS2 = f(x; y; z) 2 R3 : z = 4� x2 � y2g
un vector normal a S2 es r(x; y) = (x; y; 4� x2 � y2) entonces:
@r@x = (1; 0;�2x);
@r@y = (0; 1;�2y)
Por lo tanto:
N2 =@r@x �
@r@y =
������i j k1 0 �2x0 1 �2y
������ = (2x; 2y; 1)4
Un vector normal a S1 es bk = (0; 0;�1). Por lo tanto:RRS
F �N ds =RRS1
F �N1 ds+RRS2
F �N2 ds =RRS1
F � (�bk) ds+ RRS2
F � (2x; 2y; 1) ds =RRD
�y2 dA+RRD
(4xz + 2xy + y2) dA =
�2R�2
p4�y2R
�p4�y2
y2 dxdy +2R�2
p4�y2R
�p4�y2
(4xz + 2xy + y2) dxdy =
2R�2
p4�y2R
�p4�y2
(4xz + 2xy) dxdy =2R�2
p4�y2R
�p4�y2
4x(4� x2 � y2) + 2xy dxdy =
2R�2
p4�y2R
�p4�y2
16x� 4x3 � 4y2x+ 2xy dxdy =
2R�2
��8x2 � x4 � 2x2y2 + x2y��p4�y2�p4�y2
dy =
2R�28(p4� y2)2 � (
p4� y2)4 � 2(
p4� y2)2y2 + (
p4� y2)2y �
8[(�p4� y2)2 � (�
p4� y2)4 � 2(�
p4� y2)2y2 + (�
p4� y2)2y] dy =
2R�20 dy = 0
Por otro lado:
div F = @@x (2z) +
@@y (x) +
@@z (y
2) = 0 + 0 + 0 = 0
Por lo tanto: RRRQ
div F dv =RRRQ
0 dv = 0
Por lo tanto: RRS
F �N ds =RRRQ
div F dv =RRRQ
0 dv = 0
5