Distribuição Gama Qual é a distribuição do tempo em que ocorre a 3 a chegada em um Processo de...
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Distribuição Gama
• Qual é a distribuição do tempo em que ocorre a 3a chegada em um Processo de Poisson de taxa ?
Distribuição Gama
• A distribuição Gama com parâmetros e tem densidade f(x) = x–1e–x/(), para x>0.
• No caso em que é inteiro, (e X tem a distribuição da soma de variáveis independentes com distribuição exponencial de parâmetro .
Distribuição Normal
• A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade
• Notação: Z ~ N(0, 1)
EZ = 0, Var Z = 1
2
2
2
1)(
z
Z ezf
Distribuição Normal
• Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros (média) e 2 (variância) quando é da forma X = Z + , onde Z~N(0,1)
• Notação: X~N(2)
Distribuição Normal
• Qual é a densidade da distribuição X~N(2)?
• De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?
Transformando uma v. a.
• A densidade de Y = g(X) é dada por
onde x é tal que g( x) = y.
|)('|
)()(
xg
xfyf X
Y
Transformando uma v.a.
• Caso particular: Se X tem densidade f, então
Y = aX + b (a>0) tem densidade
X YY = 2XX= Y/2
a
byf
a
1
Densidade da distribuição normal
• A densidade da v.a. X com distribuição normal N(, 2) é
2
2
2
)(
2
1)(
x
X exf
Exemplo
• As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10.
– Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85?
– Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?
V. A. Multidimensionais
• Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes
X = número de caras
Y = número de transições
Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1?
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
y 0 1 2
P(Y=y) 1/4 2/4 1/4
V. A. Multidimensionais
• Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y.
• Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.
Distribuição Conjunta
X Y
ccc 3 0
cck 2 1
ckc 2 2
kcc 2 1
ckk 1 1
kck 1 2
kkc 1 1
kkk 0 0
Distribuição Conjunta
P X Y
ccc 1/8 3 0
cck 1/8 2 1
ckc 1/8 2 2
kcc 1/8 2 1
ckk 1/8 1 1
kck 1/8 1 2
kkc 1/8 1 1
kkk 1/8 0 0
X
Y
0 1 2 3
0
1
2
Distribuição Conjunta
P X Y
ccc 1/8 3 0
cck 1/8 2 1
ckc 1/8 2 2
kcc 1/8 2 1
ckk 1/8 1 1
kck 1/8 1 2
kkc 1/8 1 1
kkk 1/8 0 0
X
Y
0 1 2 3
0 1/8 - - 1/8
1 - 2/8 2/8 -
2 - 1/8 1/8 -
P(X=2 e Y =1) = 2/8
Distribuição Conjunta
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).
Distribuição Conjunta
X
Y
0 1 2 3 Y
0 1/8 - - 1/8
1 - 2/8 2/8 -
2 - 1/8 1/8 -
X
Distribuição Conjunta
X
Y
0 1 2 3 Y
0 1/8 - - 1/8 1/4
1 - 2/8 2/8 - 1/2
2 - 1/8 1/8 - 1/4
X 1/8 3/8 3/8 1/8
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn)
é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)
• Exemplo
FX1(x1) = ?
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn)
é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)
• Exemplo
FX1(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn
(x1, x2, ..., xn)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.
Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.
Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)
• Contínuas
Quando existe uma função de densidade f tal que
Neste caso:
122121,...,, ...),...,(...),...,,(1 2
21dtdtdttttfxxxF nn
x x x
nXXXn
n
1221 ...),...,(...)( dtdtdttttfBP nnB
X
Exemplo
• Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y.
– Qual é a função de densidade?– Qual é a probabilidade de que X seja menor
que 1/2?
Propriedades
• Esperança de funções de v.a. multidimensionais
E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi) (discreta)
E(g(X)) = Rng(x) fX(x) dx (contínua)
• Casos particulares:• EX = R2x fX,Y(x,y) dy dx
• E(X+Y) = R2(x+y) fX,Y(x,y) dy dx == R2x fX,Y(x,y) dy dx + R2y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY
Propriedades
• Em geral, E (XY) EX EY• Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.
EYEXdyyfydxxfx
dxdyyfyxfx
dxdyyfxfxy
dxdyyxfxyXYE
YX
YX
YX
YX
)()(
)()(
)()(
),()( ,
Observação
• X, Y independentes E(XY) = EX EY
• E(XY) = EX EY X, Y independentes
não correlacionadas
Covariância e Correlação
• Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) =
= E(XY) – EX EY
• (X, Y) = Cov(X,Y)/(X)(Y)
• Teorema: –1 ≤ (X, Y) ≤ 1
Exemplo
• As variáveis aleatórias X e Y têm distribuição conjunta de densidade fX,Y(x,y) = x+y, para 0 < x, y < 1– Quais são as distribuições marginais de X e Y?
– Qual é a covariância de X e Y?
– Qual é o coeficiente de correlação de X e Y?
– Qual é a distribuição condicional de X dado Y?
– X e Y são independentes?