UNIDAD 3

OBJETIVOS DE LAUNIDAD

QUE EL ALUMNO SEA CAPAZ DE:

1.- DEFINIR EL TERMINO VARIABLE ALEATORIA.-1.- DEFINIR EL TERMINO VARIABLE ALEATORIA.-

2.- DEFINIR EL TERMINO DISTRIBUCION DE 2.- DEFINIR EL TERMINO DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.-PROBABILIDAD.-

3.- DISTINGUIR ENTRE DISTRIBUCION DE 3.- DISTINGUIR ENTRE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA Y CONTINUA.-PROBABILIDAD DISCRETA Y CONTINUA.-

4.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD 4.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE BINOMIAL Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE PROBABILIDADES.-PROBABILIDADES.-

5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD 5.- DESCRIBIR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE DE POISSON Y SU APLICACIÓN AL CALCULO DE PROBABILIDADES.- PROBABILIDADES.-

6.- EL CALCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES Y 6.- EL CALCULO DE PROBABILIDADES BINOMIALES Y POISSON CON INFOSTAD Y MINITAB.-POISSON CON INFOSTAD Y MINITAB.-

DISTRIBUCIONES DEDISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDADPROBABILIDAD

SON DISTRIBUCIONES TEORICAS SON DISTRIBUCIONES TEORICAS Y SE USAN PARA REPRESENTAR Y SE USAN PARA REPRESENTAR

POBLACIONESPOBLACIONES

SON DISTRIBUCIONES TEORICAS SON DISTRIBUCIONES TEORICAS Y SE USAN PARA REPRESENTAR Y SE USAN PARA REPRESENTAR

POBLACIONESPOBLACIONES

En la Unidad anterior, vimos como definir una probabilidad En la Unidad anterior, vimos como definir una probabilidad y comenzamos nuestro análisis de la probabilidad para y comenzamos nuestro análisis de la probabilidad para representar situaciones en las que los resultados son representar situaciones en las que los resultados son inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas para presentar modelos de probabilidad que ponen énfasis para presentar modelos de probabilidad que ponen énfasis en las variables aleatorias.- Los modelos de probabilidad en las variables aleatorias.- Los modelos de probabilidad tienen muchas aplicaciones en algunos problemas tienen muchas aplicaciones en algunos problemas empresariales, y aquí analizamos algunas de ellas.- empresariales, y aquí analizamos algunas de ellas.- Supongamos que tenemos un negocio que alquila toda Supongamos que tenemos un negocio que alquila toda una variedad de equipos.- Sabemos por experiencia – una variedad de equipos.- Sabemos por experiencia – frecuencia relativa- que el 30 por ciento de las personas frecuencia relativa- que el 30 por ciento de las personas que entran en nuestro negocio quiere alquilar un equipo de que entran en nuestro negocio quiere alquilar un equipo de camping.- Hoy tenemos tres equipos de camping.- Cinco camping.- Hoy tenemos tres equipos de camping.- Cinco personas que no guardan ninguna relacion entre si entran personas que no guardan ninguna relacion entre si entran en el negocio (la probabilidad de que una de ellas alquile en el negocio (la probabilidad de que una de ellas alquile un equipo de camping es independiente de la de las un equipo de camping es independiente de la de las demás).-demás).-

¿Cuál es la probabilidad de que estas cinco personas ¿Cuál es la probabilidad de que estas cinco personas quieran alquilar un total de cuatro o cinco equipos de quieran alquilar un total de cuatro o cinco equipos de camping?.- Si ocurre eso, perderemos oportunidad de camping?.- Si ocurre eso, perderemos oportunidad de alquilar equipos de camping y los clientes se Irán alquilar equipos de camping y los clientes se Irán decepcionados.- La probabilidad de los eventos decepcionados.- La probabilidad de los eventos (números de equipos de camping deseados), como (números de equipos de camping deseados), como veremos más adelante puede calcularse esta veremos más adelante puede calcularse esta probabilidad utilizando el modelo de probabilidad probabilidad utilizando el modelo de probabilidad binomial..binomial..

QUE VEREMOS EN ESTAUNIDAD

PRIMERO QUE ES UNA “VARIABLE

ALEATORIA”

ADEMAS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DISCRETASDISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIONES CONTINUASDISTRIBUCIONES CONTINUAS

BINOMIALBINOMIAL

BINOMIALBINOMIALACUMULADAACUMULADA

HIPERGEOMETRICAHIPERGEOMETRICA

UNIFORMEUNIFORME

EXPONENCIALEXPONENCIAL

NORMALNORMAL

APROXIMACION A APROXIMACION A BINOMIAL Y BINOMIAL Y

POISSONPOISSON

DETERMINACIONDETERMINACIONDEL VALOR XDEL VALOR X

NORMALNORMALESTANDARIZADAESTANDARIZADA

DE POISSONDE POISSON

VARIABLE ALEATORIA

Es la variable que asume un valor Es la variable que asume un valor numérico único para cada uno de numérico único para cada uno de los resultados de un experimento los resultados de un experimento

aleatorio.-aleatorio.-

Es importante distinguir entre una variable aleatoria y

los valores posibles que puede tomar

La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que toma, con minúscula.- toma, con minúscula.- Por ejemplo X, (x1, x2…….xn))

VARIABLE ALEATORIA

Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un criterio o regla para darle un valor numérico.-criterio o regla para darle un valor numérico.-

Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes:instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes:

1.- Nivel primario 2.- Nivel secundario1.- Nivel primario 2.- Nivel secundario

3.- Nivel terciario 4.- Nivel Universitario3.- Nivel terciario 4.- Nivel Universitario

5.- Otros estudios 0.- Sin estudios.-5.- Otros estudios 0.- Sin estudios.-

Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria en estudio.en estudio.

LAS VARIABLESALEATORIAS, PUEDEN SER

DISCRETAS

CONTINUAS

Una Una variable aleatoria discretavariable aleatoria discreta es es aquella que puede asumir una cantidad aquella que puede asumir una cantidad numerables de valores.-numerables de valores.-

1.- Infracciones diarias cometidas por los vehículos.-1.- Infracciones diarias cometidas por los vehículos.-2.- Nº de inasistencia de los obreros de la empresa.-2.- Nº de inasistencia de los obreros de la empresa.-3.- Cantidad de hijos de familias de un barrio.-3.- Cantidad de hijos de familias de un barrio.-4.- Cantidad de alumnos de una escuela.-4.- Cantidad de alumnos de una escuela.-5.- El número de errores detectados en las cuentas de un comercio.-5.- El número de errores detectados en las cuentas de un comercio.-6.- Número de clientes que llegan a la caja de un banco.-6.- Número de clientes que llegan a la caja de un banco.-7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro médico.-7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro médico.-8.- Número de artículos defectuosos en un gran envío.-8.- Número de artículos defectuosos en un gran envío.-9.- Números de autos vendidos por una agencia en el mes.-9.- Números de autos vendidos por una agencia en el mes.-10.- Etc.-10.- Etc.-

EJEMPLOS:

Una Una variable aleatoria continuavariable aleatoria continua es aquella que puede asumir una es aquella que puede asumir una cantidad innumerable de valores cantidad innumerable de valores dentro de ciertos límites.-dentro de ciertos límites.-

1.- Peso de las personas.-1.- Peso de las personas.-

2.- Velocidad de un auto.-2.- Velocidad de un auto.-

3.- Horas de demora en cumplir una tarea.-3.- Horas de demora en cumplir una tarea.-

4.- Puntajes de un test.-4.- Puntajes de un test.-

5.- Sueldo de los empleados.- 5.- Sueldo de los empleados.-

6.- Variación de precio de las acciones ordinarias de IBM en un 6.- Variación de precio de las acciones ordinarias de IBM en un mes.-mes.-

7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.- 7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.-

8.- Etc.-8.- Etc.-

EJEMPLOS:

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

1.- Musimundo vende entre 0 y 6 computadoras al día.- ¿Es la venta diaria de computadoras una variable aleatoria discreta o continua?.-

2.- Un proceso de producción fabril produce un pequeño número de piezas defectuosas diariamente.- ¿es el número de piezas defectuosas una variable aleatoria discreta o continua?.-

3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cual es la 3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cual es la mejor definición: una variable aleatoria discreta o mejor definición: una variable aleatoria discreta o continua.-continua.-

a) El número de automóviles que llegan diariamente a un a) El número de automóviles que llegan diariamente a un taller de reparaciones en el que trabajan dos personas.-taller de reparaciones en el que trabajan dos personas.-

b) El número de automóviles producidos por la General Motor anualmente.-

c) Las ventas diarias totales de un comercio de ropa con tarjetas en pesos.-

d) El número de pasajeros que se quedan sin plaza en una compañía aérea específica tres días antes de las Fiestas Navideña.-

4.- Un actor hace 100 representaciones al año.- ¿es su programa de trabajo una variable aleatoria discreta?.-

5.- Ponga cinco ejemplos de variables aleatorias discretas que podría observarse en una nueva consultora.-

6.- Defina tres variables aleatorias continuas que debería examinar periódicamente un vicepresidente de marketing.-

7.- Una encuesta electoral entrevista a 2000 personas seleccionadas aleatoriamente.- ¿Debe analizarse el número de personas que apoyan al candidato A utilizando modelo de probabilidad discreta o continua?.-

8.- Un vendedor entra diariamente en contacto con 20 personas y les pide que compren.- ¿Debe analizarse el número de compras diarias utilizando un modelo de probabilidad discreta o continua?.-

9.- Usted debe analizar el número de cuentas vencidas en un determinado momento de un gran comercio de artículos de deporte.- ¿Usara un modelo de probabilidad continuo o discreto?.-

10.- El experimento consiste en tirar una moneda dos veces:

a) Haga una lista de los resultados experimentales.-

b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de caras que pueden representarse en los dos lanzamientos.-

c) Indique que valores tomaría la variable en cada uno de los resultados experimentales.-

d) Esta variable aleatoria ¿es discreta o continua?.-

11.- Un experimento consiste en el ensamble de un producto por un trabajador y se registra el tiempo que tarda en hacer esto.-

a) Defina una variable aleatoria que represente el tiempo en minutos requeridos para ensamblar el producto.-

b) ¿Qué valores puede asumir la variable aleatoria?.-

c) ¿Esa variable aleatoria es discreta o continua?.-

12.- Tres alumnos tienen entrevistas programadas para empleo durante las vacaciones en un Instituto de Investigaciones.- En cada caso, el resultado de la entrevista será que le ofrezcan o no le ofrezcan un empleo.- Los resultados experimentales se definen en función de los resultados de las tres entrevistas.-

a) Haga una lista de los resultados experimentales.-

b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad de ofertas hechas.- ¿es una variable aleatoria continua o discreta?.-

c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno de los resultados experimentales?.-

13.- Suponga que conoce las tasas hipotecarias para 12 instituciones crediticias de Córdoba y que la variable aleatoria de interés es el número de instituciones crediticias de este grupo que ofrecen una tasa fija a 30 años de 8,5 % o menos.- ¿Qué valores puede asumir esta variable aleatoria?.-

14.- Para efectuar cierto tipo de análisis de sangre, los técnicos de laboratorio deben seguir dos procedimientos.- El primero requiere 1 o 2 pasos separados y el segundo puede requerir 1, 2, o 3 pasos.-

a) Haga una lista de los resultados experimentales asociados con la ejecución de un análisis.-

b) Si la variable aleatoria de interés es el número total de pasos requeridos para terminar el análisis (ambos procedimientos), indique que valor asumirá la variable aleatoria en cada uno de los resultados experimentales.-

15.- La tabla siguiente es una lista de experimentos y variables aleatorias asociadas.- En cada caso, identifique los valores que puede asumir la variable aleatoria y diga si esa variable es discreta o continua?.-

Experimentos Variable aleatoria x

a) Hacer un examen con 20 preguntas

Número de preguntas bien contestadas

b) Observar los autos que llegan a un peaje durante una hora

Número de autos que llegan al peaje

c) Auditar la devolución de 50 impuestos

Número de devoluciones con errores

d) Observar el trabajo de un empleado

Número de horas no productivas en una jornada de ocho horas

e) Pesar un embarque de productos

Número de kilos

DISTRIBUCIONES DE DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD PARA PROBABILIDAD PARA VARIABLESVARIABLES

ALEATORIAS DISCRETASALEATORIAS DISCRETAS

Una distribución de probabilidad para una variable Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discretaaleatoria discreta es una lista mutuamente excluyente de es una lista mutuamente excluyente de todos los posibles resultados numéricos de un todos los posibles resultados numéricos de un experimento aleatorio con las probabilidades asociadas de experimento aleatorio con las probabilidades asociadas de cada resultado.-cada resultado.-

Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.- Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.- Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria

X tome el valor x se representa como X tome el valor x se representa como P (X =x).-P (X =x).-

Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno de consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno de los posibles resultados.-los posibles resultados.-

Definición:Definición:

La La función de probabilidadfunción de probabilidad P (X = x), de una variable aleatoria P (X = x), de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como función de x:función de x:

p (xp (xii) = P (X = x) ) = P (X = x) donde la función se evalúa en donde la función se evalúa en

todos los posibles valores de x.-todos los posibles valores de x.-

Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de probabilidad Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de probabilidad también se la conoce como también se la conoce como función de cuantía.-función de cuantía.-

Veamos un ejemplo:Veamos un ejemplo:

Supongamos que una empresa que se dedica a las Supongamos que una empresa que se dedica a las ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas, ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas, las ventas muestran que en 54 días no se vendieron las ventas muestran que en 54 días no se vendieron autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se vendieron 4 autos y en 3 días se vendieron 5 vendieron 4 autos y en 3 días se vendieron 5 automóviles.-automóviles.-

Supongamos además, que el experimento consiste en Supongamos además, que el experimento consiste en seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos la variable aleatoria de interés como X = número de la variable aleatoria de interés como X = número de automóviles vendidos en un día.- automóviles vendidos en un día.-

Si presentamos la distribución de probabilidad de esta Si presentamos la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria será:variable aleatoria será:

X fX fii P (X = x) P (X = x)

0 54 0,180 54 0,18

1 117 0,391 117 0,39

2 72 0,242 72 0,24

3 42 0,143 42 0,14

4 12 0,044 12 0,04

55 3 0,013 0,01

300 1,000 300 1,000

Una ventaja importante de definir Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su una variable aleatoria y su distribución de probabilidad es que distribución de probabilidad es que una vez conocida esa distribución es una vez conocida esa distribución es fácil determinar la probabilidad de fácil determinar la probabilidad de varios eventos que pueden interesar varios eventos que pueden interesar a quien toma decisiones.-a quien toma decisiones.-

Por ejemplo, si consultamos la tabla Por ejemplo, si consultamos la tabla observamos que la cantidad más observamos que la cantidad más probable de autos que se venden en probable de autos que se venden en 1 día es del 39 %.-1 día es del 39 %.-

También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se vendan 3 o 4 automóviles en un días y así sucesivamente, esta vendan 3 o 4 automóviles en un días y así sucesivamente, esta información es muy útil para quien toma decisiones sobre las información es muy útil para quien toma decisiones sobre las ventas de automóviles.-ventas de automóviles.-

Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:

p (xp (xii) ) ≥ 0≥ 0

∑ ∑ p (xp (xii) = 1) = 1

Si queremos mostrarSi queremos mostrar gráficamentegráficamente la distribución de la distribución de probabilidad de ventas de autos será:probabilidad de ventas de autos será:

P (x)P (x)

0,200,20

0,100,10

Ventas deVentas de

0 1 2 3 4 5 auto por día.-0 1 2 3 4 5 auto por día.-

La La Función de Probabilidad AcumuladaFunción de Probabilidad Acumulada, que , que

simbolizamos con simbolizamos con F F (x), de una variable aleatoria X representa la (x), de una variable aleatoria X representa la

probabilidad de que probabilidad de que XX tome un valor inferior a x, es decir: tome un valor inferior a x, es decir:

xX

)(x p x)(X P F(x) i

Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores

posibles de posibles de XX que son menores o iguales a x.- que son menores o iguales a x.-

En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es la probabilidad de vender menos de 2 automóviles?.-la probabilidad de vender menos de 2 automóviles?.-

P (X < 2) = P (X P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) =≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) =

= 0,18 + 0,39 = 0,57 = 0,18 + 0,39 = 0,57 57% 57%

EJERCICIOS DE APLICACION

1.- La distribución de probabilidad de la variable 1.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X aparece en la siguiente tabla:aleatoria X aparece en la siguiente tabla:

X 20 25 30 35

P (X=x) 0.20 0.15 0.25 0.30

a)a) ¿Es correcta esta distribución de probabilidad?.- ¿Es correcta esta distribución de probabilidad?.- Compruebe.-Compruebe.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que x= 30?.-¿Cuál es la probabilidad de que x= 30?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual a ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual a 25?.-25?.-

d)d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?.-¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?.-

2.- Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo 2.- Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo de la cantidad de salas de operaciones en uso en el de la cantidad de salas de operaciones en uso en el Hospital Fernandez de Capital Federal durante 20 días, Hospital Fernandez de Capital Federal durante 20 días, 3 días se uso una sala de operaciones, en 5 días se 3 días se uso una sala de operaciones, en 5 días se usaron dos salas, en 8 días se usaron 3 y en 4 días se usaron dos salas, en 8 días se usaron 3 y en 4 días se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.-usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.-

a)a) Emplee el enfoque frecuencial para formar la Emplee el enfoque frecuencial para formar la distribución de probabilidad para la cantidad de salas distribución de probabilidad para la cantidad de salas de operaciones que se usaron en un día determinado.-de operaciones que se usaron en un día determinado.-

b)b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-

c)c) Demuestre que su distribución de probabilidad Demuestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas.- satisface las condiciones requeridas.-

3.- Los datos siguientes describen la cantidad de 3.- Los datos siguientes describen la cantidad de empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos de un gobierno municipal: de un gobierno municipal:

Nivel Ejecutivo Cantidad de empleados

1 15

2 32

3 84

4 300

5 31

Total 462

Suponga que se desea seleccionar una muestra de Suponga que se desea seleccionar una muestra de empleados para una encuesta acerca de las condiciones empleados para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo.- Sea X una variable aleatoria que indica el de trabajo.- Sea X una variable aleatoria que indica el nivel ejecutivo de un empleado elegido al azar.-nivel ejecutivo de un empleado elegido al azar.-

a)a) Con los datos anteriores forme la distribución de Con los datos anteriores forme la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.- Especifique los probabilidad de la variable aleatoria X.- Especifique los valores de la variable aleatoria y los valores valores de la variable aleatoria y los valores correspondientes a la función de probabilidad.-correspondientes a la función de probabilidad.-

b)b) Trace la gráfica de la distribución de probabilidad.-Trace la gráfica de la distribución de probabilidad.-

c)c) Demuestre que la distribución de probabilidad cumple Demuestre que la distribución de probabilidad cumple las condiciones básicas.-las condiciones básicas.-

4.- En la tabla siguiente se muestra las distribuciones 4.- En la tabla siguiente se muestra las distribuciones porcentuales de frecuencias para calificaciones de porcentuales de frecuencias para calificaciones de satisfacción en el empleo, en una muestra de altos satisfacción en el empleo, en una muestra de altos ejecutivos y mandos medios de sistemas de ejecutivos y mandos medios de sistemas de información.- Las calificaciones van de 1, muy información.- Las calificaciones van de 1, muy insatisfechos a 5 muy satisfechos.-insatisfechos a 5 muy satisfechos.-

Calificación de satisfacción en el

trabajo

Alto ejecutivo

%

Mandos Medios

%

1 5 4

2 9 10

3 3 12

4 42 46

5 41 28

Total 100 100

a) Defina una distribución de probabilidad para la a) Defina una distribución de probabilidad para la calificación de satisfacción en el empleo para un alto calificación de satisfacción en el empleo para un alto ejecutivo.-ejecutivo.-

b) Defina una distribución de probabilidad para esa b) Defina una distribución de probabilidad para esa calificación en el caso de mando medio.-calificación en el caso de mando medio.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto ejecutivo c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto ejecutivo exprese satisfacción en el trabajo con una calificación exprese satisfacción en el trabajo con una calificación de 4 o 5?.-de 4 o 5?.-

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un mando medio este d) ¿Cuál es la probabilidad de que un mando medio este muy satisfecho?.-muy satisfecho?.-

e) Compare las satisfacciones generales en el trabajo de e) Compare las satisfacciones generales en el trabajo de los altos ejecutivos y de los mandos medios.-los altos ejecutivos y de los mandos medios.-

5.- Un técnico da servicio a máquinas de 5.- Un técnico da servicio a máquinas de correspondencia en cierta ciudad.- Dependiendo de la correspondencia en cierta ciudad.- Dependiendo de la avería, el servidor puede durar 1, 2, 3,o 4 horas.- Las avería, el servidor puede durar 1, 2, 3,o 4 horas.- Las distintas averías se presentan más o menos con la distintas averías se presentan más o menos con la misma frecuencia: misma frecuencia:

a)a) Defina una distribución de probabilidad de duración Defina una distribución de probabilidad de duración del servicio.-del servicio.-

b)b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.-

c)c) Demuestre que su distribución de probabilidad Demuestre que su distribución de probabilidad cumple con las condiciones que requiere toda función cumple con las condiciones que requiere toda función de probabilidad discreta.-de probabilidad discreta.-

d)d) ¿Cuál es la probabilidad de que una avería dure 3 ¿Cuál es la probabilidad de que una avería dure 3 horas?.-horas?.-

e)e) Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no se conoce el tipo de avería.- Son las 15 horas.- Por lo se conoce el tipo de avería.- Son las 15 horas.- Por lo general, los técnicos de servicios salen a las 17 horas.- general, los técnicos de servicios salen a las 17 horas.- ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio deba trabajar horas extras para arreglar la máquina deba trabajar horas extras para arreglar la máquina hoy?.-hoy?.-

6.- El director de admisiones de una escuela evaluó 6.- El director de admisiones de una escuela evaluó subjetivamente una distribución de probabilidad de X, subjetivamente una distribución de probabilidad de X, la cantidad de alumnos de nuevo ingreso, que se la cantidad de alumnos de nuevo ingreso, que se muestran en la siguiente tabla:muestran en la siguiente tabla:

a)a) ¿es valida esta distribución de probabilidad?.-¿es valida esta distribución de probabilidad?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1200 alumnos de ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1200 alumnos de nuevo ingreso o menos?.-nuevo ingreso o menos?.-

X P (X = x)

1000 0.15

1100 0.20

1200 0.30

1300 0.25

Total 0.10

ESPERANZA Y VARIANCIA DE VARIABLES ESPERANZA Y VARIANCIA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.-ALEATORIAS DISCRETAS.-

El El valor esperado o mediavalor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de una variable aleatoria es una medida de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es: del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es:

E (x) = E (x) = µ = ∑ xµ = ∑ xii * p (x * p (xii))

Es un promedio ponderado de Es un promedio ponderado de todos los resultados posibles, todos los resultados posibles, donde las ponderaciones, son las donde las ponderaciones, son las probabilidades asociadas con probabilidades asociadas con cada uno de los resultadoscada uno de los resultados.-.-

X fX fii P (X = x) x * p (x P (X = x) x * p (xii))

0 54 0,18 00 54 0,18 0

11 117 0,39 0,39117 0,39 0,39

2 72 0,24 0,482 72 0,24 0,48

3 42 0,14 0,423 42 0,14 0,42

4 12 0,04 0,164 12 0,04 0,16

55 3 0,01 0,053 0,01 0,05

300 1,000 1,50 300 1,000 1,50

E (X) = E (X) = µ = 1,5 automóvilesµ = 1,5 automóviles

La empresa puede esperar, a la La empresa puede esperar, a la larga, la venta de un promedio larga, la venta de un promedio de 1,5 automóviles por día.-de 1,5 automóviles por día.-

Si suponemos que la operación durante un mes equivale a 30 días, Si suponemos que la operación durante un mes equivale a 30 días, podemos usar el valor esperado de 1,50 para anticipar que las podemos usar el valor esperado de 1,50 para anticipar que las ventas mensuales promedio son 30 * 1,5 = 45 automóviles.-ventas mensuales promedio son 30 * 1,5 = 45 automóviles.-

La La varianciavariancia, nos dará una idea de variación de los valores de la , nos dará una idea de variación de los valores de la variable aleatoria respecto a su valor esperado o media.- La variable aleatoria respecto a su valor esperado o media.- La ecuación matemática de la variancia será:ecuación matemática de la variancia será:

σσ² = ∑ (x² = ∑ (xii - µ)² * p (x - µ)² * p (xii))Recordemos que la variancia nos da un valor en unidades de Recordemos que la variancia nos da un valor en unidades de medida de la variable al cuadrado y por ello es muy difícil explicar, medida de la variable al cuadrado y por ello es muy difícil explicar, por lo tanto calculamos una nueva medida que llamamos como por lo tanto calculamos una nueva medida que llamamos como sabemos sabemos Desviación EstándarDesviación Estándar.- Esta será:.- Esta será:

σσ = Variancia = VarianciaLa desviación estándar se mide en las mismas unidades de La desviación estándar se mide en las mismas unidades de medidas que la variable aleatoria en estudiomedidas que la variable aleatoria en estudio

Como calcular la variancia por la fórmula de definición suele ser un Como calcular la variancia por la fórmula de definición suele ser un poco engorroso, hay una formula abreviada muy útil, que será la poco engorroso, hay una formula abreviada muy útil, que será la que usaremos:que usaremos:

σσ² = ∑ x² p (x² = ∑ x² p (xii) - µ²) - µ²

En nuestro ejemplo, de la empresa de ventas de automóviles el En nuestro ejemplo, de la empresa de ventas de automóviles el calculo de la variancia y desvío estándar será:calculo de la variancia y desvío estándar será:

X fX fii P (X = x) x P (X = x) x² p (x² p (xii))

0 54 0,18 00 54 0,18 0

11 117 0,39 0,39117 0,39 0,39

2 72 0,24 0,962 72 0,24 0,96

3 42 0,14 1,263 42 0,14 1,26

4 12 0,04 0,644 12 0,04 0,64

55 3 0,01 0,253 0,01 0,25

300 1,000 3,50 300 1,000 3,50

σσ² = 3,50 - 1,5² =² = 3,50 - 1,5² =

= 3,50 - 2,25 == 3,50 - 2,25 =

= 1,25 auto²= 1,25 auto²

σσ = 1,25 = 1.118 autos = 1,25 = 1.118 autos

EJEMPLO para que analicen los alumnos.-EJEMPLO para que analicen los alumnos.-

Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido, los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido, perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.-perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.-

Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo proyecto.-Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo proyecto.-

Las probabilidades asignadas son:Las probabilidades asignadas son:

X -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20X -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20

p (x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10p (x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10

Y -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20Y -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20

p (y) 0,01 0,04 0,10 0,50 0,35p (y) 0,01 0,04 0,10 0,50 0,35

Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le parece a usted que representa la mejor inversión?.-parece a usted que representa la mejor inversión?.-

El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable, El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable, parece menos atractivo.- Resulta igualmente posible perder un parece menos atractivo.- Resulta igualmente posible perder un 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán: relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán:

X p (x) x * P (x) xX p (x) x * P (x) x² * p (x)² * p (x)

-0,20 0,10 - 0,02 0,004 -0,20 0,10 - 0,02 0,004

-0,10 0,20 - 0,02 0,002-0,10 0,20 - 0,02 0,002

0,00 0,40 0,00 0,0000,00 0,40 0,00 0,000

+0,10 0,20 0.02 0,002+0,10 0,20 0.02 0,002

+0,20 0,10 0,02 0,004+0,20 0,10 0,02 0,004

0,00 0,0120,00 0,012

E (X) = 0,0 E (X) = 0,0 σσ² =0,012 ² =0,012 σσ = 0,11 = 0,11

Y p (y) y * P (y) yY p (y) y * P (y) y² * p (y)² * p (y)

- 0,20 0,01 - 0,002 0,0004- 0,20 0,01 - 0,002 0,0004

- 0,10 0,04 - 0,004 0.0004- 0,10 0,04 - 0,004 0.0004

0,00 0,10 0,0 0,00,00 0,10 0,0 0,0

+ 0,10 0,50 0,050 0,005+ 0,10 0,50 0,050 0,005

+ 0,20 0,35 0,070 0,014+ 0,20 0,35 0,070 0,014

0,114 0,01980,114 0,0198

Para el proyecto Y, será:Para el proyecto Y, será:

E (X) = 0,114 E (X) = 0,114 σσ² = 0,0068 ² = 0,0068 σσ = 0,082 = 0,082

CONCLUSIONES del problema:CONCLUSIONES del problema:

El rendimiento esperado de X es como hemos El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado menor que el rendimiento esperado de Y.-anticipado menor que el rendimiento esperado de Y.-

Observando las desviaciones estándar, la distribución Observando las desviaciones estándar, la distribución de X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la de X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y 0,20, mientras que las probabilidades de X están de 0,20, mientras que las probabilidades de X están de alguna manera dispersas entre todos los valores alguna manera dispersas entre todos los valores posibles.-posibles.-

Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto mayor es la variancia.-mayor es la variancia.-

En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más alto y un riego menor.-alto y un riego menor.-

EJERCICIO PARA HACER EN CLASE

1.- Un concesionario de automóviles calcula la 1.- Un concesionario de automóviles calcula la proporción de automóviles nuevos vendidos que se han proporción de automóviles nuevos vendidos que se han devuelto varias veces para que se corrijan los defectos devuelto varias veces para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.- La tabla adjunta muestra durante el periodo de garantía.- La tabla adjunta muestra los resultados:los resultados:

Numero de devoluciones

0 1 2 3 4

Proporción 0,28 0,36 0,23 0,09 0,04

a) Trace la función de probabilidad.-a) Trace la función de probabilidad.-

b) Halle la media del numero de devoluciones de un automóvil para b) Halle la media del numero de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.-que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.-

c) Halle la variancia y desvío del numero de devoluciones de un c) Halle la variancia y desvío del numero de devoluciones de un automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía,.garantía,.

2.- Una empresa produce paquetes de clips.- El numero 2.- Una empresa produce paquetes de clips.- El numero de clips por paquetes varia, como indica la tabla de clips por paquetes varia, como indica la tabla adjunta:adjunta:

Números de clips

47 48 49 50 51 52 53

Proporción de paquetes

0,04 0,13 0,21 0,29 0,20 0,10 0,03

a)a) Trace la función de probabilidad.-Trace la función de probabilidad.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips, inclusive.-aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips, inclusive.-

c)c) Se selecciona aleatoriamente dos paquetes, ¿Cuál es la Se selecciona aleatoriamente dos paquetes, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo 50 clips?.- 50 clips?.-

d)d) Hallar la media, la variancia y la desviación estándar del numero Hallar la media, la variancia y la desviación estándar del numero de clips por paquete.-de clips por paquete.-

3.- Una empresa esta especializada en la instalación y el 3.- Una empresa esta especializada en la instalación y el mantenimiento de calefacciones centrales.- Antes de que empiece el mantenimiento de calefacciones centrales.- Antes de que empiece el invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como resultado el pedido de una caldera.- La tabla adjunta muestra las resultado el pedido de una caldera.- La tabla adjunta muestra las probabilidades estimadas del numero de pedidos de calderas nuevas probabilidades estimadas del numero de pedidos de calderas nuevas generados de esta forma en las dos ultimas semanas de septiembre:generados de esta forma en las dos ultimas semanas de septiembre:

Números de pedidos 0 1 2 3 4 5

Probabilidad 0,10 0,14 0,26 0,28 0,15 0,07

a)a) Trace la función de probabilidad.-Trace la función de probabilidad.-

b)b) Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en este periodo.-este periodo.-

c)c) Halle la media del numero de pedidos de una nueva caldera en este Halle la media del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos semanas.-periodo de dos semanas.-

d)d) Halle la desviación estándar del numero de pedidos de una nueva Halle la desviación estándar del numero de pedidos de una nueva caldera en este periodo de dos semanas.-caldera en este periodo de dos semanas.-

4.- La tabla siguiente muestra la distribución de la 4.- La tabla siguiente muestra la distribución de la cantidad de créditos aprobados por semana en la cantidad de créditos aprobados por semana en la oficina de una sucursal bancaria local.- oficina de una sucursal bancaria local.-

Hipotecas aprobadas por semana

0 1 2 3 4 5 6

Probabilidad 0,10 0,10 0,20 0,30 0,15 0,10 0,05

a)a) Diga y explique si la tabla es colectivamente Diga y explique si la tabla es colectivamente exhaustiva.-exhaustiva.-

b)b) Trace la función de probabilidad.-Trace la función de probabilidad.-

c)c) Calcule y explique la esperanza matemática y Calcule y explique la esperanza matemática y explique.-explique.-

d)d) Calcule y explique la desviación estándar.-Calcule y explique la desviación estándar.-

5.- La distribución de probabilidad por daños pagadas por San 5.- La distribución de probabilidad por daños pagadas por San Cristóbal SA en seguros contra choques se muestra a Cristóbal SA en seguros contra choques se muestra a continuación:continuación:

Pagos (dólares) Probabilidad

0 0.90

400 0.04

1000 0.03

2000 0.01

4000 0.01

6000 0.01

a)a) Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de seguro contra dueños que permitiría a la empresa salir sin seguro contra dueños que permitiría a la empresa salir sin pérdidas.-pérdidas.-

b)b) La aseguradora cobra una tarifa anual de 200 dólares por cubrir La aseguradora cobra una tarifa anual de 200 dólares por cubrir choque.- ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques choque.- ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques para un asegurado?.- (sugerencia: es igual a los pagos esperados para un asegurado?.- (sugerencia: es igual a los pagos esperados de la compañía, menos los costos).- ¿Por qué el asegurado de la compañía, menos los costos).- ¿Por qué el asegurado compra una póliza contra choques con este valor esperado?.-compra una póliza contra choques con este valor esperado?.-

6.- La demanda de un producto por parte de Industrias Serrano 6.- La demanda de un producto por parte de Industrias Serrano SRL, varía mucho de mes a mes.- La distribución de probabilidad SRL, varía mucho de mes a mes.- La distribución de probabilidad de la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años de la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años indica la demanda mensual del producto:indica la demanda mensual del producto:

Demanda de unidades Probabilidad

300 0.20

400 0.30

500 0.35

600 0.15

a)a) Si la empresa basa sus pedidos mensuales en el valor esperado Si la empresa basa sus pedidos mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿Cuál debe ser la cantidad de pedidos de la demanda mensual, ¿Cuál debe ser la cantidad de pedidos de Serrano para este producto?.-de Serrano para este producto?.-

b)b) Suponga que cada unidad demandada genere ingresos de 70 Suponga que cada unidad demandada genere ingresos de 70 dólares y que cada unidad pedida cuesta 50 dólares.-¿Cuánto dólares y que cada unidad pedida cuesta 50 dólares.-¿Cuánto debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido basado en su respuesta al inciso a) y la demanda real del basado en su respuesta al inciso a) y la demanda real del artículo es de 300 unidades?.-artículo es de 300 unidades?.-

7.- Según una encuesta del diario Ámbito Financiero, 95% de los 7.- Según una encuesta del diario Ámbito Financiero, 95% de los suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos hogares, suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos hogares, se dan las distribuciones de probabilidad para computadora portátil se dan las distribuciones de probabilidad para computadora portátil y de escritorio.-y de escritorio.-

Número de computadoras

Probabilidad

Portátil Escritorio

0 0.47 0.06

1 0.45 0.56

2 0.06 0.28

3 0.02 0.10

a)a) ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadora por ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadora por familia para cada tipo?.-familia para cada tipo?.-

b)b) ¿Cuál es la variancia de la cantidad de computadora por familia ¿Cuál es la variancia de la cantidad de computadora por familia para cada tipo?.-para cada tipo?.-

c)c) Realice algunas comparaciones entre el número de computadoras Realice algunas comparaciones entre el número de computadoras portátiles y el número de computadoras de escritorio que posee portátiles y el número de computadoras de escritorio que posee los suscriptores del periódico.-los suscriptores del periódico.-

ALGUNAS ALGUNAS DISTRIBUCIONES DEDISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD PROBABILIDAD DISCRETADISCRETA

DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE

PROBABILIDAD PROBABILIDAD BIPUNTUAL 0BIPUNTUAL 0

ENSAYOS DE ENSAYOS DE

BERNOULLIBERNOULLI

Antes de introducirnos en la distribución binomial es importante Antes de introducirnos en la distribución binomial es importante ver que nos dice esta distribución de probabilidad.-ver que nos dice esta distribución de probabilidad.-

Entre las distribuciones de probabilidad discretas, este es el Entre las distribuciones de probabilidad discretas, este es el modelo más simple, se lo llama también modelo más simple, se lo llama también “ prueba o ensayos de “ prueba o ensayos de Bernoulli”Bernoulli” y se refiere a un experimento aleatorio con dos y se refiere a un experimento aleatorio con dos resultados posible.-resultados posible.-

Se trata de una población dicotomizada, es decir de una población Se trata de una población dicotomizada, es decir de una población cuyos individuos se pueden subdividir en dos clases según tengan cuyos individuos se pueden subdividir en dos clases según tengan o no una cierta característica.- Los individuos que tienen la o no una cierta característica.- Los individuos que tienen la característica A forman la clase A y los que no la tienen forman la característica A forman la clase A y los que no la tienen forman la clase no A, por ejemplo: pieza defectuosa y no defectuosa, compra clase no A, por ejemplo: pieza defectuosa y no defectuosa, compra o no compra, saca crédito o no lo saca, paciente enfermo o sano, o no compra, saca crédito o no lo saca, paciente enfermo o sano, encendido o apagado, varón o mujer, aprobar no aprobar, etc.-encendido o apagado, varón o mujer, aprobar no aprobar, etc.-

Se realiza un experimento aleatorio consistente en elegir al azar, un Se realiza un experimento aleatorio consistente en elegir al azar, un individuo de esa población y observar si pertenece o no a la clase individuo de esa población y observar si pertenece o no a la clase A.- Cada individuo de la población constituye un evento simple del A.- Cada individuo de la población constituye un evento simple del espacio muestral S.-espacio muestral S.-

La variable aleatoria es del tipo discreto y se define de la siguiente La variable aleatoria es del tipo discreto y se define de la siguiente manera:manera:

1 si el individuo observado es A1 si el individuo observado es A

X = X (S) = X = X (S) =

0 si el individuo observado es no A0 si el individuo observado es no A

Si “p” es la probabilidad de que el individuo observado tenga la Si “p” es la probabilidad de que el individuo observado tenga la característica A, obtenemos la distribución de probabilidad que característica A, obtenemos la distribución de probabilidad que mostramos en la siguiente tabla y que se llama mostramos en la siguiente tabla y que se llama distribución distribución bipuntual.-bipuntual.-

Evento Variable Aleatoria P (X = x) = p (x)Evento Variable Aleatoria P (X = x) = p (x)

A 1 pA 1 p

No A 0 1 - pNo A 0 1 - p

Cabe señalar que el valor de Cabe señalar que el valor de pp se determina según los enfoques que se determina según los enfoques que hemos visto.- Si se trata de la tirada de una moneda nos basamos en hemos visto.- Si se trata de la tirada de una moneda nos basamos en el enfoque clásico y decimos que p = ½.-el enfoque clásico y decimos que p = ½.-

Por lo general, la probabilidadPor lo general, la probabilidad p p estará dada por la proporción de estará dada por la proporción de individuos que tienen la característica A en la población o por las individuos que tienen la característica A en la población o por las frecuencias relativas de un número suficientemente grande de frecuencias relativas de un número suficientemente grande de experimento.-experimento.-

El modelo matemático o función de probabilidad para la distribución El modelo matemático o función de probabilidad para la distribución bipuntual es:bipuntual es:

p (xp (xii) = ) = P (X =x) = p (1 - p)P (X =x) = p (1 - p)

donde x = 0; 1donde x = 0; 1

Con esta función de probabilidad se obtienen los valores de la tabla Con esta función de probabilidad se obtienen los valores de la tabla anterior.-anterior.-

xx 1-x1-x

Debemos como toda distribución de probabilidad saber cual es la Debemos como toda distribución de probabilidad saber cual es la

media y varianciamedia y variancia de ella.- de ella.-

µ = E (X) = ∑ x pµ = E (X) = ∑ x pxx ( 1 - p) ( 1 - p)1 - x1 - x = p = p

σσ²² = = ∑ x² p (x) - µ² = p - p² = p ( 1 – p)∑ x² p (x) - µ² = p - p² = p ( 1 – p) Generalmente a (1 – p) = qGeneralmente a (1 – p) = q

σσ² = p q² = p q

σσ = p q = p q

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓN

DE DE

PROBABILIDAD PROBABILIDAD BINOMIAL.-BINOMIAL.-

La distribución binomial es una función de distribución de La distribución binomial es una función de distribución de probabilidad discreta con muchas aplicaciones en la vida probabilidad discreta con muchas aplicaciones en la vida diaria.- La distribución binomial tiene cuatro propiedades diaria.- La distribución binomial tiene cuatro propiedades esenciales:esenciales:

1.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos 1.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos métodos de muestreo.- Se puede considerar que cada observación métodos de muestreo.- Se puede considerar que cada observación se seleccionó ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo se seleccionó ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo o a partir de una población finita con reemplazo.- o a partir de una población finita con reemplazo.- Se selecciona n Se selecciona n observaciones.-observaciones.-

2.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categoría 2.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categoría mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que por lo mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que por lo común llamamos común llamamos Éxitos y FracasosÉxitos y Fracasos.-.-

3.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, 3.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, pp, es constante entre una observación y otra.- Entonces la , es constante entre una observación y otra.- Entonces la probabilidad de que una observación sea clasificada como fracaso es probabilidad de que una observación sea clasificada como fracaso es (1-p),(1-p), es constante en todas las observaciones.- es constante en todas las observaciones.-

4.- El resultado (éxito o fracaso) de cualquier observación es 4.- El resultado (éxito o fracaso) de cualquier observación es independienteindependiente del resultado de cualquier otra observación.- del resultado de cualquier otra observación.-

Si se cumplen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se Si se cumplen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se generan mediante un proceso de Bernoulli y si además se hacen n generan mediante un proceso de Bernoulli y si además se hacen n intentos o ensayos entonces es un intentos o ensayos entonces es un experimento binomial.-experimento binomial.-

En un experimento binomial nos interesa el número de En un experimento binomial nos interesa el número de éxitos que suceden en los n intentos.-éxitos que suceden en los n intentos.-

Si hacemos que x represente el número de éxitos en los n intentos, Si hacemos que x represente el número de éxitos en los n intentos, vemos que x puede asumir los valores 0,1,2,3………n.- Como la vemos que x puede asumir los valores 0,1,2,3………n.- Como la cantidad de valores es finita, x es una variable aleatoria discreta.-cantidad de valores es finita, x es una variable aleatoria discreta.-

Veamos un ejemplo:Veamos un ejemplo:

Supongamos que un vendedor de seguro visita a 10 familias Supongamos que un vendedor de seguro visita a 10 familias seleccionadas al azar.- El resultado asociado con cada visita se seleccionadas al azar.- El resultado asociado con cada visita se clasifica como un éxito si la familia compra una póliza de seguro, y clasifica como un éxito si la familia compra una póliza de seguro, y como un fracaso si la familia no lo hace.- De acuerdo con su como un fracaso si la familia no lo hace.- De acuerdo con su experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que una familia experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que una familia seleccionada al azar compre una póliza de seguro es de 0,10.- Al seleccionada al azar compre una póliza de seguro es de 0,10.- Al comprobar si se satisfacen las propiedades de un experimento comprobar si se satisfacen las propiedades de un experimento binomial vemos que:binomial vemos que:

1.- El experimento consiste en 10 intentos idénticos y cada 1.- El experimento consiste en 10 intentos idénticos y cada experimento implica llegar a una familia.-experimento implica llegar a una familia.-

2.- En cada intento son posible dos resultados: la familia compra 2.- En cada intento son posible dos resultados: la familia compra una póliza (éxito) o la familia no la compra (fracaso).-una póliza (éxito) o la familia no la compra (fracaso).-

3.-Se supone que las probabilidades de una compra y de una no 3.-Se supone que las probabilidades de una compra y de una no compra son iguales para cada llamada de ventas, siendo,compra son iguales para cada llamada de ventas, siendo,

p = 0,10 1- p = 0,90p = 0,10 1- p = 0,90

4.- Los intentos son independientes porque las familias se 4.- Los intentos son independientes porque las familias se seleccionan aleatoriamente.-seleccionan aleatoriamente.-

En vista de que se cumplen las cuatro propiedades, En vista de que se cumplen las cuatro propiedades, este es un este es un experimento binomial.-experimento binomial.- La variable aleatoria de interés X es la La variable aleatoria de interés X es la cantidad de ventas obtenidas al visitar a 10 familias.- En este caso cantidad de ventas obtenidas al visitar a 10 familias.- En este caso podemos asumir que X, xpodemos asumir que X, xii puede asumir los valores puede asumir los valores 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.- 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.-

Para calcular estas probabilidades debemos buscar la Para calcular estas probabilidades debemos buscar la función de probabilidad de este experimento.-función de probabilidad de este experimento.-

El número de resultados experimentales que dan exactamente x El número de resultados experimentales que dan exactamente x éxitos en n intentos se puede calcular como, las combinaciones de:éxitos en n intentos se puede calcular como, las combinaciones de:

n n !n n !

= -----------------------= -----------------------

x x ! (n – x) !x x ! (n – x) !

Pero cada experimento es un esquema de Bernoulli donde Pero cada experimento es un esquema de Bernoulli donde sabemos que el modelo de probabilidad es:sabemos que el modelo de probabilidad es:

P (X =x) = pP (X =x) = px x (1 -p) (1 -p)1 - x1 - x

Como aquí realizamos n ensayos o intentos, el modelo de será:Como aquí realizamos n ensayos o intentos, el modelo de será:

Función de probabilidad binomial:Función de probabilidad binomial:

nn

P (X = x) = p P (X = x) = p xx (1 – p) (1 – p) n - xn - x

xx

En nuestro ejemplo, supongamos que nos preguntemos ¿Cuál En nuestro ejemplo, supongamos que nos preguntemos ¿Cuál es la probabilidad de que se den exactamente 4 ventas?.- Esto es la probabilidad de que se den exactamente 4 ventas?.- Esto será, calcular:será, calcular:

10 !10 !

P ( X = 4) = ---------------------- 0,10P ( X = 4) = ---------------------- 0,1044 0,90 0,906 6 = =

4 ! ( 10 – 4) !4 ! ( 10 – 4) !

= 210 * 0,0001 * 0,5314 = 0,0112 = 210 * 0,0001 * 0,5314 = 0,0112 1 % 1 %

Uso de la función de distribución o acumulación Uso de la función de distribución o acumulación en la distribución binomial.-en la distribución binomial.-

Sabemos que ella me representa:Sabemos que ella me representa:

Supongamos que deseamos calcular la probabilidad de que ¿se de Supongamos que deseamos calcular la probabilidad de que ¿se de menos de 2 ventas?.- Será:menos de 2 ventas?.- Será:

P (X P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (0) + P (1) = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361< 2) = P (X ≤ 1) = P (0) + P (1) = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361

74 %74 %

¿Cuál es la probabilidad que se de 3 o más ventas?¿Cuál es la probabilidad que se de 3 o más ventas?

P ( X P ( X ≥3) = 1 - P (X ≤ 2) = 1 - P (0) + P (1) + P ( 2) =≥3) = 1 - P (X ≤ 2) = 1 - P (0) + P (1) + P ( 2) =

= 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0,9298 = 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0,9298 93 % 93 %

xX

)( p x)(X P F(x) x

Dentro de las características de la distribución Dentro de las características de la distribución de probabilidad binomial es importante para el de probabilidad binomial es importante para el

calculo de una probabilidad, conocer:calculo de una probabilidad, conocer:

3.- SU MEDIA

SU VARIANCIA

SU DESVIACIONESTANDAR

2.- SUSFORMAS

1.- SUFUNCION DE

PROBABILIDAD

2.- FORMAS.-

SI P = 0,50 LA DISTRIBUCION SERA SIMETRICA

SI P > 0,50 LA DISTRIBUCION SERA ASIMETRICA A IZQUIERDA

SI P < 0,50 LA DISTRIBUCION SERA ASIMETRICA A DERECHA

MEDIA Y VARIANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN MEDIA Y VARIANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIALBINOMIAL

La media La media µ de la binomial es igual al tamaño de la muestra n µ de la binomial es igual al tamaño de la muestra n multiplicada por la probabilidad del éxito.-multiplicada por la probabilidad del éxito.-

µ = E (x) = n * Pµ = E (x) = n * P

La variancia, será igual al producto del tamaño de la muestra por la La variancia, será igual al producto del tamaño de la muestra por la probabilidad de éxito y la de fracaso.-probabilidad de éxito y la de fracaso.-

σ² = n * P * (1 - P)σ² = n * P * (1 - P)

El desvío estándar estará dado por la raíz cuadrada de la variancia.-El desvío estándar estará dado por la raíz cuadrada de la variancia.-

σσ = n * P * (1 – P) = n * P * (1 – P)

CUANDO SE NOS PLANTEA UN PROBLEMA DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA, ES

IMPORTANTE ANALIZAR SI EL PROBLEMA SE ADECUA A UNA

DISTRIBUCION BINOMIAL O NO

VEAMOS DOS EJEMPLO:

Para pensar en clase

1.- Suponga que hay 1000000 de adultos en 1.- Suponga que hay 1000000 de adultos en cierta ciudad y una proporción desconocida p cierta ciudad y una proporción desconocida p está a favor de que se parquice cierta zona de está a favor de que se parquice cierta zona de la ciudad.- Se elige una muestra aleatoria de la ciudad.- Se elige una muestra aleatoria de 1000 adultos, de tal manera que cada uno de 1000 adultos, de tal manera que cada uno de los integrantes del millón de adultos tengan la los integrantes del millón de adultos tengan la misma probabilidad de ser seleccionados y se misma probabilidad de ser seleccionados y se le pregunta a cada adulto si esta a favor de la le pregunta a cada adulto si esta a favor de la parquización o no.- (si bien el objetivo final va parquización o no.- (si bien el objetivo final va ser la estimación de la proporción P ser la estimación de la proporción P desconocida, y esto lo veremos en la Unidad desconocida, y esto lo veremos en la Unidad de estimación).- ¿es este un experimento de estimación).- ¿es este un experimento binomial?.- binomial?.-

SoluciónSolución

¿Veamos si el experimento cumple las características de un ¿Veamos si el experimento cumple las características de un experimento binomial?.-experimento binomial?.-

1.- Un ensayo es la elección de un solo adulto del millón de adultos 1.- Un ensayo es la elección de un solo adulto del millón de adultos en la ciudad.- Esta muestra consta de n= 1000 ensayos en la ciudad.- Esta muestra consta de n= 1000 ensayos idénticos.-idénticos.-

2.- Puesto que cada adulto estará a favor de la parquización o no, 2.- Puesto que cada adulto estará a favor de la parquización o no, hay dos resultados posibles que representa a los éxitos o hay dos resultados posibles que representa a los éxitos o fracasos en el experimento binomial.-fracasos en el experimento binomial.-

3.- La probabilidad de éxito, p, es la de que un adulto esté a favor de 3.- La probabilidad de éxito, p, es la de que un adulto esté a favor de la parquización, ¿esta probabilidad es la misma para cada adulto la parquización, ¿esta probabilidad es la misma para cada adulto de la muestra?.- Para fines prácticos, la respuesta es sí.- Por de la muestra?.- Para fines prácticos, la respuesta es sí.- Por ejemplo, si 500000 adultos de la población está a favor de la ejemplo, si 500000 adultos de la población está a favor de la parquización, entonces la probabilidad de un éxito cuando se parquización, entonces la probabilidad de un éxito cuando se elige al primer adulto es 500000 / 1000000 = 1/2.- Cuando se elige elige al primer adulto es 500000 / 1000000 = 1/2.- Cuando se elige al segundo adulto, la probabilidad p cambia un poco, al segundo adulto, la probabilidad p cambia un poco, dependiendo de la primera elección.- Es decir, habrá 499999 o dependiendo de la primera elección.- Es decir, habrá 499999 o 500000 éxitos dejados entre los 999999 adultos.- En cualquier 500000 éxitos dejados entre los 999999 adultos.- En cualquier caso p es aún casi igual a 1/2.-caso p es aún casi igual a 1/2.-

4.- La independencia de los ensayos está garantizada 4.- La independencia de los ensayos está garantizada debido al gran grupo de adultos del que se elige la debido al gran grupo de adultos del que se elige la muestra.- La probabilidad de que un adulto esté a favor muestra.- La probabilidad de que un adulto esté a favor de la parquización no cambia en función de las de la parquización no cambia en función de las respuesta de las personas elegidas con anterioridad.-respuesta de las personas elegidas con anterioridad.-

5.- La variable aleatoria X es el número de adultos de la 5.- La variable aleatoria X es el número de adultos de la muestra que están a favor de la parquización.-muestra que están a favor de la parquización.-

DEBIDO A QUE EL ESTUDIO SATISFACE LAS CARACTERÍSTICA, PARA PROPOSITOS

PRACTICOS SE CONSIDERA UN EXPERIMENTO BINOMIAL.-

2.- Un comprador que ha recibido un embarque 2.- Un comprador que ha recibido un embarque que contiene 20 computadoras personales que contiene 20 computadoras personales desea muestrear tres para ver si están desea muestrear tres para ver si están funcionando bien antes de aceptar el funcionando bien antes de aceptar el embarque.- Para probar elige las tres embarque.- Para probar elige las tres computadoras más cercanas y, después, se computadoras más cercanas y, después, se decide si son defectuosas o no.- El comprador decide si son defectuosas o no.- El comprador no sabe que dos de las 20 computadoras del no sabe que dos de las 20 computadoras del envió están defectuosas.- ¿Es este un envió están defectuosas.- ¿Es este un experimento binomial?.- experimento binomial?.-

SoluciónSolución

De nuevo, compruebe que el procedimiento de muestreo De nuevo, compruebe que el procedimiento de muestreo satisfaga las características de un experimento satisfaga las características de un experimento binomial.-binomial.-

1.- Un ensayo es la selección y prueba de una PC del 1.- Un ensayo es la selección y prueba de una PC del total de 20.- Este experimento consta de n = 3 ensayos total de 20.- Este experimento consta de n = 3 ensayos idénticos.-idénticos.-

2.- Cada ensayo produce uno de dos resultados, ya sea 2.- Cada ensayo produce uno de dos resultados, ya sea que una PC esté defectuosa (éxito) o no defectuosa que una PC esté defectuosa (éxito) o no defectuosa (fracaso).-(fracaso).-

3.- Suponga que las PC fueron colocadas al azar en el 3.- Suponga que las PC fueron colocadas al azar en el vagón, de tal modo que cualquiera de las 20 vagón, de tal modo que cualquiera de las 20 computadoras pudo ser colocada cerca de la puerta computadoras pudo ser colocada cerca de la puerta del vagón.- Entonces la probabilidad de sacar una del vagón.- Entonces la probabilidad de sacar una computadora defectuosa en un ensayo dado sería computadora defectuosa en un ensayo dado sería 2/20.-2/20.-

4.- La condición de independencia entre ensayos no se 4.- La condición de independencia entre ensayos no se satisface porque la probabilidad de sacar una PC satisface porque la probabilidad de sacar una PC defectuosa en el segundo ensayo y tercer ensayo defectuosa en el segundo ensayo y tercer ensayo depende del resultado del primer ensayo.- Por ejemplo, depende del resultado del primer ensayo.- Por ejemplo, si en el primer ensayo se obtiene una PC defectuosa, si en el primer ensayo se obtiene una PC defectuosa, entonces queda una computadora defectuosa entre las entonces queda una computadora defectuosa entre las 19 restante del envío.- Por lo tanto:19 restante del envío.- Por lo tanto:

P (defectuosa en el ensayo 2/ defectuosa en el 1°) =P (defectuosa en el ensayo 2/ defectuosa en el 1°) =

= 1/19= 1/19

Si en el primer ensayo no se obtiene una computadora Si en el primer ensayo no se obtiene una computadora defectuosa, entonces aún hay dos computadoras defectuosa, entonces aún hay dos computadoras defectuosas en el envió y la probabilidad de un éxito defectuosas en el envió y la probabilidad de un éxito (una PC defectuosa) cambia a :(una PC defectuosa) cambia a :

P (defectuosa en el ensayo 2/ no defectuosa en el P (defectuosa en el ensayo 2/ no defectuosa en el ensayo 2) = 2/19ensayo 2) = 2/19

Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo no representa un experimento binomial.-no representa un experimento binomial.-

Por lo tanto los ensayos son Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo no dependientes y el muestreo no

representa un experimento representa un experimento binomial.-binomial.-

Piense en la diferencia Piense en la diferencia entre estos dos entre estos dos

ejemplos vistos.-ejemplos vistos.-

Cuando la muestra (los n ensayos idénticos) provienen Cuando la muestra (los n ensayos idénticos) provienen de una población grande; la probabilidad de éxitos p de una población grande; la probabilidad de éxitos p es casi la misma de un ensayo a otro.-es casi la misma de un ensayo a otro.-

Cuando el tamaño de la población N es pequeño, la Cuando el tamaño de la población N es pequeño, la probabilidad de éxito tiene un cambio drástico de un probabilidad de éxito tiene un cambio drástico de un ensayo a otro, y el experimento no es binomial.-ensayo a otro, y el experimento no es binomial.-

Si el tamaño de la muestra es grande con respecto al Si el tamaño de la muestra es grande con respecto al tamaño de la población, en particular, si n/N tamaño de la población, en particular, si n/N ≥ 0,05, ≥ 0,05, entonces el experimento resultante no es binomial.-entonces el experimento resultante no es binomial.-

VEAMOS EL USO DE LA TABLA DE LA

DISTRIBUCION BINOMIAL

MEDIANTE UN EJERCICIO:

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

1.- Suponga que Susana Torres, la agente de seguro contacta cinco personas y cree que la probabilidad de vender un seguro a cada una es de 0,40.- Utilizando la función de probabilidad, calcule manualmente y luego con tabla:

a) Halle la probabilidad de que venda como máximo un seguro.-

b) Halle la probabilidad de que venda entre dos y cuatro seguros (inclusive).-

c) Halle la probabilidad de que venda más de dos seguros.-

d) Halle la probabilidad de que venda exactamente tres seguros.-

e) Represente gráficamente la función de probabilidad.-

VEAMOS UN EJEMPLO, USANDO EL PROGRAMA

MINITAB

Se probo un tratamiento de una dosis diaria de Se probo un tratamiento de una dosis diaria de vitamina C para determinar su efectividad en la vitamina C para determinar su efectividad en la prevención del resfriado común.- Se observó a prevención del resfriado común.- Se observó a 10 personas que siguieron el tratamiento 10 personas que siguieron el tratamiento prescrito durante un año.- Ocho personas prescrito durante un año.- Ocho personas pasaron el invierno sin un resfriado.- Suponga pasaron el invierno sin un resfriado.- Suponga que la probabilidad de pasar el invierno sin un que la probabilidad de pasar el invierno sin un resfriado es 0,50 cuando no se sigue el resfriado es 0,50 cuando no se sigue el tratamiento de vitamina C.- ¿Cuál es la tratamiento de vitamina C.- ¿Cuál es la probabilidad de observar ocho o más personas probabilidad de observar ocho o más personas que pasan el invierno sin un resfriado, puesto que pasan el invierno sin un resfriado, puesto que el régimen es ineficaz para incrementar la que el régimen es ineficaz para incrementar la resistencia a los resfriados?.-resistencia a los resfriados?.-

SoluciónSolución

Función de densidad de probabilidad

Binomial con n = 10 y p = 0,5

x P( X = x ) 0 0,000977 1 0,009766 2 0,043945 3 0,117188 4 0,205078 5 0,246094 6 0,205078 7 0,117188 8 0,043945 9 0,00976610 0,000977

Función de distribución acumulada

Binomial con n = 10 y p = 0,5

x P( X <= x ) 0 0,00098 1 0,01074 2 0,05469 3 0,17187 4 0,37695 5 0,62305 6 0,82813 7 0,94531 8 0,98926 9 0,9990210 1,00000

Para calcular la probabilidad buscada podemos usar Para calcular la probabilidad buscada podemos usar cualquiera de las dos tabla calculadas en Minitab de la cualquiera de las dos tabla calculadas en Minitab de la placa anterior:placa anterior:

1.- Si usamos la función de densidad de la Binomial, 1.- Si usamos la función de densidad de la Binomial, será:será:

P (X P (X ≥ 8) = P(8) + P(9) + P(10) =≥ 8) = P(8) + P(9) + P(10) =

= 0,43945 + 0.09766 + 0.00977 = 0.05469= 0,43945 + 0.09766 + 0.00977 = 0.05469

2.- Si usamos la función de distribución acumulada de 2.- Si usamos la función de distribución acumulada de la Binomial, será:la Binomial, será:

P (X ≥ 8) = 1 - P (X ≤ 7) =P (X ≥ 8) = 1 - P (X ≤ 7) =

= 1 - 0,94531 = 0,05469= 1 - 0,94531 = 0,05469

EJERCICIOS

1.- Las preferencias de color para automóviles cambian al 1.- Las preferencias de color para automóviles cambian al paso de los años y según el modelo que elige el paso de los años y según el modelo que elige el cliente.- En el último año, 10% de los automóviles de cliente.- En el último año, 10% de los automóviles de lujo vendidos eran negros.- Si se elige al azar 20 lujo vendidos eran negros.- Si se elige al azar 20 automóviles de ese año y tipo, encuentre las automóviles de ese año y tipo, encuentre las probabilidades siguientes:probabilidades siguientes:

a)a) Por lo menos cinco automóviles son negros.-Por lo menos cinco automóviles son negros.-

b)b) A lo sumo seis automóviles son negros.-A lo sumo seis automóviles son negros.-

c)c) Más de cuatro automóviles son negros.-Más de cuatro automóviles son negros.-

d)d) Exactamente cuatro automóviles negros.-Exactamente cuatro automóviles negros.-

e)e) Entre tres y cinco automóviles (inclusive) son negros.-Entre tres y cinco automóviles (inclusive) son negros.-

f)f) Diez o más automóviles negros.-Diez o más automóviles negros.-

2.- A principios de agosto, una universidad descubre que 2.- A principios de agosto, una universidad descubre que puede admitir a algunos estudiantes más.- La admisión puede admitir a algunos estudiantes más.- La admisión de esos estudiantes aumentaría significativamente los de esos estudiantes aumentaría significativamente los ingresos sin incrementar los costos de explotación de ingresos sin incrementar los costos de explotación de la universidad, es decir, no habría que abrir nuevas la universidad, es decir, no habría que abrir nuevas clases.- La universidad sabe por experiencia que el 40 clases.- La universidad sabe por experiencia que el 40 por ciento de los estudiantes admitidos se matricula por ciento de los estudiantes admitidos se matricula realmente:realmente:

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen como ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen como máximo 6 estudiantes si la universidad admite a 10 máximo 6 estudiantes si la universidad admite a 10 estudiantes mas?.-estudiantes mas?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen mas de ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen mas de 12 estudiantes si admite a 20?.-12 estudiantes si admite a 20?.-

c)c) Si se matricula el 70 por ciento de los estudiantes Si se matricula el 70 por ciento de los estudiantes admitidos, ¿Cuál es la probabilidad de que se admitidos, ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen al menos 4 de 10 estudiantes admitidos?.-matriculen al menos 4 de 10 estudiantes admitidos?.-

3.- Un director de producción sabe que el 5 por 3.- Un director de producción sabe que el 5 por ciento de los componentes producidos en un ciento de los componentes producidos en un determinado proceso de producción tiene determinado proceso de producción tiene algún defecto.- Se examinan seis de estos algún defecto.- Se examinan seis de estos componentes cuyas características puede componentes cuyas características puede suponerse que son independientes entre si:suponerse que son independientes entre si:

a)a)¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tengo un defecto?.-estos componentes tengo un defecto?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos componentes tenga un defecto?.-componentes tenga un defecto?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tengan un defecto?.-de estos componentes tengan un defecto?.-

4.- Un político cree que el 25 por ciento de todos los 4.- Un político cree que el 25 por ciento de todos los macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyaran macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyaran firmemente una propuesta que desea presentar.- firmemente una propuesta que desea presentar.- Suponga que esta creencia es correcta y que se Suponga que esta creencia es correcta y que se seleccionan cinco macroeconomistas aleatoriamente: seleccionan cinco macroeconomistas aleatoriamente:

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cinco apoyen firmemente la propuestas?.-cinco apoyen firmemente la propuestas?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los cinco apoyen la propuesta?.-cinco apoyen la propuesta?.-

5.- 5.- Supongamos que el 30 % de los estudiantes de una universidad Supongamos que el 30 % de los estudiantes de una universidad se oponen a pagar una cuota para actividades estudiantiles. se oponen a pagar una cuota para actividades estudiantiles. Hallar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 20 Hallar la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 20 estudiantes, el número de estudiantes que se oponen a la cuota estudiantes, el número de estudiantes que se oponen a la cuota es:es:

a) Exactamente 5 b) Mayor que 5a) Exactamente 5 b) Mayor que 5c) 5 o menos d) Entre 6 y 10, inclusivec) 5 o menos d) Entre 6 y 10, inclusive

6.- En la Universidad Nacional de La Rioja, se determino 6.- En la Universidad Nacional de La Rioja, se determino que el 20 % de inscriptos en una carrera son del que el 20 % de inscriptos en una carrera son del interior de la provincia. Se seleccionó al azar 8 interior de la provincia. Se seleccionó al azar 8 alumnos. Cuál es la probabilidad de que:alumnos. Cuál es la probabilidad de que:

a) Más de 6 sean del interiora) Más de 6 sean del interiorb) Exactamente 5b) Exactamente 5c) Menos de 8c) Menos de 8d) Entre 2 y 5 inclusived) Entre 2 y 5 inclusive

7.- La probabilidad de que un vendedor venda una 7.- La probabilidad de que un vendedor venda una suscripción a una revista a alguien que ha sido suscripción a una revista a alguien que ha sido seleccionado aleatoriamente del directorio telefónico seleccionado aleatoriamente del directorio telefónico es de 0,20.- Si el vendedor le habla a 10 individuos esta es de 0,20.- Si el vendedor le habla a 10 individuos esta tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que:tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) ¿No se venda ninguna suscripción?a) ¿No se venda ninguna suscripción?b) ¿Se vendan exactamente dos suscripciones?.-b) ¿Se vendan exactamente dos suscripciones?.-c) ¿Se vendan al menos dos suscripciones?.-c) ¿Se vendan al menos dos suscripciones?.-d) ¿Se vendan a lo más dos suscripciones?.-d) ¿Se vendan a lo más dos suscripciones?.-

8.- Edenor proporciona tarifas más bajas a los clientes 8.- Edenor proporciona tarifas más bajas a los clientes que prefieran las horas de menos consumo.- El 30% que prefieran las horas de menos consumo.- El 30% de sus clientes aprovechan estos ahorros.- El de sus clientes aprovechan estos ahorros.- El Departamento de Servicio a clientes han elegido a 10 Departamento de Servicio a clientes han elegido a 10 clientes al azar para que participen en un grupo de clientes al azar para que participen en un grupo de interés para discutir a que horas se produce el mayor interés para discutir a que horas se produce el mayor consumo de energía.- Al Departamento de supervisión consumo de energía.- Al Departamento de supervisión le preocupa que el grupo contenga una gran le preocupa que el grupo contenga una gran proporción de usuarios que prefieran la tarifa baja:proporción de usuarios que prefieran la tarifa baja:

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de tres a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de tres usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.-usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 4 usuarios b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 4 usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?de tarifa baja en el grupo de interés?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de ocho c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de ocho clientes normales en el grupo de interés?.-clientes normales en el grupo de interés?.-

d) ¿Cuál es la media y la desviación estándar para los d) ¿Cuál es la media y la desviación estándar para los usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.-usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.-

9.- El City Bank de cierta ciudad grande, recientemente 9.- El City Bank de cierta ciudad grande, recientemente inicio un nuevo programa de créditos.- Los clientes inicio un nuevo programa de créditos.- Los clientes que cumplen con ciertos requisitos de crédito pueden que cumplen con ciertos requisitos de crédito pueden obtener una tarjeta de crédito que es aceptada por los obtener una tarjeta de crédito que es aceptada por los comerciantes del área.- Los requisitos anteriores comerciantes del área.- Los requisitos anteriores indican que 25% de todos los solicitantes de este tipo indican que 25% de todos los solicitantes de este tipo de tarjeta son rechazados.- Dado que la aceptación o de tarjeta son rechazados.- Dado que la aceptación o rechazo de una solicitud es un proceso de Bernoulli, rechazo de una solicitud es un proceso de Bernoulli, de 20 solicitantes.- ¿Cual es la probabilidad de que:de 20 solicitantes.- ¿Cual es la probabilidad de que:

a) Exactamente 4 sean rechazadas.-a) Exactamente 4 sean rechazadas.-b) Exactamente 8 sean rechazadas.-b) Exactamente 8 sean rechazadas.-c) Sean rechazadas menos de tres.-c) Sean rechazadas menos de tres.-d) Sean rechazadas más de cinco.-d) Sean rechazadas más de cinco.-

10.- Un 10% de los empleados de producción en 10.- Un 10% de los empleados de producción en la Empresa Maidana están ausentes del trabajo la Empresa Maidana están ausentes del trabajo en un determinado día de verano.- Supóngase en un determinado día de verano.- Supóngase que se seleccionan al azar 10 trabajadores de que se seleccionan al azar 10 trabajadores de producción para un estudio riguroso del producción para un estudio riguroso del ausentismo.-ausentismo.-

a) ¿Cuál es la variable aleatoria?.a) ¿Cuál es la variable aleatoria?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de

los 10 trabajadores estén ausentes.-los 10 trabajadores estén ausentes.-c) ¿Cuál es la probabilidad que 2 o mas c) ¿Cuál es la probabilidad que 2 o mas

trabajador este ausente?.-trabajador este ausente?.-d) ¿Cuál es la probabilidad que 3 o menos d) ¿Cuál es la probabilidad que 3 o menos

trabajadores este ausente.- trabajadores este ausente.- e) Calcule la media, variancia y desvío estándar e) Calcule la media, variancia y desvío estándar

de la distribución.-de la distribución.-

11.- Cuando un cliente hace un pedido a la papelería El Coloso SRL, 11.- Cuando un cliente hace un pedido a la papelería El Coloso SRL, un sistema contable computarizado, verifica automáticamente si un sistema contable computarizado, verifica automáticamente si el cliente ha excedido o no su límite de crédito.- Los registros el cliente ha excedido o no su límite de crédito.- Los registros señalan que la probabilidad de que los clientes exceden su límite señalan que la probabilidad de que los clientes exceden su límite de crédito es de 0,05.- Suponga que durante un día determinado, de crédito es de 0,05.- Suponga que durante un día determinado, 20 clientes hicieron un pedido.- Suponga también que el número 20 clientes hicieron un pedido.- Suponga también que el número de clientes que según el sistema computarizado excedieron su de clientes que según el sistema computarizado excedieron su límite de crédito esta distribuido como variable aleatoria límite de crédito esta distribuido como variable aleatoria binomial.-binomial.-

a)a) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de clientes que excedieron su límite de crédito?.-clientes que excedieron su límite de crédito?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente exceda su límite ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente exceda su límite de crédito?.-de crédito?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo un cliente exceda su límite ¿Cuál es la probabilidad de que solo un cliente exceda su límite de crédito?.-de crédito?.-

d)d) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más clientes excedan su ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más clientes excedan su límite de crédito?.-límite de crédito?.-

12.- El ocho por ciento de los empleados de 12.- El ocho por ciento de los empleados de cierta planta automotriz recibe su sueldo cierta planta automotriz recibe su sueldo bimestral por medio de transferencias de bimestral por medio de transferencias de fondos electrónicos.- Este mecanismo recibe fondos electrónicos.- Este mecanismo recibe también el nombre de depósito directo.- también el nombre de depósito directo.- Suponga que selecciona una muestra aleatoria Suponga que selecciona una muestra aleatoria de siete empleados.-de siete empleados.-

a)a)¿Esta situación cumple las condiciones de la ¿Esta situación cumple las condiciones de la distribución binomial?.-distribución binomial?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad que a los siete ¿Cuál es la probabilidad que a los siete empleados se les haga un depósito directo?.-empleados se les haga un depósito directo?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente a ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente a cuatro se les haga depósito directo?.-cuatro se les haga depósito directo?.-

d)d) ¿Cuál es la probabilidad que dos o menos se ¿Cuál es la probabilidad que dos o menos se les haga el deposito directo?.-les haga el deposito directo?.-

13.- La rapidez con la que las compañías de servicios 13.- La rapidez con la que las compañías de servicios resuelven los problemas es de suma importancia, resuelven los problemas es de suma importancia, Telecom afirma que es capaz de resolver el 48% de los Telecom afirma que es capaz de resolver el 48% de los problemas de los clientes el mismo día en que se problemas de los clientes el mismo día en que se reportan.- Suponga que los 10 casos que se reportaron reportan.- Suponga que los 10 casos que se reportaron el día de hoy son representativos de todas las quejas.-el día de hoy son representativos de todas las quejas.-

a)a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el día de hoy?.- ¿Cuál es la desviación estándar?.-día de hoy?.- ¿Cuál es la desviación estándar?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad que hoy resuelvan ¿Cuál es la probabilidad que hoy resuelvan exactamente 8 problemas?.-exactamente 8 problemas?.-

c)c) De que hoy resuelvan 4 o 5 problemas.-De que hoy resuelvan 4 o 5 problemas.-d)d) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan 3 o ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan 3 o

menos problemas?.-menos problemas?.-e)e) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan dos o ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan dos o

más problemas?.-más problemas?.-

14.- Una compañía de cereales fue demandada por un 14.- Una compañía de cereales fue demandada por un grupo ambientalista que se oponen al uso de grupo ambientalista que se oponen al uso de empaques no biodegradables.- El juicio será con empaques no biodegradables.- El juicio será con jurado y el asesor legal de la empresa cree que el éxito jurado y el asesor legal de la empresa cree que el éxito de su defensa dependerá en gran medida del número de su defensa dependerá en gran medida del número de accionistas de la compañía entre los 9 jurados.- de accionistas de la compañía entre los 9 jurados.- Estos se eligen en forma aleatoria de una localidad en Estos se eligen en forma aleatoria de una localidad en donde se sabe que el 20% de los adultos posee donde se sabe que el 20% de los adultos posee acciones.-acciones.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que el jurado incluya ¿Cuál es la probabilidad de que el jurado incluya cuando menos a tres personas que poseen acciones?.-cuando menos a tres personas que poseen acciones?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuanto menos cinco ¿Cuál es la probabilidad de que cuanto menos cinco de los integrantes del jurado posean acciones?.-de los integrantes del jurado posean acciones?.-

15.- Usted es el Contador de la Empresa Aceitera 15.- Usted es el Contador de la Empresa Aceitera “Don Juan”.- Se ha descompuesto una “Don Juan”.- Se ha descompuesto una máquina de la empresa y le solicitan que máquina de la empresa y le solicitan que compre la pieza rota a un proveedor de Buenos compre la pieza rota a un proveedor de Buenos Aires.- Esta pieza que es enviada en lotes de Aires.- Esta pieza que es enviada en lotes de 10, sufre de una tasa de defecto del 40 por 10, sufre de una tasa de defecto del 40 por ciento.- ciento.-

a)a)Si usted no desea correr un riesgo mayor del Si usted no desea correr un riesgo mayor del 10 por ciento en la probabilidad de que cinco 10 por ciento en la probabilidad de que cinco sean defectuosas.- ¿Debería comprarle a este sean defectuosas.- ¿Debería comprarle a este Proveedor?.-Proveedor?.-

b)b) Si usted no desea correr un riesgo mayor del Si usted no desea correr un riesgo mayor del 20 por ciento en la probabilidad de que más de 20 por ciento en la probabilidad de que más de cinco salgan defectuosas.- ¿Debería cinco salgan defectuosas.- ¿Debería comprarle a este Proveedor?.-comprarle a este Proveedor?.-

16.- En una encuesta social realizada a miles de 16.- En una encuesta social realizada a miles de estudiantes con edades de 16 a 22 años de edad, sobre estudiantes con edades de 16 a 22 años de edad, sobre sus finanzas personales.- En la encuesta se encontró sus finanzas personales.- En la encuesta se encontró que el 33% de los estudiantes tienen su propia tarjeta que el 33% de los estudiantes tienen su propia tarjeta de crédito.-de crédito.-

a)a) En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de crédito?.-crédito?.-

b)b) En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos tengan su probabilidad de que por lo menos dos tengan su propia tarjeta de crédito?.-propia tarjeta de crédito?.-

c)c) En una muestra de diez estdiantes, ¿Cuál es la En una muestra de diez estdiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de crédito?.-crédito?.-

d)d) En una muestra de diez estudiantes, ¿Cuál es la En una muestra de diez estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad que más de tres estudiantes tengan su probabilidad que más de tres estudiantes tengan su propia tarjeta de crédito?.- propia tarjeta de crédito?.-

17.- El 40% de las personas que viajan por negocios 17.- El 40% de las personas que viajan por negocios llevan un teléfono celular o una computadora portátil. - llevan un teléfono celular o una computadora portátil. - En una muestra aleatoria de 20 personas; En una muestra aleatoria de 20 personas;

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan un ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan un teléfono celular o una computadora portátil?.-teléfono celular o una computadora portátil?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que doce de los viajeros ¿Cuál es la probabilidad de que doce de los viajeros no tengan ni un teléfono celular ni una computadora no tengan ni un teléfono celular ni una computadora portátil?.-portátil?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres tengan un teléfono celular o una computadora tengan un teléfono celular o una computadora portátil?.-portátil?.-

18.- Una universidad se enteró de que 20% de sus 18.- Una universidad se enteró de que 20% de sus alumnos se dan de baja después de cursar Análisis alumnos se dan de baja después de cursar Análisis Matemático.- Suponga que este cuatrimestre se Matemático.- Suponga que este cuatrimestre se inscribieron 20 alumnos a ese curso.-inscribieron 20 alumnos a ese curso.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos se den de ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos se den de baja?.-baja?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja exactamente cuatro?.-exactamente cuatro?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja más de ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja más de tres?.-tres?.-

d)d) ¿Cuál es la cantidad esperada de deserciones?.-¿Cuál es la cantidad esperada de deserciones?.-

19.- El 48% de las industrias manufactureras del país de 19.- El 48% de las industrias manufactureras del país de tamaño mediano, planearon visitas de representantes tamaño mediano, planearon visitas de representantes de su administraciones a Brasil y Venezuela para de su administraciones a Brasil y Venezuela para aprovechar ciertas condiciones y oportunidades que aprovechar ciertas condiciones y oportunidades que daba el Tratado de Comercialización del Mercosur.- Un daba el Tratado de Comercialización del Mercosur.- Un grupo exportador e importador de Brasil invitó a 20 grupo exportador e importador de Brasil invitó a 20 manufactureras de Argentina medianas a participar en manufactureras de Argentina medianas a participar en una conferencia con el fin investigar las oportunidades una conferencia con el fin investigar las oportunidades de negocios.-de negocios.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que 12 o más de estas ¿Cuál es la probabilidad de que 12 o más de estas empresas manden representantes?.-empresas manden representantes?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de estas empresas ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de estas empresas manden representantes?.-manden representantes?.-

c)c) ¿Cuántas de estas empresas espera el lector que ¿Cuántas de estas empresas espera el lector que manden representantes?.-manden representantes?.-

d)d) ¿Cuáles son los valores de la variancia y del disvío ¿Cuáles son los valores de la variancia y del disvío estándar de la cantidad de empresas que mandan estándar de la cantidad de empresas que mandan representantes?.-representantes?.-

20.- El 5% de los camioneros de EEUU son mujeres.- 20.- El 5% de los camioneros de EEUU son mujeres.- Suponga que se seleccionan al azar a 10 camioneros Suponga que se seleccionan al azar a 10 camioneros para una encuesta sobre sus verdaderas condiciones para una encuesta sobre sus verdaderas condiciones de trabajo.-de trabajo.-

a) Es un experimento binomial la selección de 10 a) Es un experimento binomial la selección de 10 camioneros?.- Explique su respuesta.-camioneros?.- Explique su respuesta.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camioneros b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camioneros sean mujeres?.-sean mujeres?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los c) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los camioneros sean mujer?.-camioneros sean mujer?.-

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea una d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea una mujer?.-mujer?.-

VEAMOS LA DISTRIBUCION BINOMIAL MEDIANTE UN PAQUETE ESTADISTICO COMO MINITAB, ETC.-

LA DISTRIBUCIONLA DISTRIBUCION

DEDE

PROBABILIDAD DE PROBABILIDAD DE POISSON.-POISSON.-

La distribución de Poisson fue propuesta por primera La distribución de Poisson fue propuesta por primera vez por Simón Poisson (1781- 1840) en un libro vez por Simón Poisson (1781- 1840) en un libro publicado en 1837.- El numero de aplicaciones publicado en 1837.- El numero de aplicaciones comenzó a aumentar a principios del siglo XX y la comenzó a aumentar a principios del siglo XX y la aparición del computador ha permitido aumentarlas aparición del computador ha permitido aumentarlas en el siglo XXI.-en el siglo XXI.-

La distribución de Poisson es una importante distribución de La distribución de Poisson es una importante distribución de probabilidad discreta para algunas aplicaciones, entre las que probabilidad discreta para algunas aplicaciones, entre las que se encuentra las siguientes;se encuentra las siguientes;

• El numero de fallas de un sistema informático en un día dado.-El numero de fallas de un sistema informático en un día dado.-

• El numero de pedidos de sustitución de una pieza recibidas El numero de pedidos de sustitución de una pieza recibidas por una empresa en un mes dado,.por una empresa en un mes dado,.

• La cantidad de personas en la cola de un Supermercado para La cantidad de personas en la cola de un Supermercado para pagar su compra durante un intervalo de tiempo determinado.-pagar su compra durante un intervalo de tiempo determinado.-

• El numero de barcos que llegan a una Terminal de El numero de barcos que llegan a una Terminal de carga durante un periodo de seis horas.-carga durante un periodo de seis horas.-

• El numero de camiones de reparto que llegan a un El numero de camiones de reparto que llegan a un almacén central en un hora.-almacén central en un hora.-

• El numero de llamadas que recibe un conmutador El numero de llamadas que recibe un conmutador durante cierto tiempo.-durante cierto tiempo.-

• El numero de clientes que llegan a tomar un vuelo El numero de clientes que llegan a tomar un vuelo cada 15 minutos entre las 3 y las 6 de la tarde durante cada 15 minutos entre las 3 y las 6 de la tarde durante dos días de la semana.-dos días de la semana.-

• El número de bacterias en un volumen pequeño de El número de bacterias en un volumen pequeño de líquido.-líquido.-

• El número de averías de una máquina un día dado.-El número de averías de una máquina un día dado.-

• El número de accidentes de tránsito en una calle El número de accidentes de tránsito en una calle determinada.-determinada.-

Podemos utilizar la distribución de Poisson para Podemos utilizar la distribución de Poisson para hallar las probabilidades de cada una de las hallar las probabilidades de cada una de las variables aleatorias de los ejemplos que hemos variables aleatorias de los ejemplos que hemos planteado; que se caracterizan por ser el planteado; que se caracterizan por ser el numero de ocurrencia o de éxitos de un evento numero de ocurrencia o de éxitos de un evento en un intervalo continuo dado como, el tiempo, en un intervalo continuo dado como, el tiempo, superficie, longitud o volumen, durante el que superficie, longitud o volumen, durante el que se puede esperar que ocurra un promedio se puede esperar que ocurra un promedio λλ de de tales eventos.-tales eventos.-

LA DISTRIBUCION DE POISSON SE BASA EN CIERTOS SUPUESTOS, QUE DEBEMOS TENER

EN CUENTA:

Supongamos que un intervalo esta dividido en un gran numero de Supongamos que un intervalo esta dividido en un gran numero de subintervalos de manera que la probabilidad de que ocurra un subintervalos de manera que la probabilidad de que ocurra un evento de cualquier subintervalo es muy pequeña.evento de cualquier subintervalo es muy pequeña.

1.- La probabilidad deque ocurra un evento es constante en todos

los subintervalos

2.- No puede habermas de una

ocurrencia encada subintervalo

3.- Las ocurrencias sonindependientes es decir, las ocurrencias

en intervalos queno se solapan

son independientesentre si.-

Podemos formular directamente la ecuación para calcular Podemos formular directamente la ecuación para calcular probabilidades de Poisson a partir de la distribución probabilidades de Poisson a partir de la distribución binomial tomando los limites matemáticos cuando p → binomial tomando los limites matemáticos cuando p → 0 y n → ∞.- Con estos limites, el parámetro 0 y n → ∞.- Con estos limites, el parámetro λλ = n . p = n . p es una constante que especifica el numero medio de es una constante que especifica el numero medio de ocurrencia (éxitos) en un determinado tiempo y/o ocurrencia (éxitos) en un determinado tiempo y/o espacio.- espacio.-

Se dice que la variable aleatoria X sigue la distribución de Probabilidad de Poisson,

entonces

La probabilidad de que este evento ocurra x veces es,La probabilidad de que este evento ocurra x veces es,

P ( X = x) = -----------------------P ( X = x) = -----------------------

Para valores de x = 0, 1, 2, 3…………….. Para valores de x = 0, 1, 2, 3……………..

xx - - λλλ ee

X !X !

La Media, La Media, Variancia y Variancia y

la la Desviación Desviación

Estándar Estándar son: son:

E (X) = μ = λ

σ² = E [ (X - μ)² ] = λ

σ = λ

El símbolo e = 2,71828 se puede calcular con una calculadora El símbolo e = 2,71828 se puede calcular con una calculadora científica, que debe tener una función como e .- científica, que debe tener una función como e .-

Para cada valor de x se puede obtener las probabilidades Para cada valor de x se puede obtener las probabilidades individuales de la variable aleatoria de Poisson, de la misma manera individuales de la variable aleatoria de Poisson, de la misma manera que en que procedió para la variable aleatoria binomial.- que en que procedió para la variable aleatoria binomial.-

De manera alternativa se puede usar la Tabla de la Distribución de De manera alternativa se puede usar la Tabla de la Distribución de Poisson del Compendio de Tablas Estadística, para valores de (x; Poisson del Compendio de Tablas Estadística, para valores de (x; ΛΛ).-).-

Recordemos que como en todas las distribuciones se puede aplicar Recordemos que como en todas las distribuciones se puede aplicar la Distribución acumulada, donde:la Distribución acumulada, donde:

P (X ≤ x) = ∑ P (X = x) P (X ≤ x) = ∑ P (X = x) para x = 0, 1, 2, ………………para x = 0, 1, 2, ………………

En algunas situaciones nos conviene usar el complemento.- Es En algunas situaciones nos conviene usar el complemento.- Es decir,decir,

P (X ≥ x) = 1 - P (X ≤ x) P (X ≥ x) = 1 - P (X ≤ x) Para tener en claro una distribución de probabilidad es importante Para tener en claro una distribución de probabilidad es importante conocer la forma de la distribución.- conocer la forma de la distribución.-

xx

La forma de la distribución de Poisson es asimétrica a La forma de la distribución de Poisson es asimétrica a derecha, dependiendo del valor de derecha, dependiendo del valor de λλ.- A medida que .- A medida que λλ se se hace más grande la distribución tiende a ser simétrica.-hace más grande la distribución tiende a ser simétrica.-

λλ = 0,5 = 0,5 λλ = 6 = 6

Ejemplo 1.- El promedio de accidentes de tránsito que ocurren en un Ejemplo 1.- El promedio de accidentes de tránsito que ocurren en un tramo de ruta es de dos por semana.- Suponga que el número de tramo de ruta es de dos por semana.- Suponga que el número de accidente sigue una distribución de Poisson con accidente sigue una distribución de Poisson con λλ = 2.- = 2.-

a) Obtenga la probabilidad de que ningún accidente ocurra en este a) Obtenga la probabilidad de que ningún accidente ocurra en este tramo de ruta durante un semana.-tramo de ruta durante un semana.-

b) Encuentre la probabilidad de que a lo más ocurran tres b) Encuentre la probabilidad de que a lo más ocurran tres accidentes en este tramo de ruta durante dos semanas.-accidentes en este tramo de ruta durante dos semanas.-

SoluciónSolución

2 e2 e

a) P (X = 0) = ------------------- = e = 0,135335a) P (X = 0) = ------------------- = e = 0,135335

0 !0 !

b) b) λλ = 2 * 2 = 4 = 2 * 2 = 4

P ( X ≤ 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = P ( X ≤ 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) =

= 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 == 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 =

= 0,433471 = 0,433471 43 % 43 %

00 -2-2

-2-2

EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

1.- Andrés Sosa, director de un centro informático, informa de que su sistema informático ha experimentado tres fallos de componentes en los 100 últimos días.-

a)¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún fallo en un día dado?.-

b) ¿ Cuál es la probabilidad de que haya uno o mas fallos de componentes en un día dado?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos fallos en un periodo de tres días?.-

2.- Los clientes llegan a una fotocopiadora a una tasa media de dos cada cinco minutos.- Suponga que estas llegadas son independientes, que la llegada es constante y que este sigue un modelo de Poisson, donde X representa el numero de clientes que llegan en un periodo de cinco minutos y la media λ = 2-

a)Halle la probabilidad de que lleguen mas de dos clientes en un periodo de cinco minutos.-

b) Halle la probabilidad de que lleguen tres o menos clientes en un periodo de cinco minutos.-

c) Halle la probabilidad de que no llegue ningún cliente en un periodo de cinco minutos.

3.- En cierta zona urbana, los funcionarios de la salud proveen que el numero de nacimientos este año será igual al del año anterior, cuando nacieron 438 niños, un promedio de 438/365 = 1,2 nacimientos por día.- Los nacimientos diarios han resultado distribuidos según una distribución de Poisson:

a) ¿Cuál es la media de la distribución?.-

b) Para cualquier día especifico, ¿Cuál es la probabilidad de que no nazcan niños?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día especifico nazcan 7 o menos niños.-

d) ¿Cuál es la probabilidad de que no hay mas de un nacimiento en un día especifico?.-

Distribución de Poisson como forma

limitante de la binomial.-

Aunque la distribución de Poisson por lo general Aunque la distribución de Poisson por lo general encuentra aplicaciones en problemas de espacio y encuentra aplicaciones en problemas de espacio y tiempo como se vio en los ejemplos anteriores, se tiempo como se vio en los ejemplos anteriores, se puede ver como una forma limitante de la distribución puede ver como una forma limitante de la distribución binomial.-binomial.-

En el caso de la binomial, En el caso de la binomial, si n es bastante grande y p es si n es bastante grande y p es pequeñapequeña, las condiciones comienzan a simular las , las condiciones comienzan a simular las implicaciones de espacio continuo o región temporal del implicaciones de espacio continuo o región temporal del proceso de Poisson.- La independencia entre las proceso de Poisson.- La independencia entre las pruebas de Bernoulli en el caso Binomial es consistente pruebas de Bernoulli en el caso Binomial es consistente con la propiedad 2 del proceso de Poisson.- Si se hace con la propiedad 2 del proceso de Poisson.- Si se hace al parámetro p cercano a cero se relaciona con la al parámetro p cercano a cero se relaciona con la propiedad 3.- En realidad, derivaremos ahora la propiedad 3.- En realidad, derivaremos ahora la distribución de Poisson como forma limitante de la distribución de Poisson como forma limitante de la distribución binomial cuando n distribución binomial cuando n →∞ , p → 0 y n p →∞ , p → 0 y n p permanece constante.-permanece constante.-

Ejemplo 1.- En un proceso de fabricación donde se Ejemplo 1.- En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable para su venta.- Se sabe que, en promedio uno indeseable para su venta.- Se sabe que, en promedio uno de cada 1000 de estos artículos que se producen tiene una de cada 1000 de estos artículos que se producen tiene una o más burbujas.- ¿Cuál es la probabilidad de que una o más burbujas.- ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tenga menos de siete artículos muestra aleatoria de 8000 tenga menos de siete artículos con burbujas?.-con burbujas?.-

Solución.-Solución.-

De aquí, si n es grande y p cercano a 0, se puede usar la distribución De aquí, si n es grande y p cercano a 0, se puede usar la distribución de Poisson con de Poisson con μμ = = λλ = n p para aproximar probabilidades = n p para aproximar probabilidades binomiales.- Si p es cercano a 1, aún podemos utilizar la distribución binomiales.- Si p es cercano a 1, aún podemos utilizar la distribución de Poisson para aproximar probabilidades binomiales, mediante el de Poisson para aproximar probabilidades binomiales, mediante el intercambio de los que definimos como éxito y fracaso, cambiamos intercambio de los que definimos como éxito y fracaso, cambiamos con ello p a un valor cercano a 0.-con ello p a un valor cercano a 0.-

b ( x; n; p) b ( x; n; p) → p ( x; → p ( x; λλ ) )

Este es en esencia un experimento binomial con n = Este es en esencia un experimento binomial con n = 8000 y 8000 y

p = 0,001 .- Como p es muy cercano a cero y n es p = 0,001 .- Como p es muy cercano a cero y n es bastante grande, haremos la aproximación con la bastante grande, haremos la aproximación con la distribución de Poisson utilizando,distribución de Poisson utilizando,

μμ = = λλ = n p = 8000 * 0,001 = 8 = n p = 8000 * 0,001 = 8

De aquí, si X representa el número de burbujas, De aquí, si X representa el número de burbujas, tenemos:tenemos:

P ( X < 7) = P (X ≤ 6) = P ( X < 7) = P (X ≤ 6) = ∑∑ p (x; 8,0) = 0,3134 p (x; 8,0) = 0,3134

31%31%

Ejemplo 2.- Suponga que una compañía de seguro de Ejemplo 2.- Suponga que una compañía de seguro de vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad.- Si los vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad.- Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre de 42 años muera en un cierto año es de un hombre de 42 años muera en un cierto año es de 0,001, calcule la probabilidad exacta de que la compañía 0,001, calcule la probabilidad exacta de que la compañía pague x = 4 demandas durante un año dado.-pague x = 4 demandas durante un año dado.-

SoluciónSolución

La probabilidad exacta esta dada por la distribución La probabilidad exacta esta dada por la distribución binomial ya que el problema cumple sus características.- binomial ya que el problema cumple sus características.- Como su calculo binomial puede ser engorroso, se utiliza Como su calculo binomial puede ser engorroso, se utiliza la aproximación a Poisson para su calculo.-la aproximación a Poisson para su calculo.-

λλ = n p = 5000 0,001 = 5 = n p = 5000 0,001 = 5

P (X = 4; P (X = 4; ΛΛ = 5,0) = 0,175 = 5,0) = 0,175 18% 18%

EJERCICIO PARA HACER EN CLASEEJERCICIO PARA HACER EN CLASE

Un analista económico ha predicho que el 3,5 por ciento Un analista económico ha predicho que el 3,5 por ciento de todas las pequeñas empresas quebrara el próximo de todas las pequeñas empresas quebrara el próximo año.- Suponiendo que la producción del analista es año.- Suponiendo que la producción del analista es correcta, en una muestra aleatoria de 100 empresas,correcta, en una muestra aleatoria de 100 empresas,

a)a) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre al Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre al menos tres pequeñas empresas.-menos tres pequeñas empresas.-

b)b) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre menos de cuatro pequeñas empresas.-menos de cuatro pequeñas empresas.-

c)c) Estime la probabilidad de que el próximo año no Estime la probabilidad de que el próximo año no quiebre ninguna pequeña empresa.-quiebre ninguna pequeña empresa.-

d)d) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebren Estime la probabilidad de que el próximo año quiebren tres o menos pequeñas empresas.- tres o menos pequeñas empresas.-

VEAMOS UN EJEMPLO, USANDO EL PROGRAMA

MINITAB

Un fabricante de podadoras de césped compra con un Un fabricante de podadoras de césped compra con un proveedor motores de dos tiempos y un caballo de proveedor motores de dos tiempos y un caballo de fuerza en lotes de 1000.- A cada podadora producida en fuerza en lotes de 1000.- A cada podadora producida en la planta se le coloca un motor.- En los registros se la planta se le coloca un motor.- En los registros se observa que la probabilidad de que cualquier motor del observa que la probabilidad de que cualquier motor del proveedor resulte insatisfactorio es 0,001.- En un proveedor resulte insatisfactorio es 0,001.- En un embarque de 1000 motores, ¿Cuál es la probabilidad de embarque de 1000 motores, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno resulte defectuoso?, ¿tres?, ¿cuatro?.- que ninguno resulte defectuoso?, ¿tres?, ¿cuatro?.- Cual es la probabilidad de que 3 o más sean Cual es la probabilidad de que 3 o más sean defectuosas?.-defectuosas?.-

SoluciónSolución

n = 1000 y p = 0,001 El número esperado de n = 1000 y p = 0,001 El número esperado de artículos defectuosos en un embarque de 1000 será:artículos defectuosos en un embarque de 1000 será:

λλ = = μμ = n * p = 1000 * 0,001 = 1 = n * p = 1000 * 0,001 = 1

Este es un problema binomial que lo resolvemos por Este es un problema binomial que lo resolvemos por Poisson: Poisson:

Función de densidad de probabilidad

Poisson con media = 1

x P( X = x ) 0 0,367879 1 0,367879 2 0,183940 3 0,061313 4 0,015328 5 0,003066 6 0,000511 7 0,000073 8 0,000009 9 0,00000110 0,000000

Función de distribución acumulada

Poisson con media = 1

x P( X <= x ) 0 0,36788 1 0,73576 2 0,91970 3 0,98101 4 0,99634 5 0,99941 6 0,99992 7 0,99999 8 1,00000 9 1,0000010 1,00000

P (X = 0) = 0.367879 P (X = 0) = 0.367879

P (X = 3) = 0.061313 P (X = 3) = 0.061313

P (X = 4) = 0,015328P (X = 4) = 0,015328

P (X P (X ≥ 3) = 1 - P (X ≤ 2) = ≥ 3) = 1 - P (X ≤ 2) =

= 1 - = 1 - 0,91970 = 0.0803 0,91970 = 0.0803 → 8 %→ 8 %

EJERCICIOS EJERCICIOS VARIADOSVARIADOS

1.- Los clientes llegan a una caja registradora ocupada a 1.- Los clientes llegan a una caja registradora ocupada a una tasa media de tres por minuto.- Si la llegada sigue una tasa media de tres por minuto.- Si la llegada sigue una distribución de Poisson, halle la probabilidad de que una distribución de Poisson, halle la probabilidad de que en un minuto dado lleguen dos clientes o menos.-en un minuto dado lleguen dos clientes o menos.-

2.- El numero de accidentes que se producen en una 2.- El numero de accidentes que se producen en una fabrica tiene una distribución de Poisson con una fabrica tiene una distribución de Poisson con una media de 2,6 .-media de 2,6 .-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de dos ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de dos accidente en un mes dado?.-accidente en un mes dado?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya mas de tres ¿Cuál es la probabilidad de que haya mas de tres accidente en un mes dado?.-accidente en un mes dado?.-

3.- Un profesor recibe por termino medio 4,2 llamadas 3.- Un profesor recibe por termino medio 4,2 llamadas telefónicas de los estudiantes el día antes del examen telefónicas de los estudiantes el día antes del examen final.- Si las llamadas siguen una distribución de final.- Si las llamadas siguen una distribución de Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos tres llamadas ese día?.-tres llamadas ese día?.-

4.- Los datos indican que en la hora pico de la mañana 4.- Los datos indican que en la hora pico de la mañana se producen por termino medio 3,2 colisiones al día en se producen por termino medio 3,2 colisiones al día en una vía urbana.- Suponga que la distribución de una vía urbana.- Suponga que la distribución de Poisson:Poisson:

a)a) Halle la probabilidad de que en un día dado se Halle la probabilidad de que en un día dado se produzca menos de dos colisiones en esta vía durante produzca menos de dos colisiones en esta vía durante la hora pico de la mañana.-la hora pico de la mañana.-

b)b) Halle la probabilidad de que en un día dado se Halle la probabilidad de que en un día dado se produzcan mas de cuatro colisiones en esta vía produzcan mas de cuatro colisiones en esta vía durante la hora pico de la mañana.-durante la hora pico de la mañana.-

5.- Hacienda ha informado de que el 5,5 por ciento de 5.- Hacienda ha informado de que el 5,5 por ciento de todos los contribuyentes comete errores al rellenar los todos los contribuyentes comete errores al rellenar los impresos de declaraciones de impuestos a las rentas.- Si impresos de declaraciones de impuestos a las rentas.- Si se eligen aleatoriamente 100 declaraciones , ¿Cuál es la se eligen aleatoriamente 100 declaraciones , ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 3 contengan errores?.-probabilidad de que menos de 3 contengan errores?.-

6.- Una empresa tiene 250 computadores personales.- La 6.- Una empresa tiene 250 computadores personales.- La probabilidad de que uno cualquiera de ellos necesite una probabilidad de que uno cualquiera de ellos necesite una reparación en una semana dada es de 0,01.-reparación en una semana dada es de 0,01.-

Halle la probabilidad de que menos de 4 de los Halle la probabilidad de que menos de 4 de los computadores personales necesiten una reparación en computadores personales necesiten una reparación en una semana dada.-una semana dada.-

7.- Una compañía de seguro tiene 6000 pólizas de seguro contra las 7.- Una compañía de seguro tiene 6000 pólizas de seguro contra las estafas con otras tantas empresas.- En un año dado, la probabilidad estafas con otras tantas empresas.- En un año dado, la probabilidad de que una póliza genere una reclamación es de 0,001.- Halle la de que una póliza genere una reclamación es de 0,001.- Halle la probabilidad de que se presenten al menos tres reclamaciones en probabilidad de que se presenten al menos tres reclamaciones en un año dado.-un año dado.-

8.- 8.- .- Un departamento de reparación de maquinaria recibe .- Un departamento de reparación de maquinaria recibe un promedio de cinco solicitudes de servicio por hora.- un promedio de cinco solicitudes de servicio por hora.-

¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente tres solicitudes en una hora seleccionada al azar?tres solicitudes en una hora seleccionada al azar?

¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres llamadas en una hora elegida al azar?llamadas en una hora elegida al azar?

9.- 9.- En promedio, cada hora cinco personas realizan En promedio, cada hora cinco personas realizan transacciones en el mostrador de servicios especiales transacciones en el mostrador de servicios especiales de un banco.- Suponiendo que la llegada de esas de un banco.- Suponiendo que la llegada de esas personas tiene una distribución independiente e personas tiene una distribución independiente e igualmente probable en todo el período de interés, igualmente probable en todo el período de interés, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas deseen realizar transacciones en el mostrador de deseen realizar transacciones en el mostrador de servicios especiales en una hora específica?servicios especiales en una hora específica?

10.- Se certifica la calidad de los discos para 10.- Se certifica la calidad de los discos para computadora pasándolos por un certificador computadora pasándolos por un certificador que cuenta el número de pulsos faltantes.- Una que cuenta el número de pulsos faltantes.- Una determinada marca de discos para determinada marca de discos para computadoras tiene en promedio 0,10 pulsos computadoras tiene en promedio 0,10 pulsos faltantes por discos.- Calcular la probabilidad faltantes por discos.- Calcular la probabilidad de que:de que:

a) Al siguiente disco que se inspecciona no le a) Al siguiente disco que se inspecciona no le falte pulsos.-falte pulsos.-

b) Al siguiente disco que se inspecciona le falte b) Al siguiente disco que se inspecciona le falte más de un pulso.-más de un pulso.-

c) A ninguno de los dos discos inspeccionados c) A ninguno de los dos discos inspeccionados le falte pulso.-le falte pulso.-

11.- 11.- Considere que los empleados de facturación Considere que los empleados de facturación rara vez cometen errores en la captura de datos rara vez cometen errores en la captura de datos de facturas.- Desde luego, muchas de estas no de facturas.- Desde luego, muchas de estas no tienen errores, algunas tienen uno, unas tienen errores, algunas tienen uno, unas cuentas tienen dos, y rara vez una factura cuentas tienen dos, y rara vez una factura tendrá tres errores y así sucesivamente.- Una tendrá tres errores y así sucesivamente.- Una muestra aleatoria de 1000 facturas reveló 300 muestra aleatoria de 1000 facturas reveló 300 errores.- errores.-

a) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar a) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar errores en una factura seleccionada al azar?.-errores en una factura seleccionada al azar?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad que haya menos de b) ¿Cuál es la probabilidad que haya menos de dos errores en una factura seleccionada al dos errores en una factura seleccionada al azar?.azar?.

12.- 12.- La señora García esta encargada de los La señora García esta encargada de los prestamos de un banco.- Con base en sus prestamos de un banco.- Con base en sus años de experiencia, estima que la años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar oportunamente su préstamo es capaz de pagar oportunamente su préstamo es de 0,025.- El mes pasado realizó 40 de 0,025.- El mes pasado realizó 40 prestamos.- prestamos.-

a) ¿Cuál es la probabilidad que 3 prestamos no a) ¿Cuál es la probabilidad que 3 prestamos no se paguen a oportunamente?.-se paguen a oportunamente?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos 3 b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos 3 prestamos no se paguen oportunamente?.-prestamos no se paguen oportunamente?.-

13.- Los sábados a la mañana, los clientes entran 13.- Los sábados a la mañana, los clientes entran a un centro comercial suburbano a una tasa a un centro comercial suburbano a una tasa esperada de 0,50 por minutos.-esperada de 0,50 por minutos.-

Sea X el número de clientes que entran en un Sea X el número de clientes que entran en un intervalo específico de 10 minutos.- Encuentre intervalo específico de 10 minutos.- Encuentre las siguientes probabilidades:las siguientes probabilidades:

a)a)Exactamente tres clientes.-Exactamente tres clientes.-b)b) Tres o menos clientes.-Tres o menos clientes.-c)c) Cuatro o más clientes.-Cuatro o más clientes.-d)d) Entre 4 y 10 clientes, inclusive.- Entre 4 y 10 clientes, inclusive.-

14.- Supongamos que examinamos el número de 14.- Supongamos que examinamos el número de clientes que llegan durante la hora del clientes que llegan durante la hora del almuerzo a un banco localizado en el distrito almuerzo a un banco localizado en el distrito comercial central de una gran ciudad.- comercial central de una gran ciudad.- Cualquier llegada de un cliente es un evento Cualquier llegada de un cliente es un evento discreto en un punto particular sobre el discreto en un punto particular sobre el intervalo continuo de una hora.- Si en intervalo continuo de una hora.- Si en promedio 0,05 clientes llegan por segundo.- promedio 0,05 clientes llegan por segundo.- Cual es la probabilidad de que en un minuto Cual es la probabilidad de que en un minuto dado lleguen:dado lleguen:

a) Exactamente dos clientes.-a) Exactamente dos clientes.-b) Más de dos clientes.-b) Más de dos clientes.-c) 4 o menos clientes.-c) 4 o menos clientes.-

15.- Se estima que 0,5 por ciento de las llamadas 15.- Se estima que 0,5 por ciento de las llamadas a la casa de gobierno reciben la señal de a la casa de gobierno reciben la señal de ocupado.- ¿Cuál es la probabilidad de que las ocupado.- ¿Cuál es la probabilidad de que las 1200 llamadas telefónicas del día de hoy:1200 llamadas telefónicas del día de hoy:

a) Al menos 5 hayan recibido la señal de a) Al menos 5 hayan recibido la señal de ocupado.-ocupado.-

b)b)Tres o más hayan recibido la señal de Tres o más hayan recibido la señal de ocupado.-ocupado.-

c)c) 4 o menos hayan recibido la señal de 4 o menos hayan recibido la señal de ocupado.- ocupado.-

16.- A un conmutador de la oficina principal de la 16.- A un conmutador de la oficina principal de la compañía llegan llamadas a un promedio de compañía llegan llamadas a un promedio de dos por minutos y se sabe que tiene una dos por minutos y se sabe que tiene una distribución de Poisson.- Si el operador esta distribución de Poisson.- Si el operador esta distraído por un minuto.- ¿Cuál es la distraído por un minuto.- ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas no probabilidad de que el número de llamadas no respondidas sea: respondidas sea:

a)a)Ninguna.-Ninguna.-b)b) Por lo menos una.-Por lo menos una.-c)c) Entre tres y cinco inclusive.-Entre tres y cinco inclusive.-d)d) ¿Cuál es la probabilidad, si el operador se ¿Cuál es la probabilidad, si el operador se

distrae por cuatro minutos?, en los incisos distrae por cuatro minutos?, en los incisos anteriores.- anteriores.-

17.- La compañía Citizen se enorgullece de 17.- La compañía Citizen se enorgullece de cumplir con sus fechas de entrega.- Luís cumplir con sus fechas de entrega.- Luís Rocca, el presidente, presume que de cada 100 Rocca, el presidente, presume que de cada 100 pedidos 98 se entregan a tiempo.-pedidos 98 se entregan a tiempo.-

Durante un período de una semana se Durante un período de una semana se procesaron 80 ordenes.- Suponiendo que lo procesaron 80 ordenes.- Suponiendo que lo que dice Rocca es cierto, averigüé las que dice Rocca es cierto, averigüé las siguientes probabilidades:siguientes probabilidades:

a)a)De que dos ordenes no se entreguen a tiempoDe que dos ordenes no se entreguen a tiempob)b) De que menos de tres ordenes no se De que menos de tres ordenes no se

entreguen a tiempo.-entreguen a tiempo.-c)c) De que seis ordenes o más no se entreguen a De que seis ordenes o más no se entreguen a

tiempo.-tiempo.-

18.- Al departamento de reservaciones de Aerolíneas 18.- Al departamento de reservaciones de Aerolíneas Argentina llegan en promedio 48 llamadas por hora.-Argentina llegan en promedio 48 llamadas por hora.-

a)a) Calcule la probabilidad de recibir tres llamadas en un Calcule la probabilidad de recibir tres llamadas en un intervalo de cinco minutos.-intervalo de cinco minutos.-

b)b) Calcule la probabilidad de recibir exactamente 10 Calcule la probabilidad de recibir exactamente 10 llamadas en 15 minutos.-llamadas en 15 minutos.-

c)c) Suponga que actualmente no hay llamadas Suponga que actualmente no hay llamadas esperando.- Si el agente tarda cinco minutos en esperando.- Si el agente tarda cinco minutos en atender una llamada, ¿Cuántas llamadas cree que atender una llamada, ¿Cuántas llamadas cree que estarán esperando cuando cuelgue el teléfono?.-¿Cuál estarán esperando cuando cuelgue el teléfono?.-¿Cuál es la probabilidad de que ninguna este esperando?.-es la probabilidad de que ninguna este esperando?.-

d)d) Si actualmente no hay llamadas pendientes, ¿Cuál es Si actualmente no hay llamadas pendientes, ¿Cuál es la probabilidad de que el agente pueda ausentarse la probabilidad de que el agente pueda ausentarse tres minutos sin interferir con la atención a las tres minutos sin interferir con la atención a las llamadas?.- llamadas?.-

19.- El promedio anual de las veces que los suscriptores 19.- El promedio anual de las veces que los suscriptores de cierta revista económica toman vuelos locales por de cierta revista económica toman vuelos locales por motivos personales es 4.- motivos personales es 4.-

a)¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome dos a)¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome dos vuelos locales en un año por motivos personales?.-vuelos locales en un año por motivos personales?.-

b) ¿Cuál es la cantidad promedio de vuelos locales por b) ¿Cuál es la cantidad promedio de vuelos locales por motivos personales en un trimestre?.-motivos personales en un trimestre?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome uno o más vuelos locales por motivos personales uno o más vuelos locales por motivos personales durante un semestre?.- durante un semestre?.-

20.- Las actividades de inversión de los suscriptores del diario Wall 20.- Las actividades de inversión de los suscriptores del diario Wall Street, muestran que la cantidad promedio anual de Street, muestran que la cantidad promedio anual de transacciones de acciones es aproximadamente 15.- Suponga que transacciones de acciones es aproximadamente 15.- Suponga que determinado inversionista hace sus transacciones con esta determinado inversionista hace sus transacciones con esta frecuencia.-frecuencia.-

Además, suponga que la probabilidad de una Además, suponga que la probabilidad de una transacción para este inversionista, es igual para dos transacción para este inversionista, es igual para dos meses cualquiera y que las transacciones en un mes meses cualquiera y que las transacciones en un mes es independientes de las que hace en cualquier otro es independientes de las que hace en cualquier otro mes.-mes.-

a)a) ¿Cuál es la cantidad promedio de transacciones por ¿Cuál es la cantidad promedio de transacciones por mes?.-mes?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya transacciones ¿Cuál es la probabilidad de que no haya transacciones de acciones durante un mes?.-de acciones durante un mes?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente una ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente una transacción durante un mes?.-transacción durante un mes?.-

d)d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de una ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de una transacción durante un mes?.-transacción durante un mes?.-

Veamos distribución de Poisson mediante programas estadístico Minitab.-