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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Probabilidad
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Ejemplo de repaso
Use la siguiente distribución de probabilidad
para contestar las preguntas.
X P(x)
0 0.22
1 0.08
2 ?
3 0.35
4 0.15
5 0.15
a. P(x = 2) =
b. P(x < 3) =
c. P(x ≠ 3) =
d. P(x < 5) =
= 0.85
P(0) + P(1) + P(2)
1 – P(3)
P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)
P(2) + P(3) + P(4) + P(5) e. P(x es al menos 2) =
Criterios para un experimento de probabilidad binomial
Un experimento se dice que es un experimento binomial si
1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces.
Cada repetición del experimento se llama un ensayo.
2. Los ensayos son independientes.
3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes: el éxito o el fracaso.
4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento.
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Notación usada en la distribución de probabilidad binomial
• Número de ensayos independientes del experimento se denota n
• Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 – p, la probabilidad de fracaso.
• Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces los valores posibles de x están entre 0,1,2, …, n.
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(a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 7.
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
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Solución:
EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no
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Solución:
(b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas.
La distribución de probabilidad binomial usando un árbol
En una escuela superior se ha determinado, que el 80% de los estudiantes ha copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar. Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron. Solución: X es una variable aleatoria discreta.
P(copia)= 0.8 P(no-copia)= 0.2
número de ensayos = 3
(cont.) P(éxito)= 0.8 P(no-éxito)= 0.2
• La distribución de probabilidad para X es:
CCC
CC𝐂
C𝐂 C
C𝐂 𝐂 𝐂 CC
𝐂 𝑪𝐂
𝐂 𝑪𝐂
𝐂 𝐂 C
valor de X
3
2
2
1
2
1 1
0
X P(x)
0
1
2
3 0.128+0.128+0.128= 0.384
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La distribución de probabilidad binomial con fórmula
La probabilidad de obtener x número de éxitos
en n ensayos independientes en un experimento
de probabilidad binomial es
𝑃 𝑥 = ( 𝐶𝑥)( 𝑝𝑥)𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
donde
• x = 0, 1, 2, …, n
• p es la probabilidad de éxito
• 𝒏𝑪𝒙 es el número de combinaciones de n
objetos tomando x a la vez.
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al
menos 3 automóviles.
(a)En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál
es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3
autos?
6-10
Interpretación: • La probabilidad de elegir aleatoriamente exactamente 5
hogares con al menos 3 autos es 0.1272 • Si se eligen 5 hogares en 100 ensayos diferentes, se espera
que en aproximadamente 13 ensayos se encontrarán 5 hogares que poseen al menos de 3 autos.
n = 20, x = 5, p = 0.35, 1-p = 0.65
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑝𝑥
𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o
más automóviles.
(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, ¿cuál es
la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches? ?
6-11
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑝𝑥
𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
𝑃 𝑋 < 4 = 𝐶0(0.35)0
20 0.65 20 + 𝐶1(0.35)1
20 0.65 19 +
𝐶2(0.35)2
20 0.65 18 + 𝐶3(0.35)3
20 0.65 17
𝑃 𝑋 < 4 = 𝑃 𝑋 = 3 ó 𝑃 𝑋 = 2 ó 𝑃 𝑋 = 1 ó 𝑃 𝑋 = 0
𝑃 𝑋 < 4 = 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 0
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3
o más automóviles.
(b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál
es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches?
6-12
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑝𝑥
𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
𝑃 𝑋 ≥ 4 = 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 …
𝑃 𝑋 ≥ 4 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 3
Ejemplo – usando fórmulas En una escuela superior se ha determinado, que el 80% de los estudiantes se han copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar. Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron. Solución: Este es un experimento binomial:
P(éxito)= 0.8 P(no-éxito)= 0.2 número de ensayos = 3
X P(x)
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
=3 𝐶0 0.80 0.23 =
=3 𝐶1 0.81 0.22 =
=3 𝐶2 0.82 0.21 =
=3 𝐶3 0.83 0.20 =
a)Construir una distribución de probabilidad binomial con n = 8 y p = 0.15.
EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms
6-14
X P(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.2725
0.3847
0.2376
0.0839
0.0185
0.0026
0.0002
0
0
La probabilidad
de éxito es:
0.15 Probabilidad de 0
éxitos en 8 ensayos:
P(0)
=8 𝐶0 0.150 0.858
= 0.2725
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑥𝑝𝑥
𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
Probabilidad de 1
éxito en 8 ensayos:
P(1)
=8 𝐶1 0.151 0.857
= 0.3847
La probabilidad
de fracaso es:
0.85
EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación)
Suponer que para una distribucion binomial de una variable discreta
n = 8 y p = 0.15
b) En una muestra aleatoria de 8 ensayos, ¿cuál es la probabilidad
de que x < 4?
6-15
𝑃 𝑋 = x = 𝐶𝑥𝑝𝑥
𝑛 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
𝑃 𝑋 < 4 = 𝐶0(0.15)0
8 0.85 8 + 𝐶1(0.15)1
8 0.85 7 +
𝐶2(0.15)2
8 0.85 6 + 𝐶3(0.15)3
8 0.85 5
𝑃 𝑋 < 4 = 𝑃 𝑋 = 3 ó 𝑃 𝑋 = 2 ó 𝑃 𝑋 = 1 ó 𝑃 𝑋 = 0
𝑃 𝑋 < 4 = 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 0
X P(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.2725
0.3847
0.2376
0.0839
0.0185
0.0026
0.0002
0
0 = 0.9787
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Media y desviación estándar de una variable
Un experimento de probabilidad binomial,
con n ensayos independientes y una
probabilidad de éxito de p, tiene una
media y una desviación estándar dada por
las siguientes fórmulas
𝜇𝑥 = 𝑛𝑝 𝑦 𝜎𝑥 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) .
Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos.
EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial
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