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Estadística Descriptiva y Probabilidad

Ing. Ricardo Rosas Roque

Distribución Hipergeométrica

Introducción

• La prueba es sin reposición, donde los elementos de la muestra se toman todos a la vez y no individualmente o donde el elemento seleccionado no se reintegra al experimento.

• Se diferencia de la binomial en la forma de aplicar el muestreo:

Binomial: Muestreo con reemplazo e independencia de pruebas.

Hipergeométrica: Muestreo sin reemplazo y sin independencia entre pruebas ó ensayos.

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Aplicación:

• Uso considerable de muestreo de aceptación,

• Pruebas electrónicas y de aseguramiento de la calidad,

• Fabricación de piezas, etc.

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Ejemplo:

• Una población de 30 alumnos contiene 20 aprobados y 10 no aprobados.

• Una caja contiene 50 focos, de los cuales 45 funcionan y 5 no funcionan.

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Definición:

• Un experimento hipergeométrico consiste en escoger al azar n elementos uno a uno sucesivamente sin restitución, de un conjunto de N elementos r de los cuales son clasificados como éxitos y los N – r restantes como fracasos.

• En cada extracción del experimento, la probabilidad de que el elemento sea un éxito es diferente, ya que la extracción es sin reposición.

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Propiedades que la caracterizan

• La población N del conjunto de unidades o elementos es de orden finito, de los cuales una parte "son éxitos", y otra parte son "fracasos".

• Se obtiene una muestra aleatoria de elementos todos a la vez (sin reemplazo)

• El tamaño de la muestra aleatoria n es grande relativamente en comparación con el tamaño de la población. Generalmente: n / N > 5%

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Función de probabilidad

• N: Tamaño de población.

• N1: Número de elementos de N con una característica o propiedad específica (éxitos).

• n: Tamaño de muestra aleatoria extraída. 8

Propiedades

Sean:

E (x) = np

Var (x) = npq x N – n

N - 1

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Ejemplo:

De una urna se escogen 4 fichas al azar que contiene 10 fichas similares, de las cuales 7 son rojas y 3 son azules.

¿Que probabilidad existen de que resulten escogidas por lo menos dos fichas azules?

N = 10 X = 3 son azules

4 fichas son escogidas una por una sin devolución. Los valores posibles de X son: 0, 1, 2, 3

P (X ≥ 2) = 1 – P (0 ≤ X ≤ 1)

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Ejemplo:

Considerando que en una urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?

Solución:

• N = 10 objetos en total

• N1 = 3 objetos defectuosos

• n = 4 objetos seleccionados en muestra

• x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra 11

3! x 7!

2! x 1! 2! x 5!

10!

4! x 6!

= 0.3

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Ejemplo

Un vendedor de insecticidas quiere vender a una planta un lote de 50 barriles de cierto producto. El gerente de la planta sospecha que los barriles están caducos, pero el vendedor sostiene que sólo 10 barriles han caducado y está dispuesto a permitir que se analicen 5 barriles sin costo para el comprador, para que éste decida si adquiere el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente encuentre que 4 o más de los 5 barriles examinados han caducado, suponiendo que el vendedor tiene razón en su afirmación?

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Solución

N = 50

N1 = 10 caducos

N2 = 40 no caducos

n = 5

X ≥ 4

P(x ≥ 4) = 1 [4C10 x 1C40 + 5C10 x 0C40]

5C50

= 0.0040814

Ejemplo:

De acuerdo al problema del vendedor de insecticidas, el valor esperado y la variancia.

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Solución:

µ = E(x) = np

= 5 x 10 / 50

= 1

Var (x) = npq x N – n

N – 1

5(1/5) (4/5) 50 – 5

50 – 1

= 0.7347 16

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Estadística Descriptiva y Probabilidades

Profesor:

Ing. Ricardo Rosas Roque

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DISTRIBUCION NORMAL

Conocida como campanade Gauus en honor almatemático Karl Gauss(siglo 19).

Es importante por:

Se ajusta (casi) a lasdistribuciones defrecuencias realesobservadas.

Es muy aplicable parainferencia estadística

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DISTRIBUCION NORMAL

Características:

La curva tiene un solo pico.

La media de una poblaciónnormalmente distribuida caeen el centro de la misma.

Es simétrica.

Los dos extremos de ladistribución normal seextienden indefinidamente ynunca tocan el ejehorizontal

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DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

0

1

También conocida comodistribución normal unitaria,llamada así porque tiene unamedia igual a cero y unadesviación estándar igual a 1

z

xz

x xz

s

Con parámetros

Con estadísticos

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22

Ordenadas de la Curva Normal

• Z varía de 0 a 4

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DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARLa tabla de distribución normal estándar, es la siguiente:

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DISTRIBUCION NORMAL

Ejemplo:

Un terapista físico piensaque los puntajes en unaprueba de destreza manualtiene una distribuciónaproximadamente normal,con una media de 10 y unadesviación estándar de 2.5.Si a un individuo, elegidoaleatoriamente, se le aplicael examen, ¿cuál es laprobabilidad de que logre unpuntaje de 15 o maspuntos?.

10

2.5

15

25

DISTRIBUCION NORMAL

Calculando Z:

Para Z=2, buscamos en la tabla cual es la probabilidad (o área) que le corresponde:

Área = .4772

Como deseamos conocer esta área:

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DISTRIBUCION NORMAL

¿Cuál es la probabilidad de que se logre un pontaje entre 11 y 14??

11 14

Calculando Z:

El área sombreada se encuentra restando del área mayor el área menor

Problemas

1. La duración de un determinado tipo de unalavadora automática tiene una media de 3.1años y desviación de 1,2 años. Si la lavadoratiene garantía de un año. Que proporción deltotal de unidades vendidas tendrá que usar lagarantía?

2.Los puntajes finales de un curso, tiene unamedia de 60 y desviación de 10.

a) Si el puntaje mínimo para aprobar es 48.cuál es el porcentaje de fracaso?

b) Si han de aprobar el 80% de losestudiantes. Cuál debe ser el puntaje mínimoaprobatorio?

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