Lic. Ral Ruiz AriasDISTRIBUCIN BINOMIAL La distribucin Binomial tiene las siguientes caractersticas:

En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados: el suceso A (xito) y su contrario Ac (fracaso). El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, se representa por p, y no vara de una prueba a otra. La probabilidad de Ac es 1- p y la representamos por q. El experimento consta de un nmero fijo de pruebas (lo representamos con n).

A la variable X que expresa el nmero de xitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial. La variable binomial es una variable aleatoria discreta, quiere decir que puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n (suponiendo que se han realizado n pruebas). Funcin de Probabilidad de la v.a. Binomial.- La distribucin Binomial se representa por B(n,p) siendo n y p los parmetros de dicha distribucin. (0 p 1)

Parmetros de la Distribucin Binomial

Funcin de Distribucin de la v.a. Binomial

Siendo k el mayor nmero entero menor o igual a xi. Debemos tener en cuenta: Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribucin binomial.

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Ejemplo 1 Una mquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas slo haya una defectuosa. Solucin: Se trata de una distribucin binomial de parmetros B( 50, 7/1000 ) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).

Ejemplo 2 La probabilidad de xito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad Solucin: Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(15 ; 0,72)

Ejemplo 3 La probabilidad de que el carburador de un coche salga de fbrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar: a) El nmero de carburadores defectuosos esperados en un lote de 1000. b) La varianza y la desviacin tpica. Solucin :

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Lic. Ral Ruiz AriasDISTRIBUCIN DE POISSON

Caractersticas: En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de rea, tiempo, pieza, volumen, etc.: - Nmero de defectos de una tela por m2 - Nmero de aviones que aterrizan en un aeropuerto por da, hora o minuto. - Nmero de bacterias por cm2 de cultivo - Nmero de llamadas telefnicas a un conmutador por hora. - Nmero de llegadas de embarcaciones a un puerto por mes. Para determinar la probabilidad de que ocurran x xitos por unidad de tiempo, rea, o volumen, la frmula a utilizar sera:

donde: p(x, ) = probabilidad de que ocurran x xitos, cuando el nmero promedio de ocurrencia de ellos es = media o promedio de xitos por unidad de tiempo, rea o volumen e = 2.718x = variable que nos denota el nmero de xitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribucin el nmero de xitos que ocurren por unidad de tiempo, rea o volumen es totalmente al azar. Parmetros de la Distribucin Poisson Media Varianza Desv. Tipica

Ejemplo 1 Durante un experimento de laboratorio el nmero promedio de partculas radioactivas que pasan a travs de un contador de un milisegundo es cuatro. Cul es la probabilidad de que seis partculas entren al contador en un milisegundo dado? Solucin: Se trata de una distribucin de Poisson con x=6 y P(6;4)

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Ejemplo 2El nmero promedio de camiones que llega cada da a cierta ciudad es 10. Las instalaciones en el puerto pueden albergar a lo ms 15 camiones por da. Cul es la probabilidad de que en un da dado los camiones se tengan que regresar por falta de espacio?

Solucin:Sea X el nmero de camiones que llegan a la ciudad por dia, como en promedio cada da llegan 10 camiones, tenemos p( X > 15 ) = 1 p (X . ) = 1- 0.951 = 0.049

La probabilidad de rebasar la capacidad de las instalaciones del puerto es 0.049, es decir, la probabilidad de devolver camiones.

Ejemplo3Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un da dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?

Solucin:a) x = variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc. = 6 cheques sin fondo por da = 2.718

p( x = 4, = 6 ) =b)

( 6 )4 ( 2.718 )6 ( 1296 )( 0.00248 ) = = 0.13392 4! 24

x= variable que nos define el nmero de cheques sin fondo que llegan al banco en dos das consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc.. = 6 x 2 = 12 en promedio 12 cheques sin fondo llegan al banco en dos das consecutivos. Nota: siempre debe de estar en funcin de x siempre o dicho de otra forma, debe hablar de lo mismo que x.

p( x = 10, = 12 ) = Ejemplo 4

( 12 )10 ( 2.718 )12 ( 6.191736410 )( 0.000006151 ) = = 0.104953 10! 3628800

En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos.

Solucin:a) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc. = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

p( x = 1, = 0.6 ) =

( 0.6 )1( 2.718 )0.6 ( 0.6 )( 0.548845 ) = = 0.329307 1! 1

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b)

x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc. = 0.2 x 5 =1 imperfeccin en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

( 1 )0 ( 2.718 )1 ( 1 )( 2.718 )1 = p( x = 2,3,4,etc.... = 1 ) = 1 p( x = 0,1, = 1 ) = 1 + 0! 1! =1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata

p( x = 0 ,1, = 3 ) = p( x = 0, = 3 ) + p( x = 1, = 3 ) == 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

( 3 )0 ( 2.718 )3 ( 3 )1( 2.718 )3 + = 0! 1!

DISTRIBUCIN NORMAL

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Lic. Ral Ruiz AriasMANEJO DE TABLAS. CASOS MS FRECUENTES.

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Lic. Ral Ruiz Arias Ejemplo 1.- Supongamos que cierto fenmeno pueda ser representado mediante una v.a, X tiene distribucin normal con media 45 y varianza 81 , y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y 48, es decir,

Comenzamos haciendo el cambio de variable

de modo que

Ejercicios 1.- Un investigador reporta que unos ratones vivirn un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drsticamente y despus se enriquecen con vitaminas y protenas. Suponga que la vida de tales ratones se distribuye normalmente con una desviacin estndar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratn viva: a) Mas de 32 meses b) Menos de 28 meses c) Entre 37 y 49 meses d) Entre 45 y 50 meses e) Entre 40 y 43 meses f) Cul es la probabilidad de que de seis ratones 4 vivan ms de 30 meses?

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Lic. Ral Ruiz Arias 2.- Las barras de centeno que cierta panadera distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 centmetros y una desviacin estndar de 2 centmetros. Suponga que las longitudes se distribuyen normalmente, qu porcentaje de las barras son a) Ms largas de 31.7 cm? b) Entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud? c) Entre 32 cm. y 35 cm? d) Ms cortas de 38 cm? e) Entre 27.5 cm. y 30 cm? f) Cul es la probabilidad de que de 4 barras, tres midan ms de 35 cm.? 3.- Un abogado va todos los das de su casa a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio del viaje es 24 minutos, con una desviacin estndar de 3.8 minutos. Si las duraciones de los viajes estn distribuidas normalmente: a) Cul es la probabilidad de que un viaje tome al menos hora? b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y l sale de su casa diariamente a las 8:45 a.m., qu porcentaje de las veces llega tarde al trabajo? c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el caf se sirve en la oficina de las 8:50 a.m. a las 9:00 a.m., cul es la probabilidad de que llegue a la hora del caf? d) Encuentre cual es el tiempo a partir del cual que duran el 15% de los viajes ms lentos? 4.- Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 cm y una desviacin estndar de 6.9 cm., cuntos de estos estudiantes se esperara que tuvieran alturas a) Menores de 160 cm? b) Entre 171.5 cm y 182 cm? c) Mayores a 165 cm? d) Entre 174.5 cm y 180 cm? e) Entre 180 cm y 195 cm? f) Menores de 185 cm? g) Cul es la probabilidad de que de cinco estudiantes, al menos 3 midan ms de 180 cm? 5. Una estacin de radio encontr que el tiempo promedio que una persona sintoniza esa estacin es de 15 minutos con una desviacin estndar de 3.5 minutos. Cual es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estacin por: a) ms de 20 minutos? b) Entre 15 y 18 minutos? c) entre 10 y 12 minutos? d) Cuantos minutos como mximo sintonizan la estacin el 70% de los radioescuchas? e) Cul es la probabilidad de que de 8 radioescuchas, al menos 7 sintonicen la estacin por ms de 5 minutos?

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Lic. Ral Ruiz Arias DISTRIBUCION BINOMIAL

1. Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con base en 10 repeticiones de un experimento si p=0.3. calcular las siguientes probabilidades usando la tabla de la distribucin binomial. a) P( X 8) b) P( X = 7 ) c) P( X > 6) 2. Sea X una variable que se distribuye como una binomial con parmetros n = 9 p = 2/5 Hallar : a) P ( X = 3 ) b) P ( X 4 ) c) P ( X < 4 ) d) P ( X > 6 ) e) E ( X ) f) V ( X ) 3. Si X es una variable que se distribuye como una binomial con n = 8 p = 2/7. Determinar: a) P ( X = 5 ) b) P ( X 5 ) c) P ( X > 5 ) d) P ( X < 4 ) e) P ( X 4 ) f) E ( X ) g) V ( X ) h) Desviacin de X 4. En un juzgado se atienden en gran mayora problemas de carcter laboral. En efecto, el 90 % de los problemas que se resuelven son de este tipo. Cul es la probabilidad de que entre 10 oficios: a) Exactamente 5 sean de carcter laboral b) Exactamente 4 no sean de carcter laboral c) Todos sean de carcter laboral. 5. La probabilidad de que un vendedor de seguros efecte la venta en su primera visita a un cliente nuevo es de 0.40. Si el vendedor va ha visitar hoy a 5 clientes nuevos. Cul es la probabilidad de que efecte una venta a: a)Exactamente un cliente nuevo? b)Cuando mucho a un cliente nuevo c)Determine la distribucin de probabilidades. 6. Una firma estima que el 3% de sus cuentas por cobrar no pueden ser hechos efectivas Cual es la probabilidad de que entre sus 10 cuentas corrientes por cobrar, ocho o ms sean incobrables? 7. Suponga que una planta para procesar alimentos tiene 20 mquinas automticas en operacin todo el tiempo. Si la probabilidad de que una mquina individual falle durante un da es 0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un da dado 2 mquinas fallen. Use la distribucin Binomial para calcular la probabilidad exacta. 8. Un pescador estima que su cargamento tiene 20% de peces con tamao menor al permitido. A su retorno al muelle encuentra al inspector de pesca quien selecciona al azar 10 peces del cargamento. Cual es la probabilidad de que la licencia del pescador sea cancelada si en la muestra, no se puede tolerar ms del 20% de peces con menor tamao?

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Lic. Ral Ruiz Arias 9. En un proceso de produccin se examinan lotes de 50 frascos de un suplemento vitamnico para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. El numero esperado de frascos que no cumplen con los requerimientos es de cinco por lote. Supngase que el nmero de frascos que no cumplen con los requerimientos en un lote, es una variable aleatoria denotada por X. a) qu valor tienen n y P? b) Calcule P(X 2 ).

2. El nmero de buques que llegan cada da a cierta refinera tiene unadistribucin de Poisson con parmetros = 2 , las actuales instalaciones portuarias pueden despachar hasta 4 buques al da. Si ms de 4 buques llegan en un da, los que estn en exceso deben enviarse a otro puerto.

a) En un da determinado Cul es la probabilidad de despachar hasta 4buques? b) En un da determinado Cul es la probabilidad de despachar mas de 4 buques? c) Cul es el nmero esperado de buques que llegan al da? 3. Supngase que la probabilidad de que un artculo producido por una mquina especial sea defectuoso es igual a 0.2 si 10 artculos producidos se seleccionan al azar. Cul es la probabilidad de que no se encuentre ms de un artculo defectuoso?

4. Supngase que X tiene una distribucin de Poisson. SiP( X = 2) = 2/3 P( X = 1 ) Calcular: a) P( X = 0 ) b)P( X = 3 ) 5. Supngase que el 0.005% de la poblacin de un pas muere debido a cierto tipo de accidentes cada ao, y que una compaa de seguros tiene entre sus clientes 10,000 que estn asegurados contra este tipo de accidente. Encontrar la probabilidad de que la compaa deba pagar ms de 3 plizas en un ao dado. 6. El nmero promedio de colonias de un microorganismo es de 3 por ml. De solucin acuosa, a) Cul es la probabilidad de que no se encuentren microorganismos en un decilitro de solucin acuosa?

b) Cul es la probabilidad de que se encuentren exactamente 5 colonias en unvolumen de 10 mm3 de solucin? 7. Supngase que se sabe que en cierta rea de la capital el nmero promedio de ratas por manzana es de 5 por manzana. Encuentre la probabilidad de que en una manzana elegida aleatoriamente. a. b. c. d. Existan exactamente 5 ratas Existan ms de 5 ratas Existan menos de 5 ratas Existan entre 5 y 7 ratas inclusive

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Lic. Ral Ruiz Arias 8. El administrador de un hospital analiza los casos diarios de urgencias durante unperiodo de varios aos. Los registros del hospital revelan que los casos de urgencias promedian 3 por da durante ese tiempo. Calcule la probabilidad de que: a) Ocurra exactamente dos casos de urgencia en un da dado b) ocurra un solo caso de urgencia en un da dado c) Ocurra tres o cuatro casos de urgencia en un da d) ocurran ms de un caso en una semana cualquiera. 9. Los accidentes laborales graves que ocurren en una empresa tienen una media anual de 2,7. Dado que las condiciones de seguridad sern las mismas durante el prximo ao. Cul es la probabilidad de que el nmero de accidentes graves sea menor que dos? 10. El nmero de fallas de un instrumento de prueba debidas a las partculas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0,02 fallas por hora. a) Cul es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de ocho horas? b) Cul es la probabilidad de que se presente al menos una falla en un periodo de 24 horas?

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Lic. Ral Ruiz Arias Pruebas de hiptesis Problema 1 Una empresa planea abrir una nueva sucursal en una ciudad y desea calcular el ingreso promedio de los habitantes de esa ciudad en particular. Se aplic una encuesta a 256 personas y se obtuvo una media de $6 481 dlares al ao con una desviacin estndar de $2112 dlares. Un ejecutivo afirma que el promedio en esa ciudad es igual al promedio del estado que es de $6250 con base en estadsticas oficiales. Usando un nivel de confianza de 95%, rechazara la afirmacin de que la media poblacional del ingreso en esa ciudad es de $6 250 dlares al ao? Respuesta:x = 6481 s = 2112 n = 256

= 0.05Prueba de hiptesis para la m edia, varianza ) desconocid a, m uestra grande (nivel de significan cia aproximado H 0 : = 6250 H a : 6250 Estadstic o de prueba : x 6481 6250 z= = =1.75 s 2112 256 n Com paraci n con el valor crtico : Valor crtico = z / 2 = z 0.025 =1.96 Regin de rechazo : z < -1.96 z >1.96 Por tanto, Utilizando con un nivel de confianza el p - valor : de 95% no se rechaza la hiptesis , nula de 95% no se rechaza la hiptesis , nula

p - valor = 0.0801 > 0.05 = Por tanto, con un nivel de confianza

Con un nivel de confianza de 95%, no hay suficientes indicios para justificar el rechazo de la afirmacin del ejecutivo.

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Lic. Ral Ruiz Arias Problema 2 En una universidad se aplic una encuesta a estudiantes como parte de una investigacin para analizar el uso de internet. Una de las variables estudiadas fue la cantidad de horas a la semana empleadas en internet para comunicacin o bsqueda de material educativo o de entretenimiento. Se utiliz una muestra aleatoria de 25 estudiantes y el histograma mostr normalidad en la distribucin de los datos. La media y la desviacin estndar para el uso de internet fueron respectivamente 3.50 y 1.15 horas. Un artculo en el peridico de esta institucin educativa asegura que el uso semanal de internet de los estudiantes de esta universidad es mayor a 3 horas. Los resultados de la encuesta apoyan la afirmacin del peridico? Use un nivel de confianza de 99%.

Problema 3 A una muestra aleatoria de 20 obreros de una empresa se les aplic una prueba para evaluar sus conocimientos acerca de las mquinas que emplean en su labor, considerando que todos manejan el mismo tipo de mquinas. La puntuacin promedio de la muestra fue de 76 con una desviacin estndar de 14. Adems, por estudios similares, se sabe que la distribucin de las calificaciones sigue una distribucin aproximadamente normal. El gerente afirma que tomando en cuenta a todos los obreros el promedio debe ser mayor de 70 puntos. Con un nivel de confianza del 90%, existe evidencia estadstica de que el promedio poblacional de las evaluaciones de los obreros sera mayor a 70 puntos?

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