CAPTULO VII. DISTRIBUCIONES TEORICAS DE PROBABILIDAD

VARIABLE ALEATORIAUna variable aleatoria se define asignando un valor numrico a cada suceso simple de un experimento que conduzca a resultados aleatorios.VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASVARIABLES ALEATORIAS CONTINUASUna variable aleatoria discreta es una variable que puede tomar solo valores de un conjunto predeterminadoUna variable aleatoria continua se mide en una escala numrica. Cada observacin de la variable aleatoria puede tomar cualquier valor dentro de un rango especficoCuando se conocen caractersticas de las variables se desarrollan modelos de probabilidad. Todo modelo as desarrollado se basa en lo siguiente: Una funcin de probabilidad: f(x) Una funcin de distribucin: F(x) Parmetros (medidas numricas descriptivas)

FUNCIN DE PROBABILIDAD:Una funcin de probabilidad es la correspondencia que se establece entre los valores, o intervalos de valores, de una variable aleatoria y la probabilidad de ocurrencia de stos. Se denota por f(x).Si f(x) es discreta se le denomina funcin de cuanta, y Se puede representan como p(x). Para que sea una funcin de probabilidad, la funcin de cuanta, debe cumplir las siguientes propiedades: 1.- f (x) = 0 2.- f (x) = 1

Si f(x) es continua se le denomina funcin de densidad. Para que sea una funcin de probabilidad, la funcin de densidad, deben cumplirse las siguientes propiedades:1. f (x) = 0 4. P(X=Xk)=0

FUNCIN DE DISTRIBUCINSe denomina funcin de distribucin o funcin de acumulacin probabilstica, y se denota por F(x).

Esta funcin de distribucin acumula las probabilidades hasta un valor dado (xk). Es decir que:F(xk) = P(X = Xk)Cumple las siguientes propiedades:En caso de funciones discretas

Ejemplo. Un determinado experimento aleatorio tiene como funcin de probabilidad la relacin: Se pide: a. Verificar las propiedades de f(x) b. P(x >1) c. F(1) d. Probabilidad de que x tome por lo menos valor 1 e. Probabilidad de que x tome a lo sumo valor 2 Solucin: a. Propiedad f (x) 0 f (x0)= 1/10; f (x1)= 2/10; f (x2)= 3/10; f (x3)=1/10 por tanto f(x)0 Propiedad que la suma de 0 a 3 = 1 f (x) = 1 f (x)= 1/10[(1+0)+(1+1)+(1+2)+(1+3)] = 10/10 = 1

2. Sea f (x) = 1/18(3 + 2x) una funcin de densidad para 2 < x < 4a.- Verifique si se cumplen las propiedades de f (x) b.- Calcule P(x < 3)c.- P(x 3) d.- P(x = 3)e.- Halle F(x) f.- Calcule P(2 < x 3) haciendo uso de la F(x)

Parmetros en una distribucin de probabilidadPor analoga con las variables estadsticas podemos definir tambin aqu la media m y la desviacin tpica s de la variable aleatoria.La media m, tambin llamada esperanza matemtica, es un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria X, lo podemos imaginar como el punto sobre el eje de abscisas donde al poner una cua la figura plana definida por la funcin de densidad quedar en equilibrio. Para calcularla hemos de hacer: La desviacin tpica s es una medida de la dispersin de los valores que toma la variable aleatoria de la media. Como ocurra con las variables estadsticas la desviacin tpica ser ms pequea o ms grande segn la grfica de la funcin de densidad sea ms estrecha o ms ancha en torno a la media. En este caso se calcula:

Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caractersticas:En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados: el suceso A (xito) y su contrario A (fracaso). El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no vara de una prueba a otra. El experimento consta de un nmero n de pruebas. Distribucin BinomialTodo experimento que tenga estas caractersticas diremos que sigue el modelo de la distribucin Binomial. A la variable X que expresa el nmero de xitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

Funcin de probabilidad de la distribucin Binomialo tambin denominada funcin de la distribucin de Bernoulli (para n=1). Verificndose: 0 p 1

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, slo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-xitos y (n-k) fracasos debemos calcular stas por combinaciones (nmero combinatorio n sobre k).Se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parmetros de dicha distribucin. Probabilidad de obtener K xitos

Parmetros de la Distribucin Binomial

Funcin de Distribucin de la variable aleatoria Binomial

Esta funcin de distribucin proporciona, para cada nmero real xi, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.

Siendo K el mayor nmero entero menor o igual a xi

Ejemplo La probabilidad de xito de una determinada vacuna es 0.72. Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedadSolucin :Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(15, 0.72)

Distribucin de PoissonEsta distribucin aparece en algunos procesos que tienen una dimensin temporal o espacial, y en fenmenos que tienen un alto nmero de experimentos (alto n) y una baja probabilidad de que ocurran (baja p).Ejemplos: nmero de llamadas telefnicas que recibe un servicio de atencin a urgencias durante un intervalo de tiempo determinadonmero de cultivos infectados por una plaga en una cierta regin geogrfica La funcin de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson con media l > 0, que simplificamos con la notacin P(l), es

siendo su funcin de distribucin el sumatorio de cada uno de los valores menores.

La media y varianza de X son ambas iguales a l, E[X] = V[X] = l.

EjemploEl nmero de enfermos que solicitan atencin de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de l = 48 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarn las capacidades de atencin del servicio, el cual se sabe que colapsar si el nmero de enfermos excede de 50. Cual es la probabilidad de que colapse el servicio de urgencias del hospital? Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribucin P(48). La probabilidad solicitada es

P(X > 50) = 1 P(X

EjemploCierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya ms de 3 personas con dicha enfermedad.Calcular el nmero esperado de habitantes que la padecen. Consideramos la v.a. X que contabiliza el nmero de personas que padecen la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien aproximado por un modelo de Poisson, de modo que

As el nmero esperado de personas que padecen la enfermedad es

Existe una gran dispersin, y no sera extrao encontrar que en realidad hay muchas ms personas o menos que estn enfermas. La probabilidad de que haya ms de tres personas enfermas es:

DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICAEst estrechamente relacionada con la distribucin de probabilidad binomial. La diferencia entre ambas est en la independencia de los intentos y en que la probabilidad de xito cambia de uno a otroSe usa para calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de n artculos seleccionados sin reemplazo, obtengamos x elementos identificados como xitos, y n-x como fracasos. Para que suceda esto debemos obtener x xitos de los r de la poblacin, y n-x fracasos de los N-r de la poblacin

CARACTERISTICAS:1.En cada prueba solo hay dos resultados xitos y fracasos.2.Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.3.Cada ensayo o repeticin del experimento no es independiente de los dems.4.El nmero de repeticiones del experimento (n) es constante.5. La poblacin es finita

Donde N= tamao de la poblacin n = tamao de la muestra r = numero de xitos en un poblacin x = numero de xitos en una muestra para los cuales se desea la probabilidad

1. Un crculo de calidad esta formado por 5 miembros, 3 mujeres y 2 varones; se debe elegir 2 miembros del crculo para ser capacitados. Cul es la probabilidad de elegir 2 mujeres al azar?SolucinN=5, n=2, r=3 mujeres en la poblacin x=2 mujeres en la muestraEjemplos.

La distribucin Normal o de Gauss es el modeloprobabilstico ms importante. Se utiliza paramodelar gran nmero de fenmenos aleatorios,entre ellos el ruido y los errores en la medida.Aparece adems como distribucin lmite en elTeorema Central del Lmite. Sus parmetros sonla media y la desviacin tpica ,X ~ N(,)DISTRIBUCIN NORMAL

Est caracterizada por dos parmetros: la media, y la desviacin tpica, .

Su funcin de densidad es:La curva normal adopta un nmero infinito de formas, determinadas por sus parmetros y .

+ Caractersticas de la distribucin Normal, Mo, Mn - + Tiene forma de campana, es asinttica al eje de las abscisas (para x = ) Los puntos de inflexin tienen como abscisas los valores Simtrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo )Puntos deinflexin

Distribucin normal conm=0 para varios valoress00.40.81.21.6-2.50-1.50-0.500.501.502.50xs=0.25s=0.5s=1p(x)

2030405060708090100110120Curvas normales con distintas medias y desviaciones estndar.

N(, ): Interpretacin probabilistaEntre la media y una desviacin tpica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.Si tomamos intervalos centrados en , y cuyos extremos estna distancia , tenemos probabilidad 68%a distancia 2 , tenemos probabilidad 95%a distancia 25 tenemos probabilidad 99% Entre la media y dos desviaciones tpicas aprox. 95%

Podemos obtener la funcin de distribucin F(x) integrando la funcin de densidad de probabilidad:De modo que la probabilidad de una variable aleatoria normal X en un intervalo a x b es:No podemos calcular analticamente el valor de la integral!Tabularemos sus valores numricos...En particular:

Cmo calcular probabilidades asociadas a una curva normal especfica?Dado que tanto como pueden asumir infinitos valores lo que hace impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales, se utiliza la distribucin normal reducida o tipificada.

Se define una variable z = x - Es una traslacin , y un cambio de escala de la variable original.

La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media = 0 y desviacin tpica = 1-3 -2 -1 0 1 2 3z68%95%99%Recordemos de nuevo que en cualquier distribucin normal las probabilidades delimitadas entre : 68 % 2 95 % 3 99 %68%99%95%

TipificacinDada una variable de media y desviacin tpica , se denomina valor tipificado z, de una observacin x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones tpicas, es decir: En el caso de variable X normal, la interpretacin es clara: asigna a todo valor de N(, ), un valor de N(0,1) que deja exctamente la misma probabilidad por debajo. Nos permite as comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cul de los dos es ms extremo.

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignar al que tenga mejor expediente acadmico:El estudiante A tiene una calificacin de 8 en un sistema donde la calificacin de los alumnos se comporta como N(6,1).El estudiante B tiene una calificacin de 80 en un sistema donde la calificacin de los alumnos se comporta como N(70,10).No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribucin de referencia N(0,1). Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de compaeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificacin el estudiante A es mayor que el que ha superado B. En principio A es mejor candidato para la beca.

Caracterstica de la distribucin normal tipificada (reducida o estndar):

No depende de ningn parmetro.

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviacin tpica es 1.

La curva f(x) es simtrica respecto al eje de ordenadas y tiene un mximo en este eje.

Tiene dos puntos de inflexin en z =1 y z = -1.

Hay varios tipos de tablas de la distribucin normalLa que se explica aqu representa las reas para los diferentes valores de zdesde 0 hasta +.0+Los valores negativos de z NO estn tabulados, ya que la distribucin es simtrica

0.00.10.20.30.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .... ...... .......1179 ..... ...... ...... .......1554 .... ..... ....

.1915 ....La tabla consta de: *Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal.* Margen superior: segundo decimal* Cuerpo de la tabla: reas correspondientes, acumuladas, desde 0 hasta 3.99

EJEMPLOS:1.-Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre 0 y -2.03?2.-Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre -2.03 y +2.03?3. Hallar P( z >1.25 )4. Hallar P ( -0.34 < z

?Ejemplo 1Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre 0 y -2.03?zCmo la curva es simtrica P (-2.03 < z < 0) = P (0 < z < 2.03)-3 -2 -1 0 1 2 3

47. 88%Ejemplo 1Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre 0 y -2.03?-3 -2 -1 0 1 2 3zSe busca en la tabla el rea correspondiente a z = 2.030.47882

012341.81.92.02.1

? 47.88%

47.88%Ejemplo 2Cul es la probabilidad de que un valor de z est entre -2.03 y 2.03 ? -3 -2 -1 0 1 2 3zEn el ejemplo 1, vimos que la probabilidad de que z estuviera entre 0 y 2.03= 0.47882La misma rea hay entre 0 y -2.03 , por lo tantoP ( -2.03< z< 2.03) = 0.95764 95.76%

Ejemplo 3Cul es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.25 ?z -3 -2 -1 0 1 2 3?1.- La probabilidad de 0 < z < + = 0.5002.- La probabilidad de 0 < z < 1.25 = 0.3943539.44%3.- La probabilidad de z > 1.25 = 0.500 - 0.39435= 0.1056510.56%50%

Hallar P( -0.34 < z < )zP(0 < z

Ejemplo 5Hallar P( 0.34 < z < 2.30)z -3 -2 -1 0 1 2 3P(0< z

EJEMPLOSea una variable distribuida normalmente con media = 4 y desviacin tpica = 1.5.Cul es la probabilidad de encontrar un valor x 6 (P(x 6 ))?

x = 4 = 1.5Hallar P ( x > 6 ) ?61.- transformar x en un valor de z0.408240.09176z = (6 - 4)/1.5 = 1.332.- Hallar P ( 0 < z < 1.33) =3.- 0.5000 - 0.40824 =0.5-0.5 1 2.5 4 5.5 7 8.5-3 -2 -1 0 1 1.33 2 3 z

Hasta ahora vimos como dado un valor x de la variable, hallar probabilidades transformando (estandarizacin) la variable en valores dex - Cmo hallar un valor de x, dada la probabilidad?x = ?38.20%Ejemplo: Sea una variable distribuida normalmente con =4 y =2 . Hallar el valor de x que deja por encima de l un 38.20% (0.3820)Se debe desestandarizar : x = z + 0.5000 - 0.382 = 0.118 Se busca en la tabla el valor ms aproximado :0.1179 corresponde a z =+ 0.30 4.60Se busca en la tabla de acuerdo al rea. Con su signo

Sustituyendo en la frmula 0.30x2+4 =4.60z =

TRABAJODistribuciones discretasDistribucin Uniforme discreta (a,b)Distribucin Binomial (n,p)Distribucin Hipergeomtrica (N,R,n)Distribucin Geomtrica (p)Distribucin Binomial negativa (r,p)Distribucin Poisson (lambda)Distribuciones ContinuasDistribucin Uniforme (a,b)Distribucin Normal (Mu, Sigma)Distribucin Lognormal (Mu, Sigma)Distribucin Logstica (a, b)Distribucin Beta (p,q)Distribucin Gamma (a,p)Distribucin Exponencial (lambda)Distribucin Ji-cuadrado (n)Distribucin t de Student (n)Distribucin F de Snedecor (n,m)

1. En la industria azucarera se realiz una investigacin sobre la disciplina laboral.Las estadsticas demuestran que el 5% de los obreros son faltones, si se selecciona una muestra aleatoria de 5 trabajadores. Calcule la probabilidad que:a.- 2 de ellos sean faltones.b.- entre 3 y 5 sea faltones.c.- de que todos faltones.d.- al menos 4 sean faltones. 2. Se sabe que el servidor principal del centro de cmputo de la UNHEVAL funciona adecuadamente el 90% del tiempo. Si se hace una muestra aleatoria de 10 inspecciones:a.- Cul es la probabilidad de que el servidor principal funcione correctamente. a.1.- exactamente nueve veces? a.2.- por lo menos nueve veces? a.3.- cuando ms 9 veces? a.4.- ms de 9 veces? a.5.- menos de 9 veces? b.- Cuantas veces se puede esperar que funcione en forma apropiada el servidor principal?

3. La probabilidad de que un boxeador termine la pelea sin sufrir daos es de 0.85 y si termina 4 peleas, hallar la probabilidad de que:a.- De 2 a 4 peleas termine sin sufrir daos.b.- Al menos 3 peleas termine sin sufrir daos.c.- A lo sumo dos peleas termine sin sufrir daos.d.- Probabilidad de que todas las peleas termine daado.e.- Cul es el promedio de peleas que no debe sufrir daos?4. El nmero promedio de Bajaj que se detienen por minuto para tomar pasajeros en la puerta de la universidad es 1.2.Cul es la probabilidad de qu en determinado minuto se detengan... a.- menos de dos Bajajs? b.- ms de tres Bajajs? c.- menos de dos Bajajs ms de tres? d.- dos tres Bajajs para tomar pasajeros? e.- al menos dos Bajajs?

5. Una Central telefnica recibe 480 llamadas por hora, pero no puede recibir ms de 12 llamadas por minuto.Determine:a.- La probabilidad de que se realicen 10 llamadas en un minuto.b.- La probabilidad de que la central quede saturada en medio minuto (30 segundos).c.- La probabilidad de que se produzcan a lo sumo 1 llamada en un minuto dado.d.- La probabilidad de que se produzcan ms de 2 llamadas en un minuto.e.- El nmero de llamadas esperadas en cinco minutos.6. En cierta clnica hay 20 pacientes de los cuales se sabe que el 25% tienen cncer. Se extrae aleatoriamente sin reemplazo 4 pacientes para el despistaje de cncera) Cul es la probabilidad de que al menos uno tenga cncer?b) Cul es el nmero esperado de pacientes con cncer?7. Un jurado de 7 jueces va a decidir entre dos finalistas quin es la ganadora del concurso de belleza, para lo cual bastar una mayora simple de los jueces. Suponga que 4 jueces votan por Mara y que los otros 3 votan por Susana. Se eligen al azar 3 jueces y se les pregunta por quin van a votar. Cul es la probabilidad de que la mayora de los jueces de la muestra estn a favor de Mara?

8. El peso de llenado de las bolsas de azucar se distribuye normalmente, siendo el peso promedio de 50 kg con una desviacin tpica de 1.8 kg.a) Qu probabilidad hay de que una bolsa tenga un peso neto inferior a 45 kg?b) Qu proporcin de las bolsas tendr pesos netos superiores a 53 kg?c) Qu proporcin de las bolas tendr pesos netos entre 45 y 53 kg?d) Cul es el peso mximo del 20% de las bolsas menos pesadas?e) Cul es el peso mnimo del 10% de las bolsas ms pesadas? 9. Se sabe que el 7% de las productos de una fabrica son defectuosas. Si en un lote se extrae 3 productos con reemplazamiento (se extrae un producto que, una vez observada, se devuelve al lote), determinar la probabilidad de que en estas 3 extracciones resulte solamente una pieza defectuosa.10. La media de las calificaciones obtenidas en un examen result ser = 4,7 con una desviacin tpica s = 1,3. Se pregunta, suponiendo que las calificaciones se distribuyen normalmente, lo siguiente: a. Cul fue el % de aprobados ?.b. Qu % obtuvo ms de 7 ?.c. Y menos de tres puntos ?.d. Qu % obtuvo entre 4 y 6 puntos ?.

11. Cual es la probabilidad de que al lanzar 6 monedas al aire nos salgan entre dos y cuatro caras ? 12. Un saco que contiene 400 monedas es vaciado sobre una mesa. Hallar laprobabilidad: a) de que aparezcan ms de 210 caras; b) de que el nmero de caras sea menor que 180; c) de que el nmero de caras est comprendido entre 190 y 210, ambos inclusive. 13. De cada 2.000 personas a las que se suministra cierto medicamento, 6 resultan alrgicas al mismo, por trmino medio. Si en un determinado da se ha administrado el medicamento a 400 personas, cul es la probabilidad de que haya al menos una alrgica ?.

14. Se sabe que dos poblaciones distintas X e Y, se distribuyen normalmente con media 0. Adems P(X = 2) = P(Y = 3) = 0,1587. Calcular sus respectivas varianzas.

15. Una empresa produce 1 milln de botellas a la semana cuyos pesos siguen una distribucin normal de media 1200 g. y desviacin tpica 10 g.. Calcular para una semana: a. El nmero de botellas que pesan ms de 1225 g.. b. El nmero de botellas que pesan entre 1195 g. y 1215 g.. c. El nmero de botellas que pesan menos de 1 kg..16. La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un cierto tipo de lanzamiento es 0,2. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:no acierte ninguna vez; acierte por lo menos dos veces . Supongamos que lanzara 10.000 veces y su capacidad de acierto se mantuviera ( ni aumentara por la prctica ni disminuyera por el cansancio). Qu probabilidad hay de que acierte ms de 2.080 veces ?.

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