7/18/2019 Distribucion de Poisson

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Introducción

La distribución Poisson es, junto con la distribución binomial, una de lasmás importantes distribución

de probabilidad para variables discretas, es decir, sólo puede tomar losvalores 0, 1, 2, 3, 4, ..., k.

La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos,entre otros!l n"mero de autos #ue pasan a trav$s de un cierto punto enuna ruta %su&cientemente distantes de los semá'oros( durante unperiodo de&nido de tiempo.!l n"mero de errores de orto)ra'*a #ue unocomete al escribir una "nica pá)ina.!l n"mero de llamadas tele'ónicasen una central tele'ónica por minuto.!l n"mero de servidores +ebaccedidos por minuto.!l n"mero de de'ectos en una lon)itud espec*&cade una cinta ma)n$tica.!l n"mero de mutaciones de determinada

cadena de - despu$s de cierta cantidad de

radiación.!l n"mero de de'ectos por metro cuadrado de tela.!l n"merode estrellas en un determinado volumen de espacio.

/ada una de estas variables aleatorias representa el n"mero total deocurrencias de un 'enómeno durante un periodo de tiempo &jo o en unare)ión &ja del espacio. !presa la probabilidad de un n"mero k deocurrencias acaecidas en un tiempo &jo, si estos eventos ocurren conuna 'recuencia media conocida son independientes del tiempodiscurrido desde la "ltima ocurrencia o suceso.

La &nalidad del presente objeto de aprendiaje, es ad#uirir la destrea conocimiento necesario para la correcta utiliación de la distribución dePoisson en el cálculo de probabilidades. Para ello, en primer lu)arpresentamos los objetivos espec*&cos #ue pretendemos conse)uir acontinuación trabajaremos la de&nición caracter*sticas de ladistribución de Poisson, aciendo especial relevancia en cómoidenti&carla di'erenciarla de otras distribuciones discretas seresuelven al)unos ejemplos prácticos para audar a su comprensión.5inalmente, destacaremos los conceptos básicos de aprendiaje conrespecto a la distribución de Poisson sus aplicaciones prácticas.

6 Identi&car las propiedades de una distribución Poisson, as* como susparámetros caracter*sticos, esperana variana.

6 !stimar el valor promedio, la 7, caracter*stico de las variables dePoisson a partir de la 'recuencia o probabilidad de ocurrencia,  p, eln"mero de veces #ue se presenta un suceso, n.

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6 !stablecer las bases para el cómputo de las probabilidades paravariables Poisson

Defnición y características

¿Para qué me puede servir la distribuciónbinomial?

La distribución de Poisson 'ue desarrollada por 8im$on9-enis Poisson%1:;191;40(. !sta distribución de probabilidades es mu utiliada parasituaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrenciaaleatoria. !n )eneral, utiliaremos la distribución de Poisson comoaproimación de eperimentos binomiales donde el n"mero de pruebases mu alto %n<=(, pero la probabilidad de $ito mu baja %p<0(.

Características

8e dice #ue > si)ue una distribución de Poisson de parámetro 7 #ue seobtiene del producto n*p %#ue nombraremos a partir de a#u* como np,por maor simplicidad ), #ue se representa con la si)uiente notación

> ? Ps %7(

La distribución de Poisson se caracteria por las si)uientes propiedades

•8ea una población de tama@o =.

•

8ea una muestra de tama@o n bastante elevado %se suele ablar de #uetiende a =(

•Los sucesos son independientes entre si.

• 8ea un suceso #ue tiene una probabilidad p de suceder durante unperiodo de tiempo, siendo esta probabilidad de ocurrencia durante unperiodo de tiempo concreto mu pe#ue@a %se suele ablar de #uetiende a 0(.

• !l producto n*p, tiende a aproimarse a un valor promedio o número

medio, al #ue llamaremos 7. Por ejemplo, promedio de llamadasrecibidas en una centralita por minuto o n"mero medio de accidentesproducidos en una carretera durante el &n de semana.

• > n"mero de individuos de la muestra #ue cumplen .

• !l conjunto de posibles valores de es, ! A B0,1,2,3,4....C

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•

D 8u 'unción de probabilidad viene de&nida por

D !sta epresión, se obtiene tomando los l*mites cuando n tiende a =, ptiende a 0 np permanece constante e i)ual a 7, de la 'unción deprobabilidad de la distribución de una variable binomial

Ena propiedad importante de la distribución de Poisson, es #ue la sumade n variables de Poisson independientes, Ps%71(FPs%72(F.......FPs%7n(,

es tambien una variable de Poisson siendo el valor de su parámetro 7, lasuma de los de las variables #ue se suman, Ps%71F72F.......F7n(.

!n )eneral, la distribución de Poisson, o'recerá buenas aproimaciones aprobabilidades de variables binomiales cuando n G H0 p 0,1 en elintervalo, 10 np 100, las aproimaciones serán ecelentes, a #ue enmucos casos la aplicación de la 'unción de probabilidad de la binomialpuede lle)ar a ser complicada.

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La distribución de Poisson se puede epresar de 'orma )rá&ca, a #ueen realidad consiste en un dia)rama de barras, similar a los obtenidosen la 'unción de probabilidad, pero con 'orma asim$trica positiva comosucede con la distribución binomial. 8in embar)o al ir aumentando losvalores de 7, va ad#uiriendo la t*pica 'orma de campana de Jauss,pudiendo a deducirse, #ue con'orme aumenta 7, las variables de Poissonvan a poder aproimarse a la distribución normal, por el Teorema

Central del Límite. La aproimación se considera buena para valoresde 7 i)uales o superiores a K.