Distribución de frecuenciasSe ha sugerido que este artículo o sección sea fusionado con Frecuencia estadística (discusión).Una vez que hayas realizado la fusión de artículos, pide la fusión de historiales aquí.

En estadística, se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en categorías

mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría.1 Esto proporciona

un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones

clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Estas agrupaciones de datos

suelen estar agrupadas en forma de tablas.

Índice

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1 Características

2 Tipos de frecuencias

o 2.1 Frecuencia absoluta

o 2.2 Frecuencia relativa

o 2.3 Frecuencia acumulada

o 2.4 Frecuencia relativa acumulada

o 2.5 Distribución de frecuencias agrupadas

3 Referencias

[editar]Características

Una distribución de frecuencias es un formato tabular en la que se organizan los datos en clases, es

decir, en grupos de valores que describen una característica de los [datos] y muestra el número de

observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases.

La tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato numérico. En principio, en la tabla de

frecuencias se detalla cada uno de los valores diferentes en el conjunto de datos junto con el número de

veces que aparece, es decir, su Frecuencia. Se puede complementar la frecuencia absoluta con la

denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje sobre el total de datos. En

variables cuantitativas se distinguen por otra parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.

La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histograma(Diagrama De Barras).

Normalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos devalores.

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos

estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

[editar]Tipos de frecuencias

Véase también: Frecuencia estadística.

[editar]Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio

estadístico. Se representa por ni. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de

datos, que se representa por N. Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ

(sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria. puesto que es mentira se hace el intercambio en la

ínterfaz de la frecuencia absoluta.

[editar]Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número

total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por fi. La suma de las frecuencias

relativas es igual a 1.

[editar]Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o

iguales al valor considerado. Se representa por Fa.

[editar]Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor

y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Ejemplo:

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27

[editar]Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman

un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan

la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Límites de la clase. Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la

clase.

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase. La marca de clase

es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de

algunos parámetros.

Construcción de una tabla de datos agrupados:

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47,

39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1. Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

2. Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por

el número de intervalos queramos establecer.

Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero

el límite superior no no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

ci fi Fi ni Ni

[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025

[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

Total: 1

Una distribución de frecuencias  o tabla de frecuencias  es

una ordenación  en forma de tabla de los datos estadísticos , asignando a

cada dato su frecuencia correspondiente .

Tipos de frecuencia

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta  es el número de veces  que aparece un

determinado valor  en un estudio estadístico.

Se representa por f i.

La suma de las frecuencias absolutas  es igual al número total de datos,

que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega  Σ (sigma

mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa  es el cociente  entre la frecuencia absoluta  de un

determinado valor y el  número total de datos .

Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por  n i.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada

La frecuencia acumulada  es la suma de las frecuencias absolutas  de

todos los valores inferiores o iguales  al valorconsiderado.

Se representa por F i.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada  es el cociente  entre la frecuencia

acumulada  de un determinado valor  y el número total de datos . Se puede

expresar en tantos por ciento.

Ejemplo

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes

temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29,

29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor

a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la

frecuencia absoluta.

x i Recuento f i F i n i N i

27 I 1 1 0.032 0.032

28 II 2 3 0.065 0.097

29 6 9 0.194 0.290

30 7 16 0.226 0.516

31 8 24 0.258 0.774

32 III 3 27 0.097 0.871

33 III 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

31 1

Este tipo de tablas de frecuencias  se utiliza con variables discretas .

Distribución de frecuencias agrupadas

La distribución de frecuencias agrupadas  o tabla con datos

agrupados  se emplea si las variables  toman un número grande de valores  o

la variable es continua .

Se agrupan  los valores  en intervalos  que tengan la misma

amplitud  denominados clases . A cada clase se le asigna sufrecuencia

correspondiente .

Límites de la clase

Cada clase está delimitada  por el límite inferior de la clase  y el límite

superior de la clase .

Amplitud de la clase

La amplitud de la clase  es la diferencia  entre el límite superior e

inferior  de la clase.

Marca de clase

La marca de clase  es el punto medio  de cada intervalo  y es el valor  que

representa a todo el intervalo  para el cálculo  de algunos parámetros .

Construcción de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44,

31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1º se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso

son 3 y 48.

2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia

y que sea divisible por el número de intervalos de queramos poner.

Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10

intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una

clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se

cuenta en el siguiente intervalo.

c i f i F i n i N i

[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025

[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

40 1

Distribuciones de frecuenciaCuando se dispone de gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de individuos pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase. Una ordenación tabular de los datos en clases, reunidas las clases y con as frecuencias correspondientes a cada una, se conoce como

una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias. La Tabla 1 es una distribución de frecuencias de alturas (registradas con aproximación de pulgada) de 100 estudiantes de la Universidad XYZ.

La primera clase o categoría, por ejemplo, comprende las alturas de 60 a 62 pulgadas y viene indicada por el símbolo 60 - 62. Puesto que 5 estudiantes tienen una altura perteneciente a esta clase, la correspondiente frecuencia de clase es 5.

Los datos ordenados y resumidos como en la distribución de frecuencia anterior, se suelen llamar datos agrupados. Aunque con el proceso de agrupamiento generalmente se pierde parte del detalle original de los datos, tiene la importante ventaja de presentarlos «todos» en un sencillo cuadro que facilita el hallazgo de las relaciones que pueda haber entre ellos, puestas así de manifiesto.

Intervalos de clase y límites de claseUn símbolo que define una clase, tal como 60 - 62 de la tabla anterior, se conoce como intervalo de clase. Los números extremos, 60 y 62, son los límites de clase; el número menor 60 es el límite inferior de la clase y el mayor 62 es el límite superior. Los términos clase e intervalo de clase se utilizan a menudo indistintamente, aunque el intervalo de clase es realmente un símbolo para la clase.

Un intervalo de clase que, al menos teóricamente, no tiene límite superior o inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por ejemplo, al referirse a la edad de grupos de individuos el intervalo de clase, «mayores de 65 años» es un intervalo de clase abierto.

Límites reales de clasesSi las alturas se registran con aproximación de pulgada, el intervalo de clase 60 - 62 teóricamente incluye todas las medidas desde 59,5000... a 62,5000 … pulgadas. Estos números, representados brevemente por los números exactos 59,5 y 62,5, se conocen como límites reales de clase o límites verdaderos de clase; el menor de ellos, 59,5, es el límite real inferior y el mayor de ellos, 62,5, es el límite real superior.

Prácticamente, los límites reales de clase se obtienen sumando al límite superior de un intervalo de clase el límite inferior del intervalo de clase contiguo superior y dividiendo por 2.

A veces, los límites reales de clase se utilizan para simbolizar las clases. Por ejemplo, las diferentes clases de la primera columna de la Tabla 1 podrían indicarse por 59,5 - 62,5, 62,5 - 65,5, etc. Sin embargo, con tal notación aparece una ambigüedad, pues los límites reales de clase no coincidirían con las observaciones reales. Así si una observación fuese 62,5 no sería posible discernir si pertenece al intervalo de clase 59,5 - 62,5 o al 62,5 - 65,5.

TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE

El tamaño o anchura de un intervalo de clase es la diferencia entre los límites reales de clase que lo forman y se conoce como anchura de clase, tamaño de clase o longitud de clase. Si todos los intervalos de clase de una distribución de frecuencias tienen igual anchura, esta anchura común se representa por c. En tal

caso, c es igual a la diferencia entre dos sucesivos límites de clase inferiores o superiores. Para los datos de la Tabla 1, por ejemplo, el intervalo de clase es c = 62,5 - 59,5 = 65,5 - 62,5 = 3.

Marca de clase

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos72/distribucion-frecuencias/distribucion-frecuencias.shtml#distribuca#ixzz2NB3LnIPj

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Las distribuciones o tablas de frecuencias permiten resumir los datos en una tabla que recoge:

• valores de la variable o modalidades del atributo,

• frecuencia absoluta o número de veces que aparece cada valor o modalidad en la muestra,

• porcentaje de veces que aparece cada valor de la variable o modalidad del atributo sobre el total de

observaciones,

• porcentaje válido calculado sobre el total de observaciones excluidos los valores missing,

• porcentaje acumulado hasta cada uno de los valores de la variable ordenados de menor a mayor. Este

porcentaje tiene interpretación sólo en los casos en que la variable sea susceptible de medida por lo menos

en una escala ordinal.

Para obtener la tabla de frecuencias se procede con el menú:

Analizar

Estadísticos Descriptivos

Frecuencias

En el cuadro de diálogo Frecuencias se seleccionan las variables para las que se quiere obtener sus

correspondientes tablas de frecuencias unidimensional y se trasladan al cuadro Variables con el

botón  . Para obtener la distribución de frecuencias debe estar activada la opción Mostrar tablas

de frecuencias. La tabla que aparece en el visor de resultados no agrupa en intervalos o clases los

valores de la variable; si se desea agruparlos es necesario recodificar previamente la variable (en otra

variable) definiendo los límites de los intervalos*

Además, el cuadro de diálogo Frecuencias permite activar otras opciones con los botones:

• Estadísticos

• Gráficos

• Formato

Estas opciones pueden utilizarse teniendo o no activada la opción Mostrar tablas de frecuencias.

 

ESTADÍSTICOS

La opción Estadísticos abre un cuadro de diálogo que permite la obtención de las principales medidas

de síntesis o estadísticos de una distribución unidimensional de frecuencias. éstos se presentan

agrupados en cuatro clases: Valores percentiles, Tendencia central, Dispersión y Distribución.

• Valores percentiles son aquellos valores de la variable que dividen a la distribución de frecuencias en

partes con igual número de observaciones: así, los cuartiles la dividen en cuatro partes guales y se obtienen

directamente activando la opción Cuartiles. Si interesan los valores que dividen la distribución en k partes

iguales se activa la opción Puntos de corte para (por defecto 10) grupos iguales, lo que proporciona los

deciles de la distribución. En la opción Percentiles es necesario indicar cuales de ellos se desean,

incluyéndolos de uno en uno con el botón Añadir.

• Tendencia central permite seleccionar Media, Mediana y Moda de la distribución, así como la Suma de

todos los valores de la distribución.

• Dispersión permite seleccionar las siguientes medidas: Varianza, como resultado del cálculo de la

expresión,  y Desviación típica; el error típico de la media (E.T.media) que se define

como  , así como los valores Mínimo y Máximo de la variable y la Amplitud o recorrido de la variable.

• Por último, en Distribución pueden obtenerse las siguientes medidas relativas a la forma de la distribución: 

coeficiente de Asimetría, error típico de asimetría, coeficiente de Curtosis y error típico de curtosis,

calculadas mediantelas siguientes expresiones:

Asimetría 

Error típ. de asimetría 

Curtosis 

Error típ.de curtosis 

 

GRÁFICOS

Los gráficos asociados a la tabla de frecuencias que recoge del cuadro de

diálogo Frecuencias son: Gráficos de barras,Gráficos de sectores o Histogramas. Para seleccionar el

que interesa se activa la opción Gráficos que abre el siguiente cuadro de diálogo:

Si la característica objeto de análisis es un atributo los gráficos adecuados son el gráfico de barras o

de sectores; en ambos casos pueden realizarse con frecuencias absolutas o con relativas

seleccionando Frecuencias o Porcentajes, respectivamente. Si la característica es cuantitativa el

gráfico adecuado es el histograma que, a su vez, puede obtenerse superponiéndole la Curva de la

distribución normal activando la opción correspondiente.  

 

FORMATO

Para modificar el aspecto de los resultados, ya sean, tablas o estadísticos, se activa la

opción Formato que abre el cuadro de diálogo siguiente:

Con las siguientes opciones:

• Ordenar por: se puede elegir entre distintos criterios de ordenación de los valores de la variable en la tabla

de frecuencias. Por defecto, los valores aparecen en orden ascendente; pero también es posible una

ordenación descendente o una ordenación por frecuencias, tanto ascendente como descendente, activando

las opciones correspondientes.

• Múltiples variables: se puede seleccionar el tipo de presentación de los cuadros de estadísticos cuando se

realiza simultáneamente el análisis unidimensional de dos o más variables. Por defecto, está activada la

opción Comparar variables que proporciona un único cuadro que contiene los estadísticos seleccionados

correspondientes a todas las variables. Si se selecciona la opción Organizar resultados según variables se

obtiene un cuadro de estadísticos para cada variable por separado.

El cuadro Frecuencias: Formato también ofrece la posibilidad de limitar la elaboración de tablas de

frecuencias sólo para Aquellas variables que presentan un número reducido de valores o categorías.

Para ello se debe indicar en el recuadroSuprimir tablas con más de (por defecto 10) categorías el

número de categorías a partir del cual no se desea la elaboración de la tabla.

 

EJEMPLOS

Ejemplo 1. Con la base de datos Enctran.sav obtener la tabla de frecuencias, el diagrama de barras y los

estadísticos media, mediana, moda, desviación tipo, varianza y las medidas de forma (asimetría y curtosis)

de las variables: Como, Rapi e Inde.

Vamos a realizar la descripción de la variable Como, dejando al lector la descripción de las variables

Rapi e Inde.

Con la secuencia Analizar > Estadísticos Descriptivos > Frecuencias se abre un cuadro de diálogo

donde se selecciona la variable Como; con el botón Estadísticos se activan las medidas que se desean

obtener y con el botón Gráficos se activa la opción Gráficos de barras.

Se obtienen los siguientes cuadros:

En base a estos resultados se concluye:

- La base de datos no presenta para esta variable ningún valor missing, de forma que las 114 observaciones

son todas válidas.

- Las medidas de posición (media, mediana y moda) indican el valor central de la distribución, y en este caso

aproximadamente coinciden los tres estadísticos en el valor 5. Esto significa que la distribución es bastante

simétrica y que la valoración media de la comodidad del medio de transporte no es ni buena ni mala.

- La desviación típica es 2,52 que sobre una media de 5,1 indica que la dispersión de los datos con respecto a

la media es moderada.

- El coeficiente de asimetría toma el valor 0,182 que no es significativo ya que presenta un error estándar

0,226 y, por lo tanto, puede considerarse que la distribución es simétrica. La curtosis de esta variable es -

0,126 con un error estándar de 0,449 lo que indica que la distribución es mesocúrtica.

- La distribución de la variable es unimodal, prácticamente simétrica y campaniforme como se observa en el

gráfico.

 

Ejemplo 2. Con la misma base de datos Enctran.sav obtener la tabla de frecuencias y el diagrama de barras

de la variable Trans.

Entre otros resultados se observa que los porcentajes correspondientes a las tres modalidades de

transporte público acumulan el 83,3% de los estudiantes y, únicamente, el 12,2% utiliza transporte

privado. Al ser una variable cualitativa el único estadístico representativo de la distribución es la moda

que, en este caso, es la modalidad Metro que representa un 46,5% del total.

Ejemplo 3. Con la base de datos Enctran.sav obtener la tabla de frecuencias y la representación gráfica

adecuada para la variable Coste, agrupando los valores en los siguientes intervalos: [0,5000) [5000,10000)

[10000,15000) [15000, 20000).

Para obtener la tabla con los valores agrupados en intervalos es necesario, en primer lugar, recodificar

los valores en una nueva variable. Para ello, se activa la opción Recodificar > En distintas variables del

menú Transformar. En el cuadro de diálogo que aparece:

• Se selecciona la variable Coste.

• En Variable de Resultado se indica el nombre elegido para la nueva variable, por ejemplo, 'Coste1'.

• Se etiqueta la nueva variable, 'Coste recodificado'.

• Se definen los intervalos activando Valores antiguos y nuevos. Para definir el primer intervalo se

activa enValor antiguo la opción Rango: Del menor hasta 5000 y se le asigna como Valor nuevo 1; los

siguientes intervalos se definen activando Rango límite inferior hasta límite superior, asignándoles los

valores 2 y 3. El último intervalo se define mediante Rango 15000 hasta el mayor y se le asigna Valor

nuevo 4.

• Se etiquetan los valores de la variable Coste1. En la ventana Vista de variable o bien con doble clic

sobre la variable Coste1, introducimos las etiquetas de los valores. En Valores se indica:

Valor

 Etiqueta de valor

1  0-50002  5000-100003  10000-150004  15000-20000

• Por último, con Analizar > Estadísticos Descriptivos > Frecuencias se obtiene la tabla de frecuencias

y el histograma, que es el adecuado dada la naturaleza continua de la variable.

Distribucion de frecuenciasPresentation Transcript

1. Probabilidad y Estadística Distribución de frecuencias Ing.

Gerardo Valdés Bermúdes CBTis 224

2. Distribuciones de frecuencias Cuando se trabaja con conjunto

grandes de datos, con frecuencia es útil organizarlos y resumirlos

por medio de construcción de una tabla que liste los distintos valores

posibles de los datos (de forma individual o por grupos), junto con

las frecuencias correspondientes, es decir, el numero de veces que

ocurren dichos valores.

3. Ejemplo Niveles de Cotinina en un grupo de fumadores. 1 0 131

173 265 210 44 277 32 3 35 112 477 289 227 103 222 149 313 491

130 234 164 198 17 253 87 121 266 290 123 167 250 245 48 86 284

1 208 173 11 12 14 1 2 0-99 100-199 200-299 300-399 400-499

Frecuencia Cotinina Distribución de frecuencias de los niveles de

cotinina de los fumadores

4. Distribución de frecuencias Definición: Lista de valores de datos

(ya sea de manera individual o por grupos de intervalos), junto con

sus frecuencias (o conteos) correspondientes. 11 12 14 1 2 0-99

100-199 200-299 300-399 400-499 Frecuencia Cotinina Distribución

de frecuencias de los niveles de cotinina de los fumadores

5. Elementos de una distribución de frecuencias La frecuencia de

una clase particular es el numero de valores originales que caen

dentro de esa clase. Ejemplo: La primera clase de la tabla tiene una

frecuencia de 11, lo que significa que 11 de los valores de los datos

están entre 0 y 99 11 12 14 1 2 0-99 100-199 200-299 300-399 400-

499 Frecuencia Cotinina Distribución de frecuencias de los niveles

de cotinina de los fumadores

6. Elementos de una distribución de frecuencias Los Límites de

clases inferiores son las cifras mas pequeñas que pueden

pertenecer a las diferentes clases. Ejemplo: Los limites de clase

inferiores de la tabla son: 0, 100, 200, 300 y 400. 0 -99 100 -199 200

-299 300 -399 400 -499 11 12 14 1 2 0-99 100-199 200-299 300-399

400-499 Frecuencia Cotinina Distribución de frecuencias de los

niveles de cotinina de los fumadores

7. Elementos de una distribución de frecuencias Los Límites de

clases superiores son las cifras mas grandes que pueden pertenecer

a las diferentes clases. Ejemplo: Los limites de clase superiores de

la tabla son: 99, 199, 299, 399 y 499. 0- 99 100- 199 200- 299 300-

399 400- 499 11 12 14 1 2 0-99 100-199 200-299 300-399 400-499

Frecuencia Cotinina Distribución de frecuencias de los niveles de

cotinina de los fumadores

8. Elementos de una distribución de frecuencias Las fronteras de

clase son las cifras para separar las clases, aunque sin los espacios

creados por los limites de clases. Se calculan de la siguiente

manera: 1. Se determina el tamaño del espacio entre el limite de

clase superior de una clase y el limite de clase inferior de la siguiente

Para éste caso el espacio es de una unidad 11 12 14 1 2 0-99 100-

199 200-299 300-399 400-499 Frecuencia Cotinina Distribución de

frecuencias de los niveles de cotinina de los fumadores

9. Elementos de una distribución de frecuencias Las fronteras de

clase son las cifras para separar las clases, aunque sin los espacios

creados por los limites de clases. 2. Se suma la mitad de esa

cantidad a cada limite de clase superior , para obtener las fronteras

de clases superiores y se resta la mitad de esa cantidad a cada

limite de clase inferior, para obtener las fronteras de clases

inferiores. +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 +0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5-99.5

99.5-199.5 199.5-299.5 299.5-399.5 399.5-499.5 11 12 14 1 2 0-99

100-199 200-299 300-399 400-499 Frecuencia Cotinina Distribución

de frecuencias de los niveles de cotinina de los fumadores

10. Elementos de una distribución de frecuencias Las marcas de

clases son los puntos medios de las clases. Se calculan sumando el

limite de clase inferior con el limite de clase superior y dividiendo la

suma entre dos. 49.5 149.5 249.5 349.5 449.5 11 12 14 1 2 0-99

100-199 200-299 300-399 400-499 Frecuencia Cotinina Distribución

de frecuencias de los niveles de cotinina de los fumadores

11. Elementos de una distribución de frecuencias La anchura de

clase es la diferencia entre dos limites de clase inferiores

consecutivos o dos fronteras de clase consecutivas. En ésta tabla, la

achura de clase es igual a 100 11 12 14 1 2 0-99 100-199 200-299

300-399 400-499 Frecuencia Cotinina Distribución de frecuencias de

los niveles de cotinina de los fumadores

1. Escalas de medición:Corresponde a la Situación 1, es decir, es una escala en que se establece un número determinado de clases o categorías de tal modo que cada elemento de la población pertenece a una y sólo una clase. Matemáticamente se dice que se ha establecido una relación de equivalencia entre los elementos de la población. Si sólo existen dos clases se denomina escala dicotómica. La única operación matemática que se puede realizar con las clases de cualquier escala nominal es determinar las cantidades de elementos que les corresponden determinar sus frecuencias.

Por ejemplo:

Sexo: las clases son masculino o femenino. Especialidad: las diferentes especialidades (carreras) del CRUSAM. Número de cedula de identidad personal. Temperatura de una persona: sanguíneo, flemático, melancólico, colérico. Número de placa de automóviles del país.

a. Escala Nominal:

Corresponde a la Situación 1, es decir, es una escala en que se establece un número determinado de clases o categorías de tal modo que cada elemento de la población pertenece a una y sólo una clase. Matemáticamente se dice que se ha establecido una relación de equivalencia entre los elementos de la población. Si sólo existen dos clases se denomina escala dicotómica. La única operación matemática que se puede realizar con las clases de cualquier escala nominal es determinar las cantidades de elementos que les corresponden determinar sus frecuencias.

Por ejemplo:

Sexo: las clases son masculino o femenino. Especialidad: las diferentes especialidades (carreras) del CRUSAM. Número de cedula de identidad personal. Temperatura de una persona: sanguíneo, flemático, melancólico, colérico. Número de placa de automóviles del país.

a. Escala Ordinal:

Corresponde a la Situación 2. Es una escala nominal entre cuyas clases está definido un orden, de modo que cualquiera que sean dos de ellas, una será mayor o superior, en algún sentido, que la otra.

Por ejemplo:

Evaluaciones en un examen: 5, 4, 3 y 2. Grado de satisfacción de una necesidad: alto, medio, bajo Conocimiento de un idioma: excelente, bien, regular, mal

a. Escala de Intervalos:

Corresponde a la situación 3 y no es más que una escala ordinal con una distancia, una unidad de medida entre sus clases de modo tal que dado dos puntajes cualesquiera se puede saber cuan distante está uno del otro. La unidad de medida es arbitraria, pero común y el punto de inicio (cero) es también arbitrario.

Cuando se tiene una escala de intervalo se pueden realizar las operaciones de adición y sustracción, pero no necesariamente la multiplicación y división dentro de la escala.

Por ejemplo:

La temperatura del aire. (caluroso, fresco, agradable, etc.)

a. Escala de Razones:

Corresponde a la situación 4 y es una escala de intervalos donde existe un cero absoluto que marca la ausencia total del atributo en estudio.La proporción entre los atributos de dos individuos cualesquiera es independiente de la escala de medida utilizada. En ella la razón entre dos clases (puntajes) cualesquiera permanece invariable ante toda la transformación de la escala de razón, o sea ante toda transformación del tipo y=Φ(x). De aquí que siempre el cero de la escala transformada coincide con el cero de la escala original.

En las escalas de razones es posible realizar todas las operaciones aritméticas con los puntajes.

Por ejemplo:

Estatura de los alumnos: la estatura en metros es proporcional a la estatura en pulgadas. Peso de los alumnos: (en libras o kilogramos) El tiempo invertido en una prueba de velocidad en educación física (en minutos o segundos).

1.

2. La representación de los datos: FRECUENCIAS.Cuando se reúne gran cantidad de datos primarios es útil distribuirlos en clases y categorías y determinar las frecuencias de las clases, o sea, el número de elementos que pertenecen a una clase. El ordenamiento tabular de los datos por clases conjuntamente con las frecuencias de clases se denomina distribución de frecuencias

El caso que se describe a continuación, variables discretas se denomina distribución por conteo de valores individuales. Supongamos que un determinado colectivo, representado por la variable estadística Xi, que para mayor sencillez consideraremos como unidimensional; sean los datos de esta variable (representativo cada uno de ellos de un suceso) X1, X2, … , Xn (supuesto que sean n los valores de la variable considerada.)

Definiremos como frecuencia de un dato el número de veces que este aparece en el colectivo; consecuentemente, si una variable estadística toma r valores, cada uno de los cuales puede repetirse un cierto número de veces, podríamos decir que el número de datos representado por la variable serían N, siendo N la suma de las respectivas frecuencias de cada dato (N=ΣXi).

Este valor N será denominado como frecuencia total, mientras que la frecuencia de cada dato recibirá el nombre de frecuencia absoluta o simplemente frecuencia (fi). La frecuencia absoluta nos habla del número de veces que un dato aparece en un colectivo, más ello no nos dice demasiado en orden al establecimiento de comparaciones sobre la importancia de este dato. Para obtener una idea de la importancia que un dato posee en el seno de un colectivo, puesto que no es suficiente concepto de frecuencia, se utiliza el concepto frecuencia relativa, que se definirá como: el coeficiente entre la frecuencia absoluta del dato considerado y la frecuencia total (fr=fi/ΣXi).

Para efectos prácticos, asumiremos las siguientes definiciones de frecuencias:

frecuencias absolutas : es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable y se representa por fi.

frecuencias relativas: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fri

frecuencias absoluta acumulada: para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por fa, se puede acumular, en la tabla estadística) en orden ascendente (fa↑) o descendente (fa↓).

frecuencia relativa acumulada: al igual que en el caso anterior se calcula como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra (N) y la denotaremos por fra.

Resumiendo lo expuesto, si Xi es un valor de la variable, podemos representar por fi a su frecuencia y por fi/ΣXi a su frecuencia relativa (siendo ΣXi=N o la frecuencia total). Para el conjunto de los valores de la variable Xi tendríamos, así la tabla #1, compresiva de la información sobre dicha variable, a través de las respectivas frecuencias:

Tabla #1: Variables Discretas

Valores de la variable Xi

(datos)

frecuencias absolutas

fi

frecuencias relativas

fi/N

X1 f1 f1/N

X2 f2 f2/N

… … …

… … …

Xn fn fn/N

Donde: N=Σfi y Σfi/N=1

Otro es el caso de las clases representadas en forma de intervalos, variables continuas, llamados intervalos de clases que poseen extremos llamados limite inferior y limite superior, Un intervalo se dice que es abierto o no cerrado, por un extremo si no contiene el límite correspondiente.

La longitud, tamaño o amplitud de un intervalo de clases (C) es la diferencia entre los limites superior e inferior (C=lim sup – lim inf). El Recorrido (R) es la diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto da datos en estudio (R=Xn – X1)

En el caso de variables continuas será necesario fijar intervalos de frecuencias para llegar a un resumen efectivo de la información original. A menudo es necesario representar una clase, o más particularmente, un intervalo por un único valor, este representará a todo el intervalo y se denominará marca de clases. Matemáticamente el punto medio de cada intervalo corresponde a lo que denominamos marca de clase, se

denotará por Xi, y constituirá el valor representativo de cada intervalo. El número de observaciones que correspondan a cada intervalo se denominará frecuencias absolutas.

Tabla #2: Variables Continuas

Intervalos

(C)

Marcas de Clases

Xi

Frecuencias Absolutas

fi

X1-X2 X1 f1

X2-X3 X2 f2

… … …

… … …

Xn-1-Xn Xn fn

Donde

N = Σfi = Número de observaciones

C = X’ – X" = Amplitud del intervalo

Por último, en el caso de variables no mensurables, dicha tabla adoptará una forma como la siguiente:

Tabla #3: Variable Ordinales

Variable Frecuencias

Característica A fA

Característica B fB

… …

… …

Característica Z fZ

1.1.

2. Reglas Generales para construir las distribuciones de frecuencias por intervalos

A = ( X1, X2, … , Xn )

2. Efectuar el arreglo ordenado (Ascendente o Descendente) de la población o muestra3. Obtener la frecuencia absoluta mediante la tabulación o conteo de los datos (homogenizar los datos)

R = (valor mayor – valor menor) = Xn – X1

4. Encontrar el rango o recorrido (R) de los datos:

5. Encontrar el número de clases o intervalos de clases (K). El número de clases debe ser tal que se evite el detalle innecesario, pero que no conduzca a la perdida de más información de la que puede ser convenientemente ignorada. Para este cálculo se utiliza la formula de Sturges

K = 1 + 3.322(log. N)

5- Determinar la amplitud de la clase ( C ):

R

C = --------

K

Nota: el resultado siempre se aproxima al siguiente entero si excede al número entero obtenido, no importa el monto de la fracción excedida al entero

˜ C = se lee "se aproxima a…"

6. El dato menor (X1) será el limite inferior de la primera clase. A él se le suma C y se obtiene el limite superior de la primera clase que también será el limite inferior de la segunda clase. Luego se suma nuevamente C y se obtiene el limite superior del segundo intervalo e inferior del tercero. Y así sucesivamente hasta que el limite superior corresponda o supere ligeramente el valor mayor ( Xn ), la cantidad de clases obtenidas deberá corresponder con el número K calculado mediante la formula de Sturges.

7. Una vez construidos los intervalos se calculan, mediante tabulación de acuerdo a los limites inferiores y superiores de las clases, las frecuencias absolutas, relativas, porcentuales y acumuladas correspondientes.

8. Con los datos obtenidos se procede a construir la tabla de distribución de frecuencia.

1.

2. Tabla de distribución de frecuencias.Una de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla, que denominaremos distribución de frecuencias, en la que cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc.

Por tanto, llamaremos distribución de frecuencias a un agrupamiento de datos en clases acompañada de sus frecuencias: frecuencias absolutas, frecuencias relativa o frecuencia porcentuales. En caso de que las variables estén al menos en escala ordinal aparecen opcionalmente las frecuencias acumuladas absolutas, y frecuencias acumuladas porcentuales. Las distribuciones de frecuencias varían en dependencia si corresponden a una variable discreta o a una variable continua.

Ejemplo #1: Variable Continua:

La tienda CABRERA’S Y ASOCIADOS estaba interesada en efectuar un análisis de sus cuentas por comprar. Uno de los factores que más interesaba a la administración de la tienda era el de los saldos de las cuentas de crédito. Se escogió al azar una muestra aleatoria de 30 cuentas y se anotó el saldo de cada cuenta (en unidades monetarias) como sigue:

77.97 13.02 17.97 89.19 12.18 8.15 34.40 43.13 79.61 90.99

43.66 29.75 7.42 93.91 20.64 21.10 17.64 81.59 60.94 43.97

32.67 43.66 51.69 53.40 68.13 11.10 12.98 38.74 70.15 25.68

Solución:

1. A= ( 7.42, 8.15, …, …, …, 90.99, 93.91 )

donde: X1 = valor mínimo = 7.42

Xn= valor máximo = 93.91

2. Efectuar el arreglo ordenado de la población o muestra:

R = valor mayor – valor menor = Xn – X1 = 93.91 – 7.42 = 86.49

3. Encontrar el rengo o recorrido de los datos: "R"

K=1+3.322(log N)

Nota: en el ejemplo en estudio N=30 por cuanto que son 30 clientes en la muestra:

K = 1 + 3.322 (log 30)

= 1 + 3.322 (1.477) el log fue obtenido según calculadora

= 1+ 4.9069

= 5.9069 ~6 aproximado al siguiente entero

4. Encontrar en número de clases "K" , según la fórmula de Sturges:5. Determinar la amplitud de la clase: "C"

Nota: obsérvese que se va a trabajar con una cifra significativa más cómoda, o sea como los datos están dados en centésimos, se calculo C hasta los milésimos para evitar que algún dato coincida con el límite de clases

Clases P.M.

Xi

fi fr fa↓ fa↑ fra↓ fra↑

7.420 – 21.835 14.628 10 0.33 10 30 0.33 1.00

21.835 – 36.250 29.043 4 0.13 14 20 0.46 0.67

36.250 – 50.665 43.458 5 0.17 19 16 0.63 0.54

50.665 – 65.080 57.873 3 0.10 22 11 0.73 0.37

65.080 – 79.495 72.288 3 0.10 25 8 0.83 0.27

79.495 – 93.910 86.703 5 0.17 30 5 1.00 0.17

Total XXX 30 1.00 XXX XXX XXX XXX

Simbología utilizada:

XI = Punto medio o marca de clases

fi = frecuencia absoluta

fr = frecuencia relativa

fa↓ = frecuencia absoluta acumulada descendente

fa↑ = frecuencia absoluta acumulada ascendente

fra↓ = frecuencia relativa acumulada descendente

fra↑ = frecuencia relativa acumulada ascendente

Nota:

i. Obsérvese que el límite inferior de la primera clase es el valor mínimo ( X1=7.42 ) y el límite superior es el resultado de X1+C = 7.42+14.415 = 21.835.

ii. El límite inferior de la siguiente clase es igual al límite superior de la clase anterior y el límite superior es el resultado de adicionarle nuevamente la amplitud de la clase ( C ).

iii. Obsérvese que el límite superior de la última clase es igual al valor mayor ( Xn=93.91 )

1.

2. Representaciones Gráficas de la Distribución de Frecuencias

a. Los Cuadros estadísticos:

La estadística es una disciplina que nos enseña a organizar los datos recogidos para poder analizar sus características y posteriormente inferir, a partir de las muestras tomadas, las características de la población investigada. Los cuadros o tablas corresponden a arreglos sistemáticos de los datos por filas y columnas y son un buen complemento del texto en los informes

El primer procedimiento estadístico consiste en tabular los datos según el tipo de escala de medición utilizada. La tabulación de los datos conlleva a representar la información a través de tablas que de forma general contiene las siguientes partes fundamentales:

1.2. Numeración (siempre que se presenten dos o más cuadros)

3. Título: es la descripción que precede al cuadro, la cuál deberá estar redactada en forma breve y clara, de tal manera que exprese su contenido, siguiendo el ordenamiento del mismo. Es necesario abarcar las características: Qué, Dónde, Cómo y Cuándo

4. Encabezamiento: se refiere al número de atributos o variables que se quieren representar en el cuadro y se anotan como denominaciones de las columnas y subcolumnas; puede ser unidimensional, bidimensonial o multidimensional. Los títulos de las columnas van en mayúsculas y los subtítulos en minúsculas

5. Cuerpo: es el conjunto de columnas y líneas que contiene el cuadro en orden vertical y horizontal, donde se colocan los datos sobre los hechos observados

6. Pie: se refiere a la información adicional necesaria a saber: notas, llamadas, fuentes de información y otras. Se anotan en el espacio debajo de la línea inferior que limita el cuerpo del cuadro.

a. Los Gráficos Estadísticos:

El gráfico es quizás el auxiliar más valioso y utilizado para expresar datos estadísticos, este elemento no le añade novedad a las tablas o cuadros estadísticos, es de fácil comprensión y accesible a un número mayor de usuarios. El gráfico además de expresar visualmente los hechos más importantes de la información numérica, permite una mejor y más fácil comprensión y ahorra tiempo y esfuerzo en el análisis de datos estadísticos al facilitar su apreciación visual en forma conjunta:

-Histogramas de frecuencias:

Un histograma es un gráfico que sirve para representar una distribución de frecuencias. Este gráfico está formado por un conjunto de rectángulos (caso de variables continuas) que tienen como base un eje horizontal (generalmente el eje de las abscisas o de las X), y como centro los puntos medios de las clases. Los anchos de las clases y las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases. En el caso de las variables discretas el gráfico consiste de un conjunto de barras verticales en lugar de rectángulos, hallándose cada barra sobre la observación respectiva y con una altura proporcional a la frecuencia de la observación

- Polígono de frecuencias:

El polígono de frecuencias es un gráfico formado por líneas quebradas, que tiene los centros de las clases representadas en un eje horizontal (eje de las X) y las frecuencias de las clases en un eje vertical (eje de las Y). La frecuencia correspondiente a cada centro de clase se señala mediante un punto y luego los puntos consecutivos se unen por líneas rectas. Del correspondiente histograma se puede lograr el polígono de frecuencia uniendo los puntos medios de las bases superiores de cada rectángulos mediante líneas rectas.

-Ojivas:

Las ojivas se refieren a los gráficos que se construyen utilizando una distribución acumulativa de frecuencias, el orden de acumulación se aplica al cuadro de distribución de frecuencia y puede ser descendente (fa↓, fra↓) o ascendente (fa↑, fra↑). La figura que se forma al unir los puntos del polígono de frecuencias acumulativas es lo contrario del orden anunciado (por ejemplo si se utilizó el orden descendente en la acumulación de los datos en el cuadro, la ojiva resulta ser ascendente).

LABORATORIO(Resolver y entregar en grupos de tres estudiantes, equivalen a nota de un parcial)

Problema #1: Variable Continua

En la siguiente tabla se presentan los pesos de 40 estudiantes de la Universidad de Panamá, con una aproximación de una libra.

138 164 150 132 144 125 149 157

146 164 140 147 136 148 152 144

168 126 138 176 163 118 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 126

a. Construya una tabla de distribución de frecuencias, indicando las frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.

b. Construya un histograma, un polígono de frecuencias y una ojiva de la distribución.

Problema #2: Variable Discreta:

Una encuesta entre un grupo de madres-solteras, para analizar los problemas económicos que enfrentan, en determinada comunidad; arrojó los siguientes resultados acerca del número de niños en el hogar.

1 4 2 3 5 3 5 3 3 5

1 1 2 1 4 1 2 1 4 1

2 1 1 2 1 2 3 2 3 3

3 1 3 4 1 1 3 5 4 2

2 5 1 4 2 3 1 2 5 1

a. Construya una tabla de distribución de frecuencias y sus respectivas representaciones gráficas.

Problema #3:

Una compañía de transmisiones electrónicas registro como sigue el número de recibos de servicios prestados por cada una de sus 20 sucursales en el último mes:

808 641 628 731 641 446 342 545 910 568

335 459 727 848 229 347 309 649 575 757

La compañía piensa que una tienda realmente no puede esperar alcanzar financieramente el punto de equilibrio con menos de 456 servicios prestados mensualmente. Además su política es dar un bono financiero al gerente que genere más de 683 servicios al mes. Disponga los datos en una arreglo e indique cuántas sucursales no están consiguiendo el punto de equilibrio y cuántas ganan el bono.

Problema #4:

Una agencia de viajes ofrece precios especiales en ciertas travesías por el Caribe. Planea ofrecer varios de estos paseos durante la próxima temporada invernal en el hemisferio norte y desea enviar folletos a posibles clientes. A fin de obtener el mayor provecho por cada unidad monetaria gastada en publicidad, necesita la distribución de las edades de los pasajeros de travesías anteriores. Se consideró que si participaban pocas personas de un grupo de edad en los paseos no sería económico enviar un gran número de folletos a personas de ese grupo de edad. La agencia seleccionó una muestra de 40 clientes anteriores de sus archivos y se registró sus edades, como sigue:

77 18 63 84 38 54 50 59

54 56 36 50 50 34 44 41

58 58 53 62 62 43 52 53

63 62 62 61 61 52 60 60

45 66 83 63 63 58 61 71

a. Organice los datos en una tabla de distribución de frecuencias de las edades de los clientes en la muestrab. ¿Cuál grupo de edad presenta la mayor frecuencia relativa? ¿Cuál la menor frecuencia relativa?.c. Saque conclusiones que puedan ayudar a la agencia a planear una campaña de publicidad para los

paseos invernales.