Distribuciã“n Binomial y Normal
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Distribucin de ProbabilidadMSc. Wilver Rodriguez Lpez Lic. Estadstica
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VARIABLE ALEATORIASea E un experimento aleatorio y el espacio muestral asociado con el experimento aleatorio. Una funcin X, que asigna a cada uno de los elementos de un nmero real , se le llama variable aleatoria.
E: lanzar una moneda tres veces y observar el nmero de caras.RX
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VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Sea X una v.a. Si el nmero de valores posibles de X (valores que toma la v.a.) es finito o infinito numerable , llamamos a X una variable aleatoria discreta. Esto es, se pueden anotar los valores posibles de X como: x1,x2,x3, .., xn
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Ejemplo Sea el siguiente experimento aleatorio: Lanzar una moneda tres veces y anotar el nmero de caras obtenidas1. ccc 32. ccs 2..7. ssc 1.8. sss 0
Nmero de CarasResultadosProbabilidad de resultadoXP(X)011/8131/8231/8311/8
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FUNCIN DE PROBABILIDAD
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= E(x) = {x * p(x)}VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMTICAVARIANZA
2 = (x - )2 * p(x)
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PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS
DISTRIBUCION BINOMIAL
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Distribucin Binomial:para x = 0,1,2,3,, n n: Nmero de ensayos.x: Nmero de xitos esperadosp: Probabilidad de xito en cada ensayo.q: 1-p Probabilidad de fracaso.
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Caractersticas de una Dist. BinomialSe usa en variables discretas.Solo son posibles en fenmenos que presenta slo dos resultados posibles mutuamente excluyentes (xito: p y Fracaso: 1-p).Los ensayos son independientes.Cada ensayo tiene la misma probabilidad de xito.
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EjemploLa probabilidad de que un individuo vacunado contra una determinada enfermedad se contagie es de 0.3. Un grupo de 10 individuos es vacunado. Calcular las siguientes probabilidades: Contraiga la enfermedad un solo individuo.Al menos dos contraigan la enfermedadComo mximo 2 contraigan.
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SolucinX: N de individuos contagiados con la enfermedad.xi: 1,2,3,,10p=0.3n=10
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= 0.12106
- f(x2)=P[x 2]=1- P[x
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f(x2)=P[x 2]={P[x=0]+P[x=1]+P[x=2]} = {0.0282+0.1211+0.2335} = 0.3828
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Ejercicios:
1. Usando la tabla de la distribucin Binomial, calcular las siguientes probabilidades: . P(x=5 \ n= 7, p=0.20). P(x3 \ n= 5,p=0.30 ). P(x6 \ n= 8,p=0.40 ). P(x>8 \ n= 10,p=0.50 ). P(x
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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
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Es una Distribucin de Probabilidad continua DISTRIBUCION NORMALForma de Campana Gauss _ Unimodal. (X=Me=Mo)
Simtrica.
Asintotica.+
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Para pasar de una Distribucin NormalGeneral a una distribucin Normal EstndarEsta transformacin se conoce como estandarizacin o tipificacin
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DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARSe observa que existe una familia ilimitada de distribuciones normales, combinaciones de y .Por ello se utiliza la Distribucin Normal Estandar con =0 y =1 -3 -2 - + +2 +3 Por
se convierte en: -3 -2 -1 0 1 2 3
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Clculo de reas bajo la Curva NormalP(Z-2.51) = 0.006037 P(Z> 2.51) = P(-2.5 Z 2.51) = = 1- 0.993963 1- P(Z 2.51) = 0.006037 P(Z 2.51) P(Z -2.5) = 0.987926
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Ejemplo:La glucemia basal de los diabticos atendidos en un centro sanitario puede considerarse como una variable normalmente distribuida, con media 106 mg por 100 ml, y desviacin tpica 8 mg por 100 ml.Calcular:La proporcin de diabticos con una glucemia basal inferior a 120 mg por 100 ml.La proporcin de diabticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por 100 ml.La proporcin de diabticos con una glucemia basal mayor a 120 mg por 100 ml.El nivel de glucemia basal tal que por debajo de el estn el 25% de los diabticos, es decir el Q1.
Entre los diabticos, el nivel de glucosa en sangre X, en ayunas, puede suponerse de distribucin aproximadamente normal, con media 106 mg/100ml y desviacin tpica o estndar de 8 mg/100ml.
P(x120) =
- Solucin.X: Glucemia basal el diabticosX ~ N(=106 ; =8)P(X
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P(106
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P(X>120)=1-P(X120) =1-P[Z(120-106)/8] =1-P(Z1.75) =1-0.959941 =0.040059
- P(X
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Aproximacin de la Distribucin Binomial a la Distribucin Normal Si X ~B(n,p), puede aproximarse a una distribucin Normal con =np y =npq cuando se cumplen simultneamente las siguientes condiciones:p>0.05q>0.05 (q=1-p)n30
B(n,p) ~ N(np, npq)
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EjemploUn tratamiento antibitico es efectivo frente a infecciones pulmonares por legionella en el 25% de los casos. Los pacientes mejoran permaneciendo con buen estado general y afebriles antes de transcurridas 72 horas del comienzo del tratamiento. En una epidemia de infecciones pulmonares por legionella se aplica a 80 pacientes.Calcular la probabilidad de que antes de 72 horas de inicio el tratamiento mejoren entre 25 y 30 pacientes, es decir, sea efectivo el tratamiento.
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SolucinX: Nmero de pacientes que mejoran antes de 72 horas de iniciado el tratamiento.n=80p=0.25X~B(80,0.25)Requisitos que se deben cumplir para aproximar a la normal:p=0.25 p>0.05q=0.75 q>0.05n=80 n>30
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Podemos pasar de una B(80,0.25) a una normal con =np=80*0.25=20 y =npq= 80*0.25*0.75=3.87
El problema nos pide calcular: P(25X30)Aproximando a la normal y teniendo en cuenta la correccin por continuidad la probabilidad pedida es:P(24.5X30.5)=P(X30.5)-P(X24.5) =P[Z(30.5-20)/3.87]-P[Z(24.5-20)/3.87] =P[Z2.71]-P[Z1.16] =0.996636-0.876976 =0.119660