Distribución normal

Matemáticas aplicadas a las CCSS II

Ana PolaIES Avempace

Variable aleatoria continua Puede tomar cualquier valor en un intervalo de tiempo. Ejemplo:

Se han registrado los tiempos que le llevó a una empresa de mensajería entregar 190 paquetes con destinatarios diferentes dentro de una misma ciudad. Los datos se han agrupado en una distribución

Supongamos que un posible cliente, conociendo esta información, quisiera saber qué probabilidad tiene de que su paquete sea entregado en dos días. El problema es que al manejar intervalos de cinco días estamos suponiendo que dentro de cada intervalo los datos se distribuyen uniformemente, cosa que no es real.

Una solución es reducir la amplitud de los intervalos. Si lo que le interesa al futuro cliente es la probabilidad de que se

haga una entrega en un cierto tiempo, lo que habría que considerar son las frecuencias relativas.

Intervalo [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)

frec. 115 31 17 12 10 5

Del histograma a la función de densidad 1

Hemos de tener en cuenta que en un histograma la frecuencia relativa está representada por el área del rectángulo y, por tanto, la altura de la barra será lo que llamaremos densidad del intervalo

densidad del intervalo = frecuencia relativa

amplitud del intervalo

Intervalo frec. frec. rel. densidad

[0,5) 115 0,605 0,121

[5,10) 31 0,163 0,033

[10,15) 17 0,089 0,018

[15,20) 12 0,063 0,013

[20,25) 10 0,053 0,011

[25,30) 5 0,026 0,005

Total 190 1

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

[0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)

Suma de las áreas = 1

Del histogramaa la función de densidad 2

Intervalo frec. frec. rel. densidad

[0,3) 93 0,489 0,163

[3,6) 30 0,158 0,053

[6,9) 18 0,095 0,032

[9,12) 13 0,068 0,023

[12,15) 9 0,047 0,016

[15,18) 8 0,042 0,014

[18,21) 6 0,032 0,011

[21,24) 6 0,032 0,011

[24,27) 4 0,021 0,007

[27,30) 3 0,016 0,005

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

[0,3) [3,6) [6,9) [9,12) [12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27) [27,30)

Del histograma a la función de densidad 3

Intervalo frec. frec. rel. densidad

[0,2) 76 0,4 0,2

[2,4) 29 0,153 0,076

[4,6) 18 0,095 0,047

[6,8) 13 0,068 0,034

[8,10) 10 0,053 0,026

[10,12) 8 0,042 0,021

[12,14) 6 0,032 0,016

[14,16) 6 0,032 0,016

[16,18) 5 0,026 0,013

[18,20) 4 0,021 0,011

[20,22) 4 0,021 0,011

[22,24) 4 0,021 0,011

[24,26) 3 0,016 0,008

[26,28) 2 0,011 0,005

[28,30) 2 0,011 0,005

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

[0,2) [2,4) [4,6) [6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)[18,20)[20,22)[22,24)[24,26)[26,28)[28,30)

Del histograma a la función de densidad 4

Intervalo frec. frec. rel. densidad

[0,1) 51 0,268 0,268

[1,2) 25 0,132 0,132

[2,3) 17 0,089 0,089

[3,4) 12 0,063 0,063

[4,5) 10 0,053 0,053

[5,6) 8 0,042 0,042

[6,7) 7 0,037 0,037

[7,8) 6 0,032 0,032

[8,9) 5 0,026 0,026

[9,10) 5 0,026 0,026

[10,11) 4 0,021 0,021

[11,12) 4 0,021 0,021

[12,13) 3 0,016 0,016

[13,14) 3 0,016 0,016

[14,15) 3 0,016 0,016

[15,16) 3 0,016 0,016

[16,17) 3 0,016 0,016

[17,18) 2 0,011 0,011

[18,19) 2 0,011 0,011

[19,20) 2 0,011 0,011

[20,21) 2 0,011 0,011

[21,22) 2 0,011 0,011

[22,23) 2 0,011 0,011

[23,24) 2 0,011 0,011

[24,25) 2 0,011 0,011

[25,26) 1 0,005 0,005

[26,27) 1 0,005 0,005

[27,28) 1 0,005 0,005

[28,29) 1 0,005 0,005

[29,30) 1 0,005 0,005

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

[0,1) [2,3) [4,5) [6,7) [8,9)[10,11)[12,13)[14,15)[16,17)[18,19)[20,21)[22,23)[24,25)[26,27)[28,29)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

[0,1) [2,3) [4,5) [6,7) [8,9)[10,11)[12,13)[14,15)[16,17)[18,19)[20,21)[22,23)[24,25)[26,27)[28,29)

Función de densidad Como

podemos decir que

Si la amplitud del intervalo 0Tamaño de la muestra N ∞ densidad del intervalo =

frecuencia relativa

amplitud del intervalo

probabilidad del evento =

densidad del intervalo⋅amplitud del intervalo

La probabilidad de que un evento ocurra en un intervalo (a,b) es el área bajo la curva de la función en ese intervalo:

Además

Si X es una variable aleatoria continua, llamaremos función de densidad de esa variable a una función f cuyo dominio son todos los valores de la variable aleatoria y tal que:

el área comprendida entre la gráfica

de la función f, el eje X es 1:

La probabilidad de que la variable esté comprendida entre dos valores a y b, P(a ≤ X ≤ b), es el área comprendida entre la función de densidad y el eje X, desde el valor a hasta el valor b.

Definición

1

Ejemplo 1 Los autobuses pasan cada 15 minutos. Nos dirigimos a la parada

sin preocuparnos de la hora. Calcula la probabilidad de esperar: Exactamente 8,5 minutos. No más de 10 minutos. Entre 8 y 13 minutos.

La variable aleatoria es T = “tiempo de espera” y puede tomar los infinitos valores entre 0 y 15.Las probabilidades de todos los tiempos de espera entre 0 y 15 son iguales. Pero hay infinitos valores, la probabilidad de cada tiempo de espera puntual es 0. Por tanto, P(T = 8,5) = 0

Ejemplo 2 Los autobuses pasan por nuestra parada

aproximadamente cada 8 minutos. Sabemos el horario e intentamos llegar a la parada ajustando el tiempo y así esperar lo menos posible. Supongamos que la función de densidad es

Calcula la probabilidad de que: Tengamos que esperar 1 minuto como máximo. La espera esté entre 4 y 5 minutos. Tengamos que esperar más de 7 minutos

Solución En los tres casos

tendremos que hallar el área de un trapecio:

La distribución normal Es el modelo de

distribución de probabilidad más importante para variables continuas.

Su función de densidad es:

que depende de los parámetros y . Abreviadamente: N(, ).

La gráfica de esta función es una curva en forma de campana que se suele denominar campana de Gauss.

Características

Es simétrica respecto de su media .

Tiene un máximo absoluto en x = , que coincide con la moda y la mediana.

En los puntos x = + y x = - tiene dos puntos de inflexión.

El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El dominio son todos los números reales. Cuanto mayor es , más achatada es la

distribución. Un cambio en el valor de supone un

desplazamiento horizontal de la curva.

Una importante propiedad

La distribución N(0,1) A la distribución normal de

media μ=0 y desviación típica σ=1 la denominaremos distribución normal estándar, N(0, 1).

Designaremos como Z a la variable aleatoria correspondiente a esta distribución normal.

Las diferentes áreas que pueden calcularse bajo la curva normal estándar y, por tanto, las probabilidades de Z, están calculadas y expuestas en una tabla.

Manejo de tablas 1

=

Manejo de tablas 2

= -

Manejo de tablas 3

=

Manejo de tablas 4

= -

Tipificación 1

Tipificación 2