Distribución NormalDistribución Normal

Universidad GalileoL.A.S.I.Modelos Y Simulación de SistemasCatedrático: Lic. Erick Reyes

Alumno: Carlos Vinicio Ríos Mérida

Carné: 9900402

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Nota histórica

•Abraham De Moivre (último tercio del siglo XVII y primera mitad del XVIII) es el primer autor en publicar una explicación de la distribución normal (en 1733) tal como la entendemos ahora.

•El marqués de Laplace y Carlos Federico Gauss (matemáticos y astrónomos; ambos entre los siglos XVIII y primera mitad del XIX.

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• Nota histórica

• Quetelet (astrónomo belga) y Galton, ingles, (ambos ya en el siglo XIX).

• Finalmente a Karl Pearson, ingles, (1857-1936) le debemos el término de curva normal.

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Conceptos

•Distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

•Permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.

•Mínimos cuadrados.

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Conceptos

•Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva normal.

•Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística :‡

• La hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.‡

• Se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos.

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Características y propiedades de la distribución normal

•El hecho de que las magnitudes según se van apartando de la media van siendo mucho menos frecuentes lo expresamos gráficamente mediante la curva normal.

•La distribución normal es simétrica, unimodal, de forma acampanada.

•Es continua.

•Es asintótica.

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Propiedades de la distribución normal

•La distribución normal tiene forma de campana.•La distribución normal es una distribución de probabilidad que tiene media = 0 y desviación estándar = 1. •El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1. •La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5. •La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.

•La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros , en consecuencia hay un número infinito de distribuciones

normales.

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• La población incluye todos los datos, la muestra es una porción de la población.

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Definición formal

•Para definir la distribución normal de probabilidad en una fórmula es necesario conocer dos parámetros:

•La media (m): es la suma de datos dividido la cantidad de datos.

•La desviación estándar (s): informa sobre la variación de los datos respecto de la media.

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Definición formal

•La definición de la distribución normal es:

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El valor de z  Determina el número de desviaciones estándar entre algún valor X y la media de la población. Para calcular el valor de Z usamos la siguiente fórmula.     

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El valor de z   La distribución de probabilidad f (Z) es una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1; esto es Z se distribuye normalmente con media cero y desviación estándar = 1

La gráfica de densidad de probabilidad se muestra en la figura.

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La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribución normal estándar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.

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Ejemplo:

El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?

 Calculando el valor de Z obtenemos:

=

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Ejemplo:

Buscamos el valor correspondiente Z en las tabla de distribución normal. Z0.5 = .69146 = 69.146%. siendo esta la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 P (X<500). Dado que el porcentaje pedido es la solución es 1-.69146 =.3085 , 30.85% de los participantes pasarán la prueba.

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• Ejemplo En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el

mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

P [ 21 < X < 27 ] = P (( 21 - 23)/5 < Z < (27- 23)/5) == P ( - 0.4 < Z < 0.8 ) = P ( Z < 0.8 ) – [ 1 – P ( Z < 0.4)] == 0.7881 – ( 1 – 0.6554 ) = 0.4425 * 30 = 13