Dissertação de mestrado

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

Programa de Pós-graduação em Educação Científica e Tecnológica

LEARCINO DOS SANTOS LUIZ

ESBOÇO DE CURVAS NO ENSINO SUPERIOR: UMA PROPOSTA BASEADA NA INTERPRETAÇÃO GLOBAL DE

PROPRIEDADES FIGURAIS E USO DE TECNOLOGIAS

Florianópolis - SC 2010

LEARCINO DOS SANTOS LUIZ

ESBOÇO DE CURVAS NO ENSINO SUPERIOR: UMA

PROPOSTA BASEADA NA INTERPRETAÇÃO GLOBAL DE

PROPRIEDADES FIGURAIS E USO DE TECNOLOGIAS

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Mestre em Educação Científica e Tecnológica. Orientador: Prof. Dr. Méricles Thadeu Moretti

Florianópolis - SC

2010

“...pois criaste o meu interior; entreteceste-me no ventre de minha mãe. Eu te louvo porque de um modo terrível e maravilhoso fui

formado; maravilhosas são as tuas obras, e minha alma o sabe muito bem.”

Salmos 139:13 e 14

AGRADECIMENTOS

Ao professor Méricles Thadeu Moretti por ter aceitado ser meu orientador e aos professores Ademir Donizeti Caldeira e Ademir Damázio por aceitarem o convite para participar da banca examinadora.

Aos professores e funcionários do PPGECT que trabalham diariamente pelo bom funcionamento do programa e, consequentemente, pelo avanço nas pesquisas em educação em ciências.

Ao Meu Pai, Manoel Learcino Luiz (In Memoriam) pelo seu exemplo de vida e dedicação em minha criação.

À minha mãe Nancy Martins dos Santos pelo amor incondicional.

À minha filha Alana que sempre me traz paz com seu sorriso. Especialmente agradeço e dedico este trabalho à minha esposa

Cellen Giacomelli Groth Luiz pelo seu companheirismo, amor, carinho e dedicação. Sua presença e apoio foram essenciais na realização deste trabalho.

Finalmente agradeço ao Deus Todo Poderoso de Israel, que em nome de seu filho Jesus Cristo, tem me guardado e sustentado durante toda minha vida. Senhor Deus, tu és meu refúgio, minha fortaleza, meu consolo e minha salvação. Em ti está minha esperança!

RESUMO

O esboço de curvas é um conteúdo de grande importância para a compreensão dos conceitos do Cálculo. Baseado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas desenvolvida por Duval, propomos neste trabalho uma nova abordagem deste conteúdo. Duval apontou em seus trabalhos a possibilidade de se trabalhar o esboço de curvas através da interpretação global de propriedades figurais, que é o procedimento onde o conjunto traçado/eixo forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão analítica que permite que se identifiquem as modificações possíveis conjuntamente na imagem e na expressão. No entanto, para o ensino universitário, devido à maior complexidade e variedade das funções tratadas, as conversões simultâneas entre as representações das funções nos dois sentidos se tornam impraticáveis. Neste trabalho, apresentamos a aplicação de uma sequência didática em uma turma de Cálculo I, que nos aponta uma saída para este impasse que é o uso de um conjunto de unidades básicas simbólicas associadas a um conjunto de unidades básicas gráficas, criadas por Moretti, que tem como objetivo intermediar as conversões em ambos os sentidos das representações associado ao uso de tecnologias. Palavras-chave: Esboço de curvas, Registros de Representação Semiótica, Ensino de Cálculo, Tecnologias educacionais.

ABSTRACT

The sketch of curves is a content of great importance for the understanding of the concepts of calculus. Based in the Theory of the Registers of Representations Semiotics developed for Duval, we propose in this work, a new approach of this content. Duval pointed out in his work on the possibility of working outline curves through the interpretation of global figural properties, that is the procedure where the set traced / axis form an image that represents an object described by an analytical expression which allows to identify possible modifications together the image and expression which allows to identify possible modifications together the image and expression. However, for university education, due to greater complexity and variety of the treated functions, the simultaneous conversions between the representations of functions in the two directions if become impracticable. In this work, we present the application of a didactic sequence in a class of Calculus I, that shows an exit for this impasse that is the use of a set of basic symbolic units associates to a set of graphical basic units, created by Moretti, that has as objective to intermediate the conversions in both the directions of the representations associated to the use of technologies. Key-words: Sketch of curves. Registers of Representation Semiotics. Education of calculus. Educational technologies.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Ilustração 1: Translação vertical e horizontal da função y = 2x2 ......................42

Ilustração 2: Gráfico da função 121

+=

x

xy ................................................43

Ilustração 3: Gráfico de 121

−=

x

xy ............................................................44

Ilustração 4: Esquema de conversão no trabalho tradicional de esboço de curvas no ensino de Cálculo ..............................................................................45

Ilustração 5: Esboço da curva associada à função 12

2

+=

x

xy ........................46

Ilustração 6: Esquema de conversão entre representações simbólicas e gráficas propostas. Fonte: Moretti et al. (2010). ..............................................................58

Ilustração 7: unidades básicas gráficas identificadas a partir das unidades básicas simbólicas. Fonte: Moretti et al. (2010). ...............................................60

Ilustração 8: Junção das unidades básicas gráficas da figura 7 ........................61


2

+=

x

xy obtida no software Derive ........61

Ilustração 10: Gráfico atualizado da função 12

2

+=

x

xy ................................62

Ilustração 11: Plotagem inicial da função do problema 1 no software Derive .75

Ilustração 12: Plotagem ajustada da função do problema 1 no software Derive ...........................................................................................................................76

Ilustração 13: Gráfico com escalas ajustadas da função do problema Fonte: Elaborado pelo autor (2010). .............................................................................86

Ilustração 14: Gráfico com escalas ajustadas da função do problema 2 ........... 87

Ilustração 15: Gráfico das derivadas de primeira e segunda ordem da função do problema 2 ......................................................................................................... 89

Ilustração 16: Gráfico da função do problema 2 .............................................. 92

Ilustração 17: Gráfico das derivadas de primeira e segunda ordem da função do problema 2 ......................................................................................................... 93

Ilustração 18: Primeira visualização do esboço do gráfico da função

rrrA

2000..2)( 2

+= π no software Derive .......................................................... 97

Ilustração 19: Visualização do esboço do gráfico da função

rrrA

2000..2)( 2

+= π com ajuste de escalas ...................................................... 98

Ilustração 20: Esboço do gráfico da função r

rrA2000

..2)( 2+= π criada por

uma das duplas de alunos. ................................................................................. 99

Ilustração 21: Tabela de unidades básicas referente ao item “c” do problema 1 sem as devidas identificações de x0 ................................................................. 101

Ilustração 22: Tabela de unidades básicas referente ao item “c” do problema 1 com identificações de x0 na própria escrita das unidades simbólicas. .......... 102

Ilustração 23: Tabela de unidades básicas referente ao item “c” do problema 1 com identificações de x0 na própria escrita das unidades simbólicas .............. 103

Ilustração 24: Exemplo de descrição do item d do problema 2 ...................... 104

Ilustração 25: Exemplo de descrição do item d do problema 2 ...................... 104

Ilustração 26: Gráfico da função do problema ............................................... 105

Ilustração 27: Gráfico das derivadas de primeira e segunda ordem da função do problema 2 ....................................................................................................... 107

Ilustração 28: Esquema de conversão de registros de representações semióticas para o estudo de funções no ensino superior. .................................................. 111

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Análise da função linear ....................................................................47

Tabela 2: Análise das características da função 1x

xy

21+

= .........................48


xy

21+

= .........................49

Tabela 4: Tabela 13 de unidades básicas. .........................................................56

Tabela 5: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (ver tabela 12 no anexo 1). ..................................................................................................63

Tabela 6: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (ver tabela 17 no anexo 1). ............................................................................................................63

Tabela 7: Unidade básica associada a um ponto de mínimo (ver tabela 13 no anexo 1) .............................................................................................................64

Tabela 8: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (ver tabela 18 no anexo 1) .............................................................................................................64

Tabela 9: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (ver tabela 10 no anexo 1) ...................................................................................................64

Tabela 10: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (já adaptada ao problema). ......................................................................................65

Tabela 11: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (já adaptada ao problema) ...........................................................................................................65

Tabela 12: Unidade básica associada a um ponto de mínimo (já adaptada ao problema) ...........................................................................................................66

Tabela 13: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (já adaptada ao problema) ...........................................................................................................66

Tabela 14: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (já adaptada ao problema) .......................................................................................67

Tabela 15: Tabela apresentada na questão c do problema 1 .............................. 77

Tabela 16: Resolução ideal para a tabela da questão c (problema 1) ................ 78

Tabela 17: Primeira linha da tabela da questão c (problema 1) ........................ 80

Tabela 18: Segunda linha da tabela da questão c (problema 1) ........................ 81

Tabela 19: Terceira linha da tabela da questão c (problema 1) ......................... 81

Tabela 20: Modelo apresentado no anexo 1 (tabela 19) ................................... 83

Tabela 21: Modelo apresentado na questão b (problema 2) .............................. 88

Tabela 22: Resolução ideal para a tabela da questão b (problema 2) ................ 89

Tabela 23: Modelo apresentado no anexo 1 (tabela 17) ................................... 90

Tabela 24: Unidade básica associada a um ponto de inflexão ........................ 100

Tabela 25: Classificação das respostas da questão d (problema 2) ................. 110

Tabela 26: Classificação das ideias centrais (pontos positivos) apresentadas nas respostas do questionário aberto ..................................................................... 113

Tabela 27: Classificação das ideias centrais (pontos negativos) apresentadas nas respostas do questionário aberto ...................................................................... 115

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 25

CAPÍTULO I 31

1.0 PROBLEMÁTICA 31

CAPÍTULO II 36

2.0 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 36

2.1 TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E ESBOÇO DE CURVAS 36

2.1.1 Ensino de Cálculo e uso de TIC’s 49 2.1.2 Unidades básicas 56 2.1.3 Exemplo do uso das unidades básicas para esboço de curvas 59

CAPÍTULO III 69

3.0 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 69

3.1 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA 69 3.1.1 Análise preliminar 71 3.1.2 Análise a priori das atividades 72

3.1.2.1 Análise a priori do problema 1 72 3.1.2.2 Análise a priori do problema 2 85

3.1.3 Aplicação da sequência didática 94 3.1.4 Análise a posteriori das atividades 96

3.1.4.1 Análise a posteriori da atividade 1 96 3.1.4. 2 Análise a posteriori da atividade 2 105

3.1.5 Análise do questionário de percepções dos alunos 112

CONSIDERAÇÕES FINAIS 118

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 121

ANEXOS 129 ANEXO - A: TABELAS DE UNIDADES BÁSICAS 130 ANEXO B - 1ª SEÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA 137 ANEXO B - 2ª SEÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA 140 ANEXO C - EXEMPLO DE ATIVIDADE RESOLVIDA POR UMA DUPLA DE ALUNOS 142

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INTRODUÇÃO

Nos últimos 10 anos tenho vivenciado experiências com o ensino de Cálculo que me levaram à iniciativa de iniciar este trabalho de pesquisa. Primeiramente como aluno de cursos de Engenharia e Matemática, tive meus primeiros contatos com os conceitos de Cálculo e com as dificuldades e desafios inerentes a este ensino na década de 90. O Cálculo também foi marcante em minha carreira profissional, onde depois de concluir uma especialização em Educação Matemática, assumi nos anos de 2006 e 2007, turmas de Cálculo I e II em Universidades Particulares da grande Florianópolis. Nestas experiências pude verificar a real necessidade de adotarem-se novas metodologias para o ensino desta disciplina, a fim de tentar minimizar as dificuldades inerentes ao seu aprendizado.

No início da década de 90, quando tive os primeiros contatos com o Cálculo, ainda não se ouvia muito falar sobre novas metodologias para o ensino desta disciplina. Eram poucos os alunos que possuíam calculadoras gráficas e os laboratórios de informática ainda estavam sendo implantados. Gráficos eram visualizados nos livros didáticos e construídos à mão livre. A metodologia utilizada era fortemente ligada a um único método de organização e apresentação do conteúdo, que ocorria por meio de uma sequência linear de axiomas, definições, teoremas, demonstrações e exercícios. O aluno devia ouvir com atenção a explicação, copiar o conteúdo no caderno e resolver exercícios repetitivos.

Para Pais (2001) este contexto está fortemente atrelado a um contrato didático implícito na relação Professor – saber – aluno:

[...] a ênfase é colocada sobre a importância do conteúdo e a efetivação dessa valorização se faz através da relação entre professor e aluno. As regras do contrato didático são caracterizadas pela predominância de um rígido controle dessa relação, o qual é exercido através do próprio saber. Uma das características desse tipo de contrato é o fato do professor considerar que detém o monopólio do conhecimento, escolhendo a parte essencial dos conteúdos a serem ministradas e não permitindo maior participação do aluno nessa escolha, tal como, trazendo problemas, questões ou sugestões. (PAIS, 2001, p.83).

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Chegamos ao final da primeira década do século XXI, e ao que tudo parece, este “contrato” ainda vigora na grande maioria das universidades, principalmente no ensino superior de Matemática, onde um grande número de Professores ainda ensina Cálculo como há 20 anos atrás. Um crítico a este meu ponto de vista poderia dizer: Mas não se aprendia Cálculo há 20 anos atrás? Engenheiros e matemáticos não se formaram aprendendo Cálculo desta maneira? Ainda não vemos muitos alunos aprendendo cálculo deste modo? Por que não continuar com algo que está dando certo? A resposta a este questionamento, ou, as razões pelas quais criticamos o ensino tradicional e optamos pela pesquisa de novas metodologias alternativas para o ensino de Cálculo fundamenta-se em três pontos fundamentais:

I. O ensino tradicional de Cálculo produz índices significativos de repetência e evasão

Estudos tais como os de Barufi (1999), Rezende (2003), Sad (2003), Nascimento, (2001), entre outros, mostram-nos que a metodologia tradicional utilizada no ensino de Cálculo tem provocado grande número de evasão e repetência nas disciplinas iniciais de Cálculo. Isso nos leva a crer que apenas uma parte dos alunos consegue ter sucesso neste tipo de metodologia e, como afirma Barufi (1999, p.3) “observamos médias de aproveitamento muitas vezes sofríveis e elevados números referentes a alunos que não foram aprovados, caracterizando uma situação que no mínimo, pode ser considerada problemática”. A preocupação com este fato pode ser observada em vários trabalhos apresentados nos COBENGE1, onde professores desta disciplina apresentam propostas de soluções para os problemas dos baixos índices de aprendizagem e elevados índices de repetição e evasão. Entre estas propostas de estudo podemos citar: o uso de projetos de trabalho e de novas tecnologias da informação e comunicação (Flemming e Luz, 2000), uso de calculadoras gráficas e programas computacionais (Lino Franchi, 2001; Baldin , 2001), recurso à modelagem matemática (Ferruzzi e Gonçalves, 2003), estudo das concepções epistemológicas dos professores (Loder, 2001), uso de ambientes de aprendizagem e Educação a distância (Mendes Filho, 2001) e a promoção de cursos de nivelamento para alunos iniciantes (Dziedzic, 2001).

1 Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia

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II. Novas metodologias tem sido estudadas e aprovadas pela comunidade científica de Educação Matemática

A concepção tradicional que aborda os aspectos relativos ao que é matemática escolar e universitária, como ela pode ser abordada, assim como sua aprendizagem, tem sido alvo de estudos e também de intensas críticas nos últimos 20 anos. E é dentro desse panorama que novas propostas e reivindicações vêm sendo encaminhadas pela comunidade internacional de Educação Matemática. Na opinião de Moura (1999), as pesquisas nesta área do conhecimento contribuíram para uma visão desarticulada dos problemas do ensino de matemática. Para esse autor, outras discussões tais como as de Ubiratan D’Ambrosio (1986), J. M. Matos (1989), e Fiorentini (1994), sobre a evolução do conceito de educação matemática, mostram que os problemas de ensino desta disciplina, até meados dos anos 70, foram estudados tomando apenas aspectos isolados de elementos que constituem este ensino. Nesta perspectiva, o “fracasso da matemática” era invariavelmente procurado, ora nos objetivos, ora nos métodos, ora nos conteúdos. Essas discussões têm mostrado, principalmente, que o ensino da Matemática requer contribuições de outras áreas de conhecimento, como a Psicologia, ou da Antropologia e, sobretudo, a consideração de que o processo educativo é em si mesmo multifacetado. Isto é, estas tendências indicam a necessidade de reflexões sobre novas propostas de ensino, para que venhamos a considerar os múltiplos e variados elementos presentes na ação pedagógica do professor, seja ele da área da Matemática ou não. No ensino de matemática, alguns pesquisadores já vêm dando exemplos das muitas possibilidades de trabalhar os conceitos dessa disciplina levando em consideração outras propostas de trabalho. Nesse processo, o ensino revela-se como uma experiência onde o aluno se torna o centro do processo educacional. A resolução de problemas como uma proposta metodológica, assim como a abordagem Etnomatemática dos conteúdos, o recurso às tecnologias da comunicação e informação, a modelagem matemática e o uso de jogos como recurso didático no ensino, constituem abordagens que também acabam valorizando o aluno como um ser ativo, participando do próprio processo de construção do conhecimento matemático. Como afirma Meyer (2002), a Educação Matemática no Brasil se tornou uma área de pesquisa emergente e possui uma sociedade em nível nacional, na qual transitam professores de todos os níveis e temos testemunhado um aumento em quantidade e qualidade em pesquisas

28 nesta área. Ainda neste sentido, Palis (1998) aponta para a importância da educação matemática como área de pesquisa:

A pesquisa em Educação Matemática no ensino Superior constitui uma área bastante nova de investigação. Esta área vem se desenvolvendo rapidamente e vem realizando uma substituição paulatina de um conjunto de atividades centradas em observações/diagnóstico por estudos interpretativos e desenho de estratégias instrucionais fundamentadas em teorias de aprendizagem (PALIS, 1998, p.111).

Desta forma, estamos amparados em uma área de pesquisa, a Educação Matemática, que nos dá suporte para afirmar que é de grande importância e, até mesmo de certa urgência, aplicarmos e estudarmos novas metodologias para o ensino de conceitos matemáticos, quer seja no ensino fundamental ou no ensino superior.

III. Documentos e projetos governamentais apontam para a necessidade do uso de novas metodologias no ensino superior

Documentos como as Diretrizes Curriculares para a educação Básica e Superior (1998) e os princípios orientadores dos Parâmetros Curriculares Nacionais, e, ações como a criação do Programa Nacional de Informática na Educação – ProInfo (1996) e a realização do Exame Nacional de Cursos (1999) têm envolvido estudantes professores e instituições, e suscitado reflexões acerca das práticas pedagógicas realizadas nas Universidades brasileiras e sobre a formação dos profissionais que nelas estudam. Um outro documento importante criado na década de 90 foram as Diretrizes Curriculares para os cursos de Graduação (1998, p.10), que enfatizam uma atitude voltada à formação do estudante diante das mudanças sociais mundiais das últimas décadas e para uma nova perspectiva epistemológica sobre a construção do conhecimento. Alguns destes princípios são:

• Encorajar o aproveitamento do conhecimento, habilidades e competências adquiridas fora do ambiente escolar, inclusive as que se referirem à experiência profissional julgada relevante para a área de formação considerada;

• Fortalecer a articulação da teoria com a prática, valorizando a pesquisa individual e coletiva, assim como os estágios e a participação em atividades de extensão, as quais poderão ser incluídas como parte da carga horária;

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• Incluir orientações para a condução de avaliações periódicas que utilizem instrumentos variados e sirvam para informar a docentes e a discentes acerca do desenvolvimento das atividades didáticas; • Incentivar uma sólida formação geral, necessária para que o futuro graduado possa vir a superar os desafios de renovadas condições de exercício profissional e de produção do conhecimento, permitindo variados tipos de formação e habilitações diferenciadas em um mesmo programa; • Estimular práticas de estudo independentes, visando a uma progressiva autonomia profissional e intelectual do aluno.

Podemos observar que as diretrizes acima apontam para uma prática pedagógica mais centrada no aluno, buscando sua participação efetiva através de pesquisas e desenvolvimento de habilidades e competências. Dentro deste contexto, parece-nos essencial a pesquisa de novas metodologias para o ensino de Cálculo que visem à redução da repetência e evasão nesta disciplina, a inserção de novas metodologias já aprovadas pela comunidade de pesquisadores em educação matemática e em uma postura epistemológica que contemple o aluno como sujeito ativo em sua aprendizagem.

Acreditamos em uma aprendizagem ativa da matemática, ou seja, uma aprendizagem centralizada na ação do aprendiz e também na possibilidade de uma aprendizagem significativa dos conceitos do Cálculo. Uma aprendizagem significativa é aquela em que o aluno, sendo o centro do processo de ensino-aprendizagem, é um agente ativo da construção do seu conhecimento. Dentro deste aspecto Libâneo (1998, p.9) esclarece:

A escola tem, pois o compromisso de reduzir a distância entre a ciência cada vez mais complexa e a cultura de base produzida no cotidiano, e a provida pela escolarização. Junto a isso tem, também, o compromisso de ajudar os alunos a tornarem-se sujeitos pensantes, capazes de construir elementos categoriais de compreensão e apropriação crítica da realidade.

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Portanto, o valor da aprendizagem escolar deve estar na possibilidade de levar os alunos a atribuírem significados pessoais à cultura e à ciência, via mediações cognitivas e internacionais providas pelo professor no processo de ensino aprendizagem.

Pretendemos neste trabalho dar uma pequena contribuição no sentido de inovação do ensino de Cálculo. Iremos apresentar uma metodologia para o esboço de curvas, tópico essencial em um curso inicial de cálculo, usando uma proposta que se baseia na Teoria de Registros de Representações semióticas do pesquisador francês Raymond Duval, descrita como interpretação global das propriedades figurais e no uso de softwares gráficos. No primeiro capítulo deste trabalho abordaremos a problemática da pesquisa, os objetivos, a relevância do estudo citando pesquisas semelhantes e as formulações da questão da pesquisa.

No capítulo 2 introduzimos o referencial teórico onde dissertaremos sobre a Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval, o ensino de Cálculo, seus problemas, trabalhos relevantes relacionados e a aplicação de TIC’s (tecnologias da informação e comunicação) no processo e ensino e aprendizagem deste conteúdo matemático. Além disso, introduziremos os conceitos de unidades básicas propostas no trabalho de Moretti, Ferraz e Ferreira (2010) nos indicam a possibilidade de trabalhar o esboço de curvas no ensino superior utilizando a interpretação global de propriedades figurais e fundamentaremos a pesquisa por meio das idéias da Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval que destaca a importância da variedade de registros de representações de um mesmo objeto matemático, direcionando o estudo para o esboço de curvas, que é o foco principal deste trabalho de pesquisa.

No capítulo 3 apresentaremos a metodologia e aplicação da pesquisa em sala de aula e alguns de seus resultados. Em um primeiro momento será apresentada a análise da sequência didática aplicada e as considerações sobre ela conforme os conceitos da Engenharia didática. Será detalhado também, neste capítulo um questionário aberto que foi aplicado na turma a fim de analisar as percepções dos alunos em relação à atividade.

Por último apresentaremos as conclusões e considerações finais acerca de nosso trabalho.

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CAPÍTULO I 1.0 PROBLEMÁTICA Como já mencionamos na introdução deste trabalho, a situação do ensino de Cálculo nas Universidades brasileiras merece mais atenção por parte da comunidade de pesquisa educacional no sentido de incentivarem trabalhos que revisem as práticas pedagógicas até então adotadas e contribuam para o avanço desta disciplina tão importante para a formação de diversos profissionais. Diversas pesquisas apontam para a relevância de metodologias importantes para o ensino de matemática como a resolução de problemas, a modelagem matemática e o uso de tecnologias da informação e comunicação das aulas de Cálculo. Atualmente contamos com laboratórios de informática na maioria de nossas universidades e há uma variedade de softwares educacionais, inclusive livres para uso, que não são aproveitados pelos professores em suas aulas de matemática no ensino superior. Em se tratando do ensino Cálculo, um tópico em particular, poderia ser explorado com mais ênfase com os auxílios de ferramentas tecnológicas e pedagógicas que estão disponíveis para uso, inclusive livres para uso. Falamos aqui do esboço de curvas, que é um tópico presente em todos os livros de cálculo para engenharias e nos planejamentos dos professores desta disciplina universitária. Softwares gráficos tais como Derive, Maple, Geogebra e Maxima possibilitam grande agilidade e clareza na construção de gráficos, sem falar na dinamicidade na alteração escalas e visualização. Em nossa opinião, muitos professores de cálculo não usam tais ferramentas por acharem que o trabalho manual de esboço de gráficos é essencial para o aprendizado deste conteúdo e que o uso dos softwares gráficos prejudica o aprendizado do aluno. Concordamos que o simples uso automático destas ferramentas computacionais acrescenta pouco para os objetivos do ensino de cálculo, porém acreditamos que há a possibilidade de planejar atividades com estas tecnologias sem prejudicar a aprendizagem dos conceitos estudados, e, além disso, propiciar um ambiente de aprendizagem ativa deste conceito. Um dos avanços na área de educação Matemática relacionado ao ensino de cálculo é o grande número de dissertações de Mestrado e teses de Doutorado que analisam o ensino de Cálculo e seus conceitos

32 através da Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval.

Esta teoria nos permite identificar a variedade de representações associadas a um mesmo objeto matemático e aponta para o fato de que a aprendizagem matemática se dá a partir da transformação de registros dentro de diferentes campos de representação para um objeto matemático.

Duval (2003, p. 11), em relação ao objetivo do ensino de Matemática, afirma:

[...] o objetivo do ensino de Matemática, em formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise e de visualização.

Podemos observar que Duval aponta para o fato de que o processo de ensino de Matemática deve ser baseado na criação de possibilidades para o desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização. Pensamos que esta ideia, que neste caso é usada pelo autor para a formação inicial, também pode ser aplicada para uma disciplina inicial de Cálculo no ensino superior. Ou seja, uma disciplina inicial de Cálculo, por exemplo, em um curso de Engenharia, não precisa formar um Matemático, mas sim contribuir para o desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio, de análise e visualização dos estudantes frente aos problemas inerentes à sua formação.

Aqui temos um encontro de ideias com o que havíamos comentado sobre a possibilidade do uso de softwares gráficos para o ensino de esboço de curvas. Pensamos que podemos explorar o uso de softwares educacionais nas aulas de Cálculo propiciando situações em que os alunos irão desenvolver suas capacidades de raciocínio, análise e visualização. Uma alternativa para a criação de atividades deste tipo é o uso de sequências didáticas que tenham como pressuposto a resolução de problemas. Nesta abordagem partimos de uma situação-problema a ser resolvida e para tanto o aluno deverá desenvolver um raciocínio que permita a elaboração de um modelo matemático que o descreva e que possa ser analisado e resolvido por meio das ferramentas do cálculo usadas no esboço de curvas e, finalmente, que o modelo criado, os passos para a resolução do problema e sua solução final possam ser

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visualizados através de um gráfico, que neste caso usará a agilidade e eficiência de um software gráfico. Notamos que quando estamos falando de raciocínio para criação e resolução de um modelo matemático e partimos para a sua visualização gráfica estamos realizando o que Duval chama de conversão de registros de representação semióticas. Ou seja, estamos, segundo Duval (2003), realizando uma conversão de uma representação em um sistema de representação algébrico para um sistema gráfico. A ferramenta computacional neste caso teria um papel fundamental na resolução, análise e visualização da solução do problema, pois como já falamos possibilita grande agilidade e clareza na construção de gráficos, sem falar na dinamicidade na alteração escalas e visualização dos traçados das curvas.

Outro ponto importante no estudo de esboço de curvas são as diferentes possibilidades de construir um traçado de uma curva associada a uma função. Para Duval (1998b, p. 236-237) podemos proceder de duas maneiras distintas:

• Procedimento de obtenção, a partir da forma de representação simbólica, a forma gráfica por meio de alguns pontos que são determinados por substituição na expressão analítica da função;

• Procedimento de interpretação global das propriedades figurais, o conjunto traçado/eixo forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão analítica que permite que se identifiquem as modificações possíveis conjuntamente na imagem e na expressão analítica. O primeiro processo é muito usado no ensino de Matemática

sendo apresentado na maioria dos livros didáticos de ensino fundamental e médio, onde tais pontos são localizados em um sistema de eixos graduados para que em seguida a curva possa ser traçada com a junção desses pontos. O problema associado a este tipo de atividade se dá ao fato de que a conversão se dá não da representação algébrica para a representação gráfica, mas sim de um conjunto de pares ordenados para a representação gráfica. Neste sentido Moretti et al. (2010, p.9) completa:

Neste modo de operar, não há ligação entre o gráfico e a expressão analítica da função correspondente. Diversos problemas podem surgir desta forma de proceder devido ao fato de que se há congruência semântica entre um par ordenado e a sua representação cartesiana, o mesmo não se

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pode dizer de um conjunto de pontos no plano cartesiano e uma regra matemática (expressão analítica) a ele equivalente.

O segundo procedimento foi estudado por Duval (1988b) para o trabalho de esboço de gráficos da função linear e os trabalhos de Silva (2008) e Moretti et al.(2010) apontaram para a possibilidade do uso do procedimento de interpretação global de propriedades figurais no ensino médio. Este segundo procedimento tem vantagens sobre o primeiro pelo fato de que enquanto o processo de obtenção de pontos cartesianos a partir da forma simbólica da função estamos na presença da associação um ponto ↔↔↔↔ um par de números, temos a associação variável visual da representação ↔↔↔↔ unidade significativa da escrita algébrica. (Moretti et al. 2010).

Moretti et al (2010) afirmam que são praticamente inexistentes trabalhos que apliquem o procedimento de interpretação global de propriedades figurais para o trabalho de esboço de curvas no ensino superior. Para a solução deste problema o autor cria uma sequência de tabelas chamadas de unidades básicas que permite a conversão em mão dupla de registros simbólicos e gráficos de funções estudadas no ensino superior. As tabelas de unidades gráficas foram criadas por Moretti, porém ainda não foram aplicadas e pesquisadas, e a sua eficiência em propiciar a possibilidade do trabalho de interpretação global de propriedades figurais em funções do ensino superior e a possibilidade das conversões entre as representações simbólicas e gráficas destas funções ainda não foram avaliadas.

Dentro deste contexto, o presente trabalho questiona: Como abordar o ensino de Esboço de curvas em uma disciplina inicial de Cálculo utilizando o procedimento de interpretação global de propriedades figurais associado ao uso de tecnologias?

Segundo Richardson (2008), a formulação e o teste de hipóteses são aspectos importantes dentro de uma pesquisa social. Deste modo as hipóteses podem ser definidas como soluções tentativas, selecionadas de antemão, a partir da questão problema da pesquisa. Neste caso as hipóteses permitirão orientar a análise dos dados no sentido de aceitar ou refutar as soluções tentativas. Almouload (2008) também ressalta a importância do levantamento de hipótese dentro das análises prévias na Engenharia Didática e suas possíveis validações nas etapas subseqüentes desta metodologia de pesquisa que será usada neste trabalho e discutida no capítulo 4.

35

Para a investigação desta questão partiremos de duas hipóteses principais:

• As tabelas de Unidades básicas propostos por Moretti (2009) possibilitam a conversão entre representações simbólicas e gráficas (nos dois sentidos) em funções estudadas no ensino superior.

• O uso das tabelas de unidades básicas associadas ao uso de um software gráfico no trabalho de esboço de curvas em uma disciplina do Cálculo inicial possibilita maior compreensão do gráfico da função pelos alunos, e consequentemente é um fator motivacional para a aprendizagem. De modo geral este trabalho terá como objetivo analisar a

aplicabilidade de uma sequência didática que aborde o ensino de esboço de curvas em disciplinas de Cálculo para cursos de Engenharias através do processo de interpretação global de propriedades figurais e com o auxílio de softwares educacionais.

Para tanto iremos: • Acompanhar uma turma de cálculo I em uma turma de

engenharia (engenharia de alimentos e Química) com o intuito de conhecer a prática pedagógica do professor e a realidade dos alunos em situações de ensino e aprendizagem;

• Pesquisar e analisar softwares gráficos e algébricos que poderão ser usados nas atividades e decidir pela melhor opção;

• Orientar os alunos na utilização da ferramenta computacional; • Planejar junto com o professor da disciplina atividades

relacionadas com a pesquisa; • Aplicar e avaliar as sequências didáticas introduzidas como

atividades para os alunos no estudo de esboço de curvas.

36 CAPÍTULO II 2.0 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E ESBOÇO DE CURVAS

Um objeto matemático não existe no mundo físico. Não podemos tocá-los, observa-los ou formular uma experiência empírica com ele. É necessária a criação de uma representação ou um sistema de representação para que possamos interagir com este objeto. Duval (2004, p.14) nos afirma que é essencial não confundirmos o objeto matemático com sua representação. Neste mesmo sentido Duval (Ibiden) continua:

Para Raymond Duval, criador da Teoria das Representações [...] não pode haver compreensão em matemática se não distingue-se um objeto de sua representação. Desde esta perspectiva, é essencial não confundir jamais os objetos matemáticos, por exemplo, os números, as funções, as retas, etc., com suas representações, por exemplo, as escritas decimais ou fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados das figuras [...] pois um mesmo objeto matemático pode ter diferentes representações.

Para Raymond Duval, criador da Teoria das Representações Semióticas, o processo de ensino de Matemática deve ser baseado na criação de possibilidades para o desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização. De acordo com Duval (2003), existem diversas de formas de Representação Semióticas que são agrupadas em quatro grandes registros: a língua natural, as escritas algébricas e formais, as figuras geométricas e as representações gráficas.

Ainda de acordo com a Teoria das Representações Semióticas um objeto matemático pode conter diversas formas de representações. Como ele não faz parte do mundo físico, é por meio de sua representação que podemos ter acesso a ele. Duval utiliza a expressão registro de representação semiótica para caracterizar um registro que apresenta algumas características: permite a formação de uma

37

representação identificável e também o tratamento e a conversão. Quando ocorre a transformação de uma representação de um objeto matemático em um mesmo sistema de representação temos o que Duval chama de tratamento. Quando esta transformação se dá em outro sistema de representação temos uma conversão.

Segundo Duval é muito importante a coordenação de diferentes registros de representação, sendo a articulação destes uma condição de acesso à compreensão em matemática, e mais precisamente, a compreensão em Matemática supõe a coordenação de ao menos dois registros de representação semiótica, sendo a conversão de extrema importância na assimilação de um objeto matemático. Duval (2003, p. 16) completa:

[...] do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão.

Muitas vezes, as dificuldades enfrentadas na construção do conhecimento matemático estão relacionadas às formas de abordagens dos conteúdos em sala de aula decorrentes do descompasso entre o desenvolvimento cognitivo do aluno e o tipo de operações dele requerido pelo ensino. Tudo indica que se exigem do aprendiz a construção e aplicação de conhecimentos matemáticos para os quais ele não possui, ainda, estruturas cognitivas adequadas aos raciocínios requeridos nas situações-problema propostas. A construção de estruturas necessárias à compreensão de conceitos matemáticos deve ser o principal objetivo do ensino dos professores de Matemática e aqui nos referimos, em particular, ao ensino de Cálculo, objeto de estudo deste trabalho de pesquisa.

Não raro encontramos em livros didáticos conteúdos matemáticos explorados via exercícios onde é exigido do aluno apenas realizar uma mudança de registro de representação semiótica dentro de um mesmo sistema de representação (tratamento) ou apenas a conversão em um único sentido. Por exemplo, ao estudarem-se funções, os exercícios propostos aos alunos são, na grande maioria das vezes, atividades em que é dada ao aluno uma função na linguagem algébrica, por exemplo, “f(x) = 2x + 3”, e é lhe pedido que construa uma tabela de valores para esta função e posteriormente um gráfico, que neste caso são linguagens gráficas. Neste caso estamos propondo apenas uma conversão da representação simbólica para gráfica, e para Duval (2003)

38 seria necessário realizar também o caminho inverso, ou seja, partir de gráficos e tabelas e chegar a uma fórmula Matemática, que neste caso seria uma atividade de extrema importância para o aprendizado matemático deste conceito.

Citando Moretti (2002), poderíamos levantar o seguinte questionamento: há uma melhor representação de um objeto matemático que nos leve de forma suficiente à sua compreensão?

O próprio autor supracitado nos responde esta questão: A resposta para esta questão é não. Para este autor [Duval], o trânsito entre as mais diversas representações possíveis de um mesmo objeto matemático em questão é que assume importância fundamental. O custo cognitivo desse trânsito vai depender em muito da noção, chamada por ele, de congruência semântica [...] (MORETTI, 2002, p.344).

Na aprendizagem matemática, em particular, considerar mais de um registro de representação semiótica para o mesmo objeto é importante, porém é preciso ainda que o aluno seja capaz de converter, de transitar entre uma e outra representação, o que implica numa congruência semântica para que o processo seja efetivado com êxito.

A análise da atividade de conversão envolve a comparação da representação no registro de partida com a representação no registro de chegada e isso envolve dois fenômenos — o da congruência e o da não-congruência. Para verificar o fenômeno de congruência três critérios são utilizados (DUVAL, 2004):

1. Correspondência semântica entre os elementos significantes: correspondência uma a uma, para cada elemento simples no registro de saída, um elemento simples correspondente no registro de chegada;

2. Unicidade semântica terminal: cada unidade significante no registro de saída tem uma única unidade significante no registro de chegada;

3. Ordem que compõe cada uma das representações: diz respeito à forma de apresentação de cada uma das representações. Critério importante para comparar frases e fórmulas literais. As representações são congruentes quando há correspondência

semântica entre suas unidades significantes, unicidade semântica terminal e a mesma ordem de apreensão. Caso contrário, são ditas não-congruentes.

39

Silva e Barolli (2006), fundamentadas em Duval, consideram que existe congruência na conversão quando a representação terminal (no registro de chegada) transparece na representação de saída (enunciado) e assemelha-se a uma situação de simples codificação. E consideram que se a representação terminal não transparece absolutamente a representação de saída, então há uma não-congruência na conversão.

A dificuldade da conversão de um registro de representação para outro está relacionada com o grau de congruência entre o registro de saída e o registro de chegada.

Como afirma mesmo Duval (1988b, p.2) “[...] duas expressões podem ser sinônimos ou referencialmente equivalentes (elas podem “dizer a mesma coisa”, elas podem ser verdadeiras ou falsas juntas) e não serem semanticamente congruentes: neste caso, há um custo cognitivo importante para a compreensão”.

Segundo Duval (2004), esse argumento é evidenciado em algumas situações de resolução de problemas:

• Quando o registro de saída é estritamente congruente com as representações iniciais, os problemas são rapidamente resolvidos pelos alunos;

• Quando diminui o grau de congruência entre os registros, a taxa de êxito dos alunos também diminui e está relacionada com os balanços respectivos de cada um dos três critérios de congruência.

No ensino superior, nas disciplinas introdutórias de Cálculo, o esboço de curvas tem um papel importantíssimo na formação do graduando. Os gráficos de funções são importantes ferramentas para a interpretação de fenômenos físicos, químicos e biológicos, bem como de fenômenos sociais e econômicos. Nesta fase da formação matemática, são estudadas ferramentas poderosas para o esboço de curvas onde podemos ressaltar os tratamentos matemáticos do Cálculo, tais como cálculo de limites, determinação de intervalos de crescimento e decrescimento da função, pontos de inflexão, pontos de máximo e de mínimos relativos e absolutos, tratamento estes realizados através da análise da derivada de primeira e de segunda ordem da função estudada. O trabalho de Duval (1988b) aponta três possibilidades para o esboço de gráficos no ensino formal, mais precisamente, faz referência a dois tipos diferentes de procedimentos para a conversão entre as representações de uma mesma função:

40

1. Procedimento de obtenção, a partir de forma de representação simbólica (algébrica), da forma gráfica por meio de alguns pontos que são determinados por substituição na expressão analítica da função. Estes pontos são “plotados” em um sistema de eixos cartesianos e em seguida é traçada uma curva pela união desses pontos;

2. Procedimento de interpretação global das propriedades figurais, em que o conjunto traçado/eixo forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão analítica que permite a identificação das modificações possíveis conjuntamente na imagem e na expressão analítica.

O primeiro procedimento é muito usado no ensino de funções

tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio, onde são utilizadas tabelas auxiliares para determinação dos pares ordenados da função. Notamos que aqui não há ligação direta entre o gráfico e a expressão analítica da função correspondente, e como afirma Moretti (2003, pg.151), diversos problemas podem surgir desta forma de proceder devido ao fato de que se há congruência semântica entre um par ordenado e a sua representação cartesiana, o mesmo não se pode dizer de um conjunto de pontos no plano cartesiano e uma regra matemática (expressão analítica) a ele equivalente.

No segundo procedimento, temos uma associação da variável visual da representação à unidade significativa da escrita algébrica que, neste caso, facilita a conversão das representações em ambos os sentidos.

Ainda, segundo Moretti et al. (2010), podemos considerar o modo informático em que a representação gráfica da função é obtida com o uso de programas computacionais que a cada dia estão mais disponíveis para o uso em sala de aula. Este mesmo autor acrescenta que em alguns países, como por exemplo, Portugal, o uso da calculadora gráfica é obrigatório no estudo de funções presente ao longo de três anos do ensino secundário. Ao usar um software gráfico para a criação de um esboço de uma curva relacionada á uma função, valemo-nos de procedimento por pontos. Porém as vantagens neste modo de conversão são: a rapidez na visualização da curva e na mudança de escalas e parâmetros.

O uso das tecnologias de informação e comunicação - TIC’s na educação é defendido por vários pesquisadores na área de educação e também na linha de Educação Matemática. Percebemos neste discurso a importância que é dada para a inserção destas tecnologias no processo

41

de ensino e aprendizagem, visto que os jovens, hoje na faixa de 15 a 18 anos possuem uma grande familiaridade com o uso da informática. Como afirma Ponte (2000) hoje em dia, as TIC’s representam uma força determinante do processo de mudança social, surgindo como a trave-mestra de um novo tipo de sociedade, a sociedade de informação. A importância do acesso às TIC’s através da educação formal está muito além da sua utilidade restrita ao domínio de uma disciplina escolar. Este acesso é um ato de cidadania e um direito do estudante. Neste sentido Borba (2001, p.16) afirma:

O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas púbicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma alfabetização tecnológica.

Moretti (2003) e Silva (2008) trataram em seus trabalhos da possibilidade de conversões entre representações de funções estudadas no ensino médio através do procedimento de interpretação global das propriedades figurais já antes relatadas por Duval (1988b). Um exemplo deste tipo de atividade é relatado por Moretti (2003) onde nos mostra que podemos esboçar o gráfico de uma equação do tipo y=ax2+bx+c (a≠0, b e c constantes) através de deslocamentos de parábolas com vértice na origem, ou seja, uma curva dada pela equação y=ax2. Por exemplo, o esboço da parábola associada à equação y=2x2-8x-10 pode ser interpretada como o deslocamento de uma outra parábola associada à equação básica y=2x2. Para tanto realizamos os seguintes tratamentos na equação y=2x2-8x-10:

)54(21082 22 −−=⇔−−= xxyxxy

2

2

2

2

2

)2(218

18)2(2

)9)2((2

)54)2((2

)54(2

−=−⇔

−−=⇔

−−=⇔

−−−=⇔

−−=⇔

xy

xy

xy

xy

xxy

42

Deste modo, as equações 1082 2 −−= xxy e 2)2(218 −=− xy representam a mesma parábola e aplicando dois

movimentos de translação em y = 2x2 (um vertical para baixo em 18 unidades e outro horizontal 2 unidades à direita), obtemos o gráfico da

equação 1082 2−−= xxy .

Ilustração 1: Translação vertical e horizontal da função y = 2x2

Fonte: Elaborado pelo autor (2010). Notamos neste exemplo que estamos aplicando um método

diferente do convencional para o esboço de uma curva associada a uma equação. Enquanto que na maioria dos livros didáticos é apresentado um “procedimento de obtenção, a partir da forma de representação simbólica, a forma gráfica por meio de alguns pontos” (Moretti et al. 2010, p.3), nesta nova abordagem de esboço de curvas chamada de interpretação global das propriedades figurais, há uma forte ligação entre e representação algébrica da equação e a sua representação gráfica, ou seja, uma mudança (tratamento) na forma da expressão matemática da equação descreve as características do gráfico desta equação no plano

43

cartesiano. Para Moretti et al.(2010 p. 4), “neste tipo de tratamento não estamos em presença da associação um ponto ↔ um par de números, mas na associação variável visual da representação ↔unidade significativa da escrita algébrica”.

Em seu artigo intitulado “Estudo da conversão de funções entre registros simbólico e gráfico no ensino universitário”, Moretti et al. (2010, p.4), baseado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas, aponta para a importância do procedimento de conversão que permita acompanhar modificações simultâneas entre os registros de representação simbólica e gráfica, e ainda atenta para o fato de que este tipo de procedimento é “praticamente inexistente no ensino universitário”. Este fato se daria pela variedade e complexidade das funções estudadas, por exemplo, em um curso de Cálculo.

Como Moretti et al. (2010, p.5) mesmo nos mostra, no ensino de cálculo ao trabalharmos com funções de maior grau de complexidade (funções polinomiais de grau maior do que dois, funções racionais, funções hiperbólicas, etc.), não é evidente a mudança da característica da curva ao mudarmos a escrita matemática. Por exemplo, podemos

verificar o que acontece com as funções 121

+=

x

xy e

121−

=x

xy .

Mesmo com suas escritas algébricas sendo muito parecidas, as representações gráficas de ambas possuem características totalmente diferentes. Podemos observar tal fato nas figuras abaixo:


+=

x

xy

Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

44

Ilustração 3: Gráfico de 121

−=

x

xy

Fonte: Elaborado pelo autor (2010). Na grande maioria dos cursos de Cálculo I, disciplina obrigatória em cursos de Engenharia, após o estudo da derivada de uma função, é estudado o esboço de gráficos. Grande parte dos livros tradicionais de Cálculo, tais como Cálculo A (Flemming 2007), Cálculo I (Kuelkamp, 1999), Cálculo e Geometria analítica (Leithold, 2000), entre outros, também trazem este tópico conforme descrito anteriormente. Para realizar este trabalho, os livros citados acima, partem da representação algébrica de uma função, e, através de ferramentas do cálculo, é obtido pontos de inflexão, pontos de máximo e mínimo, assíntotas verticais e horizontais e etc., e logo em seguida é realizado o esboço do gráfico. Neste caso é realizada uma conversão (1 →2) de uma representação algébrica para uma representação gráfica:

45

Ilustração 4: Esquema de conversão no trabalho tradicional de esboço de curvas no ensino de Cálculo Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

A conversão no sentido contrário, ou seja, registro gráfico para registro algébrico (2 →1), via de regra, não é trabalhada. Um dos motivos para não haver este trabalho duplo de conversão é a dificuldade inerente das funções estudadas neste nível de estudo. O próprio Duval (1988b, p.235) aponta para fato de que as maiores dificuldades são observadas na conversão que vai da representação gráfica para a algébrica, mesmo em funções básicas como as funções linear e quadrática. Lembramos que segundo a teoria dos Registros de Representações Semióticas, o processo de conversão em “mão-dupla” é de extrema importância para a aprendizagem de conceitos matemáticos.

Vejamos um exemplo de um exercício de esboço do gráfico de

uma função trabalhado nos livros de Cálculo para a função 12

2

+=

x

xy .

Primeiramente, com alguns tratamentos do cálculo obtemos:

1lim e )1(

)31(2'' ,

)1(

2'

32

2

2=

+

−=

+=

∞→y

x

xy

x

xy

x

Logo em seguida podemos obter outras informações

importantes sobre a função:

46

• 0=x é raiz de y e y’; • )0,0( é ponto de mínimo absoluto;

• )4

1,

3

3( e )

4

1,

3

3( +− são pontos de inflexão;

• 1=y é assíntota horizontal;

• y é decrescente no intervalo )0,(−∞ ;

• y é crescente no intervalo ),0( +∞ ;

• y possui concavidade positiva em )4

1,

3

3(− ;

• y possui concavidade negativa em

),3

3( )

3

3,( +∞∪−−∞ ;

E assim, é esboçado o gráfico da função 12

2

+=

x

xy :

Ilustração 5: Esboço da curva associada à função 12

2

+=

x

xy

Fonte: Moretti et al. (2010).

47

Neste caso, é realizada a conversão do registro de representação algébrica para o registro de representação gráfica da função. Notamos que o processo inverso, ou seja, a conversão do registro gráfico para o registro algébrico é um processo extremamente difícil para este tipo de função, para não dizer impossível para um estudante em uma disciplina inicial de Cálculo. Porém, ressaltamos novamente que este processo é importantíssimo para aprendizagem dos conceitos estudados relativos ao esboço de curvas.

Moretti et al. (2010, p.5) propõe uma alternativa para o esboço de curvas em um curso de Cálculo que se aproxime da “interpretação global de propriedades figurais” e que nos possibilita uma aproximação à conversão de representações simbólicas para gráficas e vice-versa. Para tanto usa uma análise das propriedades peculiares de partes constituintes das curvas estudadas, se apóia na descrição de Duval (1988b, p. 240), que usa este tipo de análise para analisar uma função linear e apresenta o seguinte quadro:

Variáveis

visuais

Valores

Unidades simbólicas correspondentes

Sentido da inclinação

Ascendente descendente

coeficiente > 0 ausência do símbolo – coeficiente < 0 presença do símbolo -

Ângulo com os eixos

partição simétrica ângulo menor (45o) ângulo maior (45o)

coef. var. = 1 não tem coef. escrito coef. var. < 1 coef. var. > 1

Posição sobre o eixo

corta acima corta abaixo corta na origem

acrescenta-se uma constante sinal + subtrai-se uma constante sinal - não tem correção aditiva

Tabela 1: Análise da função linear Fonte: Adaptada de Duval (1998b)

Neste esquema que há uma estrita ligação entre as modificações na expressão analítica e na figura e vice-versa. O gráfico da função (registro de representação gráfico) é representado por uma reta, e as três linhas da tabela acima são suficientes para resumir todas as situações típicas possíveis para esta representação. Nas funções estudadas até o ensino médio, as características algébricas da função, na maioria das

48 vezes, são suficientes para descrever as características da curva associada a ela no plano cartesiano. Porém, no caso da maioria das funções estudadas em um curso de Cálculo, devido ao maior grau de complexidade, percebe-se que a relação entre a expressão analítica da função e o seu gráfico no plano cartesiano não são prontamente percebidas.

Por exemplo, as funções racionais 121

+=

x

xy e

121−

=x

xy

possuem expressões algébricas muito parecidas, porém seus gráficos são completamente diferentes conforme observado nas tabelas 2 e 3:

Algumas características:

ℜ=)( 1yDom ;

Decresce no intervalo

),1()1,( +∞∪−−∞ ;

Cresce no intervalo )1 ,1(− ;

y = 0 é assíntota horizontal;

)2

1 ,1( é ponto de máximo absoluto;

)2

1 ,1( −− é ponto de mínimo

absoluto;

]2

1 ,

2

1[)Im( 1 −=y


xy

21+

=

Fonte: Moretti et al. (2010).

49

Algumas características:

{ }1 ,1)y(Dom 2 −−ℜ= ; Decresce em todo o seu domínio; x = -1 e x = 1 são assíntotas verticais;

ℜ=)yIm( 2 ; y = 0 é assíntota horizontal.


xy

21+

=

Fonte: Moretti et al. (2010). As características apontadas nos quadros acima podem ser

obtidas por tratamentos matemáticos aplicados nas funções em suas formas algébricas, como por exemplo, derivada, limite, resoluções de equações e inequações, determinação do domínio, etc (Moretti et al. 2010, p.6). Este trabalho matemático nos orienta na obtenção de intervalos de crescimento de decrescimento, pontos em que a deriva se anula, retas assíntotas, etc, e consequentemente, nos possibilitam realizar um esboço do gráfico da função. 2.1.1 Ensino de Cálculo e uso de TIC’s2

Nos últimos anos temos assistido ao crescimento acelerado das chamadas TIC’s e seu uso cada vez mais presente na educação. Neste panorama animador, a educação matemática tem agregado ao processo de ensino e aprendizagem o uso de algumas ferramentas tecnológicas que possibilitem a melhoria deste processo.

Deste modo, no contexto de ensino atual torna-se imprescindível que estejamos atentos às mudanças no ensino, assumindo

2 Ao nos referirmos às tecnologias da informação e comunicação aplicadas ao ensino, usaremos neste trabalho o termo TIC como abreviação. Este termo se refere especificamente aos computadores e ferramentas associadas ao seu uso, tais como softwares educacionais, editores de texto, planilhas de cálculo, blogs, etc. Mais especificamente, neste trabalho usamos como TIC um software chamado DERIVE que possibilita cálculos algébricos e plotagem de gráficos de funções. Também usaremos os sinônimos Ferramenta tecnológica para citar este tipo de tecnologia.

50 novas atitudes que favoreçam a disseminação do conhecimento e a compreensão da linguagem matemática presente no cotidiano. Um ensino de matemática aberto ao afloramento destas atitudes representa um ensino comprometido com o desenvolvimento da sociedade tecnológica.

Nesta perspectiva, é importante que se discutam as dificuldades enfrentadas pelos docentes, especialmente de matemática, na quebra de contrato com um ensino tradicional baseado em exercícios mecânicos repetitivos, que pouco ou nada contribuem para a compreensão da matemática. A despeito disto, alguns professores têm procurado modificar suas aulas de modo a torná-las mais interessantes e ricas de possibilidades educativas, através da inserção de ferramentas que auxiliem o aprendizado da matemática.

O uso da informática como uma metodologia para o ensino de matemática já vem sendo estudada e usada há mais de duas décadas. Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN’s de Matemática (BRASIL, 1997) já relatavam o “recurso às tecnologias da informação” como uma ferramenta capaz de abrir novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea. Também neste texto, o recurso citado é apontado como um instrumento que traz versáteis possibilidades ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática, seja pela sua destacada presença na sociedade moderna, seja pelas possibilidades de sua aplicação nesse processo.

Durante muito tempo, a utilização da tecnologia (calculadoras, computadores e outras mídias) foi muito criticada em função dos perigos que poderia trazer aos estudantes. Segundo Borba e Penteado (2001), ponderavam que os alunos passariam a apertar teclas e obedecer à máquina, o que contribuiria para torná-lo cada vez mais um repetidor de tarefas.

Esse pensamento era defendido (e ainda é) especialmente por quem acreditava (e acredita) ser a Matemática um corpo de verdades exclusivamente acessíveis por meio de uma linguagem abstrata e simbólica. Conforme o autor, atualmente, há argumentos que apontam o computador como a solução para os problemas educacionais, mas considera que, nessa discussão, há espaço para outros posicionamentos.

O tema informática na educação despertou a atenção de vários pesquisadores em diferentes países. No Brasil, tem sido objeto de análise em monografias, teses de mestrado e doutorado que procuraram examinar a questão de forma crítica, considerando o computador como uma ferramenta a serviço de um projeto pedagógico. Essa mesma

51

perspectiva é assumida em trabalhos publicados por Valente (1993, 1994, 1995), Machado (1994), Ribas Júnior (1992), Gatti (1993), Carraher (1990), Falcão (1990) entre outros.

Ao se propor o uso do computador ou de um software educacional em atividades de ensino e aprendizagem, é preciso considerar que essa mídia, qualitativamente diferente, “contribua para modificar as práticas do ensino tradicional vigentes” (Borba e Penteado, 2001, p.51). Nesse sentido, há vários estudos já realizados que visam aprofundar as compreensões acerca da utilização da informática na Educação Matemática, dentre eles, Borba e Penteado (2001), Benedetti (2003) e Menk (2005).

A pesquisa sobre informática no processo de ensino e aprendizagem de Cálculo é ainda recente. Até o início da década de noventa, a ideia de utilizar o computador no ensino de Cálculo, no âmbito nacional, estava restrita à iniciativa de poucos professores em algumas universidades (SOUZA JUNIOR, 2000). Em nível internacional a utilização de computadores no Cálculo teve, segundo Tucker e Leitzel (1995), como um marco importante a conferência de Tulane, realizada em janeiro de 1986 nos EUA. Para estes autores a iniciativa do “The National Science Foundation’s Calculus” foi importante para o desenvolvimento desse movimento a partir de 1988 por meio do fornecimento de apoio financeiro a vários programas de reforma do ensino de Cálculo.

Villareal (1999, p. 32) procurou evidenciar em seu trabalho de doutorado os processos de pensamento dos estudantes de Cálculo em situações de aprendizado baseado em ambientes computacionais. Ela desenvolveu sua pesquisa em uma turma de biologia, e observou que:

A partir do estudo desenvolvido, é possível afirmar que o computador pode ser tanto um reorganizador quanto um suplemento nas atividades dos estudantes ao aprender matemática, dependendo da abordagem que eles desenvolvam nesse ambiente computacional, do tipo de atividades propostas, da relação que foi estabelecida com o computador, da freqüência no uso e na familiaridade que se tenha com ele.

O Cálculo, que no início do seu desenvolvimento tinha um caráter mais geométrico, passou a ter, no século XVIII, um caráter mais algébrico, que passou a ser a base da argumentação e obtenção de resultados (RIVAUD, 1996). Embora tenha se desenvolvido para

52 resolver problemas de Física, sua potência e versatilidade levaram aos mais diversos campos de estudo. A utilização dos seus conceitos fundamentais – a derivada e a integral definida – estão presentes na solução de problemas que vão desde a descrição do comportamento de partículas atômicas e a estimativa da evolução de um tumor na terapia radioativa até a determinação do trabalho necessário para mandar uma sonda espacial a outro planeta. Ambos os conceitos, de derivada e integral, são definidos por processos de limites. A noção de limite é a ideia inicial que separa o Cálculo da Matemática elementar.

No que se refere ao seu ensino, o Cálculo Diferencial e Integral, historicamente, caracteriza-se pela prevalência de processos algébricos seguidos de exercícios, via de regra, de caráter repetitivo e com pouca, ou quase nenhuma interdisciplinaridade. Aplicações a ciências como física e engenharia são apresentadas como exercícios ou em capítulos separados, às vezes parecendo algo isolado.

Diversos estudos no Brasil e exterior têm nos mostrado que são muitos os problemas na aprendizagem da disciplina de cálculo e que os índices de reprovação desta disciplina estão entre os maiores entre as disciplinas dos cursos de Engenharia. No grupo de Educação de Matemática no Ensino Superior (GT4) do I, II e III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática - SIPEM houve uma predominância de artigos de pesquisa sobre a aprendizagem de Cálculo (Nasser, 2003 e 2006; Cury, 2003; Meyer e Igliori, 2003).

Os índices de reprovação nas disciplinas de Cálculo são, em geral, muito altos, prejudicando o rendimento dos estudantes e atrasando seu curso universitário. Rezende (2003) e Barufi (1999) estão entre os pesquisadores brasileiros que se preocupam com o baixo desempenho dos alunos em Cálculo, mas isso não é prerrogativa dos universitários brasileiros: há uma preocupação mundial com o fracasso em Cálculo, que deu origem ao movimento conhecido como “Calculus reform”, na década de 80. As pesquisas relacionadas ao fracasso em Cálculo focam principalmente nas dificuldades da compreensão das noções de função (Vinner, 1983), limite e derivada (Giraldo, 2002; Tall, 1991), no domínio do Teorema Fundamental do Cálculo (Vianna, 1998), ou na forma como os alunos estudam (Frota, 2000).

De modo geral percebemos que os conceitos do cálculo e seus processos de ensino e aprendizagem vêem sendo pesquisados por diversos autores no Brasil e exterior devido à sua importância no ensino superior em cursos na área das ciências exatas e pela dificuldade que os alunos tem na sua aprendizagem, levando à índices elevados de reprovação nesta disciplina. Observamos também que o uso te TIC’s

53

(computadores, softwares educacionais, calculadoras gráficas, etc.) vêm sendo e pesquisadas e utilizadas como uma alternativa para o ensino destes conceitos.

Neste trabalho iremos estudar a aplicação de uma sequência didática auxiliada por uma ferramenta tecnológica, o software Derive, para o ensino de esboço de curvas em um curso de Cálculo. O Derive é descrito como um programa computacional do tipo CAS -Computer Álgebra System, e segundo Machín (2008, p.55), a generalização do uso destes tipos de programas no ensino universitário tem implicado um reconhecimento por parte das instituições da importância e necessidade de integração de diferentes ferramentas tecnológicas nos estudos de nível superior. Machín (2008, p.1) afirma:

As TIC’s começam, nos últimos anos, a constituirse como recursos didáticos que ajudam a modificar os métodos de ensino, principalmente em disciplinas iniciais de ensino superior.

Os textos de King, Hillel e Artigue3 (2001, apud Machín, 2008), publicados no relato do ICMI4, dedica uma de suas seções à tecnologia educacional e destacam a importância da tecnologia como meio facilitador da aprendizagem dos estudantes, dando ênfase à potencialidade que as TIC’s possuem para promover uma aprendizagem mais ativa da matemática.

Heid5 (2002, apud Machin, 2008) aponta em seu trabalho que uma das formas de analise do uso dos softwares tipo CAS no processo de ensino e aprendizagem de Matemática, é a analise o uso destas ferramentas com as teorias que relacionam aprendizagem e a estrutura do currículo de matemática. Nesta análise os CAS constituem uma tecnologia cognitiva que facilitam o acesso dos estudantes à níveis mais altos de processos de pensamento e raciocínio, pois com esta ferramenta tecnológica é possível criar e manipular expressões simbólicas que de outra forma necessitariam um grande tempo de trabalho. Heid (op. Cit) 3 King, K., Hillel, J. & Artigue,M. (2001). Tecnology. A working group report. In: The Teaching and learning of Mathematics at University level: An ICMI Study (Holton, D., ed), pp. 349-356. Kluwer Academic Publishers, Netherlands. 4 A Comissão Internacional de Instrução Matemática conhecida como ICMI (do inglês International Commission on Mathematical Instruction) ou IMUK (do alemão Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission) é uma organização internacional que se foca na Educação matemática. O ICMI foi fundado no Congresso Internacional de Matemáticos de 1908 em Roma. 5 Heid,M.K. (2002). How theories about the learning and knowing of mathematics can inform the use of CAS in school mathematics: One perpective. International Journal of computers Álgebra in Mathematics Education. 9 (2), 95-112.

54 afirma: “Os CAS são considerados como uma tecnologia cognitiva e podem ser utilizados como amplificadores e reorganizadores do currículo”. Para Machin (2008), os CAS possuem uma capacidade multirrepresentacional, e deste modo, constituem um entorno de trabalho privilegiado, e Investigações como a de Santos6 (2000, apud Machin, 2008), têm mostrado que um ponto chave no fracasso em atividades matemáticas por parte de alunos é a conexão entre as distintas representações. Este último pesquisador mostra que um aspecto importante que favorece as conexões entre as diferentes representações, é a reflexão sobre a informação que cada representação pode relacionar a outro sistema de representação.

A atividade proposta em nossa sequência didática também se baseou em uma atividade investigativa entro do âmbito da educação matemática. Segundo Oliveira, Segurado e Ponte (1996), investigação Matemática designa um tipo de atividade em que se enfatizam processos matemáticos tais como procurar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas, refletir e generalizar. Através desse processo o aluno pode se sentir mais próximo de um matemático, e discutir com seus colegas suas ideias, colocar suas próprias questões e assim estabelecer que caminho irá seguir.

Ao propor ao aluno que resolva um problema, o professor abre possibilidades de muitas descobertas. Ao tentar solucionar o problema o aluno pode seguir diversos caminhos, sendo obrigado a pensar em muitas questões que envolvam a Matemática. A Matemática envolve aspectos importantíssimos no processo criativo: a observação, a experimentação, a indução, a analogia, o raciocínio plausível. (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2003, p.1) investigar não é trabalhar em problemas difíceis, e sim trabalhar em questões que nos perturbam, que nos causam curiosidade, e que se apresentam de modo confuso no início, mas que procuramos organizá-la e estudá-la.

Em contextos de ensino e aprendizagem, investigar não significa necessariamente lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do conhecimento. Significa, tão só, que formulamos questões que nos interessam para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta

6 Santos, M. (2000). The use of representattions as a vehicle to promote students Mathematicals thinking in problem solving. International Journal of computers Álgebra in Mathematics Education. 7 (3), 193-212.

55

de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso. (PONTE; BROCADO; OLIVEIRA, 2003, p.9).

No cenário da investigação Matemática, questões propostas pelo professor ou pelos alunos podem ser o ponto de partida. Há uma mudança na forma como professor e aluno interagem na sala de aula, onde o professor deixa de ser um “transmissor” e o aluno deixa de ser um “receptor” de conhecimento. A Matemática deixa de ser um assunto onde tudo está pronto, onde nada mais pode ser discutido. Muitos caminhos nos quais se pode aprender Matemática são abertos.

Neste ponto de vista aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza Matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo. Só assim se pode ser inundado pela paixão investigativa que é indispensável à verdadeira aprendizagem prazerosa da Matemática. (BRAUMANN, 2002).

Concordamos com a citação de Braumann (2002) que diz aprender Matemática sem a intervenção da possibilidade da investigação é como tentar andar de bicicleta vendo os outros andar e recebendo informações sobre como o fazem. “Para verdadeiramente aprender é preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo com eles”.

Acreditamos, baseados em Ponte, Brocado e Oliveira (2003), que se tratando de investigação Matemática podemos ter resultados distintos, pois a definição da questão e os pontos de partida dependem diretamente de quem investiga, sendo provavelmente variados. Cada aluno pode tomar um caminho e formular questões diferentes das dos outros, assim, seu ponto de chegada também será diferente.

Concordando com os autores acima citados, podemos nos propor a utilizar as novas tecnologias para criar cenários de investigação, possibilitando que o aluno tenha ferramentas para auxiliá-lo na busca de respostas dos seus questionamentos, refletindo sobre as questões que possam surgir. Barreto (2005) nos mostra que a possibilidade de investigação é potencializada pela visualização com uso de recursos informatizados. Em sua monografia, ela destaca um acontecimento que exemplifica uma das maiores possibilidades da utilização de computadores: a exploração e possibilidade de criação de conjecturas a partir da interação aluno-computador.

56

2.1.2 Unidades básicas

Como descrito anteriormente o processo de esboço de gráfico de uma função através do processo de interpretação global das propriedades figurais foi proposto por Duval (1988b) em seu artigo “Graphiques e équations: l'articulation de deux registres”, onde usava este procedimento para propor uma nova maneira de trabalhar o esboço de gráficos da função linear. Mais adiante, Moretti (2003) e Silva (2008) apresentaram de forma análoga, uma interpretação do procedimento de interpretação global de propriedades figurais para o esboço de funções quadráticas. O uso deste procedimento inovador para o esboço de curvas é praticamente inexistente no ensino superior. Para preencher esta lacuna, Moretti et al. (2010), apresentam em seu artigo “Estudo da conversão de funções entre registros simbólico e gráfico no ensino universitário” a elaboração de um conjunto de elementos chamada unidades básicas que têm como objetivo orientar as conversões entre as formas simbólicas e gráficas das funções estudadas no ensino superior, mais especificamente no ensino de Cálculo. Estes elementos orientadores, que a partir de agora chamaremos Unidades básicas são divididos em dois grupos: unidades simbólicas e unidades gráficas. Denotaremos y´e y´´ as derivadas de primeira e segunda ordem

respectivamente da função y em relação a x. Denotaremos por )x(V 0

uma vizinhança de 0x e )x(V 0− a vizinhança a esquerda de 0x e

)x(V 0+ a vizinhança a direita 0x . Na tabela abaixo vemos um

exemplo de uma destas unidades básicas:

Unidade básica gráfica

Unidade básica linguística

Unidade básica simbólica

Mínimo relativo Derivada primeira de y muda de sinal negativo para positivo na vizinhança de 0x

∈>

∈<

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

Tabela 4: Tabela 13 de unidades básicas. Fonte: Moretti et al. (2010).

57

Nesta tabela temos uma unidade básica referente a um ponto crítico de uma função, mais especificamente um ponto de mínimo relativo. A unidade básica gráfica visualmente perceptível em um esboço da curva de uma função é relacionada com a unidade básica simbólica correspondente, que neste caso denota a derivada primeira da função igual a zero e a mudança de sinal de negativo para positivo na vizinhança de x0. Acompanhando o anexo 1 deste trabalho podemos observar que as unidades básicas podem ser usadas para definirem grande parte dos componentes significativos7 do esboço de curva de uma função, tais como: Pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão, retas tangentes, Assíntotas verticais e horizontais e limites laterais em um determinado ponto.

Moretti et al. (2010, p.7) explica o uso e a importância destas unidades básicas:

Cada elemento em um dos grupos, relaciona-se com um elemento do outro grupo. Pretendemos que as unidades básicas gráficas e simbólicas funcionem como unidades significativas ou pertinentes das representações da função. As conversões entre as representações de uma função, tanto em um sentido como em outro, poderão ser tratadas da mesma forma tendo como intermediação essas unidades básicas.

Deste modo, é proposto pelo autor o uso destas unidades básicas a fim de possibilitar a conversão entre o registro de representação simbólico e o registro de representação gráfico da função e vice-versa. Esta proposta vai além daquela vista na maioria dos livros de cálculo que, como já salientamos, dá conta de apenas um sentido desta conversão. Como comentou Duval a respeito do esboço gráfico das retas (1988b), é uma avaliação qualitativa da curva que permite destacar as unidades básicas gráficas fundamentais da função. Deste modo, também é objetivo desta proposta que o aluno consiga, em um

7 Referimos-nos aqui às partes da curva associada a uma função que nos permite uma interpretação física e/ou matemática através de seu traçado. Como nos referimos no texto, estamos tratando principalmente dos componentes mais usuais no estudo de Cálculo I, tais como Pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão, retas tangentes e Assíntotas verticais e horizontais.

58 primeiro momento, avaliar de forma qualitativa a função (na forma gráfica ou simbólica), identificando suas unidades básicas.

A ilustração 6 nos mostra uma descrição dos tipos de conversão possíveis nesta proposta de trabalho que utiliza as unidades básicas para o esboço de curvas através da interpretação global de propriedades figurais:

Ilustração 6: Esquema de conversão entre representações simbólicas e gráficas propostas. Fonte: Moretti et al. (2010).

Podemos destacar alguns pontos pertinentes relacionados com o esquema apresentado na figura 6, conforme Moretti (2009):

• A conversão no sentido 1→2 associada simultaneamente à

conversão no sentido 2→1 pode ocorrer para grupos muito restrito de funções;

• A conversão no caminho 1→2 pode ser realizada com o uso de um software gráfico ou passando pelas unidades básicas simbólicas (obtidas por meio de tratamentos do cálculo) e gráficas;

59

• A conversão 2→1 é de difícil resolução para a maioria das funções estudadas no ensino superior;

• É proposta a conversão 2→1 por meio das unidades básicas gráficas e simbólicas. Neste caso a conversão se dará entre a representação gráfica da função e as unidades básicas simbólicas, nos dando uma descrição qualitativa deste objeto matemático;

• O caminho percorrido no sentido 1→2 por meio de um software gráfico nos dá uma curva acabada, porém ela não destaca com precisão certos elementos, tais como pontos críticos e retas assíntotas.

2.1.3 Exemplo do uso das unidades básicas para esboço de curvas

Moretti et al. (2010) nos apresenta um exemplo da proposta de uso das unidades básicas para o esboço do gráfico e análise da função

12

2

+=

x

xy . Destacaremos a seguir os dois caminhos possíveis para a

conversão no sentido 1→2, ou seja, a conversão da registro simbólico para o gráfico.

Caminho A: Conversão 1→2 por meio das unidades básicas

Com alguns tratamentos do cálculo, obtemos: 22 )1(

2´

+=

x

xy ,

32

2

)1(

)31(2´´

+

−=

x

xy e 1lim

=∞→ yx e destacamos a seguir as unidades

básicas simbólicas que consideramos mais importantes. Junto com essas unidades destacamos também algumas unidades numéricas: Pontos e retas

• x = 0 é raiz de y´ (e também de y); • (0, 0) é ponto de mínimo absoluto;

• )4

1 ,

3

3(− e )

4

1 ,

3

3( são pontos de inflexão;

• y = 1 é assíntota horizontal; • y é decrescente no intervalo )o ,(−∞

60

• y é crescente no intervalo ) ,0( ∞+

• y possui concavidade positiva em )3

3 ,

3

3(−

• y possui concavidade negativa em ) ,3

3()

3

3 ,( ∞+∪−−∞

Deste modo podemos concluir que:

No intervalo )3

3 ,( −−∞ y é decrescente com concavidade

voltada para baixo e reta y = 1 é assíntota horizontal;

No intervalo )3

3 ,

3

3(− y tem concavidade voltada para

cima, (0, 0) é raiz e ponto de mínimo e a reta y = 1 é assíntota horizontal;

No intervalo ) ,3

3( ∞+ y é crescente com concavidade

voltada para baixo e a reta y = 1 é assíntota horizontal. As unidades básicas gráficas associadas às unidades básicas

simbólicas são, na ordem, as seguintes (Tabela 12, Tabela 13 e Tabela 10):

Ilustração 7: unidades básicas gráficas identificadas a partir das unidades básicas simbólicas. Fonte: Moretti et al. (2010).

E sintetizadas da seguinte forma:

61

Ilustração 8: Junção das unidades básicas gráficas da figura 7 Fonte: Moretti et al. (2010).

Este processo é semelhante ao utilizado na maioria dos livros de

Cálculo e aplicado por grande parte dos professores desta disciplina. Sem muita dificuldade, já com os dados em mãos, podemos traçar um esboço do gráfico como descrito na figura 9.

Caminho B: Conversão 1→2 usando software gráfico

Neste caso, é obtido uma forma pronta e acabada da curva com muita rapidez e praticidade. No software Derive, visualiza-se a curva conforme a ilustração abaixo:


2

+=

x

xy obtida no software Derive

Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

62

No gráfico da figura 9, o software não indica os pontos significativos da função, tais como pontos críticos, retas assíntotas e etc. Temos uma breve noção das características da curva, porém, para efeitos de resolução de problemas envolvendo a função precisaríamos identificar estes pontos significativos. Notamos que o simples uso de um software gráfico para esboço do gráfico de uma função é vago, por não possibilitar uma análise qualitativa completa da função.

Para completar este trabalho de conversão precisamos também nos remeter aos tratamentos do cálculo8 e completar a análise qualitativa da função em estudo. Nesse caso, ao usar o mesmo processo descrito no item anterior, identificamos os pontos significativos da função e obtemos uma nova versão para o gráfico da função conforme a ilustração 10:

Ilustração 10: Gráfico atualizado da função 12

2

+=

x

xy

Fonte: Elaborado pelo autor .

8 Mesmo procedimento descrito na página 30, descrito como Caminho A: Conversão 1→2 através das unidades básicas.

63

Conversão 2→1: Caminho único A conversão 2→1, como comentamos anteriormente, se dará através das unidades básicas, sendo realizado o caminho Representação gráfica → Unidades básicas gráficas → Unidades básicas simbólicas. Ou seja, não chegaremos à representação simbólica da função, mas teremos uma avaliação qualitativa dela através das Unidades básicas simbólicas da mesma. Neste caso, partindo do gráfico da figura 9, poderíamos identificar nele 5 unidades básicas, representadas pelas tabelas a seguir:

Unidade básica gráfica Unidade básica linguística


Assíntota horizontal

1)(lim =∞−→ xyx

y = 1

Tabela 5: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (ver tabela 12 no anexo 1). Fonte: Moretti et al. (2010).




Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal

na vizinhança de 0x .

Derivada segunda de y muda de sinal positivo para negativo.

∈>

∈<

∈>

≠

+

−

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´(y

0)x´(y

0

0

0

0

Tabela 6: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (ver tabela 17 no anexo 1). Fonte: Moretti et al. (2010).

64




Mínimo relativo Derivada primeira de y muda de sinal negativo para positivo na

vizinhança de 0x

∈>

∈<

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

Tabela 7: Unidade básica associada a um ponto de mínimo (ver tabela 13 no anexo 1) Fonte: Moretti et al. (2010).




Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal na vizinhança de 0x . Derivada

segunda de y muda de sinal positivo para negativo.

∈<

∈>

∈>

≠

+

−

( ,0)´´(

( ,0)´´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xVxxy

xy

Tabela 8: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (ver tabela 18 no anexo 1) Fonte: Moretti et al. (2010).




bxyx =∞+→ )(lim

y = b

Tabela 9: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (ver tabela 10 no anexo 1) Fonte: Moretti et al. (2010).

65

Estas tabelas representam de forma genérica as unidades básicas simbólicas da função, sendo necessário o trabalho de identificação de todos os seus pontos significativos, no caso os valores exatos dos pontos de inflexão, ponto de mínimo e a localização da reta assíntota. Ao Utilizar o mesmo processo descrito na página 31 (tratamentos do cálculo), podemos reescrever as tabelas de unidades básicas, com a conversão no sentido 2→1 (Representação gráfica → Unidades básicas gráficas → Unidades básicas simbólicas) de forma completa.

Tabela 12




1)(lim =∞−→ xyx

y = 1

Tabela 10: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (já adaptada ao problema). Fonte: Moretti et al. (2010).




Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal na vizinhança

de 0x . Derivada


∈>

∈<

∈>

≠

−=

+

−

( ,0)´´(

( ,0)´´(

)( ,0)´(

0)´(

3

3

0

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xVxxy

xy

x

Tabela 11: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (já adaptada ao problema) Fonte: Moretti et al. (2010).

66





vizinhança de 0x

∈>

∈<

=

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

x

Tabela 12: Unidade básica associada a um ponto de mínimo (já adaptada ao problema) Fonte: Moretti et al. (2010).




Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal na vizinhança

de 0x . Derivada


∈<

∈>

∈>

≠

=

+

−

( ,0)´´(

( ,0)´´(

)( ,0)´(

0)´(3

3

0

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xVxxy

xy

x

Tabela 13: Unidade básica associada a um ponto de inflexão (já adaptada ao problema) Fonte: Moretti et al. (2010).

67




1)(lim =∞+→ xyx

y = 1

Tabela 14: Unidade básica associada a uma reta assíntota horizontal (já adaptada ao problema) Fonte: Moretti et al. (2010).

No estudo de Moretti et al. (2010) foi procurado mostrar a importância das unidades básicas simbólicas relacionadas às unidades básicas gráficas para o estudo conversão em funções estudadas no ensino superior. Basicamente o trabalho dos autores acima citados foi o de construir uma lista de tabelas de unidades básicas9 onde há a relação entre as representações simbólicas e gráficas para determinadas partes significativas de uma curva, que permitem a conversão, em mão dupla, de registros gráficos e algébricos deste tipo de função.

Esta forma de trabalhar com as conversões é baseada na interpretação global das propriedades figurais idealizadas por Duval (1988B). A função das unidades básicas é de definir previamente esses elementos básicos com o uso de tratamentos do cálculo em nível superior. Sem isso, para a maioria das funções que trabalhamos no ensino superior, não é possível o estudo da conversão das funções com tratamento global.

Neste ponto de vista, a representação simbólica da função gera um conjunto de características algébricas, reunidas sob o nome de unidades básicas simbólicas cujos elementos estão relacionados aos elementos de um conjunto de características gráficas denominados unidades básicas gráficas. Estes últimos, por sua vez, correspondem aos elementos constitutivos da função em sua forma de representação gráfica. Dito de outra maneira, as conversões se dão prioritariamente entre as unidades básicas simbólicas e a representação gráfica da função. Isto porque não é possível reconstruir uma função em sua forma simbólica por meio de suas unidades básicas simbólicas, por mais completas que sejam estas unidades.

9 Ver detalhes no Anexo A

68

O uso das tabelas de unidades básicas no trabalho com o esboço de curvas permite ao aluno ter uma visão global da curva como um todo, identificando seus componentes gráficos mais significativos e relacionando-os com suas propriedades algébricas. Este processo consiste em uma conversão de representação gráfica para simbólica (algébrica), caminho que apresenta grande dificuldade em se tratando de funções estudadas no ensino superior.

No próximo capítulo iremos aplicar uma seqüência didática com o objetivo de analisar a aplicação das tabelas de unidades básicas para o ensino de esboço de curvas em uma disciplina de Cálculo I. Basicamente, iremos propor atividades que exigirão dos alunos a conversão de representações gráficas em representações simbólicas e vice-versa. Para o primeiro tipo de conversão usaremos um software gráfico para o esboço da curva e no segundo tipo iremos propor o uso das tabelas de unidades básicas criadas por Moretti et al. (2010).

69

CAPÍTULO III 3.0 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Nossa experimentação será dividida em duas partes, assim como o trabalho em sala de aula também o foi. No primeiro procedimento metodológico iremos trabalhar com a folha de atividade pela qual aplicamos a sequência didática para ensino de esboço de curvas auxiliado por Tic’s e tabelas de unidades básicas. Iremos aqui buscar subsídios para verificar veracidade ou não da primeira hipótese levantada na página 15 deste trabalho, onde escrevemos: As tabelas de Unidades básicas propostos por Moretti et al. (2010) possibilitam a conversão entre representações simbólicas e gráficas (nos dois sentidos) em funções estudadas no ensino superior. Para tanto utilizaremos conceitos da Engenharia Didática para análise das resoluções das atividades propostas.

Em um segundo momento, iremos usar a Análise das respostas do questionário aberto aplicado na turma para verificar as percepções que os alunos tiveram da atividade. Iremos aqui tentar perceber quais foram as impressões deixadas pela atividade nos alunos. Este é um ponto crucial de nossa pesquisa, pois apostamos em uma atividade diferenciada, baseada no uso de TIC’s e em uma metodologia de abordagem do conteúdo esboço de curvas totalmente diferente do normalmente usado. Mas quais serão as atitudes e percepções dos alunos frente à esta nova metodologia? Tivemos aceitação de nossa atividade? Os alunos estão abertos para o novo e o diferente? A atividade será motivadora para a aprendizagem conforme apontamos na segunda hipótese? Esperamos poder responder estas questões com a análise do conteúdo de três questões abertas direcionadas agora para cada aluno. 3.1 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA Nesta parte do trabalho apresentaremos as idéias centrais da Engenharia Didática que é a metodologia que norteará este trabalho de pesquisa. Descreveremos as os momentos de aplicação das sequências didáticas relativos à dinâmica de aplicação, de resolução e discussão das atividades. Logo em seguida, relataremos as características dos sujeitos envolvidos na pesquisa e, finalmente, faremos a análise a priori da

70 sequência de ensino, justificando as escolhas das questões, expondo os objetivos e as expectativas de cada uma delas. Esta etapa da pesquisa foi elaborada baseando-se nos procedimentos metodológicos da Engenharia Didática, que segundo Michele Artigue (1996), é uma metodologia que expressa uma forma de trabalho comparável com o trabalho do engenheiro na realização de um projeto. Tal como o trabalho de um engenheiro, o educador também depende de um conjunto de conhecimentos sobre os quais ele exerce o seu domínio profissional. A Engenharia Didática como recurso metodológico de pesquisa nasceu dentro da área da didática da matemática nos anos 80 e, como afirma Almouload (2008), vista como metodologia de pesquisa, é caracterizada, em primeiro lugar, por um esquema experimental com base em “realizações didáticas”, em sala de aula, isto é, na construção, realização, observação e análise de sessões de ensino. Também se caracteriza como pesquisa experimental pelo registro em que se situa e pelos modos de validação que lhe são associados. Segundo Penteado (2004, p. 40) “a Engenharia Didática é baseada nos registros de estudo de caso cuja validação é essencialmente interna, baseada na comparação e entre uma análise a priori e análise a posteriori”. Esta metodologia de pesquisa é composta por quatro etapas que são realizadas em momentos distintos do processo experimental:

1. Análises preliminares com a função de apoiar a concepção da engenharia. Considerando quadro teórico didático e os conhecimentos didáticos sobre o objeto matemático quanto:

a) A análise epistemológica dos conteúdos contemplados no ensino;

b) A análise do ensino tradicional; c) A análise das concepções dos alunos, as dificuldades e

obstáculos; d) A análise do campo das limitações onde se situará a

efetiva realização didática; e) Os objetivos específicos da investigação.

2. A segunda fase da engenharia didática consiste numa análise a priori que se faz sobre o saber em estudo. Nela estão presentes duas etapas que são a de descrição do objeto e outra de previsão de melhorias para o processo de ensino e aprendizagem onde são apontadas problemáticas referentes ao objeto de estudo e

71

são construídas hipóteses que serão verificadas na prática investigativa da proposta didática a ser elaborada.

3. Experimentação se dá no contato do pesquisador com os alunos-objeto da investigação. Deve constar o objetivo e condições da realização da pesquisa, aplicação dos instrumentos de pesquisa e o registro das observações, mantendo, se possível, as escolhas feitas nas análises a priori, como por exemplo, a duração da sessão ou a decisão de haver ou não, intervenção do pesquisador.

4. Análise a posteriori e validação. São considerados nesta fase todos os dados colhidos durante a experimentação e a produção dos alunos em classe ou extra-classe. Às vezes são necessários questionários, entrevistas individuais ou em grupos para completar os dados. Assim, confrontando as análises a priori e a posteriori validam-se ou não as hipóteses levantadas no início da Pesquisa.

Nosso trabalho baseia-se nestes aspectos desta metodologia, porém, não será considerado uma engenharia didática completa, visto à limitação que a escolha de um trabalho em uma sala de aula real com cerca de 60 alunos. A análise a posteriori neste caso fica comprometida, pois não encontramos meios para o registro específico do desenvolvimento completo do raciocínio matemático aplicado por cada aluno na resolução das atividades. De qualquer maneira a análise do material (resolução das atividades registradas em papel e questionário de percepções) nos possibilitará uma averiguação sobre a aplicabilidade da sequência didática para o ensino de esboço de curvas auxiliado por tecnologia, baseada em interpretação global das propriedades figurais. 3.1.1 Análise preliminar

A análise preliminar deste trabalho foi realizada nos capítulos anteriores. Basicamente discutimos sobre a situação atual do ensino de Cálculo nas Universidades brasileiras, sobre o uso de tecnologias da informação e comunicação e sobre o esboço de curvas baseado na interpretação global de propriedades figurais. Este último tema foi direcionado pela teoria de registros de representações semióticas de Raymond Duval.

72 3.1.2 Análise a priori das atividades

Analisaremos a seguir a atividade que foi usada com as turmas 0146 (Engenharia Química) e 0145 (Engenharia de Alimentos) para o ensino de esboço de curvas na disciplina de Cálculo I da UFSC. Neste ponto do estudo os alunos já haviam estudado conceitos de Limite e derivada de uma função, e as tabelas de unidades básicas apresentadas no capítulo 3 foram trabalhadas em duas semanas consecutivas, onde foram realizadas diversas demonstrações de sua aplicação e resolução de exercícios com o uso das mesmas. Na ocasião, as atividades destas aulas foram planejadas e aplicadas com o auxílio do software Derive, e a apresentação foi feita pelo pesquisador através de projetor multimídia. 3.1.2.1 Análise a priori do problema 1 Problema 110:

Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar a quantidade de material usado na confecção da lata?

Este é um problema tradicional de minimização de uma função

que encontramos em muitos livros de Cálculo. Como nosso objetivo era o de análise da função e não a modelagem matemática em si, apresentamos na folha de atividade um desenho para poder agilizar o andamento do curso. Abaixo vemos as informações adicionais do enunciado do problema:

)...(sup

)....(

)......(

3emcmataerfíciedaláreadaA

emcmraior

cmemalturah

=

=

=

10 Atividade completa é apresentada no anexo 1 deste trabalho.

73

Formulário: 2

2

.

..

rAcirc

hrVcilidro

π

π

=

=

Análise preliminar da Questão a (problema 1):

a) Encontre uma função que represente o problema proposto.

Como em uma atividade normal de minimização de uma função, esperamos que o aluno baseado nas informações do enunciado e do desenho, possa construir uma equação ou função que funcione como um modelo matemático para a função. Esta fórmula matemática servirá de guia para todas as outras questões da atividade 1. Para efetivar esta tarefa, basta aplicar conceitos relativos à geometria plana como áreas de círculos e retângulos. Talvez o exercício cognitivo mais elevado seja relacionar o comprimento do retângulo com o comprimento da circunferência e o cálculo da altura h do cilindro, que neste caso viria da fórmula do volume deste objeto espacial. O trabalho matemático esperado a ser apresentado pelos alunos é o seguinte: Área lateral do cilindro

74

hrrlat

A

guloreA

circulosA

latA

..2)2.(2

tan

ππ +=

+=

O valor da altura h pode ser calculado através do volume do cilindro:

222

.

1000..1000..

rhhrhrVcilindro

πππ =→=→=

Deste modo, a área lateral do cilindro segue a seguinte fórmula matemática:

22

.

1000..2)..(2

rrrAlat

πππ +=

Poderíamos ainda escrever esta fórmula como uma função da variável r:

rrrA

2000..2)( 2 += π

Análise preliminar da Questão b (problema 1)

b) Crie o gráfico da função do item (a) utilizando o software DERIVE, ajuste suas escalas para uma visualização adequada da curva e copie o esboço desta curva no espaço abaixo.

Nesta etapa da atividade, ao contrário de uma resolução

tradicional de minimização de função que partiria para o cálculo de derivadas e limites da função a fim de encontrar os pontos críticos da função e etc., optamos por iniciar com uma análise do gráfico desta função. Para tanto, pedimos para que os alunos criassem no Derive o esboço da curva que representa a função encontrada na questão “a”. Esta atividade servirá de apoio para a resolução da atividade “c” onde será analisado cada componente significativo da curva através das tabelas de unidades básicas.

75

Para tanto, os alunos devem possuir um conhecimento básico sobre o ajuste de escalas dos eixos coordenados no Derive. Na primeira fase da plotagem o software apresenta o seguinte esboço:

Ilustração 11: Plotagem inicial da função do problema 1 no software Derive Fonte: Elaborada pelo autor (2010). Com devidos ajustes nas escala podemos chegar a uma melhor visualização do comportamento da desta curva, conforme podemos observar na ilustração 12:

76

Ilustração 12: Plotagem ajustada da função do problema 1 no software Derive Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

Espera-se que os gráficos encontrados pelos diversos alunos difiram por apenas pequenas diferenças na escolha das escalas dos eixos coordenados. Ainda nesta questão foi solicitado que o gráfico encontrado no software gráfico fosse transcrito para a folha de atividades como uma forma de registro da atividade para a futura análise dos pesquisadores. É esperado que o aluno use o gráfico junto ao computador, pois este é dinâmico e a mudança nas escalas permite melhor visualização de certas propriedades que serão utilizadas no decorrer da atividade, tal como o ponto de mínimo existente no primeiro quadrante do plano cartesiano. Análise preliminar da Questão c (problema 1)

c) Complete a tabela abaixo identificando as unidades básicas gráficas, linguísticas e simbólicas associadas à curva que você criou no item (b).

77




Tabela 15: Tabela apresentada na questão c do problema 1 (sequência didática) Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

Nesta questão o aluno deverá usar a tabela de unidades básicas para identificar no gráfico da função as unidades básicas contidas neste, e transcrevê-la juntamente com as unidades linguísticas e simbólicas para a tabela contida na questão. O objetivo desta questão é possibilitar ao aluno uma exploração detalhada da curva encontrada na questão “b”. Esta exploração é baseada na identificação de componentes

78 significativos no gráfico e sua transcrição para a tabela através das unidades básicas. Ao completar as três colunas referentes às partes significativas das curvas, os alunos terão completado o ciclo proposto por Moretti et al. (2010), realizando a conversão do registro gráfico para algébrico da função.

A curva em questão possui quatro principais componentes significativos conforme observamos na tabela 16:




Mínimo relativo

∈>

∈<

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

Assíntota Vertical

∞−=+→ )(limxyax

x = a

Assíntota vertical

∞+=+→ )(lim

xyax

x = a

Ponto de inflexão

∈>

∈<

∈<

≠

+

−

)( ,0)´´(

)( ,0)´´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xVxxy

xy

Tabela 16: Resolução ideal para a tabela da questão c (problema 1) Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

79

Espera-se que não haja a simples transcrição das unidades básicas da tabela de unidades básicas para a tabela da atividade, mas que estas informações sejam acrescentadas com os dados do problema e de resultados de cálculos matemáticos referentes ao ponto de mínimo da função, os valores dos limites das assíntotas verticais e a localização exata do ponto de reflexão. Estes cálculos podem ser feitos tanto no papel, quanto realizados no modo algébrico do Derive, tal como foi realizado pelo professor da disciplina e pelo pesquisador nas aulas anteriores.

Deste modo, as linhas da tabela 2 poderiam ser assim apresentadas:

Linha 1: Cálculo do valor de mínimo relativo da função Para calcular os pontos críticos de uma função f(x), temos que

resolver a equação F’(x)=0. As raízes desta equação serão possíveis pontos de mínimo relativos ou absolutos da função f(x). Realizaremos este trabalho com o auxílio do Derive como pode ser observado a seguir:

80

Encontramos uma Raiz para a equação x1=5.41926. Executando o teste da segunda derivada verificaremos que esta raiz é

realmente um ponto de mínimo da função r

rrA2000

..2)( 2 += π

ou seja, 0)1( <xA . Vejamos os cálculos a seguir que justificam este fato:

Deste modo a linha da tabela da questão “c” deveria ter a

informação do valor de 0x que é a coordenada x do ponto de mínimo da função:

Mínimo relativo

∈>

∈<

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

41926.50 ≅x

Tabela 17: Primeira linha da tabela da questão c (problema 1) Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

81

Linha 2: Determinação do limite da reta assíntota vertical do 3º quadrante

Visivelmente podemos observar que a reta assíntota presente no gráfico da figura 2 tende ao infinito quando x tende a zero pela esquerda. Podemos também observar que −∞=−

−→

)2000

.2( 2

0r

rLimx

π

deste modo completar a 2ª linha da tabela da questão “c”:

Assíntota Vertical

∞−=−→

)(lim0

xyx

Tabela 18: Segunda linha da tabela da questão c (problema 1) Fonte: Elaborada pelo autor (2010). Linha 3: Determinação do limite da reta assíntota vertical do 2º quadrante De maneira análoga ao exposto no item anterior, observamos que a reta x=0 é uma assíntota vertical e que

+∞=−+→

)2000

.2( 2

0r

rLimx

π

e que deste modo a 3ª linha da tabela se completará da seguinte forma:

Assíntota vertical

∞+=+→

)(lim0

xyx

Tabela 19: Terceira linha da tabela da questão c (problema 1) Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

82 Linha 4: Determinação do ponto de inflexão

Podemos dizer que os pontos de inflexão para uma função f estão entre as soluções da equação f ´´(x) = 0 e os pontos para os quais não existe a segunda derivada. Em particular, pontos nos quais f não é derivável e, portanto, não é duas vezes derivável são, automaticamente, candidatos a pontos de inflexão para f. Realizando o teste da segunda

derivada no derive teremos: Neste caso encontramos um ponto de inflexão em

8278,6−=x . Este valor pode também ser observado graficamente

plotando no derive o gráfico de F’’(x):

83

Desta maneira a 4ª linha da tabela da questão “c” pode ser escrita como a tabela 19 da lista de tabelas de unidades básicas (anexo 1):




∈<

∈>

∈<

=

+

−

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´(y

0)x´(y

0

0

0

0

Tabela 20: Modelo apresentado no anexo 1 (tabela 19) Fonte: Moretti et al. (2010).

Até este momento foi propiciado ao aluno a conversão do

registro algébrico da função do item a do problema 1 para o registro gráfico associado a mesma função e o caminho inverso que é a conversão deste gráfico em unidade básicas simbólicas, representadas pelo conteúdo da terceira coluna da tabela 2. Se alcançarmos este objetivo nesta atividade, ou seja, que um percentual expressivo dos alunos completem satisfatoriamente a tabela do item b do problema 1, poderemos afirmar que as tabelas de unidades básicas de Moretti et al. (2010) favorecem as conversões entre registros de representações semióticas em funções do ensino superior. Deste modo estaríamos comprovando a hipótese apresentada na página 15 deste trabalho. Análise preliminar da Questão d (problema 1)

d) Encontre uma solução para o problema proposto. (Obs: você

poderá usar o DERIVE para realizar seus cálculos, mas deverá explicar o processo utilizado).

Até este momento trabalhamos com a curva da função do item a explorando todas as suas características básicas, porém ainda não resolvemos o problema de minimização de maneira direta. Para encontrar a solução do problema tem-se que encontrar um valor para o raio da base do cilindro que minimize a área lateral do objeto.

Para tanto basta achar os pontos críticos da função

84

rrrA

2000..2)( 2 += π

e testar se estes são pontos de mínimo da função. Este trabalho já pode ter sido realizado no item c, mas espera-se aqui uma descrição detalhada deste cálculo. Basicamente encontraremos o valor

41926.50 ≅x como um ponto de mínimo da função. Com este valor a altura h do cilindro e o raio r que minimizam a área lateral do cilindro são iguais a:

cmr

h 8385,10.

10002

≅=π

E deste modo teremos: cmr 4192,5≅

Espera-se que os alunos aproveitem a informação da tabela 2, onde é esperado que este ponto de mínimo seja identificado e registrado seu valor. Análise preliminar da Questão e (problema 1)

e) Qual o intervalo do domínio da função que realmente interessa

na resolução do problema? Por que? Resolvido o problema de minimização da área lateral partimos para uma questão que visa o entendimento da relação da curva como um todo com a solução do problema. Neste item procuramos indagar o aluno sobre o domínio da função, visto que a parte da curva à esquerda do eixo y não faz parte da solução do problema. Basicamente espera-se que os alunos verifiquem que o intervalo do domínio da função que

interessa para a resolução do problema é o intervalo .[,0( +∞ , pois não teria sentido em falarmos de um valor negativo para o raio do cilindro.

85

3.1.2.2 Análise a priori do problema 2 Problema 2

O estudo do crescimento populacional de uma colônia de bactérias é importante no controle de doenças e na manipulação de alimentos pela indústria ou restaurantes. O crescimento de uma colônia de bactérias é dado pela função

)25(500)( 20

t

tetf

−

+= (milhares de bactérias; t em horas).

O problema 2 foi proposto por se tratar de uma função

exponencial relacionada com o crescimento populacional. Este conceito é uma aplicação muito estudada em biologia, e, portanto, uma aplicação imediata de um conceito matemático em outra área do conhecimento. Particularmente, este problema é interessante para alunos do curso de engenharia de alimentos que por sua vez irão trabalhar com o assunto diversas vezes em seu curso de graduação e em sua vida profissional. A função apresentada no problema, como tantas outras estudadas no ensino superior, não possui um gráfico trivial, ou seja, não é possível obter uma visualização mental imediata somente com a leitura de sua representação algébrica. Análise preliminar da questão a (problema 2)

a) Crie o gráfico da função no Derive e ajuste a escala para uma

melhor visualização. Logo em seguida copie o gráfico no espaço abaixo.

Ao digitarmos a função no Derive e solicitarmos sua plotagem

no programa, o que iremos visualizar será uma tela em branco somente com os eixos cartesianos. Realizando modificações na escala do eixo vertical e horizontal, podemos chegar à seguinte visualização do gráfico da função, conforme a ilustração 13:

86

Ilustração 13: Gráfico com escalas ajustadas da função do problema Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

Este esboço pode sofrer algumas variações de acordo com a

escala escolhida, e, dependendo da opção, poderemos visualizar bem algumas partes significativas da curva, como por exemplo, na ilustração 14, podemos também, melhor observar e ter uma breve noção sobre a localização do ponto de inflexão e ponto de máximo da curva na escala escolhida:

87

Ilustração 14: Gráfico com escalas ajustadas da função do problema 2 Fonte: Elaborado pelo autor (2010). Esperamos que o aluno, nesta atividade, realize diversas trocas de escala para explorar o gráfico e suas partes significativas, a fim de obter já inicialmente uma ideia preliminar sobre o comportamento da curva. O desenho à mão livre solicitado na atividade servirá como um registro da realização da atividade. Análise preliminar da questão b (problema 2)

b) Complete a tabela abaixo identificando as unidades básicas gráficas, linguísticas e simbólicas associadas à curva que você criou no item (a).

88



Tabela 21: Modelo apresentado na questão b (problema 2) Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

Seguindo o mesmo raciocínio do problema 1, nesta questão, o aluno deverá usar a tabela de unidades básicas para identificar no gráfico da função as unidades básicas contidas neste, e transcrevê-la juntamente com as unidades linguísticas e simbólicas para a tabela contida na questão. O objetivo desta questão é possibilitar ao aluno uma exploração detalhada da curva encontrada na questão “a”. Esta exploração é baseada na identificação de componentes significativos no gráfico e sua transcrição para a tabela através das unidades básicas. Nesta curva encontraremos apenas três tipos de unidades básicas, conforme descritas na tabela a seguir:




Máximo relativo Derivada primeira de y muda de sinal positivo para negativo na vizinhança de 0x

∈<

∈>

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

200 =x

89


bxyx =∞+→ )(lim

y = 12500

Ponto de Inflexão

Tabela 22: Resolução ideal para a tabela da questão b (problema 2) Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

A última linha da tabela 22 não foi preenchida totalmente, não

por acaso, mas por um detalhe importante. O ponto de inflexão do problema 2 possui uma diferença quando comparado com o ponto de inflexão do problema 1. Enquanto que na atividade anterior a derivada segunda de y muda de sinal positivo para negativo, nesta a derivada segunda de y muda de sinal negativo para positivo. Este fato pode ser observado no próximo gráfico (ilustração 15):

Ilustração 15: Gráfico das derivadas de primeira e segunda ordem da função do problema 2 Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

90

Neste ponto é fundamental observarmos se os alunos estão conseguindo ter um senso crítico em relação às observações dos gráficos das funções estudadas e das tabelas de unidades básicas, ou se apenas estão copiando estas últimas sem nenhum cuidado.

Completando a terceira linha da tabela da questão b do problema 2 teremos praticamente uma cópia da tabela 17 da lista de tabelas de unidades básicas:







∈<

∈>

∈>

≠

+

−

)( ,0)´´(

)( ,0)´´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xVxxy

xy

400 =x

Tabela 23: Modelo apresentado no anexo 1 (tabela 17) Fonte: Adaptado de Moretti et al. (2010). Análise preliminar da questão c (problema 2)

c) Qual é o maior número de bactérias no intervalo de tempo 1000 ≤≤ t ? Justifique sua resposta.

Aqui bastaria calcular através do método das derivadas o ponto

de máximo da função )25(500)( 20

t

tetf

−

+= . Para tanto, podemos usar o modo algébrico do Derive e realizar os seguintes cálculos:

1. Digitar a função algébrica e simplificá-la

91

2. Calcular a primeira derivada

3. Resolver a equação f ` (x) = 0

Deste modo obtemos um valor de ponto crítico x0 = 20.

Aplicando o teste da segunda derivada obteremos: 1. Determinação da segunda derivada de f (x)

2. Determinação de F ``(x0) ou f ``(20)

Deste modo, como f ``(x0) < 0 podemos afirmar que x0 = 20 é

um ponto de máximo. Aplicando esta informação na resolução do problema, podemos dizer que o número de bactérias é máximo no tempo de 20 horas, e, neste caso, o número de bactérias será igual a f(20) ou aproximadamente a 16.178 bactérias.

Esperamos aqui uma explicação sucinta do processo de cálculo do ponto de máximo da função, sua determinação, bem como a

92 determinação do número de bactérias. Atentamos para o fato de que no item b o aluno já pode ter calculado11 o valor exato do ponto de máximo, e neste caso, bastaria apresentar o cálculo do número de bactérias. Análise preliminar da questão d (problema 2)

d) Em que momento, no intervalo de tempo de (c), o número de bactérias decresce mais rapidamente?Justifique sua resposta.

Podemos observar no gráfico da ilustração 16 que o número de

bactérias cresce no intervalo 200 ≤≤ t , atingindo seu ápice no tempo de 20 horas. Após este momento o número de bactérias começa a diminuir, até se estabilizar.

Ilustração 16: Gráfico da função do problema 2 Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

11 Mesmo não estando explícito no enunciado da questão, este fato foi solicitado durante todas as aulas preparatórias e ressaltado durante a aplicação da atividade.

93

No intervalo ∞≤≤ t20 há um decrescimento da população que começa lento e vai aumentando de velocidade com o tempo. Observamos no gráfico da ilustração 17 que a derivada de primeira ordem passa a ser negativa no intervalo ∞≤< t20 e que esta função possui um ponto de mínimo em x =40.

Ilustração 17: Gráfico das derivadas de primeira e segunda ordem da função do problema 2 Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

No intervalo de tempo 4020 ≤< t o valor de f´(x) continua a diminuir (aumenta em módulo) até o seu ponto de mínimo absoluto, e após este há um crescimento da função derivada de primeira ordem (diminui em módulo). Comparando estes dados com a situação problema, podemos verificar que função derivada primeira descreve a velocidade de crescimento ou decrescimento do número de bactérias com o tempo. Esta velocidade de crescimento é positiva até o ponto de máximo da função, passando ser negativa no intervalo ∞≤< t20 . Após o tempo de 20 horas a velocidade (negativa) ou velocidade de decrescimento da população aumenta a cada momento, atingindo seu

94 ápice de decrescimento no ponto de inflexão P = (40 , 15206). Após o instante t = 40 horas, a velocidade de decrescimento começa a diminuir tendendo a zero.

No gráfico apresentado na ilustração 17 podemos observar que a função derivada de segunda ordem possui uma raiz em x = 40, ou seja, ela passa de negativa para positiva neste valor de x. Nesta questão esperamos que os alunos relacionem os conceitos de derivadas de primeira e segunda com o ponto de inflexão tentando entender qual o significado físico deste objeto matemático, permitindo assim um melhor entendimento da situação problema. Análise preliminar da questão e (problema 2)

e) O número de bactérias tende a estacionar em um valor? Qual? Como você pode representar esta informação de modo matemático? Nesta questão esperamos que os alunos relacionem a

estabilização do crescimento populacional com o limite da função quando x tende ao infinito. Ao escrever a situação real em linguagem matemática

3.1.3 Aplicação da sequência didática Apresentaremos a seguir a organização e aplicação da sequência didática aplicada para nossa pesquisa. Analisaremos as produções dos alunos e faremos a comparação entre o esperado na análise a priori e os resultados obtidos. Estas discussões são os conteúdos da análise a posteriori.

Esta análise buscará respostas para a questão de pesquisa: “Como abordar o ensino de esboço de curvas em uma disciplina inicial de cálculo utilizando o procedimento global de propriedades figurais associado ao uso de tecnologias?”

Pensamos em desenvolver uma atividade onde o esboço de gráficos não tivesse um fim em si mesmo, mas sim que pudesse ser usado como uma ferramenta para resolução de problemas e investigação matemática. Deste modo, planejamos uma atividade que teve como ponto de partida um problema contextualizado e em seguida um questionário onde orientamos os alunos na investigação do tema. Para a resolução deste problema os alunos usariam o esboço de curvas

95

auxiliado por uma ferramenta tecnológica e as tabelas de unidades básicas.

Participamos da disciplina Cálculo I ministrada para turmas de primeira fase dos cursos de Engenharia Química e de Alimentos. A turma era formada por 60 alunos sendo que participaram efetivamente da atividade, 56 deles. Estes alunos possuíam idade entre 17 e 28 anos e na sua maioria eram alunos que tiveram seu primeiro contato com o cálculo nesta disciplina12.

A aplicação da atividade foi realizada em 2 dias consecutivos de aula com duas hora/aula cada, sendo a primeira inserção dia 13/05/2009 e a segunda dia 15/05/2009. O pesquisador, autor deste trabalho, vinha acompanhando as aulas desta turma desde o início do semestre como atividade pertinente ao estágio docência junto ao PPGECT13/UFSC.

Cada encontro durou em torno de duas horas, e as atividades foram realizadas em duplas organizadas pelos próprios alunos. Cada equipe tinha posse de um computador portátil onde realizavam suas atividades com o uso de uma versão de teste do software Derive14. A ideia inicial era a utilização de um laboratório de informática, porém a grande quantidade de alunos inviabilizou a ideia.

Para a realização da atividade foi preparado um conjunto de atividades já apresentados no item anterior, impressas em papel. No primeiro dia apresentamos a atividade 1 e no segundo as atividade 2. Nesta folha de atividades havia espaço para que o aluno registrasse todos os seus raciocínios, técnicas e estratégias para a resolução dos problemas. O pesquisador observava cada equipe procurando observar também as especificidades de cada resolução.

No último dia da atividade foram reservados 15 minutos para a realização de um questionário aberto onde os alunos, sem se identificarem, se assim fosse desejado, poderiam registrar suas percepções críticas sobre a atividade.

O material utilizado para a análise e interpretação deste trabalho foram as resoluções registradas nas folhas de atividade, o questionário de percepções e a observação do pesquisador durante a atividade. 12 Apenas 5 alunos eram repetentes nesta disciplina e estavam cursando-a pela 2ª vez. 13 Programa de Pós-Graduação em educação científica e Tecnológica da Universidade federal de Santa Catarina 14Derive é um sistema de álgebra computacional, desenvolvido como um sucessora muMATH pelo Soft Warehouse, em Honolulu, Havaí, agora propriedade da Texas Instruments. Uma versão “free trial” deste software pode ser obtida no sítio da Texas Instruments acessando: http://education.ti.com/educationportal/downloadcenter/SoftwareDetail.do?website=US&appId=6217 As atividades foram desenvolvidas com uma versão “Trial” deste software.

96

A atividade decorreu sem nenhum problema grave, sendo que o único inconveniente foi a grande quantidade de alunos em sala de aula orientados somente pelo pesquisador. Como a atividade foi em dupla, ocorriam conversas entre elas e em alguns momentos havia barulho demasiado, sendo necessária uma intervenção. Observamos também, que alguns alunos, por terem faltado nas aulas anteriores, não estavam devidamente preparados para a atividade e durante a atividade procuravam se comunicar com colegas de outros grupos ou pediam ajuda demasiada ao pesquisador para a realização de algumas tarefas.

Notou-se grande atividade intelectual durante a resolução das atividades e as discussões nos grupos mostraram-se positivas, pois observamos que a atividade tornou-se também formativa e não simplesmente avaliativa. Percebemos que alguns alunos que demonstravam mais dificuldades conseguiam através das discussões realmente entender o conteúdo e conceitos estudados. 3.1.4 Análise a posteriori das atividades

Realizaremos a análise a posteriori das questões da sequência didática baseando nosso trabalho nas hipóteses anteriormente levantadas. Iremos verificar através das análises das questões resolvidas pelos alunos e de um questionário aplicado posteriormente a esta aplicação, se as hipóteses são verificadas ou não.

Na primeira hipótese levantada afirmávamos que as tabelas de Unidades básicas propostos por Moretti et al. (2010) possibilitam a conversão entre representações simbólicas e gráficas em funções estudadas no ensino superior. Nas atividades propostas na sequência didática trabalhamos com uma função, que assim como aquelas estudadas no ensino de cálculo, não apresenta facilidade na construção do esboço de seu gráfico, nem tampouco para a conversão de sua representação gráfica para a representação simbólica (caminho de conversão 2→1 tratada no item 3.2 deste trabalho).

3.1.4.1 Análise a posteriori da atividade 1

A função do problema 1 representa a área lateral de uma lata

cilíndrica e é dada pela expressão r

rrA2000

..2)( 2+= π . A

97

representação gráfica desta função não é trivial, e a primeira visualização gráfica apresentada pelo software gráfico (figura 19) não possibilita uma boa visualização da curva, necessitando realizar um ajuste nas escalas dos eixos cartesianos. Todas as equipes não tiveram dificuldades para plotar o gráfico da função e fazer os ajustes necessários para passar da situação da ilustração 18 para o verificado na ilustração 19:

Ilustração 18: Primeira visualização do esboço do gráfico da função

rrrA

2000..2)( 2

+= π no software Derive

Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

98

Ilustração 19: Visualização do esboço do gráfico da função

rrrA

2000..2)( 2

+= π com ajuste de escalas


Todas as duplas, ao conseguirem chegar a esta última visualização, identificaram nela as partes significativas da representação gráfica que são: Ponto de mínimo relativo, Ponto de inflexão, e duas retas assíntotas verticais. Neste ponto realizamos a conversão 1→2, representação simbólica → representação gráfica (ver seção 3.2) através do modo informático. Os esboços solicitados no item “b” do problema 1 foram de forma geral semelhantes ao esboço da ilustração 20:

99

Ilustração 20: Esboço do gráfico da função

rrrA

2000..2)( 2

+= π criada por

uma das duplas de alunos. Fonte: Elaborado pelo autor (2010). Para esboçar o gráfico desta função pela forma tradicional teríamos que determinar sua raiz, examinar através dos testes de primeira e segunda derivadas os pontos críticos, de onde encontraríamos

um ponto de mínimo em 4192.525

3

1

3

2

≅⋅

=

π

r e um ponto de inflexão em

8278.610

3

1−≅−=

π

r . Também teríamos que determinar os limites:

)(0

rALimr ±→

e )(rALimr ±∞→

para verificar a existência de assíntotas verticais e/ou horizontais.

Em nossa proposta propomos um caminho diferente, passando primeiramente pela representação gráfica obtida pela ferramenta informática, e posteriormente partindo para a análise das partes significativas15 do gráfico da função. Esta análise se dá pela construção

15 Ver nota 7 página 41

100 das tabelas de unidades básicas que foi solicitada no item “c” do problema 1. Para a construção desta tabela os alunos puderam se basear nas tabelas do anexo 1, e deste modo, o trabalho consistiu em identificar uma parte significativa do gráfico e comparar com um unidade básica da tabela do anexo 1.

Das 31 duplas que realizaram a atividade apenas três não conseguiram completar a tabela de unidades básicas adequadamente. Uma não identificou o ponto de mínimo presente no gráfico e as outras duas localizaram uma assíntota horizontal, sendo que esta é inexistente na representação gráfica da função do problema 1.

Nas resoluções das 28 duplas que completaram a atividade satisfatoriamente, 7 delas não identificaram nas tabelas os valores exatos de r0

16 ou x0 dos pontos de inflexão e de mínimo da função e, da mesma forma, dos pontos limites das retas assíntotas. Observe na tabela a seguir que a unidade básica correspondente ao ponto de inflexão em questão do gráfico do problema 1 é apresentado de maneira genérica com um valor positivo para x0. Esperávamos que estes valores fossem calculados e identificados corretamente (neste caso com um valor negativo para x0) nas tabelas de unidades básicas, pois o objetivo destas tabelas é realização da conversão entre a representação gráfica e simbólica da função e a possibilidade de interpretação global das propriedades figurais do esboço da curva. Para tanto, é necessário a escrita correta de cada elemento da tabela.

Unidade básica

gráfica Unidade básica

lingüística Unidade básica

simbólica

Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal na

vizinhança de 0x .

Derivada segunda de y muda de sinal negativo para positivo.

∈<

∈>

∈<

≠

+

−

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´(y

0)x´(y

0

0

0

0

Tabela 24: Unidade básica associada a um ponto de inflexão Fonte: Moretti et al. (2010).

16 Mesmo com a tabela modelo de unidades básicas usando a nomenclatura “x0”, algumas duplas optaram por usar “r0”. Isso se deve ao fato de o raio da base da lata cilíndrica descrita no problema 1 ser a variável usada na modelagem da situação problema.

101

Podemos observar este fato em uma destas descrições conforme a tabela abaixo (ilustração 21) onde observamos que a dupla simplesmente copiou as informações da tabela do anexo 1 para a sua folha de atividade, não completando todas as informações necessárias para o bom entendimento da tabela de unidades básicas:

Ilustração 21: Tabela de unidades básicas referente ao item “c” do problema 1 sem as devidas identificações de x0


As restantes 21 duplas que identificaram os valores de r0 ou x0 dos pontos críticos e também os pontos limites das retas assíntotas se dividiram em dois grupos. O primeiro grupo com 11 duplas identificou os valores de r0 ou x0 na própria escrita das unidades básicas simbólicas. Podemos observar este fato na tabela da ilustração 22:

102

Ilustração 22: Tabela de unidades básicas referente ao item “c” do problema 1 com identificações de x0 na própria escrita das unidades simbólicas. Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

O segundo grupo formado por 10 duplas optou pela descrição tal como a tabela e unidades básicas do anexo 1 porém, indicando logo em seguida o valor de x0 ou r0. O mesmo acontecendo para os pontos limites das assíntotas verticais, conforme nos mostra a tabela da ilustração 23:

103

Ilustração 23: Tabela de unidades básicas referente ao item “c” do problema 1 com identificações de x0 na própria escrita das unidades simbólicas Fonte: Elaborada pelo autor (2010).

Na questão 1 (c), onde pedimos para ser encontrado uma solução para o problema, observamos que a grande maioria dos alunos já havia localizado o ponto de máximo da função nos itens (a) e (b) da questão, porém, a descrição da atividade variou muito entre as duplas. Algumas duplas optaram por uma descrição explicativa da resolução. É o caso da dupla Carla e Eduardo17 em que podemos visualizar no quadro apresentado na ilustração 24:

17 Todos os nomes usados na descrição das atividades são fictícios para assegurar o anonimato dos participantes da pesquisa.

104

Ilustração 24: Exemplo de descrição do item d do problema 2 Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

Os alunos já haviam identificado o ponto r =5,419 como ponto de mínimo da função no item b, e agora somente calcularam o valor da função neste ponto. Notamos que houve uma confusão entre o fato deste raio ser o raio que minimiza a função com a constatação errônea de que este seria o menor raio possível.

Outras duplas optaram por demonstrar o conhecimento dos conceitos de cálculo relacionados com o ponto de mínimo da função, descrevendo passo a passo os cálculos necessários para se obter o resultado. Na resolução da dupla Letícia e Carolina podemos observar este tipo de método conforme descrito no quadro da ilustração 25:

Ilustração 25: Exemplo de descrição do item d do problema 2 Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

105

De qualquer maneira observamos que todas as duplas utilizaram os dados obtidos na construção da tabela de unidades básicas do item (b) para resolver o problema, ou seja, usaram o valor do mínimo relativo da função identificado no item anterior. Todas as duplas usaram o Derive para o Cálculo das derivadas e equações e já durante a atividade apontaram que o programa facilita a resolução de problemas, visto que houve economia de tempo gasto com cálculos complicados, facilidade na visualização dos gráficos e praticidade gerada pela facilidade de mudança de escalas. 3.1.4. 2 Análise a posteriori da atividade 2

Na segunda atividade trabalhamos com a equação

)25(500)( 20

t

tetf

−

+= que representa o crescimento populacional de uma colônia de bactérias. Na questão (a) foi solicitado a plotagem da função no software derive. Ao realizar a ação de plotagem da função no software, inicialmente visualizamos uma tela vazia devido à escala original. Em um primeiro momento, muitas duplas tiveram dificuldades de achar uma escala que permitisse a visualização da curva, e por tentativas sucessivas algumas duplas chegaram a uma primeira visualização (ilustração 26):

Ilustração 26: Gráfico da função do problema Fonte: Elaborado pelo autor (2010).

106

Como percebemos uma grande dificuldade em obter um método eficaz para a escolha de uma escala apropriada para esta tarefa, fizemos uma intervenção neste momento tentando sanar esta dificuldade. Alguns alunos questionaram esta atividade no sentido de entender como encontrar uma escala apropriada sem ter que usar um método de tentativas. Com o auxílio do projetor multimídia visualizamos no quadro a curva e através de um diálogo com a turma procuramos ideias para a solução deste problema. Ao mostrar o gráfico acima questionamos sobre qual seria o ponto de intersecção entre a curva e o eixo y. Logo, alguns alunos responderam que este ponto estaria entre “12000 e 14000”. Pedimos uma resposta mais exata e o aluno André respondeu que a coordenada y deste ponto podia ser achada pelo cálculo de f(0), ou seja,

12500)025(500 =+ . Deste modo, apontamos o método de obter as intersecções entre

a curva e os eixos cartesianos como uma maneira de encontrarmos uma escala inicial apropriada para a visualização da curva.

Na questão “b” apresentamos uma tabela com três linhas onde deveriam ser listadas as unidades básicas identificadas no gráfico da função. Todas as duplas identificaram as partes significativas da curva, conforme descritas na análise preliminar, porém, dez equipes não apontaram corretamente as unidades básicas do ponto de inflexão. Podemos observar, de acordo com o gráfico da ilustração 27 que a derivada de segunda ordem da função em questão nesta atividade apresenta as seguintes características em relação ao ponto de inflexão de coordenadas (40 , 15206) :

)( 0)```( 0xVxxy−

∈<

)( 0)```( 0xVxxy+

∈>

107

Ilustração 27: Gráfico das derivadas de primeira e segunda ordem da função do problema 2 Fonte: Elaborado pelo autor (2010). Este número de 20 alunos que não conseguiram identificar corretamente as unidades básicas algébricas é uma parcela significativa da turma estudada (35% do total de 56 participantes). O que observamos foi que estes alunos simplesmente copiaram a tabela de unidades básicas sem uma maior análise do comportamento dos gráficos das derivadas de primeira e segunda ordem, conforme realizado nas atividades de preparação da atividade. Este fato já havia sido comentado na seção de análise preliminar e apontamo-o como um fator de análise importante para a atividade, possibilitando observarmos se os alunos estariam utilizando as tabelas de unidades básicas de forma crítica através da análise gráfica de cada item ou somente copiando-as para a folha de atividade.

108 Na questão “c” da atividade 2 foi solicitada a identificação do

maior número de bactérias no intervalo de tempo 1000 ≤≤ t . Como o ponto de máximo já havia sido determinado na questão “b”, não foi difícil para nenhuma dupla realizar a atividade, sendo que muitas delas descreveram o processo de resolução demonstrando total domínio do conceito. A dupla Maria e João relataram da seguinte maneira o seu raciocínio utilizado na resolução do problema:

• “O maior número de bactérias nesse intervalo de tempo é 16.178.700 bactérias. Só foi possível obter este dado com o ponto de máximo da função, que foi encontrado resolvendo a primeira derivada dessa função e colocando esse resultado como o “x” da função original. Assim conseguimos chegar ao número máximo d bactérias.”

Na questão “d” perguntamos em que momento no intervalo de

tempo 1000 ≤≤ t o número de bactérias decresce mais rapidamente. Para esta resposta, o aluno deveria analisar as derivadas de primeira e segunda ordem afim de melhor compreender o fenômeno em questão. Todas as duplas indicaram o ponto de inflexão como o ponto onde o número de bactéria decresce mais rapidamente. Porém, as justificativas não apontaram de modo geral, um entendimento real do conceito deste ponto. Observe algumas explicações relatadas nas folhas de atividade:

• “Onde é o ponto de inflexão sendo assim o tempo é 40 horas, tendo assim o maior valor de queda do crescimento das bactérias”.

Notamos neste tipo de resposta que o aluno, baseado em outras

atividades realizadas em sala de aula, já sabia que “algo” acontecia no ponto de inflexão relacionado com a mudança de velocidade ou crescimento e decrescimento. Desta forma, simplesmente apontou-o como solução da questão sem se aprofundar em sua explicação.

Nas três descrições abaixo os alunos relacionaram o ponto de inflexão com a inclinação da reta tangente. Mesmo tendo acertado na indicação de que neste ponto há a maior inclinação não nos indicaram de que maneira chegaram a esta conclusão.

109

• “Quando x=40 (ponto inflexão), pois neste ponto a reta tangente possui maior inclinação no intervalo 20 <t<inf ”.

• “Em x = 40 horas que é o ponto de inflexão, pois neste ponto a

derivada y´ tem seu ponto de mínimo”.

• “Em t = 40h o decrescimento do número de bactérias é maior,

pois f `(t) = 0; Como a derivada representa a velocidade de crescimento da colônia de bactérias o ponto mínimo relativo da 1ª derivada representa a maior velocidade de decrescimento”.

Podemos perceber nos próximos tipos de respostas que os alunos relacionaram a derivada de primeira ordem e seu ponto de mínimo com o conceito de ponto de inflexão, chegando bem perto do esperado na análise a priori desta questão.

• “O número de bactérias decresce mais rapidamente quando a derivada segunda é igual a zero, já que isso indica o ponto mínimo da derivada primeira, que por sua vez indica a maior taxa de decrescimento da função f(t)”.

• “Em 40 horas a taxa decrescerá com maior velocidade porque

neste momento a derivada primeira atinge seu valor mínimo no intervalo 20<t<∞ (máximo em valor absoluto)”.

Classificando os tipos de respostas em três níveis de

profundidade conforme as descrições dos alunos, apresentamos a tabela 25 que nos indica o percentual de alunos que responderam conforme cada nível:

110

Nível Descrição Porcentagem 1 Apenas indicou o ponto de

inflexão como solução do problema

32%

2 Indicou o ponto de inflexão como solução do problema e o relacionaram com a inclinação da reta tangente

28%

3 Indicou o ponto de inflexão como solução do problema relacionando a derivada de primeira ordem e seu ponto de mínimo com o conceito de ponto de inflexão

40%

Tabela 25: Classificação das respostas da questão d (problema 2) Fonte: Elaborada pelo autor (2010). O fato de 60 % dos alunos não apresentarem uma resposta razoável para a questão, já era de certa maneira esperada, visto que a relação entre o conceito de ponto de inflexão da função estudada (ponto onde a função decresce mais rapidamente) e o gráfico de suas derivadas de primeira e segunda ordem, não possuem “congruência Semântica”.

Como afirma Duval (1988a, p.2) “[...] duas expressões podem ser sinônimos ou referencialmente equivalentes (elas podem “dizer a mesma coisa”, elas podem ser verdadeiras ou falsas juntas) e não serem semanticamente congruentes: neste caso, há um custo cognitivo importante para a compreensão.”

Notamos que realmente não há uma correspondência semântica entre os elementos significantes “em que momento o número de bactérias decresce mais rapidamente” (representação de entrada) e as representações gráficas das funções derivada de primeira e segunda ordem (ver ilustração 18, p. 64). A expressão “decresce mais rápido” possui um sentido superlativo, enquanto que o gráfico da função derivada de primeira ordem possui um ponto de mínimo exatamente no ponto em questão, tendo um significado contrário ao primeiro. Observamos também, que a função derivada de segunda ordem apresenta um crescimento até o ponto de abscissa 40 (abscissa do ponto de inflexão), ideia contrária ao sentido da palavra “decresce” apresentada no enunciado da questão.

111

De qualquer forma, em todos os casos apresentados acima, os alunos realizaram a conversão no caminho 1→2 (representação simbólica → representação gráfica) através do software gráfico Derive (modo informático), conseguindo observar a curva em diferentes escalas, possibilitando a sua visualização correta e precisa, e também a conversão no sentido contrário caminho 2→1 (representação gráfica → representação simbólica) através das unidades básicas, completando o ciclo proposto por Moretti et al. (2010) conforme o esquema descrito na ilustração 28:

Ilustração 28: Esquema de conversão de registros de representações semióticas para o estudo de funções no ensino superior. Fonte: Moretti et al.(2010). Deste modo podemos validar a primeira hipótese levantada neste trabalho e concluir que as tabelas de unidades básicas propostas por Moretti et al.(2010) possibilitam a conversão de representações gráficas para simbólicas no estudo de funções no ensino superior.

112 3.1.5 Análise do questionário de percepções dos alunos Aplicamos um questionário18 aberto com duas perguntas a serem respondidas individualmente no final da atividade. Este questionário teve como objetivo verificar as percepções dos alunos quanto à aspectos da atividade aplicada em sala de aula. Foi explicado nesta oportunidade, a importância da resposta sincera por parte dos alunos, a fim de aplicarmos os resultados da análise das questões na pesquisa realizada.

Esta parte da pesquisa é de natureza qualitativa-interpretativa, no qual os dados coletados são predominantemente descritivos, incluindo transcrições de entrevistas, depoimentos ou questionários escritos. Bogdan e Biklen (1994) destacam que a pesquisa de foro qualitativa tenta capturar a perspectiva do participante, isto é, a maneira como os sujeitos interpretam as questões focalizadas.

O questionário de perguntas abertas, segundo Richardson (2008), caracteriza-se por perguntas ou afirmações que levam o entrevistado a responder com frases ou orações, e neste caso, o pesquisador está mais interessado em uma maior elaboração das opiniões do entrevistado, e não em antecipar respostas. Segundo este autor, uma das vantagens do questionário de perguntas abertas é a possibilidade de o entrevistado responder com mais liberdade, não estando restrito a marcar uma ou outra alternativa.

Os pontos positivos relatados pelos alunos estão organizados na tabela 26, os quais nos dão um panorama da percepção dos alunos em relação ao uso da tecnologia durante a atividade, relacionado através de ideias centrais extraídas das respostas dos questionários.

Neste questionário propomos duas perguntas abertas: 1. Cite três pontos positivos e três negativos da atividade. 2. Qual a sua impressão sobre o uso do software Derive na

realização da atividade? O aluno teve total liberdade para expor suas ideias e nos

preocupamos em deixar explícito que não havia necessidade de identificação pessoal, a fim de possibilitar total liberdade de expressão nas críticas e sugestões apresentadas.

18 Ver anexo D

113

Pontos positivos – ideias centrais Numero de

registros Percentuais

A atividade auxiliou na compreensão do problema e conceitos estudados

30 – 55%

O uso do software gráfico ajudou na compreensão e resolução do problema

28 – 51%

A interatividade com a dupla (ou trio) auxiliou na compreensão e resolução do problema e compreensão dos conceitos

25 – 46%

A atividade mostrou a importância e utilidade do meio tecnológico na educação e no futuro profissional

16 – 29%

A atividade diminuiu a grande quantidade de cálculos usualmente realizados em matemática

15 – 27%

A atividade mostrou a aplicação dos conteúdos do cálculo motivando o estudo dos conceitos

15 – 27%

A atividade possibilitou maior agilidade na resolução do problema

13 – 24%

A atividade priorizou a análise e interpretação ao invés de resultados numéricos somente

9 – 16%

O caráter da atividade diminuiu o “stress” que uma atividade de matemática costuma apresentar

7 – 12 %

A utilização das tabelas de unidades básicas ajudaram na compreensão e resolução do problema

5 – 9%

A atividade ajudou na nota da disciplina 3 – 5% Tabela 26: Classificação das ideias centrais (pontos positivos) apresentadas nas respostas do questionário aberto Fonte: Elaborada pelo autor (2010) . As linhas em destaque apresentam pontos positivos da atividade apontados pelos alunos, que estão relacionados com o uso da tecnologia. Todos os alunos citaram pelo menos um ponto positivo do uso da tecnologia e pudemos observar melhor o entusiasmo dos alunos com a prática nas falas de alguns indivíduos:

• “Muito mais prático e útil, pois torna a aula mais rápida e mais prática pois os alunos vêem o que estão calculando no gráfico. Isso facilita muito na aprendizagem já que é uma matéria um pouco abstrata. Além de que é uma tecnologia muito usada em

114

todo o mundo e nos prepara para o futuro profissional onde iremos usar softwares”.

• “O uso do software é bom, pois é possível realizar os cálculos com facilidade e ver como eles são representados nos gráficos ajudando assim a aprender melhor”.

• “Foi muito bom, pois com o derive vemos exatamente como é o gráfico de cada função, podendo assim analisa-lo com mais precisão e entendê-los melhor”.

• “O uso de computadores em uma atividade da disciplina de cálculo foi uma novidade, pois tornou a dinâmica da aula mais ativa e esclarecedora. Deu a oportunidade de compreender melhor a matemática, além de otimizar o tempo da prova. Particularmente usando o derive consegui compreender melhor a situação proposta pela prova.”

• “O uso do derive nas aulas de Cálculo foi de grande importância, pois com sua praticidade em calcular derivadas, limites e principalmente em esboçar os gráficos, consegui visualizar melhor a função e entender as questões propostas.”

As duas primeiras linhas da tabela 26 nos mostram que os alunos usaram o software na resolução dos problemas apresentados, apontando que a atividade conforme organizada juntamente com a ferramenta informática foi importantes na compreensão e resolução do problema. Este fato também foi apontado na pesquisa de Baruffi (1999), onde a autora descreve que o ensino de Cálculo pouco mudou em relação ao passado, e que em relação ao uso de tecnologias nesta disciplina, é importante uma abordagem baseada em resolução de problemas que permita a construção de significados para a atividade, e não somente a repetição de uma aula tradicional auxiliada por um computador. A dinamicidade na visualização dos gráficos das funções através da mudança de escalas e o uso das tabelas de unidades básicas foram apontados como determinantes para a compreensão do problema como um todo e no entendimento do comportamento de cada função.

Essa questão vem sendo discutida por pesquisadores preocupados com a necessidade de um melhor entendimento do aluno quanto ao gráfico da função (DUGDALE, 1993). Por meio do gráfico é possível analisar características importantes de uma função. Além disso, diferentemente da sua representação algébrica, o gráfico permite uma

115

análise global da função e uma visão do todo. Dugdale (1993) fala dos esforços para melhorar a leitura e compreensão dos gráficos melhorando os conceitos dos estudantes a partir da interpretação do significado global do gráfico. No entanto, também foram apontadas críticas e algumas incertezas relacionadas ao uso da tecnologia. A tabela 27 nos mostra algumas destes pontos negativos apresentados pelos alunos:

Pontos negativos – ideias centrais Numero de registros Percentual

O software e a metodologia não serão usados por outros professores

20 – 35%

Dependência do uso do software 10 – 17% Falta de maior preparo para o uso do software

6 – 10%

Tabela 27: Classificação das ideias centrais (pontos negativos) apresentadas nas respostas do questionário aberto Fonte:Elaborada pelo autor(2010).

Os alunos apontam com preocupação o fato de que mesmo sendo uma atividade motivadora e enriquecedora para sua vida acadêmica, o uso de softwares pode prejudicá-los em disciplinas futuras onde não poderão mais usar a ferramenta. Este fato pode ser observado na fala do aluno Roberto e Pedro:

• “Por um lado é muito bom pela facilidade e economia de tempo com os cálculos muito complicados, mas também pode ser prejudicial em matérias futuras se os professores não liberarem o uso”.

• “A utilização do software permite um maior aproveitamento das aulas, prende mais a atenção e ensina a interpretação de dados. No entanto, a não utilização do software nos próximos períodos pode ser motivo de dificuldade para os alunos”. Um ponto importante já apontado por Artigue (1991) é o fato de

que em uma aula tradicional de Cálculo, aspectos conceituais são reduzidos aos algoritmos que, por excesso de algebrização, escondem as ideias essenciais do Cálculo. Isso foi apontado por 27% dos alunos que consideram desnecessário o tempo gasto com a resolução de exercícios demasiadamente longos e difíceis. Artigue (ibidem) afirma que os processos educacionais implicam diretamente nas concepções

116 matemáticas dos estudantes, e é necessário que o aluno deva ser considerado como autor principal do processo de ensino e aprendizagem de Cálculo.

Outras características da atividade tais como a possibilidade de discussão e trocas de ideias com a dupla, a aplicabilidade prática dos problemas e a diminuição do “stress” causado pelas avaliações de Matemática, foram também pontos positivos relatados por muitos alunos. Este tipo de atividade onde há a possibilidade do aprendiz aprender durante o próprio processo de avaliação, é defendido por Perrenoud (2002), onde relata que uma situação-problema é ideal para este tipo de atividade, pois assim os alunos podem aprender e serem desafiados por intermédio de questões cujas respostas requeiram análise, compreensão, tomada de decisão e criação de estratégias.

Neste sentido, como também nos afirma Salvador (1994, p. 129), é possível fazer uso da prova escrita, ou outro instrumento de avaliação, para analisar as dificuldades e obstáculos dos alunos. Ou seja, podemos transformar a prova escrita num momento privilegiado de aprendizagem, oportunidade de autoavaliação do planejamento e da regulação da própria atividade de aprender do aluno, habilidade essencial para desenvolver a “competência do “aprender a aprender” ou a habilidade de realizar aprendizagens significativas por si só, numa gama de situações e circunstâncias”.

Podemos concluir através das práticas e falas dos alunos e pela observação da atividade que a prática pedagógica aplicada com o auxílio do software foi motivadora, pois introduziu uma ferramenta tecnológica que poderá ser usada na vida acadêmica e profissional do aluno, facilitou a aprendizagem de conteúdos imediatos e possibilitou uma nova abordagem na resolução de problemas, mais voltada para uma interpretação crítica. O uso do software, tanto de seu modo algébrico como gráfico, foi apontado como facilitador da atividade, promovendo maior entendimento do gráfico da função e por economizar tempo que antes eram gastos com longos cálculos matemáticos.

Por último, podemos afirmar que é explícita na fala coletiva dos alunos a aceitação de novas propostas pedagógicas que os coloquem como centro do processo de ensino e aprendizagem, tal qual a atividade apresentada neste trabalho de pesquisa. Tal visão dos alunos entra em choque com a visão da maioria dos professores universitários que conhecemos que possuem apego a uma metodologia mais tradicional ligada a um único método de organização e apresentação do conteúdo.

Esta visão é proveniente de uma cultura docente onde cada professor traz consigo características e significados próprios, oriundos

117

da filosofia educacional da instituição em que está inserido, da cultura advinda de seu processo de formação, da cultura proveniente da sua experiência da ação docente e da cultura acadêmica, resultante da interação com os pares e os estudantes. Essa diversidade de culturas resulta em uma multiplicidade de olhares e perspectivas sócioculturais que se entrelaçam, se complementam, se transformam e são re-significadas por cada professor, culminando em uma prática educativa carregada de valores, crenças, sentimentos, significados e conhecimentos construídos no individual, porém gerados no coletivo.

Como considera Hargreaves (2002, p.164), a cultura docente se encontra, nos dias atuais em um dilema,

vivendo uma tensão inevitável e preocupante entre as exigências de um contexto social móvel, mutável, flexível e incerto, caracterizado pela complexidade tecnológica, pela pluralidade cultural e pela dependência dos movimentos do livre mercado mundial por um lado, e as rotinas, as convenções e os costumes estáticos e monolíticos de um sistema escolar sem flexibilidade, opaco e burocrático por outro. Nessa inevitável tensão os docentes se encontram cada vez mais inseguros e indefesos, se sentem ameaçados por uma evolução acelerada a que não podem ou não sabem responder.

Esta tensão pode ser a explicação pela pouca aceitação por parte

de professores do ensino superior ao uso de novas metodologias para o ensino de Matemática em nível superior, tal como o uso de tecnologias educacionais. Nosso trabalho pretende, neste sentido, mostrar que é possível romper com a tradição e aplicar novas metodologias para o ensino de Matemática no nível superior, propiciando uma aprendizagem significativa dos conteúdos estudados.

118 CONSIDERAÇÕES FINAIS O presente trabalho foi, antes de tudo, uma experiência singular no plano pessoal do investigador. Como professor de Matemática na disciplina de Cálculo, sempre procurei pesquisar e aplicar novas metodologias para o ensino dos conceitos envolvidos, particularmente o uso de TIC’s, mais especificamente o uso de softwares educacionais como o Derive, Cabri Geometre, Geogebra e outros.

Muitas vezes me senti frustrado por não conseguir obter os resultados esperados no planejamento da aula ou sequência didática. O mal estado de alguns laboratórios de informática, o despreparo para o uso da ferramenta (por parte do professor e dos alunos) e a falta de apoio por parte das coordenações dos cursos foram algumas dificuldades que encontrei ao longo do caminho.

Foi errando e acertando que consegui chegar a algumas práticas que considero inovadoras ao ensino de Cálculo e obter sucesso em minha prática pedagógica através da motivação e aprendizagem dos conteúdos estudados.

Neste trabalho pude verificar a importância da prática de atividades com o uso de ferramenta tecnológica serem conduzidas por uma pesquisa orientada, bem como a aplicabilidade de uma sequência didática para o ensino de esboço de curvas auxiliadas pelo software Derive e baseadas na interpretação global de propriedades figurais.

Nesta sequência didática optamos por um trabalho diferente do tradicional para o ensino deste conteúdo em uma turma de Cálculo I. Primeiro optamos pela alternativa de se trabalhar com problemas investigativos e contextualizados, e não somente com exercícios com pura motivação matemática. E em segundo, ao invés de partir diretamente para os cálculos algébricos destinados à identificação matemática dos pontos significativos da curva (pontos de máximo e mínimo, ponto de inflexão, retas assíntotas, etc) e o posterior desenho à mão livre do gráfico da função, iniciamos o trabalho pedagógico pela visualização dinâmica da curva em um software gráfico. Posteriormente, identificamos as partes significativas da curva com a tabela de unidades básicas (gráficas e algébricas) propostas por Moretti et al. (2010), e com estes dados propomos a investigação de problemas relacionados com o contexto da atividade.

Uma primeira consideração de nosso trabalho foi o resultado obtido com as tabelas de unidades básicas de Moretti et al. (2010), onde conseguimos mostrar que é possível utilizá-las como ferramenta para obter a conversão entre registros de representações simbólicas e gráficas

119

em ambos os sentidos de funções estudadas no ensino superior. Este ato que foi estudado por Duval (2003), Moretti (2003) e Silva (2008) para funções de primeiro e segundo graus, agora também proporcionou resultados para funções exponenciais e racionais, típicas de um curso de Cálculo em cursos superiores da área das ciências exatas. Pudemos constatar que o uso das tabelas de unidades básicas foram razoavelmente compreendidas pelos alunos, e a sua utilização possibilitou a conversão de representações gráfica de funções estudadas no ensino superior em representações algébricas desta mesma função. Este fato já havia sido comentado por Moretti et al. (2010) como praticamente inexistente no ensino superior, devido às dificuldades inerentes aos tipos de funções estudadas neste nível de ensino.

Com o uso da ferramenta tecnológica para o esboço da curva associada às funções, tivemos um ganho expressivo em relação ao entendimento global do gráfico da função e à exploração matemática de cada parte constituinte da curva. Enquanto que em uma atividade tradicional de esboço de curvas trabalhamos apenas com o cálculo algébrico (cálculo de limites, pontos de máximo, mínimo, etc) e o posterior esboço a mão livre da curva no papel, aqui em nossa atividade pudemos, de forma dinâmica com auxílio do software, explorar cada parte significativa da curva, e, inclusive, comparar seu comportamento com suas derivadas de primeira e segunda ordem. O cálculo algébrico não foi prejudicado, pois para completar as tabelas de unidades básicas e para resolver as atividades investigativas os alunos eram obrigados a fazê-los.

As tabelas de unidades básicas tiveram um papel crucial nesta atividade, pois com elas os alunos puderam, em muitos casos, conectar os aspectos gráficos da função original com os aspectos algébricos relacionados com conceitos de crescimento, decrescimento, pontos de máximo e mínimo das funções derivadas de primeira e segunda ordem.

Como comentamos na análise a posteriori das atividades (p. 87 e 88), em alguns casos as atividades apresentaram certo grau de dificuldade inerente à não-congruência semântica entre o enunciado e os objetos matemáticos envolvidos na questão, e que não foram superados por alguns alunos. Este fato levou alguns alunos somente a copiarem as tabelas de unidades básicas e, em outras situações, a dar respostas superficiais às questões propostas. Este fato poderia ser melhor trabalhado com a proposição de atividades específicas que relacionassem mais profundamente as conexões entre os aspectos gráficos da função em cada ponto específico com as propriedades algébricas das funções derivadas de primeira e segunda ordem.

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Uma segunda consideração é a respeito das concepções dos alunos ao se depararem com uma atividade pedagógica utilizando uma ferramenta tecnológica em sala de aula. O questionário de perguntas abertas aplicado aos alunos no final da atividade nos ajudou a perceber que, grande maioria dos alunos, aprovou a atividade e considerou o uso da ferramenta tecnológica como positiva no sentido de economizar tempo com cálculos muito longos, propiciar maior entendimento dos gráficos das funções, e consequentemente, da função como um todo e do problema envolvido na questão.

Percebemos que as respostas tiveram seriedade e caráter crítico, pois afirmaram diversas vezes que, mesmo considerando positivo o resultado da atividade pedagógica, tinham receio de ficarem dependentes demais da tecnologia e de não poderem usar a ferramenta em outras disciplinas. É importante ressaltar que, alguns alunos já haviam realizado a disciplina de Cálculo, ou como repetentes em outras Universidades, e pudemos perceber nos diálogos em sala de aula e nos próprios questionários, a comparação da atividade com a prática de outros professores que não usam esta metodologia.

Outro fator importante ressaltado pelos alunos, foi a possibilidade da realização da atividade em dupla com um colega. Muitos alunos observaram que a possibilidade de diálogo na hora da realização das foi um recurso de aprendizagem dentro da atividade. Ao possibilitarmos o diálogo entre os pares, houve a possibilidade de o aluno refletir sobre seus conhecimentos, comparar com os do colega, e neste diálogo, ocorreu a aprendizagem de conceitos que até então, não estava claro para alguns.

De qualquer modo, consideramos que a atividade pedagógica auxiliada pela ferramenta tecnológica teve impacto sobre a motivação do aluno no estudo da disciplina de Cálculo I, por possibilitar melhor entendimento e visualização dos conceitos estudados, e por permitir maior participação dos alunos em sua aprendizagem. Com certeza, os alunos foram aqui, sujeitos que participaram ativamente de sua aprendizagem, dialogando com o professor e colegas, resolvendo e investigando problemas, utilizando uma ferramenta tecnológica inovadora e refletindo sobre suas percepções sobre a atividade e sobre sua própria participação, vida acadêmica e profissional.

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129

ANEXOS

130 ANEXO - A: TABELAS DE UNIDADES BÁSICAS Variação e concavidade Tabela 1




t é uma tangente Função crescente Concavidade negativa

t: y = ax + b, a > 0 y´(x) > 0 y´´(x) < 0

Tabela 2




t é uma tangente Função crescente Concavidade positiva

t: y = ax + b, a > 0 y´(x) > 0 y´´(x) > 0

Tabela 3




t é uma tangente Função decrescente Concavidade negativa

t: y = ax + b, a < 0 y´(x) < 0 y´´(x) < 0

Tabela 4




t é uma tangente Função decrescente Concavidade positiva

t: y = ax + b, a < 0 y´(x) < 0 y´´(x) > 0

131

Retas assintóticas Tabela 5



Assíntota vertical

∞−=−→ )(lim

xyax

x = a

Tabela 6




Assíntota vertical

∞−=+→ )(limxyax

x = a

Tabela 7



Assíntota vertical

∞+=+→ )(lim

xyax

x = a

132 Tabela 8



Assíntota vertical

∞+=−→ )(lim

xyax

x = a

Tabela 9





bxyx =∞+→ )(lim

y = b

Tabela 10





bxyx =∞+→ )(lim

y = b

Tabela 11


Unidade básica lingüística



bxyx =∞−→ )(lim

y = b

133

Tabela 12 Unidade básica gráfica




bxyx =∞−→ )(lim

y = b

Determinação de pontos importantes: extremos relativos Tabela 13





vizinhança de 0x

∈>

∈<

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

Tabela 14




Máximo relativo Derivada primeira de y muda de sinal positivo para negativo na vizinhança de 0x

∈<

∈>

=

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xy

134 Tabela 15




Mínimo relativo Derivada primeira de y muda de sinal negativo para positivo na vizinhança de 0x e

não existe em 0x .

∈>

∈<

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

existe )´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

nãoxy

Tabela 16




Máximo relativo Derivada primeira de y muda de sinal positivo para negativo

na vizinhança de 0x e

não existe em 0x .

∈<

∈>

+

−

)( ,0)´(

)( ,0)´(

existe )´(

0

0

0

xVxxy

xVxxy

nãoxy

Determinação de pontos importantes: pontos de inflexão Tabela 17




Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal na vizinhança de

0x. Derivada

segunda de y muda de sinal negativo para positivo.

∈>

∈<

∈<

≠

+

−

)( ,0)´´(

)( ,0)´´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xVxxy

xy

135

Tabela 18




Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal na vizinhança de

0x . Derivada


∈<

∈>

∈>

≠

+

−

)( ,0)´´(

)( ,0)´´(

)( ,0)´(

0)´(

0

0

0

0

xVxxy

xVxxy

xVxxy

xy

Tabela 19







∈<

∈>

∈<

=

+

−

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´(y

0)x´(y

0

0

0

0

Tabela 20




Ponto de inflexão Derivada primeira de y não muda de sinal na vizinhança de 0x .

Derivada segunda de y muda de sinal negativo para positivo.

∈>

∈<

∈>

=

+

−

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´´(y

)x(Vx ,0)x´(y

0)x´(y

0

0

0

0

136 Determinação de pontos importantes: continuidade Tabela 21




Limites laterais em

0x são iguais

Descontínua em 0x

)´( 0xy não existe

)( 0

limlim

00xyyy

xxxx≠= −+ →→

Tabela 22




Limites laterais em 0x

são diferentes

Descontínua em 0x

)´( 0xy não existe

yyxxxx

limlim

00 −+ →→

≠

)( 0xy ∃

Tabela 23




Limites laterais em

0x são iguais.

0x não pertence ao

domínio de y.

yyxxxx

limlim

00−+ →→

=

)( 0xy não existe

137

ANEXO B - 1ª SEÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA UFSC – Universidade federal de santa Catarina Atividade Avaliativa – Cálculo I - MTM 5161 Turmas 0145 e 0146 Professor: Méricles T. Moretti Estagiário: Learcino Luiz Alunos:.................................................. ................................................... Problema 1 Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar a quantidade de material usado na confecção da lata? Sejam:

)...(sup

)....(

)......(

3emcmataerfíciedaláreadaA

emcmraior

cmemalturah

=

=

=

138

Formulário: 2

2

.

..

rAcirc

hrVcilidro

π

π

=

=

Questões

a) Encontre uma função que represente o problema proposto.

b) Crie o gráfico da função do item (a) utilizando o software DERIVE, ajuste suas escalas para uma visualização adequada da curva e copie o esboço desta curva no espaço abaixo.

c) Complete a tabela abaixo identificando as unidades básicas

gráficas, linguísticas e simbólicas associadas à curva que você criou no item (b).




139

d) Encontre uma solução para o problema proposto. Obs: você poderá usar o DERIVE para realizar seus cálculos, mas deverá explicar o processo utilizado.

e) Qual o intervalo do domínio da função que realmente interessa

na resolução do problema? Por que?

f) Qual a sua interpretação do fato de +∞=+→

)(0

xALimr

e

+∞=+∞→

)(xALimr

Obs: relacione sua resposta com o problema em questão

140

ANEXO B - 2ª SEÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA UFSC – Universidade federal de santa Catarina Atividade Avaliativa – Cálculo I - MTM 5161 Turmas 0145 e 0146 Professor: Méricles T. Moretti Estagiário: Learcino Luiz Alunos:.................................................. ................................................... Problema 2 : O estudo do crescimento populacional de uma colônia de bactérias é importante no controle de doenças e na manipulação de alimentos pela indústria ou restaurantes. O crescimento de uma colônia de bactérias é dado pela função

)25(500)( 20

t

tetf

−

+= (milhares de bactérias; t em horas).

f) Crie o gráfico da função no derive e ajuste a escala para uma melhor visualização. Logo em seguida copie o gráfico no espaço abaixo

g) Complete a tabela abaixo identificando as unidades básicas

gráficas, Lingüísticas e simbólicas associadas à curva que você criou no item (a)

141




h) Qual é o maior número de bactérias no intervalo de tempo 1000 ≤≤ t ? Justifique sua resposta.

i) Em que momento, no intervalo de tempo de (c), o número de

bactérias decresce mais rapidamente?Justifique sua resposta.

j) O número de bactérias tende a estacionar em um valor? Qual?

Como você pode representar esta informação de modo matemático?

142 ANEXO C - EXEMPLO DE ATIVIDADE RESOLVIDA POR UMA DUPLA DE ALUNOS

Dissertação de mestrado

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