LEGGE STEVINO Prendiamo fluido in quiete soggetto solo al campo gravitazionale terrestre. La forza di massa sarà data da tale campo F=g grad(z) con z=quota geodetica pto e g=acc gravità. Se si suppone fluido incomprimibile e isotermo (ρ=cost) si ottiene la legge di Stevino (o legge della statica dei fluidi pesanti z+p/γ=cost con z+p/γ=quota piezometr e p/γ=altezza piezom Tutti i pti di un fluido pesante in quiete hanno uguale quota piezom

PRINCIPIO ARCHIMEDE Si consideri il corpo di forma generica e cilindrica nella direzione y immerso in un fluido come in figura.La componente orizz della forza di pressione esercitata dal fluido può esser calcolata sommando componenti orizz delle spinte sulle superfici ABC e ADC.La proiezione di tali superfici è la parete non reale AC’.Essendo uguale la proiezione ma opposta la direzione la risultante di tali spinte è nulla. La componente vert si può calcolare sommando le componenti agenti su BAD e BCD.La componente su BAD è diretta verso basso mentre quella su BCD verso alto.La componente vert della spinta esercitata dal fluido è uguale alla differenza tra le due componenti,ovvero è uguale al peso del volume del fluido occupato dal corpo ed è diretta verso l’alto.

SPINTE IDROSTATICHE SU SUP.PIANESuperf. Inclinata di α rispetto all’orizz viene in contatto con fluido di peso specifico γ e un determinato piano dei carichi idrostatici.Le spinte elementari dS esercitate dal fluido sono dS=p n dA esse sono ortogonali alla superf e parall tra loro. La risultante di∙ ∙ tali spinte a modulo: S=∫AdS=∫Ap n dA=n∫Aγ h dA ma anche S=γzGA con zG= h del baricentro. Il momento esercitato dalle forze di pressione agenti sulla superficie è somma di tutti i momenti agenti sulle aree elementari che costituiscono l’area A: M=∫ A(γ yAsenα)yAdA= ysenα∫AyA

2dA con ∫Ay2

AdA=JXG+AyG2 momento inerzia. Definito il centro di spinta come il pto di applicazione per cui M=SyC si ha: SyC=γsenα∫AyA

2dA=γsenα(JXG+AyG2)

→yC=γsenα(JXG+AyG2)/γzGA =yG+JXG/AyGLa profondità zC del centro di spinta è zC=yCsenα

SPINTE IDRO SU SUP NON PIANE Prendiamo in considerazione la superf generica non piana in figura.Sull’area elementare dA posta a una profondità z agisce una forza dovuta alla pressione il cui modulo è: dF=pdA=γzdA Essa può esser scomposta nelle due componenti lungo gli assi x e z: dFX=dFcosα=γzdAcosα dFZ=dFcosβ=γzdAcosβ con dAcosα e dAcosβ proiezioni di dA sui piani yz e xy.La forza dF X equivale alla forza di pressione agente sulla parete piana dAcosα mentre dFZ equivale a quella agente su dAcosβ. La spinta esercitata dal fluido può essere calcolata come somma delle risultanti delle singole componenti delle forze agenti sulle aree elementari che costituiscono la superficie.

TEOREMA TETRAEDRO CAUCHY Si consideri il tetraedro in figura. TEOREMA→Lo sforzo agente su un elemento di generica giacitura è funzione lineare omogenea degli sforzi agenti nel pto stesso su tre generiche giaciture tra loro ortogonali. Ф N=ФXcosnx+ФYcosny+ФZcosnz. Considerando le componenti degli sforzi ФX ФY ФZ lungo i 3 assi si ottengono 9 elementi. Di questi, 3 sono uguali: Ф XY=ФYX; ФXZ=ФZX; ФYZ=ФZY Rimangono 6 componenti di cui 3 normali (σ) e 3 tangenziali (τ): σX=ФXX σY=ФYYσZ=ФZZ τX=ФYZ=ФZY τY=ФXZ=ФZX τZ=ФXY=ФYX

GEOMETRICA BERNOULLI Nel moto permanente di un fluido perfetto, pesante e incomprimibile il carico tot si mantiene costante lungo ogni traiettoria. → z + p/γ + v2/2g =costante. I tre pti A B C hanno quote geodetiche zAzBzC. Al di sopra riportiamo le altezze geodetiche pA/γ pB/γ pC/γ e otteniamo i pti A’ B’ C’. Riportando le quote piezometriche otteniamo i pti A’’ B’’ e C’’e la linea dei carichi totali. Il teorema Bernoulli ci assicura che la linea dei carichi totali è una retta orizzontale.

ENERGETICA BERNOULLI Il carico totale somma dei tre termini è l’energia meccanica complessiva posseduta dall’unità di peso di fluido. I 3 termini assumono il significato di: z= energia posizionale;parte dell’en potenziale che compete al pto per il fatto di occupare una data posizione. V2/2g =en cinetica dovuta al fatto che l’unità possiede una velocità. p/γ= energia di pressione. Da ciò si deduce che l’energia meccanica specifica si mantiene costante lungo ogni traiettoria.

PERDITE CARICO CONTINUE E FORMULE PRATICHENelle correnti reali l’attrito tra fluido e contorno origina sforzi tangenziali per cui vi è una dissipazione d’energia.Il fluido a causa dell’attrito perde energia di pressione che porta a una diminuzione della pressione: -dp/dx – dτYX/dy – dτZX/dz - γdh/dx = ρdVX/dt con τYXτZX sforzi tangz Da cui → dp/dx = – dτ YX/dy – dτZX/dz - γdh/dx - ρdVX/dt Riferendosi all’intera sezione si può vedere la dissipazione di energia ∆E p 1/γ + h1 + V1

2/2g = p2/γ + h2 +V22/2g +∆E Per il carico in figura si ha:

∆E=(p1-p2)/γ FORMULE PRATICHE PER MOTI UNIFORMI: BAZIN: C=87/1+(γ/√Re) KUTTER: C=100/1+(m/√Re) GAUKLER-STRICKLER:C=c Re∙ 1/6 DARCY: (D J)/V∙ 2 = a+ b/D CHEZY: J=V2/(C2 Re) → C=√(8 g)/λ∙ ∙

PERDITE CARICO DISTRIBUITE CORRENTI PRESSIONE Il moto dei fluidi in condotte chiuse e completamente riempiti viene detto a pressione. Per una corrente in pressione vi sono perdite di carico a causa di una brusca variazione di sezione,cambi di direzione,a causa di confluenze e diramazioni. Prendendo un restringimento come in figura si ha che il moto presenta una perdita di carico tra la sezione 1 e 2 e poi torna uniforme dopo la sezione 2. Si ipotizzano perdite di carico nulle fino alla sezione 1. Indicando con V=velocità media nel tubo, k I=coeff perdita all’imbocco, i=dissipazione per attrito e assumendo α=1 si ha: Tra 1 e 2 → h=E2+kIV2/2g →E1=E2 + perdita carico localizzata Dopo 2 → E2=V2/2g + iL → E2= energia allo sbocco + perdita carico concentrat Bilancio Globale: h=V2/2g + kI V2/2g + iL

EQNE GLOBALE EQUIL.STATICO Consideriamo un parallelepipedo elementare caratterizzato da una densità ρ e una pressione p. Vi agiscono due tipi di forze: FORZE MASSA: F ρ dV=F ρ dx dy dzdxdydz=volume parallelepipedo FORZE SUPERFIC:normali alla superficie. Indicando con i,j,k i∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ versori si ha -dp/dx F dxdydz i=0 -dp/dy F dxdydz j=0 -dp/dz F dxdydz k=0 Per ipotesi si ha l’equilibrio quindi la risultante delle∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ forze di massa e di superf deve annullarsi → ρF=grad(P) Eqne Indefinita Statica Fluidi Andando a considerare un volume W di superficie A si ha: ∫WρFdW=∫Wgrad(P)dW → ∫WρFdW=-∫APndA → G=-∏ → G+∏=0

EQNE GLOBALE EQUIL DINAMICO Si consideri il volume finito di fluido W delimitato da una superficie di contorno A. Si ha che ∫WρFdW - ∫WρAdW = ∫W(dIx/dx + dIy/dy + dIz/dz)dW →∫W ρFdW+∫AIndA ∫∙ A ρvNvdA - ∫W d(ρ∙v)/dt dW=0 → G+∏+M+I=0con G=risultante forze massa ∏= risultante forze superficie M=flusso quantità moto attraverso la superficie I=inerzie locali

EQNE INDEFINITA CONTINUITA’ Si consideri un parallelepipedo infinitesimo di lati dx dydz. Le componenti della velocità del fluido sono: u(x,y,z,t)=dx/dt v(x,y,z,t)=dy/dt w(x,y,z,t)=dz/dt Si consideri la massa di fluido passante per le facce: massa entrante: mx=ρudydzdt massa uscente:mY=(ρu +d(ρu)/dx dx)dydzdt La differenza tra entr e usc è: dm∙ X=d(ρu)/dx

dxdydzdtdm∙ Y=d(ρu)/dy dxdydzdtdm∙ Z=d(ρu)/dz dxdydzdt Per il principio conservaz massa si deve avere che la massa uscente deve essere uguale alla dimnuzione della massa data dalle variazione di densità dmX + dmY + dmZ = - dρ/dt dxdydzdt∙

EQNE GLOBALE CONTINUITA’ Si consideri il volume di fluido W racchiuso da una superficie A con normale n. Nell’intervallo dt passerà attraverso dA una massa di fluido pari a ρ vNdAdt In A passerà: dt ∫A ρ vNdA La differenza tra massa entr e usc sarà compensata da una variazione di densità: ∫WρdW → ∫A ρvNdA = ∫W dp/dtdW

MANOMETRO SEMPLICE E DIFFERENZIALE Il manometro è uno strumento utilizzato per misurare la pressione di un fluido. Il manometro SEMPLICE è un tubo a U in cui vi è un fluido di peso specifico γm superiore a quello del fluido da misurare.La presenza di un fluido di peso specifico maggiore è per misurare pressioni elevate senza dover ricorrere a un tubo molto lungo. Si ha: p2=p1+γz p2=p3=γmzm → p1=γmzm- γz Il manometro DIFFERENZIALE misura la differenza di pressione tra due recipienti. Si ha: p2=p3=p4 + γ mzm p2=p1+γz p4=p5 + (z - zm)γ → p5=p4 - (z - zm)γ=p2-γmzm- (z - zm)γ=p1+γz-γmzm - (z - zm)γ=p1+(γ+γm)zmDa cui: p1=p5+(γm-γ)zm

VENTURIMETRO Il venturimetro è uno strumento in grado di determinare la portata di una condotta attraverso la lettura di un manometro. Esso è costituito da un tubo con una parte convergente e una divergente che riporta la condotta al diametro originale. Poiché la portata è data da: Q=V1A1=V2A2 e le altezze h1= h2 si ha: p1/γ -p2/γ=V2

2/2g – V12/2g = Q2/2g (1/A∙ 2

2 – 1/A12) Quindi la portata è: Q= 1/(√(1/A 2

2 -1/A12))

√(2(p1-p2)/ρ)∙

TUBO DI PITOT Il tubo di Pitot è un misuratore di velocità costituito da un tubo con due prese di pressione.La velocità è calcolata tramite le differenze di pressione tra le due prese. Si ha: p1/γ+h1=p0/γ+h0+V0

2/2g con h0=h1 quindi→ p1=p0+ ρ V02/2g L’applicazione del teorema di

bernoulli tra 0 e 2 assumendo h2=h0 e V2=V0 comporta che p2=p0 quindi V0=k √(2(p1-p2)/ρ) con k=coeff che tiene conto dell’approssimazione p2=p0

MOTI LAMINARI E TURBOLENTI L’esperienza di Reynolds (colorante immerso in un fluido) ha portato alla classificazione dei regimi di moto: moto LAMINARE:i filetti fluidi sono paralleli e il colorante non si mischia →velocità basse moto TRANSIZIONE:filetti fluidi iniziano a esser irregolari moto TURBOLENTO:non avviene per filetti fluidi e il colorante si disperde. Esaminando moto LAMINARE si considerano le ipotesi di velocità nulla a contatto con le pareti e massima al centro. Integrando sulla sezione si ottiene la portata secondo formula di Poiselle: G+∏ i+M1-M2+I-η ∫Adv/dn dA=0 → Q=∏/128 (γ J)/η D∙ ∙ ∙ 4 Esaminando il moto TURBOLENTO si determina il limite di velocità per cui le traiettorie non sono più parallele. Essa (v) avrà una componente media e una di agitazione: v=vm+vm’ vm=1/T ∫∙ T

0vdt= costvm’=1/T ∫∙ T0vdt=1/T ∫∙ T

0(v-vm)dt= v – vm

=0

NUMERO DI REYNOLDS Rappresenta l’influenza della viscosità sul moto di un fluido. Esso è uguale al rapporto tra le forze inerziali e le forze viscose agenti su di una massa fluida: Re=(ρVL)/η oppure Re=(VL)/ѵ con ѵ=viscosità cinematica=η/ρ Il numero di Reynolds ci da informazioni sul moto: esso ci dice se è a regime laminare o turbolento: per bassi numeri di Reynolds le forze viscose predominano su quelle inerziali ed il regime di moto è laminare; per alti numeri di Reynolds le forze inerziali predominano su quelle viscose e il moto ha regime turbolento

RECIPIENTE BASE RETT APERTO CON LIQUIDO base: SxT peso specifico liquido:γ altezza: pressione atmosferica:p A=10^5 →PRESSIONE ASSOLUTA E RELATIVA SUL FONDO:press.rel: pC=γH press.ass: pC’=pC+pA

SPINTA SU FACCIA VERT: S=pG A con A=T H p∙ ∙ G=γ H∙ G HG=H/2 PTO APPL ε=XG + ε0=XG + IX0/M con XG=H/2 ; IX0=SH3/12 ; M=XG A=SH∙ 2/2 ; ε0= SH3/12 2/SH∙ 2=H/6 DISTRIB PRESS FACCIA VERT:Si usa legge Stevinz+p/γ=cost →Linee pressione isobariche. Per tracciare grafico basta tracciare retta inclinata di arctg(γ) rispetto alla verticale. Il grafico della press relativa si ottiene tenendo conto della depressione sopra la linea dei piani di carico idrostatici.

RECIPIENTE BASE RETT CHIUSO CON LIQUIDO E ARIABase:LxS Altezza liquido=h altezza recipiente=hTOT peso specifico liquido=γ pressione aria=n GRAFICO PRESSIONE SU AB: p A=pC=pARIA=n 10^5 p∙ B=pC+h γ SPINTA SU AB: S∙ 1=pG A con A=h∙ TOT

S ; p∙ G=γ h∙ G ; hG=hTOT – h/2 → S 1 = γ(hTOT – h/2) h∙ TOT S PUNTO APPLICAZIONE: ε=x∙ G + ε0=xG+ Ix0/M con xG=hTOT - h/2 ; Ix0=ShT

3/12 ; M=XG A=Sh∙ t2/2 ; ε0= Sht

3/12 2/Sh∙ t2=ht /6 η=yG+ Iy0/M con Iy0=Sht/12∙

(ht2+S2) ; M=Sht/2 ; Iy0/M= (ht

2+S2)/6 ; yG=S/2

PIANO CARICHI IDROSTATICI REL E ASS: Il piano carichi relativo ZA è il luogo dei pti aventi pressione uguale a quella atmosferica.Per individuarlo all’interno di un recipiente basta collegare il recipiente con l’esterno tramite un tubo aperto:illiqudo all’interno del tubo si innalzerà fino alla quota ZA. Salendo rispetto al piano relativo si individua all’interno del recipiente un piano la cui pressione è nulla:il piano dei carichi idro assoluto. Al di sopra di tale piano si ha il vuoto.

PROBLEMA VERIFICA CONDOTTE: In un probl di verifica vengono assegnate quota,lunghezza,diametro,scabrezza e portata per più nodi.Si ha una situazione con M lati e N nodi, per cui si devono ricavare M portate Q e N carichi H. Si ha: ai NODI→ ∑Qi-∑Qj=0 ai RAMI→ Hj-H(j+i)= LjkiQi 2 – Di-

NI=βiQi2 Si ottiene un sistema non lineare che da come soluzione: Q0=∑1n-1Qj

PERDITE CARICO IMBOCCO SBOCCO: Imbocco = Perdita di Borda. Portata costante Q=V1A1=V2A2. La corrente che attraversa la sezione1 non riesce a rimanere aderente alla parete.Si espanderà rallentando fino a raggiungere la parete.Tra 0 e 0’ si crea una corrente secondaria di ricircolo che ha velocità minore di quella uscente da1’ e quindi si crea attrito tra le due che comporta una perdita di energia localizzata che vale: ∆E=(p’ 2-p2)/γ =k/2g

(V1-V2)∙ 2 con k=coeff che dipende dalla variazione di sezione Una perdita di carico localizzata avviene anche per brusco restringimento. La corrente in corrispondenza del cambio di sezione non riesce a rimanere aderente alla parete e si creano correnti di ricircolo con estensione minore di quelle che avvengono per allargamento.

SFORZO Tg VISCOSO E TURBOLENTO: Lo sforzo tg per unità di superficie è: τ=S/(2dA)=-2ρu’dA u’/2dA=-ρu’ 2 Il termine u’ rappresenta la variazione di velocità u lungo la distanza dy. Nel caso del moto turbolento lo sforzo tg è dato da: τ=ρk 2y2(dVX/dy)2 con k=cost universale=0.41 ; VX =velocità come moto rettilineo uniforme

PIEZOMETRO Strumento usato per misurare la pressione composto da un tubo aperto. Il liquido nel recipiente salirà il tubicino di un dislivello z rispetto alla base del tubo stesso per cui: p1=p2=ɣz

IDROSTATICA: Si consideri il prisma di base infinitesima dA e altezza z in un fluido in quiete come in figura. Nella direzione z agiscono forza peso del prisma e risultante forze di pressione agenti sulla base superiore e inferiore (p A e pZ) Quindi si ha: pAdA + ɣzdA=pZdA →pZ=pA+γ Indicando con p=pZ-pA la pressione relativa si ha: p=γz Da cui la legge generale dell’idrostatica: p+γh=costante