Diseños factoriales a dos niveles - est.uc3m.es · PDF fileEstudiaremos por tanto...
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Diseños factoriales a dos niveles.Diseños factoriales a dos niveles.
Teresa Villagarcía
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Si queremos estudiar muchos factoresSi queremos estudiar muchos factores
• Hay que cruzar todos los factores a todos los niveles.
• Son muchas observaciones• Es muy caro.
• Veamos un ejemplo….
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4 FACTORES4 FACTORES
• Factor A ……………3 niveles• Factor B ……………5 niveles• Factor C ……………2 niveles• Factor D ……………4 niveles
• Hay que tomar: 3x5x2x4=120 Observaciones
• ¿Cómo reducir el número de observaciones?
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¿Cómo reducir el número de observaciones?¿Cómo reducir el número de observaciones?
• Reducir el número de factores (?????)• Reducir el número de niveles
• Solución barata:• Diseños a dos niveles.
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Diseños a dos niveles 2KDiseños a dos niveles 2K
• Estudiamos un número k de factores (Por ejemplo 4)
• Los factores se toman a dos niveles.• Número de observaciones=2x2x2x2=16= 24
• Reducimos mucho el número de observaciones
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Coste de reducir el número de observaciones
Coste de reducir el número de observaciones
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Coste de reducir el número de observaciones
Coste de reducir el número de observaciones
Presión
Temperatura
Las líneas de nivel muestran el rendimiento del proceso
Po P1
T1
To
Tomamos cuatro observacionesA dos niveles
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Coste de reducir el número de observaciones
Coste de reducir el número de observaciones
Presión
Temperatura
Línea de mejora en verde
Po P1
T1
To
Pasaremos a producir a P1 y T1 que consiguen un mayorrendimiento
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Coste de reducir el número de observaciones
Coste de reducir el número de observaciones
Presión
Temperatura
Línea de mejora en verde
Po P1
T1
To
Pasaremos a producir a P1 y T1 que consiguen un mayorrendimiento
Tomaremos otras Tres observaciones
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Coste de reducir el número de observaciones
Coste de reducir el número de observaciones
Presión
Temperatura
Línea de mejora en verde
Po P1
T1
To
Tomaremos otras Tres observaciones
Y se continúa mientras se obtengan mejoras
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Coste de reducir el número de observaciones. La alternativa:
Coste de reducir el número de observaciones. La alternativa:
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Coste de reducir el número de observaciones. La alternativa:
Coste de reducir el número de observaciones. La alternativa:
Presión
Temperatura
Po P1 P2 P3 P4 P5
T1
To
T3
T2
Muchas observaciones. De ellas la mayoría en zonas poco útiles
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Estudiaremos por tanto diseños a dos niveles y los aplicaremos secuencialmente
Estudiaremos por tanto diseños a dos niveles y los aplicaremos secuencialmente
• Los factores se definen a dos niveles (-) y (+)• Ejemplo: Redimiendo proceso químico
– Factor 1: Temperatura 40ºC (-)60ºC (+)
– Factor 2: Presión 1 Atm (-)2 Atm (+)
– Factor 3: Catalizador Si (+)No (-)
– Factor 4: Concentración 40% (-)60% (+)
24
observaciones
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Diseño 22: Cuatro observaciones y dos factoresDiseño 22: Cuatro observaciones y dos factores
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Diseño 22: Cuatro observaciones y dos factoresDiseño 22: Cuatro observaciones y dos factores
PresiónA
TemperaturaB
Po P1(-) (+)
T1(+)
To(-)
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Diseño 22: Cuatro observaciones y dos factoresDiseño 22: Cuatro observaciones y dos factores
PresiónA
TemperaturaB
Po P1(-) (+)
T1(+)
To(-)
Observaciones
y22ab++
y12b+-
y21a-+
y11o--
YBA
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Estimación de los efectosEstimación de los efectos
( ) ( )boabaA +−+=21
21ˆ
Efecto de AMedia de observaciones con A (+)menos Media de observaciones con A (-)
Efecto de B( ) ( )aoabbB +−+=
21
21ˆ Media de observaciones con B (+)
menos Media de observaciones con B (-)
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Estimación de los efectosEstimación de los efectos
( ) ( )boabaA +−+=21
21ˆ
Efecto de AMedia de observaciones con A (+)menos Media de observaciones con A (-)
B
A
El efecto de A mide variaciones en ese eje
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Estimación de los efectosEstimación de los efectos
( ) ( )aoabbB +−+=21
21ˆ
Efecto de BMedia de observaciones con B (+)menos Media de observaciones con B (-)
B
A
El efecto de B mide variaciones en ese eje
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Estimación de los efectosEstimación de los efectos
B
A
A
B
Efecto de laInteracción Entre A y BSe llama efectoAB
( ) ( )baaboBA +−+=21
21ˆ
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Algoritmo de signosAlgoritmo de signos
( ) ( ) ( )abbaboabaA +−+−=+−+= 021
21
21ˆ
( ) ( ) )(21
21
21ˆ abbaobaaboBA +−−+=+−+=
( ) ( ) ( )abbaaoabbB ++−−=+−+= 021
21
21ˆ
y22ab+++
y12b-+-
y21a--+
y11o+--
YABBA
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Diseño con tres factores 23Diseño con tres factores 23
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
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Análisis del 23:
Estimación de los efectosAnálisis del 23:
Estimación de los efectos
Observaciones
abc
+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
Media de las observaciones con (+)menos media de las observaciones con (-)
abc)bc-ac-cab-ba1/4(-o CB̂A
abc)bcac-c-ab-b-ao1/4( CB̂
abc)bc-acc-ab-ba-o1/4( ÂC
abc)bc-ac-cabb-a-o1/4( abc)bcaccab-b-a-1/4(-oˆabc)bcac-c-abba-1/4(-oˆ
abc)bc-acc-abb-a1/4(-oÂ
++++=
++++=
++++=
++++=
++++=
++++=
++++=
ÂBC
B
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A
B C
Efecto de A: Media de las observaciones con A (+)menos media de las observaciones con A(-)
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A
B C
Efecto de A: Media de las observaciones con A (+)menos media de las observaciones con A(-)
A (+)
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A
B C
Efecto de A: Media de las observaciones con A (+)menos media de las observaciones con A(-)
A (-)
A (+)
Efecto A=A(+)-A(-)
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A
B C
Efecto de A: Media de las observaciones con A (+)menos media de las observaciones con A(-)
Efecto A=Rojas-Verdes
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Ejemplo: Trabajo de una alumnaEjemplo: Trabajo de una alumna
• Tiempo de marchitación de las flores:
– Factor A “Tipo de flor” + Rosa- Clavel
– Factor B “Agua” + Permanente- Cambiada cada día
– Factor C “Ubicación” + Exterior- Interior
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Los datosLos datos
Observaciones
69+++++++
117-+--++-
78--+-+-+
121+--++--
80---+-++
112+-+--+-
80++----+
85-+++---
YABCBCACABCBAClavel, Agua cambiadaInterior
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Análisis de los datosAnálisis de los datos
• Â=1/4(-o+a-b+ab-c+ac-bc+abc) =1/4(-85+80-112+80-121-78-117+69)=-32• ^B=1/4(-o-a+b+ab-c-ac+bc+abc)=3.5• ^C=1/4(-o-a-b-ab+c+ac+bc+abc)=7• ÂB= 1/4(+o-a-b+ab+c-ac-bc+abc)=-8• ÂC= 1/4(+o-a+b-ab-c+ac-bc+abc)=13.5• ^BC= 1/4(+o+a-b-ab-c-ac+bc+abc)=-10• ÂCB= 1/4(-o+a+b-ab+c-ac-bc+abc)=5.5
Hemos estimado los efectos pero……………..Hemos estimado los efectos pero……………..
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Significatividad de los efectosSignificatividad de los efectos
• Para saber si un efecto REALMENTE influye:
• Normal plot o Half Normal plot• Método de la MEDA
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Normal o Half Normal plotNormal o Half Normal plot
• La interpretación es la misma:• Si ninguno de los 7 efectos es significativo, los 7 valores estimados se distribuirán
como una normal centrada en cero• Si alguno es significativo, estará fuera de esa normal.• Nos basamos en que los efectos principales pueden ser significativos, las
interacciones de segundo orden es menos probable, pero pueden ser significativas.
• Las interacciones de tercer orden o superiores no suelen ser significativas
Mean,Std. dev.0,1
Normal Distribution
x
dens
ity
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 150
0,1
0,2
0,3
0,4
Efectos no significativos
Efecto significativo
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Normal o Half Normal plotNormal o Half Normal plot
• Los efectos que son cero (no significativos) deben salir alineados en papel de ESCALA NORMAL.
• Los efectos significativos salen fuera de la línea.
Efectos no significativosMUCHOS
Efecto significativoPOCOS
Half-Normal Plot for Var_1
Standardized effects
Stan
dard
dev
iatio
ns
0 1 2 3 4 5 60
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
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Normal Probability Plot for Var_1
Standardized effects
perc
enta
ge
-5,9 -3,9 -1,9 0,1 2,10,1
15
2050809599
99,9
Normal o Half Normal plotNormal o Half Normal plot
• Los efectos que son cero (no significativos) deben salir alineados en papel de ESCALA NORMAL.
• Los efectos significativos salen fuera de la línea.
Efectos no significativos
Efecto significativo
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Volvemos a las Rosas y los ClavelesVolvemos a las Rosas y los Claveles
• Tiempo de marchitación de las flores:
– Factor A “Tipo de flor” + Rosa- Clavel
– Factor B “Agua” + Permanente- Cambiada cada día
– Factor C “Ubicación” + Exterior- Interior
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Lo hago con StatgraphicsLo hago con Statgraphics
Normal Probability Plot for Var_1
Standardized effects
perc
enta
ge
-32 -22 -12 -2 80,1
15
2050809599
99,9
Half-Normal Plot for Var_1
Standardized effects
Stan
dard
dev
iatio
ns
0 10 20 30 400
0,4
0,8
1,2
1,6
2
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Lo hago con StatgraphicsLo hago con Statgraphics
Normal Probability Plot for Var_1
Standardized effects
perc
enta
ge
-32 -22 -12 -2 80,1
15
2050809599
99,9
Half-Normal Plot for Var_1
Standardized effects
Stan
dard
dev
iatio
ns
0 10 20 30 400
0,4
0,8
1,2
1,6
2
EFECTO AEFECTO A
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Conclusión:Conclusión:
• Sólo influye el tipo de flor• El agua no influye• La ubicación tampoco
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Método de la MEDAMétodo de la MEDA
• Se calcula la mediana de las interacciones
Mediana(^AB ^AC ^BC y ^ABC)=MMEDA=Mediana{|ÂB-M|,|ÂC-M|,|^BC-M|,|ÂBC-M|}
675.0ˆ Medas =θ
θsEfecto ˆ2≥ Significativo
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Ejemplo. Supongamos que hemos obtenido
Ejemplo. Supongamos que hemos obtenido
ÂB=-1 ÂC=2 ^BC=0.5 ÂBC=0
Mediana: -1, 0, 0.5, 2 La mediana es la media de los dos valores centrales: Mediana=0.25
Desviaciones a la mediana: |-1-0.25|,|0-0.25|,|0.5-0.25|,|2-0.25|
MEDA= Mediana( 0.25, 0.25, 1.25, 1.75 )=0.75
1.1675.075.0
675.0ˆ ==
Medasθ
2.2ˆ2 =≥ θsEfecto Significativo
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Ejemplo. FloresEjemplo. Flores
• ÂB= 1/4(+o-a-b+ab+c-ac-bc+abc)=-8• ÂC= 1/4(+o-a+b-ab-c+ac-bc+abc)=13.5• ^BC= 1/4(+o+a-b-ab-c-ac+bc+abc)=-10• ÂCB= 1/4(-o+a+b-ab+c-ac-bc+abc)=5.5
Mediana: -10 -8 5.5 13.5La mediana es la media de los dos valores centrales: Mediana=-1.25
Desviaciones a la mediana: |-10-(-1.25)|,|-8 -(-1.25) |,|5.5- (-1.25) |,|13.5 -(-1.25) |
MEDA= Mediana(6.75 4.25 8.75 12.25 )= 5.5
15.8675.05.5
675.0ˆ ===
Medasθ
30.16ˆ2 =≥θ
sEfecto Significativo: Sólo flor
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Valores previstos por el modeloValores previstos por el modelo
321323121321 2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆˆ xxxBCAxxCBxxCAxxBAxCxBxAyy ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−=−+=
=ASiASi
x1
11
−=−+=
=BSiBSi
x1
12
−=−+=
=CSiCSi
x1
13
Sólo se ponen los efectos significativos
11 22.3275.92
2
ˆˆ xxAyy ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Duración de la ROSA=92.75-16.1=76.65
Duración del CLAVEL=92.75+16.1=108.85
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Por tantoPor tanto
• Normal Plot (o Half Normal Plot) o método de la MEDA indican que sólo es significativo el tipo de flor
• Â=-32• Como A (+) es ROSA• A (-) es CLAVEL
El clavel dura más que la rosa.Duración de la ROSA=92.75-16.1=76.65
Duración del CLAVEL=92.75+16.1=108.85
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Los pimientos de PadrónLos pimientos de Padrón
…..ounos pican e outros non
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Trabajo de un alumnoTrabajo de un alumno
1. Define un escala de “Picor”:0-No pica1-Pica un poco2-Pica bastante3 Pica muchíiiiiisimo
2. Define los factores:A Tamaño: Grande (+)
Pequeño (-)B Forma: Gordo (+)
Delgado (-)C Fritura: Muy frito (+)
Poco frito (-)
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El experimentoEl experimento
Prueba 6 pimientos de cada tipo y la variable respuesta es la media
Observaciones
0.66+++++++
0.33-+--++-
1.85--+-+-+
0.5+--++--
1.6---+-++
0.5+-+--+-
2.6++----+
1-+++---
YABCBCACABCBA
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EstimaciónEstimación
Pareto Chart for Var_1
Effect0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
BC
ABC
ACAB
C:Factor_C
B:Factor_B
A:Factor_A
Estimated effects for Var_1------------------------------------average = 1,13 A:Factor_A = 1,095 B:Factor_B = -0,715C:Factor_C = -0,59 AB = -0,38 AC = -0,255BC = 0,035 ABC = -0,13
Main Effects Plot for Var_1
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
1,7
Var
_1
Factor_A-1.0 1.0
Factor_B-1.0 1.0
Factor_C-1.0 1.0
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Significatividad de los efectosSignificatividad de los efectos
Normal Probability Plot for Var_1
Standardized effects
perc
enta
ge
-6 -3 0 3 6 90,1
15
2050809599
99,9
Half-Normal Plot for Var_1
Standardized effects
Stan
dard
dev
iatio
ns
0 2 4 6 8 100
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
Significativos
A y B
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Son significativos A y BSon significativos A y B
A Tamaño: Grande (+)Pequeño (-)
B Forma: Gordo (+)Delgado (-)
A:Factor_A = 1,095 B:Factor_B = -0,715
321323121321 2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆˆ xxxBCAxxCBxxCAxxBAxCxBxAyy ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
21 27.0
21.113.1ˆ xxy ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
Y el máximo picor es para A(+) y B(-) GRANDE Y DELGADO
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Diseños 24 y 2kDiseños 24 y 2k
• Diseño 24:
– Estudia cuatro factores A, B, C y D– Utiliza 16 observaciones.– Las observaciones que hay que tomar son:
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++++16 = 24
+++-15
++-+14
++--13
+-++12
+-+-11
+--+10
+---9
-+++8
-++-7
-+-+6
-+--5
--++4
--+-3
---+2
----1
DCBA
FactoresNum
Diseño 24Diseño 24
Estimación mediante el algoritmo de signosEfectos significativos: Normal Plot o MEDA Estimación mediante el algoritmo de signosEfectos significativos: Normal Plot o MEDA
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Tasa de filtración (Montgomery)Tasa de filtración (Montgomery)
• Se fabrica un producto químico en un recipiente a presión. Se quiere incrementar la velocidad de filtración del producto. Los cuatro factores son:
• A: Temperatura• B: Presión• C: Concentración de los reactivos• D: Rapidez de mezclado
• El ingeniero del proceso quiere aumentar la velocidad de filtración y, si es posible, utilizar el nivel (-) de C (Concentración de formaldehído).
• Actualmente la velocidad de filtración es de 75gal/min.
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++++16 = 24
+++-15
++-+14
++--13
+-++12
+-+-11
+--+10
+---9
-+++8
-++-7
-+-+6
-+--5
--++4
--+-3
---+2
----1
DCBA
FactoresNum
Diseño 24 EjemploDiseño 24 Ejemplo
96
70
86
75
104
45
100
43
65
80
60
68
65
48
71
45
Velocidad
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Estimated effects for Velocidad------------------------------------------average = 70,0625A:Factor_A = 21,625 B:Factor_B = 3,125 C:Factor_C = 9,875 D:Factor_D = 14,625 AB = 0,125 AC = -18,125AD = 16,625 BC = 2,375 BD = -0,375 CD = -1,125 ABC = 1,875 ABD = 4,125 ACD = -1,625 BCD = -2,625 ABCD = 1,375
Velocidad
Effect0 4 8 12 16 20 24
ABBDCD
ABCDACDABC
BCBCD
B:Factor_BABD
C:Factor_CD:Factor_D
ADAC
A:Factor_A
SignificativosNo significativos
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Normal Plot for Velocidad
Standardized effects
perc
enta
ge-19 -9 1 11 21 31
0,115
2050809599
99,9
Half Normal Plot for Velocidad
Standardized effects
Stan
dard
dev
iatio
ns
0 4 8 12 16 20 240
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
A, C, D, AD y CDA, C, D, AD y CD
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MEDAMEDA
Ordenamos las interacciones
-18.13, -2.63, -1.63, ……2.38, 4.13, 16.63
Mediana=0.13
Desviaciones a la mediana en valor absoluto:
18.26, 2.76, 1.76, ……, 2.25, 4, 16,50
Mediana de esas desviaciones: MEDA=1.76
MEDA/0.675=2.61
Ordenamos las interacciones
-18.13, -2.63, -1.63, ……2.38, 4.13, 16.63
Mediana=0.13
Desviaciones a la mediana en valor absoluto:
18.26, 2.76, 1.76, ……, 2.25, 4, 16,50
Mediana de esas desviaciones: MEDA=1.76
MEDA/0.675=2.61
Efectos mayores que 5.22 serán significativos
A,C,D,AC,ADA,C,D,AC,AD
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3141431 )2/1.18()2/6.16()2/6.14()2/87.9()2/6.21(06.70ˆ xxxxxxxy −++++=
El modelo estimado es:A,C,D,AC y ADEl modelo estimado es:A,C,D,AC y AD
Para A(+)C(-)D(+)
Para A(+)C(-)D(+)
65.100ˆ =y
Valor máximoValor máximo
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Resumen de diseños 2k Resumen de diseños 2k
2k = K Factores a dos niveles.= n observaciones.
Pasos en el análisis.1. Se definen la variable respuesta y los factores.2. Se aleatoriza la toma de datos3. Se rellena la tabla de datos4. Se calculan los efectos mediante el algoritmo de signos5. Se decide qué efectos son significativos mediante el normal plot (o
half normal plot) o la MEDA. LOS RESULTADOS NO SIEMPRE SON COINCIDENTES
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Diseños con muchos factores.Diseños con muchos factores.
25 = 5 Factores a dos niveles.= 32 observaciones.= 5 Factores, 10 interacciones de segundo orden.= 16 interacciones de orden superior
26 = 6 Factores a dos niveles.= 64 observaciones.= 6 Factores, 15 interacciones de segundo orden.= 42 interacciones de orden superior
Demasiadas observaciones para estimar los efectos principales y las interacciones de segundo orden.
Las interacciones de orden superior no suelen ser significativas.
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+++++32 = 25
++++-31
+++-+30
+++--29
++-++28
++-+-27
++--+26
++---25
+-+++24
+-++-23
+-+-+22
+-+--21
+--++20
+--+-19
+---+18
+----17
-++++16
-+++-15
-++-+14
-++--13
-+-++12
-+-+-11
-+--+10
-+---9
--+++8
--++-7
--+-+6
--+--5
---++4
---+-3
----+2
-----1
EDCBA
FactoresNum
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Fracciones Factoriales
Vamos a disminuir el número de observaciones
Vamos a disminuir el número de observaciones
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
Observaciones
abc+++++++
c +--++--
b+-+--+-
a++----+
YABCBCACABCBA
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
Observaciones
abc+++++++
c +--++--
b+-+--+-
a++----+
YABCBCACABCBA
C y AB son iguales
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
Observaciones
abc+++++++
c +--++--
b+-+--+-
a++----+
YABCBCACABCBA
C y AB son iguales
A y BC son iguales
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
Observaciones
abc+++++++
c +--++--
b+-+--+-
a++----+
YABCBCACABCBA
C y AB son iguales
A y BC son iguales
B y AC son iguales
ABC siempre es positivo
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
Observaciones
abc+++++++
c +--++--
b+-+--+-
a++----+
YABCBCACABCBA
abc)c-b-1/4(a CB̂ Â
abc)bcac-c-ab-b-ao1/4( CB̂
abc)bc-acc-abb-a1/4(-o Â
88
8
8
+=+
++++=
++++=884
ˆˆ)(21ˆ CBAabccbaA +=+−−=
Lo que obtenemos en el diseño pequeño es la suma de los efectos A y BC. Lógico porque la columna de signos de A y de BC son iguales en el diseño pequeño
Lo que estiman los signos de A en el diseño pequeño son dos cosas: A+BC
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones23 estudiamos 3 factores con 8 observaciones
Observaciones
abc+++++++
c +--++--
b+-+--+-
a++----+
YABCBCACABCBA
C y AB son iguales
A y BC son iguales
Las columnas iguales implican que lo se estima es la suma de ellas¿Cuáles son las columnas iguales?
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Cómo reducir observacionesDiseños fraciionales
Cómo reducir observacionesDiseños fraciionales
• Elegiremos algunas observaciones del diseño completo.
• ¿Qué observaciones? Criterio:
Que podamos seguir estimando los factores
Tiene que haber igual número de (+) y de (-)
• Elegiremos algunas observaciones del diseño completo.
• ¿Qué observaciones? Criterio:
Que podamos seguir estimando los factores
Tiene que haber igual número de (+) y de (-)
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En generalEn general
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
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En generalEn general
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
D
Asignamos al Factor D los signos de la interacción ABC
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En generalEn general
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YDBCACABCBA
D
Tabla de signos
+++
++-
+-+
+--
-++
-+-
--+
---
CBA
+
-
-
+
-
+
+
-
D
abcd
bc
ac
cd
ab
bd
ad
o
Y
D tiene los mismos signos que ABC. Aplicando los signos a esa columna estimamos D+ABC
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En generalEn general
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YDBCACABCBA
D
Tabla de signos
+++
++-
+-+
+--
-++
-+-
--+
---
CBA
+
-
-
+
-
+
+
-
D
abcd
bc
ac
cd
ab
bd
ad
o
Y
¿Cómo saber qué columnas de signos son iguales?
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Estructura de ALIASEstructura de ALIAS
1. Denominaremos a cada columna por su nombre A,B…..2. A.A=I donde I es una columna de “unos”3. A.I=A Cualquier columna de signos por la columna de “unos” es
ella misma
4. Asignación del nuevo factor:D=ABC
Indica a qué columna signos ha sido asignadoel factor D
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Estructura de ALIASEstructura de ALIAS
Ecuación generatriz de la fracción:D=ABC
D.D=D.ABC
I=ABCD
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Estructura de ALIASEstructura de ALIAS
Con la ecuación generatriz obtenemos la estructura de alias o efectos confundidos:
I=ABCDLa ecuación generatriz multiplicada por cada columna del diseño da las columnas iguales:
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Estructura de ALIASEstructura de ALIAS
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABC
DBCACABCBA
D=ABCI=ABCD
A.I=A.ABCDA=BCD
B.I=B.ABCDB=ACD
C.I=C.ABCDC=ABD
AB.I=AB.ABCDAB=CD
AC.I=AC.ABCDAC=BD
BC.I=BC.ABCDBC=AD
ABC.I=ABC.ABCDABC=DDiseño 24-1
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Analizad este diseño….Analizad este diseño….
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACAB
DCBA
D=ABI=ABD
A.I=A.ABDA=BD
B.I=B.ABDB=AD
C.I=C.ABDC=ABCD
AB.I=AB.ABDAB=D
AC.I=AC.ABDAC=BCD
BC.I=BC.ABDBC=ACD
ABC.I=ABC.ABDABC=CD
Diseño 24-1
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¿Cuál es mejor y por qué?
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ResoluciónResolución
Es el orden de la interacción de menor rango confundida con un efecto principal
O es el número de letras de la palabra de la ecuación generatriz.
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¿Cuál es mejor y por qué?
Resolución IVResolución III
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Análisis de la fracciónAnálisis de la fracción
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABC
DBCACABCBA
1. Escribir la tabla de signos2. Determinar la estructura de
ALIAS3. Tomar datos aleatorizando el
orden4. Estimar los efectos mediante el
algoritmo de signos5. Ver significatividad de los efectos
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++++16 = 24
+++-15
++-+14
++--13
+-++12
+-+-11
+--+10
+---9
-+++8
-++-7
-+-+6
-+--5
--++4
--+-3
---+2
----1
DCBA
FactoresNum
Vamos a resolver el experimento de la velocidad de filtración. Era un 24=16 observaciones.Vamos a resolver el experimento de la velocidad de filtración. Era un 24=16 observaciones.
96
70
86
75
104
45
100
43
65
80
60
68
65
48
71
45
Velocidad
Salían significativos A,C,D,AC,ADSalían significativos A,C,D,AC,AD
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EjemploEjemplo
D=ABCEcuación generatriz: I=ABCDEstructura de Alias:
A=BCDB=ACDC=ABDAB=CDAC=BDBC=ADABC=D
RESOLUCIÓN=IV
Modelo 24-1IV
Observaciones
96+++++++
80-+--++-
60--+-+-+
75+--++--
65---+-++
45+-+--+-
100++----+
45-+++---
YABC
DBCACABCBA
A,C,D,AC,ADA,C,D,AC,AD
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EjemploEjemplo
• average = 70,75• A+BCD = 19,0• B+ACD = 1,5 • C+ABD = 14,0• D+ABC = 16,5• AB+CD = -1,0 • AC+BD = -18,5• AD+BC = 19,0
Observaciones
96+++++++
80-+--++-
60--+-+-+
75+--++--
65---+-++
45+-+--+-
100++----+
45-+++---
YABC
DBCACABCBA
A,C,D,AC,ADA,C,D,AC,AD
¿Cuáles son significativos?
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Significatividad de los efectosSignificatividad de los efectos
Pareto Chart for Var_1
0 4 8 12 16 20
Effect
AB+CD
B:Factor_B
C:Factor_CD:Factor_D
AC+BD
A:Factor_A
AD+BC
Half-Normal Plot for Var_1
Standardized effects
Stan
dard
dev
iatio
ns
0 4 8 12 16 200
0,4
0,8
1,2
1,6
2
A,C,D,AC,ADA,C,D,AC,AD
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Otro ejemploOtro ejemplo
D=ABCEcuación generatriz: I=ABCDEstructura de Alias:
A=BCDB=ACDC=ABDAB=CDAC=BDBC=ADABC=D
RESOLUCIÓN=IV
Modelo 24-1IV
Observaciones
88+++++++
59-+--++-
50--+-+-+
71+--++--
83---+-++
60+-+--+-
52++----+
69-+++---
YABC
DBCACABCBA
Minutos empleados para recorrer una distancia fija en biciA=Rueda carreras (+) menos deportiva (-)B=Plato grande (+) pequeño (-)C=Dinamo Con(+) Sin(-)D=Alza en el manillar Con(+) sin(-)
Minutos empleados para recorrer una distancia fija en biciA=Rueda carreras (+) menos deportiva (-)B=Plato grande (+) pequeño (-)C=Dinamo Con(+) Sin(-)D=Alza en el manillar Con(+) sin(-)
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EjemploEjemplo
Observaciones
88+++++++
59-+--++-
50--+-+-+
71+--++--
83---+-++
60+-+--+-
52++----+
69-+++---
YABC
DBCACABCBA
Minutos empleados para recorrer una distancia fija en biciA=Rueda carreras (+) menos deportiva (-)B=Plato grande (+) pequeño (-)C=Dinamo Con(+) Sin(-)D=Alza en el manillar Con(+) sin(-)
Minutos empleados para recorrer una distancia fija en biciA=Rueda carreras (+) menos deportiva (-)B=Plato grande (+) pequeño (-)C=Dinamo Con(+) Sin(-)D=Alza en el manillar Con(+) sin(-)
• average = 66.5• A+BCD = 3.5• B+ACD = 12 • C+ABD = 1• D+ABC = 2,5 • AB+CD = 22.5• AC+BD = 0.5• AD+BC = 1
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EjemploEjemploMinutos empleados para recorrer una distancia fija en biciA=Rueda carreras (+) menos deportiva (-)B=Plato grande (+) pequeño (-)C=Dinamo Con(+) Sin(-)D=Alza en el manillar Con(+) sin(-)
Minutos empleados para recorrer una distancia fija en biciA=Rueda carreras (+) menos deportiva (-)B=Plato grande (+) pequeño (-)C=Dinamo Con(+) Sin(-)D=Alza en el manillar Con(+) sin(-)
Pareto Chart for Var_1
0 4 8 12 16 20 24
Effect
AC+BD
C:Factor_C
AD+BCD:Factor_D
A:Factor_A
B:Factor_B
AB+CD
Normal Probability Plot for Var_1
Standardized effects
perc
enta
ge
0 4 8 12 16 20 240,1
15
2050809599
99,9
• average = 66.5• A+BCD = 3.5• B+ACD = 12 • C+ABD = 1• D+ABC = 2,5 • AB+CD = 22.5• AC+BD = 0.5• AD+BC = 1
ABBA
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Fracciones mayoresFracciones mayores
• El problema en la industria es tomar observaciones.
• Es muy caro.– Con 8 observaciones podemos estudiar 3 ó 4
factores– Con 16 observaciones estudiamos 4 o 5 factores.
• Necesitamos reducir más el número de observaciones
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Fracciones mayoresFracciones mayores
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACABCBA
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Fracciones mayoresFracciones mayores
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCD
ACE
ABCBA
Ecuación generatriz:1. Asignación de factores
E=ACD=BC
2. Ecuación generatriz incompleta:I=ACE=BCD
3. Ecuación generatriz completa. Si ACE y BCD son columnas con signos + que no se pueden estimar, su producto también lo será.
4. Hay que obtener los productos de las fatores de la Ecuación Generatriz: ACE.BCD=ABDEI=ACE=BCD=ABDEEcuación generatriz completa
Modelo 25-2III
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Estructura de aliasEstructura de alias
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCD
ACE
ABCBA
Obtenemos la ecuación generatriz completa
I=ACE=BCD=ABDESe obtiene lo que estima cada columna multiplicando la ecuación generatriz por las columnas
A: A=CE=ABCD=BDEB: B=ABCE=CD=ADEC: C=AE=BD=ABCDEAB: AB=BCE=ACD=DEAC: AC=E=BCDE=ABDBC: BC=ABE=D=ACDEABC: BE=AD=CDE
Modelo 25-2III
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Una vez estimados los efectosUna vez estimados los efectos
• Para saber si son significativos:– MEDA con todas las columnas porque ahora
la mayoría tienen efectos principales e interacciones
– Normal o half normal plot
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EjemploEjemplo
• Tiempo de maduración de tomates cogidos de la mata cuando empiezan a ponerse rojos:
– A Temperatura de la cámara: 20ºC (+)10ºC (-)
– B Cajas con recipiente individual: Si (+)No (-)
– C: Envoltorio: Plástico (+)Viruta de madera (-)
– D: Variedad: Murcia (+)Holandesa (-)
– E:Tratamiento: Con bolsa de producto (+)Sin bolsa de producto (-)
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Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCACE
ABD
CBA
I=ABD=ACE (Incompleta)I=ABD=ACE=BCDE
ALIAS hasta segundo orden
A=BD=CE=…..B=AD=….C=AE=….D=AB=….E=AC=….BC=DE=….ABC=CD=BE=….
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Observaciones
28+++++++
27-+--++-
10--+-+-+
28+--++--
13---+-++
37+-+--+-
0++----+
18-+++---
YABCBCACE
ABD
CBA
average = 20,125A+BD+CE = -14,75B+AD = 12,25 C+AE = 6,25 D+AB = 3,25 E+AC = 6,25 BC+DE = -3,75 BE+CD = 6,25
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average = 20,125A+BD+CE = -14,75B+AD = 12,25 C+AE = 6,25 D+AB = 3,25 E+AC = 6,25 BC+DE = -3,75 BE+CD = 6,25
Pareto Chart for Var_1
Effect0 3 6 9 12 15
D:Factor_D+AB
BC+DE
C:Factor_C+AEE:Factor_E+AC
BE+CD
B:Factor_B+AD
A:Factor_A+BD+CE
Half-Normal Plot for Var_1
Standardized effects
Stan
dard
dev
iatio
ns0 3 6 9 12 15
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2
A y B
Median (-14.75 12.25 6.25 3.25 6.25 -3.75 6.25)=6.25Desviaciones a la mediana (-21 6 0 -3 0 10 0)Mediana de las desviaciones en valor absoluto=3MEDA=3/0.675=4,44Efectos mayores que 8.88 en valor absoluto
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Diseños muy fraccionadosDiseños muy fraccionados
A+BD+CE+BEF+CDFB+AD+CF+AEF+CDEC+AE+BF+ADF+BDED+AB+EF+ACF+BCEE+AC+DF+ABF+BCDF+BC+DE+ABE+ACDAF+BE+CD+ABC+ADE+BDF+CEF
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABCBCF
ACE
ABD
CBA
I=ABD=ACE=BCF=BCDE=ACDF=ABEF=DEF
Modelo 26-3III
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Diseños saturadosDiseños saturados
Observaciones
abc+++++++
bc-+--++-
ac--+-+-+
c +--++--
ab---+-++
b+-+--+-
a++----+
o-+++---
YABC
GBCF
ACE
ABD
CBAModelo 26-4
III
I=ABD+ACE+BCF+ABCG+AFG+ABEF+ACDF+ADEG+BEG+CDG+DEF+BCDE+BDFG+CEFG+ABCDEFG
1 A+BD+CE+FG2 B+AD+CF+EG3 C+AE+BF+DG4 D+AB+CG+EF5 E+AC+BG+DF6 F+AG+BC+DE7 G+AF+BE+CD
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Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
Ejemplo:Queremos diseñar una base para una pizza precocinada.
Objetivo:Obtener la combinación de los factores Harina, Sal y Levadura que da la masa más sabrosa
Resolución:1. Definir los niveles de los factores: (-) y (+)2. Definir la variable a medir: “SABOR”3. Definir cómo la medimos: Con un conjunto de catadores que
valoran 0---Muy mala hasta 10--- Muy buena
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Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
Definimos el diseño: Tres factores 23
Aleatorizamos el orden de recogida de los datos
6.2+++3++-5.1+-+2.8+--6.9-++4.9-+-7.0--+5.3---SaborLSH
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Effect0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4
S
HS
HL
SL
L
H
H=2.3 L=-1.75H=2.3 L=-1.75
Normal Probability Plot for Var_1
-12 -7 -2 3 8 13 18
Standardized effects
0,115
2050809599
99,9
perc
enta
ge
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Un base de pizza con H (+) y L(-)Un base de pizza con H (+) y L(-)
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ProblemaProblema
La pizza debe meterse en horno precalentado a 200ºC durante 15 minutos
Posibilidad muy real de que el cliente no cumpla las instrucciones al pie de la letra.
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• Factores de control:– Aquellos que puede controlar la empresa.– Harina, Sal, Levadura
• Factores de ruido:– Aquellos que NO puede controlar la empresa– Temperatura del horno, Tiempo de horneado
Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
Diseñar productos o procesos que sólo funcionan bien si TODO se hace correctamente hace que la mayoría de las veces
El producto sea MALO
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• Vamos a cruzar el diseño 23 con los factores de ruido: Dos factores (temperatura y tiempo: diseño 22 )
Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
Diseño de productos robustosIdea de Taguchi
++
+-
-+
--
TiempoTemp Temp: (-) 180ºC(+) 220ºC
Tiempo: (-) 10 min(+) 20 min
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DiseñoDiseño
0.25.95.75.965.56.2+++0.72.21.53.12.11.33++-1.24.32.75.45.33.15.1+-+0.62.31.81.73.22.12.8+--1.25.24.05.45.83.86.9-++1.83.41.35.44.11.14.9-+-1.65.12.96.75.13.77.0--+0.74.33.84.153.45.3---
LSH
DesviaciónMedia
Tem:
- + - +Tiem
- - + +
Ruido:Tem: 0 (200ºC) Tiempo 0 (15 min)
FactoresDiseño
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DiseñoDiseño
0.25.95.75.965.56.2+++0.72.21.53.12.11.33++-1.24.32.75.45.33.15.1+-+0.62.31.81.73.22.12.8+--1.25.24.05.45.83.86.9-++1.83.41.35.44.11.14.9-+-1.65.12.96.75.13.77.0--+0.74.33.84.153.45.3---
LSH
DesviaciónMedia
Tem:
- + - +Tiem
- - + +
Ruido:Tem: 0 (200ºC) Tiempo 0 (15 min)
FactoresDiseño