Disenos factoriales
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Diseño factorialEn muchos experimentos interviene elestudio de los efectos de dos o másfactores. En general, los diseñosfactoriales son los más eficientes paraeste tipo de experimentos. Por diseñofactorial se entiende que en cada ensayo o réplica completa del experimento seinvestigan todas las combinacionesposibles de los niveles de los factores
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Definición general Arreglar a cond.
nuestras
Clasificación
Diseño factorial A x B, completamente al azarRepresentación de los efectos factorialesModelo estructural, análisis y componentes de variaciónDISEÑO FACTORIAL
ESQUEMA GENERAL
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Concepto
El diseño factorial, como estructura deinvestigación, es la combinación de dos omás diseños simples (o unifactoriales); esdecir, el diseño factorial requiere lamanipulación simultánea de dos o másvariables independientes (llamadosfactores), en un mismo experimento.
..//..
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En función de la cantidad de factores ovariables de tratamiento, los formatosfactoriales se denominan, también,diseños de tratamientos x tratamientos,tratamientos x tratamientos x tratamientos,etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.
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Criterios de clasificación
Por la cantidad de niveles
Criterios Cantidad de combinaciones
Tipo de control
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Clasificación del diseño factorial por criterio
A) Según la cantidad de niveles o valorespor factor, el diseño factorial se clasifica en:
Cantidad constante
Cantidad de valores
Cantidad variable
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La notación del diseño es más sencillacuando la cantidad de niveles por factores igual (es decir, constante). Así, eldiseño factorial de dos factores a dosniveles se representa por 2², el de tresfactores por 23, etc. En términosgenerales, los diseños a dos niveles y conk factores se representan por 2k; a tresniveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc.
..//..
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Cuando los factores actúan a más de dosniveles (es decir, cuando la cantidad devalores por factor es variable), el diseñose representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A suvez, cabe considerar la posibilidad de que,tanto en un caso como en otro, el diseñosea balanceado (proporcionado) o nobalanceado (no proporcionado); es decir,diseños con igual cantidad de sujetos porcasilla y diseños con desigual cantidad desujetos por casilla.
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B) El segundo criterio hace hincapié en lacantidad de combinaciones de tratamientorealizadas o ejecutadas. Con base a estecriterio, el diseño factorial se clasifican en:
Diseño factorial completo
Cantidad decombinacionesde tratamiento
Diseño factorial incompletoy fraccionado
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Si el diseño factorial es completo, serealizan todas las posibles combinacionesentre los valores de las variables. Así,cada combinación de tratamientosdetermina un grupo experimental (grupode tratamiento o casilla). Por ejemplo, eldiseño factorial completo 2x2 determinacuatro grupos de tratamiento; un diseño3x3 nueve grupos, etc. ..//..
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Asumiendo que sólo se ejecute una partedel total de las combinaciones, el diseñofactorial es incompleto o fraccionado,según el procedimiento seguido.
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C) En función del control de variables extrañas.
Diseño factorialcompletamente al azarDiseño factorial de bloquesaleatorizadosDiseño factorial de Cuadrado
Grado de control LatinoDiseño factorial jerárquico oanidadoDiseño factorial de medidasrepetidas
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Según el control de los factores extrañosy la reducción de la variancia del error, eldiseño factorial puede ser, en primerlugar, completamente al azar; es decir,aquel formato donde sólo se aplica elazar como técnica de control y donde losgrupos se forman mediante la asignaciónaleatoria de los sujetos. ..//..
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En segundo lugar, el diseño factorial debloques aleatorizados permite el controlde una variable extraña. Según esaestrategia, cada bloque es un réplicacompleta del experimento, y los gruposintra bloque (dentro de cada bloque) seforman al azar. ..//..
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Siguiendo con el criterio de bloques, eldiseño factorial de Cuadrado Latino o dedoble sistema de bloques controla dosfuentes de variación extrañas, aunquesólo se realiza una parte del total decombinaciones. ..//..
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El diseño factorial jerárquico o anidadorequiere la manipulación experimental dela variable y, al mismo tiempo, laanidación (o inclusión) de una variabledentro de las combinaciones detratamientos de los factores.
..//..
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Por último, el diseño factorial de medidasrepetidas incorpora la técnica intra-sujeto;es decir, el sujeto actúa de control propio yrecibe todas las combinaciones detratamiento generados por la estructurafactorial.
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Criterios (resumen) Diseño
Cantidad de valores por factor
Igual cantidad de niveles: 2k, 3k, etc.Cantidad de niveles variable: 2x3; 2x3x4, etc.
Cantidad de combinaciones de tratamientos
Diseño factorial completoDiseño factorial incompleto y fraccionado
Grado de control
Diseño factorial completamente al azarDiseño factorial de bloquesDiseño factorial de Cuadrado LatinoDiseño factorial jerárquicoDiseño factorial de medidas repetidas
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Efectos factoriales estimables
1. Efectos simples2. Efectos principales3. Efectos secundarios
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Efectos factoriales simples
Es posible definir el efecto factorial simplecomo el efecto puntual de una variableindependiente o factor para cada valor dela otra.
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Efectos factoriales principales
Los efectos factoriales principales, adiferencia de los simples, son el impactoglobal de cada factor considerado deforma independiente, es decir, el efectoglobal de un factor se deriva del promediode los dos efectos simples.
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Efectos factoriales secundarios
El efecto secundario o de interacción sedefine por la relación entre los factores ovariables independientes, es decir, elefecto cruzado.
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Diseño factorial al azar 2x2
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Estructura del diseño
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Combinación de tratamientos por grupo o casilla
Diseño factorial 2x2
A1B1 A1B2
A2B1 A2B2
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Formato del diseño factorial completamente al azar
s e
l e
cc M
iP ó
n
Asignación al azar
S1 S1 S1 S1
Sn1 Sn2 Sn3 Sn4
V.E. Z1 Z2 Z3 Z4V.I. A1B1 A1B2 A2B1 A2B2
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Caso paramétrico. Ejemplo
Se pretende probar, en una situación deaprendizaje discriminante animal, si lamagnitud del incentivo (variable incentivo)actúa según el aprendizaje sea simple ocomplejo (variable dificultad de aprendizaje ovariable tarea). En esta hipótesis se afirmaque a mayor incentivo, más acusada es ladiferencia entre las dos tareas (simple ocompleja). ..//..
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Para ello, se registra la cantidad dediscriminaciones correctas (variabledependiente) en función de un criteriogeneral de aprendizaje, que asume comosuficientes 15 ensayos. Se toma, comomedida de la variable dependiente o derespuesta, la cantidad de respuestascorrectas, para un máximo de 15, bajo elsupuesto de que cada discriminacióncorrecta tiene la misma dificultad deaprendizaje. ..//..
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Para probar la hipótesis propuesta seasignan 32 sujetos, de una muestraexperimental, a las combinaciones detratamientos o casillas (ocho sujetos porcasilla), de forma totalmente aleatoria.
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Modelo de prueba de hipótesis
Paso 1. Según la estructura del diseño sonestimables tres efectos. Por esa razón, seplantean tres hipótesis de nulidad relativas ala variable A, variable B e interacción:
H0: α1 = α2 = 0H0: ß1 = ß2 = 0H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0
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Paso 2. Por hipótesis experimental, seespera que los efectos principales y el dela interacción sean significativos. Estashipótesis se representan, al nivelestadístico, por
H1: α1 α2, o no todas las α son ceroH1: ß1 ß2, o no todas las ß son ceroH1: (αß)11 (αß)12 (αß)21 (αß)22, o
no todas las αß son cero.
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Paso 3. El estadístico de la prueba es la Fde Snedecor, con un α de 0.05, para lastres hipótesis de nulidad. El tamaño de lamuestra experimental es N = 32 y el de lassubmuestras n = 8.
Paso 4. Cálculo del valor empírico de lasrazones F. Para ello, se toma, de nuevo,la matriz de datos del experimento.
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607.5
708.75
273.375
526.5
86998776
79
108
109
107
43452342
109488436
A2B2A2B1A1B2A1B1
DISEÑO FACTORIAL 2X2
Totales:Medias:
2096.53
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ANOVA factorial
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MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR: DISEÑO FACTORIAL 2X2
ijkjkkjijk εαββαμY +)(+++=
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Espeficación del modelo
Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinacióndel j valor del factor A y el k valor del factor B.
μ = la media común a todos los datos delexperimento.
αj = el efecto o impacto de j nivel de la variable detratamiento A.
ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B.(αß)jk = efecto de la interacción entre el i valor de
A y el k valor de B.εij = error experimental o efecto aleatorio de
muestreo.
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Descomposición polietápica de las Sumas de cuadrados
SCA
SCentre-grupos SCB
SCtotal SCAB
SCintra-grupos SCS/AB
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Cálculo de las Sumas de Cuadrados: primera etapa
SCtotal = SCentre-grupos + SCintra-grupos
SCtotal = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] –[(209)²/(8)(4)] = 203.97
SCentre-grupos = [(52)²/8 + (27)²/8 + ... +(60)²/8] –[(209)²/(32)] = 126.59
SCintra-grupos = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(52)²/8 + (27)²/8 + ... + (60)²/8] = 77.38
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CUADRO RESUMEN DEL AVAR PRIMERA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2
F0.95(3/28) = 2.95
abn-1=31203.97Total (T)
<0.0515.2842.192.76
ab-1=3ab(n-1)=28
126.5977.38
Entre GIntra G (E)
pFCMg.l.SCF.V.
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Inferencia del primer análisis
Del primer análisis se concluye que losgrupos de tratamiento o experimentalesdifieren significativamente entre sí; laprobabilidad de que un valor F de 15.28ocurra al azar es menor que el riesgoasumido (α = 0.05).
..//..
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En consecuencia, se procede adeterminar las causas de esasignificación. Nótese que este análisis noobedece a ningún propósito deinvestigación, ya que sólo sirve paradetectar si, en términos globales, hay o nodiferencia entre los grupos. De hecho, escomo si se hubiera aplicado un modelouni-factorial de la variancia.
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Cálculo de las Sumas de Cuadrados: segunda etapa
SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B + SCinteracción AxB
El cálculo de estas Sumas deCuadrados requiere la previaconstrucción de la tabla de los totalespor columnas.
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MATRIZ DE DATOS ACUMULADOS
20987122TOTALES
1306070A2
792752A1
TOTALESB2B1
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Cálculo del valor empírico de las Sumas de cuadrados
SCA = [(79)²/16 + (130)²/16] – [(209)²/32] =81.28
SCB = [(122)²/16 + (87)²/16] – [(209)²/32] =38.28
SCAB = SCentre-grupos – SCA – SCB = 126.59 –81.28 - 38.28 = 7.03
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CUADRO RESUMEN DEL AVAR SEGUNDA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2
<0.05<0.05>0.05
29.9413.872.55
81.2838.287.03
(a-1)=1(b-1)=1
(a-1)(b-1)=1
81.2838.287.03
Factor AFactor BInter AxB
F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20
abn-1=31203.97Total (T)
<0.0515.2842.192.76
ab-1=3ab(n-1)=28
126.5977.37
Entre-gIntra-g
pFCMg.lSCF.V.
![Page 46: Disenos factoriales](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042500/55801ddbd8b42a190e8b52a2/html5/thumbnails/46.jpg)
Inferencia del segundo análisis
Paso 5. De los resultados del análisis seinfiere la no-aceptación de las hipótesis denulidad para los efectos principales de A yB, con riesgo de error del 5 por ciento. Encambio, se acepta la hipótesis de nulidadpara la interacción. En suma, sólo sederiva la significación de los efectosprincipales.
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No interacción (Hipótesis nula)
A1
A2
B1 B2
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Interacción positiva
A1
A2
B1 B2
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Interacción negativa
A1
A2
B1 B2
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Interacción inversa
A2
A1
B1 B2
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Representación gráfica de la interacción
A1 A2
B1
B2
Interacción nula
A1 A2
B2
B1
Interacción positiva
A1 A2
B2
B1
Interacción negativa
A1 A2
B1
B2
Interacción inversa
![Page 52: Disenos factoriales](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042500/55801ddbd8b42a190e8b52a2/html5/thumbnails/52.jpg)
MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO
7.58.75A2
3.386.5A1
B2B1
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GRÁFICO INTERACCIÓN
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Ventajas del diseño factorial
Se ha descrito, a lo largo de ese tema, losconceptos básicos del diseño factorial oestructura donde se manipulan, dentro deuna misma situación experimental, dos omás variables independientes (o factores).En aras a una mejor exposición delmodelo se ha descrito, básicamente, eldiseño bifactorial a dos niveles, dentro delcontexto de grupos completamente alazar. ..//..
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La disposición bifactorial aportainformación no sólo de cada factor(efectos principales), sino de su accióncombinada (efecto de interacción o efectosecundario). De esta forma, con la mismacantidad de sujetos requerida paraexperimentos de una sola variableindependiente o factor, el investigadorpuede estudiar simultáneamente la acciónde dos o más variables manipuladas. ..//..
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Ello supone un enorme ahorro de tiempo yesfuerzo. Si se tiene en cuenta laposibilidad de analizar la acción conjuntoo cruzada de las variables, se concluyeque el diseño factorial es una de lasmejores herramientas de trabajo delámbito psicológico, puesto que laconducta es función de muchos factoresque actúan simultáneamente sobre elindividuo. ..//..
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PROBLEMA 1(Diseño de experimentos de dos niveles y 3 factores)
En el mantenimiento de un Generador de Vapor, se desea mejorar el proceso de soldadura de un componente de acero inoxidable. Para lo cual se realiza un diseño de experimentos de 3 factores y 2 niveles.
Factor Nivel bajo Nivel Alto
A. Caudal de gas (l/min.) 8 12B. Intensidad de Corriente (A) 230 240C. Vel. de Cadena (m/min.) 0.6 1
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Diseños factoriales 2 x 2 de bloques
Bloque 1
Bloque 2
Bloque k
………………………………………….………………………………………….
A1B1 A2B1 A1B2 A2B2
S11 S12 S14S13
S21 S22 S24S23
Sk1 Sk2 Sk4Sk3
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Pag. 177 Analisis estadístico del modelo factorial con valores fijos.+
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DISEÑO FACTORIAL DE 2 FACTORES
Hay a niveles del factor A y b niveles delfactor B, los cuales se disponen en undiseño factorial; es decir, cada réplica delexperimento contiene todas las abcombinaciones de los tratamientos. Engeneral, hay n réplicas.
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EJEMPLO DE UN DISEÑO FACTORIAL 2X2
Como ejemplo de un diseño factorial en el queintervienen dos factores, un ingeniero estádiseñando una batería que se usará en undispositivo que se someterá a variaciones detemperatura extremas. El único parámetro deldiseño que puede seleccionar en este punto esel material de la placa o ánodo de la batería, ytiene tres elecciones posibles.
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Cuando el dispositivo esté fabricado y se envíeal campo, el ingeniero no tendrá control sobrelas temperaturas extremas en las que operará eldispositivo, pero sabe por experiencia que lasaltas temperaturas afectaran la vida media de lasbaterías.
Las temperaturas si pueden ser reguladas en ellaboratorio y se pueden realizar pruebasexperimentales para lograr una batería másrobusta o duradera.
CONDICIONES DEL EXPERIMENTO