Diseño de Compensadores utilizando L.G.R.Compensadores en Atraso

� Un compensador en atraso aumenta la ganancia del lazo cerrado sin modificar apreciablemente el lugar geométrico de las raíces y tiene la siguiente función de transferencia.

� El cero y el polo del atraso se colocan muy cerca del origen.

(Kc = 1)

< 5°

� La nueva función de transferencia a lazo directo GH(s) Gc(s), tendrá una variación en el error igual a β .

( )T1s

T1sK

1Ts

1Ts KsG CCC β+

+=

+β+

β=

( ) 1T1s

T1sK sG

PDDPDD CC ≈

β++

=

( )PDD

sGC

( ) ( )sGH1Ts

1TssGH )s(Gc +β

+β=

Diseño de Compensadores utilizando L.G.R.Compensadores en Atraso

� Verificar que los polos dominantes deseados pertenezcan al lugar geométrico de las raíces.

� Calcular el valor de β necesario para satisfacer coeficientes de error

� Ubicar el cero cerca del origen y con el valor de β se calcula la posición del polo

� Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante deseado pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador

� Se verifica que se satisfaga el error

Procedimiento de Diseño

β=β

=T1

T1

K

K

compensado no

requerido

Diseño de Compensadores utilizando L.G.R.Compensadores en Atraso

Polos dominantes deseados

Kv = 20

� Se verifica que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR.

� Como el PDD si pertenece al LGR se calcula la ganancia en dicho punto, a partir del cual se calculará el Kv del sistema.

Ejemplo

j322s ±−=

°−=°−°−=+−−= 18060120 )4s( s )s(GPDDPDDPDD

=PDD

sG )( 144

K=

×44/16)s(GslimK

0sv ==⋅=

→

Diseño de Compensadores utilizando L.G.R.Compensadores en Atraso

� Debido a que el Kv no satisface, se debe añadir un atraso. Cuyo cálculo de β es como sigue:

→ β = (20 /4) = 5

� Se escoge el cero en s = -0.05 y con el valor de β se calcula el polo.

� Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante deseado pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador.

� Finalmente se verifica el valor del error

Ejemplo

β=β

=T1

T1

K

K

compensado no

requerido

01,0s

05,0s)s(GC +

+=

=PDDc )s(G 005,1

005,4

0252,4= =

PDDc )s(G 120,6164 º - 120,1239 º = 0,4925 º

( ) 20454ss

16

01,0s

05,0s)s(G)s(GslimK c

0sv =×=

+×

++

=⋅=→

Diseño de Compensadores utilizando L.G.R.Compensadores en Adelanto - Atraso

Requerimientos Kv = 20, ζ =0,5 y ts 2% = 2

Polos dominantes Deseados (PDD)

s = - 2 + 3.46 j

� Se verifica que los polos dominantes deseados pertenezcan al LGR.

� Como el PDD no pertenece al LGR se debe añadir un ángulo Φ = 95o. Se utilizará un adelanto doble con Φ = 47,5° → Φ/2 = 23,75°y utilizando el método de la bisectriz se obtiene:

� Se calcula la ganancia del compensador tal que se satisfaga la condición de módulo

KAd = 186,37

Ejemplo

j322s ±−=

PDDPDDPDDPDD )5s( )1s( s )s(G +−+−−= °−=°−°−°−= 19,27507,4912,106120 )s(G

PDD

2

AdAd72,6s

38,2sKG

++

=

( )( )( )

( )1

72,6s

38,2sK

5s1ss

12

2

Ad =+

+++

( )( ) 1

85,5

48,3K

)58,4)(60,3)(99,3(

12

2

Ad =

Diseño de Compensadores utilizando L.G.R.Compensadores en Adelanto - Atraso

� Para esa ganancia se calcula el KvNo satisface, por lo que se diseña un atraso

→

� Se escoge el cero en s = -0.05 y con el valor de β se calcula el polo.

� Se verifica la condición de módulo y de ángulo para garantizar que el polo dominante deseado pertenezca al lugar geométrico de las raíces después de incluir el compensador.

� Finalmente se verifica el valor del error

Ejemplo

β=β

=T1

T1

K

K

compensado no

requerido

68.4 Gc(s) G(s) lim0

===→

sKsV

68,4

20=β

9953,09906,3

9717,3

0117,0s

05,0sG

PDD

PDDAt ==+

+=

0117,0

05,0)(

++

=s

ssGAt

°−=°−°= 47,0884,1194049,119 )s(GcPDD

At

( ) ( )( )( )( ) ( )0117,0s72,6s5s1s s

05,0s38,2s 186)s(Gc)s(Gc)s(G

2

2

AtAd++++

++=

( ) ( )( )( ) ( )

94.190117,072,65

05,038,2 1862

2

==finalKv

Diseño de Controladores utilizando L.G.R.

� Controlador Proporcional

� Controlador Proporcional Derivativo

� Controlador Proporcional Integral

� Controlador Proporcional Integral Derivativo

( ) ( )

+⋅=+=

ddpdp T

1s TKsT1KsGc

( )

+=

+=

+=

s

sT1K

sT

sT1K

sT

11KsGc i

p

i

ip

i

p

++=

++=

i

di

2

p

i

dpsT

1TTssTiK

sT

1sT1KGc

( ) pKsGc =

Diseño de Controladores utilizando L.G.R.Ejemplos

Para un sistema a lazo cerrado se requiere que el error al escalón unitario sea menor que 0,1 y que los polos dominantes sean s = -1 + 2j

� Se verifica numéricamente el valor del ángulo necesario para que los PDD pertenezcan al LGR.

∠GPDD = - ∠sPDD - ∠(s+1)PDD - ∠(s+3)PDD

∠GPDD = - 116,56° - 90° - 45° = - 251,56°

� El ángulo necesario a añadir con el cero será φ = 71,56°.

� Gráficamente se obtiene la ubicación del cero en s = 1,667= 1/Td

� Se calcula la ganancia para que se satisfaga la condición de módulo

K⋅Td = 5,99K = 9,999 ≈ 10

LGR sistema original, PDD no pertenecen, pero el error siempre se cumple.

Se introduce un PD, para mejorar transitoria

( )( )( )( ) 1

31

667,11=

+++⋅sss

sTK d( )( )

( )( )( ) 18284,22236,2

1083,2TK d =⋅

( )( )3s1ss

1G

++=

Diseño de Controladores utilizando L.G.R.Ejemplos

Para un sistema a lazo cerrado se requiere que Kv = 20 ts 2% < 1 wd = 2

PDD = - 4 + 2j

� Se verifica numéricamente el valor del ángulo necesario para que los PDD pertenezcan al LGR.

� El ángulo necesario a añadir con los ceros será φ = 30° considerando el ángulo negativo añadido por el polo en el origen.

� Si se coloca uno de los ceros en s = - 4, entonces el otro se fija para satisfacer la condición de ángulo.

� Se calcula la ganancia para que se satisfaga la condición de módulo

K= 9,01

LGR sistema original, PDD no pertenecen, y el error tampoco se cumple.

Se escoge un PID, para mejorar transitoria y permanente. Las soluciones son infinitas.

Se verifica el error

)5s)(1s(

1)s(G

++=

∠GPDD = - ∠(s+1)PDD - ∠(s+5)PDD

∠GPDD = - 146,3° -63,43° = -209,76°

º43,153º30ceros +=

( )( )s

88,3s4sKGc

++=

( )( )( )( )

( ) 14721,4

22K

605,32361,2

1GGc

PDD== 93,27

5

88,349GGsLimK c

0sv =

⋅⋅=⋅=

→