DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I - Técnico … · na disciplina de Resistência de...
Transcript of DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I - Técnico … · na disciplina de Resistência de...
SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS
DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I
APONTAMENTOS DE FLEXÃO ELÁSTICA DE PEÇAS LINEARES
EDUARDO BORGES PIRES
DINAR CAMOTIM
PEDRO BORGES DINIS
LISBOA, ABRIL DE 2010
Flexão Elástica de Peças Lineares
1
FLEXÃO ELÁSTICA DE PEÇAS LINEARES
1 INTRODUÇÃO
• Conforme se viu anteriormente, qualquer problema de Saint-Venant pode ser
expresso como uma combinação linear dos quatro seguintes problemas
(i) Problema da Tracção (ou Compressão)
(ii) Problema da Flexão Circular (ou Pura)
(iii) Problema da Flexão com Esforço Transverso
(iv) Problema da Torção
• Estudou-se já o problema da Tracção e vai agora estudar-se o problema da Flexão
Circular. Os problemas da Flexão com Esforço Transverso e da Torção serão estudados
na disciplina de Resistência de Materiais II.
• Designa-se habitualmente por viga uma peça linear que se encontra submetida a
momento flector com ou sem esforço transverso. Este tipo de elemento estrutural
(barra) é muito importante em engenharia de estruturas, onde é utilizado muito
frequentemente − e.g., os pisos dos edifícios apoiam-se em vigas e as pontes
contêm vigas entre os seus elementos estruturais.
• As vigas são habitualmente classificadas em função dos seus apoios. Assim, existem
(i) Vigas em consola (encastradas-livres)
(ii) Vigas simplesmente apoiadas (um apoio fixo e outro móvel ou dois apoios fixos)
(iii) Vigas bi-encastradas (dois encastramentos)
Flexão Elástica de Peças Lineares
2
(iv) Vigas encastradas-apoiadas (um encastramento e um apoio móvel ou fixo)
(v) Vigas contínuas ou com múltiplos vãos ou de vários tramos (com apoios intermédios)
• A palavra flexão é utilizada para designar o comportamento das barras submetidas
a diferentes tipos de combinação de esforços − i.e., existem vários tipos de flexão.
Assim, tem-se
(i) Flexão circular ou pura − barra submetida unicamente a momento flector
(ii) Flexão simples − barra submetida a momento flector e esforço transverso
(iii) Flexão (circular ou simples) composta − barra submetida a momento flector e esforço
normal (com ou sem esforço transverso)
Barra AB
Troço BC
Flexão simples composta
Flexão circular composta
Flexão Elástica de Peças Lineares
3
• Neste capítulo começa-se por determinar a solução do Problema de Saint-Venant da
Flexão Circular. Em seguida, esta solução é utilizada para estudar os comportamentos
de vigas submetidas a flexão simples e a flexão composta.
• Observação
As expressões utilizadas para estudar o comportamento de vigas à flexão são
aproximadas ou exactas consoante exista ou não esforço transverso.
2 O PROBLEMA DE SAINT-VENANT DA FLEXÃO CIRCULAR
• Considere-se uma barra prismática e homogénea submetida a um momento flector
constante (uniforme) M. A barra tem comprimento L e uma secção transversal de área A.
O material que a constitui tem um comportamento elástico linear com módulo de
elasticidade E e coeficiente de Poisson ν.
Figura 1 − Problema de Saint-Venant da flexão circular.
(I) Hipóteses e suas Consequências
(i) “As secções transversais da barra flectida permanecem planas e perpendiculares aos
eixo da barra (deformado)” (Hipótese de Bernoulli)
⇒ cxbxau ++= 213 02313 == γγ ( 02313 == εε )
a, b e c são, em geral, função de x3
(ii) “As secções transversais podem deformar-se livremente nos seus próprios planos”
(Hipótese de Navier)
⇒ 0122211 === σσσ
Secção transversal (plano x1-x2)
Flexão Elástica de Peças Lineares
4
(iii) “A barra flecte num plano, designado por (x2−x3), permanecendo rectas as fibras
inicialmente paralelas aos eixo 2”
Figura 2 − Barra submetida a flexão circular.
Obs. Admite-se ainda a hipótese dos pequenos deslocamentos, bem como a de
que as cargas são aplicadas de forma quasi-estática.
• Como todos os troços de barra se encontram nas mesmas condições, a sua
deformação é idêntica. Por esse motivo, todos os segmentos longitudinais se
transformam em arcos de circunferência.
• A deformação das fibras longitudinais só depende de x2 (i.e., é independente de x1 e x3).
• Como não existe esforço normal, as fibras longitudinais não podem estar todas
comprimidas ou traccionadas. Umas estão comprimidas (as do lado côncavo), outras
estão traccionadas (as do lado convexo) e, na transição entre umas e outras, existem
fibras que não variam de comprimento − as fibras neutras.
• O lugar geométrico das fibras neutras de uma barra flectida designa-se por superfície
neutra. A intersecção da superfície neutra com uma secção transversal define a linha
neutra (ou eixo neutro) dessa secção.
• Considere-se um referencial em que o eixo x3 tem a direcção de um “segmento
neutro” e o eixo x1 é, em cada secção, a respectiva linha neutra.
Flexão Elástica de Peças Lineares
5
• Considere-se agora a deformação do troço infinitesimal de barra AA´-BB´, de
comprimento dx3 (ver Figura 2).
Figura 3 − Deformada do troço infinitesimal de barra AA´-BB´.
• As secções AA´ e BB´ rodam uma em relação à outra de um ângulo dθ.
• Admitindo que as deformações são pequenas ( 333 e≈ε e os segmentos de arco
confundem-se com as respectivas cordas), o comprimento de uma fibra longitudinal
vale, após a deformação
θdxdx 23 +
• Então, a deformação dessa fibra vale
32
3
32333
dx
dx
dx
dxdxdx θθε =
−+=
• Como dθ /dx3 representa a curvatura das “fibras neutras” da viga (e.g., o eixo x3) tem-se
R
x233 =ε
onde R é o raio de curvatura dessas fibras neutras (i.e., o inverso da curvatura).
Fibra neutra
Encurtamento
Alongamento
Flexão Elástica de Peças Lineares
6
(II) Relações Tensões-Deformações
o 02313 == εε ⇒ 02313 == σσ
o 012 =σ ⇒ 012 =ε
o 02211 == σσ ⇒ EE
332211
3333
συεε
σε −==∧=
(III) Relações Deformações-Deslocamentos
o )()()( 323133 xcxxbxxau ++= ⇒
=
++=
R
x
cxbxa
233
3231333 ,,,
ε
ε ⇒
⇒
=⇒=
+=⇒=
=⇒=
333
2333
133
)(0,
1)(1,
)(0,
Cxcc
CxRxbRb
Cxaa
3223113
1CxCx
RxCu +
++=∴
o R
xEE 2
3333 == εσ
o R
x211 υε −= ⇒ ),( 321
21 xxAx
R
xu +−= υ
R
x222 υε −= ⇒ ),(
2 31
22
2 xxBR
xu +−= υ
o 013 =ε ⇒ 013
=+∂∂
Cx
A ⇒ 123132 )(),( KxAxCxxA ++−=
o 023 =ε ⇒ 01
233
=++∂∂
CxRx
B ⇒
⇒ 21322
331 )(2
1),( KxBxCx
RxxB ++−−=
o 012 =ε ⇒ 012
1 =++−dx
Bd
dx
Ad
R
xυ ⇒
+−=
=
211
2
2x
RxKB
xKA
υ
Flexão Elástica de Peças Lineares
7
• Neste momento sabe-se que
[ ]
=
R
Exij
200
000
000
σ [ ]
−
−
=
R
xR
xR
x
ij
2
2
2
00
00
00
υ
υ
ε
+
++=
++−−−−=
++−−=
3223113
22
11322
32
22
123112
1
122
1
2
CxCxR
xCu
KxR
xKxCxR
xR
u
KxKxCxR
xu
υυ
υ
(IV) Equilíbrio no Interior do Corpo (Xj=0)
o 0, =+ jiij Xσ
j=1,2 ⇒ Verificado
j=3 ⇒ σ33,3=0 ⇒ Verificado
(V) Equilíbrio na Superfície Lateral da Barra (σj=0)
o jiijn σσ = ⇒ Verificado
(VI) Equilíbrio nas Secções Extremas da Barra (x3=0; L)
o ∫ ==A
dAN 033σ ⇒ ∫ =A
dAx 02 ⇒
⇒ o eixo 1 (i.e., a linha neutra) passa no centro de gravidade G da secção ⇒
⇒ pode considerar-se um referencial (x1, x2, x3) baricêntrico (x3 coincide com o
“segmento neutro” que passa por G)
Flexão Elástica de Peças Lineares
8
o
=−=−=
===
∫ ∫
∫∫
A A
AA
IR
EdAxx
R
EdAxM
IR
EdAx
R
EdAxM
12211332
112
22331
σ
σ ⇒
12
2
11
11
EI
M
EI
M
R==
onde I11 e I12 são o momento de inércia e o produto de inércia da secção transversal da
barra em relação ao referencial constituído pela linha neutra (LN − x1) e pelo eixo
contido no plano de flexão que passa em G (eixo central − x2)
12
22
11
2133
I
xM
I
xM==∴ σ
• Observações
(i) No caso geral, para que a flexão ocorra no plano (x2 −x3) é necessário que o momento
flector M tenha componentes segundo os eixos x1 e x2. Como M é sempre
perpendicular ao plano de solicitação (plano onde actuam as cargas transversais que
provocam o momento M), tem-se que os planos de solicitação e flexão não coincidem.
Neste caso, diz-se que a flexão é desviada.
(ii) Só é possível que o plano de flexão coincida com o plano de solicitação (i.e., que
M2=0 ou que M=M1) se I12= 0, i.e., se x1 e x2 forem os eixos principais centrais de
inércia da secção. Neste caso diz-se que a flexão é recta.
plano de solicitação
plano de flexão
Flexão Elástica de Peças Lineares
9
Obs. Note-se que um eixo de simetria da secção é sempre um eixo principal
central de inércia.
(iii) Como a flexão desviada pode ser sempre tratada como uma sobreposição de duas
flexões rectas, vamos a partir de agora considerar o caso da flexão recta − i.e.,
admite-se que o plano de flexão (x2 −x3) é um plano principal central de inércia,
também designado por plano principal de flexão da barra. Assim, x1 e x2 são os eixos
principais centrais de inércia da secção e tem-se
);( 1112
11
2133 IIMM
I
xM
I
xM≡≡==σ
(iv) Estudar-se-á a flexão desviada mais adiante.
• jiijn σσ = n1=n2=0 σ1=σ2=0
1:0 33 −== nx ⇒ 211
1333 x
I
M−=−= σσ
1: 33 == nLx ⇒ 211
1333 x
I
M== σσ
• Assim, a solução do problema da flexão recta é dada por
02313122211 ===== σσσσσ 211
133 x
I
M=σ
0231312 === εεε 211
12211 x
EI
Mνεε −== 2
11
133 x
EI
M=ε
12312111
11 KxKxCxx
EI
Mu ++−−=
υ
[ ] 21322
12
22
311
12 )(
2KxKxCxxx
EI
Mu +−−−+−= υ
322113211
13 KxCxCxx
EI
Mu +++=
Flexão Elástica de Peças Lineares
10
• Observações
(i) O campo de deslocamentos foi determinado a menos das constantes 2121 ,,,, KKKCC
e 3K , as quais correspondem aos seis deslocamentos de corpo rígido: três rotações
( KCC ,, 21 ) e três translações ( 321 ,, KKK ). Se as condições de apoio impedirem
esses deslocamentos de corpo rígido, as condições respectivas permitem calcular
o valor das constantes − todas elas serão nulas se se impedirem os deslocamentos
de corpo rígido na secção extrema da barra que corresponde à origem do
referencial (x1=x2=x3=0).
(ii) A solução encontrada apenas é exacta no caso de as forças exteriores aplicadas
nas secções extremas variarem linearmente ao longo da altura da secção
( 11213 IxM±=σ ).
No caso de as forças exteriores terem outra distribuição (sempre estaticamente
equivalente a M1), obtém-se uma solução aproximada. De acordo com o
Princípio de Saint-Venant, a diferença em relação à solução exacta apenas é
significativa na vizinhança das secções extremas da viga.
(iii) O produto EI11 designa-se por rigidez de flexão (em torno da LN que aqui se
admite coincidente com o eixo x1).
(iv) Como as hipóteses admitidas para resolver o problema da flexão circular são
de natureza cinemática (i.e., não envolvem a natureza material da barra), elas
podem aplicar-se igualmente a barras constituídas por materiais não elásticos,
não homogéneos ou não isotrópicos.
Flexão Elástica de Peças Lineares
11
(v) A solução obtida é exacta (a menos do Princípio de Saint-Venant) para a
flexão circular de barras prismáticas. Pode mostrar-se que ela constitui ainda
uma boa solução aproximada nos seguintes casos:
o Barras submetidas a flexão com esforço transverso (i.e., em que o
diagrama de momentos flectores não é uniforme).
o Barras com secção variável, desde que a sua variação seja suave, i.e., não
seja brusca. (Nota: Nesta disciplina, admite-se sempre que a solução obtida
é aplicável, independentemente do tipo de variação da secção).
(vi) Como o deslocamento u2 não depende linearmente de x1 e x2, as secções
transversais da barra não permanecem rígidas − i.e., deformam-se nos seus
próprios planos. No entanto, esta deformação constitui um efeito de segunda
ordem e pode ser desprezada.
(vii) A superfície neutra da barra (x2=0) deforma-se para fora do seu plano, tomando a
forma de uma sela. Este facto resulta de se ter, para x2=0
[ ]21
23
11
12 2
xxEI
Mu υ−−=
o que significa que a curvatura das fibras transversais (u2,11) tem sinal oposto à
das fibras longitudinais (u2,33).
u2,33 u2,11
Flexão Elástica de Peças Lineares
12
3 VIGAS SUBMETIDAS A FLEXÃO RECTA
• Considera-se agora que o plano de solicitação da viga, designado por (x2 −x3), é um
plano principal de inércia, o que significa que a viga se encontra submetida a flexão
recta nesse mesmo plano − momentos flectores M1, superfície neutra contida no
plano (x1−x3) e curvatura do eixo 1/R2. Por simplicidade, considera-se a partir de agora
RxRIIMxM
1
)(
1e)(,)(
321131 sprismáticavigas ≡≡≡
• Tem-se então
EI
M
R=
1 (Lei de Euler-Bernoulli) 233 x
I
M=σ 233 x
EI
M=ε
2322
32 2KxCx
EI
Mu +−−= − deformada do eixo da viga (x1=x2 =0), sendo as
• 1/R representa o ângulo de que rodam, uma relativamente à outra, duas secções
afastadas de uma unidade de comprimento. A rotação entre as secções extremas de
uma barra de comprimento L vale
30
1dxM
EI
L
∫=ϕ
M uniforme ⇒ EI
LM=ϕ
constantes C2 e K2 determinadas a partir
das condições de apoio da viga.
Flexão Elástica de Peças Lineares
13
• As tensões normais σ33 variam linearmente ao longo da “altura” das secções
transversais da viga (direcção de x2). As fibras superiores (inferiores) ficam
comprimidas (traccionadas) quando o momento flector é positivo (negativo), sucedendo
o oposto às fibras inferiores.
• Observa-se que as tensões máximas (de tracção e compressão) ocorrem nas fibras
extremas da secção, i.e., as fibras mais afastadas da linha neutra (LN).
• Consoante a secção seja simétrica ou não em relação à LN, as máximas tensões de
tracção e compressão são iguais ou diferentes.
• A tensão normal máxima (em valor absoluto) ocorre na(s) fibra(s) mais afastada(s)
da LN. Designando a distância correspondente por v ( max2xv = ), tem-se
W
M
I
vM==max
33σ
onde [ ]3L
v
IW = se denomina por módulo de flexão da secção transversal da viga.
Flexão Elástica de Peças Lineares
14
Exemplo Ilustrativo
Calcular os módulos de flexão das secções representadas na Figura 4.
(a) (b)
Figura 4 − Secções transversais (a) rectangular e (b) triangular equilátera.
(a) 6
2
12 21
1
3
1 bh
v
IW
hv
bhI
==⇒
=
=
(b) 32
3
3
96
33
11
4
1a
v
IW
av
aI
==⇒
=
=
• No caso das secções transversais mais correntes (e.g., secções de vigas de aço em
I, U, L, T, etc.), os valores dos momentos de inércia e dos módulos de flexão são
frequentemente obtidos de tabelas disponíveis na literatura técnica.
Exemplo Ilustrativo
Determinar a distribuição das tensões normais na secção de meio vão da viga representada na
Figura 5, a qual é constituída por um perfil INP32 − W1=782cm3.
Figura 5 − Viga de secção em I.
INP32
Flexão Elástica de Peças Lineares
15
o Diagrama de momentos flectores
Secção de meio vão: M=Mmax=160kNm
o Diagrama de tensões normais
MPammNW
M6.204/6.204
1082x7
10x60.1 23
6max33 ====σ (tracção e compressão −
3.1 DIMENSIONAMENTO DE VIGAS
• Quando se consideram apenas as tensões normais devidas à flexão, o dimensionamento
de uma viga deve satisfazer o critério
RdSd σσ ≤
onde Sdσ são os valores de cálculo das tensões actuantes e Rdσ é o valor de cálculo
da tensão resistente do material que constitui a viga − e.g., pode ter-se Rdσ =235,
275, 355 MPa, no caso do aço utilizado na construção de estruturas metálicas.
secção simétrica)
204.6MPa (T)
204.6MPa (C)
(+)
(−)
+ M
Flexão Elástica de Peças Lineares
16
• No caso de a tensão resistente de uma viga ter o valor σ (à tracção e à compressão),
é necessário satisfazer a condição
σσ ≤=W
Mmax33
o que mostra que o módulo de flexão W “mede” a resistência da viga à flexão.
• Por outro lado, o máximo momento flector que pode ser aplicado à viga vale
σWM =max
• Observação
Se as tensões resistentes do material à tracção e à compressão forem diferentes
( C
Rd
T
Rd σσ ≠ ), é necessário satisfazer condições distintas para as fibras mais
traccionadas e comprimidas.
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a viga simplesmente apoiada representada na Figura 6, a qual possui a secção
rectangular oca indicada, de espessura igual a 8mm. Determine a largura mínima da secção
(bmin), sabendo que MPaRd 150== σσ .
Figura 6 − Viga de secção tubular.
Flexão Elástica de Peças Lineares
17
o Diagrama de momentos flectores
Secção de meio vão: M=Mmax=(25+25+25) /2 x 0.8 − 25 x 0.4= 20kNm
o Módulo de flexão
)(1.3985.9212
)6.116)(6.1(
12
16 433
cmbbb
I +=−−
−=
)(8.496.118
8 3cmb
IWcmv +==⇒=
o Condição
σσ ≤=W
Mmax33 ⇒ 150
10)8.496.11(
10203
6
x
x≤
+b ⇒ b ≥72.3mm
∴ bmin=72.3mm
3.1.1 OPTIMIZAÇÃO DA SECÇÃO DE VIGAS
• Quando maior for o valor de W, maior será a capacidade resistente de uma secção à flexão.
• De entre as várias formas que uma secção pode ter (com a mesma área), qual é
aquela que maximiza a sua resistência à flexão?
• Considerem-se várias secções com a mesma área A e a mesma altura h − nesse caso,
pretende-se conhecer qual a forma que maximiza o momento de inércia I.
+
M
Flexão Elástica de Peças Lineares
18
• Como é óbvio, deve procurar maximizar-se a distância do material à LN − no limite
tem-se todo o material o mais afastado possível.
4222
22
xxhAhA
I =
= (desprezando a inércia própria)
22/
hA
h
IW ==
• Comparando com a secção rectangular, em que W=b h2/6=A h/6, verifica-se que a
“secção optimizada” resiste a um momento flector três vezes superior.
• Pode assim concluir-se que o ideal, do ponto de vista da flexão, seria ter uma secção
em I com uma alma de espessura tão reduzida quanto possível (para aumentar a
distância entre os banzos). No entanto, uma secção com essas características possuiria
outras vulnerabilidades (e.g., baixa resistência ao esforço transverso e elevada
susceptibilidade a fenómenos de instabilidade).
• As secções em I correntemente utilizadas surgem assim como o resultado de um
“compromisso” entre maximizar a resistência da viga à flexão sem a tornar
excessivamente vulnerável a outros fenómenos estruturais. Por esse motivo, a
esmagadora maioria das barras que trabalham primordialmente à flexão têm secções
transversais em I.
• No caso de um INP32, tem-se W≈ 0.32 A h. Note-se que o material é bem aproveitado:
a grande maioria do material está localizada nas zonas onde a tensão é mais elevada.
L N
Flexão Elástica de Peças Lineares
19
Exemplo Ilustrativo
Considere uma viga em T com a secção indicada na Figura 7, a qual está submetida a um
momento flector positivo. Determine a largura b que deve ter o banzo horizontal para que sejam
atingidas simultaneamente as tensões resistentes MPaT
Rd 25=σ e MPaC
Rd 90=σ .
Figura 7 − Viga de secção em T.
o Distâncias às fibras mais afastadas de G
540060
40500090022 22
1 ++
=−+−+
=b
b
s)sb(sh
/s)sb(/shv
540060
243000630012 +
−=−=
b
bvhv
o Condição
278.090
25
2
1 ==v
v ⇒ 2780
2430006300
405000900.
b
b=
++
∴ b =397mm
Flexão Elástica de Peças Lineares
20
3.2 DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
• Conforme se viu anteriormente, a Lei de Euler-Bernoulli estipula que
EI
M
R=
1
expressão que fornece a curvatura da configuração deformada do eixo da viga, também
designada por linha elástica da viga − u2(x3).
• Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos, tem-se que
33,223
221
udx
ud
R==
o que implica que
EI
Mu ±=33,2
• Para o sistema de eixos escolhidos (x2−x3), tem-se que
EI
Mu −=33,2 (Equação da Elástica)
pois momentos flectores positivos provocam uma configuração deformada com curvatura
negativa (a tangente passa de positiva a negativa).
configuração deformada do eixo da viga (linha elástica)
tangente negativa
tangente positiva
Flexão Elástica de Peças Lineares
21
• Como se tem 3dxdMV = e 3dxdVp −= , vem
( ) ( )3,33,233,2
3
uEIuEIdx
dV −=−=
( )[ ] ( )33,33,23,33,2
3
uEIuEIdx
dp −=−−=
• Se EI=cte, vem
333,2uEIV −= 3333,2uEIp =
• Pode obter-se a linha elástica de uma viga (com EI=cte), através da integração de uma das
equações
EI
Mu −=33,2
EI
Vu −=333,2
EI
pu =3333,2
tendo a solução que satisfazer um número de condições de fronteira igual à ordem da
equação considerada (2, 3 ou 4).
• Podem obter-se linhas elásticas de vigas isostáticas e hiperstáticas.
• Relativamente à escolha da equação a integrar, é conveniente referir que:
(i) Em vigas isostáticas, pode utilizar-se qualquer uma das três equações, em virtude de ser
possível obter V(x3) e M(x3) através de condições de equilíbrio. A escolha da equação a
utilizar depende apenas da conveniência (facilidade) de cálculo.
(ii) Em vigas hiperstáticas, apenas se pode utilizar a equação de 4ª ordem, na medida em
que não é possível conhecer à priori V(x3) ou M(x3).
Flexão Elástica de Peças Lineares
22
(iii) No caso de M(x3), V(x3) ou p(x3) serem dados por mais de uma expressão analítica
e/ou exibirem descontinuidades (e.g., provocados por uma carga ou momento
concentrado), é necessário efectuar uma integração por troços − a elástica é
definida por vários expressões analíticas (uma por troço), as quais devem satisfazer
condições de continuidade entre troços adjacentes.
Obs. No caso do número de troços da viga ser elevado, a determinação da sua
linha elástica torna-se bastante laboriosa, sendo preferível utilizar outros
métodos para calcular deslocamentos e/ou rotações.
• No caso de se utilizar a equação
EI
pu =3333,2
as quatro integrações sucessivas fornecem respectivamente (i) o diagrama de esforços
transversos, (ii) o diagrama de momentos flectores, (iii) o campo de rotações e (iv) o
campo de deslocamentos
EI
pu =3333,2 ⇒ VdxpuEI −≡= ∫ 3333,2 ⇒
⇒ MdxVuEI −≡−= ∫ 333,2 ⇒
⇒ θ≡−= ∫ 33,2 dxEI
Mu ⇒
⇒ δθ ≡= ∫ 32 dxu
Flexão Elástica de Peças Lineares
23
Exemplo Ilustrativo
Determine as linhas elásticas das quatro vigas indicadas na Figura 8 (todas de
comprimento L e rigidez EI).
(a) (b)
(c) (d)
Figura 8 − Vias com diferentes condições de apoio submetidas à flexão.
(a) MuEI −=33,2
133,2 CxMuEI +−=
2312
32 2CxCx
MuEI ++−=
0)0(2 =u ⇒ 02 =C
0)0(3,2 =u ⇒ 01 =C
∴ 232 2
xEI
Mu −=
33,2 xEI
Mu −=
MuEIM =−= 33,2
(b) puEI =3333,2
13333,2 CxpuEI +=
2312
333,2 2CxCx
puEI ++=
3322
313
33,2 26CxCx
Cx
puEI +++=
4332
323
314
32 2624CxCx
Cx
Cx
puEI ++++=
Flexão Elástica de Peças Lineares
24
0)0(2 =u ⇒ 04 =C
0)0(33,2 =uEI ⇒ 02 =C
0)(2 =Lu ⇒ 0624 3
31
4
=++ LCLCpL
0)(33,2 =LuEI ⇒ 02 1
2
=+ LCpL
⇒ 21
pLC −= ⇒
24
3
3
pLC =
∴ [ ]333
34
33
33
34
32 224241224
1xLxLx
EI
px
pLx
pLx
p
EIu +−=
+−=
EI
pLLuu
384
5)2(
4
2max2 ==
[ ]323
333,2 64
24LxLx
EI
pu +−=
EI
pLLuu
24)()0(
3
3,23,2 =−=
[ ]2333
2333,2 222
xxLp
xpL
xp
uEIM −=+−=−=
8
)2(2
max pLLMM ==
[ ]33333,2 2/2
xLppL
xpuEIV −=+−=−=
2)()0(max pLLVVV =−==
(c) Integração idêntica a (b)
0)0(2 =u ⇒ 04 =C
0)0(3,2 =u ⇒ 03 =C
0)(33,2 =LuEI ⇒ 02 21
2
=++ CLCpL
8
51
pLC −=
0)(2 =Lu ⇒ 02624
22
31
4
=++LCLCpL
8
2
2
pLC =
∴
+−= 2
3
23
34
32 5.12
5
24x
Lx
Lx
EI
pu
⇒
Flexão Elástica de Peças Lineares
25
+−= 322
33
33,2 2
5
3
4
8xLx
Lx
EI
pu
88
5
2
2
32
333,2
pLx
pLx
puEIM −+−=−=
8
)0(2
A
pLMM −==
8
53333,2
pLxpuEIV +−=−=
8
5)0( A
pLRV =≡
8
3)( B
pLRLV −=−≡
(d) Como o diagrama de momentos da viga não pode ser expresso através de uma
única expressão analítica, é necessário efectuar as integrações em dois troços
distintos, AC e CB. As constantes de integração devem ser determinadas de
modo a que sejam satisfeitas:
(i) As condições de fronteira da viga
)()0( CB2
AC2 Luu =
)()0( CB33,2
AC33,2 Luu =
(ii) As condições de continuidade na secção C
)()( CB2
AC2 auau =
)()( CB3,2
AC3,2 auau =
)()( CB33,2
AC33,2 auau =
EI
Pauau −=− )()( AC
333,2CB
333,2
Troço AC Troço CB
0AC3333,2 =uEI 0CB
3333,2 =uEI
1AC
333,2 CuEI = 5CB
333,2 CuEI =
231AC
33,2 CxCuEI += 635CB
33,2 CxCuEI +=
3322
31AC
3,2 2CxCx
CuEI ++= 736
23
5CB3,2 2
CxCxC
uEI ++=
4332
323
31AC
2 26CxCx
Cx
CuEI +++= 837
23
633
5CB2 26
CxCxC
xC
uEI +++=
Flexão Elástica de Peças Lineares
26
0)0(AC2 =u ⇒ 04 =C
0)0(AC33,2 =uEI ⇒ 02 =C
0)(CB33,2 =LuEI ⇒ LCC 56 −=
0)(CB2 =Lu ⇒ LC
LCLC
LC
LCC 7
3
57
3
5
3
58 326−=−+−=
∴ 333
31AC
2 6xCx
CuEI +=
LCLC
xCxLC
xC
uEI 7
35
372
353
35CB
2 326−++−=
⇔= )()( CB2
AC2 auEIauEI LC
LCaCa
LCa
CaCa
C7
35
72535
331
3266−++−=+
⇔= )()( CB3,2
AC3,2 auEIauEI 75
253
21
22CaLCa
CCa
C+−=+
⇔= )()( CB33,2
AC33,2 auEIauEI LCaCaC 551 −= ⇒
−=a
LCC 151
⇔−=− PauEIauEI )()( AC333,2
CB333,2 PCC −=− 51
−=−
=+
PCC
Ca
bC
51
51 0 ⇔
=
+
−=
Pa
bC
Ca
bC
15
51
⇔
=
−=
PL
aC
PL
bC
5
1
+−=+−
−++−=+−
7
23
3
2
7
3
7
34
3
3
22
3266
CPL
LaP
L
aCP
L
ba
LCPL
aLaCP
L
LaP
L
aaCP
L
ba
⇔
−+=−
+−+=+
232
73
2232
73
22
3266
aL
a
L
baPCC
La
L
a
L
baPC
a
bC
⇔
−++=
+−−+−−=
232
73
2322232
7
22
223266
aL
a
L
baPCC
aL
a
L
baLa
L
a
L
baPC
a
L
Flexão Elástica de Peças Lineares
27
−++=
+−−+−−=
232
73
3
2
4
2
33
2
4
2
3
7
22
223266
aL
a
L
baPCC
L
a
L
a
L
baaL
L
a
L
a
L
baPC
⇔
−++=
+−−−=
232
73
3333
27
22
3233
aL
a
L
baPCC
aLLaaba
L
PC
∴ 373
33AC2 6
)( xCxPL
bxuEI +−=
72
33AC
3,2 2)( CxP
L
bxuEI +−=
33AC
33,2 )( xPL
bxuEI −= ⇒ P
L
abauEIaM =−= )()( AC
33,2
PL
bxuEI −=)( 3
AC333,2 ⇒ P
L
buEIVR =−== )0()0( AC
333,2A
LCaL
xCxPa
xPL
axuEI 7
2
372
33
33CB2 326
)( −++−=
73233
CB3,2 2
)( CxaPLxPL
axuEI +−=
aPxPL
axuEI −= 33
CB33,2 )( ⇒ P
L
baP
L
aLaauEIaM =
−−=−=
2CB
33,2 )()(
PL
axuEI =)( 3
CB333,2 ⇒ P
L
aLuEILVR ==−= )()( CB
333,2B
Nota. Constata-se que, mesmo num problema tão simples como este, a determinação
da linha elástica da viga envolve cálculos bastante laboriosos quando é necessário
efectuar a integração em mais que um troço (e neste caso eram apenas dois…).
Deste modo, é indispensável possuir metodologias mais eficientes para determinar
deslocamentos e rotações (vigas isostáticas) e deslocamentos, rotações e esforços
(vigas hiperstáticas). Essas metodologias vão ser abordadas nas secções seguintes.
Flexão Elástica de Peças Lineares
28
• Observações
(i) A linha elástica determinada a partir da lei de Euler-Bernoulli ( EIMR ±=1 )
constitui a solução exacta, no caso da flexão circular, e uma boa solução aproximada,
no caso da flexão com esforço transverso (flexão simples). Na disciplina de
Resistência de Materiais II abordar-se-á a influência do esforço transverso na
configuração deformada do eixo da viga.
(ii) Ao contrário do que a designação flexão circular faria supor, as configurações
deformadas do eixo da viga (linha elástica) obtidas não são arcos de circunferência,
mas sim arcos de parábola. Esta aparente discrepância deve-se ao facto de se
ter admitido a hipótese dos pequenos deslocamentos (linearidade geométrica),
cujas consequências são:
(ii1) linearização das relações deformações-deslocamentos
( )jk,k,ij,iji,ij 2
1uuuu ++=ε
(ii2) utilização de uma expressão aproximada para a curvatura do eixo da viga
( )[ ] 33,22323,2
33,2
1
1u
u
u
R−≈
+
−= .
3.3 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS: MÉTODO DAS CARGAS UNITÁRIAS
• Tal como sucede no caso das estruturas reticuladas constituídas por barras
submetidas a tracção ou compressão, o método das cargas unitárias é também
extremamente útil para calcular deslocamentos em vigas ou estruturas com barras
sujeitas a flexão.
• Conforme se viu anteriormente, o método das cargas unitárias baseia-se no
Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.), o qual estipula que 0=+ ie ττ , e a
expressão que o sintetiza é
Flexão Elástica de Peças Lineares
29
0apenasQuando
11
33
33333333
≠
↑
′′′=′′×′⇒
′′′−=′′′−=
′′×′=∫∫ ∫
σ
εσεσεστ
τ
V
V Vijij
i
e
dVqdVdV
q
onde
(i) O sistema “ ′ ” é equilibrado e fictício − constituído por uma carga unitária aplicada no
ponto e com a direcção do deslocamento generalizado que se pretende determinar.
(ii) O sistema “ ″ ” é compatível e real − constituído pelos deslocamentos e deformações
efectivamente existentes na estrutura que se está a analisar.
• No caso de uma estrutura reticulada constituída por k barras submetidas unicamente à
flexão tem-se
31
32
21
001 dx
IE
MMdx
I
dAxIE
M
I
Mqq
nL
KK
KK
AKK
Kn
L
K
K K
K
K
K
∑ ∫∫∑ ∫′′′
=′′′
=≡′′×′43421
• Observações
(i) No caso de as vigas que constituem a estrutura estarem também submetidas a tracção
ou compressão, tem-se.
31
0dx
AE
NN
IE
MMq
K
nKL
∑ ∫
′′′+
′′′=
(ii) No caso de a estrutura ser hiperstática, KM ′ é um conjunto de diagramas flectores
que apenas têm que equilibrar a carga unitária e KM ′′ é o conjunto de diagramas
flectores efectivamente instalados na estrutura sob a acção das cargas aplicadas, cuja
determinação envolve a resolução prévia de um problema hiperstático − e.g., através
do método das forças, a abordar na secção seguinte.
Flexão Elástica de Peças Lineares
30
• Passos do Método
(i) Calcular os diagramas de momentos flectores provocados na estrutura pelas
solicitações exteriores responsáveis pelo deslocamento generalizado que se
pretende calcular − KM ′′ .
(ii) Determinar um conjunto de diagramas de momentos flectores que estejam em
equilíbrio com uma carga unitária aplicada no ponto e com a direcção do
deslocamento generalizado que se pretende calcular − KM ′ .
(iii) Calcular o valor do deslocamento generalizado q através da expressão
31
0dx
IE
MMq
n
KK
KKKL
∑ ∫′′′
=
Obs. Como os diagramas de momentos flectores raramente são uniformes
(são frequentemente lineares, do 2º grau ou do 3º grau), as integrações
podem ser laboriosas. Por esse motivo, existem tabelas que permitem
determinar o valor de 30
dxMMKL
KK∫ ′′′ para diagramas de momentos flectores
com diversas configurações. No âmbito desta disciplina, utiliza-se a tabela
que se apresenta numa das páginas seguintes.
Exemplo Ilustrativo
Calcular o deslocamento vertical do ponto C ( CVδ ).
Figura 8 − Viga simplesmente apoiada.
EI=cte
Flexão Elástica de Peças Lineares
31
o Diagramas M ′′ e M ′
)32()(3
2
)320(3
)(
33
333
LxLxLP
LxxP
xM
≤≤−=
≤≤=′′
P
xMxM
)()( 3
3
′′=′
o Deslocamento
=
−−+
=
−+= ∫ ∫
L
L
LL
L
LV xLx
EI
PdxxL
Pdxx
P
EI3
2
33
3
2
0
333
2
03
2 32
3323
C )(27
4
27)(
9
4
9
1δ
)(729
12
27
4
27
8 3
2
3
2
3
↓=
+=
EI
PLLL
EI
P
Exemplo Ilustrativo
Determinar a rotação da extremidade livre da consola ( Bθ ).
Figura 9 − Viga em consola.
M ′′ M ′
EI=cte
Flexão Elástica de Peças Lineares
33
o Diagramas M ′′ e M ′
o Rotação
( ) ( )EI
pcc
pc
EI
dxEI
θ
62
)(1
3
11
1
32
B
A 30B
=
×
−×−×=
=
= ∫
Exemplo Ilustrativo
Determinar o deslocamento horizontal do ponto C ( CHδ ) do pórtico da figura 10,
considerando apenas a deformabilidade por flexão (i.e., desprezando a deformação
devida ao esforço normal − equivalente a tomar EA= ∞).
Figura 10 − Pórtico isostático.
M ′′ M ′
EI=cte
-pc2 2
-1
Flexão Elástica de Peças Lineares
34
o Diagramas M ′′ e M ′
o Deslocamento
)(8
3
6
1
24
51
23
1
212
51
1
444
22
B
A
C
B 33C
→=
+=
×××+×××=
=
+= ∫ ∫
EI
pLpLpL
EILL
pLLL
pL
EI
dxdxEI
Hδ
3.4 ANÁLISE DE VIGAS HIPERSTÁTICAS: MÉTODO DAS FORÇAS (OU DOS ESFORÇOS)
• Considere-se agora a análise de estruturas hiperstáticas constituídas por barras
submetidas a flexão − estruturas em que as equações de equilíbrio não são suficientes
para determinar as reacções de apoio e os esforços em todas as barras. Exemplos:
Figura 11 − Estruturas hiperstáticas e respectivos graus de hiperstatia (n).
M ′′ M ′
pL2 2 L
pL2 2 L
Flexão Elástica de Peças Lineares
35
• Viu-se já que é possível analisar estruturas hiperstáticas através da determinação
das linhas elásticas das barras que a constituem. No entanto, com excepção de
alguns casos muito simples, essa abordagem envolve um elevado número de
cálculos e tem muito pouca utilidade prática.
• Vamos então considerar o método das forças (ou dos esforços), o qual se baseia
no Princípio da Sobreposição e foi já utilizado para analisar estruturas reticuladas
hiperstáticas constituídas por barras submetidas à tracção ou compressão.
• Seguidamente, descrevem-se os passos envolvidos na aplicação do método das
forças e ilustra-se essa aplicação através da análise de uma viga contínua (2
tramos) submetida a uma carga uniformemente distribuída.
Figura 12 − Aplicação do método das forças: viga contínua de dois tramos.
• Passos do Método
(i) Determinar o grau de hiperstatia da estrutura (n).
(ii) Definir um sistema base, o qual se obtém da estrutura original através da
supressão de n ligações (internas e/ou exteriores). Os esforços (ligações interiores) e/ou
as reacções de apoio (ligações exteriores) associadas às n ligações suprimidas
designam-se por redundantes ou incógnitas hiperstáticas (X1, …, Xn).
Exemplo
Como se trata de uma viga hiperstática de grau 1, o sistema base obtém-se
suprimindo uma ligação. Existem várias hipóteses − e.g.:
EI=cte
Flexão Elástica de Peças Lineares
36
(a)
Incógnita hiperstática:
RC (reacção em C)
(b)
Incógnita hiperstática:
RB (reacção em B)
(c)
Incógnita hiperstática:
MB (momento flector em B) Vai considerar-se a hipótese (c), a qual corresponde a introduzir uma rótula na
secção B da viga − passa a ser permitida a rotação relativa entre as barras AB e BC.
(iii) Submeter o sistema base (estrutura isostática) aos seguintes (n+1) carregamentos:
(iii1) 1 carregamento constituído por todas as solicitações aplicadas à estrutura
original (hiperstática).
(iii2) n carregamentos constituídos por uma única força (ou esforço) aplicada, a qual
tem valor unitário e corresponde a uma incógnita hiperstática (Xi=1, i=1,…, n).
Exemplo
X1=1
(momento flector negativo)
(iv) Calcular, no sistema base e para cada um dos (n+1) carregamentos definidos
no ponto anterior, os n deslocamentos correspondentes às ligações suprimidas.
Representam-se esses deslocamentos por Ui0 (deslocamento correspondente à
ligação suprimida i e provocado pelas solicitações actuantes na estrutura
original) e por fij (deslocamento correspondente à ligação suprimida i e provocado
pela força ou esforço unitário associado à incógnita hiperstática Xj). Tomam-se
rotação relativa
Flexão Elástica de Peças Lineares
37
para sentidos positivos de Ui0 e fij os sentidos arbitrados para as incógnitas
hiperstáticas Xj (i.e., os sentidos das forças ou esforços unitários).
Exemplo (utiliza-se o método das cargas unitárias)
o Cálculo de U10 = θB
0 (rotação relativa em B)
EI
pLL
pL
EI
dxdxEI
122)1(
83
11
1θ
32
B
A
C
B 330B
−=××−××=
=
+= ∫ ∫
o Cálculo de f11= f
EI
LL
EI 3
22)1()1(
3
11f =××−×−××= (coeficiente de flexibilidade)
(v) Aplicar o Princípio da Sobreposição para calcular o valor das incógnitas
hiperstáticas. Observe-se que:
(v1) A estrutura original com o seu carregamento pode ser obtida através da
sobreposição dos (n+1) carregamentos no sistema base − n deles estão
expressos em função das incógnitas hiperstáticos.
(v2) Na estrutura original conhecem-se sempre os valores dos deslocamentos
correspondentes às ligações suprimidas − representam-se por Ui e, na maioria
dos casos, tem-se Ui= 0.
M ′′
M ′
M ′′ = M ′
pL2 8
-1
pL2 8
-1
Flexão Elástica de Peças Lineares
38
Podem então escrever-se as seguintes equações de compatibilidade (a solução
do sistema são os valores das incógnitas hiperstáticas):
=++++
=++++
=++++
nnnnn22n110n
22nn22221102
11nn12211101
UfX...fXfXU
UfX...fXfXU
UfX...fXfXU
M
ou, em forma matricial
{ } [ ]{ } { }
↓
=+ UXFU0
matriz de flexibilidade (simétrica − fij=fji)
Obtêm-se assim os valores de Xi (i=1,…,n).
Exemplo
832
12
f
θMXX0UU
230B
B11
pL
EIL
EIpL==−=−=≡⇒=≡
(vi) Uma vez conhecidos os valores das incógnitas hiperstáticas, pode calcular-se
qualquer efeito na estrutura original de duas formas:
(vi1) Raciocinando directamente na estrutura original (agora estaticamente
determinada).
(vi2) Utilizando o Princípio da Sobreposição no sistema base − (n+1) carregamentos.
Exemplo
Pode calcular-se a reacção em A de duas formas:
(a) Equilíbrio na estrutura original
)(8
3R
82R A
2
A ↑=⇒−=×
−×pLpLLpL
L
Flexão Elástica de Peças Lineares
39
(b) Princípio da Sobreposição
)(8
31
82RXRR
1R
)(2
R02
R
21A
0AA
1A
0A
0A
↑=
−×+=+=∴
↓−=
↑=⇒=×
−×
pL
L
pLpL
L
pLLpLL
)(
Exemplo Ilustrativo
Considere a viga bi-encastrada representada na figura 13. Utilizando como sistema base
a viga simplesmente apoiada, calcule o valor da reacção vertical no apoio A (RA) e a
rotação em C (θ C ).
Figura 13 − Viga bi-encastrada.
o Sistema base e incógnitas hiperstáticas
o Cálculo de U10
≡ θ C0 e U2
0 ≡ θ B
0
EI=cte
M ′′ 1M ′
2M ′
Flexão Elástica de Peças Lineares
40
)(6
)()23(
6362
)(3
1)(
6
1)(
2
11
ou
)(1
θ
)(
2222
2
2
2
2
22
C
A
B
C 330A
LEI
bLPabbaab
LEI
Pab
L
b
L
a
L
ab
EI
Pab
bL
b
L
Paba
L
a
L
Paba
L
b
L
bPa
EI
dxdxEI
bLL
+−=++−=
++−=
=
×−××+×−××+×−××=
=
+×=
+
∫ ∫
44 344 21
Analogamente obtém-se
)(6
)(θ
0B
LEI
aLPab += (notar o sinal positivo)
o Cálculo de fij
EI
LL
EIdx
EI 3)1()1(
3
1MM
1f
B
A 31111 =×−×−×=′×′= ∫
EI
Ldx
EI 3MM
1f
B
A 32222 =′×′= ∫
EI
LL
EIdx
EI 6)1()1(
6
1MM
1ff
B
A 3212112 −=×+×−×=′×′== ∫
o Cálculo das incógnitas hiperstáticas
−=
=
⇒
=+−+
=−++−
⇒==
2
2
2
2
2
1
21
21
BA
X
X
0X3
X6
)(6
0X6
X3
)(6
0θθ
L
bPa
L
Pab
LLaL
L
Pab
LLbL
L
Pab
(sinal contrário ao arbitrado)
-a L
Pab L
Pab L
-b L
-b L
-b L
-1
+
+
Flexão Elástica de Peças Lineares
41
o Cálculo de RA
(a) Raciocinando na estrutura original
)()2()(
RR
3
222
3
3
2
3
2
A2
2
2
2
A
)2(
↑+=++−=
++−=⇒−=−−×
+
aLL
PbLaba
L
Pb
L
Pb
L
Pab
L
bPa
L
bPaPb
L
PabL
aLb
44 344 21
(b) Princípio da Sobreposição
)()2()(
RXRXRR
)(1
R
)(1
R
)(R
3
222
33
2
3
2
2A2
1A1
0AA
2A
1A
0A
↑+=−+=−+=
=++=∴
↑=
↑=
↑=
aLL
PbaabL
L
Pb
L
bPa
L
Pab
L
Pb
L
L
L
Pb
o Cálculo de θ C (método das cargas unitárias)
)2(RMM3
2
2
2
AAC aLL
Pab
L
Paba ++−=×+=
M ′′
M ′
Flexão Elástica de Peças Lineares
42
0)2(2
121
2
1
2)1(
2
1)()1(
2
11
)(1
θ
0
0
3
22
2
22
3
22
2
2
3C
<−=
−=
=
××−×+×−×−×=
=×=
<
∫
43421aL
L
bPa
EIL
a
L
bPa
EI
aL
bPaa
L
Pab
EI
dxEI
a
∴ )()2(2
1θ
3
22
C aLL
bPa
EI−=
−=⇒<
=⇒=
−=⇒>
)()2(2
1θ
2
La
)(0θ2
La
)()2(2
1θ
2
La
3
22
C
C
3
22
C
simetriaporóbvio
aLL
bPa
EI
LaL
bPa
EI
4 VIGAS SUBMETIDAS A FLEXÃO DESVIADA
• Conforme se viu anteriormente, quando o plano de solicitação não é um plano
principal central de inércia (i.e., quando o vector momento não actua segundo um
eixo principal central de inércia), a viga fica submetida a flexão desviada.
• A flexão desviada pode ser encarada como a sobreposição de duas flexões rectas,
cada uma delas associada à componente do vector momento segundo um dos eixos
principais centrais da secção (xI e xII).
IIIIII eeM MM +=
flexão flexão recta flexão recta desviada (em torno de xI) (em torno de xII)
-Pab2 L2 2Pa2b2
L3
-1
+
Flexão Elástica de Peças Lineares
43
Figura 14 − Flexão desviada.
• Sendo α o ângulo que o vector momento faz com xI, tem-se
αcosI MM = αsenII MM =
• Logo, tem-se
−=−=
II
I
I
II
II
III
I
III33
sencos
I
x
I
xM
I
xM
I
xM αασ
Obs. O sinal negativo resulta do facto de um momento MII >0 provocar compressões
nas fibras correspondentes a xI >0.
• A linha neutra da secção corresponde a 033 =σ , i.e.,
ααα
tgI
I
x
x
I
xsen
I
xcos
II
I
I
II
II
I
I
II 0 =⇔=−
• Deste modo, a linha neutra faz com o eixo xI um ângulo β definido por
αβ tgI
I
x
xtg
II
I
I
II ==
plano de solicitação ( ⊥ a M )
plano de flexão (⊥ a LN)
Flexão Elástica de Peças Lineares
44
• A análise desta expressão permite concluir que os planos de solicitação e de flexão
coincidem (i.e., o vector momento tem a direcção da linha neutra) apenas nas
seguintes três situações:
(i) α =0 (flexão recta em torno de xI);
(ii) α =π / 2 (flexão recta em torno de xII);
(iii) I I =I II (todos os eixos centrais são principais de inércia − e.g., secção circular
• As tensões máximas de tracção e compressão ocorrem nos pontos da secção mais
afastados da linha neutra (pontos A e B).
• No caso de secções rectangulares ou que podem ser inscritas num rectângulo (e.g.,
secções em I, em U ou em L), os pontos mais afastados da linha neutra são sempre
vértices do rectângulo.
• Se a secção possuir dupla simetria e se as tensões admissíveis à tracção e compressão
forem iguais, a condição de dimensionamento escreve-se
σσαα
≡≤
+ adm
W
sen
W
cosM
III
onde W I=(I / v)I e W II=(I / v)II são os módulos de flexão da secção em torno dos
eixos xI e xII, respectivamente.
ou quadrada).
Flexão Elástica de Peças Lineares
45
• No que diz respeito às deformações, a Lei de Euler-Bernoulli permite escrever
I
I
II
1
EI
M
R=
II
II
I
1
EI
M
R=
onde RI e RII são os raios de curvatura medidos segundo xI e xII.
• Logo, a curvatura total da configuração deformada do eixo da viga vale
2II
2
2I
22
II
2
I
sencos111
IIE
M
RRR
αα+=
+
=
• Observação
No caso de o vector momento ser referido a eixos centrais arbitrários (i.e., não
principais de inércia), tem-se
22122211
12222112
122211
11212133 x
III
IMIMx
III
IMIM
−
−+
−
−=σ
Esta expressão pode ser útil no caso de os eixos principais centrais de inércia
não serem paralelos ou perpendiculares às paredes da secção − e.g., secções em L ou
em Z. Neste caso, pode ser conveniente exprimir o vector momento e as coordenadas
dos pontos da secção em relação a eixos alinhados com as suas paredes.
Exemplo Ilustrativo
Considere a secção rectangular da figura 15 solicitada por um momento flector M=200Nm,
ao qual corresponde um plano de solicitação que faz um ângulo de 30º, no sentido
retrógrado, com o plano xII−x3 (vertical). Pretende-se calcular a posição da linha neutra e
o diagrama de tensões normais.
Flexão Elástica de Peças Lineares
46
Figura 15 − Secção rectangular submetida a flexão desviada.
o Posição da linha neutra
92.216
81)º30(
16
81
12/
12/
º30
2
3
3
II
I
−=×−=⇒
=
==
−=
tgtg
b
h
hb
bh
I
Iβ
α
∴ º7192.2tg −=⇒−= ββ
o Diagrama de tensões normais
As máximas tensões de tracção e compressão ocorrem nos pontos A e D,
respectivamente, e os seus valores absolutos são iguais. No caso do ponto A
(xI=20mm e xII=45mm), tem-se
L
N
Flexão Elástica de Peças Lineares
47
MPa38.717.421.3
12/9040
20)º30(sen10200
12/9040
45)º30(cos102003
3
3
3A33
=+=
=×
×−××−
××−××
=σ
Exemplo Ilustrativo
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 16, cuja secção transversal é uma
cantoneira metálica de dimensões 150×100×10mm, a qual está submetida ao carregamento
indicado. Pretende-se determinar a distribuição das tensões normais e a orientação da linha neutra
na secção de meio vão.
Figura 16 − Viga simplesmente apoiada.
Vai resolver-se o problema com base nos eixos x1 e x2 (deixa-se como exercício a
sua resolução com base nos eixos principais centrais de inércia xI e xII).
A = 24 cm2
d1 = 2.375 cm
d2 = 4.875 cm
I11 = 557.625 cm4
I22 = 202.625 cm4
I12 = −196.875 cm4
N
L
(C)
(T)
Flexão Elástica de Peças Lineares
48
o Momentos flectores a meio vão
NcmkNmLM5
1 105.15.12
5.4
5.4
5.12)2( ×==×
×=
NcmkNmLM5
2 1075.075.02
5.4
5.4
5.11)2( ×==×
×=
o Distribuição das tensões normais
22122211
12222112
122211
11212133 x
III
IMIMx
III
IMIM
−
−+
−
−=σ
8882122211 107422974229 mmcmIII ×==−
51055112121 1053.7131053.713 NmmNcmIMIM ×−=×−=−
51055122221 1059.4511059.451 NmmNcmIMIM ×=×=−
2133 6084.09613.0 xx +−=σ (x1 e x2 em mm ⇒ σ 33 em MPa)
o Determinação da linha neutra
º58tg58.16084
96130
1
233 =⇒===⇒= θθσ
x
x (ângulo feito pela
o Tensões máximas
σ C
max em A (x1=23.75mm; x2= −48.75mm)
σ T
max em B (x1=13.75mm; x2=101.25mm)
σ C
max= −0.9613×23.75 − 0.6084×48.75= −52.49 MPa
σ T
max= −0.9613×13.75 + 0.6084×101.25= 48.38 MPa
LN com o eixo x1)
Flexão Elástica de Peças Lineares
49
4.1 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS
• No caso da flexão desviada, a equação da elástica (configuração deformada do eixo
da viga) obtém-se através da composição dos resultados de duas flexões rectas
IIIIII eeM MM +=
I
I33,II
EI
Mu −=
II
II33,I
EI
Mu =
II3III3I3 e)x(e)x()x( uuu +=
• Ao calcular um deslocamento através do método das cargas unitárias, é necessário
contabilizar duas parcelas, relativas a cada uma das flexões rectas, i.e., tem-se
31 II
IIII
I
II
01 dx
EI
MM
EI
MMq
K
nKL
∑ ∫
′′′+
′′′=′′×′
x3 xII
x3
xI
Flexão Elástica de Peças Lineares
50
5 BARRAS SUBMETIDAS A FLEXÃO COMPOSTA
• Diz-se que uma barra se encontra submetida a flexão composta quando nela
estiverem instalados momentos flectores (flexão recta ou flexão desviada) e
esforço normal, independentemente de existir(em) ou não esforço(s) transverso(s).
• Observação
No contexto das estruturas metálicas, designa-se por (i) viga-coluna uma barra
submetida a flexão composta com compressão e por (ii) viga traccionada uma
barra submetida a flexão composta com tracção.
• A flexão composta é estaticamente equivalente a um esforço normal “excêntrico”,
i.e., aplicado fora do centro de gravidade da secção transversal.
c
• Designa-se por centro de pressão (CP) de uma secção transversal de uma barra
submetida a flexão composta o ponto do plano que contém essa secção e onde
deve ser aplicado o esforço normal N para que este seja estaticamente equivalente
aos esforços que actuam na secção (N + M1 + M2) − note-se que, dependendo dos
valores relativos de M1, M2 e N, o CP pode ficar situado no interior, no contorno
ou no exterior da secção transversal.
Flexão Elástica de Peças Lineares
51
• As coordenadas que definem o centro de pressão designam-se por componentes de
excentricidade (ou, simplesmente, excentricidades) e são dadas por
N
Me 2
1 −= N
Me 1
2 =
• No caso de M1, M2 e/ou N variarem ao longo do eixo de uma barra (prismática) a
posição do CP não é, no caso geral, a mesma em todas as secções da barra.
• Admitindo que x1≡xI e x2≡xII (i.e., que x1 e x2 são os eixos principais centrais de
inércia da secção transversal), as tensões normais instaladas na barra são dadas por
II
III
I
III33333333
I
xM
I
xM
A
NIII MMN −+=++= σσσσ
• Dependendo dos valores de N, MI e MII, a expressão anterior pode fornecer tensões
normais na secção todas com o mesmo sinal ou com sinais diferentes. Neste último
caso, a secção é intersectada por uma linha neutra definida por
010 I2II
III2
I
II
II
III
I
III33 =
++⇔=−+= x
i
ex
i
e
A
N
I
xM
I
xM
A
Nσ
onde AIi /I2I = e AIi /II
2II = são os quadrados dos raios de giração da secção
transversal em relação aos eixos principais centrais de inércia.
Flexão Elástica de Peças Lineares
52
• Logo, tem-se que a linha neutra é definida pela condição
01 I2II
III2
I
II =++ xi
ex
i
e
a qual corresponde à equação de uma recta que intersecta os eixos xI e xII nos
pontos de coordenadas
I
2II
Ie
ix −=
II
2I
IIe
ix −=
• Note-se que, no caso da flexão composta, a linha neutra deixa de passar no centro
de gravidade da secção G.
• Observe-se que
(i) Quando eI e eII tendem para zero (i.e., MI e MII diminuem), IIx e Ix tendem para
infinito. Como a linha neutra tende para o infinito, não intersecta a secção, o que
significa que as tensões normais têm todas o mesmo sinal.
(ii) Quando eI e eII tendem para infinito, (i.e., N diminui), IIx e Ix tendem para zero e
a linha neutra aproxima-se do centro de gravidade da secção. Quando intersectar a
secção, esta passa a estar submetida a tensões normais de sinal diferente.
Flexão Elástica de Peças Lineares
53
• Pode mostrar-se que quando o CP se desloca ao longo de uma recta AB, a linha
neutra correspondente roda em torno de um certo ponto O.
Exemplo Ilustrativo
Considere a secção do perfil IDIN 26 representada na figura 17, com as características
geométricas e a solicitação (flexão composta) indicadas na figura. Pretende-se determinar a
posição da linha neutra e os valores das tensões normais nos pontos A, B, C e D.
Figura 17 − Secção do perfil IDIN 26.
o Posição da linha neutra
A linha neutra intersecta os eixos xI e xII nos pontos
cme
ix 41.2
18
58.6 2
I
2II
I =−
−=−= cme
ix 14.3
40
2.11 2
II
2I
II =−
−=−=
N= −100kN
eI= −180mm
eII= −400mm
A = 118.4 cm2
iI = 11.2 cm
iII = 6.58 cm
Flexão Elástica de Peças Lineares
54
o Diagrama de tensões normais
=
−−××−
=
++= I2II22
3
I2II
III2
I
II33 8.65
180
112
4001
104.118
101001 xxx
i
ex
i
e
A
Nσ
( )III 0416.00319.01446.8 xx −−−= (x1 e x2 em mm ⇒ σ 33 em MPa)
A33σ (x1=130mm; x2= −130mm) = 2.2 MPa
B33σ (x1= −130mm; x2= −130mm) = −89.1 MPa
C33σ (x1=130mm; x2=130mm) = 72.2 MPa
D33σ (x1= −130mm; x2=130mm) = −19.1 MPa
5.1 NÚCLEO CENTRAL
• No caso de se trabalhar com barras constituídas por materiais que exibem uma
fraca resistência a um tipo de tensão normal (e.g., o betão ou os solos à tracção), é
importante conhecer quais os valores das excentricidades que asseguram a não
ocorrência desse tipo de tensão (i.e., que asseguram que só existem compressões
numa secção de betão).
(C)
(T)
Flexão Elástica de Peças Lineares
55
• Pretende-se assim determinar os limites dentro dos quais se pode deslocar o centro
de pressão sem que a linha neutra intersecte a secção.
• O núcleo central de uma secção é o lugar geométrico (no plano da secção) dos
centros de pressão a que correspondem linhas neutras que não intersectam a secção.
Aos centros de pressão situados no interior do núcleo central correspondem linhas
neutras exteriores à secção. Aos centros de pressão situados no contorno do núcleo
central correspondem linhas neutras tangentes à secção (i.e., apenas contém
pontos pertencentes ao contorno da secção).
• As linhas neutras tangentes à secção “rodam” sempre em torno de uma figura
convexa (na qual a secção se encontra “inscrita”). Por esse motivo, o núcleo
central é sempre uma figura convexa e simplesmente conexa (i.e., sem buracos no
seu interior). Por outras palavras, qualquer segmento de recta que une dois pontos
do núcleo central é integralmente constituído por pontos desse mesmo núcleo central.
• Quando uma secção se encontra inscrita num polígono com n lados, o núcleo
central é um polígono convexo também com n lados. Por exemplo, o núcleo central
de uma secção triangular é um triângulo e o núcleo central de uma secção em I é
um polígono com 4 lados (banzos iguais) ou 6 lados (banzos desiguais).
• A cada vértice do núcleo central corresponde uma linha neutra que contém um
lado do polígono onde a secção se encontra inscrita.
NC:
Flexão Elástica de Peças Lineares
56
• A cada lado do núcleo central correspondem linhas neutras que passam num
mesmo vértice do polígono onde a secção se encontra inscrita.
• A determinação do núcleo central de uma secção transversal baseia-se nas
propriedades (características) que acabam de ser descritas. Apresentam-se em
seguida alguns exemplos ilustrativos.
Exemplo Ilustrativo
Determinar o núcleo central de uma secção circular de raio R.
Por simetria, pode concluir-se que o núcleo central é um círculo concêntrico com a
secção. O seu raio obtém-se através da expressão
4
4/
44
2222
2
4
R
R
R
x
ie
Ri
RA
RI
=−
−=
−=⇒=⇒
=
=
π
π
Exemplo Ilustrativo
Determinar o núcleo central de uma secção rectangular de altura h e largura b.
Como os contornos da secção (polígono onde esta se encontra inscrita) correspondem a
lados do núcleo, este é um losango − simétrico em relação aos eixos de simetria da secção.
Flexão Elástica de Peças Lineares
57
o Determinação dos vértices do núcleo central que correspondem às linhas neutras
que contêm
(i) o lado AB (CP1)
)CP(
6
0
2;
12
12/
1
II
2I
II
I
III
232I
=−
=
=
⇒
−=∞=
==h
x
ie
e
hxx
h
bh
bhi
(ii) o lado AC (CP2)
)CP(
06
;2
122
II
I
2II
I
III
22II
=
−=−
=⇒
∞==
=
e
b
x
ie
xb
x
bi
Quando o centro de pressão se desloca entre CP1 e CP2, a linha neutra roda em torno do
ponto A no sentido directo (anti-horário), passando da direcção de AB para a direcção
de AC e mantendo-se sempre tangente à secção no ponto A.
Flexão Elástica de Peças Lineares
58
Exemplo Ilustrativo
Determinar o núcleo central de uma secção em I (banzos iguais) de altura h e largura b.
O núcleo central é qualitativamente idêntico ao de uma secção rectangular de altura h e
largura b. A única diferença está nos valores de 2Ii e 2
IIi . Assim, tem-se
−−
=
=
2/
0
)CP( 2I
II
I
1
h
ie
e
=
−=
0
2/)CP(
II
2II
I2
e
b
ie
Exemplo Ilustrativo
Determinar o núcleo central da cantoneira de abas desiguais representada na figura 18,
com dimensões 150×100×10 mm.
Figura 18 − Cantoneira de abas desiguais.
A = 24 cm2
I11 = 557.625 cm4
I22 = 202.625 cm4
I12 = −196.875 cm4
Flexão Elástica de Peças Lineares
59
o Centro de pressão de linhas neutras que intersectam eixos arbitrários
É conveniente utilizar expressões relativas a eixos centrais de inércia arbitrários.
−+
+−
++=
=−
−+
−−
+=
22122211
12122212
122211
111122
22122211
12222112
122211
11212133
1 xIII
IeIex
III
IeIeA
A
N
xIII
IMIMx
III
IMIM
A
Nσ
A linha neutra é definida pela equação
01 22122211
12122212
122211
111122 =
−+
+−
++ x
III
IeIex
III
IeIeA
e intersecta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas 1x e 2x , quando o centro
de pressões está localizado no ponto cujas coordenadas são a solução do sistema
⇔
=−
++⇒=
=−
++⇒=
010
010
12122211
1111222
22122211
1212221
xIII
IeIeAx
xIII
IeIeAx
−−=+
−−=+
⇔
A
IIIexIexI
A
IIIexIexI
2122211
21121111
2122211
22221212
Multiplicando a primeira equação por 111 xI e a segunda por 212 xI , e efectuando a
subtracção entre elas, obtém-se
( ) ( )2
11
1
122
2122211
122212221
2122211
xA
I
xA
IeIII
A
xIxIexxIII −=⇒−
−=−
Analogamente, chega-se a
1
22
2
121
xA
I
xA
Ie −=
Flexão Elástica de Peças Lineares
60
o Núcleo central
cmecmecmxx 29.2;81.0125.10;:LN 21211 ==⇒−=∞=
cmecmecmxx
xxm
31.1;62.0986.7;134.5
986.79
14
9
14
375.1625.7
125.10875.3:LN
2121
122
=−=⇒−==⇒
⇒−=⇒=++
=
cmecmexcmx 08.1;11.1;625.7:LN 21213 −=−=⇒∞==
cmecmecmxx 77.4;68.1875.4;:LN 21214 −=−=⇒=∞=
cmecmexcmx 45.3;55.3;375.2:LN 21215 ==⇒∞=−=
Flexão Elástica de Peças Lineares
61
Obs. O núcleo central é “ligeiramente convexo” no ponto CP3 − i.e., este ponto está
ligeiramente “para fora” do segmento que une os pontos CP2 e CP4.
Exemplo Ilustrativo
Determinar qualitativamente o núcleo central de uma secção em I com banzos desiguais.
Flexão Elástica de Peças Lineares
62
• Observações
(i) O núcleo central é simétrico em relação a xII;
(ii) | ( e II ) CP1 | > | ( e II ) CP4
|;
(iii) | ( e II ) CP3= ( e II ) CP5
| < | ( e II ) CP4 |, pois as LN3 e LN5 intersectam o eixo xII
(iv) | ( e I ) CP3= ( e I ) CP5
| > | ( e I ) CP2 | = | ( e II ) CP6
|, pois as LN3 e LN5 intersectam o
(v) O núcleo central é convexo em CP2 e CP6.
5.2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS
• Ao calcular um deslocamento através do método das cargas unitárias, é necessário
contabilizar as parcelas relativas à flexão (recta ou desviada) e ao esforço normal.
No caso mais geral, tem-se
31 II
IIII
I
II
01 dx
EI
MM
EI
MM
EA
NNq
K
nKL
∑ ∫
′′′+
′′′+
′′′=′′×′
6 EFEITOS TÉRMICOS
• Conforme se viu no capítulo relativo à tracção e compressão, uma variação de
temperatura uniforme provoca numa barra uma variação de comprimento igual a
∆L=α ∆T L, onde α é o coeficiente de dilatação térmica do material.
• Se a barra estiver impedida de variar de comprimento (i.e., se não estiver termicamente
livre), surgem tensões (auto-equilibradas) − as tensões térmicas.
abaixo da secção;
eixo xI “mais perto” de G que as LN2 e LN6;
Flexão Elástica de Peças Lineares
63
• Vamos agora considerar uma variação de temperatura uniforme na direcção longitudinal,
mas que varia linearmente na direcção transversal. Por uma questão de simplicidade
(mas sem perda de generalidade), admite-se que esta direcção corresponde ao eixo
principal central de inércia xII.
• A título de exemplo, considere-se uma viga simplesmente apoiada de altura h e cujas
faces superior e inferior sofrem variações de temperatura ∆T1 e ∆T2, respectivamente.
Então, as extensões longitudinais das várias fibras de cada secção têm precisamente o
mesmo andamento.
• Um diagrama de extensões lineares com estas características (variação linear) pode ser
sempre decomposto em duas parcelas, (i) uma semelhante à provocada por uma
tracção ou compressão (diagrama uniforme ao longo de xII) e (ii) outra semelhante à
provocada por uma flexão em torno do eixo xI (diagrama linear com valor nulo ao
nível do centro de gravidade G da secção − origem do eixo xII). Fazendo o mesmo à
distribuição das variações de temperatura, tem-se
• Se ∆TG ≠ 0, a primeira parcela (diagrama de extensões uniforme) provoca uma variação de
comprimento da barra (alongamento ou encurtamento), cuja determinação foi já estudada
no capítulo relativo à tracção e compressão.
∆T2
∆T1 ε33= α ∆T1
ε33= α ∆T2
⇒
∆T1 ∆T1 − ∆TG
∆T2 − ∆TG ∆T2 ∆TG
∆TG G
xII
Flexão Elástica de Peças Lineares
64
• Por outro lado, a segunda parcela (diagrama de extensões linear que passa por G), a qual é
devida à diferença entre as variações de temperatura ∆T1 (face superior) e ∆T2 (face
inferior), provoca a flexão da barra. Vamos aqui abordar a quantificação deste fenómeno.
• Como as extensões longitudinais variam linearmente com xII e as fibras situadas ao nível
do centro de gravidade da secção têm ε 33 = 0 (comprimento inalterado), tem-se
II12
33 xh
TT ∆−∆= αε
onde se faz notar que, sendo T1 e T2 as temperaturas finais nas faces superior e inferior, se tem
221212 TTTT −
=∆−∆
(∆T2 = T2 − T0; ∆T1 = T1 − T0, onde T0 é a temperatura inicial)
• Tomando em consideração a relação anterior e o facto de na flexão se ter ε 33 = xII /R,
pode concluir-se que a variação de temperatura (diferencial) provoca uma curvatura de
flexão cujo valor é dado por
h
TT
R
121 −= α (recorde-se que a curvatura é sempre uma grandeza positiva)
• Tem-se, então, que a equação da linha elástica é dada por
h
TT
h
TTu ,
211233II
−=
−−= αα
T2 > T1 ⇒ uII,33 < 0
T1 > T2 ⇒ uII,33 > 0
• Observações
(i) Se a barra não for termicamente livre (i.e., isostática), a variação de temperatura
diferencial provoca o aparecimento de tensões (auto-equilibradas).
(ii) Se a parcela uniforme da distribuição das variações de temperatura não tivesse o
valor ∆TG (i.e., não correspondesse à variação de temperatura ao nível do centro
de gravidade da secção), a parcela linear causaria uma deformação semelhante à
provocada por uma flexão composta (N + MI).
x3 xII
Flexão Elástica de Peças Lineares
65
(iii) Se a barra estiver submetida, simultaneamente, a cargas aplicadas e variações de
temperatura, tem-se
h
TT
EI
Mu ,
2133II
−+−= α
Exemplo Ilustrativo
Determinar a flecha e a rotação na extremidade livre da consola representada na figura 19
(comprimento L e rigidez EII), quando sujeita a uma variação de temperatura linear em
que as faces superior e inferior são aquecidas e arrefecidas de ∆T.
Figura 19 − Consola submetida a variação de temperatura linear.
o Método das cargas unitárias
3III
x1 0 dxdAI
MdVq
AV
L∫∫∫ ′′
′=′′′=′′×′ εεσ
( )∫
∆−′=′′×′⇒
∆−=′′ L
dxh
TMq
h
T''
0 3II 21x2
ααε ( I2IIx IdA
A=∫ )
onde x2≡xII é a coordenada segundo o eixo principal central de inércia ao longo do
qual varia a temperatura.
Flexão Elástica de Peças Lineares
66
o Rotação θB
1−=′θ
M
Lh
Tdx
h
TL ∆=
∆= ∫
αα 22θ 0 3B
o Deslocamento δB
)1( 3xLMδ
−−=′
h
TL
h
TL
h
TL
dxxLh
TL
h
TdxxL
h
T LL
222
3333B
2
22)1(
200
∆=
∆−
∆=
=
∆−
∆=−
∆= ∫∫
ααα
αααδ
Exemplo Ilustrativo
Considere agora que, no exemplo anterior, a barra é bi-encastrada. Determine o diagrama de
momentos flectores instalados na viga.
Figura 20 − Viga bi-encastrada submetida a variação de temperatura linear.
θM ′
δM ′
Flexão Elástica de Peças Lineares
67
Vai resolver-se o problema utilizando o método das forças. Adopta-se para sistema
base a consola com a extremidade livre em B, o que permite utilizar os resultados
obtidos no exemplo anterior.
o Cálculo de U10
≡ θ B0 e U2
0 ≡ δ B
0 Sabe-se já que
Lh
T∆=
α2θ
0B
h
TL2
0B
∆=
αδ
o Cálculo de fij
I
L
0 3I
11
1f
EI
Ldx
EI== ∫
I
3L
0 3I
22 3
1f
EI
Ldx
EI== ∫
I
2L
0 3I
2112 2
1ff
EI
Ldx
EI=== ∫
o Cálculo das incógnitas hiperstáticas
=
∆−=
⇒
=++∆
=++∆
0X
2X
0X3
X2
0X2
X2
2
I1
2I
3
1I
22
2I
2
1I h
EIT
EI
L
EI
LL
h
T
EI
L
EI
LL
h
T α
α
α
o Diagrama de momentos
M
-1 -1
-L
-L
-L
-1
Flexão Elástica de Peças Lineares
68
• Observações
(i) A utilização da simetria da barra permite afirmar, a priori, que RB=0. Neste caso,
seria apenas necessário considerar a equação de compatibilidade relativa à rotação
em B.
(ii) Note-se que uII(x3) ≡ u2(x3) ≡ 0. Na verdade, tem-se
02
I33,2 =
∆+−=
h
T
EI
Mu α
13,2 Cu =
2312 CxCu +=
0)0(2 =u ⇒ 02 =C
0)0(3,2 =u ⇒ 01 =C ⇒ u2(x3) ≡ 0