1

Dirk Sarens

elektriciteit voor 5TSO

versie 1.0

45 e

2

© 2011 Dirk Sarens

Versie 1.0

Schooljaar 2011-2012

Gemaakt voor het leerplan D/2009/7841/036

Dit boek kan worden gekocht via de website www.unibook.com

Had je graag een aangepaste versie van dit boek (een extra hoofdstuk of liever een

hoofdstuk minder) of een CD met alle figuren uit dit boek, dan kan je dit aanvragen door

een mailtje te sturen naar dirksarens@skynet.be

http://www.unibook.com/mailto:dirksarens@skynet.be

Inhoud

3

0 Woord vooraf

1 Wisselspanning Soorten spanningen 6

Waarden van een sinusoïdale wisselspanning 7

2 Vectoriële voorstelling Vectoriële voorstelling van een sinusoïdale wisselgrootheid 13 Vectoriële voorstelling van meerdere sinusoïdale wisselgrootheden 14

3 Complex rekenen De operator j 19

Vormen van complexe getallen 20

Bewerkingen met complexe getallen 22

4 Enkelvoudige wisselstroomketens Ohmse weerstand aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 25

Ideale spoel aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 27

Ideale condensator aangesloten op een sinusoïdale wisselspanning 28

Samenvatting 30

5 RLC serieketens Serieschakeling van gelijkaardige elementen 33

Ideale spoel en weerstand in serie (RL) 35

Werkelijke spoel en weerstand in serie 38

Twee of meer praktische spoelen in serie 38

Ideale condensator en weerstand in serie (RC) 40

Ideale spoel en ideale condensator in serie (LC) 43

Weerstand, spoel en condensator in serie (RLC) 46

6 RLC parallelketens Parallelschakeling van gelijkaardige elementen 53

Ideale spoel en weerstand parallel (RL) 56

Ideale condensator en weerstand parallel (RC) 59

Ideale spoel en ideale condensator parallel (LC) 63

Weerstand, spoel en condensator parallel (RLC) 65

e45 Inhoud

Inhoud

4

7 RLC gemengde ketens Voorbeeld 1: (R+L)//C 72

Voorbeeld 2: (R+L)//(R+C) 73

Uitgewerkt voorbeeld 74

8 Eerste orde filters Decibel (dB) 80

RC-laagdoorlaatfilter 80

LR-laagdoorlaatfilter 83

CR-hoogdoorlaatfilter 84

RL-hoogdoorlaatfilter 86

Banddoorlaatfilter 87

9 Eénfasig wisselstroomvermogen Herhaling 91 Begrippen 92

Berekenen van het vermogen 93

Vermogendriehoek 97

Arbeidsfactor 97

10 Driefasenspanning Driefasenspanning 104

Driefasenstroom 105

Hoofdeigenschap van een driefasennet 107

De sterschakeling 108

De driehoeksschakeling 113

Schakelen van driefasenverbruikers 118

Vermogen en arbeidsfactor in driefasennetten 120

Arbeidsfactor van een driefasenet 123

11 Complexe netwerken Herhaling 127

De wetten van Kirchhoff 130

Het theorema van Thévenin 134

De superpositiemethode 138

Het theorema van Norton 141

Ster-driehoektransformatie 146

e45 Bijlage Afleiding formule effectieve waarde van een sinusvormige spanning 147

Afleiding formule gemiddeld vermogen 149

Afleiding formule gemiddelde waarde van een sinusvormige spanning 149

Afleiding formules inductieve reactantie 150

Afleiding formules capacitieve reactantie 152

Woord vooraf

5

Over de inhoud

In dit boek vinden we de basis van de wisselstroomtheorie.

We beginnen met een herhaling van de belangrijkste waarden van een sinusvormige

wisselspanning en de vectoriële en complexe voorstelling daarvan.

Daarna worden alle mogelijke combinaties van R, L en C aangesloten op deze

wisselspanning en wordt het gedrag ervan bestudeerd.

Verder wordt de reeds gekende maar onvolmaakte formule P=U.I op punt gezet, om

daarna alles nog eens keer moeilijker te maken bij de driefasenspanning.

We eindigen in alle eenvoud met het oplossen van complexe netwerken.

Over de opbouw

Alhoewel de Homo sapiens een prachtig schepsel is, durft hij in zijn rol van leerling wel

eens afwijkend gedrag te vertonen. Dit boek is daarom een beetje aangepast aan zoveel

mogelijk subcategorieën van de Homo leerlingus.

De Homo dromerus blijft fysisch meestal op zijn plaats zitten. Zijn gedachten vertonen

echter vaak de neiging om een wandelingetje te maken. Daarom wordt er in de tekst op

heel wat plaatsen gevraagd om iets aan te vullen of om een korte oefening te maken. Dit

kan ook ten goede komen aan de Homo prutserus of de Homo adeadeus.

De Homo graffiticus kleurt graag in zijn boek. Daarom werd er bewust gekozen om in

de tekst heel weinig te ‘highlighten’, dus geen B, I of U. Op die manier blijft deze soort

actief en wordt ze uitgedaagd om uit de lessen de hoodzaken te distilleren.

De Homo slordigus vindt vaak zijn nota’s niet terug. Daarom worden aan het einde van

een hoofdstuk een vijftal basisoefeningen in het boek zelf gemaakt. Voor huistaken en/of

differentiatie werden er telkens nog een vijftal extra oefeningen aan toegevoegd. Ook de

Homo nerdus kan zijn lusten botvieren op deze extra oefeningen, maar hij heeft ook

een hele kluif aan de bijlage waarin alle gebruikte formules wiskundig worden bewezen.

Speciaal voor de Homo dyslexus werd Verdana in- en uitvullen uitgeschakeld.

Met de Homo genintressus werd geen rekening gehouden. Aan deze soort wordt

aangeraden om eens uit te kijken naar een andere richting.

0 Woord vooraf

Wisselspanning

6

Soorten spanningen

Gelijkspanning

Een gelijkspanning is een spanning die

niet verandert van polariteit. Dit betekent

dat de pluspool en de minpool altijd op

dezelfde plaats blijven. Op de (U-t)-

grafiek ligt U dus altijd boven of altijd

onder de t-as. Bv.:

Constante gelijkspanning: een

gelijkspanning waarvan de waarde niet

verandert in de tijd. Bv.:

Periodieke gelijkspanning: een gelijkspanning waarvan de waarde verandert volgens een

bepaald patroon dat zich steeds herhaalt. Bv.:

U

t

U

t

U

t

U

t

U

t

1 Wisselspanning

Onze huishoudelijke spanning van 230V is ongetwijfeld de meest

gebruikte spanning. Deze spanning is een sinusvormig signaal dat

ook op die manier wordt opgewekt in de alternator van een

elektriciteitscentrale. Aangezien in dit boek bijna alleen maar

sinusvormige signalen aan bod komen, is het heel belangrijk dat

we deze sinus en zijn bijhorende waarden goed begrijpen.

In dit hoofdstuk worden alleen maar spanningen besproken, maar

alles is evengoed van toepassing op stromen.

Wisselspanning

7

Wisselspanning

Een wisselspanning is een spanning die in de tijd

verandert van polariteit. Bv.:

Zuivere wisselspanning: een wisselspanning

waarvan de waarde verandert volgens een bepaald

patroon dat zich steeds herhaalt en waarvan de

gemiddelde waarde (zie verder) nul is. Bv.:

Sinusoïdale wisselspanning: een zuivere

wisselspanning waarvan de waarde verandert

volgens een sinusfunctie.

Opmerking:

gelijkspanning en wisselspanning kunnen worden

samengevoegd. In dat geval spreekt men van een

gesuperponeerde spanning. Dit is een wissel-

spanning die een gelijkstroomcomponent heeft.

Bv.:

Waarden van een sinusoïdale wisselspanning

Periode

De periode van een periodieke spanning is de tijd

die nodig is om alle verschillende waarden van die

spanning éénmaal te doorlopen.

Symbool: T

Eenheid: seconde (s)

Frequentie

De frequentie van een wisselstroom is het aantal perioden per seconde.

Symbool: f

Eenheid: hertz (Hz)

U

t

U

t

U

t

U

t

DC

U

t

T

Wisselspanning

8

Verband tussen frequentie en periode:

In Europa is de frequentie van het wisselspanningsnet Hz en in Amerika gebruikt

men Hz.

Bereken in beide gevallen de periodeduur.

Europa: Amerika:

Cirkelfrequentie

Een sinusoïdale wisselspanning kan worden opgewekt door een winding in een tweepolig

magnetisch veld te laten ronddraaien.

De cirkelfrequentie is dan de hoeksnelheid van de winding.

Andere benamingen zijn pulsatie of hoeksnelheid.

Symbool: ω

Eenheid: rad/s (radialen per seconde)

Verband tussen frequentie en cirkelfrequentie:

Amplitude

De amplitude is de grootste waarde die een wisselspanning bereikt.

Symbool: Um

Andere benamingen: maximumwaarde, amplitudo, topwaarde

Hoeveel keer per periode bereikt de wisselspanning zijn amplitude?

Als Upp (piek-tot-piekwaarde) de som is van de absolute waarden van de positieve en de

negatieve amplitude, stel dan de formule op die het verband aangeeft tussen Upp en Um.

Ogenblikkelijke waarde

De ogenblikkelijke waarde van een wisselspanning is de waarde op een bepaald ogenblik.

Symbool: u

Verband tussen u en Um: of (want )

1 rad

a

b

boog ab = r

r

Wisselspanning

9

Effectieve waarde

De effectieve waarde van een wisselspanning is gelijk aan de waarde van een constante

gelijkspanning, die in een gelijke weerstand en gedurende eenzelfde tijd, eenzelfde joule-

effect ontwikkelt als de beschouwde wisselspanning.

Symbool: U of URMS

Opmerking: wanneer men de waarde van een wisselspanning aangeeft, dan wordt steeds

de effectieve waarde bedoeld. Dit is ook de waarde die normaal door de meettoestellen

wordt weergegeven.

Men kan wiskundig aantonen (zie bijlage) dat

Bereken Upp voor de spanningen van 230V en 400V.

Gemiddelde waarde

De gemiddelde waarde van een wisselstroom is de waarde van een constante

gelijkstroom, die in eenzelfde tijd, eenzelfde hoeveelheid lading verplaatst als de

beschouwde wisselstroom. Bij deze gemiddelde stroomwaarde hoort dan een gemiddelde

spanning.

Symbool:

Opmerking: in een U-t grafiek is de oppervlakte onder de curve (tussen 2 tijdstippen)

een maat voor de hoeveelheid verplaatste lading.

Bij een zuivere wisselspanning (bv. een sinusoïdale wisselspanning) is de oppervlakte

boven en onder de curve gelijk. De ladingsverplaatsing in de ene zin is even groot als in

de andere zin. De gemiddelde waarde van een sinusoïdale spanning is dus nul.

Men kan wiskundig aantonen (zie bijlage) dat

bij dubbelzijdige gelijkrichting

bij enkelzijdige gelijkrichting

U

tU

t

Wisselspanning

10

Oefeningen

1) De pulsatie van een wisselspanning is 314,16 rad/s. Bereken de periode.

Gegeven:

Gevraagd:

Oplossing:

2) Een sinusoïdale wisselstroom heeft een frequentie 50 Hz. 1/300s na de nuldoorgang

is de momentele waarde 5 A. Bereken de amplitude.

Gegeven: (tekening)

Gevraagd:

Oplossing:

3) Gegeven: u = 141,4.sin(754t)

Gevraagd: Bereken de amplitude, pulsatie, frequentie, effectieve waarde en periode

van deze wisselspanning. Teken het verloop van deze spanning in de tijd

en duid alle berekende waarden aan op de tekening (indien mogelijk)

Oplossing:

Wisselspanning

11

4) Met een gelijkspanningsvoltmeter meten we een enkelzijdig gelijkgerichte spanning.

De voltmeter geeft een waarde aan van 63,6V. Wat is de maximumwaarde van deze

spanning?

Gegeven: (tekening van de golfvorm)

Gevraagd:

Oplossing:

Wisselspanning

12

5) Bereken de tijd tussen de nuldoorgang en het bereiken van de amplitude bij een

sinusvormige spanning met een frequentie van 1kHz.

Gegeven: (tekening)

Gevraagd:

Oplossing:

Extra oefeningen

6) Toon aan dat de volgende formule juist is:

7) Hoe groot is de hoeksnelheid als in 0,18s twee perioden doorlopen worden?

8) Een wisselstroom heeft een cirkelfrequentie van 377 rad/s. Bereken de frequentie en

de periode.

9) Teken in eenzelfde assenstelsel twee wisselstromen

a. met kleine amplitude en grote frequentie.

b. met tweemaal grotere amplitude en viermaal kleinere frequentie.

10) Na een tijd van 1/8 periode is de momentele waarde van een spanning 230V.

Bereken de effectieve waarde van de sinusvormige wisselspanning.

Vectoriële voorstelling

13

Vectoriële voorstelling van een sinusoïdale wisselgrootheid

Een sinusvormige wisselgrootheid kan worden voorgesteld door een vector als :

de grootte van de vector op schaal de amplitude voorstelt.

de vector in tegenuurwijzerzin draait met een hoeksnelheid w =2.p.f

Eén volledige omwenteling van de vector stemt dan overeen met één periode T van de

wisselstroomgrootheid.

De oorsprong wordt genomen in stand 0. De richting van de vector in deze stand is de

horizontale en de zin is naar rechts.

Terwijl de vector ronddraait, maakt hij voortdurend een hoek met de oorsprong. Deze

hoek noemt men de fasehoek a die positief is als de vector zich bevindt boven de

horizontale en negatief als de vector zich bevindt onder de horizontale.

u

t0 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2 Vectoriële voorstelling

Het tekenen van een sinusvormig signaal is voor de doorsnee mens

niet zo eenvoudig. Ook het aflezen van waarden op een sinusoïde

blijkt vaak onnauwkeurig.

Het kan echter veel gemakkelijker. We zullen zien dat, met een

beetje verbeelding, een sinusvormige spanning perfect kan

weergegeven worden door een vector. En zo’n vector is meteen

heel wat eenvoudiger te tekenen.

Vooral bij het voorstellen van meerdere elektrische spanningen

en/of stromen zoals bv. bij een driefasenspanning (zie verder),

wordt het nut van de vectoriële voorstelling pas echt duidelijk.

Vectoriële voorstelling

14

Bepalen van de amplitude

De lengte van de vector stelt de amplitude voor. De

wisselgrootheid bereikt deze amplitude of maximumwaarde

als de fasehoek 90° of –90° is.

Bepalen van de ogenblikkelijke waarde

De ogenblikkelijke waarde is de loodrechte afstand van de pijlpunt tot de oorsprong.

Dit komt overeen met de wiskundige uitdrukking :

Bepalen van de effectieve waarde

De effectieve waarde kan afgeleid worden uit de amplitude

Aangezien 0,707

overeenstemt met sin 45° vindt men de

effectieve waarde dus ook als de fasehoek 45° is.

Vectoriële voorstelling van meerdere sinusoïdale wisselgrootheden

Twee of meer wisselgrootheden met dezelfde frequentie kunnen voorgesteld worden door

evenveel vectoren die hetzelfde aangrijpingspunt hebben en die draaien met dezelfde

hoeksnelheid. Hierdoor blijft de hoek tussen de vectoren onderling op elk ogenblik

hetzelfde.

Meestal wordt één van de vectoren in de oorsprong getekend.

Opmerking: Het heeft geen zin om in één assenstelsel vectoren voor te stellen die niet

dezelfde frequentie hebben.

In fase

Twee wisselgrootheden zijn in fase, als ze dezelfde frequentie hebben en op dezelfde

ogenblikken de nulwaarde en hun gelijknamige amplitudes doorlopen.

Dit wordt voorgesteld

door twee vectoren met

dezelfde richting en zin.

Wiskundig :

Um

u

a

UmU

a=45°

u

Um Im

i

i

u

t

Vectoriële voorstelling

15

Faseveschil of faseverschuiving

Tussen twee wisselgrootheden met dezelfde frequentie bestaat er een faseverschil, als ze

niet gelijktijdig hun gelijknamige topwaarden doorlopen.

Het faseverschil is het kleinst mogelijke interval (tijdsinterval of hoek) tussen de

overeenkomstige waarden van twee wisselgrootheden met dezelfde frequentie.

De faseverschuivingshoek is de kleinste hoek tussen de twee vectoren en wordt

voorgesteld door de griekse letter f.

Wiskundig :

Voorijlen en naijlen

Een wisselgrootheid ijlt voor op een andere wisselgrootheid als hij zijn amplitude vroeger

bereikt, of als hij eerder door nul gaat dan de andere. Aangezien voorijlen en naijlen een

relatief begrip is bij ronddraaiende vectoren, plaatst men het best één van de twee

vectoren in de oorsprong als vergelijkingsgrootheid.

In de bovenstaande figuur ijlt de spanning voor op de stroom of ijlt de stroom na op de

spanning.

Tegenfase

Twee wisselgrootheden zijn in tegenfase als er tussen beiden een faseverschil bestaat

van 180°. Dit wordt voorgesteld door twee vectoren met dezelfde richting maar een

tegengestelde zin.

Wiskundig :

u

UmIm

i

i

u

t

f

u

Um Im

i

i

u

t