DIPLOMSKO DELO · Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-matiko,...
Transcript of DIPLOMSKO DELO · Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-matiko,...
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in racunalnistvo
DIPLOMSKO DELO
Sabina Skornsek
Maribor, 2012
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za matematiko in racunalnistvo
Diplomsko delo
ODPRTE PRESLIKAVE
UVERIZLJIVIH
KONTINUUMOV
Mentor: Kandidatka:
doc. dr. Iztok Banic Sabina Skornsek
Maribor, 2012
ZAHVALA
Nicesar ne pricakujem, zato sem vedno neskoncno
hvalezen za preproste stvari.
(Ralph W. Emerson)
Zahvaljujem se mentorju, doc. dr. Iztoku Banicu za pomoc, strokovno vodenje in
spodbudo pri izdelavi moje diplomske naloge.
Iskrena hvala tudi starsem in bratu, ki so mi v tem lepem in pomembnem obdobju
zivljenja stali ob strani, me vzpodbujali in mi kakorkoli pomagali.
Hvala vsem.
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
IZJAVA
Podpisana Sabina Skornsek, rojena 02. decembra 1987, studentka Fakultete za nar-
avoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, studijskega programa matematika,
izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom
ODPRTE PRESLIKAVE UVERIZLJIVIH KONTINUUMOV
pri mentorju doc. dr. Iztoku Banicu avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni
viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.
Maribor, 25. september 2012
Sabina Skornsek
Odprte preslikave uverizljivih kontinuumovprogram diplomskega dela
Uverizljivi kontinuumi predstavljajo pomemben razred kontinuumov, saj predstavl-
jajo natanko kontinuume, ki jih lahko predstavimo kot inverzne limite inverznih za-
poredij zaprtih enotskih intervalov in zveznih veznih preslikav. V diplomskem delu
naj bodo predstavljene osnovne lastnosti uverizljivih kontinuumov. Natancneje naj
bodo opisane odprte preslikave na njih [1].
Opisani rezultati naj bodo ilustrirani tudi s primeri.
Osnovni viri:
[1] I. Rosenholtz, Open maps of chainable continua, Proceedings of the American
Mathematical Society 42 (1974), 258 - 264.
doc. dr. Iztok Banic
SKORNSEK, S.: Odprte preslikave uverizljivih kontinuumov.
Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-
matiko, Oddelek za matematiko in racunalnsitvo, 2012.
IZVLECEK
V diplomskem delu bomo v uvodnem poglavju skupaj s primeri predstavili osnovne pojme
v topologiji, povezane in kompaktne prostore.
V drugem poglavju bomo definirali kontinuume in si pogledali nekaj osnovnih primerov.
Del poglavja je namenjen uverizljivim kontinuumom, kjer bomo definirali nekaj lastnosti
le-teh.
V tretjem poglavju se bomo seznanili z odprtimi preslikavami v povezavi z uverizljivimi
kontinuumi. Dokazali bomo pomemben izrek, ki pravi, da je slika vsakega uverizljivega
kontinuuma z odprto preslikavo spet uverizljiv kontinuum.
Zanimiva teorija se razvije v cetrtem poglavju v povezavi z lokalnimi homeomorfizmi.
Dokazali bomo, da ce je preslikava iz uverizljivega kontinuuma na nek prostor lokalni home-
omorfizem, potem je homeomorfizem.
Omenjena dokaza iz tretjega in cetrtega poglavja pa sta tudi najpomembnejsa rezultata
diplomskega dela.
Kljucne besede:
Kontinuum, Uverizljiv kontinuum, Odprta preslikava, Lokalni homeomorfizem
Math. Subj. Class. (2010): 54C10; 54D05; 54E45; 54F15
SKORNSEK, S.: Open maps of chainable continua.
Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and
Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2012.
ABSTRACT
In introductory chapter of graduation thesis we introduce basic concepts of topology, con-
nected spaces and compact spaces with basic examples.
In second part of graduation thesis we define the concept of continuum with examples. The
second part of the section is dedicated to chainable continua, where some characteristics of
them are presented.
In the third section we introduce open maps and their relations to chainable continua. We
prove important theorem which says that image of a chainable continuum with open map
is a chainable continuum.
An interesting theory is developed in fourth section describing results of local homeomor-
phism. We prove that a local homeomorphism of chainable continua onto another space is
actually a homeomorphism.
Mentioned results from the third and the fourth section are the most important results of
graduation thesis.
Key words:
Continuum, Chainable continuum, Open map, Local homeomorphism
Math. Subj. Class. (2010): 54C10; 54D05; 54E45; 54F15
Kazalo
Uvod 1
1 Osnovni pojmi 2
1.1 Povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Kompaktni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Kontinuumi 19
2.1 Kontinuumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Uverizljivi kontinuumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Psevdolok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Odprte preslikave 28
4 Homeomorfizmi in lokalni homeomorfizmi 33
4.1 Homeomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Lokalni homeomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Literatura 37
ix
Uvod
V diplomskem delu bomo govorili o uverizljivih kontinuumih in odprtih preslikavah na njih.
Glavni rezultat diplomskega dela je, da ce je X uverizljiv kontinuum in f odprta preslikava
iz X na Y , potem je Y tudi uverizljiv kontinuum.
Kontinuum je povezan metricni prostor. Da pa je uverizljiv pa pomeni, da je mogoce X
pokriti z verigo s poljubno majhnimi cleni.
Kontinuume uporabljamo tudi v povezavi z lokalnimi homeomorfizmi. Zato je eden izmed
pomembnih rezultatov tudi ta, da ce je X uverizljiv kontinuum in preslikava f iz X na Y
lokalni homeomorfizem, potem je f homeomorfizem.
V uvodnem poglavju bomo definirali osnovne pojme, ki jih bomo v nadaljevanju potrebovali.
Ogledali si bomo tudi nekaj osnovnih primerov. V nadaljevanju bomo definirali pojem
kontinuuma in uverizljivega kontinuuma, ter ta dva pojma povezali z odprtimi preslikavami
in homeomorfizmi.
1
Poglavje 1
Osnovni pojmi
V tem poglavju bomo definirali nekaj osnovnih pojmov, ki se bodo v nadaljevanju pojavljali.
Prav tako bomo navedli nekatere pomembne izreke, ter nekaj primerov za lazje razumevanje
posameznih pojmov.
Definicija 1.1 Metricni prostor (X, d) je mnozica X s funkcijo d : X × X → R, za
katero za vsak x, y in z velja:
1. d(x, y) ≥ 0;
2. d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x = y;
3. d(x, y) = d(y, x);
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Primer 1.2 Naj bo prostor X = R2 in funkcija d : R × R → R. Potem je s predpisom
d(x, y) = ‖x− y‖ definirana metrika na X.
Primer 1.3 Preverimo, ce je s predpisom d1(T1, T2) =| x1 − x2 | + | y1 − y2 | definirana
metrika na R2.
Dokazati moramo stiri tocke definicije:
1. d1(T1, T2) ≥ 0
To velja, ker je vsaka izmed absolutnih vrednosti vedno vecja ali enaka nic.
2
3
2. d1(T1, T2) = 0⇔ T1 = T2
Najprej predpostavimo, da je d1(T1, T2) = 0. Iz tega sledi, da je x1−x2 = 0⇒ x1 = x2
in y1 − y2 = 0⇒ y1 = y2. Torej je res T1 = T2.
Sedaj pa predpostavimo obratno. Da je d1(T1, T2) = 0, je ocitno.
3. d1(T1, T2) = d1(T2, T1)
| x1 − x2 | + | y1 − y2 |=| −(x1 − x2) | + | −(y1 − y2) |=| −1 | ·(| x1 − x2 | + | y1 − y2 |) = d1(T2, T1). V predpisu smo izpostavili minuse in
dobili zeljeno.
4. d1(T1, T3) ≤ d1(T1, T2) + d1(T2, T3)
Kar zelimo dokazati je trikotniska neenakost.
| x1 − x3 | + | y1 + y3 |=| x1 − x2 + x2 − x3 | + | y1 − y2 + y2 − y3 |≤| x1 − x2 | + | x2 − x3 | + | y1 − y2 | + | y2 − y3 |=| x1 − x2 | + | y1 − y2 | + | x2 − x3 |+ | y2 − y3 |= d1(T1, T2) + d1(T2, T3).
Definicija 1.4 Podmnozica U ⊆ X je odprta v metricnem prostoru (X, d), ce za vsak
x ∈ U obstaja taksen r > 0, da je
K(x, r) ⊆ U .
Pri tem K(x, r) oznacuje odprto kroglo s srediscem v x in radijem r.
Prazna mnozica ∅ in celotna mnozica X sta hkrati odprti in zaprti v X.
Definicija 1.5 Topologija na mnozici X je druzina T podmnozic mnozice X, za katero
velja:
1. ∅, X ∈ T ;
2. za vsak λ ∈ Λ velja, da je Uλ ∈ T . Potem je⋃λ∈Λ Uλ ∈ T ;
3. ce U, V ∈ T , potem U ∩ V ∈ T .
Topoloski prostor je par (X, T ), v katerem je X mnozica in T topologija na njej.
Primer 1.6 Ce je mnozica X = {a} mnozica z eno tocko, je T = {∅, {a}} topologija na
X.
Primer 1.7 Naj bo X = N in za vsak n ∈ N velja: Un = {1, 2, 3, . . . , n}. Zanima nas, ce
je s predpisom T = {∅, X} ∪ {Un;n ∈ N} definirana topologija na X.
Preverimo lastnosti definicije 1.5 :
4
1. Ocitno je ∅, X ∈ T .
2. Brez izgube za splosnost predpostavimo, da so mnozice oblike
Un1 , Un2 , . . . , Unk, . . . ∈ T .
Dokazati moramo da velja⋃∞k=1 Unk
∈ T .
Ce je n1 = 1, n2 = 2, . . . dobimo {1} , {1, 2} , . . .Torej ce maksimum mnozice {nk; k ∈ N} ne obstaja, potem je
⋃∞k=1 Unk
= N, kar je
vredu.
Ce pa maksimum mnozice {nk; k ∈ N} obstaja, potem je⋃∞k=1 Unk
= Umax{nk;k∈N},
kar je tudi vredu.
3. Da je Un ∩ Um = Umin{n,m} ∈ T je ocitno.
Torej je T res topologija na X.
Vsak metricni prostor (X, d) lahko opremimo s topologijo Td vseh odprtih podmnozic od
X. Zato lahko na vsak metricni prostor (X, d) gledamo kot na topoloski prostor (X, Td).
Definicija 1.8 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Pravimo, da je (X, T ) metrizabilen, ce
lahko na X definiramo taksno metriko d : X ×X → R, da je T = Td.
Primer 1.9 Naj bo X = {a, b} in topologija T = {∅, X, {a}} na X. Zanima nas, ce obstaja
metrika d na X, tako da bo T = Td.
Denimo, da je d metrika na X, d(a, b) = r0, d(a, a) = 0 in d(b, b) = 0. Topologija Tdje definirana s predpisom Td = {U ⊆ X; ∀x ∈ U∃r > 0 3: K(x, r) ⊆ U}.Vzemimo U = {a}. Seveda U ∈ T .
Ali obstaja taksen r > 0, da bo U ∈ Td?Naj bo r ≤ r0 poljubno izbran. Potem je K(a, r) = {a}.Po drugi strani pa je {b} = K(b, r) ∈ Tdr . Ampak K(b, r) ne pripada T . Torej na X ni
mozno definirati take metrike d, da bi veljalo T = Td. Ta prostor torej ni metrizabilen.
Definicija 1.10 Naj bo (X, T ) topoloski prostor in B ⊆ P(X). Pravimo, da je B baza
topologije T, ce velja:
1. B ⊆ T (v bazi so same odprte mnozice)
2. vsak U ∈ T lahko zapisemo kot unijo mnozic iz druzine B.
5
Primer 1.11 Naj bo B = {(a,∞); a ∈ R}. Zanima nas, ce obstaja topologija na R, za
katero je B baza.
Preverimo lastnosti:
1.⋃a∈R(a,∞) = R velja.
2. Dokazati moramo, da za vsak B1, B2 ∈ B, ter za vsak x ∈ B1 ∩ B2 obstaja B ∈ B,
tako da: x ∈ B ⊆ B1 ∩B2.
Vemo, da je B1 = (a,∞) in B2 = (b,∞). Presek mnozic B1 in B2 pa je:
B1 ∩B2 = (max {a, b} ,∞).
Za B torej vzamemo B = B1 ∩B2.
V nadaljevanju bomo definirali nekaj primerov topologij. Definirali bomo produktno topologijo,
kvocientno topologijo in koinducirano topologijo.
Definicija 1.12 Ce sta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora, tedaj topologijo U , ki ima za
bazo mnozico
B = {V ×W ;V ∈ T ,W ∈ S},
imenujemo produktna topologija na X × Y dobljena iz (X, T ) in (Y,S).
Izrek 1.13 Obstaja topologija na X × Y , za katero je B baza.
Dokaz. Dokazimo, da za vsaki mnozici B1, B2 ∈ B in za vsako tocko (x, y) ∈ B1 ∩ B2
obstaja mnozica B ∈ B, tako da je (x, y) ∈ B ⊆ B1 ∩B2.
Naj bosta B1 in B2 poljubni mnozici iz B.
B1 = V1 ×W1 in B2 = V2 ×W2, kjer sta mnozici V1 in V2 iz T in mnozici W1 in W2 iz S.
B1 ∩B2 = (V1 ×W1) ∩ (V2 ×W2) = (V1 ∩ V2)× (W1 ∩W2).
(V1 ∩ V2) ∈ T in (W1 ∩W2) ∈ S, zato je B1 ∩B2 ∈ B.
Torej za B izberemo B1 ∩B2 in zato taka topologija T res obstaja.
Definicija 1.14 Naj bo f : X → Y poljubna surjektivna funkcija in T topologija na X.
Tedaj topologiji
S ={V ⊂ Y ; f−1(V ) ∈ T
}
6
pravimo kvocientna topologija na X, dobljena iz X, T in f .
Definicija 1.15 Ce sta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora, tedaj je surjektivna
f : (X, T ) → (Y,S) kvocientna preslikava, ce za vsako podmnozico V prostora Y velja,
da je V ∈ S natanko tedaj, ko je
f−1(V ) ∈ T .
Definicija 1.16 Naj bodo (Xλ, Tλ) topoloski prostori, Y mnozica in fλ : (Xλ, Tλ) → Y
funkcije. Najvecjo topologijo S na Y , kjer so vse funkcije fλ : (Xλ, Tλ) → (Y,S) zvezne,
imenujemo koinducirana topologija.
Definicija 1.17 Lastnost L je topoloska lastnost, ce velja: ce ima (X, T ) lastnost L in
ce obstaja homeomorfizem f : (X, T )→ (Y,S), tedaj ima tudi (Y,S) lastnost L.
V nadaljevanju sledijo topoloske lastnosti, ki jih imenujemo separacijske lastnosti topoloskih
prostorov.
Definicija 1.18 Naj bo (X, T ) topoloski prostor in x ∈ X. Mnozica N ⊆ X je okolica
tocke x, ce velja da:
1. je x ∈ N ;
2. obstaja taksna mnozica U ∈ T , da je x ∈ U in U ⊆ N .
Okolica N je odprta okolica tocke x, ce je N odprta v X in hkrati okolica tocke x.
Definicija 1.19 Naj bo (X, T ) topoloski prostor in A zaprta podmnozica X. Pravimo, da
je N ⊆ X okolica mnozice A, ce velja:
1. A ⊆ N
2. obstaja taksna mnozica U ∈ T , da je A ⊆ U ⊆ N .
Definicija 1.20 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T1, ce za poljubni
razlicni tocki x, y ∈ X obstaja mnozica U ∈ T , da je x ∈ U in y /∈ U .
Definicija 1.21 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T2, oziroma je
Hausdorffov prostor, ce za poljubni razlicni tocki x, y ∈ X obstajata odprti okolici U in
V teh tock, da velja
7
x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅.
Definicija 1.22 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T3, ce za poljubno
neprazno zaprto mnozico A v X in poljubno tocko x ∈ X \A obstaja taksna odprta okolica U
mnozice A in taksna odprta okolica V tocke x, da je A podmnozica U , x ∈ V in U ∩V = ∅.
Definicija 1.23 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T4, ce za poljubni
disjunktni zaprti mnozici A in B v X obstajata taksni odprti mnozici U ∈ T in V ∈ T , da
velja:
A ⊆ U , B ⊆ V U ∩ V = ∅.
Velja:
1. Topoloskemu prostoru, ki ima lastnost T1, pravimo T1-prostor.
2. Topoloskemu prostoru, ki ima lastnost T2, pravimo T2-prostor.
3. Topoloskemu prostoru, ki ima lastnost T3, pravimo T3-prostor.
4. Topoloskemu prostoru, ki ima lastnost T4, pravimo T4-prostor.
Definicija 1.24 Topoloski prostor je regularen, ce je T1-prostor in T3-prostor.
Definicija 1.25 Topoloski prostor je normalen, ce je T1-prostor in T4-prostor.
Naslednji trditvi se navezujeta na separacijske lastnosti.
Trditev 1.26 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Tedaj sta naslednji trditvi ekvivalentni:
1. X je T1-prostor
2. za vsak x ∈ X velja, da je {x} zaprta mnozica v X.
Dokaz. Najprej dokazemo implikacijo (1)⇒ (2).
Naj bo x ∈ X poljuben. Dokazati je potrebno, da je {x} zaprta v X.
Naj bo y ∈ X\ {x}. Iscemo tako mnozico U ∈ T , da je y ∈ U ⊆ X\ {x}. Seveda je x 6= y,
saj je y ∈ U ⊆ X\ {x}. Ker je prostor X T1-prostor, za poljubni razlicni tocki x, y ∈ Xobstaja mnozica U ∈ T , tako da je y ∈ U in x /∈ U . Iz tega sledi, da je y ∈ U ⊆ X\ {x}.Dokazati je potrebno se implikacijo (2)⇒ (1).
Vemo, da za vsak x ∈ X velja, da je {x} zaprta v X. Dokazati moramo, da iz tega sledi,
1.1 Povezanost 8
da je X T1-prostor.
Izberimo poljubni tocki x, y ∈ X in x 6= y, ce ima X vsaj dve tocki, iscemo taksno mnozico
U ∈ T , da bo x ∈ U in y /∈ U . Taksna mnozica je mnozica U = X \ {y}, ki je odprta, saj
je {y} zaprta.
Trditev 1.27 Topoloski prostor X je T3-prostor natanko tedaj, ko za vsako tocko x ∈ Xin za vsako okolico U tocke x obstaja taksna zaprta okolica Z tocke x v X, da je Z ⊂ U .
To pomeni, da ima vsaka tocka poljubno majhne zaprte okolice.
Dokaz. Naj bo X T3-prostor, x ∈ X in U okolica tocke x v X. Predpostavimo lahko, da
je U odprta. Ker je X \U zaprta in x /∈ X \U , obstaja taksna odprta okolica V tocke x in
taksna odprta okolica W mnozice X \ U , da je V ∩W = ∅. Tedaj je X \W zaprta okolica
tocke x in X \W ⊂ U .
Sedaj pa predpostavimo, da je x ∈ X, B zaprta podmnozica X in x /∈ B. Ker je X\B odprta
okolica tocke x, po predpostavki obstaja taksna zaprta okolica Z tocke x, da je Z ⊂ X \B.
Zdaj je V = X \ Z odprta okolica mnozice B. Ker je Z okolica tocke x, obstaja taksna
odprta okolica U tocke x, da je U ⊂ Z. Zdaj je U ∩ V ⊂ Z ∩ V = ∅.
1.1 Povezanost
Definicija 1.28 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Paru mnozic U, V ∈ T pravimo sepa-
racija prostora X, ce velja:
1. U 6= ∅ in V 6= ∅
2. X = U ∪ V
3. U ∩ V = ∅
Definicija 1.29 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Tedaj je (X, T ) nepovezan, ce ima
separacijo. Sicer je povezan.
Izrek 1.30 Prostor X je povezan natanko tedaj, ko sta edini podmnozici, ki sta hkrati
odprti in zaprti v X, X in ∅.
Dokaz. Najprej bomo dokazali, da ce je prostor X povezan, potem sta edini podmnozici ki
sta hkrati odprti in zaprti v X, X in ∅.Vemo, da je X povezan. To pomeni, da ne obstaja separacija za X.
Naj bo A prava neprazna podmnozica X, ki je hkrati odprta in zaprta. Definirajmo mnozici
U in V na naslednji nacin :
1.1 Povezanost 9
U = A in V = X \A.
Ker je U = A 6= X, je V = X \A neprazna. Velja se: U ∪ V = A ∪ (X \A) = X.
Iz tega sledi, da sta U in V separacija za X. To pa je protislovje s predpostavko, da je X
povezan prostor.
Dokazati je potrebno se, da ce sta X in ∅ edini neprazni podmnozici, ki sta hkrati odprti in
zaprti v X, potem je X povezan prostor.
Recimo, da X ni povezan. Potem obstajata mnozici U in V , ki sta neprazni, odprti, dis-
junktni in U ∪ V = X.
Naj bo A = U odprta in U = X \ V .
Ker je U odprta, prava in neprazna podmnozica X sledi, da je A zaprta in odprta.
Torej sta edini moznosti naslednji: A = X ali A = ∅.To pa je protislovje s predpostavko ki pravi, da X ni povezan prostor.
Lema 1.31 Ce mnozici C in D tvorita separacijo prostora X in ce je Y povezan podprostor
prostora X, potem Y v celoti lezi v eni izmed mnozic C in D.
Dokaz. Ker sta obe mnozici C in D odprti v X, sta mnozici C ∩ Y in D ∩ Y odprti v Y .
Ti dve mnozici sta disjunktni in njuna unija je cel prostor Y . Ce bi bili neprazni, potem bi
tvorili separacijo prostora Y , zato je ena izmed teh dveh mnozic prazna in mora Y v celoti
lezati v C ali D.
Izrek 1.32 Naj bo A povezan podprostor prostora X. Ce je A ⊆ B ⊆ A, potem je B prav
tako povezan.
Dokaz. Naj bo A povezan in naj bo A ⊆ B ⊆ A. Predpostavimo, da je B = C ∪ Dseparacija B. Iz leme 1.31 sledi, da mora A v celoti lezati v C ali v D. Predpostavimo, da
je A ⊆ C. Potem je A ⊆ C, ker sta C in D disjunktni mnozici, B ne seka D. To pa je v
protislovju z dejstvom, da je D neprazna podmnozica od B.
Opomba 1.33 Iz izreka 1.32 sledi, da je A povezan prostor, ce je A povezan prostor.
Izrek 1.34 Zvezna slika povezanega prostora je povezan prostor.
Dokaz. Naj bo f : X → Y zvezna preslikava in naj bo X povezan prostor. Pokazati
zelimo, da je mnozica Z = f(X) povezana. Ker je preslikava, ki jo dobimo iz f z zozitvijo
na prostor Z, tudi zvezna, je dovolj, da gledamo primer zvezne surjektivne preslikave
1.1 Povezanost 10
g : X → Y .
Predpostavimo, da je Z = A ∪ B separacija za Z. Potem sta g−1(A) in g−1(B) disjunktni
mnozici, katerih unija je cel prostor X. Mnozici g−1(A) in g−1(B) sta odprti v X, saj je g
zvezna funkcija, in neprazni, saj je g surjektivna funkcija. Nasli smo separacijo prostora X,
kar pa je v protislovju s predpostavko, da je X povezan prostor. Torej ne obstaja separacija
prostora Z in zato je zvezna slika povezanega prostora povezan prostor.
Izrek 1.35 Naj bo f : X → Y zvezna, surjektivna funkcija in X povezan prostor. Potem
je tudi Y povezan prostor.
Dokaz. Izrek je posledica izreka 1.34.
Definicija 1.36 Naj bosta x in y tocki iz prostora X. Pot v X od tocke x do tocke y je
zvezna funkcija
f : [a, b]→ X, [a, b] ⊆ R, tako da f(a) = x in f(b) = y.
Prostor X je povezan s potmi, ce za vsak par tock iz prostora X obstaja pot od prve do
druge tocke v X.
Izrek 1.37 Vsak s potmi povezan prostor X je povezan.
Dokaz. Pa recimo, da s potmi povezan prostor X ni povezan. Potem obstaja separacija
X = A ∪B prostora X.
Pa naj bo f : [a, b] → X, [a, b] ⊆ R poljubna pot v prostoru X. Vemo, da je zvezna slika
f([a, b]) povezane mnozice povezana mnozica. Zato v celoti lezi v A ali v B. Torej ni poti
v X, ki bi povezovala neko tocko iz A z neko tocko iz B. To pa je protislovje s tem, da je
prostor X s potmi povezan prostor.
Opomba 1.38 Obrat izreka ne drzi. Povezan prostor ni nujno s potmi povezan. Na primer
mnozica S ={
(x, sin 1x); 0 < x ≤ 1
}je povezana mnozica v R2, vendar pa ni povezana s
potmi.
Izrek 1.39 Zvezna slika s potmi povezanega prostora je povezana s potmi.
1.1 Povezanost 11
Dokaz. Naj bo X povezan s potmi in g : X → Y zvezna, surjektivna funkcija. Dokazati
zelimo, da je prostor Y povezan s potmi. Ker je g surjektivna, zato je Y = g(X).
Naj bosta a, b ∈ Y poljubni tocki. Iscemo pot v Y od a do b. Vemo, da je funkcija g
surjektivna, zato obstajata taksna x, y ∈ X, tako da velja g(x) = a in g(y) = b. Ker je
X s potmi povezan prostor, potem obstaja funkcija f : [0, 1] → X tako da je f(0) = x in
f(1) = y. Iz tega pa sledi, da je f ◦ g pot v Y od tocke a do tocke b.
Definicija 1.40 Prostor X je lokalno povezan v tocki x, ce za vsako odprto okolico U
od x obstaja odprta povezana okolica V od x, tako da x ∈ V ⊆ U .
Ce je X lokalno povezan v vsaki tocki pravimo, da je lokalno povezan.
Definicija 1.41 Prostor X je lokalno povezan s potmi v x, ce za vsako odprto okolico
U od x, obstaja odprta s potmi povezana okolica V od x, tako da x ∈ V ⊆ U . Ce je X
lokalno s potmi povezan v vsaki tocki, potem pravimo, da je lokalno s potmi povezan.
Primer 1.42 Naj bo dan prostor X = {(x, y); y = 0} ∪{
(x, y);x > 0, y = 1x
}⊆ R2.
Zanima nas, ali je prostor X povezan.
Oznacimo mnozici A = {(x, y); y = 0} in B ={
(x, y);x > 0, y = 1x
}.
Vemo da je X = A ∪ B. Podmnozici A in B mnozice X sta neprazni, odprti v X in dis-
junktni.
Torej sta separacija za prostor X. Iz tega pa sledi, da prostor X ni povezan.
Primer 1.43 Ali je unija druzine povezanih podmnozic topoloskega prostora, ki imajo
skupno tocko, povezana?
Naj bo {Aλ} druzina povezanih podmnozic in naj bo p ∈⋂λ∈ΛAλ. Ali je torej
⋃λ∈ΛAλ = Y
povezana?
Pa recimo, da ni povezana. Potem obstaja separacija prostora Y = C ∪D. Zato velja, da je
C ∩D = ∅ in C,D 6= ∅. Vemo, da je p ∈ Aλ za vsak λ ∈ Λ. Zato je tudi p ∈⋃λ∈ΛAλ = Y .
Iz tega pa sledi, da je p ∈ C ali p ∈ D.
Brez izgube za splosnost lahko predpostavimo, da je p ∈ C. Ker je Aλ ⊆ Y povezana
podmnozica sledi, da je Aλ ⊆ C ali Aλ ⊆ D. Za vsak λ ∈ Λ velja, da je p ∈ Aλ. Iz tega
sledi, da je Aλ ⊆ C za vsak λ ∈ Λ. Zato velja, da je⋃λ∈ΛAλ ⊆ C. Iz tega pa sledi, da
je D = ∅. To pa je protislovje s predpostavko, da D 6= ∅. Torej je⋃λ∈ΛAλ = Y povezana
mnozica.
1.1 Povezanost 12
Slika 1.1: Kartezicni produkt povezanih prostorov.
Primer 1.44 Kartezicni produkt povezanih prostorov je povezan.
Naj bosta X in Y povezana prostora. Zanima nas, ce je X × Y tudi povezan prostor.
Vzemimo tocko (a, b) ∈ X × Y .
X × {b} je povezan prostor, ki je homeomorfen prostoru X (slika 1.1).
Naj bo funkcija f : X × {b} → X in f(x, b) = x. Tocka x ∈ X in {x} × Y povezan in
homeomorfen z Y .
Zato je prostor
Tx = (X × {b}) ∪ ({x} × Y )
povezan, saj je (x, b) skupna tocka. Tvorimo unijo⋃x∈X Tx. Vemo, da je
⋃x∈X Tx ⊆ X×Y .
Vzemimo tocko (a, c) ∈ X × Y . Iz tega sledi, da je (a, c) ∈ Ta = (X × {b}) ∪ ({a} × Y . To
pa je podmnozica⋃x∈X Tx. Zato je unija
⋃x∈X Tx = X × Y . Torej je kartezicni produkt
povezanih prostorov res povezan prostor.
Podobno lahko dokazemo, da je produkt poljubno mnogo povezanih prostorov spet povezan
prostor.
Primer 1.45 Naj bo dan prostor S ={
(x, sin 1x); 0 < x ≤ 1
}(slika 1.2). Zanima nas, ali
je prostor S povezan.
1.2 Kompaktni prostori 13
Slika 1.2: sin− 1x
kontinuum.
Mnozica S je slika povezane mnozice (0, 1], glede na zvezno funkcijo. Zato je S povezana.
S je unija krivulje S in daljice {0} × [−1, 1]. S je povezana v R2. Sinusna krivulja S je
povezana, vendar pa ni povezana s potmi.
1.2 Kompaktni prostori
Definicija 1.46 Pokritje prostora X je taksna druzina A podmnozic prostora X, da je
unija teh podmnozic cel prostor X.
Definicija 1.47 Odprto pokritje je pokritje topoloskega prostora z odprtimi mnozicami.
Definicija 1.48 Podpokritje je poddruzina druzine, ki je sama pokritje.
Definicija 1.49 Prostor X je kompakten, ce za vsako odprto pokritje za X obstaja
koncno podpokritje.
Opomba 1.50 Vcasih bomo tudi rekli, da je mnozica X kompaktna, kar bo pomenilo, da
je kompakten prostor X.
Izrek 1.51 Vsaka zaprta podmnozica kompaktnega prostora je kompaktna.
1.2 Kompaktni prostori 14
Dokaz. Naj bo A zaprta podmnozica kompaktnega prostora X in naj bo U poljubno odprto
pokritje mnozice A v X. Ker je tedaj U∪{X \ Y } odprto pokritje prostora X, lahko izberemo
taksne mnozice U1, U2 . . . , Un ∈ U , da je U1 ∪U2 ∪ . . .∪Un ∪{X \ Y } = X. Od tod pa sledi,
da je A ⊂ U1 ∪ U2 . . . ∪ Un.
Izrek 1.52 Slika kompaktnega prostora z zvezno preslikavo je kompaktna.
Dokaz. Naj bo funkcija f : X → Y zvezna in naj bo X kompakten prostor.
Naj bo Q odprto pokritje za f(X) z odprtimi mnozicami iz Y .
P ={f−1(A)|A ∈ Q
}je pokritje mnozice X. Te mnozice so odprte, ker je f zvezna funkcija.
Od tod sledi, da lahko izberemo koncno mnogo mnozic iz P, ki bodo pokritje prostora X, ker
je X kompakten.
Recimo, da je f−1(A1), f−1(A2), ..., f−1(An) pokritje za X. Potem so mnozice A1, A2, ..., An
pokritje za f(X). Torej je slika kompaktnega prostora z zvezno preslikavo res kompaktna.
Izrek 1.53 Produkt koncno mnogo kompaktnih prostorov je kompakten.
Dokaz. Dokazimo, da je produkt dveh kompaktnih prostorov kompakten prostor. Izrek za
poljuben koncni produkt sledi z indukcijo.
KORAK 1: Predpostavimo, da imamo podana prostora X in Y , kjer je Y kompakten
prostor. Predpostavimo tudi, da je x0 tocka iz X, in da je N odprta mnozica v X × Y , ki
vsebuje del {x0}× Y iz X × Y . Dokazali bomo, da obstaja taksna okolica W tocke x0 iz X,
da N vsebuje celotno mnozico W × Y .
Mnozico W × Y pogosto imenujemo cev prostora {x0} × Y .
Najprej pokrijmo {x0} × Y z baznimi elementi U × V (za topologijo na X × Y ), ki lezijo
v okolici N . Prostor {x0} × Y je kompakten, saj je homeomorfen prostoru Y , zato lahko
{x0} × Y pokrijemo s koncno mnogo baznimi elementi
U1 × V1, U2 × V2, . . . , Un × Vn.
Pri tem predpostavimo, da vsak izmed baznih elementov Ui × Vi seka {x0} × Y , saj bi bil
sicer ta bazni element odvec. Pridobili bi ga lahko iz koncne druzine mnozic in bi vseeno
imeli pokritje {x0} × Y .
Definirajmo W z naslednjim predpisom
W = U1 ∩ U2 ∩ . . . ∩ Un.
1.2 Kompaktni prostori 15
Slika 1.3: Cev W × Y .
Mnozica W je odprta in vsebuje x0, saj vsaka mnozica Ui × Vi seka prostor {x0} × Y .
Upostevamo tudi, da mnozice Ui × Vi, ki smo jih izbrali za pokritje dela {x0} × Y , pokriva
tudi cev W × Y (slika 1.3).
Naj bo (x, y) tocka iz W × Y . Tocka (x0, y) iz dela {x0} × Y ima s to tocko enako y-
koordinato. Tocka (x0, y) pripada Ui × Vi za nek i, tako da je y ∈ Vi. Vendar je x ∈ Uj za
vsak j, saj je x ∈W . Tako smo dobili, da je (x, y) ∈ Ui × Vi, kot smo zeleli.
Ker vse mnozice Ui × Vi lezijo v N in pokrivajo W × Y , tudi cev W × Y lezi v N .
KORAK 2: Sedaj dokazimo izrek.
Naj bosta X in Y kompaktna prostora. Naj bo Q odprto pokritje X × Y . S podano tocko
x0 ∈ X je del {x0} × Y kompakten in ga zato lahko pokrijemo s koncno mnogo elementi
A1, A2, . . . Am iz Q. Njihova unija N = A1 ∪ A2 ∪ . . . Am je odprta mnozica, ki vsebuje
{x0} × Y . Iz prvega koraka sledi, da odprta mnozica N vsebuje cev W × Y , ki pripada
{x0} × Y , kjer je W odprta v X. Potem je W × Y pokrit s koncno mnogo elementi iz
Q. Mnozica vseh okolic Wx je odprto pokritje prostora X, zato iz kompaktnosti prostora X
sledi, da obstaja koncna podmnozica
{W1,W2, . . . ,Wk},
ki je pokritje prostora X. Unija cevi
W1 × Y,W2 × Y, . . . ,Wk × Y
1.2 Kompaktni prostori 16
je celoten prostor X × Y . Ker lahko vsako cev pokrijemo s koncno mnogo elementi iz Q,
lahko pokrijemo tudi celoten prostor X × Y .
Definicija 1.54 Prostor X je lokalno kompakten v tocki x, ce obstaja kompaktna okolica
tocke x.
Prostor je lokalno kompakten, ce je lokalno kompakten v vsaki tocki.
Opomba 1.55 Vsak kompakten prostor je tudi lokalno kompakten.
Primer 1.56 Ali je prostor R kompakten oziroma lokalno kompakten?
Naj bo A = {(n, n+ 2), n ∈ Z} odprto pokritje za R. Prostor R pa nima koncnega pokritja,
zato ni kompakten. Vendar pa je lokalno kompakten, saj za vsako tocko x ∈ R obstaja E > 0,
tako da velja: x ∈ [x− E , x+ E ].
Primer 1.57 Ali je prostor X = {0} ∪{
1n ;n ∈ Z
}⊆ R kompakten? Lokalno kompakten?
A naj bo odprto pokritje za X. Naj bo A ∈ A, tako da 0 ∈ A. A pokrije vse tocke iz
X, razen morda koncno mnogo: x1, x2, . . . xn.
A1 ∈ A 3: x1 ∈ A1
A2 ∈ A 3: x2 ∈ A2...
An ∈ A 3: xn ∈ An
Podpokritje A ∪ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An pa je koncno in odprto, zato je X kompakten. Prostor
X je tudi lokalno kompakten, saj je vsak kompakten prostor tudi lokalno kompakten.
Primer 1.58 Prostor X ima koncno mnogo tock. Ali je prostor X kompakten?
Naj bo X = {x1, x2, . . . xn}. Izberemo si:
A1 3: x1 ∈ A1
A2 3: x2 ∈ A2...
An 3: xn ∈ An
1.2 Kompaktni prostori 17
Slika 1.4: Mnozica A.
Zato je A1 ∪A2 ∪ . . .∪An = X, mnozice A1, A2, . . . An pa tvorijo koncno podpokritje. Torej
je prostor X kompakten.
Izrek 1.59 Podmnozica A na Rn je kompaktna natanko tedaj, ko je zaprta in omejena.
Dokaz. Najprej dokazimo implikacijo iz leve v desno. Predpostavimo, da je A kompaktna,
in dokazimo, da je A zaprta in omejena. Vemo, da je Rn Hausdorffov prostor. Ker je vsaka
kompaktna podmnozica Hausdorffovega prostora zaprta v njem sledi, da je A zaprta.
Ker je A kompaktna, jo lahko pokrijemo s koncno mnogo odprtimi kroglami, kjer sredisca
krogel gredo po A. A = {K(x, 1);x ∈ A} je odprto pokritje. Ker je A kompaktna, jo lahko
pokrijemo s koncno mnogo kroglami iz A: A ⊆ K(x1, 1) ∪K(x2, 1) ∪ . . . ∪K(xn, 1).
Vsaka taksna krogla je omejena, saj je diameter koncen. Torej je unija teh odprtoh krogel
omejena. Iz tega sledi, da je A omejena.
Dokazati moramo se implikacijo iz desne proti levi. Sedaj predpostavimo, da je A zaprta in
omejena. Dokazujemo pa, da je A kompaktna.
Ker je A omejena, obstaja r > 0, tako da je K(0, r) ⊇ A. Oglejmo si naprimer krogle v
metriki d∞. To bo lazje, saj so intervali kompaktni. Od prej vemo, da je vsak zaprti interval
kompakten. Torej bo njihov produkt tudi kompakten. Vemo, da je A zaprta podmnozica kom-
paktnega prostora in da je vsaka zaprta podmnozica kompaktnega prostora tudi kompaktna.
Iz tega torej sledi, da je A kompaktna.
Primer 1.60 Ali je mnozica A ={
(x, 1x); 0 ≤ x ≤ 1
}(slika 1.4) kompaktna?
Mnozica A je zaprta v R2, vendar pa ni omejena. Zato po izreku 1.59 A ni kompaktna.
1.2 Kompaktni prostori 18
Primer 1.61 Ali je mnozica S ={
(x, sin 1x); 0 < x ≤ 1
}kompaktna?
Glej sliko 1.2. Mnozica S je omejena nad R2, ker obstaja neka krogla, ki zajame vse.
Ker pa −1 ≤ y ≤ 1 ni zraven, mnozica S ni zaprta. Zato po izreku 1.59 tudi ni kompaktna.
Poglavje 2
Kontinuumi
2.1 Kontinuumi
Kontinuume lahko definiramo na poljubnih topoloskih prostorih, vendar se bomo v nadalje-
vanju omejili le na metricne prostore.
Definicija 2.1 Kontinuum je neprazen, kompakten in povezan metricni prostor.
Definicija 2.2 Podprostor kakega kontinuuma, ki je tudi sam kontinuum, imenujemo
podkontinuum.
Definicija 2.3 Nedegeneriran prostor vsebuje vec kot eno tocko.
Izrek 2.4 Metricni prostor, ki je homeomorfen kaksnemu kontinuumu, je tudi sam kontin-
uum.
Dokaz. Ker je kontinuum kompakten in povezan vidimo, da je tak po izreku 1.34 in izreku
1.52 tudi metricni prostor, ki je homeomorfen kontinuumu.
Sledi nekaj osnovnih primerov kontinuumov.
Primer 2.5 Lok je vsak prostor, ki je homeomorfen zaprtemu intervalu [0, 1]. Ker je [0, 1]
kontinuum, je po izreku 2.4 tudi lok kontinuum.
19
2.1 Kontinuumi 20
Primer 2.6 n-celica je prostor, ki je homeomorfen n-dimenzionalni zaprti krogli Bn v
Rn, kjer je
Bn = {x ∈ Rn; ‖x‖ ≤ 1} za vsak n = 1, 2, . . .
Ker je Bn kontinuum, je po izreku 2.4 tudi n-celica kontinuum.
Primer 2.7 n-sfera je prostor, ki je homeomorfen n-dimenzionalni sferi Sn v Rn+1, kjer
je
Sn ={x ∈ Rn+1; ‖x‖ ≤ 1
}za vsak n = 1, 2, . . .
Ker je Sn kontinuum, je po izreku 2.4 tudi n-sfera kontinuum.
Primer 2.8 Hilbertova kocka je prostor, ki je homeomorfen stevnemu kartezicnemu pro-
duktu
∏∞i=1 Ii, kjer je vsak Ii = [0, 1]
opremljen s produktno topologijo.
Ker vemo, da je kartezicni produkt povezanih prostorov povezan prostor, in da je produkt
kompaktnih prostorov kompakten prostor, je∏∞i=1 Ii kontinuum, saj je stevni produkt metriz-
abilnih prostorov spet metrizabilen. Zato je po izreku 2.4 tudi Hilbertova kocka kontinuum.
Primer 2.9 sin 1x-kontinuum (slika 1.2) je zaprtje mnozice W , ki je definirana s predpi-
som
W ={
(x, sin 1x) ∈ R2; 0 < x ≤ 1
}.
Zvezna slika povezanega prostora (0, 1], je W povezan in zato je tudi njegovo zaprtje povezan
prostor. Prostor W je po izreku 1.51 kompakten. Torej, ker je kompakten in povezan, je
sin 1x -kontinuum, res kontinuum.
Definicija 2.10 Kontinuum je dedno nerazcepen, ce se noben podkontinuum ne da za-
pisati kot unija dveh pravih podkontinuumov.
2.2 Uverizljivi kontinuumi 21
2.2 Uverizljivi kontinuumi
Definicija 2.11 Neprazna urejena druzina D = {D1, D2, ..., Dn} odprtih mnozic je veriga,
ce velja, da Di∩Dj 6= ∅ natanko tedaj, ko |i−j| ≤ 1. Element Di imenujemo i-ti clen verige
D. Elementa D1 in Dn imenujemo robna clena verige. Cleni, ki niso robni, so notranji
cleni verige D. Dva razlicna clena verige D sta sosedna clena natanko tedaj, ko je njun
presek neprazen. Ce p ∈ D1, q ∈ Dn in p, q /∈ D2 ∪D3 ∪ ...Dn−1, pravimo verigi D veriga
od p do q.
Naj bo χ neka druzina podmnozic prostora X. Z X∗ bomo oznacevali unijo⋃H∈χH.
Definicija 2.12 Veriga E je finejsa od verige D, ce je vsak clen verige E podmnozica
kaksnega clena verige D.
Definicija 2.13 Veriga E je strogo finejsa od verige D, ce je zaprtje vsakega clena verige
E vsebovano v kaksnem clenu verige D.
V nadaljevanju oznacimo del E(i, j) = {Ei, Ei+1, . . . , Ej} verige E.
Definicija 2.14 Veriga E = {E1, E2, ..., En} je zvita v verigi D = {D1, D2, ..., Dm} (slika
2.1), ce:
1. je veriga E finejsa od verige D in
2. za vsako podverigo E(i, j), i < j verige E, ter za vse h, k ∈ {1, 2, 3, ...,m} velja, da ce
Ei∩Dh 6= ∅, Ej∩Dk 6= ∅ in je |h−k| > 2, potem obstajata r, s ∈ {i+ 1, i+ 2, ..., j − 2, j − 1},tako da je E(i, j) = E(i, r) ∪ E(r, s) ∪ E(s, j), (s − r)(j − i) > 0 in sta Er ⊆ Dk+1 in
Es ⊆ Dh−1, ce k < h.
Definicija 2.15 Kontinuum X je uverizljiv kontinuum, ce je za vsako pozitivno realno
stevilo E, obstaja veriga C v X, ki pokrije X, tako da za vsak C ∈ C velja, da diameter od
C manjsi od E.
Mi bomo v vecini primerov uporabljali verige, katerih cleni so odprte krogle. Pri tem velja
se to, da Ci seka Cj natanko tedaj, ko je j = i− 1, j = i ali j = i+ 1.
V grobem to pomeni, da je kontinuum X uverizljiv, ce vsebuje odprto pokritje sestavljeno iz
majhnih krogel, ki skupaj tvorijo verigo. Taksno odprto pokritje bomo imenovali E-veriga,
odprte krogle Cj pa so cleni te verige.
2.2 Uverizljivi kontinuumi 22
Slika 2.1: Zvita veriga.
Slika 2.2: Varsavski lok.
Primer 2.16 Psevdolok, ki ga bomo v nadaljevanju spoznali, je po definiciji nedegeneriran,
dedno razcepen kontinuum, ki se ga da uveriziti. Torej je psevdolok uverizljiv kontinuum.
Primer 2.17 Varsavski lok X (slika 2.2) je kompakten metricni prostor. Torej ima
vsako njegovo odprto pokritje neko koncno podpokritje. Ker za vsak E > 0 obstaja E-veriga
v X, ki pokrije X, je X uverizljiv kontinuum.
Primer 2.18 Enostavna sklenjena krivulja (slika 2.3) pa ni uverizljiv kontinuum. Ce
bi bila enostavna sklenjena krivulja primer uverizljivega kontinuuma, potem bi vsebovala
odprto pokritje, sestavljeno iz odprtih krogel C1, C2, . . . , Cn, ki skupaj tvorijo verigo. Pri
tem mora veljati se to, da Ci seka Cj natanko tedaj, ko je j = i− 1, j = i ali j = i+ 1. To
pa v tem primeru ne velja, saj Cn zmeraj seka C1, to pa ni lastnost uverizljivih kontinuumov.
2.2 Uverizljivi kontinuumi 23
Slika 2.3: Enostavna sklenjena krivulja.
Slika 2.4: Enotski interval.
Primer 2.19 Enotski interval (slika 2.4) [0, 1] je ocitno uverizljiv.
Primer 2.20 Naj bo X sin 1x -kontinuum in naj bo X ′ zrcalna slika od X glede na premico
x = 2π . Naj bo Z = X ∪X ′. Potem je Z uverizljiv kontinuum od (0,−1) do ( 4
π ,−1) (slika
2.5).
Cantorjeva mnozica C je primer nestevne mnozice, ki je definirana na intervalu [0, 1] na
realni osi. Mnozico C konstruiramo na naslednji nacin:
Zacnemo z intervalom C0 = [0, 1], in odstranimo srednje tretjinski odprti interval. Kar
dobimo je C1.
Nato v vsaki povezani komponenti od C1 spet odstranimo srednje tretjinski odprti interval.
Kar dobimo oznacimo s C2.
Recimo, da smo ze skonstruirali Ci za nek i ∈ N. Tedaj dobimo Ci+1 iz Ci tako, da v
2.2 Uverizljivi kontinuumi 24
Slika 2.5: Kontinuum Z = X ∪X ′.
vsaki povezani komponenti od Ci odstranimo srednje tretjinski odprti interval. Cantorjeva
mnozica je definirana kot C =⋂n∈NCn.
Primer 2.21 Knasterjev kontinuum K (slika 2.6) definiramo na naslednji nacin:
Kontinuum sestavljajo
1. polkroznice na R2 s pozitivno ordinato s srediscem v tocki (12 , 0), ki potekajo skozi vsako
tocko Cantorjeve mnozice C, glej sliko (slika 2.6);
2. polkroznice na R2 z negativno ordinato s srediscem v tocki ( 52·3n , 0) za vsak n ∈ N, ki
potekajo skozi vsako tocko Cantorjeve mnozice C, ki lezi na intervalu [ 23n ,
13n−1 ], glej
sliko (slika 2.6).
Izkaze se, da je Knasterjev kontinuum K uverizljiv.
2.2 Uverizljivi kontinuumi 25
Slika 2.6: Cantorjev kontinuum K.
Slika 2.7: Lok.
Definicija 2.22 Tocko p uverizljivega kontinuuma X imenujemo krajisce kontinuuma
X, ce za vsak E > 0 obstaja E-veriga na X taksna, da samo prvi clen te verige vsebuje
tocko p.
Primer 2.23 Lok (slika 2.7) je kontinuum, homeomorfen zaprtemu intervalu [0, 1]. Torej
sta tocki 1 in 0 njegovi edini krajisci, saj tocko 1 vsebuje samo zadnji clen verige, tocko 0
pa samo prvi clen verige, ki predstavlja odprto pokritje za lok.
Primer 2.24 Psevdolok je uverizljiv kontinuum, za katerega velja, da je vsaka njegova
tocka krajisce. Torej vsako tocko psevdoloka vsebuje samo en clen verige, ki je odprto
pokritje psevdoloka. Zato je psevdolok tudi homeomorfizem. Dokaz najdemo v [1] .
Definicija 2.25 Kontinuum X je ireducibilen med tockama p in q, ce ne obstaja
pravi podkontinuum Y od X, tako da p, q ∈ Y . Ce je kontinuum ireducibilen med nekim
parom svojih tock, potem je ireducibilen.
2.2 Uverizljivi kontinuumi 26
Primer 2.26 Lok je ireducibilen med svojima krajiscema, saj ne obstaja pravi podkontin-
uum loka, ki bi vseboval njegovi krajisci.
Primer 2.27 Enostavna sklenjena krivulja ni ireducibilna, saj na njej obstaja pravi pod-
kontinuum, ki vsebuje poljubni njeni tocki.
Primer 2.28 Zaprti interval [0, 1] ni ireducibilen med 13 in 2
3 , saj je [13 ,
23 ] pravi podkon-
tinuum, ki pa vsebuje 13 in 2
3 .
Opomba 2.29 Dokazati se da, da je verizljiv kontinuum vedno ireducibilen.
Trditev 2.30 Naj bo X uverizljiv kontinuum in K njegov podkontinuum. Potem je K tudi
uverizljiv.
Dokaz. Naj bo E > 0. Ce je X uverizljiv kontinuum, potem obstaja E-veriga D =
{D1, D2, . . . , Dn}, ki pokriva X. Naj bo i = min {k ∈ {1, 2, . . . , n} ;K ∩Dk 6= ∅} in naj bo
j = max {k ∈ {1, 2, . . . , n} ;K ∩Dk 6= ∅}.Pokazimo, da je D′ = {Di ∩K, . . . ,Dj ∩K} E-veriga, ki pokriva K. Ocitno je D′ finejsa
od E.
Predpostavimo, da D′ ni veriga. Potem obstaja l ∈ {i, . . . , j − 1} tako da (Dl∩K)∩ (Dl+1∩K) = ∅.Zato
K ⊂ (⋃lm=i(Dm ∩K)) ∪ (
⋃jm=l+1(Dm ∩K))
in
(⋃lm=i(Dm ∩K)) ∪ (
⋃jm=l+1(Dm ∩K)) = ∅.
To pa je protislovje s predpostavko, da je K povezan ker K ∩Di 6= ∅ in K ∩Dj 6= ∅. Torej
D′ je veriga. Iz tega pa sledi, da je K uverizljiv.
2.3 Psevdolok 27
2.3 Psevdolok
Definicija 2.31 Psevdolok je nedegeneriran dedno nerazcepen kontinuum, ki se ga da
uveriziti.
V nadaljevanju bo opisana konstrukcija psevdoloka v metricnih prostorih.
Izrek 2.32 Naj bo X kompakten metricni prostor in p, q razlicni tocki v X. Naj bo {Dn}∞n=1
zaporedje verig v X, tako da za vsak n ∈ N velja
1. veriga Dn poteka od tocke p do tocke q,
2. veriga Dn+1 je strogo finejsa od verige Dn,
3. veriga Dn je 1n - veriga,
4. veriga Dn+1 je zvita v verigi Dn.
Potem je M =⋂∞n=1D∗n psevdolok.
Dokaz. [1]
V [2] najdemo dokaz, da je psevdolok edini uverizljiv kontinuum, katerega neka tocka je
krajisce.
Poglavje 3
Odprte preslikave
Zvezna preslikava je zvezna funkcija. Funkcija f : X → Y je odprta, ce je slika vsake odprte
podmnozice iz X, tudi sama odprta podmnozica v Y .
Definicija 3.1 Naj bosta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora in f : (X, T ) → (Y,S)
funkcija. Funkcija f je zvezna, ce za vsak U ∈ S velja, da je f−1(U) ∈ T .
Opomba 3.2 V nadaljevanju bodo vsi prostori metricni.
Primer 3.3 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom f(x) = x. Tedaj je f
odprta, saj za vsako odprto mnozico U v [0, 1] velja, da je f(U) = U .
Primer 3.4 Naj bo funkcija f : [0, 1] → [0, 1] definirana s predpisom f(x) = x2. Tedaj je
f ocitno odprta, saj je strogo monotona.
Primer 3.5 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom
f(x) =
2x za x ≤ 1
4 ,
−2x+ 1 za x ∈ [14 ,
12 ],
2x− 1 za x ≥ 12 .
Tedaj f ni odprta, saj za odprto mnozico U = (0.25, 0.5) velja, da f(U) = [0, 0.5] ni odprta
v [0, 1] (slika 3.1).
28
29
Slika 3.1: Odprta funkcija f(x).
Primer 3.6 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom
f(x) =
2x za x ≤ 15 ,
3x− 1 za x ∈ [25 ,
35 ],
−x+ 75 za x ∈ [3
5 ,45 ],
−x+ 35 za x ∈ [1
5 ,25 ],
2x− 1 za x ≥ 45 .
Tedaj f ni odprta, saj za odprto mnozico U = (0.2, 0.6) velja, da f(U) = [0.4, 0.8] ni odprta
v [0, 1] (slika 3.2).
Vidimo lahko, da ce v funkciji obstajajo maksimumi in minimumi, ki so manjsi od 1, potem
funkcija ni odprta.
Primer 3.7 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom h(x) = 12 . Tedaj f ni
odprta, saj za odprto mnozico U = (13 ,
23) velja, da h(U) = 1
2 ni odprta v [0, 1] (slika 3.3).
Izrek 3.8 Predpostavimo, da je X uverizljiv kontinuum in f : X → Y odprta, zvezna in
surjektivna preslikava. Potem je tudi Y uverizljiv kontinuum.
30
Slika 3.2: Odprta funkcija f(x).
Slika 3.3: Odprta funkcija f(x).
31
Dokaz. Ker je f zvezna, surjektivna preslikava, je Y kompakten in povezan prostor. Iz
tega sledi, da je Y kontinuum.
Naj bo E > 0.
Dokazimo, da obstaja E-veriga, ki pokrije Y . Ker je f zvezna, zato obstaja δ > 0, tako da
velja, ce je d(x, y) < δ, tedaj je d (f(x), f(y)) < E.
Naj bo C1, C2, ..., Cn δ-veriga v X.
Definirajmo:
D1 = f(C1),
D2 = f(C2),
D3 = f(C3)− f(C1),
D4 = f(C4)− f(C1 ∪ C2),
D5 = f(C5)− f(C1 ∪ C2 ∪ C3),...
Dj+2 = f(Cj+2)− f(⋃jk=1Ck),
...
Dn = f(Cn)− f(⋃n−2k=1 Ck).
Brez izgube za splosnost lahko predpostavimo, da so vse Di neprazne.
Pokazali bomo, da je D E-veriga, ki pokrije Y .
Vemo, da je vsak Dk odprt, ker je f odprta preslikava. Po definiciji δ ima vsak Dk premer
manjsi od E. Ker je C1, C2, ..., Cn δ-veriga na X opazimo, da je Ck vsebovan v
Ck−1 ∪ Ck ∪ Ck+1 za vsak k.
Zato je⋃kj=1Cj vsebovano v
⋃k+1j=1 Cj. Potem Di vsebuje
f(Ci)−⋃i−1j=1 f(Cj) za vsak i.
Zato velja enakost
f(C1) ∪ f(C2) ∪ ... ∪ f(Cm) = f(C1) ∪ (f(C2)− f(C1)) ∪ ... ∪ f((Cm)−⋃m−1j=1 f(Cj))
in je f(C1) ∪ f(C2) ∪ ... ∪ f(Cm) vsebovana v D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dm. Iz tega sledi, da je Dpokritje za Y . Ocitno je, da Dj ne seka Dk, ce se j in k razlikujeta za vec kot 1. Ker vemo,
da je Y povezan in D pokritje za Y , iz tega sledi, da Dk seka Dk+1 za vsak k.
Posledica 3.9 Nedegenerirna slika z odprto zvezno preslikavo loka je lok.
32
Dokaz. Po izreku 3.8 je nedegenerirana slika z odprto zvezno preslikavo loka uverizljiva.
Edini uverizljivi s pozti povezan kontinuum pa je lok, [6] .
Posledica 3.10 Naj bo X uverizljiv kontinuum in f : X → Y zvezna, odprta in surjektivna
preslikava. Potem je slika vsakega krajisca v X, krajisce v Y .
Dokaz. Sledi iz dokaza izreka 3.8.
Izrek 3.11 Nedegenerirana slika z odprto zvezno preslikavo psevdoloka je spet psevdolok.
Dokaz. Naj bo f : P1 → P2 zvezna, odprta in surjektivna, kjer je P1 psevdolok. Po izreku
3.8 je P2 uverizljiv kontinuum, saj je P1 uverizljiv. Po posledici 3.10 je vsaka tocka od P2
krajisce od P2. Iz dejstva, da je psevdolok edini uverizljiv kontinuum, katerega vse tocke so
krajisca sledi, da je tudi P2 psevdolok.
Poglavje 4
Homeomorfizmi in lokalni
homeomorfizmi
4.1 Homeomorfizmi
Definicija 4.1 Naj bosta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora in f : (X, T ) → (Y,S)
funkcija. Funkcija f je homeomorfizem, ce velja:
1. f zvezna,
2. f bijektivna,
3. f−1 zvezna.
Definicija 4.2 Topoloska prostora sta homeomorfna, ce obstaja homeomorfizem med
njima.
Izrek 4.3 Naj bo f : X → Y zvezna, bijektivna funkcija. Ce je X kompakten prostor in Y
Haussdorfov prostor, potem je f homeomorfizem.
Dokaz. Dokazati je potrebno, da so slike zaprtih mnozic v X, zaprte v Y . S tem dokazemo,
da je f−1 zvezna. Ce je neka mnozica A zaprta v X, sledi da je A kompaktna. Ker je Y
Haussdorfov, je f(A) zaprta v Y , ker je f(A) kompaktna. Torej je f res homeomorfizem.
Primer 4.4 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Tedaj je id : (X, T ) → (X, T ) homeomor-
fizem, saj je identiteta zvezna in bijektivna, njen inverz pa je zvezen.
33
4.1 Homeomorfizmi 34
Slika 4.1: Homeomorfizem f : [a, b]→ [c, d].
Slika 4.2: Homeomorfizem f : X → Y .
Primer 4.5 Naj bo f : (−π2 ,
π2 ) → R podana s predpisom f(x) = tanx. Potem je f(x)
homeomorfizem.
Primer 4.6 Naj bodo a < b in c < d, kjer so a, b, c, d ∈ R. Konstruirajmo homeomorfizem
f : [a, b]→ [c, d] (slika 4.1).
y − c = d−cb−a(x− a)⇒ y = d−c
b−a(x− a) + c
Torej ce definiramo funkcijo f takole:
f(x) = d−cb−a(x− a) + c, tedaj je f homeomorfizem.
Primer 4.7 Poiscimo homeomorfizem f : X → Y (slika 4.2), kjer je
X ={
(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1, y ≥ 0}
in Y ={
(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1, x ≥ 0, y ≥ 0}
.
Uporabimo polarne koordinate:
4.2 Lokalni homeomorfizmi 35
Slika 4.3: Homeomorfizem g : X → Y .
f(r, ϕ) = (r, ϕ2 )
Funkcija f je zvezna, saj sta obe koordinati funkcije zvezni. Njen inverz pa je tudi zvezen.
Primer 4.8 Naj bo X ={x ∈ R2; ‖x‖ = 1
}× [0, 1] ⊆ R3. Poiscimo taksen Y ⊆ R2, da bo
X ∼= Y .
X je v R3 plasc valja, v R2 pa je kolobar. Torej prostor Y je predstavlja kolobar (slika
4.3).
Naj bo g(r, ϕ, z) = (r + z, ϕ). Preverimo, ce je to homeomorfizem.
Funkcija g je zvezna in bijektivna, prav tako pa je zvezen tudi njen inverz.
4.2 Lokalni homeomorfizmi
Definicija 4.9 Zvezna preslikava f : X → Y je lokalni homeomorfizem, ce za vsako
tocko x ∈ X obstaja odprta mnozica U , ki vsebuje x, tako da
1. f(U) je odprta v Y
2. f |U : U → f(U) je homeomorfizem.
V splosnem je lokalni homeomorfizem zmeraj odprta preslikava.
4.2 Lokalni homeomorfizmi 36
Izrek 4.10 Naj bo X uverizljiv kontinuum in preslikava f : X → Y lokalni homeomorfizem.
Potem je f homeomorfizem.
Dokaz. Vemo, da ce je X uverizljiv kontinuum, je kompakten. Ker je f lokalni homeo-
morfizem in X kompakten, zaradi zveznosti f obstaja taksen δ > 0, da ce je C krogla, katere
premer je manjsi od δ, potem je f , ki je zozena na C, homeomorfizem.
Naj bo C1, C2, ..., Cnδ3 − veriga v X. Naj bo D1, D2, ..., Dn ustrezna veriga v Y , ki je
definirana kot:
D1 = f(C1),
D2 = f(C2),
D3 = f(C3)− f(C1),
D4 = f(C4)− f(C1 ∪ C2),
D5 = f(C5)− f(C1 ∪ C2 ∪ C3),...
Dj+2 = f(Cj+2)− f(⋃jk=1Ck),
...
Dn = f(Cn)− f(⋃n−2k=1 Ck).
Brez izgube za splosnost lahko predpostavimo, da so vse Di neprazne.
Za vsak j se velja, da je Dj vsebovana v f(Cj).Zozitev f |Cj je homeomorfizem, zato je
funkcija (f |Cj )−1 : Dj → Cj dobro definirana. Ce je y ∈ Dj ∩ Dj+1, potem je y ∈
f(Cj)∩ f(Cj+1). Ker je f |(Cj∪Cj+1) homeomorfizem, je (f |Cj )−1(y) = (f |Cj+1)−1(y). Torej
je funkcija g : Y → X, ki je definirana z g|Dj = (f |Cj )−1, dobro definirana in zvezna. Ker je
funkcija f(g(y)) = y za vsak y ∈ Y , je g injektivna. Zaradi zveznosti f pa je g odprta pres-
likava, ki je homeomorfizem na X. Funkcija f pa je njen inverz, zato je f homeomorfizem.
Literatura
[1] I. Banic, Psevdolok: magistrsko delo, Pedagoska fakulteta, Maribor (2004)
[2] R. H. Bing, Snake-like Continua, Duke Math. J., 18 (1951), 653-663.
[3] S. Macias, Topics of Continua, Taylor Francis Group, Boca Raton, 2005.
[4] J. R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall, England Cliffs, New Jersey,
1975.
[5] S. B. Nadler, Continuum Theory: an introduction, Marcel Dekker, New York, 1992.
[6] I. Rosenholtz, Open maps of chainable continua, Proceedings of the American Mathe-
matical Society 42 (1974) str. 258–264.
[7] B. Veit, Dekompozicije kontinuumov: diplomsko delo, Fakulteta za naravoslovje in
matematiko, Maribor (2011)
37
Slike
1.1 Kartezicni produkt povezanih prostorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 sin− 1x kontinuum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Cev W × Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Mnozica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Zvita veriga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Varsavski lok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Enostavna sklenjena krivulja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Enotski interval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Kontinuum Z = X ∪X ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Cantorjev kontinuum K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Lok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Odprta funkcija f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Odprta funkcija f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Odprta funkcija f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Homeomorfizem f : [a, b]→ [c, d]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Homeomorfizem f : X → Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Homeomorfizem g : X → Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
38