Sveč i l ište u Zagrebu

Fakultet strojarstva i brodogradnje

DIPLOMSKI RAD

Karolina Krajček

Zagreb, 2007.

Sveč i l ište u Zagrebu

Fakultet strojarstva i brodogradnje

DIPLOMSKI RAD

Mentor

Prof.dr.sc.Slobodan Janković Karolina Krajček

Zagreb, 2007.

II

SAŽETAK

U ovom je diplomskom radu pokušano doći do rezultata za normalnu silu i moment

propinjanja kombinacije tijelo-krilo spajanjem dvije različite numeričke metode; Weissinger

metode za krilo i metode izvora i dipola za tijelo. Razvijena metoda nazvana je vrtlog-izvor-

dipol, ili skraćeno VID. Metodom se na temelju ispunjavanja rubnih uvjeta o nepropusnosti

površine određuju intenziteti Π vrtloga kojima se simulira postojanje krila, te izvora i dipola

koji simuliraju prisutnost tijela u struji zraka. Pomoću tako definiranog strujanja može se

odrediti lokalna brzina optjecanja na površini kombinacije, a zatim i raspored tlaka iz

Bernoullieve jednadžbe. Koeficijent normalne sile i momenta propinjanja određuje se na

osnovi rasporeda koeficijenta tlaka po površini kombinacije. Proračun je napisan u programu

Matlab a daje rezultate za određeni napadni kut. Program je testiran na modelu samog krila i

modelu samog tijela, a rješenja su uspoređena sa onima iz Weissinger metode i izvor – dipol

metode za tijelo. Rezultat normalne sile i momenta propinjanja zadane kombinacije

uspoređen je sa rezultatima numeričkih metoda za istu kombinaciju sa jedne AIAA radionice

dane u Prilogu.

III

SADRŽAJ

1. UVOD ............................................................................................................................1

2. MATEMATIČKI PROBLEM.........................................................................................2

2.1 Vrtlog-Izvor-Dipol (VID) metoda ...........................................................................2

2.1.1 Modeliranje krila pomoću Π vrtloga u nestlačivoj struji zraka........................2

2.1.2 Utjecaj stlačivosti na model krila .....................................................................3

2.1.3 Modeliranje tijela pomoću izvora i dipola u stlačivoj struji zraka.....................3

2.2 Model kombinacije tijelo - krilo ..............................................................................4

2.2.1 Rubni uvjeti na kombinaciji.............................................................................4

2.2.2 Normala u kontrolnim točkama .......................................................................5

2.2.3 Određivanje induciranih brzina od Π vrtloga..................................................6

2.2.4 Određivanje induciranih brzina od izvora i dipola............................................7

2.2.5 Određivanje matrica uplivnih koeficijenta .......................................................9

2.2.6 Određivanje intenziteta Π vrtloga, izvora i dipola ..........................................11

2.3 Koeficijent tlaka....................................................................................................12

2.3.1 Koeficijent tlaka na krilu ...............................................................................13

2.3.2 Koeficijent tlaka na tijelu...............................................................................14

2.4 Aerodinamički koeficijenti....................................................................................15

2.4.1 Koeficijent normalne sile i momenta propinjanja na krilu ..............................15

2.4.2 Koeficijent normalne sile i momenta propinjanja na krilu ..............................16

3. PROGRAMI.................................................................................................................17

3.1 Opis programa ......................................................................................................17

3.2 Testiranje programa ..............................................................................................20

3.3 Opis modela kombinacije AGARD .......................................................................24

3.4 Rezultati intenziteta vrtloga, izvora i dipola...........................................................24

3.5 Rezultati za Cz i Cm ...............................................................................................28

4. OCJENA METODE .....................................................................................................30

5. ZAKLJUČAK ..............................................................................................................32

LITERATURA..................................................................................................................33

PRILOG............................................................................................................................34

IV

POPIS SLIKA

Slika 2-1 Modeliranje krila pomoću mreže Π vrtloga.............................................................3

Slika 2-2 Normala na element krila u kontrolnoj točki kC ......................................................5

Slika 2-3 Normala na površinu tijela.......................................................................................6

Slika 2-4 Brzina inducirana vrtložnom niti..............................................................................7

Slika 2-5 Brzine poremećaja u cilindričnom koordinatnom sustavu ........................................8

Slika 2-6 Shematski prikaz matrične jednadžbe 2.22.............................................................10

Slika 2-7 Shematski prikaz sinteze matrične jednadžbe 2.22 u jednadžbu 2.27......................11

Slika 3-1 Kombinacija tijelo – krilo sa kontrolnim točkama..................................................18

Slika 3-2 Dijagram toka programa VID ................................................................................19

Slika 3-3 Krilo iz kombinacije tijelo-krilo diskretizirano po rasponu i tetivi..........................20

Slika 3-4 Raspored cirkulacije po rasponu krila prema Weissinger metodi............................21

Slika 3-5 Raspored cirkulacije po rasponu krila prema VID metodi ......................................21

Slika 3-6 Raspored intenziteta dipola po dužini tijela prema programu body_alfa .................22

Slika 3-7 Raspored intenziteta dipola po dužini tijela prema VID metodi..............................22

Slika 3-8 Raspored intenziteta izvora po dužini tijela prema programu body_alfa .................23

Slika 3-9 Raspored intenziteta izvora po dužini tijela prema VID metodi..............................23

Slika 3-10 Raspored cirkulacije po rasponu krila kombinacije pri napadnom kutu o0=α ......25

Slika 3-11 Raspored cirkulacije po rasponu krila kombinacije pri napadnom kutu o2=α ......25

Slika 3-12 Raspored intenziteta izvora kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o0=α ...26

Slika 3-13 Raspored intenziteta izvora kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o2=α ...26

Slika 3-14 Raspored intenziteta dipola kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o0=α ...27

Slika 3-15 Raspored intenziteta dipola kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o2=α ...27

Slika 3-16 Gradijent normalne sile AGARD kombinacije .....................................................28

Slika 3-17 Moment propinjanja u ovisnosti o normalnoj sili .................................................29

Slika 4-1 Usporedba rezultata Cz dobivenih VID metodom i rezultata sa radionice ...............30

Slika 4-2 Usporedba rezultata Cm dobivenih VID metodom i rezultata sa radionice ..............31

V

POPIS TABLICA

Tablica 3-1 Geometrija modela.............................................................................................17

Tablica 3-2 Potprogrami .......................................................................................................18

VI

POPIS OZNAKA

Oznaka Jedinica Opis oznake

A m/s matrica uplivnih koeficijenata izvora

Ak,i m/s opći član matrice A

ika ,

r m/s brzina inducirana jediničnim intenzitetom izvora

b m raspon krila

B m/s matrica uplivnih koeficijenata Π vrtloga

Bk,ℓ m/s opći član matrice B

l

r

,kb m/s brzina inducirana jediničnim intenzitetom Π vrtloga

bw m raspon dva polukrila

c m tetiva profila

cA m aerodinamička tetiva

c0 m tetiva krila sa podtrupnim dijelom koja leži na osi x

cs m tetiva na prijelomu krila

ct m vršna tetiva

Ck - kontrolna točka

Cm - koeficijent momenta propinjanja

Cp - koeficijent tlaka

Cz - koeficijent normalne sile

d m promjer tijela

D m/s matrica uplivnih koeficijenata dipola

Dk,i m/s opći član matrice D

ikd ,

r m/s brzina inducirana jediničnim intenzitetom Π vrtloga

dP m2 element površine kombinacije tijelo-krilo

Fr

N aerodinamička sila

G m3/s matrica izvora

Gi m3/s intenzitet izvora na mjestu i

H m3/s matrica dipola

Hi m3/s intenzitet dipola na mjestu i

al m dužina zadnjeg dijela tijela

bl m dužina tijela

VII

cl m dužina cilindra tijela

nl m dužina nosa tijela

ℓref m referentna dužina

m - broj segmenata po rasponu krila

Ma∞ - Machov broj

N - broj kontrolnih točaka na tijelu

n - broj segmenata po tetivi profila

knr

m normala u kontrolnoj točki Ck

nx m projekcija normale na os x

ny m projekcija normale na os y

nz m projekcija normale na os z

p Pa tlak

p∞ Pa tlak neporemećene struje zraka

r m radijus tijela

0rr

m vektor od točke 1 do točke 2 vezanog vrtloga

1rr

m vektor od točke 1 vezanog vrtloga do proizvoljne kontrolne točke Ck

2rr

m vektor od točke 2 vezanog vrtloga do proizvoljne kontrolne točke Ck

Sref m2

referentna površina

tr

m tangenta

û m/s poremećaj brzine u pravcu osi x

u∞ m jedinični vektor u pravcu osi x

V m/s brzina optjecanja

V m/s vektor neporemećenih brzina projiciranih na normalu u Ck

v m/s poremećaj brzine u pravcu osi y

V∞ m/s neporemećena brzina zraka

indVr

m/s inducirana brzina

w m/s poremećaj brzine u pravcu osi z

xv m položaj napadne točke na x osi

yA m udaljenost aerodinamičke tetive od aksijalne osi x

ys m udaljenost tetive cs od aksijalne osi x

α rad napadni kut

αp rad kut koji zatvara tangenta na srednjaku aeroprofila sa x osi

β rad kut koji tangenta na krilo zatvara sa y osi

VIII

ε rad kut koji pravac radijusa zatvara sa normalom

Γ m2/s matrica intenziteta potkovičastih vrtloga

γ - omjer specifičnih toplina pri stalnom tlaku i stalnom volumenu

Γℓ m2/s intenzitet cirkulacije na panelu ℓ

ΛLE ˚ kut strijele napadnog ruba

ρ∞ kg/m3 gustoća neporemećene struje zraka

τ0 N/m2 tangencijalno naprezanje

ϑ rad kut u cilindričnom koordinatnom sustavu x, r, ϑ

φ m2/s potencijal poremećaja

Indeks Opis indeksa

A - aerodinamička točka

a - zadnji dio tijela

b - tijelo

c - cilindar

i - segment na osi tijela

ind - inducirana brzina

k - kontrolna točka

LE - napadni rub

l - panel

m - moment propinjanja

n - nosni dio tijela

p - profil, tlak

ref - referentna veličina

s - veličine na prijelomu krila

t - vršna veličina

v - napadna točka

w - veličina krila od dva polukrila

x, y, z - koordinate u kartezijevom koordinatnom sustavu

0 - točka, tetiva na x osi

1 - točka

2 - točka

∞ - veličina u beskonačnosti

IX

Izjavljujem da je ovaj rad rezultat mog samostalnog rada.

Ovom prilikom htjela bih se zahvaliti svom mentoru prof.dr.sc. Slobodanu

Jankoviću i dr.sc. Milanu Vrdoljaku na stručnoj pomoć i i savjetima.

U Zagrebu, 28.06.2007.

1

1. UVOD

U okviru kolegija iz Aerodinamike I [1], optjecanje oko krila sa strijelom napadnog ruba

riješeno je pomoću Weissinger metode, a optjecanje tijela u stlačivoj struji zraka numeričkom

metodom kombinacije izvora i dipola. Ovaj diplomski rad pokušaj je spajanja te dvije metode

na kombinaciji tijelo – krilo u dozvučnoj struji zraka. U dozvučnom strujanju se mora uzeti u

obzir stlačivost zraka dok se viskoznost može zanemariti (nema graničnog sloja). To znači da

ovom metodom nije moguće odrediti silu otpora. Strujanje oko kombinacije bit će razultat

međudjelovanja krila i tijela, a pokazat će koliki utjecaj na koeficijent normalne sile ima krilo

a koliki tijelo. Vrednovanje ove metode izvršeno je usporedbom dobivenih vrijednosti

aerodinamičkih koeficijenata sa rezultatima iz zračnog tunela i rezultatima dobivenim

numeričkim metodama u sklopu jedne AIAA radionice dane u Prilogu.

2

2. MATEMATIČKI PROBLEM

2.1 Vrtlog-Izvor-Dipol (VID) metoda

Zadan je zadatak proračuna normalne sile i momenta propinjanja kombinacije tijelo-krilo tako

da se krilo simulira Π vrtlozima raspoređenim po rasponu i srednjoj liniji profila, a tijelo,

linijskim rasporedom točkastih izvora i dipola po osi simetrije tijela. Jakosti ovih singulariteta

određuju se tako da se zadovolje rubni uvjeti da brzina optjecanja bude tangencijalna na

površinu. Ova metoda nazvana je vrtlog-izvor-dipol ili skraćeno VID.

2.1.1 Modeliranje krila pomoću Π vrtloga u nestlačivoj struji zraka

Krilo u nestlačivoj struji zraka simulira se mrežom Π vrtloga. Krilo se najprije podijeli na m

segmenata po rasponu i n segmenata po tetivi što čini ukupno nm × panela. Paneli su

smješteni na srednjoj površini krila koju čine srednjake aeroprofila po rasponu.

Svaki panel simulira se jednim Π vrtlogom intenziteta lΓ čiji središnji dio leži na

četvrtini tetive tog panela, dok bočni kraci slijede zakrivljenu putanju krila do izlaznog brida a

zatim se paralelno sa x osi protežu do beskonačnosti kako bi se zadovoljili Helmholtzovi

teoremi o vrtložnosti [1]. Da bi se odredili intenziteti Π vrtloga nužno je zadovoljiti rubne

uvjete o nepropusnosti površine (brzina optjecanja mora biti tangencijalna na površinu krila).

Rubni uvjeti zadovoljavaju se u kontrolnim točkama koje se postavljaju na ¾ središnje tetive

panela.

Dakle, krilo je simulirano sa ukupno nm × Π vrtloga intenziteta 1Γ , 2Γ , ..., lΓ , ...,

nm×Γ . Svaki od njih inducira brzinu ( )l

r

,kindV u kontrolnoj točki kC prema Biot-Savartovom

zakonu [2] odnosno jednadžbi

( )lll

rrΓ= ,, kkind bV (2.1)

gdje vektor l

r

,kb ovisi o geometriji " l "-tog Π vrtloga i njegovoj udaljenosti od kontrolne

točke kC , a jednak je brzini koju inducira vrtlog jediničnog intenziteta. Budući da je

jednadžba 2.1 linearna, inducirane brzine svih nm × Π vrtloga mogu se zbrojiti kako bi se

dobio izraz za ukupnu induciranu brzinu u kontrolnoj točki:

( ) ∑⋅

=

Γ=nm

kkind bV1

,

l

ll

rr

(2.2)

3

Takva jednadžba može se napisati za svaku kontrolnu točku, što znači nm × jednadžbi za

nm × Π vrtloga.

1j =

mj =

1i =

ni =ij,

y

x

( )ijyijx ,),,(11,

nm,

2

d

B

A

2

wb

kC

∞ ∞

Slika 2-1 Modeliranje krila pomoću mreže Π vrtloga

2.1.2 Utjecaj stlačivosti na model krila

Zadano krilo smješteno je u stlačivu struju zraka. Kako se prethodno opisan model krila može

koristiti samo u nestlačivom strujanju potrebno prilikom izračunavanja koeficijenta tlaka

izvršiti Prandtl-Glauertovu korekciju za stlačivost zraka prema [1].

2.1.3 Modeliranje tijela pomoću izvora i dipola u stlačivoj struji zraka

Tijelo rotacionog oblika u stlačivoj struji zraka pod napadnim kutom simulira se linijskim

rasporedom točkastih izvora (ponora) i dipola po osi tijela. Potencijal poremećaja se može

zadati kao zbroj potencijala izvora i potencijala dipola [1]:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 2/3

2222/1222

1

cos

1,,ˆ

rMax

Hr

rMax

Grx

∞∞ −+−+

−+−=

ξ

ϑ

ξϑφ (2.3)

gdje je G intenzitet izvora (ponora), a H intenzitet dipola. Da bi se zadovoljili rubni uvjeti u

više točaka, mora se uzeti zbroj potencijala izvora i dipola, raspoređenih po osi x u točkama

1ξ , 2ξ , 3ξ , ..., iξ , ..., Nξ , intenziteta 1G , 2G , ..., iG , ..., NG za izvore i 1H , 2H , ..., iH , ...,

NH za dipole. Tako će potencijal poremećaja brzina u točki ϑ,, rx biti:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑

=∞∞

−+−+

−+−=

N

ii

i

i

i

rMax

rH

rMax

Grx

12/32222/1222

1

cos

1,,ˆ

ξ

ϑ

ξϑφ (2.4)

4

Potencijal poremećaja inducira brzinu V u točki ϑ,, rx . Komponente brzine poremećaja V ,

dane su jednadžbama:

( )

∑=

−−

−−=

∂

∂=

N

i

i

i

i

i

i

i Hrx

Gx

xu

153

cos3ˆˆ

ρ

ϑξ

ρ

ξφ

( ) ( )

∑=

∞∞

−−+

−−=

∂

∂=

N

i

i

ii

i

i

HrMa

GrMa

rv

15

22

33

2 cos13cos1ˆˆ

ρ

ϑ

ρ

ϑ

ρ

φ (2.5)

∑=

−=∂

∂=

N

i i

iH

rw

13

sinˆ1ˆ

ρ

ϑ

ϑ

φ

gdje je ( ) ( ) 2221 rMax ii ∞−+−= ξρ .

2.2 Model kombinacije tijelo - krilo

2.2.1 Rubni uvjeti na kombinaciji

Kombinacija tijelo-krilo modelira se istodobnim zadovoljavanjem rubnih uvjeta na krilu i

tijelu koji su simulirani na prethodno opisan način.

Rubni uvjeti zadovoljavaju se u kontrolnim točkama na krilu i tijelu. Na krilu su

postavljene na ¾ dužine središnje tetive panela što znači da je na krilu nm × kontrolnih

točaka. Na tijelu se uzima 2N kontrolnih točaka i to N točaka sa gornje ( 0=ϑ ) i N točaka sa

donje strane tijela ( πϑ = ). Zbog simetrije tijela rubni će uvjet na tijelu biti ispunjen u svim

točkama poprečnog presjeka.

Kako bi se zadovoljili rubni uvjeti na površini kombinacije, rezultantna brzina

optjecanja mora biti tangencijalna na površinu u svakoj od Nnm 2+× kontrolnih točaka.

Budući da je rezultantna brzina optjecanja u svakoj točki jednaka zbroju induciranih

brzina od svih vrtloga, svih izvora i svih dipola, rubni se uvjet u kontrolnoj točki kC može

zapisati kao:

( ) 01

,,

1

, =

++Γ⋅+⋅ ∑∑

=

×

=∞

N

i

iikiik

nm

kk HdGabVnrrrrr

l

ll (2.6)

gdje:

knr

normala na površinu u kontrolnoj točki kC (slika 2-2)

l

r

,kb inducirana brzina u kontrolnoj točki kC od Π vrtloga jediničnog intenziteta na " l "

panelu krila

5

ika ,

r inducirana brzina u kontrolnoj točki kC od izvora jediničnog intenziteta na segmentu " i "

osi tijela

ikd ,

r inducirana brzina u kontrolnoj točki kC od dipola jediničnog intenziteta na segmentu " i "

osi tijela.

2.2.2 Normala u kontrolnim točkama

Normala na površinu kombinacije tijelo – krilo u kontrolnim točkama određuje se

- za krilo:

( ) [ ]kpkpkrilok αββαβ coscossinsincos −−=n (2.7)

-za tijelo u točkama na gornjoj strani ( 0=ϑ ):

( ) [ ]kkk εεϑ

cos0sin0

−==

n (2.8)

-za tijelo u točkama na donjoj strani ( πϑ = ):

( ) [ ]kkk εεπϑ

cos0sin −−==

n (2.9)

Oznake kutova definirane su na slikama 2-2 i 2-3

z

x

y

nr

1 1

2

2

A

B

z

z

y

pα

1-1

2-2

β

nr

nr

1

x

Slika 2-2 Normala na element krila u kontrolnoj točki kC

6

x

αsin∞V

αcos∞V

ε

ε

ϑ

r

ld

tr

nr

ϑdr

y

z

Slika 2-3 Normala na površinu tijela

2.2.3 Određivanje induciranih brzina od Π vrtloga

Da bi se odredila inducirana brzina od Π vrtloga l

r

,kb koristi se Biot-Savartov zakon.

Π vrtlog na panelu ( )ji,l sastoji se od ( ) 12 +− in konačne vrtložne niti i dvije

beskonačne vrtložne niti. Jedna konačna vrtložna nit jediničnog intenziteta inducira brzinu

prema jednadžbi iz [3]

( )( )( )212121

212112

4

1

rrrrrr

rrrrb rr

rrr

⋅+

×+=

π (2.10)

a beskonačna nit koja je u smjeru osi x inducira brzinu prema jednadžbi također iz [3]

( )( )222

22

4

1

rurr

rub rv

rrr

⋅−

×=

∞

∞∞

π (2.11)

Objašnjenja pojedinih oznaka prikazana su na slici 2-4.

Dakle, u kontrolnoj točki će svaki dio Π vrtloga inducirati brzinu koja se zatim zbraja da bi

se dobila ukupna inducirana brzina l

r

,kb u kontrolnoj točki kC od Π vrtloga jediničnog

intenziteta na panelu " l ".

7

1

2

kC

2rr

1rr

0rr

∞u

1=Γ

1=Γ

Slika 2-4 Brzina inducirana vrtložnom niti

2.2.4 Određivanje induciranih brzina od izvora i dipola

Potencijal poremećaja u kontrolnoj točki kC od izvora i dipola jest:

( ) ∑=

+=

N

i ik

kki

ik

ikkk

rHGrx

13

cos,,ˆ

ρ

ϑ

ρϑφ (2.12)

a poremećaji komponenata

( )

∑=

−−

−−=

∂

∂=

N

i

i

ik

kkiki

ik

ikk H

rxG

x

xu

153

cos3ˆˆ

ρ

ϑξ

ρ

ξφ

( ) ( )∑

=

∞∞

−−+

−−=

∂

∂=

N

i

i

ik

kk

ik

ki

ik

kk H

rMaG

rMa

rv

15

22

33

2 cos13cos1ˆˆ

ρ

ϑ

ρ

ϑ

ρ

φ (2.5)

∑=

−=∂

∂=

N

i ik

kik

H

rw

13

sinˆ1ˆ

ρ

ϑ

ϑ

φ

gdje

( ) ( )( )22221 kkikik zyMax +−+−= ∞ξρ (2.14)

8

ϑ

x

z

y

w

r

u

v

ϑα cossin∞∞ = Vv

ϑα sinsin∞∞ −= Vw

αsin∞V

αcos∞∞ = Vu

Slika 2-5 Brzine poremećaja u cilindričnom koordinatnom sustavu

Iz gornjih je jednadžbi vidljivo da su komponente vektora inducirane brzine u kontrolnoj

točki kC od jediničnih izvora ika ,

r jednake u sustavu ϑ,,rx

( ) ( ) T

ik

k

ik

ikkkkik

rMaxrx

−−

−−= ∞ 0

1,,

3

2

3, ρρ

ξϑa (2.15)

dok su komponente vektora inducirane brzine u kC od jediničnih dipola ikd ,

r jednake

( ) ( ) ( ) T

ik

k

ik

kk

ik

k

ik

kkikkkkik

rMarxrx

−

−−

−−= ∞

35

22

35,

sincos13coscos3,,

ρ

ϑ

ρ

ϑ

ρ

ϑ

ρ

ϑξϑd (2.16)

Komponente brzina određene su u cilindričnom koordinatnom sustavu pa se moraju pomoću

matrice transformacije prebaciti u kartezijski sustav. Sa slike 2-5 vidi se da je za to potrebno

izvršiti rotaciju oko koordinatne osi x za kut ϑ . Prilikom transformacije u kartezijski

koordinatni sustav potrebno je zamijeniti mjesta brzinama poremećaja ikw ,ˆ i ikv ,

ˆ jer se

poremećaj ikw ,ˆ poklapa sa osi y a ikv ,

ˆ sa osi z.

( )

−

=

ϑϑ

ϑϑϑ

cossin0

sincos0

001

xL (2.17)

9

( ) ( ) T

ik

kk

ik

kk

ik

ikik

rMarMax

−−

−−

−−= ∞∞

3

2

3

2

3,

cos1sin1

ρ

ϑ

ρ

ϑ

ρ

ξa (2.18)

( ) ( ) ( ) T

ik

kk

ikik

kkk

ik

kkikik

rMarMarx

−−

−−

−−= ∞∞

5

222

35

22

5,

cos131sincos13cos3

ρ

ϑ

ρρ

ϑϑ

ρ

ϑξd (2.19)

2.2.5 Određivanje matrica uplivnih koeficijenta

Ako se u jednadžbi 2.6 inducirane brzine od jediničnih singulariteta pomnože sa normalom u

kontrolnoj točki dobit će se jednadžba oblika

( ) ( ) ( ) ∞==

×

=

−=⋅+⋅+Γ⋅ ∑∑∑ VnHdnGanbn k

N

i

iikk

N

i

iikk

nm

kk

rrrrrrrr

l

ll

1

,

1

,

1

, (2.20)

Skalarni umnožak normale u kontrolnoj točki sa brzinom induciranom od singulariteta

jediničnog intenziteta predstavlja uplivni koeficijent tog singulariteta. Uplivni koeficijenti

ovise isključivo o geometriji kombinacije i rasporedu singulariteta. Jednadžba 2.20 zapisana

pomoću uplivnih bit će

k

N

i

iik

N

i

iik

nm

k VHDGAB −=++Γ ∑∑∑==

×

= 1

,

1

,

1

,

l

ll (2.21)

gdje:

l,kB uplivni koeficijent Π vrtloga na panelu ""l s obzirom na kontrolnu točku kC ,

ikA , uplivni koeficijent izvora na segmentu ""i s obzirom na kontrolnu točku kC i

ikD , uplivni koeficijent dipola na segmentu ""i s obzirom na kontrolnu točku kC .

Kada se rubni uvjet iz jednadžbe 2.21 napiše za nm × kontrolnih točaka na krilu i 2N

kontrolnih točaka na tijelu dobit će se Nnm 2+× linearnih jednadžbi u matričnom obliku

VDHAGBΓ =++ (2.22)

Matrice B, A i D predstavljaju matrice uplivnih koeficijenata pojedinih singulariteta u

kontrolnim točkama. Matrica B sastoji se od Nnm 2+× redaka koji predstavljaju kontrolne

točke na kombinaciji i nm × stupaca koji predstavljaju Π vrtloge.

10

nm×

Nn

m2

+×

1 1 1

+ + =

B GA DΓ H V

N N 1

Slika 2-6 Shematski prikaz matrične jednadžbe 2.22

Opći član matrice B, l,kB , jednak je skalarnom umnošku inducirane brzine od Π

vrtloga jediničnog intenziteta na panelu " l " i normale u kontrolnoj točki kC :

ll

rr,, kkk bnB ⋅= (2.23)

Opći član matrice A, ikA , , uplivnog koeficijenata izvora na mjestu " i " u kontrolnoj

točki kC jednak je skalarnom produktu inducirane brzine od izvora jediničnog intenziteta i

normale u kontrolnoj točki:

ikkik anA ,,

rr⋅= (2.24)

Isto tako je opći član matrice D, ikD , , uplivnog koeficijenta dipola na mjestu " i " u

kontrolnoj točki kC , jednak skalarnom produktu inducirane brzine od potencijala dipola

jediničnog intenziteta i normale u kontrolnoj točki:

ikkik dnD ,,

rr⋅= (2.25)

Dok je opći član matrice V jednak skalarnom produktu vektora slobodne zračne struje

∞Vr

pod napadnim kutom α i normale u kontrolnoj točki kC .

∞⋅−= VnV kk

rr (2.26)

11

2.2.6 Određivanje intenziteta Π vrtloga, izvora i dipola

Da bi se odredili intenziteti vrtloga Г, izvora G i dipola H potrebno je matričnu jednadžbu

2.22 sintetizirati u jednu jednadžbu oblika

VXE =⋅ (2.27)

Matrica E sadržavat će matrice B, A i D a matrica X nepoznate intenzitete Π vrtloga Г,

izvora G i dipola H prema slici 2-7.

nm×

Nn

m2

+×

1

=

B

G

DΓ

H

V

N N 1

A

E X

Slika 2-7 Shematski prikaz sinteze matrične jednadžbe 2.22 u jednadžbu 2.27

Tako sintetizirana lijeva strana jednadžbe 2.22 postaje jednaka umnošku kvadratne

matrica E i matrice nepoznatih intenziteta X. Rješenje tog sustava, elementi matrice

intenziteta singulariteta X, može naći ako jednadžbu 2.27 pomnožimo s lijeve strane sa

inverznom matricom E. Slijedi,

VEX ⋅

−= 1 (2.28)

Prvih nm × elemenata matrice X bit će intenziteti nm × Π vrtloga na krilu, zatim slijedi N

elementa koji predstavljaju intenzitete izvora i N elemenata koji predstavljaju intenzitete

dipola smještenih na osi simetrije tijela.

12

2.3 Koeficijent tlaka

Koeficijent tlaka kod strujanja stlačivog fluida određuje se prema jednadžbi iz [1]

−=

−=

∞∞∞∞

∞ 12

2

22p

p

MaV

ppC p γρ

(2.29)

Da bi se odredio pC potrebno je poznavati odnos tlaka u točki na površini prema tlaku

u beskonačnosti. Taj se odnos određuje iz Saint-Venanove jednadžbe i pomoću adijabatske

jednadžbe iz [1].

1

2

222

2

11

−

∞

∞∞

∞

−−−=

γ

γ

γ

V

VVMa

p

p (2.30)

gdje je V intenzitet vektora poremećene brzine Vr

.

Poremećena brzina u nekoj točki tM jednaka je zbroju neporemećene brzine ∞Vr

i

poremećaja brzine u točki tM , odnosno

tt VVV

rrrˆ+= ∞ (2.31)

Poremećaj brzine u točki tM na površini kombinacije tV

rˆ jednak je zbroju induciranih brzina

od vrtloga, izvora i dipola.

∑∑∑==

×

=

++Γ=N

i

iit

N

i

iit

nm

tt HdGabV1

,

1

,

1

,ˆ

rrrr

l

ll (2.32)

Vektori induciranih brzina od jediničnih vrtloga, izvora i dipola l

r

,tb ,

ita

,

r i

itd

,

r u točki

tM izračunavaju se na način objašnjen u poglavljima 2.2.3 i 2.2.4. Dakle, jednadžba prema

kojoj se određuje poremećena brzina u točki tM je

∑∑∑==

×

=∞ ++Γ+=

N

i

iit

N

i

iit

nm

tt HdGabVV1

,

1

,

1

,

rrrrr

l

ll (2.33)

Međutim, iako se zadana kombinacija nalazi u stlačivoj struji zraka, zbog simulacije

krila Π vrtlozima (primjenjivi samo u nestlačivom strujanju) ne može se jednostavno

primijeniti 2.29 jednadžba za proračun koeficijenta tlaka u nekoj točki na kombinaciji.

Odnosno, potrebno je razlikovati poremećene brzine u stlačivom i nestlačivom strujanju.

Π vrtlozi mogu dati samo poremećenu brzinu u nestlačivom strujanju pa se i

koeficijent tlaka takve brzine mora odrediti prema Bernoullievoj jednadžbi za pC u

nestlačivom strujanju iz [1]

13

2

2

21

2∞∞∞

∞ −=−

=V

V

V

ppC

nstp ρl (2.34)

Poremećena brzina strujanja u stlačivoj struji zbog djelovanja izvora i dipola, bit će

∑∑==

∞ ++=N

i

iit

N

i

iitst HdGaVV1

,

1

,

rrrr

l (2.35)

dok će poremećena brzine strujanja u nestlačivoj struji zraka zbog djelovanja vrtloga biti

∑×

=∞ Γ+=

nm

tnst bVV1

,

l

lll

rrr (2.36)

2.3.1 Koeficijent tlaka na krilu

Budući da je krilo aproksimirano površinom koju čine srednjake profila po rasponu,

koeficijent tlaka na njemu bit će razlika tlaka sa donje i gornje strane. Razliku koeficijenta

tlaka zbog brzine inducirane vrtlozima u nestlačivoj struji zraka potrebno je uvećati za faktor

21

1

∞− Ma (prema Prandtl-Glauertovom zakonu o utjecaju stlačivosti na koeficijent tlaka) da

bi se dobio pC∆ u stlačivom optjecanju.

Razlika tlaka na krilu zbog brzine inducirane vrtlozima može se odrediti pomoću

gustoće vrtloga prema jednadžbi iz teorije tankog krila, literatura [1]

21

12

∞∞ −

Γ=∆

Madx

d

VC

logvrtp (2.37)

Ukoliko je potrebno odrediti tlak sa gornje i donje strane krila zbog poremećenih

brzina induciranih vrtlozima potrebno je najprije izračunati koeficijent tlaka na gornjoj strani

krila pomoću Bernoullija i Prandtl-Glauertove korekcije,

22

2

1

11

∞∞ −

−=

MaV

VC nst

vrtlogpul (2.38)

a zatim se lako iz činjenice da je

vrtlogpuvrtlogpdvrtlogp CCC −=∆ (2.39)

može izračunati tlak sa donje strane

vrtlogpuvrtlogpvrtlogpd CCC +∆= (2.40)

14

Razlika koeficijenta tlaka zbog brzina koje induciraju izvori i dipoli jednaka je razlici

tlaka na donjoj i gornjoj strani krila. Kako se iz brzina koje induciraju izvori i dipoli računa

samo tlak na gornjoj strani, dok je tlak na donjoj strani suprotno usmjeren, ali jednak po

iznosu tlaku sa gornje strane, slijedi da će razlika tlaka biti

dipolizvorpupupupupddipolizvorp CCCCCC

++−=−−=−=∆ 2 (2.41)

Tlak sa gornje strane krila Cpu može se izračunati pomoću jednadžbe 2.29, odnosno

−

−−−=

−

∞

∞∞

∞+

12

11

2 1

2

22

2

2

γ

γ

γ

γ V

VVMa

MaC st

dipolizvorpul (2.42)

Koeficijent tlaka na krilu kombinacije određuje se u točkama na četvrtini srednje tetive

panela (koristi se ista diskretizacija kao i za modeliranje vrtloga).

2.3.2 Koeficijent tlaka na tijelu

U točki tM , na tijelu kombinacije, koeficijent tlaka pC može se zapisati kao zbroj dva

koeficijenta tlaka, dipolizvorpC

+ zbog brzine inducirane izvorima i dipolima i

vrtlogpC zbog brzine

inducirane Π vrtlozima.

−

−−−=

−

∞

∞∞

∞+

12

11

2 1

2

222

2

γ

γ

γ

γ V

VVMa

MaC st

dipolizvorpl (2.43)

22

2

1

11

∞∞ −

−=

MaV

VC nst

vrtlogpl (2.44)

Tijelo je potrebno najprije diskretizirati na N panela duž osi x i M panela po kutu ϑ ,

ukupno MN × panela. Tlak se određuje u točki u težištu panela.

15

2.4 Aerodinamički koeficijenti

Na element površine kombinacije tijelo-krilo djeluju dvije sile:

dPnpr

− , uslijed normalnog tlaka

dPtr

0τ , sila trenja u tangencijalnoj ravnini u pravcu brzine optjecanja.

Budući da se u okviru ovog rada ne uzima u obzir postojanje graničnog sloja, zanemarit će se

i sila uslijed tangencijalnog naprezanja, dPtr

0τ . Dakle, na element površine dP djelovat će

samo elementarna sila uslijed normalnog tlaka dPnpr

− . To znači da na cijelu vanjsku

površinu kombinacije djeluje sila:

∫ −=P

dPnpFrr

(2.45)

2.4.1 Koeficijent normalne sile i momenta propinjanja na krilu

Krilo kombinacije aproksimirano je srednjom površinom krila koju čine srednjake aeroprofila

po rasponu. Aerodinamička sila na toj površini posljedica je razlike tlaka s donje i gornje

strane krila. Normalna komponenta aerodinamičke sile, izražena u obliku koeficijenta zC , na

krilu kombinacije određuje se stoga prema jednadžbi iz literature [4],

( ) ∫∫ ∆=∆=P

p

refP

p

ref

kriloz dPCS

dydxCS

C11

(2.46)

a moment propinjanja, u obliku koeficijenta mC , koji aerodinamička sila Fr

radi s obzirom na

zadanu napadnu točku vx iz jednadžbe prema literaturi [4],

( ) ( )∫

∂

∂+−∆−=

P

vp

refref

krilom dPx

zzxxC

SC

l

1 (2.47)

U jednadžbi 2.47 može se zanemariti umnožak x

zz

∂

∂ jer je u usporedbi sa članom ( )vxx −

mala veličina višeg reda tako da je jednadžba za koeficijent momenta propinjanja

( ) ( )∫ ∆−−=P

pv

refref

krilom dPCxxS

Cl

1 (2.48)

Kako je potrebno razlikovati tlak zbog nestlačive (inducirana vrtlozima) i stlačive (inducirane

izvorima i dipolima) brzine optjecanja jednadžba 2.46 može se zapisati kao,

( ) ( )∫ +∆+∆=

P

dipolizvorptlogvrp

ref

kriloz dPCCS

C1

(2.49)

a jednadžba 2.48 kao

16

( ) ( )[ ]∫ +∆+∆−−=

P

dipolizvorptlogvrpv

refref

krilom dPCCxxS

Cl

1 (2.50)

Konačno, pomoću jednadžbe 2.41 koeficijenti normalne sile i momenta propinjanja izraženi

pomoću koeficijenta tlaka su

( ) ( )∫ +−∆=

P

dipolizvorputlogvrp

ref

kriloz dPCCS

C 21

(2.51)

( ) ( )[ ]∫ +−∆−−=

P

dipolizvorputlogvrpv

refref

krilom dPCCxxS

C 21

l (2.52)

2.4.2 Koeficijent normalne sile i momenta propinjanja na krilu

Koeficijent normalne sile i momenta propinjanja na površini tijela određuje se iz jednadžbi

prema literaturi [1]

( ) ∫∫∫ −=−=−=P

p

refP

p

refP

p

ref

tijeloz dPCS

dxdzCS

dxdrCS

C11

cos1

ϑϑϑ (2.53)

( ) ( )[ ]∫ ′+−−=P

vp

refref

tijelom dPrrxxCS

Cl

1 (2.54)

U jednadžbi za moment propinjanja 2.54 može se zanemariti umnožak rr ′ u odnosu na član

( )vxx − pa se jednadžba može zapisati kao

( ) ( )∫ −−=P

pv

refref

tijelom dPCxxS

Cl

1 (2.55)

Koeficijent tlaka na tijelu jednak je zbroju koeficijenta tlaka zbog nestlačive (od vrtloga) i

stlačive (zbog izvora i dipola) brzine optjecanja. Tako da se konačno jednadžbe 2.53 i 2.55

mogu zapisati kao

( ) ( )∫ ++−=

P

dipolizvorptlogvrp

ref

tijeloz dPCCS

C1

(2.56)

( ) ( )[ ]∫ ++−−=

P

dipolizvorpvrtlogpv

refref

tijelom dPCCxxS

Cl

1 (2.57)

17

3. PROGRAMI

3.1 Opis programa Rješenje diplomskog zadatka dobiveno je pomoću programa napisanog u Matlab-u. Program

je sastavljen pomoću dva već postojeća programa napravljena za potrebe predavanja iz

kolegija Aerodinamika I: programa Weissinger koji računa uzgon krila pomoću cirkulacije i

programa body_alfa za proračun normalne sile i momenta propinjanja osnosimetričnog tijela

pod napadnim kutom. Oba programa nalaze se u prilogu na CD-u.

Program VID objedinjuje te dvije numeričke metode kako je već opisano u prethodnim

poglavljima. U VID metodi zanemarena je debljina krila pa se u proračunu koristi samo

srednjaka aeroprofila ( ) 04171LS − čije su koordinate preuzete iz literature [5].

Geometrija konfiguracije tijelo-krilo zadana je sa krilom bez dihedrala i u osi simetrije

tijela. Nosni dio tijela definiran je poluelipsoidom, središnji valjkom, a završni tangencijalnim

oživalom. Podaci o geometriji kombinacije AGARD dani su u tablici 3-1.

Tablica 3-1 Geometrija modela

Zadane veličine Opis veličine Vrijednost

al dužina tangencijalnog oživala tijela 0.56525 m

bl dužina tijela 1.192 m

cl dužina cilindričnog dijela tijela 0.37675 m

nl dužina nosa tijela 0.250 m

b raspon krila 1.17129 m

c0 tetiva na aksijalnoj osi 0.24011 m

cA aerodinamička tetiva 0.1412 m

cs tetiva na prijelomu krila 0.11981 m

ct vršna tetiva 0.06064 m

d promjer tijela 0.14842 m

ΛLE kut strijele napadnog ruba 27.1˚

xv položaj centra mase kombinacije 0.5049 m

yA položaj aerodinamičke tetive 0.1933 m

ys položaj tetive na prijelomu krila 0.23505 m

18

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y [m]

x [

m]

Kombinacija AGARD-AR-303 Vol. II

kontrolne tocke

Slika 3-1 Kombinacija tijelo – krilo sa kontrolnim točkama

Tablica 3-2 Potprogrami

Ime programa Opis programa

bodynet računa koordinate kontrolnih točaka tijela i normale u njima

bodynetc računa koordinate točaka u kojima se određuje koeficijent tlaka na tijelu

crtanje1 prikaz geometrije

crtanje2 prikaz rezultata

Fdipol funkcija koja daje brzinu poremećaja u kontrolnoj točki od svih dipola jediničnog

intenziteta

Fizvor funkcija koja daje brzinu poremećaja u kontrolnoj točki od svih izvora jediničnog

intenziteta

Fvrtlog1 funkcija koja računa čvorove svih Π vrtloga na lijevom krilu i kao izlaz daje brzinu

poremećaja u kontrolnoj točki od svih vrtloga (na lijevom krilu) jediničnog intenziteta

Fvrtlog2 funkcija koja računa čvorove svih Π vrtloga na desnom krilu i kao izlaz daje brzinu

poremećaja u kontrolnoj točki od svih vrtloga (na desnom krilu) jediničnog intenziteta

pivrtlog potprogram Fvrtloga1 i Fvrtloga2 koji izračunava brzinu u kontrolnoj točki induciranu

jednim vrtlogom jediničnog intenziteta

profil računa relativnu debljinu i zakrivljenost srednjake aeroprofila LS(1)-0417

wingnet1 izračunava koordinate čvorova lijevog krila, kontrolnih točaka i normale u njima

wingnet2 izračunava koordinate čvorova desnog krila, kontrolnih točaka i normale u njima

wingnetc određuje koordinate točaka u kojima se računa Cp na krilu kombinacije

19

određuje matricu B uplivnih

koeficijenata zbogvrtloga jediničnih

intenziteta u kontrolnim

točkama

wingnet1računanje čvorova panela

lijevog krila, kontrolnihtočaka i normale u njima

wingnet2

računanje čvorova paneladesnog krila, kontrolnih

točaka i normale u njima

bodynet

računanje čvorova na osi tijela,radijusa tijela u njima,

kontrolnih točaka na gornjojstrani tijela i normala u njima

b, d, c0, LE, l

b, m, n, N

b,

Voo

, Ma, Sref

, lref

, xv, ...

Fvrtlog1računa brzinu u kontrolnoj točki

induciranu od svih vrtlogajediničnih intenziteta

Fizvorračuna brzinu u kontrolnoj

točki induciranu od izvorajediničnog intenziteta

Fdipol

računa brzinu u kontrolnojtočki induciranu od dipola

jediničnog intenziteta

određuje matricu A uplivnihkoeficijenata zbog izvora

jedničnih intenziteta ukontrolnim točkama

pivrtlogračuna brzinu induciranu od

jednog vrtloga, tj. odvrtloga na panelu " l "

X=(E)-1*V

Fvrtlog2

računa brzinu u kontrolnoj točkiinduciranu od svih vrtloga

jediničnih intenziteta

wingnetcodređuje točke na lijevom krilu

(1/4 središnje tetive panela) ukojima se računa C

p i

površine panela

bodynetcdiskretizira tijelo, određuje

točke u težištu panelapolovice tijela u kojima se

računa Cp

i površine panela

proračun razlike tlaka na

panelima krila zbog gustoćevrtloga

računa stlačivu brzinuoptjecanja u točkama krila

zbog poremećaja induciranihizvorima i dipolima

određivanje kontrolnih

točaka i normala na

površinu kombinacije unjima

određuje matricu D uplivnih

koeficijenata zbog dipolajediničnih intenziteta u

kontrolnim točkama

određuje matricu VV = -n

k*V

oo

E = [ B A D]

određivanje točki na

kombinaciji u kojimase računa tlak

GAMA = X (1:Nw)

G = X (Nw+1:Nb)

H = X (Nw+Nb+1:Nw+2*Nb)

računa stlačivu brzinu optjecanjazbog brzine poremećaja

inducirane izvorima i dipolima utočkama u težištu panela tijela

proračun nestlačive

brzine optjecanja zbogbrzine poremećaja

inducirane vrtlozima utočkama na tijelu

proračun koeficijenta tlaka zbogstlačive brzine optjecanja na

gornjoj strani krila pomoćuSaint-Venanove jednadžbe

( ) ( )∫ −∆=+

Pdipolizvorputlogvrp

ref

krilozdPCC

SC 2

1

( ) ( )[ ]∫ −∆−−=+

Pdipolizvorputlogvrpv

refref

krilomdPCCxx

SC 2

1

l

( ) ( )∫ +−=+

Pdipolizvorptlogvrp

ref

tijelozdPCC

SC

1

( ) ( )[ ]∫ +−−=+

Pdipolizvorpvrtlogpv

refref

tijelomdPCCxx

SC

l

1

proračun koeficijenta tlaka u točkama

u težištu panela zbog nestlačivebrzine optjecanja pomoću

Bernoullijeve jednadžbe iPrandtl-Glauertove korekcije

proračun koeficijenta tlaka u

točkama u težištu panela zbogstlačive brzine optjecanja

pomoću Saint-Venanovejednadžbe

( ) ( ) ( )kriloztijelozkrilotijeloz

CCC +=−

( ) ( ) ( )krilomtijelomkrilotijelom

CCC +=−

profilračuna zakrivljenost krila

iz jednadžbi parabola

kojima je aproksimiranasrednjaka aeroprofila

LS(1)-417

profil

računa zakrivljenost krila iz

jednadžbi parabola kojima jeaproksimirana srednjaka

aeroprofila LS(1)-417

Π

Π

Π

Π

Π

Π

Slika 3-2 Dijagram toka programa VID

20

3.2 Testiranje programa

Kako bi se rješenja dobivena VID metodom mogla uzeti u obzir, potrebno je metodu testirati

na modelu za koji imamo rješenja pomoću nekih drugih metoda. Napravljena su dva testa, za

krilo i tijelo kombinacije. Prvi test je određivanje rasporeda cirkulacije na krilo VID metodom

i usporedba sa poznatim rješenjem iz Weissinger metode. Drugi test je određivanje rasporeda

intenziteta izvora i dipola na osi tijela VID metodom i usporedba rezultata sa rješenjem iz

programa body_alfa. Raspored cirkulacije po rasponu krila (sa slike 3-3) VID metodom

prikazuje slika 3-5, a rješenje dobiveno Weissinger metodom slika 3-4. Test je proveden za

iste uvjete strujanja, napadni kut 0.1 rad i brzinu neporemećene struje zraka od 100 m/s. Sa

priloženih slika vidi se da se intenziteti cirkulacija gotovo savršeno podudaraju.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y [m]

x [

m]

Krilo kombinacije AGARD-AR-303 Vol.II

Slika 3-3 Krilo iz kombinacije tijelo-krilo diskretizirano po rasponu i tetivi

Raspored intenziteta točkastih dipola po osi tijela dobiven VID metodom prikazan je na slici

3-7, a metodom sa predavanja na slici 3-6. Intenziteti izvora prikazani su i uspoređeni na

slikama 3-8 i 3-9. Podudarnost je očigledna.

21

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y

Cir

ku

lacij

a

Weissinger metoda

Slika 3-4 Raspored cirkulacije po rasponu krila prema Weissinger metodi

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

y

Cir

ku

laci

ja

VID metoda

Slika 3-5 Raspored cirkulacije po rasponu krila prema VID metodi

22

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-3

x

H

Dipoli

Slika 3-6 Raspored intenziteta dipola po dužini tijela prema programu body_alfa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-3

x

H

Dipoli prema VID metodi

Slika 3-7 Raspored intenziteta dipola po dužini tijela prema VID metodi

23

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

x

G

Izvori

Slika 3-8 Raspored intenziteta izvora po dužini tijela prema programu body_alfa

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

x

G

Izvori prema VID metodi

Slika 3-9 Raspored intenziteta izvora po dužini tijela prema VID metodi

24

3.3 Opis modela kombinacije AGARD Testovi koji su provedeni u prethodnom poglavlju jasno su pokazali da VID program

ispravno računa vrijednosti pojedinih singulariteta ukoliko se odvojeno promatra problem

krila i problem tijela.

Međutim, AGARD kombinacija tijelo-krilo nije davala zadovoljavajuće rezultate. Zato

je VID testiran na kombinaciji tijelo-krilo napravljenoj spajanjem krila i tijela korištenih za

potrebe vježbi iz kolegija Aerodinamika I.

Za takvu kombinaciju rezultati su bili očekivani što je bacilo sumnju na točnost

rezultata zadane kombinacije. Kako je jedina razlika u dvije kombinacije bila veličina

dimenzija, geometrija zadane kombinacije AGARD uvećana je za faktor K (reda veličine 10)

što je rezultiralo također poželjnim rezultatima.

Daljnjim povećanjem faktora K rezultati se nisu znatnije mijenjali iz čega je donesen

zaključak da je u pitanju upravo točnost rezultata.

U programu VID je zbog toga odabran faktor K = 20 što bi značilo da je raspon krila

umjesto zadanih 1.17129 m jednak b = 23.4258 m.

3.4 Rezultati intenziteta vrtloga, izvora i dipola Program VID daje rješenje za zadani napadni kut i karakter struje zraka, a koje je posljedica

međusobnog utjecaja krila na tijelo i obrnuto.

Kako bi zadani model bio što sličniji modelu sa radionice AIAA, u programu je

postavljen režim strujanja što je moguće sličniji onom sa radionice. Tako je Machov broj

jednak 0.75, a raspon napadnih kutova za koje su dobivena rješenja varira od -3 do 2˚.

Krilo je diskretizirano na 740 × panela, a tijelo na 20 segmenata po uzdužnoj osi x.

Na slici 3-10 prikazan je raspored cirkulacije po rasponu kombinacije tijelo-krilo pri nultom

napadnom kutu, a na slici 3-11 pri napadnom kutu o2=α . Sa slika se jasno vidi utjecaj

prisutnosti tijela na raspored cirkulacije na krilu. Na slici 3-12 i 3-13 prikazan je raspored

intenziteta izvora, a na slici 3-14 i 3-15 raspored intenziteta dipola po osi simetrije tijela za

napadne kutove o0=α i o2=α .

25

-10 -5 0 5 10

40

50

60

70

80

90

100

110

y [m]

Cir

kula

cija

[m

2/s

]

Cirkulacija

Slika 3-10 Raspored cirkulacije po rasponu krila kombinacije pri napadnom kutu o0=α

-10 -5 0 5 1050

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

y [m]

Cir

ku

laci

ja

[ m

2/s

]

Cirkulacija

Slika 3-11 Raspored cirkulacije po rasponu krila kombinacije pri napadnom kutu o2=α

26

0 5 10 15 20 25

-40

-30

-20

-10

0

10

20

x [m]

G

[ m

3/s

]

Izvori

Slika 3-12 Raspored intenziteta izvora kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o0=α

0 5 10 15 20 25-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

x [m]

G

[ m

3/s

]

Izvori

Slika 3-13 Raspored intenziteta izvora kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o2=α

27

0 5 10 15 20 240

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x [m]

H

[ m

3/s

]

Dipoli

Slika 3-14 Raspored intenziteta dipola kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o0=α

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6

7

8

x [m]

H

[ m

3/s

]

Dipoli

Slika 3-15 Raspored intenziteta dipola kombinacije po osi tijela pri napadnom kutu o2=α

28

3.5 Rezultati za Cz i Cm

Koeficijent normalne sile i moment propinjanja za određeni napadni kut dobivaju se s

obzirom na raspored tlaka prema jednadžbama danim u poglavlju 2.4. Za referentnu površinu

uzima se površina krila sa podtrupnim dijelom (kao na slici 3-3), a za referentnu duljinu

aerodinamička tetiva. Rješenja koeficijenta normalne sile za nekoliko napadnih kutova, u

rasponu od -3 do 2˚ prikazani su na slici 3-16.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

alpha

Cz

Gradijent normalne sile

Slika 3-16 Gradijent normalne sile AGARD kombinacije

29

Koeficijent momenta propinjanja, s obzirom na težište kombinacije, izražen je u ovisnosti o

koeficijentu normalne sile i prikazan na slici 3-17. Dijagrame crta program pod imenom

rjesenje (na CD-u) s obzirom na rezultate dobivene programom VID.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-0.2

-0.19

-0.18

-0.17

-0.16

-0.15

-0.14

-0.13

-0.12

-0.11

-0.1

Cz

Cm

Moment propinjanja u ovisnosti o normalnoj sili

Slika 3-17 Moment propinjanja u ovisnosti o normalnoj sili

30

4. OCJENA METODE Najbolja ocjena metode definitivno je usporedba dobivenih rezultata sa rezultatima ispitivanja

u zračnom tunelu ili sa rezultatima dobivenim CFD metodama na AIAA radionici danoj u

Prilogu.

Metoda VID daje Eulerov, potencijalni, model strujanja što znači da je zanemarena

viskoznost zraka i da rezultati vrijede za vrlo male napadne kutove (manje od 0.1 rad). S

obzirom da takav model ne može predvidjeti odvajanje zračne struje, predstavlja tek prvu

aerodinamičku iteraciju u problemima određivanja aerodinamičke sile.

Zbog tih uvedenih pretpostavki, ali i dosta pojednostavljene geometrije kombinacije

tijelo-krilo upitno je koliko odstupanje od rezultata prema članku u Prilogu se smatra

prihvatljivim. Na slici 4-1 prikazani su rezultati za koeficijent uzgona prezentirani na AIAA

radionici.

Slika 4-1 Usporedba rezultata Cz dobivenih VID metodom i rezultata sa radionice

31

Ti rezultati dobiveni su pomoću različitih modela rješavanih CFD metodom. Crvenom

linijom ucrtani su rezultati za gradijent normalne sile pomoću VID metode. S obzirom da je u

VID metodi krilo aproksimirano srednjom površinom koju čine srednjake aeroprofila po

rasponu uz sve ostale navedene razlike i pojednostavljena rezultati se smatraju

zadovoljavajućima.

Slika 4-2 prikazuje rezultate za koeficijent momenta propinjanja s obzirom na težište

kombinacije i u ovisnosti o koeficijentu normalne sile ucrtane crvenom linijom preko

rezultata radionice.

S obzirom na vrlo široko područje rezultata koje je dobiveno CFD metodama,

koeficijent momenta propinjanja prema VID metodi sasvim se prihvatljivo ponaša.

Slika 4-2 Usporedba rezultata Cm dobivenih VID metodom i rezultata sa radionice

32

5. ZAKLJUČAK Ovaj rad predstavlja R (research) inačicu metode VID, koja je razvijena za potrebe

određivanja normalne sile i momenta propinjanja. Međutim, metoda VID može dati i raspored

tlaka po cijeloj konfiguraciji.

Bitno je napomenuti da je krilo (kao noseća površina) simulirano vrtložnom plahtom

koja ima gustoću promjenljivu po tetivi i rasponu, što znači da ovom metodom ne mogu biti

analizirani problemi vezani za debljinu profila krila (nosećih površina). Isto tako, s obzirom

da je tijelo simulirano rotacionim oblikom ne mogu se izučavati problemi oblika kabine i

drugi nesimetrični oblici.

Program je vrlo prilagodljiv promjeni geometrije i ostalih parametara kao što je režim

strujanja i sl. Moguće ga je dalje razvijati u smislu složenosti konfiguracije i posebno

složenosti geometrije nosećih površina (krila, stabilizatora i dr.). Neke pretpostavke koje su

učinjene radi pojednostavljenja razvoja metode, kao što je položaj osi tijela u ravnini krila,

mogu u daljem razvoju metode biti izostavljene. Time se omogućuje analiza mnogih

problema.

Rezultati metode pokazali su se zadovoljavajući, a ukoliko bi se na mjesto Prandtl-

Glauertovog utjecaja stlačivosti na koeficijent tlaka uveli Karman-Tsienov ili Laitonov

utjecaj, rezultati bi mogli biti još i bolji.

Ne treba zaboraviti da ova metoda ne uzima u obzir utjecaj graničnog sloja te stoga

predstavlja prvu iteraciju aerodinamičkog proračuna. S obzirom na dobre rezultate ona se

može doraditi tako da u drugoj iteraciji bude obuhvaćen i utjecaj graničnog sloja. Time bi ova

metoda ušla u grupu panelnih metoda druge generacije.

33

LITERATURA

[1] Janković, S., Aerodinamika I, skripta, Zagreb, 2007.

[2] Bertin, J.J., i Smith, M.L., Aerodynamics for Engineers, Prentice-Hall, 2002.

[3] Philips,W.F., i Snyder, D.O., Modern Adaptation of Prandtl's Classic Lifting-Line Theory,

Journal of Aircraft, 2000, Vol.37, No.4, 662-670

[4] Janković, S., Aerodinamika projektila, Tehnički školski centar, KoV-JNA, Zagreb, 1972.

[5] http://www.nada.kth.se/~chris/pablo/pablo.html

JOURNAL OF AIRCRAFT

Vol. 40, No. 5, September–October 2003

Data Summary from the First AIAA ComputationalFluid Dynamics Drag Prediction Workshop

David W. Levy¤ and Thomas Zickuhr¤

Cessna Aircraft Company, Wichita, Kansas 67277-7704John Vassberg† and Shreekant Agrawal†

The Boeing Company, Long Beach, California 92647and

Richard A. Wahls,‡ Shahyar Pirzadeh,§ and Michael J. Hemsch¶

NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia 23681-2199

The results from the � rst AIAA ComputationalFluid Dynamics (CFD) Drag Prediction Workshop are summa-rized. The workshop was designed speci� cally to assess the state of the art of CFD methods for force and momentprediction. An impartial forum was provided to evaluate the effectiveness of existing computer codes and model-ing techniques and to identify areas needing additional research and development. The subject of the study wasthe German Aerospace Research Center DLR-F4 wing–body con� guration, which is representative of transportaircraft designed for transonic � ight. Speci� c test cases were required so that valid comparisons could be made.Optional test cases included constant CL drag-rise predictions typically used in airplane design by industry.Resultsare compared to experimental data from three wind-tunnel tests. A total of 18 international participants using 14different codes submitted data to the workshop. No particular grid type or turbulence model was more accurate,when compared to each other, or to wind tunnel data. Most of the results overpredicted CL0 and CD0, but induceddrag (dCD/dC2

L) agreed fairly well. Drag rise at high Mach number was underpredicted, however, especially at highCL . On average, the drag data were fairly accurate, but the scatter was greater than desired. The results show thatwell-validated Reynolds averaged Navier–Stokes CFD methods are suf� ciently accurate to make design decisionsbased on predicted drag.

Introduction

I T is well known that computational � uid dynamics (CFD) iswidely used in the aircraft industry to analyze aerodynamicchar-

acteristics during conceptual and preliminary design. All major air-frame manufacturers worldwide now have the capability to modelcomplexairplanecon� gurationsusingCFD methods.To beusefulasa design tool, the accuracyof a method must be determined throughsome kind of veri� cation and validation process. As CFD methodshave evolved, many such studies have been conducted. Some arereported in the open literature, but, due to de� ciencies in the pub-lished studies, many more are conducted in-house with proprietarydata that cannot be disseminated freely throughout the industry.

The majority of published studies describeCFD algorithmdevel-opment. It is common to see results on relatively simple con� gu-rations without any comparison to experimental data. This is eventrue of literature that does concentrate on drag prediction. Whencomparisons are made, usually they are pressure distributions. Tobe sure, accurate pressure prediction is important, and many CFDgroups make early con� guration decisions based on evaluation ofpressures alone. However, pressure is not the whole story.

Presented as Paper 2002-0841 at the AIAA 40th Aerospace SciencesMeeting, Reno, NV, 16 January 2002; received 3 April 2003; revision re-ceived 14 April 2003; accepted for publication 14 April 2003. Copyright c°2003 by the authors. Published by the American Institute of Aeronautics andAstronautics, Inc., with permission. Copies of this paper may be made forpersonal or internal use, on condition that the copier pay the $10.00per-copyfee to the Copyright Clearance Center, Inc., 222 Rosewood Drive, Danvers,MA 01923; include the code 0021-8669/03 $10.00 in correspondence withthe CCC.

¤Senior Engineer Specialist, Aerodynamics Group. Senior MemberAIAA.

†Boeing Technical Fellow, Flight Sciences and Advanced Design.Associate Fellow AIAA.

‡Assistant Head, Con� guration Aerodynamics Branch. Associate FellowAIAA.

§Senior Research Engineer, Con� guration Aerodynamics Branch.¶Aerospace Engineer, Con� guration Aerodynamics Branch. Associate

Fellow AIAA.

CFD methods and computer capabilities have advanced remark-ably in the past decade. It is now practical to model routinelycomplete airplane con� gurations and to analyze multiple � ightconditions using Reynolds averaged Navier–Stokes (RANS) meth-ods. With this capability, the focus of the analysis has shifted fromdetailed examinationof a single solution to trends with angle of at-tack and Mach number. Because of this shift in focus, we must nowverify the accuracy of integrated forces and moments. In particular,the ability to predictdrag accuratelyis important.Once this ability isdemonstrated (to the non-CFD community), the credibility of CFDwill improve dramatically.

As mentioned earlier, published validation studies are not verycommon, although they do exist.1¡5 This is especially true of con-� gurations with experimental data that are in the public domain.Perhaps the closest type of study to the presentwork is described inRef. 6. This work was published in 1997.

It is in this context that the present workshop was conceived.A technical working group was formed within the AIAA AppliedAerodynamics Technical Committee in 1998 with a focus on CFDdrag and transition prediction. This group was composed primarilyof members from industry, and the consensus was that, althoughCFD was beginning to be used in industry for drag prediction, itwas unclear what the state of the art was. It was decided to conductan international workshop inviting participants from universities,researchlaboratories,and industry.Severalmembersof the technicalworkinggroup formedan organizingcommittee to plan and conductthe workshop.

The goal of the workshop was to assess the state of the art ofCFD with a primary focus on CFD drag prediction. When a largesampling of experts in this � eld, who were willing to share theirexperiences in the pursuit of this critical and elusive quantity, werebrought together, the state of the art may even be advanced. Sev-eral key features of the workshop were designed to facilitate thisend.

1) The subject geometry, the DLR, German Aerospace Re-search Center DLR-F4 wing–body,7 was chosen as simple enoughto do high-quality computations and still relevant to the type of

875

876 LEVY ET AL.

Fig. 1 DLR-F4 wing–body geometry (from Ref. 7).

con� guration useful to industry. A large body of experimental datais also available in the public domain for this con� guration.

2) Several test cases were chosen ranging from a single Mach/CL

condition,which is within reach of most CFD groups, to a constantCL Mach sweep typically used by industry to determine drag-risecharacteristics.

3) A standard set of grids was provided to the participants toreduce the variability in the results. All participants were requiredto submit results for the single Mach/CL case on one of the standardgrids. Participants were also encouraged to generate their own gridsusing techniques and standards developed from their experience.

4) A rigorous statistical analysis was performed on these resultsto establish con� dence levels in the data.

The geometry,test cases, and grids all combine to encouragewideparticipationand test the state of the art in the contextof engineeringapplication.

In this paper, a complete descriptionof the geometry is included.This includes how it was processed from a series of point-de� nedstations to a completely surfaced, loft de� nition suitable for gridgeneration. The standard grids are described for the multiblockstructured, unstructured, and overset options. Then the test casesare de� ned. An overview of the participation is presented. Theresults are summarized, including lift curves, drag polars, pitch-ing moment, and drag-rise characteristics. The drag data are alsobroken down by grid type, turbulence model, and code to identifytrends with these parameters. Complete listings of the data, includ-ing presentations by the participants, are included in the workshopproceedings.¤¤

Geometry DescriptionIn choosing the geometry to be used for the workshop, several

criteria were considered.First, the geometry needed to be relativelysimple, so that participationin the workshop would be encouraged.However, the geometry also needed to be complex enough to testusers’ capabilities and to be relevant to the type of work done inindustry. These two factors led to the choice of a wing–body as agood compromise.

¤¤Data availableonlineat http://aaac.larc.nasa.gov/tsab/cfdlarc/aiaa-dpw/Workshop1/workshop1.html [cited 6 Nov. 2002].

It was also desired to have experimentaldata availablewith whichto make comparisons.The subject of the test needed to be availableand well de� ned. It was beyond the resources of the organizingcommittee to design a new, on-purpose geometry and to conductthe required testing. A few options that � t these requirements wereknown to the organizingcommittee, but the one that had the largestbody of data availablewas the DLR-F4 wing–body, shown in Fig. 1.The geometryand experimentaldata aredescribedin detail in Ref. 7,which is a document speci� cally designed to provide data for CFDveri� cation and validation.

The geometry of the body for the DLR-F4 is de� ned in Ref. 7with 90 de� ning stations composed of 66 points each. The wingis de� ned with 4 stations of 145 points each. These coordinateswere uploaded into CATIA, and surfaces were � t to the data usingstandard lofting techniques.Certain features,such as the windshieldand horizontal tail � at were not explicitly de� ned, but were easilygleanedfrom thedata.The nose tip, tail cap,and wing tip were addedas de� ned in Ref. 7. Also note that the lower surface of the wingrequired a slight extrapolation to intersect with the body and thatthere is no wing–body fairing.As a � nal modi� cation, the wing wastwisted by approximately 0.4 deg, per Ref. 7, to simulate a loadedcondition.

A large amount of experimental data is also included with Ref. 7.The same model was tested in three different wind tunnels. Thebulk of the data concentrates on wing pressure pro� les. Pressuresare given for a constant CL D 0:5 Mach sweep from M1 D 0:60 to0.82 and for CL D 0:30, 0.40, 0.50, and 0.60 at M1 D 0:75. Forceand momentdata are suppliedfor three alpha sweeps, at M1 D 0:60,0.75, and 0.80. All data are for a Reynolds number of 3 £ 106 basedon the wing mean geometric chord, and boundary-layer transitionis � xed according to a de� ned trip strip pattern. Standard methodsfor correctingthe data due to wall, buoyancy,and sting effects wereused by each tunnel; however, the correction methods were notuniform. An unfortunate shortcoming of the data is that the dragcoef� cient values are only given to a precision of three decimals(§0.001, or 10 counts). Attempts to obtain more precise data wereunsuccessful.

Standard GridsTo minimize variation in the results and facilitate the statisti-

cal analysis, a set of standard grids were generated. These grids

LEVY ET AL. 877

Table 1 Grid speci� cations used to generate standard grids

Characteristic Value

Wing LE spacing 0.1% mean aerodynamic chordWing TE spacing 0.125% mean aerodynamic chordSpanwise spacing at wing tip 0.5% spanCells on blunt TE 4First BL cell normal spacing 0.001 mmBL cell stretching ratio 1.2–1.25Far-� eld boundary distance 50 chords

Table 2 Grid statistics for standard grids

Boundary BoundaryGrid Nodes Cells nodes faces

Structured multiblock 3,257,897 3,180,800 —— 153,376Unstructured cell based 470,427 2,743,386 23,290 46,576Unstructured node based 1,647,810 9,686,802 48,339 96,674Overset 3,231,377a —— 54,445 ——

aNonblanked nodes.

were built to a consistent set of speci� cations regarding spacingand distribution. In this way, variations simply due to gridding dif-ferences could be held to a minimum. The participants were re-quired to submit the results from the � rst test case using one ofthe required grids. A sampling of the grid speci� cations is listedin Table 1.

A second reason for providing the standard grids was to maxi-mize participation. It is recognized that grid generation, even for arelatively simple geometry, can be a substantial effort. Several ofthe participants would not have been able to do the work if theyhad been required to generate their own grids. However, the partic-ipants were encouraged to generate grids using best practices theyhad learned through experience. When the details of their griddingtechniques were shared, the state of the art could perhaps be im-proved. Four grids were built for use with the following types ofcodes: 1) multiblock structured; 2) unstructured, cell based; 3) un-structured, node based; and 4) overset. The multiblock structuredgrid was built using the ICEM CFD module Hexa. It has 49 blocksall with one-to-one point matching at the block boundaries, and upto three levels of multigrid are available. Blocks around the wingand body used an O-grid topology.The two unstructuredgrids werebuilt with VGRIDns. They both used the same relative distribution,but global re� nement was used for the nodal grid to get suf� cientresolution for node-based codes. The grids were fully tetrahedral.However, an advancing layer technique was used for the boundarylayer grids, so that the structure was present to reconstruct prismsin the boundary layer.

The surface mesh for the overset grid was built with GridgenV13. The surface abutting volume grids were generated with HYP-GEN. Intermediate � elds were captured with box grids, and � nallya far-� eld box grid surrounded the entire geometry and went outto the outer boundary. Hole cutting and fringe point coupling wasperformed with GMAN.

A summary of the grid statistics for the standard grids is listed inTable 2. It was recognized that the standard grids could not possiblymeet all solvers’ requirements and could have shortcomingsaffect-ing certain solutions.Participantswere encouragedto generate theirown grids according to their best practices and requirements. Also,some participantswere unable to use any of the grids due to incom-patibility with their codes. In these cases, they submitted data onlywith their grids.

Test Case DescriptionThere were several goals that contributed to the selection of the

test cases. From the outset, it was desired for this to be a controlledstudy, so that the variation in the results could be minimized wher-ever possible, and suitable for a statistical analysis. As with thegeometry, the set of test cases needed to be simple enough to maxi-mize participation yet also test the practicality of the CFD codeswhen used in an industry environment. A set of required cases

were determined that would enhance participation. The requiredcases are

Case 1: M1 D 0:75 and CL D 0:500 § 0:005

Case 2: M1 D 0:75 and ® D ¡3; ¡2; ¡1; 0; 1; and 2 deg

All cases were to be run at the wind-tunnel test ReN c D 3 £ 106

based on the wing mean geometric chord. However, it was speci� edthat the transition pattern speci� ed in Ref. 7 was not to be used.Because transitionspeci� cation for three-dimensionalRANS codesis still relatively rare, all cases were run “fully turbulent.” Note thatthis term is still fairly inexact because different turbulence modelswill still take some time to build up the turbulence level.

For case 1, one of the standard grids was to be used if possible.This requirement was designed to enhance the statistical analysisby removing variability due to grids as much as possible. Becausethe workshop was focused on drag accuracy, a � xed CL was choseninstead of ®, to remove any variation in CD due to variations in CL .For case 2, the participants were allowed to use their own grids, ifdesired.

The optional cases are

Case 3: M1 D 0:50, 0.60, 0.70, 0.75, 0.76, 0.77, 0.78, and 0.80

and CL D 0:500 § 0:005

Case 4: M1 D 0:50, 0.60, 0.70, 0.75, 0.76, 0.77, 0.78, and 0.80

and CL D 0:400, 0.500, and 0:600 § 0:005

a) Typical match

b) Better match

Fig. 2 Wing pressure pro� les for case 1: M1 = 0.75, CL = 0.500, andReNc = 3 ££ 106 .

878 LEVY ET AL.

Note that case 4 includes case 3. These cases are increasinglymoredif� cult, but are more typical of the type of data needed and usedby industry. Of particular interest was whether separation presentat higher Mach number/CL combinations would be accuratelypredicted.

Overview of Methods and Data SubmittedA total of 18 participants attended the workshop, giving re-

sults from 14 different code types. Many participants submit-ted more than one set of results, exercising different options intheir codes, for example, turbulence models, and/or using differentgrids. A breakdown of the total submittals for each case is shownbelow:

a) Lift coef� cient

b) Drag coef� cient

Fig. 3 Composite lift and drag results for case 2: M1 = 0.75 and ReNc = 3 ££ 106.

For the 18 participants, the breakdown of grid types that wereused is shown below:

Of the case 1 results submitted, 21 used one of the standardgrids,and 14 used other grids. A general breakdown of the turbulencemodels used for the case 2 results is shown below:

LEVY ET AL. 879

A few of the Spalart–Allmaras results speci� ed a particular ver-sion of the model, but most did not do so. The k–! results includethe Wilcox, Menter shear stress transport (SST), explicit algebraicstress model, and linearized explicit algebraic stress models. Threeof the participantsused wall functions.

Results and DiscussionThe � rst requiredcasewas runata speci� edCL andMachnumber,

and one of the standard grids was to be used. Average quantities arelisted in Table 3. The CFD codes tended to overpredictCL at a givenalpha.To achieve the targetCL , an averageoffset of ¡0:414 deg wasrequired.The CFD results also tended to predict drag to be too highby an averageof 17.2 counts and the CM to be off by ¡0:0256 (nosedown).

There are several reasons why the CFD results were not expectedto match the experimental data. First, the CFD runs were all spec-i� ed to be fully turbulent. Because there was no laminar run aheadof the trip strips, as in the experimental data, the drag should be toohigh. The decrease in drag due to the laminar portion of the bound-ary layer is estimated to be 13 counts. Taking this into account, the

a) Induced drag factor

b) Pitching moment coef� cient

Fig. 4 Composite induced drag and pitching moment results for case 2: M1 = 0.75 and ReNc = 3 ££ 106 .

error is approximately4.2 counts.Also, the CFD runs were all com-puted in free air, and the sting mount was not modeled. The effectsof these differences are dif� cult to quantify without speci� c studyto identify them.

The validity of these comparisons, free-air CFD to wind-tunnel data, warrants some discussion. To match wind-tunnel dataaccurately,the computationsshould include the mountinghardware

Table 3 Summary of results for case 1: M1 = 0.75, CL = 0.500,and ReNc = 3 ££ 106

Result Average Minimum Maximum Experimenta

Alpha ¡0.237 ¡1.000 1.223 0.177CL 0.5002 0.4980 0.5060 0.500CDtotal 0.03037 0.02257 0.04998 0.02865CDpressure 0.01698 0.01211 0.03263 ——CDviscous 0.01327 0.00499 0.02576 ——CM ¡0.1559 ¡0.2276 0.0481 ¡0.1303

aInterpolated from wind-tunnel data in Ref 7.

880 LEVY ET AL.

and tunnel walls (perhaps porous or slotted), and the tunnel datashould not include some of the corrections normally applied, forexample, blockage. However this is not usually done in practiceand could not be done here because the uncorrected data were notavailable. Even though the tunnel data are corrected to a free-aircondition, the correction process introduces some error. In this re-spect, the CFD simulations more accurately represent the real caseof free air than the wind tunnel. The � nal conclusion is that nei-ther the CFD nor the experiment are exact. There is a much largerbody of experience with wind-tunnel testing, and so there is wideracceptanceof its validity. As more experience is gained with CFD,it, too, will gain acceptance. The comparisons made in this papershould be interpreted with these thoughts in mind.

It is also seen from Table 3 that there is a considerableamount ofscatterin thedata.There isa rangeof over270countsin thedragdata,which is quite unacceptable.A comprehensivestatisticalanalysisofthe data is performed in Ref. 8. The effectsof outliersand a quantita-tive determinationof the con� dence level of the resultsare included.

A typical pressure pro� le for case 1 is shown in Fig. 2a, takenfrom the proceedings website. It shows the effect of a mismatchin ®: The upper surface pressure peak is lower than experiment,and the post-shock Mach number is too high. Most of the partici-pants had similar results. During the discussionassociated with thepresentations, many hypotheses were offered as to the source ofthe mismatch, including offsets in angle of attack and a change inthe effective Mach number due to blockage. The general attitudechanged dramatically when the presentationwas made for the codeSAUNA, with the “better” result shown in Fig. 2b. These resultsalso differed from most of the others in that the lift and pitchingmo-ment agreement was very good. These results were not run on thestandard grid because it was not compatible with the code. Also of

a) Spalart–Allmaras

b) Wilcox k–!

c) Menter’s SST k–!

d) Other k–!, k–", k–kl, Eular plus IBL

Fig. 5 Trends with turbulence model for case 2: M1 = 0.75 and ReNc = 3 ££ 106 .

note, the geometryfor this resultwas altered in that the wing trailingedge and tip were made to be sharp. The pointwas raised that it maybe better to avoid the complication of a blunt trailing edge, espe-cially if the relevant� ow featuresarenot capturedanyway.However,this is not the position of the drag prediction workshop organizingcommittee. In fact, technical issues such as this one are preciselywhat the workshop was intended to expose. The � rst step towardcorrectinga problemis to recognizethat it exists.Furthermore,blunttrailing edges can be an integral element to transonic airfoil design.

Case 2 is representativeof a typical alpha sweep that is performedin wind-tunnel testing and can be used to compare trends with angleof attack and lift. The lift curve results for all case 2 submissionsis shown in Fig. 3a. Note that several of these cases were run ondifferent grids than for case 1. As with the case 1 results, most ofthe data are consistently higher in CL at a given ® than the wind-tunnel data. The average lift curve slope (derived from linear curve� ts), however, is very close to the experimental value. Several ofthe results show nonlinearities at ® D 2 deg, which agrees with theexperiment.The bulk of the CFD data tend to agree with each other,however, four outliers can be identi� ed. No trends with grid type(indicated by the line type) or turbulence model (indicated by thesymbol type) can be readily identi� ed from this graphical analysis.

The drag polars for case 2 are shown in Fig. 3b. An increase in therelative scatter is apparent, which might be expected for CD . Mostof the results are consistently higher than the tunnel data, which issimilar to the case 1 results.Again, the fouroutliersare seen.A betterappreciationof the induceddrag characteristicsis gainedby plottingCD vs C2

L , shown in Fig. 4a, which is a linear relationship for anideal drag polar. The average slope is very close to the experiment.

Pitching moment results are shown in Fig. 4b. Note that this con-� gurationhas no tail and is almost neutrally stable. There is a larger

LEVY ET AL. 881

a) CL = 0.30

b) CL = 0.40

c) CL = 0.50

d) CL = 0.60

Fig. 6 Drag rise results for case 4: ReNc = 3 ££ 106 .

scatter band in these results, in both the CFD and the wind-tunneldata. Most of the results are too negative. Note that the one set thatmatches the wind-tunnel data very well (indicatedby the symbol Yin Fig. 4b), is from the same results that produced the betterpressurematch in Fig. 2b. The missed pressure distributionon the wing maycontribute to the pitching moment error.

In a furtherattempt to glean trends in the drag data related to basicmethod attributes, Fig. 5 shows plots of idealized pro� le drag foreach of the major turbulencemodels used. Idealized pro� le drag2 isde� ned by the formula:

CD P D CD ¡C2

L

¼ AR

where AR is the aspect ratio. Plotting CD P generally results in amore compact presentation of the data, allowing more expandedscales. The most common model used is from Spalart–Allmaras,and it is seen that code and grid type contribute to the scatter. TheMenter SST k–! results tend to agree better with experiment athigher CL , indicating that the CFL3D implementationdoes a betterjob predicting the nonideal drag than the other turbulence models.For the other methods, drag at higher CL is underpredicted,whichwould indicate that drag due to shock-induced separation is notcaptured.However, for attached � ow conditions, the averaged CFD

results are about 10–15 counts higher than the test data; this isconsistent with the 13-count shift between fully turbulent (CFD)and partially laminar (wind-tunnel) � ows. Overall, no particularturbulence model appears to be more consistent across code andgrid types than the others.

The discussion of the case 3 and 4 results is combined. Therewas only one submission that ran case 3 but did not complete all ofcase 4. Two participantsaugmentedcase 4 with a drag-risecurve forCL D 0:30. Figure6 shows thedrag rise characteristics.Wind-tunneldata are only available for M1 D 0:60, 0.75, and 0.80. The generalscatter at the lower Mach numbers is similar to the earlier data. Theknee of the drag rise curves appear to be in the right place, but theCFD results tend to underpredict the drag more at higher Mach/CL

combinations.This would indicate that shock-inducedseparation isnot accurately predicted.

As the participantspresented their results, a lively discussion of-ten ensuedthatwas openand honest.Many of theusers haddif� cultywith the standard multiblock grid, leading to less accurate results.The organizingcommittee acknowledgesthat the grid was of lowerquality than desired. Much of the discussion centered on the abilityto predict the basic pressure distribution on a wing, and the effectsof trailing edge (TE) modeling techniques. Some of the partici-pants ran cases at a � xed ® to compare with the wind-tunnel data.

882 LEVY ET AL.

Generally, the suction peak magnitude agreed better, but the shockwas located too far aft. Many of the participantsargued that leadingedge (LE) grid re� nement and boundary-layer (BL) transition canaffect the basic pressure distribution as well. At least one partici-pant pointedout that, to simulate properlythe � ow, basic freestreamturbulence levels and length scales are required. These are parame-ters that are typically hardwired into codes and are not speci� ed bythe user.

Questions regarding details of the experimental data such as wallcorrections, blockage corrections, and effects of the sting mountswere raised which, unfortunately, could not be answered. A betterunderstanding of experimental techniques and wind-tunnel correc-tions by the CFD community could lead to more accuratevalidationof CFD codes.

ConclusionsA workshop was held with the speci� c goal to assess the state

of the art of computational methods to predict the drag of a trans-port aircraft wing–body con� guration. Standardized grids and testcases were used to facilitate the comparisons. A large body of datawas gathered from 18 internationalparticipantsand presented in anobjective manner.

In general, the CFD lift and minimum drag levels are higherthan the wind-tunnel results. Nonparabolic drag is slightly lowerthan experiment at higher Mach number/® combinations, that is,postbuffet conditions, where separation is present. Although thecomparisonswith experiment were reasonable, the large amount ofscatter does not promote a high level of con� dence in the results.However, much of the scatter was due to outlier solutions that weregenerallyagreed to be in error. The data show no clear advantageofany speci� c grid type or turbulencemodel.

Using the standard grids did not help to improve the consistencyof the results.The multiblockstructuredgrid didnothave the desiredquality, which degraded the performance of several of the codes.

The overall level of scatter is too high and needs to be reducedto determine overall accuracy and trends with grid type, turbulencemodel, etc. Future work should try to identify sources of the scatter,for example, grid quality.

Although the scatter is larger than desired, much of it is due tothe various grids, codes, turbulence models, etc., that were used. Asingle organization that uses one or two codes and consistent grid-generationandmodelingtechniqueswill experiencemore consistentresults. In this sense, CFD is quite useful as an engineering tool toevaluate relative advantages of one con� guration over another.

More experience needs to be gained where CFD is used in con-junction with wind-tunnel data on development projects that cul-minate in a � ight vehicle. Then the methods can be calibrated toa known outcome. Note that experimental methods went througha similar process long ago. Wind-tunnel testing is not regarded asperfect, but it is useful as an engineering tool because its advan-tages and limitations are well known. CFD needs to go through thesame process.

A second workshop is in the very early planning stages and istentatively scheduled for the summer of 2003. Perhaps the mostimportant item to be decided for this workshop is what type ofcon� guration to use. Many participants believe there are basic is-sues that are not done well yet and that the con� guration should besimpler. Others were ready to proceed to more complicated con� g-urations, such as a wing–body–nacelle, and continue evaluation asan engineering tool.

AcknowledgmentsThe authors wish to thank the AIAA Technical Activities Com-

mittee and the AIAA Applied Aerodynamics Technical Committeefor � nancial support of the workshop. We also wish to thank ourrespectivecompaniesfor their support.Finally, thanks go to the par-ticipants because without their contributions this workshop wouldnot have been possible.

References1Tinoco, E. N., “The Changing Role of Computational Fluid Dynamics

in Aircraft Development,” AIAA Paper 98-2512, 1998.2Tinoco, E. N., “An Assessment of CFD Prediction of Drag and Other

LongitudinalCharacteristics,” AIAA Paper 2001-1002, 2001.3Agrawal, S., and Narducci, R., “Drag Prediction Using Nonlinear Com-

putational Methods,” AIAA Paper 2000-0382, 2000.4Peavey, C., “Drag Prediction of Military Aircraft Using CFD,” AIAA

Paper 2000-0383, 2000.5Cosner, R. R., “Assessment of Vehicle Performance Predictions Using

CFD,” AIAA Paper 2000-0384, 2000.6Haase, W., Chaput, E., Elsholz, E., Leschziner, M. A., and Miller,

U. R., ECARP—European Aerodynamics Research Project: Validation ofCFD Codes and Assessment of Turbulence Models, Notes on NumericalFluid Mechanics, Vol. 58, 1997, pp. 429–449.

7Redeker, G., “DLR-F4 Wing-BodyCon� guration,” A Selection of Exper-imentalTest Cases for the Validationof CFD Codes, AGARD Rept. AR-303,Aug. 1994.

8Hemsch, M., “Statistical Analysis of CFD Solutions from the Drag Pre-diction Workshop,” AIAA Paper 2002-0842, 2002.