Diplomarbeit CalculiX Hiller

Vorgelegt von: Jörg Hiller (183240) Externer Betreuer: Dr.-Ing. Jan Reger Hochschul Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Michael Wahle

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Evaluierung von Open-Source Finite-Elemente Solvern für den Einsatz in

Optimierungsprozessen

Sperrvermerk

Fachhochschule Aachen

Jörg Hiller, Mat.-Nr. 183240

I

Sperrvermerk

Die vorliegende Diplomarbeit beinhaltet vertrauliche Informationen der Firma P+Z

Engineering GmbH. Die Weitergabe des Inhaltes der Arbeit im Gesamten oder in

Auszügen ist grundsätzlich untersagt. Es dürfen keine Kopien oder Abschriften

angefertigt werden. Ausnahmen bedürfen der schriftlichen Genehmigung der Firma

P+Z Engineering GmbH.

Es wird jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die im Anhang dargestellten

Beispiele (Test1 – Test3 mit den dazugehörigen Ergebnissen und Abbildungen im

Hauptteil) vom Betreuer, Herrn Prof. Wahle, zu Lehrzwecken genutzt werden

dürfen.

München, Apri 2008

Dipl.- Ing. Jan Reger

P+Z Engineering GmbH

Anton-Ditt-Bogen 3

D - 80939 München

E-mail: [email protected]

Erklärung



II

Erklärung

Hiermit erkläre ich, Jörg Hiller, geboren am 22.02.1978, in Düren, die vorliegende

Diplomarbeit selbständig angefertigt zu haben. Es wurden keine anderen, als die

angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt.

Kurzfassung



III

Kurzfassung

In dieser Arbeit werden Open-Source Finite-Elemente-Programme auf ihre

Einsatzfähigkeit in Optimierungsprozessen untersucht.

Um eine Optimierung schnell durchzuführen, wird eine große Anzahl an

Simulationen benötigt. Häufig stehen jedoch nicht genügend Lizenzen zu

Verfügung. Hier bietet sich der Einsatz von frei verfügbaren Programmen an.

In Rahmen der Diplomarbeit werden verschiedene Programme aus

unterschiedlichen Anwendungsgebieten kurz vorgestellt. Geeignete Programme

werden anhand von Standard-Beispielsimulationen auf ihre Ergebnisqualität

untersucht und mit analytischen Lösungen und den Ergebnissen der kommerziellen

Programme NASTRAN und Abaqus verglichen. Anschließend wird die maximale

Modellgröße auf verschiedenen Computersystemen bestimmt und die benötigte

Rechenzeit sowie der Speicherverbrauch getestet. Zum Ende wird die Software in

einen Optimierungsprozess integriert.

Als Ergebnis der Arbeit wurde eine Software gefunden, die sich ohne Probleme in

schon bestehende Prozesse integrieren lässt. Das Programm ist kompatibel zu

kommerziellen Preprocessoren und hat ein einfaches Inputformat. Die

Lösungsqualität ist gut und größere Modelle können in einer angemessenen Zeit

berechnet werden. Ferner lässt sich die Software in Optimierungsprozesse

integrieren.

Inhaltsverzeichnis



1

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis.......................................................................................................... 2 Tabellenverzeichnis.............................................................................................................. 3 1 Einleitung ..................................................................................................................... 4 2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme............................................................. 5

2.1 Kriterien zur Auswahl der Open-Source Programme................................................... 6 2.2 Übersicht Open-Source FE-Programme..................................................................... 7

2.2.1 CalculiX ...................................................................................................... 10 2.2.2 Open Foam................................................................................................... 11 2.2.3 Impact......................................................................................................... 12 2.2.4 MBDyn........................................................................................................ 14 2.2.5 OOFEM....................................................................................................... 15

2.3 Besonderheiten von CalculiX/OOFEM.................................................................... 17 2.3.1 CalculiX ...................................................................................................... 17 2.3.2 OOFEM....................................................................................................... 20

3 Evaluation der FE-Programme.................................................................................... 22 3.1 Durchbiegung Blattfeder........................................................................................ 23

3.1.1 Fazit............................................................................................................ 26 3.2 Biegeeigenfrequenz Balken.................................................................................... 28

3.2.1 Fazit............................................................................................................ 31 3.3 Eigenfrequenzen Platte.......................................................................................... 32

3.3.1 Fazit............................................................................................................ 35 3.4 Test Modellgröße.................................................................................................. 36

3.4.1 Fazit............................................................................................................ 38 3.5 Zusammenfassung................................................................................................ 40

4 Optimierung ............................................................................................................... 42 4.1 Einführung Sensitivitätsanalyse / Robustheitsanalyse................................................ 43

4.1.1 Optimierungsprozess Finite-Elemente Querlenker............................................. 44 4.2 Fazit der Optimierung............................................................................................ 46

5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube............................................................................ 49 5.1 Kopfaufpralldefinition........................................................................................... 50

5.1.1 Modellbeschreibung FE-Motorhaube............................................................... 50 5.2 Diskussion der Simulationsergebnisse..................................................................... 51

6 Diskussion der Ergebnisse........................................................................................... 54 A1 Open-Source FE-Programme.................................................................................. 57 A2 Inputdecks.............................................................................................................. 60

A2.1 Test 1.................................................................................................................. 60 A2.2 Test 2.................................................................................................................. 63 A2.3 Test 3.................................................................................................................. 65

A3 Analytische Herleitung............................................................................................ 67 A3.1 Test 1. Durchbiegung Blattfeder............................................................................. 68 A3.2 Test 2. Eigenfrequenz Biegebalken......................................................................... 72 A3.3 Test 3. Eigenfrequenzen fest eingespannte Platte...................................................... 79

A4 Literaturverzeichnis ................................................................................................ 84

Abbildungsverzeichnis



2

Abbildungsverzeichnis

Abb. 2-1: Postprocessor CalculiX GraphiX [http://www.calculix.de/]................................... 10 Abb. 2-2: Pre-/Postprocessing Open Foam [http://www.opencfd.co.uk/openfoam/doc/] ..... 12 Abb. 2-3: Pre-/Postprocessor Impact [http://impact.sourceforge.net/]................................. 13 Abb. 2-4: Pre-/Postprocessing Blender [http://www.osengineer.com/blendedmbdynusersguide.htm].............................................. 14 Abb. 2-5: Postprocessing OOFEM [http://www.oofem.org/]................................................ 15 Abb. 2-6: Expansion Plattenelemente ................................................................................ 18 Abb. 2-7: Expansion Balkenelement .................................................................................. 19 Abb. 3-1: FE-Modell Test 1 ................................................................................................ 23 Abb. 3-2: Einfluss Elementdiskretisierung auf Verschiebung (Bild: CalculiX-GraphiX) ....... 24 Abb. 3-3: Vergleich analytische Lösung / Open-Source ..................................................... 25 Abb. 3-4: Varianten NASTRAN (Schubweich) / Open-Source............................................ 26 Abb. 3-5: Vergleich aller FE-Ergebnisse mit der analytischen Lösung. .............................. 27 Abb. 3-6: FE-Model Test 2................................................................................................. 28 Abb. 3-7: Eigenformen CalculiX (Bild: CalculiX-Graphix) ................................................... 29 Abb. 3-8: Vergleich analytische Lösung (nach Timoshenko und Bernoulli) / CalculiX......... 30 Abb. 3-9: Vergleich NASTRAN / CalculiX........................................................................... 30 Abb. 3-10: FE-Modell Test 3 .............................................................................................. 32 Abb. 3-11: Eigenformen CalculiX (Bild:CalculiX-CrunchiX) ................................................ 33 Abb. 3-12: Eigenformen NASTRAN (Bild: Patran).............................................................. 33 Abb. 3-13: Vergleich Eigenfrequenzen Hexaeder- / Schalenmodell ................................... 34 Abb. 3-14: Speicherbedarf / Modellgröße (64Bit-System) .................................................. 37 Abb. 3-15: Rechenzeit: Solver / Modellgröße..................................................................... 38 Abb. 4-1: "Robust Design" ................................................................................................. 43 Abb. 4-2: Querlenkermodell ............................................................................................... 44 Abb. 4-3: Ausschnitt Inputdeck CalculiX............................................................................. 45 Abb. 4-4: Dakotainput ........................................................................................................ 46 Abb. 4-5: Änderung E-Modul durch DAKOTA .................................................................... 47 Abb. 4-6: Scatterplot .......................................................................................................... 48 Abb. 5-1: Kopfaufprall [www.euroncap.com] ...................................................................... 50 Abb. 5-2: FE-Modell Motorhaube ....................................................................................... 51 Abb. 5-3: Verschiebung Motorhaube.................................................................................. 52 Abb. A3-1: Blattfeder.......................................................................................................... 68 Abb. A3-2: Bernoulli Annahme........................................................................................... 69 Abb. A3-3: Zusammenhang Verdrehung und Winkeländerung .......................................... 70 Abb. A3-4: Gesamtverschiebung ....................................................................................... 71 Abb. A3-5: Gedrungener Balken ........................................................................................ 72 Abb. A3-6: Verdrehung Balken .......................................................................................... 72 Abb. A3-7: Balkenelement ................................................................................................. 72 Abb. A3-8: Bewegungsgleichung Balken ........................................................................... 74 Abb. A3-9: Vergleich der Balkentheorien [GRA91]............................................................. 76 Abb. A3-10: Platte.............................................................................................................. 79 Abb. A3-11: Bewegungsgleichung Platte ........................................................................... 79 Abb. A3-12: Eigenformen einer quadratischen Platte mit Seitenlänge a und Biegesteifigkeit D[LEI61]............................................................................................................................. 80 Abb. A3-13: Schub- und Rotationsträgheitseinfluss auf die Wellengeschwindigkeit [MIN61].......................................................................................................................................... 81

Tabellenverzeichnis



3

Tabellenverzeichnis

Tabelle 2-1. Übersicht Open-Source Programme ................................................................ 9 Tabelle 3-1: Modellgrößen des Benchmarks...................................................................... 36 Tabelle A3-1: Charakteristische Gleichungen für verschiedene Randbedingungen [GRO99].......................................................................................................................................... 74 Tabelle A3-2: Vergleich der Eigenfrequenzen nach Quellen .............................................. 77 Tabelle A3-3: Eigenfrequenzen.......................................................................................... 80 Tabelle A3-4: Einsatzgebiete Plattentheorie ...................................................................... 82

1 Einleitung



4

1 Einleitung

Die Finite-Elemente Methode (FEM) ist derzeit das wichtigste Werkzeug im

Ingenieurbereich. Erstmals wurde die FEM im Bereich der Struktur- und

Strömungsmechanik 1956 von Boeing zur Untersuchung gepfeilter Flugzeugflügel

eingesetzt. Seitdem hat es eine rasante Entwicklung in den Simulationsverfahren

gegeben, die auf die steigenden Rechnerkapazitäten bei sinkenden Kosten, den

Einzug computergestützter Produktentwicklung und das rechnergestützte

Konstruieren beruht. Die Bedeutung der Finite-Elemente Methode ergibt sich aus

dem großen Einsatzspektrum. So können schon in der Entwurfsphase verschiedene

Konzepte auf ihre Tauglichkeit untersucht und die unterschiedlichsten Einflüsse

sondiert werden. Das Computer Aided Engineering (CAE) trägt so dazu bei, die

Entwicklungskosten und –zeit zu senken, die Anzahl von teuren Versuchsreihen zu

reduzieren und das Produkt optimal auszulegen. Voraussetzung für die Erfüllung

dieser Ziele ist dabei eine leistungsfähige Soft- und Hardware, hinreichende

Einarbeitungszeit in die verwendeten Softwareprodukte sowie eine kritische

Beurteilung der berechneten Ergebnisse. Um alle Vorteile des virtuellen Prototyping

ausnutzen zu können, ist ein großes Softwareportfolio notwendig, wodurch zum Teil

enorme Lizenzkosten anfallen. Dies ist insbesondere bei Optimierungen der Fall, wo

nach Möglichkeit viele Simulationen parallel laufen, um ein schnelles und

aussagekräftiges Ergebnis zu erhalten. Um die Lizenzkosten bei

Optimierungsprozessen niedrig zu halten bietet sich der Einsatz von Open-Source-

Software an. Hierbei muss beachtet werden, dass der Wegfall der Lizenzkosten

durch aufwendiges Einarbeiten in das neue Softwareprodukt oder durch

umständliches Integrieren in schon bestehende Prozesse relativiert werden kann.

Somit müssen bei der Verwendung von Open-Source-Softwareprogrammen die

Faktoren Einarbeitung, Integration, Ergebnisqualität und Kompatibilität bedacht

werden.

In dieser Arbeit wird einleitend ein Überblick über den Markt der Open-Source-

Finite-Elemente Programme gegeben und geeignete Pakete weiter untersucht.

Dazu werden einige Testbeispiele simuliert und die Ergebnisqualität anhand

Berechungen mit kommerziellen Programmen und einem analytischen Ergebnis

bewertet. Abschließend wird die Integration in einen Optimierungsprozess getestet.

2 Anforderungen an Finite-Elemente Programme



5


In der Automobilindustrie ist heute das Simulieren von Gesamtfahrzeugen oder

einzelnen Komponenten integrativer Bestandteil des Entwicklungsprozesses.

Frühzeitig werden neue Entwicklungen in der Softwaretechnologie angewendet und

vorhandene Programme durch neue Anforderungen an den Hersteller erweitert. So

umfasst das Einsatzspektrum an Simulationen zum Beispiel:

• Fahreigenschaftsimulationen.

• Numerische Strömungssimulationen zur Bewertung des Klimakomforts.

• Festigkeitsberechnungen, um das Bauteilversagen vorherzusagen.

• Kontaktanalysen (Crash) für Unfallsimulationen.

• Akustikuntersuchungen zur Geräuschminderung.

• Dynamiksimulationen, um das Schwingungsverhalten zu bewerten.

Für jede der oben aufgeführten Simulationen kommen jeweils spezielle Programme

aus verschiedenen Bereichen der nummerischen Simulation zum Einsatz. Der

Großteil an Berechnungen mittels der Finite-Elemente-Theorie befasst sich jedoch

mit dem Gebiet der Statik und Dynamik. Jeder Ingenieur lernt an der Hochschule

die analytischen Grundlagen, um Festigkeitsprobleme und das dynamische

Verhalten von Körpern zu berechnen. Um den Studenten einen kostenlosen Zugang

zur Finite-Elemente-Theorie und diese durch Übungen zu verfestigen, werden

häufig an den Universitäten eigene Programme entwickelt. Daher ist der Umfang an

Software, mit der sich Probleme aus diesen Bereichen berechnen lassen, groß.




6

2.1 Kriterien zur Auswahl der Open-Source Programme

Bei der Recherche zu Open-Source-Programmen wurden weit über 100

Softwarepakete gefunden (siehe Anhang A1). Grundsätzlich lassen sich die

Programme in drei Kategorien einteilen.

Zum einen sind das die Softwarepakete aus dem Umfeld einer Universität. Hier liegt

der Schwerpunkt in der Simulation von kleinen Problemen, die sich auch mit einer

Handrechnung lösen lassen, um den Studenten den Einstieg in die Finite-Elemente-

Theorie zu ermöglichen. Die Benutzerfreundlichkeit bei der Erstellung des Inputs ist

dabei nicht immer gegeben. Auch sind die Darstellungsmöglichkeiten der

Ergebnisse beschränkt und es gibt keine Importschnittstellen zu anderen FE-

Programmen.

Die zweite Kategorie sind die „semi-professionellen“ Open-Source Projekte. Hierbei

handelt es sich um Programme, die schon länger existieren und durch Webseiten

einer breiten Öffentlichkeit zugänglich gemacht wurden. Dies hat zur Folge, dass

immer mehr Personen an der Entwicklung beteiligt sind und eine breite

Benutzergemeinde durch Anwenden des Programms zur Fehlerbeseitigung

beitragen. Diese Programme besitzen meist Importschnittstellen zu anderen

Programmen und ermöglichen eine grafische Darstellung der Ergebnisse. Der Code

lässt meist das Parallelisieren der Simulation zu und verfügt über effektiv arbeitende

Gleichungslöser, um auch große Probleme zu berechnen.

Als letzte Kategorie gibt es die „low-cost“ Programme. Diese Software bietet einen

mit kommerziellen Programmen vergleichbaren Funktionsumfang und liefert meist

ausgereifte Pre- und Postprocessoren mit. Für die Verwendung der Software und

den Support fallen geringe Lizenzkosten an.

Bei den für diese Diplomarbeit untersuchten Programmen handelt es sich

ausschließlich um frei verfügbare (Open-Source) Produkte. Zur Auswahl geeigneter

Programme werden folgende Kriterien formuliert, die in Teilen erfüllt werden sollten:

• Importfunktion für CAD-Formate, wie z.B.: IGES, STEP

• Importfilter für Finite-Elemente Netze aus anderen Programmen, wie

NASTRAN, Abaqus, ANSYS. Hierdurch besteht die Möglichkeit,

kommerzielle Preprocessoren für die Vernetzung zu nutzen. Vorteilhaft an




7

diesem Vorgehen ist, dass diese Programme mehr Funktionen für eine

Vernetzung zur Verfügung stellen.

• Einfaches und klar definiertes Inputformat, um die Einarbeitung zu erleichtern

und Fehler zu vermeiden.

• Eigener Preprocessor oder kompatibel zu kommerziellen Programmen.

• Eine umfangreiche Elementbibliothek. Mindestens sollten hier Schalen- und

Volumenelemente vorhanden sein, die für eine Simulation im Raum (6

Freiheitsgrade) geeignet sind.

• Linear-elastisches Werkstoffverhalten.

• Fähigkeit stationäre, statische, transiente und dynamische Probleme zu

simulieren.

• Eigener Postprocessor oder kompatibel zu kommerziellen Programmen.

• Multiprozessorfähigkeit oder die Möglichkeit, Modelle parallel zu simulieren,

um die teilweise sehr großen Modelle berechnen zu können.

2.2 Übersicht Open-Source FE-Programme

Die im vorherigen Kapitel formulierten Anforderungen konnten nur wenige

Programme erfüllen. Viele Programme sind nur für die Berechnung von kleineren

Problemen geeignet, was daran liegt, dass der Hauptanteil der Programme in dem

Umfeld einer Universität entwickelt wurde. Somit waren meistens die

Grundvoraussetzungen wie Preprocessorfähigkeit, d.h. die Möglichkeit aus CAD-

Daten Finite-Elemente Netze zu erzeugen oder schon vorhandene Netze aus

anderen Formaten zu importieren, nicht gegeben. Oder Simulationen können nur in

der Ebene und nicht im dreidimensionalen Raum durchgeführt werden.

Aus den gefundenen Programmen werden nur zwei als aussichtsreiche Kandidaten

weiter untersucht. Das Programm OOFEM, welches an der Prager Universität für

Maschinenbau entwickelt wird und CalculiX, das von Mitarbeitern bei MTU in

München entwickelt wird.

In Tabelle 2-1 findet sich eine Funktionsübersicht der Programme. Hier sind auch

Open-Source Programme aus anderen Anwendungsgebieten aufgeführt, die im

Rahmen der Recherche gefunden wurden. Diese zeichnen sich durch einen sehr

fortgeschrittenen Entwicklungsstand aus oder sind die einzigen in ihrem




8

Einsatzbereich. Eine kurze Beschreibung der aufgeführten Programme findet sich in

den nachfolgenden Kapiteln.

Als sehr gutes Beispiel einer Open-Source Software muss das Programm

Code_Aster kurz erwähnt werden. Code-Aster wird von Electricitè de France (EDF),

dem französischen nationalen Energieversorgungsunternehmen, seit über 10

Jahren entwickelt und seit 2001 unter der GNU-Lizenz samt dem Quellcode zur

Verfügung gestellt wird. Das Programm kann unter http://www.code-aster.org/

herunter geladen werden. Es bietet den vollen Funktionsumfang einer

kommerziellen Software, wie z.B. MD NASTRAN, an und ist zu vielen Pre- und

Postprocessoren kompatibel. Ein gravierender Nachteil ist die französische

Dokumentation. Die notwendigen französischen Begriffe für das Inputformat und

den mitgelieferten Pre-/Postprocesor Salome lassen sich sicherlich erlernen,

machen einen Einstieg aber nicht gerade einfach.

Zur Zeit gibt es große Anstrengungen, um Code_Aster einer englischsprachigen

Benutzergemeinde zugänglich zu machen. Hier ist das Projekt CAElinux

[http://caelinux.com/CMS/] sehr weit fortgeschritten und bietet einen ersten Einstieg

in Code_Aster.

Aufgrund der Sprachbarriere und des großen Funktionsumfangs wird Code_Aster

nicht weiter in der Diplomarbeit untersucht.




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Tabelle 2-1. Übersicht Open-Source Programme




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2.2.1 CalculiX

Die Simulationsumgebung CalculiX kann statische, dynamische, nichtlineare

Probleme sowie Wärmeleitung, inkompressible Flüssigkeiten und Kontaktprobleme

berechnen. In dem Softwarepaket sind der Solver CalculiX CrunchiX und der Pre-

/Postprocessor CalculiX GraphiX enthalten (Abb. 2-1). Zur Lösung der

Gleichungssysteme stehen zwei iterative und ein direktes Verfahren zur Auswahl.

Falls die Programmexecutables aus den Sourcedateien kompiliert werden,

bestehen zusätzlich die Optionen einen „out-of-core“ Solver einzubinden, Dual-Core

CPUs anzusteuern und das Message Passing Interface (MPI) für Clustersysteme zu

implementieren. Der Simulationsinput gleicht dem Abaqusformat, wodurch auch

kommerzielle Preprocessoren für die Erstellung des Inputdecks verwendet werden

können. Der mitgelieferte Preprocessor hat keine grafische Benutzeroberfläche. Die

Vernetzung von Strukturen erfolgt daher innerhalb der Linuxshell. Einige Eingaben

werden in dem Grafikfenster des Postprocessor durchgeführt und der Fortschritt

kann hier verfolgt werden. Für komplexere Strukturen kann daher nur das

automatische Vernetzen mit Tetraederelementen angewandt werden. Die

Elementbiliothek ist sehr umfangreich und beinhaltet sogar Sonderelementen wie

z.B.: Gapelemente oder Multi Point Constraint Equations (MPC).

Abb. 2-1: Postprocessor CalculiX GraphiX [http://www.calculix.de/]

Die Materialdatenbank umfasst linear-elastisches, hyperelastisches,

viskoelastisches und elastoplatisches Materialverhalten. Inputdecks aus den




11

Simulationsprogrammen NASTRAN, Abaqus, Ansys, Code_Aster, Duns, ISAAC

und OpenFOAM können importiert werden. Für die Darstellung der Ergebnisse

durch CaluliX GraphiX stehen Fringeplots und Vektorplots oder „time histoy plots“

zur Verfügung. Animierte Strukturen werden in Form von Gif-Animationen exportiert.

Auf der Homepage von CalculiX lassen sich Tutorials, Beispiele und die

Dokumentationen zu CalculiX CrunchiX und CalculiX GraphiX herunterladen. Für

Fragen, die nicht mit dem Manual geklärt werden, gibt es ein sehr aktives Forum.

2.2.2 Open Foam

Open Foam ist ein Programm zur Simulation von kompressiblen / inkompressiblen

Fluiden, Wärmekonvektionsströmungen und Elektrodynamik. Das Programm ist

eine Softwaresammlung bestehend aus verschiedenen C++ Modulen. So besteht

die Möglichkeit, die zur Verfügung stehenden Solver, Pre-/Postprocessoren,

Datenvisualisierungsmodule und Netz-/Inputmanipulierungsprogramme einzeln

anzusteuern oder aber die Bibliotheken im vordefinierten Prozess anzuwenden. Die

Aufspaltung in einzelne Module ermöglicht dem Anwender eine Anpassung an seine

speziellen Bedürfnisse. In Kombination mit der gängigen Programmiersprache C++

lassen sich so leicht neue Prozesse implementieren und das Programm erweitern,

ohne dass die gesamte Softwarestruktur bearbeitet werden muss. Für den Import

von vorhandenen Inputdateien stehen Schnittstellen zu den kommerziellen

Programmen Fluent und Star-CD zur Verfügung. Dadurch wird das Erstellen neuer

Simulationsaufgaben erheblich vereinfacht und das Einarbeiten in den Open Foam

Input durch Vergleichen der verschiedenen Formate erleichtert. Finite-Elemente

Netze können aus den Programmen ANSYS, CFX, Ideas, gmsh und Netgen

importiert oder durch das implementierte Vernetzungsmodul erstellt und bearbeitet

werden. Dafür wird die Struktur zuerst in einer ASCII-Datei definiert und

anschließend automatisch vernetzt. Hier ist es von Vorteil, dass das Netz in einem

kommerziellen Programm mit grafischer Benutzeroberfläche erstellt werden kann

und hinterher in einem importfähigen Format eingelesen wird. Zum Manipulieren

stehen innerhalb von Open Foam grundsätzliche Befehle wie z.B.

Zusammenführen, Anbinden, Überprüfen, Verfeinern, Trennen usw. zur Verfügung.




12

Abb. 2-2: Pre-/Postprocessing Open Foam [http://www.opencfd.co.uk/openfoam/doc/]

Um einen Simulationslauf zu definieren bzw. zu editieren wird auf den eigenen

grafischen Pre-/Postprocessor zurückgegriffen (Abb. 2-2). Hier können alle

Aufgaben von Vernetzung bis hin zum grafischen Darstellen der Ergebnisse

grafisch abgearbeitet werden. Für das Postprocessing bietet Open Foam ein

eigenes Tool an oder aber die Ergebnisse werden in VTK-Format heraus

geschrieben und in dem Open-Source Programm Paraview

[http://www.paraview.org] bzw. dem kommerziellen Tool Ensight dargestellt. Für

Fragen oder einen ersten Einstieg gibt es ein aktives Diskussionsforum sowie

Tutorials und eine sehr ausführliche Dokumentation.

2.2.3 Impact

Mit der Software Impact können Crashanalysen und Umformprozesse simuliert

werden. Impact ist in JAVA geschrieben wodurch sehr leicht Simulationen auf

verschiedenen Computerarchitekturen durchführen lassen, da JAVA eine

plattformunabhängige Programmiersprache ist. Das Programm befindet sich jedoch

noch in einer frühen Entwicklungsphase. Somit sind die Kontaktdefinitionen,

Materialmodelle sowie die Elementbibliothek noch nicht sehr fortgeschritten. Impact

liefert aber bereits eine komplette Pre-/Postprocessingumgebung für die

Vernetzung, Simulationsdefintion und die grafische Darstellung der Ergebnisse




13

(Abb. 2-3). Weiterhin wird der Pre-/Postprocessor GiD und die Open-Source

Vernetzungssoftware Gmsh unterstützt. Für das Importieren von vorhandenen

Strukturen bietet Impact eine rudimentäre Schnittstelle zu NASTRAN, wobei

Randbedingungen und Materialdefinitionen nicht mit übersetzt werden. In Zukunft

wird hier aber mehr unterstützt, um eine große Zielgruppe durch das weit verbreitete

Format anzusprechen bzw. größtmögliche Kompatibilität zu gewährleisten. Hierfür

werden dann auch in einer fortgeschrittenen Version die Inputformate der

kommerziellen Crashprogramme Radioss und PAM-CRASH importiert werden

können.

Abb. 2-3: Pre-/Postprocessor Impact [http://impact.sourceforge.net/]

Als Zusatzfeature kann mit Impact eine Topologieoptimierung durchgeführt werden.

Im ersten offiziellen stabilen Release soll dann auch noch eine Parametrisierung

des Modells bei der Topologieoptimierung möglich sein. Die gesamte

Dokumentation und die Anwenderbeispiele befinden sich ebenfalls noch in einer

Betaphase. Aus der Mailingliste lässt sich eine sehr aktive

Entwickler/Anwendergemeinde ableiten und Fragen werden relativ schnell und

kompetent beantwortet.




14

2.2.4 MBDyn

MBDyn steht für MultiBody Dynamics Software. Es handelt sich hierbei um eine

Software zum Simulieren von Mehrkörpersystemen. Für das grafische Pre- und

Postprocessing stehen verschiedene Tools anderer Softwareprojekte zur

Verfügung. Da es sich (noch) um einen Forschungscode handelt, haben diese

Projekte die Entwicklung der grafischen Benutzeroberfläche übernommen (Abb.

2-4), während sich die Entwicklergruppe von MBDyn weiterhin um die Verbesserung

des Codes kümmert. Für nähere Informationen über die Pre-

/Postprocessorprogramme siehe:

• MBDyn sim suite Projekt [http://mbdynsimsuite.sourceforge.net/]

• Blender [http://www.osengineer.com/blendedmbdynintro.htm]

Neben den oben genannten Möglichkeiten steht noch eine Exportschnittstelle für die

Ergebnisanimation zu dem kommerziellen Programm ADAMS/View zur Verfügung.

Abb. 2-4: Pre-/Postprocessing Blender [http://www.osengineer.com/blendedmbdynusersguide.htm]

Um die Ergebnisqualität zu verbessern, können flexible Körper mit Hilfe von

NASTRAN generiert werden. Als Hilfe stehen neben den verschiedenen

Mailinglisten eine ausführliche Dokumentation sowie Tutorials und Beispiele zur

Verfügung.




15

2.2.5 OOFEM

OOFEM steht für Object Oriented Finite Element Solver. Mit OOFEM können

dynamische, statische und strömungsmechanische Berechungen sowie

Wärmekonvektionsströmungen simuliert werden. OOFEM kann auf mehreren

Rechnern parallel ausgeführt werden. Hierdurch besteht die Möglichkeit, auch

größere Strukturen zu simulieren. Die Elementbibliothek beinhaltet alle gängigen

Elementtypen für strukturmechanische Berechnungen, wobei aber das

Haupteinsatzgebiet der Elemente im zweidimensionalen Raum liegt. Für die

räumliche Abbildung von Strukturen stehen Tetraederelemente zur Verfügung. In

der Materialdatenbank finden sich elastische, plastische und spezielle

Materialmodelle, wie z.B. zur Simulation der Rissfortbildung in einem Körper.

Abb. 2-5: Postprocessing OOFEM [http://www.oofem.org/]

Das Erstellen eines Finite-Elemente Netzes für OOFEM muss mit den externen

Programmen t3d und Targe2 erfolgen. Beide Vernetzer fallen unter die Rubrik „low

cost“-Programme und bieten für den nicht kommerziellen Einsatz kostenlose

Versionen auf Anfrage an. Für das Postprocessing wird das Programm OOFEG

mitgeliefert (Abb. 2-5). Hiermit lassen sich Contourplots, Animationen und Farbplots

erstellen. Die Ergebnisse können mittels externer Programme, wie z.B. GNUPlot




16

oder auch Excel, zu X-Y Diagrammen weiter verarbeitet werden. Als alternative

Möglichkeit bietet sich das Exportieren der Ergebnisse in das VTK-Format an. Die

Darstellung erfolgt dann mit der Open-Source Software Paraview. Hilfe findet man

im Manual oder dem Userforum. Fragen im Forum werden aufgrund der kleinen

Benutzer-gemeinde im Moment überwiegend vom Entwickler beantwortet.




17

2.3 Besonderheiten von CalculiX/OOFEM

Bei der Durchführung der Beispielsimulationen zur Klärung der Einsatzgrenzen und

der Ergebnisqualität der Programme CalculiX und OOFEM sind einige

Besonderheiten aufgefallen. So ist zum Beispiel die in der Dokumentation von

OOFEM beschriebene Elementbibliothek nicht so umfangreich bzw. einsatzfähig

und der Postprocessor konnte selbst nach ausführlichem Kontakt mit dem

Programmierern nicht zum Laufen gebracht werden. CalculiX verwendet eine

spezielle Vorgehensweise, um Schalen- und Balkenelemente abzubilden. Schalen-

und Balkenelemente werden zu Hexaederelementen expandiert. Um die

Durchbiegung richtig abzubilden, können nur Elemente mit quadratischer

Ansatzfunktion (Elementen mit Mittelknoten auf den Elementkanten) verwendet

werden. Durch dieses Vorgehen wird die Modellgröße künstlich vergrößert. Für

Strukturen mit Schalenelementen erhöht sich die Modellgröße um den Faktor 2,5

und für Balkenstrukturen sogar um den Faktor 6,7. Im folgenden Abschnitten

werden einige Features und besondere Eigenheiten der Open-Source Programme

aufgeführt.

2.3.1 CalculiX

CalculiX verwendet bei der Abbildung von Schalen- und Balkenelemente eine

besondere Strategie. Für Schalenelemente wird derselbe Ansatz wie in Abaqus

(SC8R Continuum Shell Element) für dicke Schalen angesetzt. Zweidimensionale

Elemente werden entlang der Schalenelementnormalen zu dreidimensionalen

Hexaederelementen bzw. dreieckige Schalen zu Keilelementen expandiert. Dabei

definiert das Originalschalenelement die Mittelfläche, von der aus jeweils die Hälfte

der Schalendicke in die positive und die negative Normalenachse extrudiert wird

(Abb. 2-6). Die Knotenanzahl für das Schalenelement erhöht sich hierdurch von

acht Knoten auf zwanzig und damit um den Faktor 2,5. Somit wird die noch

rechenfähige Modellgröße bei der Verwendung von Schalen- und Balkenelementen

deutlich reduziert. Hier wird sehr schnell die Leistungsgrenze eines Computers

erreicht und für die Simulation wird ein iteratives Verfahren notwendig. Eine

Übersicht der in CalculiX enthaltenen Gleichungslöser und deren Einsatzgrenzen

findet sich in Kapitel 3.4 Test Modellgröße.




18

Abb. 2-6: Expansion Plattenelemente

Um die Verbindung der neu generierten Volumenelemente zu gewährleisten,

werden sogenannte „knot“ eingeführt. Die neuen Knoten sind in einem „knot“

nummerisch zusammengefasst und es wird sicher gestellt, dass bei Belastung der

rotatorischen Freiheitsgrade diese auf die translatorischen der Hexaederelemente

umgerechnet werden. „Knots“ werden generiert, wenn

• benachbarte Elemente eine unterschiedliche Elementnormalenrichtung

haben,

• verschiedene Elementtypen miteinander verbunden sind,

• die Dicke variiert,

• eine Randbedingung auf den rotatorischen Freiheitsgraden vorliegt oder

• ein Biege- oder Torsionsmoment angreift.

Wenn einer der oben aufgeführten Punkte erfüllt ist, wird bei Balkenelementen, wie

für Schalenelemente, ein „knot“ generiert. Die Knotenanzahl erhöht sich dabei um

den Faktor 6,7 für Balkenelemente und um den Faktor 2,5 bei Schalenelementen

durch die Expansion (Abb. 2-7). Bei Belastung eines Schalenelementknotens mit

einer Punkkraft wird die Last auf den Referenzknoten des „knots“ aufgebracht. Falls

kein „knot“ vorhanden ist und ein Mittelknoten belastet wird, greift jeweils die Hälfte

der Kraft auf die expandierten Knoten an. Für die äußeren Elementknoten wird die




19

Kraft zu 1/6 - 2/3 - 1/6 aufgeteilt. Bei Belastung eines Balkenknotens mit einer

Punktlast wird diese zu 1/4 - 1/4 - 1/4 - 1/4 für Elementmittenknoten bzw. zu (-1/12)

- (1/3) - (-1/12) - (1/3) - (-1/12) - (1/3) - (-1/12) - (1/3) für Endknoten aufgeteilt. Durch

die Generierung von Hexaederelementen für Balkenstrukturen (Abb. 2-7) können

nur rechteckige und elliptische bzw. als Sonderfall der Ellipse kreisförmige

Balkenquerschnitte verwendet werden.

Abb. 2-7: Expansion Balkenelement

Bei Modellen mit Schalen- oder Balkenelementen, wird wie oben erläutert, die zu

berechnende Modellgröße deutlich erhöht. Hier kann schnell die zu Verfügung

stehende Rechnerkapazität ausgeschöpft sein. Wenn CalculiX aus dem

Sourcecode selber kompiliert wird, kann ein „out-of-core“ Solver implementiert

werden. Vorteil hierbei ist, dass, falls die Rechnerkapazitäten nicht ausreichen, die

schon berechneten Gleichungen auf die Festplatte ausgelagert werden. Nachteilig

an dem Vorgehen ist die langsame Rechengeschwindigkeit, die durch den Schreib-

und Lesevorgang auf die Festplatte hervorgerufen wird. Das Implementierten des

„out-of-core“ Solvers bzw. das Kompilieren von CaluliX aus den Sourcedateien

erfordert jedoch einige Linux- und Programmierkenntnisse. Als weitere Möglichkeit

zur Simulation großer Modelle zu simulieren kann CalculiX auf

Computerclustersystemen installiert werden. Auch hierfür müssen die

Programmexecutables selber aus den Sourcedateien erstellt werden, damit das

benötigte Message Passing Interface (MPI) zur Verfügung steht. Als letzte Option

für eine effiziente Simulation von großen Modellen kann das Multiphreading aktiviert

werden, wodurch bei mehr Prozessorkernsystemen beide CPUs verwendet werden.

Da heutige Computersysteme immer häufiger mit Dual-Core CPUs (zwei




20

Prozessorkerne) ausgeliefert werden, bietet sich diese Option an und sollte immer

mit kompiliert werden.

CalculiX verwendet für die Definition des Simulationsinputs ein dem kommerziellen

Programm Abaqus ähnliches Format. Für Benutzer von Abaqus entsteht so keine

Einarbeitungszeit. Vorteilhaft an dem Vorgehen ist, dass jeder kommerzielle

Preprocessor für die Erstellung von CalculiX-Inputdateien benutzt werden kann.

Kommerzielle Programme bieten meist eine benutzerfreundliche grafische

Oberfläche, so dass die Erstellung der Inputdateien einfacher fällt. Auch bieten

kommerzielle Programme deutlich mehr Möglichkeiten an, um komplizierte

Strukturen zu vernetzen. Somit lässt sich CaluliX in schon bestehende Prozesse

einfach implementieren, ohne dass Ausfallzeiten oder Komplikationen für neue

Anwender anfallen. Anzumerken ist jedoch, dass das verwendete Format einem

älteren Abaqusstand entspricht, so dass für den Anfang immer im CalculiX-Manual

nach der genauen Definition der Einträge geschaut werden muss.

2.3.2 OOFEM

Bei OOFEM hat sich der sehr kompliziert zu erstellende Input als ein großes

Hindernis herausgestellt. So muss zum Beispiel bei der Knotenpunktdefinition für

jeden Knoten die Lasteinleitung und die Randbedingung angegeben werden (siehe

Kapitel A2.1). In Kombination mit der sehr technisch gehaltenen Dokumentation

unterlaufen so leicht Fehler im Inputdeck. Falls ein Fehler auftritt, erhält der

Benutzer kein Feedback vom Programm über die Art des Problems, was das

Beseitigen des Fehlers erschwert. Das zu OOFEM kompatible

Vernetzungsprogramm targe2 konnte nach einer ausführlichen Internetrecherche

nicht gefunden werden. Auf Nachfrage beim Entwickler von OOFEM hat sich

herausgestellt, dass die Entwicklung von targe2 eingestellt wurde. Der alternative

Preprocessor t3d besitzt keine Importschnittstelle für CAD-Formate, daher müssen

Geometriedaten neu in t3d erstellt werden. Finite-Elemente Netze aus anderen

Programmen können ebenfalls nicht verwendet werden. Eine Bewertung über die

Benutzerfreundlichkeit des Preprocessors t3d kann nicht erfolgen, da die

erforderlichen ASCII-Inputdateien für die durchgeführten Tests von Hand erzeugt

wurden. Eine genaue Beschreibung des Programms findet sich auf der Website




21

http://mech.fsv.cvut.cz/~dr/t3d.html. Im Verlauf der Arbeit hat sich bei der

Durchführung der Beispieltests gezeigt, dass die Elementbibliothek weniger

umfangreich als angegeben ist. Es wurde festgestellt, dass der Haupteinsatzbereich

von OOFEM im zweidimensionalen Raum liegt, da hierfür die meisten Elemente

implementiert sind. Zur Simulation von dreidimensionenaler Probleme stehen nur

Tetraederelemente zur Verfügung und zum Berechnen von Schalen und Platten

können nur Dreieckselemente verwendet werden. Bei beiden Elementtypen muss

daher immer die schlechte Ergebnisqualität durch zu grobe Vernetzung beachtet

werden. Für die Darstellung der Ergebnisse liefert OOFEM den Postprocessor

OOFEG mit. Auf den verwendeten Computersystemen mit RedHat Linuxdistribution

stellten sich einige Fehler ein. Die simulierten Finite-Elemente Netze konnten zwar

dargestellt werden, aber die farbliche Kodierung der Ergebnisse funktionierte nicht.

Auch ist der Export in das VTK-Format, um den Simulationslauf mittels Paraview

darzustellen, noch nicht stabil. Auf Anfrage bei den Entwicklern hat sich

herausgestellt, dass OOFEG im Moment komplett umgeschrieben wird und daher

keine fehlerfrei lauffähige Version vorhanden ist. Die Probleme mit dem VTK-Format

liegen an dem frühen Entwicklungsstadium der Schnittstelle.

Abschließend sei darauf hingewiesen, dass OOFEM von der „Czech Technical

University“ in Prag entwickelt wird. Der Grund für die Programmierung von OOFEM

ist, den Studenten der technischen Fakultät zu einem kostenlosen Zugang zur

Finite-Elemente-Theorie zu verhelfen. Hiermit soll ermöglicht werden die

Vorlesungsinhalte durch praktische Anwendung zu vertiefen. OOFEM ist ein

weiteres FE-Programm, das aus dem universitären Umfeld kommt und wurde nur

deshalb einer tiefer gehenden Untersuchung unterzogen, um die Einsatzgrenzen zu

deutlich fortgeschritteneren Programmen aufzuführen. Bei all der Kritik und den

Einschränkungen sollte dies immer berücksichtig werden und es ändert nichts an

der Tatsache, dass es sich hier um ein voll einsatzfähiges Finite-Elemente Paket

handelt.

3 Evaluation der FE-Programme



22


Um einen Überblick über die Ergebnisqualität und Benutzerfreundlichkeit der Open-

Source Finite-Elemente Programme zu erhalten, werden drei Tests mit

Standardsimulationsarten durchgeführt. Eine statische Simulation, bei der die

Enddurchbiegung einer dünnen Schalenstruktur berechnet wird. Der zweite Test

simuliert die ersten drei Biegeeigenfrequenzen eines Balkens. Im letzten Test sollen

die ersten sechs Eigenfrequenzen einer quadratischen Plattenstruktur berechnet.

Um einen Überblick über die Lösungsqualität der verwendeten Elementdefinition zu

erhalten, werden die Finite-Elemente Netz der ersten beiden Tests iterativ

verfeinert. Die Ergebnisse der Simulationen werden anschließend mit den Lösungen

der kommerziellen Programme Abaqus und NASTRAN sowie einer analytischen

Lösung verglichen. Bei der Eigenschwingungssimulation der quadratischen Platte

wird auf eine Verfeinerung des Netzes verzichtet. Hier wird die

Benutzerfreundlichkeit des Postprocessors CalculiX-CrunchiX untersucht.

Zum Schluss werden durch verschieden große Simulationsmodelle die

Einsatzgrenzen von CalculiX bestimmt.

Die analytische Herleitungen zu den Tests findet sich im Anhang 3.




23

3.1 Durchbiegung Blattfeder

Simuliert wird eine dünne schlanke Struktur, Länge zu Dicke (mm

mm

t

l

2

100= ) und einer

Breite von mm10 , mit einseitiger fester Einspannung. Am gegenüberliegenden Ende

wird die Struktur mit einer Einheitslast belastet (Abb. 3-1). Ausgewertet wird die

maximale Verschiebung am Lastangriffspunkt. Durchgeführt werden neun

Rechnungen mit unterschiedlicher Elementdiskretisierung. Dabei ändert sich die

Verteilung der Elemente im Verhältnis über der Länge und Breite.

Abb. 3-1: FE-Modell Test 1

Aufgrund der Eigenheiten bei der Schalendefinition von CalculiX (Expansion zu

Hexaederelement mit 20 Knoten, siehe Kapitel 2.3.), verhält sich die Struktur bei

einer geringen Elementanzahl über der Länge zu steif. Es treten deutliche Locking-

Effekte auf, die sich in einer zu kleinen Verschiebung des Lastangriffspunktes

zeigen. In der Ergebnisauswertung (Abb. 3-3/Abb. 3-4) ist dieser Effekt deutlich zu

beobachten. Das relativ große Locking, das sich bei der anfänglichen geringen

Elementanzahl einstellt, lässt sich durch das schlechte Seitenverhältnis (engl.:

„aspect ratio“) bei der Berechnung dünner Strukturen durch Volumenelemente

erklären. Mit feiner werdender Diskretisierung über der Länge sinkt das Verhältnis

von 2

20=t

h

keElementdic

geElementlän auf

5

2

h

t= und es stellt sich ein brauchbares Ergebnis ein.




24

Die farbliche Auswertung der Verschiebung (Abb. 3-2) zeigt wie sich die

Durchbiegung durch Steigerung der Elementanzahl über der Länge zur

Einspannung hin verschiebt, d.h. die Struktur wird weicher.

Abb. 3-2: Einfluss Elementdiskretisierung auf Verschiebung (Bild: CalculiX-GraphiX)

Bei der Auswertung der Ergebnisse wird deutlich, dass das Lösungsverhalten

maßgeblich von der Elementdiskretisierung über der Länge abhängt (Abb. 3-3).

Mehr Elemente über die Breite verbessern die Ergebnisse kaum. Allgemein bleibt

die Differenz, gegenüber dem analytischen Ergebnis zwischen ca. 4 - 6% für die

grobe Diskretisierung und verringert sich auf 1,5% für die Feinste.

Im Vergleich mit der NASTRAN-Lösung, sowohl mit als auch ohne Mittelknoten auf

den Elementkanten, wird kein großer Unterschied zu den Ergebnissen der

analytischen Lösung festgestellt (Abb. 3-4). Die Simulation durch NASTRAN liefert

bei schon fünf Elementen über der Länge eine gute Lösung, die bei Erhöhung der

Elementanzahl weiterhin relativ konstant bleibt.

Eine Besonderheit von CalculiX ist, dass bei Simulationen von Schalen- und

Balkenelementen die Berechnung durch einen iterativen Solver erfolgt. Der

Gebrauch einer solchen Lösungsstrategie ist für diese Berechnung durchaus

fragwürdig. Durch die kleine Krafteinleitung kommt es nur zu sehr geringen

Verschiebungen im System. Hierdurch wird das Konvergenzkriterium schnell erfüllt




25

und die Rechnung wird zu frühzeitig abgebrochen, obwohl evtl. noch nicht die

richtige Lösung erreicht wurde.

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

5x1 10x1 20x1 5x2 10x2 20x2 5x3 10x3 20x3

Diskretisierung (Länge x Breite )

Diff

eren

z [%

]

CalculiX OOFem

Abb. 3-3: Vergleich analytische Lösung / Open-Source

Die Qualität der OOFEM Simulation liegt deutlich unter der von CalculiX. Im

Vergleich mit dem analytischen Ergebnis werden wie bei CalculiX zu geringe Werte

berechnet (Abb. 3-3). Eine Verbesserung wird auch nicht durch eine Erhöhung der

Elementanzahl erreicht.

Der Grund hierfür liegt darin, dass OOFEM für die Simulation von dünnen

Strukturen nur lineare dreieckige Plattenelemente ohne Knoten auf dem

Elementrand anbietet. Die hier verwendete Elementanzahl ist eindeutig zu gering,

um ein akzeptables Ergebnis zu erhalten. Es wäre ein deutlich feineres Finite-

Elemente Netz nötig, um den Fehler durch die zu steifen Biegeeigenschaften der

linearen Dreieckselemente zu verringern.

Nastran (lin) - OpenSource

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

5x1 10x1 20x1 5x2 10x2 20x2 5x3 10x3 20x3

Diff

eren

z [%

]




26

Nastran (quad) - OpenSource

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

5x1 10x1 20x1 5x2 10x2 20x2 5x3 10x3 20x3

Diskretisierung (Länge x Breite)

Diff

eren

z [%

]

CalculiX OOFem

Abb. 3-4: Varianten NASTRAN (Schubweich) / Open-Source

3.1.1 Fazit

Allgemein ist die Ergebnisqualität von CalculiX bei einer sinnvollen Diskretisierung

zufrieden stellend. Die Elementabbildung von Schalenelementen, innerhalb von

CalculiX, durch Hexaederelemente führt zu einem steifen Strukturverhalten (Abb.

3-5). Als kritischer Parameter, von dem das Konvergenzverhalten der Lösung

abhängt, hat sich das Seitenverhältnis der Volumenelemente

t

l

keElementdic

tenlängeElementseigrößte = (engl. aspect ratio) heraus gestellt. Je feiner die

Diskretisierung ist, desto kleiner wird das Seitenverhältnis. Die Elemente werden

zunehmend weicher und die Lösung streb hin zum analytischen Ergebnis.

Die restliche Abweichung des Ergebnisses ergibt sich durch die iterative

Lösungsstrategie. Durch die Schalenelemente und die Randbedingung auf den

rotatorischen Freiheitsgraden (siehe Kapitel 2.3) erfolgt die Berechnung iterativ. Die

kleinen Verschiebungen im System führen zu einem schnellen erreichen des

Konvergenzkriteriums und die Rechnung wird zu früh beendet.

OOFEM ist für den professionellen Einsatz nicht geeignet. Das Fehlen von

Rechteckplattenelementen bzw. Elementen mit Knoten auf den Elementkanten

erweist sich doch als gravierender Nachteil, neben den schon in Kapitel 2.3.2

aufgeführten Einschränkungen. Es zeigt sich hier das deutlich schlechtere Verhalten

von Dreiecksplattenelementen.

Auch konnte der integrierte Postprocessor nicht zum Laufen gebracht werden,

wodurch keine grafische Auswertung erfolgen konnte. Als Alternative bietet sich das




27

Exportieren der Ergebnisse in das VTK-Format an. Aber diese Möglichkeit

funktionierte nicht direkt und kann nur mit einigem Programmieraufwand erneut

funktionsfähig gemacht werden.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

20x1 20x2 20x3

Diskretisierung (LxB)

Diff

eren

z [%

]

CalculiX Nastran linear Nastran quadratischAbaqus S8R Abaqus S8R5

Abb. 3-5: Vergleich aller FE-Ergebnisse mit der analytischen Lösung.

In Abb. 3-5 sind die Ergebnisse der kommerziellen Programme für das Problem

dargestellt. Auch hier lassen sich kleine Unterschiede zum analytischen Wert

beobachten. Jedoch ist die Ergebnisqualität schon bei der groben Diskretisierung

deutlich besser als bei den Open-Source Programmen.




28

3.2 Biegeeigenfrequenz Balken

Simuliert wird ein kurzer gedrungener Balken mit Rechteckquerschnitt, mit Hilfe von

Balkenelementen. Der Balken ist einfach gelagert, was bedeutet, dass keine

Zwangsbedingungen auf die rotatorischen Freiheitsgrade (Einspannung, Fixierung)

angewendet werden. Eine Verschiebung in x-Richtung ist am Lager A möglich (Abb.

3-6). Die anderen translatorischen Freiheitsgrade der Lagerung sind fixiert.

Berechnet werden die ersten drei Biegeeigenfrequenzen, bei unterschiedlichen

Diskretisierungsgrad des Balkens.

Abb. 3-6: FE-Model Test 2

Die Elementanzahl der verschiedenen Eigenfrequenzsimulationen beträgt 3, 5, 6

und 30 Balkenelemente. Dabei ändert sich die Elementlänge von

3

30mm

n

l

ElementeAnzahl

BalkensdeseGesamtläng == auf 30

30

l mm

n= .

Die Eigenformen der Biegemoden werden von CalculiX richtig berechnet. Die

Darstellung durch den Postprocessor CalculiX-CrunchiX funktioniert problemlos

(Abb. 3-7). Auffällig ist, dass der dritte Eigenmode mit nur fünf Balkenelementen

richtig dargestellt wird. Dies erklärt sich dadurch, dass die Balkenelemente zu




29

Hexaederelementen mit Mittelknoten (siehe Kapitel 2.3.) expandiert werden.

Hierdurch wird eine Verformung der Balkenelementmitte möglich, während bei der

Simulation mit NASTRAN und Abaqus lineare Balkenelemente verwendet werden.

I Mode / 5 Elm

II Mode / 5 Elm

III Mode / 5 Elm

I Mode / 30 Elm

II Mode / 30 Elm

III Mode / 30 Elm

Abb. 3-7: Eigenformen CalculiX (Bild: CalculiX-Grap hix)

Im Vergleich mit der analytischen Lösung nach Bernoulli liefert CalculiX bei drei

Elementen ein gutes Ergebnis für die ersten drei Eigenfrequenzen. Mit steigender

Elementanzahl und höheren Eigenmoden wird die FE-Struktur zunehmend weicher

(Abb. 3-8) und die FE-Lösung divergiert zunehmend zu niedrigen Eigenfrequenzen.

Für die Eigenfrequenzen nach der Timoshenkotheorie fallen die Ergebnisse für die

kleinen Diskretisierungsgrade bei steigendem Eigenmode schlechter aus. Eine

Erhöhung der Elementanzahl verbessert die Werte für die Eigenfrequenzen und das

Ergebnis konvergiert hin zu den analytischen Werten (Abb. 3-8).

Der Vergleich mit NASTRAN ergibt ein anderes Bild der Lösungsqualität von

CalculiX. Hier fällt auf, dass für drei Balkenelemente kein Ergebnis für den dritten

Eigenmode vorliegt. NASTRAN liefert hierfür keinen Wert, was daran liegt, dass die

Eigenform mit drei linearen Balkenelementen nicht abgebildet werden kann,

während bei CalculiX durch die Expansion zu Hexaederelementen mit Mittelknoten

eine Deformation in der Balkenmitte zulässig ist. Die Ergebnisse der beiden

Simulation differieren in den Schranken von ±8% im Vergleich mit der NASTRAN-

Lösung und korrelieren deutlich besser als im Vergleich mit den analytischen

Lösungen.




30

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

3 5 6 30Elementanzahl

Diff

eren

z [%

]

Mode 1 (Bernoulli) Mode 2 (Bernoulli) Mode 3 (Bernoulli)

Mode 1 (Timoshenko) Mode 2 (Timoshenko) Mode 3 (Timoshenko) Abb. 3-8: Vergleich analytische Lösung (nach Timoshenko und Bernoulli) / CalculiX

Im Vergleich mit den NASTRAN-Bernoulli-Lösungen wird das Strukturverhalten zu

weich wiedergegeben. Mit zunehmender Elementanzahl und Eigenmode

divergieren die Ergebnisse schnell (Abb. 3-9). Ein ähnliches Ergebnis lässt sich für

die NASTRAN-Timoshenko-Lösungen feststellen, wobei jedoch die

Eigenfrequenzen anfänglich zu hoch berechnet. Nastran

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

3 5 6 30Elementanzahl

Diff

eren

z [%

]

Mode 1 (Bernoulli) Mode 2 (Bernoulli) Mode 3 (Bernoulli)Mode 1 (Timoshenko) Mode 2 (Timoshenko) Mode 3 (Timoshenko)

Abb. 3-9: Vergleich NASTRAN / CalculiX




31

3.2.1 Fazit

CalculiX berechnet die Eigenfrequenzen mit relativ guter Übereinstimmung zu den

Werten von NASTRAN (Abb. 3-9). Es lässt sich feststellen, dass CalculiX immer

niedrigere Werte im Vergleich mit NASTRAN liefert. Der verwendete Ansatz von

CalculiX, Balkenelemente durch Hexaederelemente abzubilden, kann durchaus

verwendet werden und zeigt bei vernünftiger Diskretisierung eine gute

Ergebnisqualität. Mit zunehmender Elementanzahl divergiert das Ergebnis jedoch

deutlich zu niedrigeren Eigenfrequenzen, was darauf schließen lässt, dass das

Strukturverhalten bei Simulationen mit Balkenelementen zu weich wiedergegeben

wird. Im Vergleich mit der analytischen Lösung nach der Bernoulli-Theorie werden

die Ergebnisse von CalculiX zu niedrig berechnet. Bezüglich der Timoshenko-

Theorie sind die Werte anfangs jedoch zu hoch, während bei steigender

Elementanzahl konvergiert das Ergebnis zu dieser analytischen Lösung konvergiert.




32

3.3 Eigenfrequenzen Platte

In der hier durchgeführten Simulation werden die ersten sechs Eigenfrequenzen

einer dünnen quadratischen Platte berechnet (Abb. 3-10). Die Struktur ist an den

Rändern fest eingespannt, so dass in den sechs Freiheitsgraden der

Plattenelementrandknoten keine Verschiebung stattfinden kann.

Abb. 3-10: FE-Modell Test 3

Die Eigenformen der verschiedenen Eigenmoden werden von CalculiX-GraphiX

(Postprocessor siehe Kapitel 2.3) richtig dargestellt. Hierfür wird die Möglichkeit

Farbplots (engl. fringe plot) zu erstellen genutzt, wodurch die unterschiedlichen

Deformationsgrade der einzelnen Elemente farblich getrennt aufgetragen werden.

Im direkten Vergleich der Plots mit NASTRAN (diese wurden mit dem

Postprocessor PATRAN erstellt) lässt sich jedoch eine kleine Drehung bei der

Plattendeformation der Modes 2 und 6 um die Symmetrieachsen erkennen. Diese

Abweichung ist kein Fehler in der grafischen Darstellung, sondern kann leicht durch

nummerische Ungenauigkeiten bei der Berechnung (Nachkommastellenanzahl,

64/32 Bit Betriebsystem) oder Vernetzung (Knotenkoordinaten nicht exakt genug)

entstehen.




33

Abb. 3-11: Eigenformen CalculiX (Bild:CalculiX-Crun chiX)

Grundsätzlich wird das Schwingungsverhalten der Platte in guter Korrelation zu den

Farbplots von NASTRAN dargestellt (vergleiche Abb. 3-11 / Abb. 3-12). Ein Nachteil

bei der farblichen Darstellung von Ergebnissen mittels CalculiX-GraphiX ist, dass

sich die Farbskalierung nicht verändern lässt. Es werden immer die in CalculiX-

GraphiX voreingestellten Farben für die Darstellung benutzt. Nur die dazugehörige

Werteskalierung kann geändert werden.

Generell ist der Postprocessor sehr intuitiv zu bedienen, und nach kurzer

Einarbeitung kann der volle Funktionsumfang genutzt werden (Siehe Kapitel 2.3).

Abb. 3-12: Eigenformen NASTRAN (Bild: Patran)

Da durch die Expansion der CalculiX-Schalenelemente zu Volumenelementen

immer ein Hexaederelementnetz berechnet wird und in den vorhergehenden Test

eine teilweise gute Übereinstimmung der Ergebnisse mit Schalen- und




34

Balkenelementen festgestellt wurde, wird hier das Referenzergebnis durch eine

Volumenstruktur ermittelt, um einen Vergleich mit der „speziellen Schalen-

/Hexaederelementdiskretisierung“ zu ermöglichen. Für diesen Vergleich wird die

Platte mit derselben Elementanzahl von 100x100 Elementen über der Länge und

Breite (der Schalenstrukturen) mit Hexaederelementen diskretisiert. Über der Dicke

wird mit drei Elementen vernetzt. Die Berechnung der Eigenfrequenzen der

Volumenstruktur erfolgt mittels Abaqus. Alle anderen Ergebnisse der kommerziellen

Programme beziehen sich auf die Simulation mit Schalenelementen.

Die mittels CalculiX berechneten Eigenfrequenzen weisen eine konstante Differenz

zu der Lösung der Hexaederstruktur auf. Es lässt sich keine Änderung im Ergebnis

feststellen. Da hier nur ein Finite-Elemente-Netz berechnet wird, kann keine

Aussage über das Lösungsverhalten (Konvergenzverhalten, Lockingphänomene)

gemacht werden. Das im zweiten Test festgestellte zu weiche Verhalten durch die

Hexaederelementabbildung lässt sich hier wieder beobachten. Mit aber nur

ca. -1,7% Differenz zur Volumenstruktur und 1,5% zu den NASTRAN-Lösungen

wird hier eine sehr gute Ergebnisqualität erreicht.

Hexaedermodel

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 2 3 4 5 6Mode

Diff

eren

z [%

]

Calculix Abaqus S8R5 Nastran linearNastran quadratisch Analytisch

Abb. 3-13: Vergleich Eigenfrequenzen Hexaeder- / Schalenmodell

In Abb. 3-13 ist neben den Finite-Elemente-Ergebnissen eine analytische Lösung

der Eigenfrequenzen für eine fest eingespannte Platte dargestellt (nach Young




35

[LEI61]). Diese wurde im Rahmen einer Untersuchung der Nasa [LEI69] zum

Schwingungsverhalten von Schalen- und Plattenstrukturen veröffentlicht. Im Anhang

sind die Berechnungsformel und die Eigenformen aus der Untersuchung aufgeführt.

Auf eine Bewertung der Eigenfrequenzwerte der analytischen Lösung bzw. der

Finite-Elemente Simulation wird hier verzichtet. Eine Diskussion zum Thema ist im

Anhang zu finden.

3.3.1 Fazit

Das Ergebnis der Eigenfrequenzsimulation mittels CalculiX ist durchaus zufrieden

stellend. Für die hier verwendete feine Vernetzung der Platte ergibt sich eine gute

Lösungsqualität. Auch hier lässt sich ein kleiner Unterschied zu den Werten der

kommerziellen Programmen feststellen, der durch die spezielle

Schalenelementabbildung hervorgerufen wird. Durch dieses Vorgehen wird das

Strukturverhalten zu weich bei dynamischen Simulationen abgebildet. Bei weiterer

Verfeinerung des Netzes ist davon auszugehen, dass, wie in der

Eigenfrequenzberechnung der Balkenstruktur festgestellt wurde, eine weitere

Steigerung der Genauigkeit erfolgt. Grundsätzlich ist jedoch eine gute Näherung zur

Referenzlösung mit einer konstanten Differenz von ca. 1,8% gefunden worden. Das

Auswerten der Ergebnisse durch CalculiX-GraphiX erfolgt nach kurzer

Einarbeitungszeit ohne weitere Probleme. Die Oberfläche des Postprocessors ist

sehr einfach gehalten und intuitiv zu bedienen. Alle wichtigen Funktionen werden

mittels der rechten Maustaste aktiviert. Negativ aufgefallen ist nur, dass sich die

Farben für die Darstellung der Ergebnisse nicht einstellen lassen. Hierfür werden

immer Voreinstellungen verwendet und nur die dazugehörigen Skalierungswerte

können geändert werden.




36

3.4 Test Modellgröße

Die Einsatzfähigkeit eines Finite-Elemente Programms wird hauptsächlich durch die

Größe der rechenfähigen Finite-Elemente Netze bestimmt. Bei Simulationen in der

Automobilindustrie werden Strukturen mit mehreren Millionen Elementen berechnet.

In Optimierungsprozessen sind meist nur Teilssysteme mit einigen tausend

Elementen zu simulieren, wobei es hier auf die Schnelligkeit der Lösung ankommt,

um den Optimierungsprozess zeitlich nicht unnötig zu verlängern. Um die maximal

mögliche Modellgröße der simulationsfähigen Finite-Elemente-Strukturen zu

bestimmen, wird ein Quader mit Hexaederelementen vernetzt. Die Anzahl der

Elemente wird für die Simulation sukzessive erhöht. Für die durchgeführten

Rechnungen ergibt sich folgende Element-/Knotenanzahl (Tabelle 3-1).

Simulation I II III IV V Elementanzahl 8000 64000 216000 512000 1020100 Knotenanzahl 9261 68921 226981 531441 1050804

Tabelle 3-1: Modellgrößen des Benchmarks

Die Volumenstruktur ist an der unteren Fläche fest eingespannt. Eine

Einheitsflächenlast wird auf der gegenüberliegenden Seite aufgebracht. Zur

Durchführung der Simulationen werden ein 32Bit und ein 64 Bit System verwendet,

die jeweils mit 2 Prozessoren ausgestattet sind. Der 32Bit Computer kann bei einer

Simulationen pro CPU maximal 2GB Arbeitsspeicher (RAM) adressieren. Für das

64Bit System können höchstens 12GB Arbeitspeicher für die Rechnung allokiert

werden, also pro CPU 6Gb RAM.

CalculiX bietet für die Berechnung von Finite-Elemente Modellen drei verschiedene

Lösungsverfahren an. Einen direkten Gleichungslöser und zwei iterative Verfahren.

Bei kleinen Modellen und genügend Arbeitsspeicher kann der direkte

Lösungsalgorithmus „SPOOLES“ verwendet werden. Bei dem direkten Verfahren

werden die Systemmatrizen komplett in den Arbeitsspeicher geschrieben

(gespeichert) und gelöst. Hierdurch wird die maximale Modellgröße durch den zur

Verfügung stehenden Arbeitsspeicher beschränkt. Die iterativen Verfahren

benötigen deutlich weniger Arbeitsspeicher, da nur die aktuell zu berechnenden

Matrixeinträge und Lösungen der vorher durchgeführten Operationen gespeichert

werden. Vorzugsweise werden diese Verfahren bei Simulationen mit vielen




37

Elementen oder bei nichtlinearen Problemstellungen verwendet. Hierfür bietet

CaculiX die iterativen Verfahren „iterative Scaling“ und „iterative Cholesky“ an.

In Abb. 3-14 ist der Vorteil der iterativen Verfahren in Bezug auf den benötigten

Arbeitsspeicher deutlich zu erkennen. Der Speicherverbrauch der iterativen Solver

ist bei dem hier simulierten Modell um den Faktor 4 kleiner als bei der Berechung

mit dem direkten Solver „SPOOLES“. Ab einer Problemgröße von ca. 100 000

Elementen stellt sich auch ein Unterschied bei den iterativen Verfahren

ein.

0

2

4

6

8

10

12

14

10000 100000 1000000

Elementanzahl

Spe

iche

r [G

b]

SPOOLES Iterative Scaling Iterative Cholesky Abb. 3-14: Speicherbedarf / Modellgröße (64Bit-System)

Hierfür ist die vorgeschaltete Konditionierungsstrategie (engl.: Preconditioner)

verantwortlich. Das „iterative Scaling“ Verfahren bearbeitet nur die Diagonaleinträge

der Matrix, wodurch weniger gespeichert werden muss. Der „iterative Cholesky“

Algorithmus bearbeitet die gesamten Matrixeinträge. Dies führt zu einem höheren

Speicherverbrauch. Durch das Verbessern der gesamten Matrixstruktur arbeitet das

„iteratve Cholesky“ Verfahren bei größeren Finite-Element Netzen effektiver, da

durch die bessere Struktur der Matrix schneller Konvergenz erreicht wird (Abb.

3-15).

Im Geschwindigkeitsvergleich arbeitet das direkte Verfahren weniger effizient als die

iterativen Verfahren. Die Simulationszeit steigt doch deutlich mit zunehmender

Modellgröße an. Im Vergleich ist die Rechenzeit bei nur 100000 Elementen circa um

den Faktor 1000 langsamer.




38

0

1000

2000

3000

4000

10000 100000 1000000Volumenelemente

Rec

henz

eit [

sec]

iter.Cholesky 32 Bit iter.Scaling 32 Bit SPOOLES 32 Bititer.Cholesky 64 Bit iter.Scaling 64 Bit SPOOLES 64 Bit

Abb. 3-15: Rechenzeit: Solver / Modellgröße

Auch die iterativen Verfahren unterscheiden sich in der benötigten Rechenzeit, wie

in Abbildung 3-15 zu beobachten ist. Bei großen Modellen ist die Rechenzeit beim

„iterative Cholesky-Verfahren“ im Gegensatz zum iterativen Scaling-Verfahren

geringer. Dieser Geschwindigkeitsvorteil wird durch die bessere Matrixstruktur

hervor gerufen. Zwar braucht das Cholesky-Verfahren länger als das Scaling-

Verfahren, um die Struktur der Systemmatrizen zu verbessern, der anfängliche

hohe Zeitaufwand wird jedoch dann durch das einfachere Berechnen der

Gleichungen gut gemacht.

3.4.1 Fazit

CalculiX bietet für die Berechnung der Systemmatrizen eine ausreichende Auswahl

an Gleichungslösern. Mit dem direkten Verfahren lassen sich bei einem 32Bit

System Modelle mit bis zu ca. 70000 Elementen berechnen. Bei 64Bit Systemen

und 12GB Arbeitsspeicher können Simulationen mit ca. 200000 Elementen

durchgeführt werden. Die Rechenzeit ist im Gegensatz zu den iterativen Verfahren

deutlich länger. Dafür sind die iterativen Verfahren effektiver in der




39

Speichernutzung. Bei vorsichtiger Abschätzung können hier Modelle mit bis zu

2000000 Elementen simuliert werden. Hierfür ist jedoch ein 64Bit Computersystem

mit 12 GB Arbeitsspeicher nötig. Ein 32Bit System kann Modelle mit circa 200000

Elementen berechnen. Das „iterative Scaling“ Verfahren hat einen

Geschwindigkeitsvorteil gegenüber dem „iterative Cholesky“ Verfahren, welcher sich

jedoch bei größeren Modellen schnell relativiert. In der Speichernutzung ist das

„iterative Scaling“ Verfahren geringfügig effektiver.

Grundsätzlich handelt es sich bei den hier angegebenen Modellgrößen, für die eine

Berechnung noch möglich ist, um Schätzwerte. Bei dem hier verwendeten

Testmodell handelt es sich um ein einfaches Hexaederelementmodell. Für

komplexeren Modelle, z.B. Simulationen mit Zwangsbedingungen oder nichtlineare

Simulationen, kann sich die maximale Elementgrenze verringern. Weiterhin kann

sich die Berechung mittels des direkten Verfahrens, bedingt durch das schlechte

Konvergenzverhalten von komplexen Strukturen, als vorteilhafter herausstellen und

schneller zu einem Ergebnis führen.

Nicht mehr getestet wurden die MPI (Message Passing Interface) Schnittstelle und

ein „out-of-core“ Solver. Beide konnten aufgrund des erhöhten Zeitaufwandes beim

Kompilieren von CalculiX nicht mehr in das Programm implementiert werden. Die

MPI-Schnittstelle ermöglicht eine Simulation auf einem Clustersystem bzw. auf

mehreren Computern parallel. Hierzu wird das Modell in kleinere Teile gesplittet und

dann jeweils auf einem Rechner gelöst. Der „out-of-core“ Solver schreibt Teile der

Systemmatrizen auf die Festplatte, wenn der zur Verfügung stehende

Arbeitsspeicher nicht mehr ausreicht. Grundsätzlich wird durch diese beiden

Features die maximale Modellgröße erhöht.




40

3.5 Zusammenfassung

Durch die verschiedenen Simulationen sind einige Besonderheiten durch die

speziellen Schalen- und Balkenelementdefinition innerhalb von CalculiX aufgefallen.

Grundsätzlich können nur quadratische Schalen- und Balkenelemente verwendet

werden, d.h. Elemente mit Knoten auf den Elementkanten, da die Elemente, wie in

Kapitel 2.3 beschrieben zu Hexaederelementen mit 20 Knoten (Abb. 2-6/Abb. 2-7)

expandiert werden. Durch kleine Veränderungen in Abaqusinputdateien lassen sich

leicht Inputdecks für CalculiX erstellen. Hierbei sollte jedoch im Kapitel „Input Deck

Format“ des CalculiX-Manuals nach Unterschieden und Einschränkungen geschaut

werden.

Bei statischen Simulationen verhalten sich die Schalenelemente bei zu groben

Finite-Elemente Netzen zu steif. Durch Steigerung der Elementanzahl und das

dadurch verbesserte Seitenverhältnis der Hexaederelemente konvergiert die

Lösung hin zu den Ergebnissen von NASTRAN bzw. der analytischen Lösung.

Die Eigenfrequenzsimulation für schubsteife Balkenelemente (Bernoulli-Theorie) mit

CalculiX ergab zu niedrige Frequenzen im Vergleich mit der NASTRAN-Lösung und

den analytischen Werten. Mit steigendem Vernetzungsgrad und höheren

Eigenmoden verschlechtern sich die Ergebnisse zunehmend.

Für schubweiche Balkenelemente (Timoshenko-Theorie) werden die

Eigenfrequenzen anfänglich zu hoch (zu große Steifigkeit) berechnet. Durch

Verfeinerung des Netzes konvergiert das Ergebnis hin zu den analytisch

berechneten Werten. Im Vergleich mit NASTRAN werden jedoch die

Eigenfrequenzen mit steigender Netzfeinheit zu niedrig berechnet.

Bei der dynamischen Simulation mittels Schalenelemente wird eine zu weiche

Steifigkeit festgestellt. Hierfür wurde als Referenzlösung eine Platte mit

Hexaederelementen vernetzt, um einen Vergleich der Lösungsqualität durch die

speziellen Schalen-/Balkenelemente zu erhalten. Die berechneten Eigenfrequenzen

der Platte durch CalculiX liegen leicht unter denen von NASTRAN und der

Referenzlösung der Hexaederelementstruktur.

Das Auswerten der Ergebnisse von CalculiX durch den mitgelieferten Pre-

/Postprocessor CalculiX-GraphiX erfolgt nach kurzer Einarbeitungszeit und unter

Verwendung des gelungenen Manuals intuitiv. Der Funktionsumfang umfasst alle




41

wichtigen Darstellungsmöglichkeiten von kommerziellen Programmen, wie z.B.

Farbplots, Animationen oder Erstellen von Bilddateien, um die

Simulationsergebnisse grafisch auszuwerten. CalculiX-GraphiX bietet ebenfalls

grundlegende Funktionen für die Vernetzung von CAD-Daten, Konvertieren von

Simulationsinputdecks und Erstellen von simplen Finite-Elemente-Netzen.

Da verschiedene Simulationsinputdateien für die Tests benötigt werden, sind alle

Strukturen mit dem kommerziellen Preprocessorprogramm ANSA vernetzt. Daher

lässt sich keine Aussage über die Qualität der Vernetzung mittels CalculiX-GraphiX

bzw. der Benutzerfreundlichkeit machen. Der Vorteil durch dieses Vorgehen liegt

darin, nur ein Finite-Elemente-Netz zu erstellen und dieses in die verschiedenen

Formate von NASTRAN, Abaqus und CalculiX zu überführen.

CalculiX bietet eine gute Grundausstattung an direkten und iterativen Solvern. Die

maximale Modellgröße für das direkte Verfahren liegt bei ca. 70 000 Elementen für

das 32Bit System bzw. 200 000 Elementen für das 64Bit Computersystem. Mit

einem 32Bit Computer können die iterativen Lösungsalgorithmen je nach Verfahren

bis ca. 500 000 Elemente simulieren und bei dem hier verwendeten 64Bit Rechner

bis ca. 2 000 000 Elementen, wobei nur bis 1 000 000 getestet wurde und die hier

angegebenen Grenze eine vorsichtige Hochrechnung ist.

Die durchgeführte Simulation mittels OOFEM weist sehr schlechte Werte auf. Im

Vergleich zu CalculiX, NASTRAN und dem analytischen Ergebnis ist die berechnete

Verschiebung deutlich zu klein und selbst bei Verfeinerung des Netzes wird keine

Verbesserung erreicht. Hier besteht noch Entwicklungsbedarf bei der

Elementbibliothek. Diese ist deutlich zu klein und bietet nur lineare dreieckige

Schalenelemente für Strukturberechnungen. Das implementierte Element kann nicht

in dynamischen Simulationen verwendet werden. Der Input der Simulationsdateien

ist sehr kryptisch und es lassen sich vorhandene Finite-Elemente Netze nicht in

OOFEM-Dateien konvertieren.

4 Optimierung



42

4 Optimierung

Neben der Finite-Elemente-Methode hat sich die Optimierung als weiteres

Werkzeug zur Lösung technischer Probleme etabliert. Soll zum Beispiel ein Bauteil

möglichst leicht werden, aber gleichzeitig die Steifigkeit erhöht werden, nutzt man

eine Optimierungsschleife, um diesen Zielkonflikt schnell und effizient zu lösen.

Hierfür bieten die Optimierungssoftwareprogramme eine Vielzahl von

Optimierungsarten und –algorithmen an, um eine wirkungsvolle Durchführung, bei

gegebener Rechnerkapazität und Problemstellung zu gewährleisten. Einen

einführenden Überblick über das Thema der Optimierung bietet [BAI94].

Frei verfügbare Finite-Elemente Programme sind für den Einsatz in

Optimierungsanalysen sehr interessant. Hier ist es oft notwendig, viele Rechnungen

parallel laufen zu lassen, um schnell zu einem Ergebnis zu gelangen. Dabei fallen

schnell immense Lizenzkosten an, die durch den Einsatz von Open-Source-

Software minimiert werden können.

Um zu testen, ob sich CalculiX in einen Optimierungsprozess implementieren lässt,

wird eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt. Hierfür wird ein Querträger aus einem

aktuellen Fahrzeugmodell untersucht. Die Optimierung wird von dem Open-Source-

Softwarepaket DAKOTA gesteuert.

4 Optimierung



43

4.1 Einführung Sensitivitätsanalyse / Robustheitsan alyse

Die Simulation von Bauteilen bzw. des Bauteilverhaltens mittels der Finite-

Elemente-Methode oder die Optimierung eines Designentwurfs wird meistens unter

der Annahme deterministischer Eingangsgrößen durchgeführt. Dabei wird außer

Acht gelassen, dass aufgrund verschiedener Einflüsse diese gar nicht genau

eingestellt werden können. Die Einflüsse, die zur Streuungen in den

Eingangsparametern führen, ergeben sich zum Beispiel aus Fertigungsprozessen

(Material, Geometrie) oder durch äußere Parameter wie Temperatur und

Belastungsschwankungen. Die Streuungen in den Eingangsparametern eines

Bauteildesigns führen dazu, dass sich das Bauteilverhalten nicht mehr genau

beschreiben lässt und somit die Zielgrößen bei der Bewertung des Systems

erheblich streuen können. Halten sich die Streuungen in gewissen (tolerierbaren)

Grenzen bzw. lässt sich das Bauteilverhalten, trotz Variation in den

Eingangsgrößen, annähernd genau vorhersagen, spricht man von einem robusten

Design (Abb. 4-1). Das bedeutet, dass kleine Änderungen im Input zu kleinen

Änderungen in der Antwort führen.

Abb. 4-1: "Robust Design"

Robustheit beschreibt somit die Sensitivität der Zielgrößen gegenüber Variabilität in

den Eingangsparametern. Somit lässt sich die Robustheitsoptimierung als die

Suche nach dem optimalen Punkt bei gleichzeitig minimaler Streuung der Zielgröße

4 Optimierung



44

beschreiben. Bei ungeschickter Wahl der Eingangsvariablen kann sich der

Rechenaufwand für die Optimierung auf eine große Anzahl von Varianten

vergrößern. Um die Anzahl der Eingangsvariablen zu minimieren, führt man im

Vorfeld eine Sensitivitätsanalyse durch. Hierbei werden die Eingangsparameter auf

die reduziert, die besonders großen Einfluss auf das Bauteilverhalten haben.

4.1.1 Optimierungsprozess Finite-Elemente Querlenke r

Zur Durchführung der Sensitivitätsanalyse wird ein Querlenker aus einem fertig

vernetzten Fahrzeugmodell genutzt. Das Modell (Abb. 4-2) besteht aus 24110

Tetraederelementen mit 10 Knoten pro Element bzw. 41399 Knoten im gesamten

Modell.

Abb. 4-2: Querlenkermodell

Als Material wird ein isotroper Stahl mit elastoplastischem Verhalten gewählt. Die

Randbedingungen sind im Punkt

• A: Translation z fixiert (rote Markierung)

• B: Translation y,z fixiert, Masterknoten der RBE-Spinne

• C: Translation x,y,z fixiert, Masterknoten der RBE-Spinne

4 Optimierung



45

Belastet wird die Struktur durch eine Kraft von 16000 N in X – Richtung im Punkt A.

Im rot markierten Auswertungsbereich wird die plastische Dehnung der Elemente

ausgegeben.

Für die Steuerung der Optimierung und Definition der Variablen muss der Finite-

Elemente-Input des Querlenkers modifiziert werden. Die Optimierungsvariablen

werden in der ASCII-Datei des Inputs durch geschweifte Klammern deklariert (siehe

Abb. 4-3). Die so markierten Einträge werden dann während der Optimierung durch

DAKOTA mit den entsprechenden Optimierungsparameter ausgetauscht.

Abb. 4-3: Ausschnitt Inputdeck CalculiX

Als Parameter wird die Position des Kraftangriffpunktes in den drei Raumrichtungen

variiert. Weiterhin wird das Materialverhalten durch den Elastizitätsmodul sowie der

Spannungs-Dehnungskurvendefinition des „Hardening“-Eintrages gestreut.

Die Grenzen der Optimierungsvariablen werden im Steuerungsfile von DAKOTA

definiert. Hierfür müssen die entsprechenden Einträge in der ASCII-Datei eingefügt

werden (Abb. 4-4). Die diskreten Werte für den Spannungsoffset

(Parallelverschiebung der Kurven), die Variation des E-Moduls und die Änderung

der Krafteinleitungsposition werden dann durch statistische Algorithmen des

Optimierers generiert und in die CalculiX-Inputdatei neu eingefügt.

4 Optimierung



46

Abb. 4-4: Dakotainput

Zum Schluss werden noch die Optimierungsstrategie und die Art des Outputs der

Optimierung bestimmt.

Abschließend werden die Dateien des Finite-Elemente Inputs für CalculiX und der

Dakota-Steuerungsfile in ein Queingsystem importiert. Das Queingsystem

koordiniert die einzelnen Simulationen auf den verschiedenen Rechnern. Hierfür

wurden vorher Computersysteme reserviert, auf denen CalculiX installiert wurde

und ausschließlich die Optimierungsrechnungen laufen.

4.2 Fazit der Optimierung

Ziel dieser Optimierung ist es zu zeigen, dass sich CalculiX in eine Optimierung

mittels DAKOTA integrieren lässt und die berechneten Ergebnisse sich weiter

verarbeiten bzw. auswerten lassen. Die Integration von CalculiX in den Prozess und

die Auswertung der berechneten Ergebnisse mittels Excel und Knut verlief ohne

Schwierigkeiten. Auf eine explizite Ergebnissauswertung, dass heißt eine

Bewertung der Sensitivitäten wird an dieser Stelle verzichtet.

Für die Optimierung wurden insgesamt 2000 Simulationen auf bis zu 100

Computersystemen gleichzeitig durchgeführt. Die Optimierung dauerte 6,5 Stunden,

4 Optimierung



47

wobei im Schnitt eine Rechnung ca. 5 Minuten benötigt. Die Installation von

CalculiX auf den verschiedenen Computern verlief ohne Schwierigkeiten. Hierbei ist

es von Vorteil gewesen, dass CalculiX auf der verwendeten Linuxdistribution neu

kompiliert wurde und so alle benötigten Programme und Pfaddefinitionen auf allen

Rechner identisch waren. Die Verwaltung der Rechnungen durch das

Queingsystem verlief dabei problemlos und es wurde kein Computerabsturz

beobachtet.

Wie die meisten Finite-Elemente-Programme verwendet auch CalculiX für die

Definition des Inputs eine ASCII-Datei. Hierdurch ist es dem Optimierungsprogramm

DAKOTA möglich, änderung im Input vorzunehmen bzw. die Optimierungsvariablen

einzufügen. Die vorgenommenen Änderungen im Input lassen sich z.B. mit Excel

visualisieren. In Abbildung 4-5 ist beispielhaft die durch DAKOTA vorgenommene

Variation im Elastizitätsmodul in der Inputdatei aufgetragen. Es lässt sich hier sehr

gut die Streuung in den einzelnen Samples beobachten.

Variation E-Modul

207000

208000

209000

210000

211000

212000

213000

Samples

E-M

odul

[N/m

m²]

Abb. 4-5: Änderung E-Modul durch DAKOTA

Die Ergebnisse der einzelnen Simulationen der Optimierung können im ASCII-

Format heraus geschrieben werden und anschließend mit Programmen, wie z.B.

Excel oder der speziell für DAKOTA entwickelten Tool „Knut“, ausgewertet werden.

Standardmäßig wird für das Postprocessing einer DAKOTA Optimierung bei P+Z

Knut verwendet. Knut ist eine eigene Entwicklung, die für die mathematische

Manipulation und das Visualisieren der Ergebnisse auf Matlab zurückgreift. Hierfür

müssen die Ergebnisse in einem speziellen zeilenorientierten ASCII Format

vorliegen, um ausgewertet werden zu können. Die CalculiX-Ergebnisse lassen sich

4 Optimierung



48

problemlos in das spezielle Format importieren bzw. zu einem Gesamtergebnisfile

umschreiben. Ein typisches Beispiel für einen Auswerteplot einer

Sensitivitätsanalyse ist der Abbildung 4-6 zu entnehmen.

Scatterplot

z-Position

max

. Deh

nun

g

Abb. 4-6: Scatterplot

In dem sogenannten Scatterplot lassen sich Abhängigkeiten von Variablen

identifizieren. Hier ist zu erkennen, dass die maximale Dehnung von der

Lastangriffsposition in der Z-Richtung abhängt. Wenn zwei Parameter unabhängig

voneinander sind oder nur eine schwache Abhängigkeit zueinander aufweisen, wäre

eine Punktewolke ohne Struktur oder eine willkürliche Verteilung der Punkte im Plot

aufgetragen.

Eine genaue Beschreibung der Inputparameter von DAKOTA und ein kompletter

Überblick der Optimierungsalgorithmen würden den Umfang der Arbeit übersteigen.

Verwiesen sei hierfür auf das Manual, das sich im Internet unter der Adresse

http://www.cs.sandia.gov/DAKOTA befindet.

5 Steifigkeitsberechnung Motorhaube



49


Für einen abschließenden Test wird eine relativ große komplexe Schalenstruktur

gewählt. Hierbei ist es von Interesse, ob Simulationen mit den meist sehr

detaillierten Modellen aus der Automobilindustrie durchgeführt werden können.

Um eine Aussage über die Qualität der Berechnung zu machen, wird dieselbe

Struktur in Abaqus simuliert. Das Ergebnis wird hinsichtlich der maximalen

Durchbiegung aufgrund eines Kopfaufpralls und der Rechenzeit verglichen.

Bei der hier simulierten Motorhaube handelt es sich um ein vernetztes

Fahrzeugmodell eines Ford Taurus, Baujahr 2001. Das Finite-Elemente-Modell ist

ein frei verfügbares Crashmodell, was im Internet

(http://www.ncac.gwu.edu/vml/models.html) herunter geladen werden kann. Das

amerikanische „FHWA/NHTSA National Crash Analysis Center“ in Ashburn, Virigina

stellt verschiedene Fahrzeugmodelle und Crashbarrieren zum Download bereit. Die

Modelle sind im LS-Dyna-Inputformat definiert. Durch einen kommerziellen

Preprocessors können die Daten in das Abaqus-Format und somit auch in das

CalculiX-Format konvertiert werden.




50

5.1 Kopfaufpralldefinition

Für die Simulation wird ein Kopfaufpralltest nach EEVC WG-17 bzw. EURO-NCAP

durchgeführt. Der Kopfaufpralltest nach EEVC WG-17 fordert für einen Dummy-

Kopf eines erwachsenen Menschen einen resultierenden HIC-Wert von 1000 oder

niedriger. Das Kopfmodell wird in einem Winkel von 65° mit 40km/h auf

verschiedene Bereiche der Motorhaube geschossen (Abb. 5-1). Eine genaue

Beschreibung der Testprozedur findet sich im Internet unter der Adresse

http://www.EuroNCAP.com. Das Gesetz der Europäischen Union für die Berechung

des HIC-Wertes und weitere Einzelheiten der EEVC WG-17 können

http://ec.europa.eu/enterprise/automotive/directives/vehicles/dir2003_102_ce.htm

entnommen werden. Der HIC-Wert errechnet sich aus der Kopfbeschleunigung, die

über ein Zeitfenster von 3ms erreicht wird, nach der Formel

5,2

1212

2

1

1)(

−•−= ∫

t

t

r ttdtattHIC , mit

g

aar = .

Die Aufschlagbereiche werden für die verschiedenen Fahrzeugtypen bzw. Formen

individuell bestimmt, wobei die resultierende Kopfbeschleunigung bei modernen

Fahrzeugstrukturen im Mittel bei ca. 2

11m

s liegt, um den HIC-Wert von 1000 zu

unterschreiten.

Abb. 5-1: Kopfaufprall [ www.euroncap.com]

5.1.1 Modellbeschreibung FE-Motorhaube

Für die Simulation wird nur eine Hälfte der Motorhaube berechnet. Das

Motorhaubenmodell hat 12250 Schalenelemente (Abb. 5-2) und es erfolgt eine

statische Berechung. Ausgewertet wird die maximale Durchbiegung aufgrund einer

Flächenlast. Als Randbedingungen gilt für das Gelenk und das




51

Motorhaubenschloss, dass in allen Richtungen keine Verschiebung möglich ist. Für

die Symmetrieebene gilt keine Verschiebung in y und keine Rotation um y, z. Die

Lasteinleitung erfolgt kreisflächig an einer sehr steifen Stelle der Motorhaube. Die

Fläche der Lasteinleitung ergibt sich aus dem Kopfdurchmesser eines

Erwachsenenkopfes von 165mm. Mit einer mittleren Kopfbeschleunigung von 2

11m

s

und einen Gewicht von 4,8 kg für den Erwachsenenkopf ergibt sich eine

resultierende mittlere Kraft von F=52,8 N. Um die zu erwartenden hohen

Verformungen mit plastischer Deformation abbilden zu können, wird ein

Stahlmaterial mit elastoplastischem Verhalten gewählt. Hierdurch wird eine

nichtlineare Simulation erforderlich.

Abb. 5-2: FE-Modell Motorhaube

5.2 Diskussion der Simulationsergebnisse

Die Simulation wird in der Automobilindustrie durch eine Kontaktsimulation

durchgeführt. Die Kontaktdefinitionen von CalculiX befinden sich jedoch noch in

einem Prereleasestadium. Um Probleme bei der Simulation zu vermeiden, wurde

hier eine vereinfachte statische Simulation durchgeführt.




52

CalculiX berechnet für die maximale Verschiebung in Z-Richtung im Lastbereich

einen Wert von 53mm auf einem 32Bit System. Dasselbe Modell auf einem 64Bit

System ergibt ebenfalls einen Wert von 53mm. Hier kann sehr schön der

Unterschied, der durch die maximal mitgeführten Nachkommastellen bei 64Bit

Computersystemen entsteht, beobachten werden. Die Anzahl der

Nachkommastellen die für eine Berechnung verwendet werden können, ist bei 64Bit

um den Faktor 1010 größer. Daher wird das Konvergenzkriterium aufgrund der

höheren Genauigkeit später erreicht. Eine Kontrollrechnung mit Abaqus ergibt bei

gleicher Modellierung eine maximale Verschiebung von 61mm.

Abb. 5-3: Verschiebung Motorhaube

Bei realen Motorhaubenstrukturen werden heute im Mittel circa 60mm durch den

Aufschlag des erwachsenen Kopfes erreicht. Somit würde das mit CalculiX

ermittelte Ergebnis zu einer falschen Bewertung der Motorhaube führen.

Das zu steife Verhalten der Struktur lässt sich, wie in Kapitel 3.1 erwähnt, auf das

schlechte Seitenverhältnis der Elemente zurückführen. Hier kann eine weitere

Netzverfeinerung das Ergebnis positiv beeinflussen. Weiterhin werden, wie in

Kapitel 2.3.1 aufgeführt, durch die gebogene Motorhaubenstruktur und das

Festhalten der rotatorischen Freiheitsgrade an der Symmetrieebene „knots“, also

Zwangsbedingungen eingeführt. Diese behindern die Struktur an der freien

Durchbiegung.




53

CalculiX benötigt für die Simulation ca. 30min., während Abaqus in ca. 2min. das

Ergebnis berechnete. Der Rechenzeitunterschied lässt sich auf die zusätzliche

Einführung der Zwangsbedingungen und die Expansion der Elemente zu

Hexaedern zurückführen. Auch muss ein deutlich größeres Modell berechnet

werden, da sich die Knotenanzahl durch die neuen Knoten der Hexaederelemente

vergrößert. Die grafische Darstellung durch CalculiX-GraphiX lässt eine gute

Korrelation zu dem Abaqusergebnis erkennen (Abb. 5-3: Verschiebung

Motorhaube). Hier ist leider, wie schon erwähnt, von Nachteil, dass sich die

Farbverläufe in CalculiX-GraphiX nicht einstellen lassen.

Allgemein ist das Ergebnis des Tests durchaus zufrieden stellend. Wenn bei

komplexeren Schalenstrukturen bedacht wird, dass sich die Modellgröße erhöht und

auf eine feine Diskretisierung geachtet wird, können die Simulationsergebnisse mit

kommerziellen Programmen mithalten. Hier begrenzt jedoch der Arbeitsspeicher die

maximale Modellgröße.

6 Diskussion der Ergebnisse



54


Das Programm OOFEM ist für einen Einsatz in Optimierungsprozessen bzw. zur

Berechnung komplexer Strukturen nicht geeignet. Es bietet nur eine beschränkte

Elementbibliothek mit linearen Elementtypen an, also jeweils kein Knoten auf der

Elementkantenmitte. Das Fehlen eines lauffähigen Pre-/Postprocessors und die

sehr komplexe Inputdefinition erschweren ein Einarbeiten deutlich.

Für den ersten Test, der statischen Balkenverformung, errechnet OOFEM viel zu

niedrige Werte. Durch die lineare Elementabbildung sind hier deutlich mehr

Elemente erforderlich, um ein zufriedenstellendes Ergebnis zu erhalten.

Dynamische Berechnungen (Test 2/3) sind im jetzigen Entwicklungsstand und mit

Balken- und Schalenelementen nicht möglich.

Das Softwarepaket CalculiX, mit dem Solver CalculiX-CrunchiX und dem Pre-

/Postprocessor CalculiX-GraphiX, lässt sich ohne Schwierigkeiten in Optimierungs-

prozesse einbinden. Auch können komplexe Strukturen, nichtlineare und Kontakt

Berechnungen durchgeführt werden.

CalculiX verwendet, wie in Kapitel 2.3.1 beschrieben, eine eigene Strategie, um

Berechnungen mit Schalen- und Balkenelementen durchzuführen. Die statische

Simulation ergibt ein gutes Ergebnis für die statische Balkenverformung und somit

für die Steifigkeit der Schalenelemente. Für das feinste Modell beträgt die Differenz

1,8%. Der Vergleich mit der Lösung von NASTRAN ergibt eine Differenz von ca.

1,5%. Allgemein korreliert das Ergebnis jedoch gut.

Als kritischer Parameter für die Ergebnisqualität konnte die Elementkantenlänge in

Balkenlängsrichtung identifiziert werden. Eine Verfeinerung des Netzes über der

Breite beeinflusst das Ergebnis nicht.

Durch den Test der Eigenfrequenzen einer Balkenstruktur wird festgestellt, dass

durch die Abbildung der Elemente als Hexaeder der Schubeinfluss mit

berücksichtigt wird. Also werden die Frequenzen in Analogie zur Timoshenko-

Theorie berechnet. Im Vergleich mit der analytischen Lösung nach Bernoulli und der

NASTRAN-Simulation mit schubsteifen Balkenelementen ergeben sich zu niedrige




55

Werte. Die Differenz steigt mit der Anzahl an Balkenelemente und höherem

Eigenmode deutlich und das Strukturverhalten wird zu weich abgebildet.

Für die schubweichen Ergebnisse korrelieren die Lösungen besser. Bei 30

Elementen beträgt die Differenz zur analytischen Lösung kaum 0,5%. Im Vergleich

mit NASTRAN werden die Frequenzen jedoch mit steigendem Eigenmode und

höherer Elementanzahl zu niedrig berechnet. Ein Vergleich der von NASTRAN

berechneten Ergebnisse zeigte auch eine Differenz zu den analytischen Werten.

Die Eigenfrequenzsimulation der quadratischen Platte ergibt eine gute

Übereinstimmung zu den Werten der Lösung von NASTRAN. Hier liegen die Werte

von CalculiX wie bei den vorherigen Tests um die 1,5% unter denen der

Referenzlösung von NASTRAN. Eine weitere Steigerung der Lösungsqualität lässt

sich durch die Verfeinerung des FE-Netzes erreichen.

Der Test mit einer realen Motorhaubenstruktur (statische Analyse) ergibt ein

anderes Bild der Lösungsqualität von CalculiX. Bei der komplexen Struktur wird die

Durchbiegung im Gegensatz zu der Referenzlösung von Abaqus zu gering

berechnet. Auch ist die Rechenzeit um ein Vielfaches länger. Durch die Expansion

wird ein großer Teil der Rechenzeit für den Aufbau der Systemmatrizen benötigt.

Das abweichende Ergebnis ist durch die schlechte Elementqualität zu erklären. Für

die Berechnung ist ein feineres Netz erforderlich, um das schlechte Verhalten der

Hexaederelemente bei komplexen Strukturen zu kompensieren.

Grundsätzlich sind die Ergebnisse aller Tests zufrieden stellend im Hinblick auf die

Ergebnisqualität. Im Vergleich mit NASTRAN und der analytischen Lösung lässt

sich bei einer der Problemstellung angemessenen Vernetzung eine gute Korrelation

erreichen.

Die Untersuchung der in CalculiX implementierten Solver ergab maximale

Modellgrößen, die noch zu berechnen sind, von ca. 70000 Elementen für den

direkten Solver und ca. 200000 Elementen für die iterativen Verfahren bei einem 32

Bit Computersystem. Auf 64 Bit Systemen verschieben sich die Grenzen hin zu ca.

200000 Elementen für den direkten Gleichungslöser und ca. 2000000 Elementen für

die iterativen Solver. Die hier ermittelten Modellgrößen sind für eine Open-Source




56

Software sehr gut. Der Haupteinflussfaktor für die Modellgrößen ist der verfügbare

Arbeitsspeicher. Durch das Implementieren eines „out-of-core“ Solvers oder der

MPI-Schnittstelle in CalculiX lassen sich diese Grenzen weiter nach oben

verschieben. Problematisch hat sich die Expansion der Elemente zu Hexaedern

heraus gestellt. Hierdurch ist das tatsächlich berechnete Modell deutlich größer als

die des Schalenmodells.

Das Implementieren von CalculiX in die Optimierungsschleife verlief ohne

Schwierigkeiten. Die Lösungsdauer für die Optimierung ist mit ca. 6,5 Stunden

zufriedenstellend. Das relativ große FE-Modell wurde im Schnitt in ca. 5 Minuten

gelöst. Die Ergebnisse konnten mittels Excel und Knut weiter verarbeitet werden.

Abschließend kann gesagt werden, dass die Open-Source Software CalculiX für

einen Einsatz in Optimierungsprozessen geeignet ist. Durch das zu Abaqus

kompatible Inputformat erfolgt eine Einarbeitung relativ schnell. Ein weiterer Vorteil

ist, dass kommerzielle Preprocessoren für die Vernetzung verwendet werden

können. Die Ergebnisqualität von CalculiX ist zufriedenstellend. Bei komplexen

Schalenelementstrukturen verhalten sich jedoch die Elemente von CalculiX zu steif

im Vergleich zu „richtigen“ Schalenelementen. Der Fehler kann jedoch durch eine

feinere Vernetzung korrigiert werden. Mit den implementierten Gleichungslösern

können auf einem 64Bit Computer Modelle mit bis zu 2000000 Elementen simuliert

werden. Der mitgelieferte Postprocessor bietet grundlegende

Auswertemöglichkeiten und ist intuitiv zu bedienen. Das Integrieren in einen

Optimierungsprozess mit DAKOTA verläuft aufgrund des im ASCII-Format

definierten Inputs ohne Probleme.

A1 Anhang



57

A1 Open-Source FE-Programme

(Stand Juni 2007)

ALADDIN:

http://www.isr.umd.edu/~austin/aladdin.htm

l

AxisVM: http://www.axisvm.com

ADVENTURE:

http://adventure.q.t.u-tokyo.ac.jp/software

AFEMS:

http://www.femengineering.com/index2.ht

ml

ALBERTA: http://www.albertafem.de

Ansoft: http://www.ansoft.com

AnyBody: http://www.anybodytech.com

BASIN:

mailto:[email protected]

CAPCAST: http://www.ekkinc.com

Channelflow:

http://www.cns.gatech.edu/channelflow

CLAWPACK:

http://www.amath.-washington.edu/~claw

COSMOS: http://www.cosmosm.com

CURLY3D: http://curly3d.sourceforge.net

COSHELL:

http://www.digitaladdis.com/sk/programs.h

tm

CodeAster: http://www.codeaster.org

COMSOL: http://www.femlab.com

DANSOFT: mailto:[email protected]

Deal II: http://www.dealii.org

DOLFIN:

http://www.nada.kth.se/~jhoffman/software/i

ndex.html

DUNS: http://sourceforge.net/projects/duns

DIANA:

http://www2.tnodiana.com/gs/rdas/papp.asp?

cmd=Applications

DOUG:

http://www.maths.bath.ac.uk/~parsoft/doug

DOLFIN: http://www.fenics.org/projects

EMAP:

http://www.emclab.umr.edu/emap.html

EXPDE:

http://www10.informatik.unierlangen.de/~pfl

aum/expde/public_html

EULER:

http://www.iee.cas.cz/staff/solin/euler

ELFEN: http://rsazure.swan.ac.uk/elfen.htm

FeatFlow: http://www.featflow.de

FeaTure:

http://www.tm.ctw.utwente.nl/onderzoek/Di

ekA/Feature

FEC: ftp://ftp.math.uh.edu/pub/Math

FELIB:

http://www.softeng.cse.-clrc.ac.uk/felib4

FemObject:

http://www.zace.com/femobj.htm

FieldMagic: http://www.intactsolutions.com

A1 Anhang



58

FEMLAB:

http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe

_resources/node164.html

FE/Pipe: http://www.paulin.com

FELyX: http://felyx.sourceforge.net

FreeFem: http://www.freefem.org/ff++

FEMLIB:



Femlisp: http://www.femlisp.org

FELIPE: http://www.felipe.co.uk

FEMM: http://femm.fostermiller.com

FEMOctave:



FEMSET:

http://www.hawhamburg.de/rzbt/dnksoft/ca

mmpus/femset.html

Free Finite Element Package:

http://www.free-finite-

elementpackage.smial.de

FEAP:

http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/feap

Felt: http://felt.sourceforge.net

FreeFEM, FreeFEM3D:

http://www.freefem.org

Geocrack:

http://ww2.mne.ksu.edu/~geocrack

Gerris: http://gfs.sourceforge.net

GeoFEM: http://geofem.tokyo.rist.or.jp

GEODE: http://www.geodesol.com

Getfem++:

http://www-gmm.insatoulouse.fr/getfem

Haplo: http://haplo.info

HMD: http://www.heldeneng.com

Impact: http://impact.sourceforge.net

ISAAC: http://isaac-cfd.sourceforge.net

Infolytica: http://www.infolytica.com

IMTEK:

http://www.imtek.unifreiburg.de/simulation/

mathematica/IMSweb

KASKADE:

http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe_r

esources/node181.html

KeyFE2:

http://users.skynet.be/keyFE2/keyFE2.html

KFEM: http://kfem.sourceforge.net

LUGR:

http://homepages.cwi.nl/~gollum/LUGR/ind

ex.html

LISA: http://www.lisa-fet.com/index640.htm

LUSAS: http://www.lusas.com

MODFE:

http://water.usgs.gov/software/modfe.html

MOUSE:

http://www.vug.uniduisburg.de/MOUSE

MOLDFLOW:

http://www.moldflow.com/stp

MiniFem:

http://www.rwthaachen.de/mmw/minifem/m

inifem.html

MEANS: http://www.femcad.de

MGGHAT:

http://homepage.usask.ca/~ijm451/finite/fe_r

esources/node190.html

A1 Anhang



59

NASTRAN (NASA):

http://www.openchannelsoftware.org/projec

ts/NASTRAN

NaSt3DGP: http://wissrech.iam.uni-

bonn.de/research/projects/Na-St3DGP

NIKE3D:

http://wwweng.llnl.gov/mdg/mdg_codes_ni

ke3d.html

NIST:



NLFET: http://nlfet.sourceforge.net

OFELI: http://ofeli.sourceforge.net

OpenSees: http://opensees.berkeley.edu

Open Foam:

http://www.opencfd.co.uk/openfoam

Open Flower:

http://openflower.sourceforge.net

OpenFem:

http://wwwrocq.inria.fr/OpenFEM

ParaFEM:

http://www.sve.man.ac.uk/Research/AtoZ/

ParaFEM

PARSYS:

http://www.iee.cas.cz/staff/solin/parsys

PHYSICA:

http://www.sofistik.de/loesungen/statik-

fem/multiphysics-cfd

PolyDE:

http://www.tuharburg.de/mst/english/polyd

e/PolyDE.html

PHOENICS: http://www.cham.co.uk

PSU: http://www.isd.uni-stuttgart.-de/psu

Rheolef:

http://www.sai.msu.su/sal/B/2/RHEOLEF.ht

ml

STAAD: http://www.reiusa.com

Solvia: http://www.solvia.se

Straus 7: http://www.straus7.com

STARS:

http://www.openchannelfoundation.org/order

s/index.php?group_id=191

STRAP: http://www.atirsoft.com

SLFFEA:

http://www.geocities.com/Athens/2099/slffe

a.html

TOCHNOG: http://tochnog.sourceforge.net

VAMUCH:

http://www.mae.usu.edu/faculty/wenbin/ht_d

ocs/vamuch.html

VAPAS:

http://www.mae.usu.edu/faculty/wenbin/ht_d

ocs/vapas.html

Warp3D:

http://cern49.cee.uiuc.edu/cfm/warp3d.html

Zebulon:

http://www.nwnumerics.com/Zebulon

Z88: http://www.z88.org

A2 Anhang



60

A2 Inputdecks

Für die einzelnen Testbeispiele ist im folgenden Abschnitt beispielhaft jeweils ein

Inputdeck aufgeführt.

A2.1 Test 1

Calculix

*HEADING

** Test 1 20x3 Elemente

**

** Knotenkoordinaten

**

*NODE,NSET=ALL

1, 0., 100., 0.

…….

653, 6.6666675, 95., 0.

654, 8.333334, 95., 0.

655, 6.6666675, 97.5, 0.

**

** Elementdefinition, quadratisches Plattenelement mit 8-Knoten mit voller Integration

**

*ELEMENT, TYPE=S8, ELSET=PSHELL

1, 17, 464, 523, 512, 483, 522, 521, 515

2, 512, 523, 527, 511, 521, 525, 524, 514

…….

**

** Zuweisen der Eigenschaften der Plattenelemente

**

*SHELL SECTION, ELSET=PSHELL, MATERIAL=STEEL

2.,

**

** Materialparameter

**

*MATERIAL, NAME=STEEL

*DENSITY

7.85e-09,

A2 Anhang



61

*ELASTIC

210000., 0.3

**

** Definition der Rechnung, Statik

**

*STEP

*STATIC

**

** Lastendefinition, Einheitskraft in neg. Z-Richtung

**

*CLOAD

17, 3, -1.

**

** Randbedingung, fest Eingespannt in allen Raumrichtungen

**

*BOUNDARY, TYPE=DISPLACEMENT

1, 1, 6, 0.

516, 1, 6, 0.

517, 1, 6, 0.

518, 1, 6, 0.

519, 1, 6, 0.

520, 1, 6, 0.

3, 1, 6, 0.

**

** Definition des Outputs

**

** Verschiebung und Reaktionskräfte der Knoten

*NODE PRINT, NSET=ALL

U, RF

**

** Spannungen und Dehnungen für die Elemente

*ELEMENT PRINT, ELSET=PSHELL

S,E

*N FILE

U, RF

*EL FILE

S,E

*END STEP

A2 Anhang



62

OOFem

# Name Outputfile

test1_20x3.out

# Testbeschreibung

job description: small beam test

# Analyseart, Statik

LinearStatic nsteps 1

# OOFem spezifische Parameter (siehe Dokumentation)

domain 3dShell

OutputManager tstep_all dofman_all element_all

# Knotenanzahl|Elementanzahl|Querschnitt|Material|Randbedingungen|

ndofman 84 nelem 120 ncrossSect 1 nmat 1 nbc 2

# Knotendefinition mit Lasteinleitung und Randbedingungen

nodes 1 coords 3 100. 0. 0.0 bc 6 1 1 0 1 0 1 load 1 2

nodes 2 coords 3 100. 3.33333 0.0 bc 6 1 1 0 1 0 1

nodes 3 coords 3 100. 6.66667 0.0 bc 6 1 1 0 1 0 1

…….

# Elementdefinition (Dreiecksplatte) mit Querschnitts- ,Material- und Intergrationspunktdefinition

rershell 1 nodes 3 1 2 6 crossSect 1 mat 1 NIP 1

rershell 2 nodes 3 6 5 1 crossSect 1 mat 1 NIP 1

…….

# Querschnitsparameter

SimpleCS 1 thick 2.0

# Materialdaten

IsoLE 1 d 7.85e-9 E 2.1e5 n 0.3 talpha 0.0

# Randbedingungen mit Lastaufbringung

BoundaryCondition 1 loadTimeFunction 1 prescribedvalue 0.0

NodalLoad 2 loadTimeFunction 1 Components 6 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0

ConstantFunction 1 f(t) 1.0

A2 Anhang



63

A2.2 Test 2

Calculix

*HEADING

**

*NODE

1, 0., 0.

2, 0.5, 0.

…….

** Elementdefinition, Balken mit Zwischenknoten

*ELEMENT, TYPE=B32 , ELSET=BEAM

1, 1, 2, 3

2, 3, 4, 5

…….

**

** Balkeneigenschaften

*BEAM SECTION, ELSET=BEAM, SECTION=RECT, MATERIAL=STEEL

3., 5.

0.,0.,-1.

**


*DENSITY

7.8e-09,

*ELASTIC

210000., 0.3

**

** Eigenfrequenzanalyse, ersten 20 Frequenzen warden berechnet

**

*STEP

*FREQUENCY

20,

**

**

** Output wird für jede Frequenz rausgeschrieben

**EL PRINT,FREQUENCY=1

**NODE PRINT, FREQUENCY=1

*NODE FILE

U

A2 Anhang



64

** Zur Darstellung des Querschnittes wird der Output in 3-Dimensionaler Form angefordert

*EL FILE,OUTPUT=3D

S

*BOUNDARY

1,2,3

61,1,3

*END STEP

OOFem

Eine Berechnung des Problems mit OOFem ist nicht möglich.

A2 Anhang



65

A2.3 Test 3

Calculix

**

*HEADING

**

**

**

*NODE

1, 0., 100., 0.

28, 100., 100., 0.

55, 100., 0., 0.

82, 0., 0., 0.

…..

**

** Elementdefinition, quadratisches Plattenelement mit 8-Knoten mit reduzierter Integration

**

*ELEMENT, TYPE=S8R, ELSET= PSHELL

1, 1443, 1135, 82, 1238, 1442, 1237, 1339, 1441

2, 1134, 1135, 1443, 1448, 1236, 1442, 1446, 1444

3, 1238, 1239, 1449, 1443, 1340, 1445, 1447, 1441

…….

**

**

** SECTION DATA

**

*SHELL SECTION, ELSET=PSHELL, MATERIAL=STEEL

2.,

**

**


*DENSITY

2.7E-9,

*ELASTIC, TYPE=ISOTROPIC

70000., 0.3

**

** Setdefinition um Randbedingungen komfortabler aufzubringen

A2 Anhang



66

**

*NSET, NSET=BC

1, 28, 55, 82, 629, 630, 631, 632, 633, 634,

…….

**

**

*STEP

*FREQUENCY

20

**

** BOUNDARY

**

*BOUNDARY, TYPE=DISPLACEMENT

BC, 1, 6, 0.

*NODE FILE

U,

*END STEP

OOFem

Eine Berechnung ist mit der vorliegenden Version nicht möglich.

A3 Anhang



67

A3 Analytische Herleitung

An dieser Stelle erfolgt eine Herleitung analytischer Ergebnisse für die

Testbeispiele.

Für das erste Testbeispiel wird die Durchbiegung infolge der Belastung einer

exzentrisch angreifenden Kraft berechnet. Die Gesamtverschiebung des flachen

langen Kragträgers ergibt sich aus Biege-, Schub- und Torsionseinfluss.

Für den zweiten Test werden die ersten drei Biegeeigenfrequenzen eines kurzen

dicken Balkens ermittelt. Dabei findet eine Erweiterung der klassischen

Bernoullitheorie um die Wirkung Schub- und Rotationsträgheitseinfluss nach

Timoshenko statt. Es werden die Grenzen der einzelnen Theorien gezeigt und

weitere aus der Literatur entnommene Formeln für die Bestimmung der

Biegeeigenfrequenzen aufgeführt.

Das dritte Beispiel behandelt die Eigenschwingungen von quadratischen, fest

eingespannten Platten. Für diesen Fall werden die Ergebnisse aus der

Literaturrecherche aufgeführt, die Bewegungsgleichung für die Platte in Analogie

zur Timoshenko-Theorie angegeben und die Grenzen der klassischen

Plattentheorie für den Einsatz in der Dynamik gezeigt.

A3 Anhang



68

A3.1 Test 1. Durchbiegung Blattfeder

Im Test 1 wird die Durchbiegung eines schlanken Balkens )( bt << aufgrund einer

exzentrisch angreifenden Kraft berechnet (Abb. A3-1). Dabei wird die Absenkung im

Lastangriffpunkt betrachtet, die sich aus den Anteilen Biegung, Schub sowie Torsion

ergibt.

Abb. A3-1: Blattfeder

Den Biegeanteil erhält man aus den Gleichgewichtsbedingungen für den Balken

Q q′ = − , M Q′ = ,

dem Elastizitätsgesetz für das Biegemoment

M EI ′= ψ

und bei Annahme, dass die Schubsteifigkeit sehr groß ist ( GAχ → ∞ ), wird aus dem

Elastizitätsgesetz für die Querkraft

( )Q GA w′= χ + ψ

0w′ + ψ =

w′′ ′= −ψ .

durch Eliminieren von ′ψ die Differentialgleichung der Biegelinie zu

M

wEI

′′ = − .

Für das Moment gilt ( )M F l x= − − Einsetzen und Integrieren führt zu

2

1

3 2

1 2

( )

2

6 2

EIw F x l

xEIw F lx C

x lxEIw F C x C

′′ = − +

−′ = + +

= − + + +

E,G

x

l

F

b

t

A3 Anhang



69

Mit den Randbedingungen (0) 0w′ = , (0) 0w = folgt für die Integrationskonstanten

1 0C = , 2 0C = .

Damit wird der Biegeverlauf zu

3 3 2

3 2( ) 3

6

Fl x xw x

EI l l

= − +

.

Die maximale Durchbiegung tritt an der Krafteinleitungsstelle x l= auf:

3

max 3B

Flw f

EI= = .

Bei der bis hier gemachten Herleitung wird davon ausgegangen, dass der Balken

schubstarr ist, was bedeutet, dass der Querkrafteinfluss keine Winkeländerung

hervorruft und Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht zur neutralen

Faser standen, auch nach der Deformation senkrecht zu ihr stehen bleiben (Abb.

A3-2).

Abb. A3-2: Bernoulli Annahme

Als nächstes wird der Schubeinfluss auf den Biegebalken betrachtet. Das

Elastizitätsgesetz für die Querkraft lautet

S

Qw

GA′ + ψ =

Mit Einführung eines Schubkorrekturfaktors für einen Rechteckquerschnitt5

6χ = ,

SA A= χ und Bw′ = −ψ , ergibt sich für die Gesamtneigung (Indizies B: Biegung und

S: Schub)

B Sw w w′ ′ ′= +

mit SS

Qw

GA′ = . Durch Integration und unter Beachtung der Randbedingungen

(0) 0Sw = wird nun der Biegeverlauf des Balkens aufgrund des Schubeinflusses zu

xz

w

w′−ψ

A3 Anhang



70

SS

Qw x

GA= .

Die größte Durchbiegung des Balken tritt an der Kraftangriffstelle x l= auf und mit

Q F= wird die Gesamtdurchbiegung aufgrund von Biege- und Schubeinfluss zu

3

3 S

Fl Flw

EI GA= + .

Für den Torsionseinfluss auf die Balkenbiegung werden folgende Annahmen

getroffen [GRO99]:

• Querschnitte verdrehen sich unter Torsionseinfluss als Ganzes, d.h. Punkte

des Querschnitts, die vor der Verformung auf einer Geraden liegen, sind

auch nach der Verformung auf einer Geraden.

• Ebene Querschnitte bleiben eben. Es tritt keine Verformung aus der Ebene

heraus auf (keine Verwölbung).

Abb. A3-3: Zusammenhang Verdrehung und Winkeländerung

Bei kleinen Verformungen gilt für die Verdrehung dυ und die Winkeländerung γ der

folgende Zusammenhang (Abb. A3-3)

2 2

b b dd dx

dx

υυ = γ → γ = .

Mit dem Elastizitätsgesetz Gτ = γ folgt dann

2 2

b d bG G

dx

υ ′τ = = υ .

Für das Torsionsmoment gilt

2T

bM dA= τ∫

2

4T

bM G dA′= υ ∫

T PM G I′= υ .

γdυ

dx b

A3 Anhang



71

B Sw w+

Tw

F

Dabei wird die neu eingeführte Größe PI als das polare Flächenträgheitsmoment

bezeichnet, das im weiteren Verlauf als Torsionsträgheitsmoment TI bezeichnet

wird. Durch die exzentrisch angreifende Kraft wirkt ein konstantes Torsionsmoment

2T

bM F= . Mittels Integration über die Balkenlänge von

T

T

M

GI′υ =

ergibt sich die Verdrehung am Balkenende aufgrund des Torsionsmomentes zu

T

T

M l

GIυ = und die Verschiebung zu

2T

bw = υ .

Die resultierende Gesamtverschiebung (Abb. A3-4) setzt sich aus einem Biege-,

Schub- und Torsionsanteil zusammen.

Abb. A3-4: Gesamtverschiebung

Somit folgt für die Gesamtverschiebung

3 2

3 4S T

Fl Fl b Flw

EI GA GI= + +

und mit

3

12

btI = , 31

3TI bt= , 5

6SA bt=

wird die resultierende Verschiebung zu

2 2 2

3

4 6 3

5 4

Fl l t bw

bt E G G

= + +

.

A3 Anhang



72

A3.2 Test 2. Eigenfrequenz Biegebalken

In Test 2 werden die ersten drei Biegeeigenfrequenzen eines kurzen dicken Balkens

(Abb. A3-5) 3

30=t

l

eBalkentief

eBalkenläng ermittelt. Dabei ist der Balken statisch bestimmt

gelagert und der Einfluss der Rotationsträgheit sowie des Schubes werden

berücksichtigt (Timoshenkotheorie).

Abb. A3-5: Gedrungener Balken

Schwingt der Balken um seine y-Achse, so erfolgt eine Verschiebung ( ),w x t in z-

Richtung (Abb. A3-5) und eine Drehung ( ),x tψ um die y-Achse (Abb. A3-6).

Abb. A3-6: Verdrehung Balken

Folglich lassen sich für das Balkenelement der Schwerpunktsatz in z-Richtung und

der Drallsatz durch den Schwerpunkt (parallel zur y-Achse) formulieren (Abb. A3-7).

2

2

w QAdx Q Q dx

t x

∂ ∂ρ = − + +∂ ∂

2

2

MI dx M M dx Qdx

t x

∂ ψ ∂ρ = − + + −∂ ∂

Abb. A3-7: Balkenelement

xz

dx

Q

M

QQ dx

x

∂+∂

MM dx

x

∂+∂

xz

( )w x, t

( )x, tψ

A3 Anhang



73

Weiterhin wird das Elastizitätsgesetz für das Biegemoment

M EI ′= ψ

und für die Querkraft

( )SQ GA w′= + ψ

benötigt.

Durch die vier Differentialgleichungen werden der Biegeeinfluss, der Einfluss der

Schubdeformation sowie die Drehträgheit beschrieben.

Um die Bewegungsgleichung des Balkens zu erhalten, wird das

Momentengleichgewicht in der Form

( )2 2

2 20I w I w M Q

t t

∂ ∂′ ′ ′ρ + ψ − ρ − + =∂ ∂

geschrieben. Durch Einsetzen des Elastizitätsgesetzes für das Biegemoment in der

Form ( )M EI w EIw′′ ′′= + ψ − und Differenzieren nach x wird die Gleichung für das

Momentengleichgewicht zu

( ) ( )2 2

2 20IVI w I w EI w EIw Q

t t

∂ ∂′ ′′′′ ′′ ′ ′ρ + ψ − ρ − + ψ + + =∂ ∂

.

Mit

2

2Q A w

t

∂′ = ρ∂

und ( )S

Qw

GA′ + ψ =

wird die Differentialgleichung zu

21 0IV

S S

EA IAEIw Aw I w w

GA GA

′′+ ρ − ρ + + ρ =

&&&& && && .

Dies ist die Bewegungsgleichung einer freien Schwingung nach der Timoshenko

Balkentheorie [TIM55].

Mit dem Ansatz für harmonische Schwingungen

( ) ( ) ( ), cosw x t W x t= ω − α

ergibt sich die Differentialgleichung

4 2

2 2 2 44 2

1 0S S

d W EA d W IAEI A W I W

dx GA dx GA

− ρ ω − ρ ω + + ρ ω =

.

A3 Anhang



74

Für den Fall des beidseitig frei drehbaren Balkens und unter Einbeziehung der

Randbedingungen gilt folgende Lösungsansatz

( ) sin ,k k

k xW x B

l

π= 1,2....k = .

Durch Einsetzen der Lösung in die Differentialgleichung werden die Eigenwerte

bestimmt und es ergibt sich

Abb. A3-8: Bewegungsgleichung Balken

oder mit 4 2 Aa

EI

ρ= ω und 2 Ii

A= folgt

4 2

4 4 2 8 41 0S S

k EA k EAa a i a i

l GA l GA

π π− − + + =

In Tabelle A3-1 sind weitere charakteristische Gleichungen für verschiedene

Lagerungen aufgeführt.

Lagerung charakt. Gleichung klκ

gelenkig-gelenkig sin 0lκ = κπ

eingespannt-gelenkig tan tanh 0l lκ − κ = ( )4 1

4k

π≈ +

eingespannt-frei cosh cos 1 0l lκ κ + = ( )2 1

2k

π≈ −

eingespannt-eingespannt

frei-frei

cosh cos 1 0l lκ κ − =

cosh cos 1 0l lκ κ − = ( )2 1

2k

π≈ +

Tabelle A3-1: Charakteristische Gleichungen für verschiedene Randbedingungen [GRO99]

Wie in Abb. 2-1 gezeigt, lassen sich die einzelnen Terme der Bewegungsgleichung

den verschiedenen Theorien zuordnen. Werden nur die ersten beiden Terme

betrachtet, so erhält man den Euler-Bernoulli-Balken mit

Bernoulli Timoshenko (Rotationsträgheit & Schubeinfluss)

4 22 2 2 41 0

S S

k EA k AIEI A I

l GA l GA

π π − ρ ω − ρ ω + + ρ ω =

A3 Anhang



75

2 24k

EIkAl

ω = πρ

.

Der zweite Term beschreibt die Erweiterungen um Schub- und

Rotationsträgheitseinfluss, welche erstmals von Stepan Prokofyevich Timoshenko

[MIN51] eingeführt wurden. Dabei berücksichtigt der erste Teil die Rotationsträgheit

und der Zweite den Schubeinfluss. Durch Hinzufügen des einen oder anderen

Terms lässt sich so die Bewegungsgleichung herleiten, die nur die Rotationsträgheit

oder den Schubeinfluss mit einbezieht. Der letzte Term, der die Rotationsträgheit

und Schubeinfluss koppelt, ist bei praktischen Anwendungsfällen, bei denen davon

ausgegangen wird, dass 1<<l

kiπ, von sekundärer Bedeutung (es ergibt sich auch

keinerlei technische Aussage, die aus diesem Term gewonnen werden könnte).

Um die relative Größe des letzten Terms im Vergleich zum „Timoshenko-Term“ zu

bilden, wird dieser mittels 4

4 ka

l

π= zu

2 2

8 4 4 2

S S

EA k ki EAa i a i

GA l l GA

π π≡

umgeformt. Nun wird erkennbar, dass

,12

2422

24

+

<<

SS GÁ

EA

l

kia

GÁ

EA

l

ki

l

kia

πππ

da 1<<l

kiπ ist. Der letzte Teil wird für die Bestimmung der Eigenfrequenzen nicht

weiter berücksichtigt. Die Eigenkreisfrequenzen nach der Timoshenko-Theorie

ergeben sich somit zu

122 2

21 1k

S

k EA k EIi

l GA l A

−

π πω = + +ρ

.

A3 Anhang



76

In Abb. A3-9 findet ein Vergleich der verschiedenen Balkentheorien statt.

Es wird deutlich, dass ab einer bestimmten Wellenlänge (Wellenlänge und -

geschwindigkeit sind dimensionslos angegeben.) bzw. einer entsprechenden

Frequenz, der Einfluss des Schubes sowie die Rotationsträgheit nicht mehr

vernachlässigt werden dürfen. Es ist bemerkenswert wie gut die Timoshenko-

Theorie mit dem exakten Ergebnis übereinstimmt. Im Vergleich dazu weist die

Bernoulli- und Rayleightheorie (nur Rotationsträgheit) zu hohe Werte auf und die

Struktur wird zu steif bewertet.

Abb. A3-9: Vergleich der Balkentheorien [GRA91]

A3 Anhang



77

Durch eine Literaturrecherche wurden weitere Formeln für die Timoshenko-Theorie

recherchiert. Die Differenzen dieser Formeln lassen sich dadurch erklären, dass

verschiedene Näherungen oder Potenzreihenentwicklungen benutzt wurden.

Anzumerken ist dabei, dass alle Autoren den letzten Term in der

Differenzialgleichung wegfallen lassen und dass durch die unterschiedlichen

Näherungen die Ergebnisse sich teilweise stark voneinander unterscheiden.

Tabelle A3-2 listet die Ergebnisse der ersten drei Biegeeigenfrequenzen für die

verschiedenen Balkentheorien auf. Deutlich erkennbar ist, wie sich der Schub- bzw.

Rotationsträgheitseinfluss bei höheren Frequenzen auf das Ergebnis auswirkt.

Quelle

Erste Biegeeigen-

frequenz [Hz]

Zweite Biegeeigen-

frequenz [Hz]

Dritte Biegeeigen-

frequenz [Hz] [TIM55] Bernoulli 7817,769 31271,075 70359,919

1. [TIM55] Bernoulli+Rotationsträgheit

7785,619 30756,686 67755,826

2. [NUK99] Bernoulli+Schubeinfluss

7743,608 30132,725 64958,676

3. [TIM55] 7685,314 29151,794 59631,059 Diplomarbeit 7688,588 29345,472 61592,089

4. [GRO99] 7619,086 28092,154 54266,629 5. [CLO75] 7718,427 29681,614 62313,274

Tabelle A3-2: Vergleich der Eigenfrequenzen nach Quellen

1. 2 2

11

2k

k EI k i

l A l

π π ω = − ρ

2.

12 2 2

1kS

k EI k i EA

l A l GA

− π π ω = + ρ

3. 2 2

11 1

2kS

k EI k i EA

l A l GA

π π ω = − + ρ

4. 2

2 24

1 1kS

EI EA k ik

Al GA l

π ω = π − + ρ

5. 2

2 24

11 1

2kS

EI ki EAk

Al l GA

π ω = π − + ρ

A3 Anhang



78

Die verschiedenen Werte in Tabelle A3-2 ergeben sich hauptsächlich durch

numerische Ungenauigkeiten. Bei einer Vergleichsrechnung der durch EXCEL und

mittels Matlab ermittelten Werte, wurden weitere Abweichungen beobachtet. Auch

ist zu beobachten, dass verschiedene Werte für die Formeln 3 und 5 errechnet

werden, obwohl die Formeln sich nur durch die Position der Länge (In der Wurzel

oder vor die Wurzel gezogen.) unterscheiden.

A3 Anhang



79

A3.3 Test 3. Eigenfrequenzen fest eingespannte Plat te

Beim dritten Testbeispiel werden die ersten sechs Eigenfrequenzen für eine fest

eingespannte homogene quadratische Platte (Abb. A3-10) berechnet. Für eine

Herleitung der Schwingungsgleichung für eine Platte, die die klassische

Plattengleichung um Schub- und Rotationsträgheit erweitert, sei an dieser Stelle auf

[MIN51] verwiesen.

Abb. A3-10: Platte

Die Differentialgleichung der Platte lautet in Analogie zur Schwingungsgleichung

nach Timoshenko für den Balken

3 2 2 2 3 4 2

22 2 4 2

012 12

h hB w w B w w h w

t G t G t t

ρ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂∆ − ∆ − ∆ + + ρ =′ ′∂ ∂ ∂ ∂

mit

( )3

212 1

EhB =

− υ Biegesteifigkeit und 2G G′ = κ

korrigierter Schubmodul mit 2 0.3 0.76κ ≈ × υ + .

Hierbei lassen sich die einzelnen Terme für Schub-, Biege- und Rotationsträgheits-

einfluss identifizieren (Abb. A3-11):

Abb. A3-11: Bewegungsgleichung Platte

mit .:2

2

OperatorLaplacex

−∂∂=∆

Biegeeinfluss Rotations-trägheit

(Rotationsträgheit & Schubeinfluss)

Schubeinfluss

3 2 2 2 3 4 22

2 2 4 20

12 12

h hB w w B w w h w

t G t G t t

ρ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂∆ − ∆ − ∆ + + ρ =′ ′∂ ∂ ∂ ∂

h

ab

a b=

Alle Ränder fest

eingespannt.

A3 Anhang



80

Der Fall der quadratischen Platte ist ein Spezialfall der rechteckigen Platte. Die

Lösung der Bewegungsgleichung mit der Ansatzfunktion, die auch die

Randbedingungen mitberücksichtigt, würde den Umfang dieser Arbeit weit

überschreiten. Meist wird auch in der Fachliteratur nur der Fall der rechteckigen

Platte bzw. Membran mit Auflagerrandbedingungen (an den Rändern frei drehbar)

behandelt.

Einen umfangreichen Überblick zum Thema Schwingungen von Platten gibt Leissa

[LEI61] in seiner Arbeit „Vibration of Plates (NASA SP-160)“, die im Auftrag der

NASA erstellt wurde. Dabei werden verschiedene Randbedingungen sowie Formen

von Platten ausführlich behandelt.

Für dem hier vorliegenden Fall ergeben sich aus der Veröffentlichung für die ersten

sechs Eigenfrequenzen nach Young [LEI61], mit )1(12 2

3

υ−= Eh

D und h×= ρρ ,

folgende Werte:

Eigenmode 1 2 3 4 5 6

Young 1793,063 3657,370 5394,134 6558,454 6588,845 8227,961

Tabelle A3-3: Eigenfrequenzen

Die Eigenformen einer fest eingespannten quadratischen Platte können Abb. A3-12

entnommen werden.

Abb. A3-12: Eigenformen einer quadratischen Platte mit Seitenlänge a und Biegesteifigkeit D[LEI61]

Leider wird weder der Schubeinfluss noch der Einfluss der Rotationsträgheit in den

oben genannten Formeln berücksichtigt.

Die in Abb. A3-11 betrachtete Formel beinhaltet alle Einflüsse, die auf eine Platte

wirken und ist aus der Arbeit von Mindlin „Influence of Rotatory Inertia and Shear on

Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates” [MIN51] hergeleitet. Welche

Auswirkungen diese Terme auf die Eigenfrequenzen haben, geht aus Abb. A3-13

A3 Anhang



81

hervor. Es lässt sich erkennen, dass Oberhalb eines Verhältnisses von Plattendicke

zu Wellenlänge, Schwingungtei

eWellenläng

i

l

−==λ , von 0,125

h ≈λ

die klassische

Plattentheorie nicht mehr gilt.

In unserem Beispiel würde bei einer Plattendicke von 2mm eine charakteristische

Wellenlänge von mm16≈λ vorliegen (Abb. A3-14). Damit ergibt sich eine

Grenzfrequenz, für die die Rotationsträgheit und der Schubeinfluss nicht mehr

vernachlässig werden darf, von 760f Hz≈ .

Abb. A3-13: Schub- und Rotationsträgheitseinfluss auf die Wellengeschwindigkeit [MIN61]

A3 Anhang



82

Obwohl nach der allgemeinen Definition hier eine dünne Platte mit dem Verhältnis

mm

mm

b

h

a

h

100

2== vorliegt (siehe Tabelle A3-4), zeigen doch die vorherigen

Annahmen, dass diese Definition nicht für die Bestimmung der Eigenfrequenzen

zutrifft (Dynamik). Die wesentlichen Vereinfachungen der Plattentheorie sind:

• linear elastisches Materialverhalten (gilt nur für kleine Verformungen)

• konstante Plattendicke h

• die Spannungen normal zur Schalenmittelfläche sind vernachlässigbar

( 0, 0Z Zσ = ε = ).

• dicke Platte:

� Reissner-Mindlin (Timoshenko-Theorie bei Balken): Die Normalen zur

Mittelfläche sind vor der Verformung gerade, nach der Verformung auch

gerade, müssen jedoch nicht senkrecht zur Mittelfläche stehen.

• dünne Platte:

� Kirchhoff-Theorie (Bernoulli-Theorie bei Balken): Die Normalen zur

Mittelfläche stehen auch nach der Verformung noch senkrecht auf der

Mittelfläche

Dicke Platte Dünne Platte

;h h

a b

1 1

5 10L

1 1

10 50L

Plattentheorie Reissner-Mindlin

(Schubweich)

Kirchhoff

(Schubstarr)

Tabelle A3-4: Einsatzgebiete Plattentheorie

Besonders bei der Betrachtung von höheren Frequenzen, wo in Analogie zur

Balkentheorie der Schubeinfluss mit höheren Frequenzen immer weiter dominiert,

darf die Theorie nach Kirchhoff nicht benutzt werden. Dieser Theorie folgend, würde

sich die Struktur zu steif verhalten, wodurch es zu höheren Werten der

Eigenfrequenzen kommt.

A3 Anhang



83

Abb. A3-14: Charakteristische Wellenlänge (λ ) über Frequenz ( f ) für Eisenplatten [CRE67]

A4 Anhang



84

A4 Literaturverzeichnis

[TIM55] Timoshenko, Stephan P.: Vibration Problems in Engineering,

New York 1955

[CLO75] Clough, Ray W.; Penzien, Joseph : Dynamics of Structures,

Tokio 1975

[GRO99] Gross, Dietmar; Hauger, Werner; Schnell, Walter; Wriggers,

Peter: Technische Mechanik Bnd. 4, Berlin 1999

[NUK99] Nukala, Phani K.: Implementation of Rotary Inertia Effect on the

Free Vibration Response of Beams, Lawrence Livermore National

Laboratory 1999

[LEI69] Leissa, Arthur W.: Vibration of Plates (NASA SP-160),

Washington D.C. 1969

[MIN51] Mindlin, Raymond D., Influence of Rotatory Inertia and Shear on

Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates, New York 1951

[CRE67] Cremer, Lothar; Heckl, Manfred : Körperschall, Berlin 1967

[GRA91] Graff, Karl F.: Wave Motion in Elastic Solids, New York 1991

[Cal1.6] Dokumentation CalculiX, http://www.dhondt.de/

[B2000] Dokumentation B2000,

http://www.smr.ch/local/doc/B2000/html/index.html

[OOFem] Dokumentation Object Oriented Finite Element Solver,

http://www.oofem.org/documentation/manual.html

[DAK07] Homepage Dakota (Stand Julie 2007),

http://www.cs.sandia.gov/DAKOTA/software.html, Sandia National

Labroatories

[BAI94] Baier, Horst, Seeßelberg, Christoph, Specht, Bernhard : Optimierung

in der Strukturmechanik, Wiesbaden 1994

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