Diplomado Sistema de Puesta a Tierra (Spt) - Basicos
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Dr. Arturo Galván Diego
DIPLOMADO EN SISTEMAS DE PUESTA A TIERRADIPLOMADO EN SISTEMAS DE PUESTA A TIERRADIPLOMADO EN SISTEMAS DE PUESTA A TIERRADIPLOMADO EN SISTEMAS DE PUESTA A TIERRA
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BASICOS
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El desarrollo matemático de la teoría involucrada enel cálculo del comportamiento de los sistemas deconexión a tierra, hasta la fecha ha sido presentadoen forma fragmentada por diferentes fuentes deinformación publicada en años pasados. Elconocimiento de esta teoría se considera esencialpara la aplicación de los diversos procedimientos quese pueden emplear para el estudio de las diversas
características inherentes a los sistemas de puesta atierra.
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El objetivo fundamental de esta sección es realizar unanálisis del comportamiento de los electrodos de conexión
a tierra cuya forma simple permite un tratamientomatemático sencillo. Este elemento es electrodohemisférico , que se encuentra enterrada a nivel de lasuperficie del suelo. Este electrodo básico será utilizadopara la demostración de las características básicas de un
sistema de conexión a tierra, como son: la resistencia elpotencial de contacto y el potencial de paso. Se realizaráncomparaciones de los métodos utilizados para el cálculo dela resistencia de conexión a tierra con los métodosaplicados al cálculo de la capacitancia de electrodos
geométricos similares. Esta comparación permitirá ilustrarla posible aplicación de diversas expresiones desarrolladaspara el cálculo de la capacitancia de electrodos en ladeterminación de la resistencia de conexión a tierra.
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El análisis del comportamiento de electrodos complejos, serealizará utilizando la combinación de dos electrodos
elementales. Los dos electrodos pueden utilizarse enparalelo para formar un sistema que permitirá untratamiento generalizado para electrodos complejos. Si loselectrodos se conectan en serie, se tendrá un sistema en elcual la corriente penetra en el suelo a través de un
electrodo y abandona el suelo dentro de una región finita.
Los métodos matemáticos para el análisis de electrodoscomplejos podrán discutirse mediante el uso de varioselectrodos hemiesféricos en paralelo. Este análisis,
además, permitirá mostrar los errores inherentes a losmétodos clásicos empleados en el cálculo de sistemas depuesta a tierra.
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r1
ra
nivel del suelo
I
A
P
hemisferio enterradohemisferio enterrado
22 ar
I
A
I J
⋅⋅
==
π
22
ar
I J E
⋅⋅
⋅=⋅=
π ρ ρ
∫ ∫ ⋅⋅
⋅−=⋅−= a a
r
r
r
r A dr
r I dr E V
1 121
2 π ρ
∞ → 1
r
a A r
I
V π
ρ
21 =
a
A
r I
V R
π
ρ
2
1==
−=
1
1
11
2 r r
I V
a
Aπ
ρ
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La resistencia a tierra de un electrodo enterrado es la
resistencia total encontrada por el flujo de corriente entre el electrodo y un electrodo hipotético de forma circular, cuyo radio es muy grande comparado con r.
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nivel del suelora
A
P r
r1
Comparación conComparación con capacitanciascapacitancias
Supongamos que el electrodo interior
almacena una carga +Q y por tanto, el electrodo exterior tendrá una carga –Q ,Figura. La densidad de flujo eléctrico D ,en el punto P , localizado a una distancia r a partir del centro del sistema será:
22 r
Q AQ D
π ==
22 Kr
Q
K
D
E π ==
−=
−=−= ∫ ∫
1
2
11
2
21 1
r r K
QV
r
dr
K
Q Edr V
A
r
r
r
r
A A
π
π
Ar K
QV
⋅⋅⋅
=
π 2Si r 1 >> r A
Ar K
V
QC ⋅⋅⋅== π 2Finalmente
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nivel del suelora
A
P r
r1
Comparación conComparación con capacitanciascapacitancias
AKr c
s
π 2
11==La elastancia será:
A
a
r K C
r R
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
=
π
π
ρ
211
2Comparando la resistencia con la
capacitancia se tiene que:
C
K
r
R
A
==
π ρ 2
1Combinando se
tiene que:
K
C
R ρ 1
=Por lo que:
En general, puede demostrarse la validez de la expresión
anterior para cualquier forma de electrodo. Por lo que una vez conocida la expresión de la capacitancia, la resistencia correspondiente para el mismo arreglo de electrodos, podrá
evaluarse fácilmente.
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nivel del suelora
A
P r
r1
Comparación conComparación con capacitanciascapacitanciasAplicando esta similitud al capacitor de
placas planas paralelas de área A y separación d arreglo para el cual, el valor de la capacitancia estará dado por:
d
KA
C =
La expresión de la resistencia de dos
placas planas paralelas separadas por un material de resistividad ρ ρρ ρ es:
A
d R ρ =
Y una vez más:
K C R ρ
1=
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nivel del sueloM2
I
M1
G
A
Potencial de contactoPotencial de contacto
∫−=ar
r dl E V 1
−=
−= ∫
r r
I V
dr r
I V
a
r
r
a
11
2
2
1
21
π
ρ
π
ρ
ga
a
ag
V r r V
r r
r V V
⋅
−=
−=
1
112
2
1
1 ρ
π
π
ρ
ρ π a
g r V RV I 21 ==
ra
r
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nivel del sueloM2
I
M1
G
A
Potencial de pasoPotencial de paso
ra
22 r
I E
π
ρ =
2
2
2
2
2
r
r V E
r V
r E
r V I
ag
ag
ag
⋅=
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
ρ
π
π
ρ
ρ
π
g
a
V
r
E 1
max =
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B
IB
nivel del suelo
D
rBrA
A
IA
Dos hemisferios enterradosDos hemisferios enterrados
A
A AAr
I V π
ρ
2=
D I V B AB
π
ρ
2=
D I
r I V B
A
A Aπ ρ
π 22+=
B
A B
r D
I V π
ρ
π
ρ
22
+=
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Circuito EquivalenteCircuito Equivalente
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R2
Y
R1
Ix+Iy
R3
Z
IxX
(Referencia)
Iy( ) 33131 , R I R R I V R I I R I V y x x y x X x ++=++
( )23332 , R R I R I V R I I R I V y x y y x y y ++=++=
Puede observarse que las ecuaciones para V x y V y son similares en forma a las correspondientes a V A y V B anteriores. Las mismas serán idénticas si
Ar R R π
ρ
231=+
D R π
ρ
23=
Br R R
π
ρ
232 =+
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Circuito EquivalenteCircuito Equivalente
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R2
Y
R1
Ix+Iy
R3
Z
IxX
(Referencia)
Iy Puede ahora ilustrarse el circuito equivalente como
−=
Dr R
A
11
21
π
ρ
−=
Dr R
B
11
22
π
ρ
D R
π
ρ
23 =
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IA
D
nivel del suelo
IB
G
Dos hemisferios en paraleloDos hemisferios en paralelo x B A r r r
== B A I I
= AT I I 2=
+=
D
I
r
I V T
x
T
g222π
ρ
+==
Dr I
V R
xT
g
2
1
2
1
2π
ρ
xr D >>
==
xT
g
r I
V R
2
1
2π
ρ
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IA
D
nivel del suelo
IB
G
Dos hemisferios en paraleloDos hemisferios en paralelo
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La resistencia de los dos electrodos en paralelo es la mitad de la resistencia de un
solo electrodo. A medida que D disminuye en valor, la interacción de los dos electrodos se manifiesta y la resistencia de la combinación se incrementa. Si D se hace igual a cero, los dos electrodos se superponen totalmente y la resistencia del arreglo deberá ser igual a la resistencia de
un solo electrodo. Matemáticamente, si D es igual a cero, la ecuación se indertermina,lo que indica que esta ecuación no es válida para valores muy pequeños de D.
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Dos hemisferios en paraleloDos hemisferios en paralelo
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A P B
P1
EA
EB
Considerando nuevamente que los campos de los dos electrodos se superponen linealmente, el gradiente de potencial E (potencial de paso) podrá calcularse en cualquier punto como la suma de los dos vectores de gradiente de potencial creados por el flujo individual de corriente de cada uno de los electrodos. La figura ilustra la
disposición de los dos electrodos.
Si consideramos el punto P la superficie del suelo y sobre la línea que une a los dos electrodos dentro de la región entre A y B,Figura, (excluyendo el interior de A ó B) el gradiente de potencial E A debido a I A será
22 44 PA
T
PA
A A
D
I
D
I E
π π ==
Y el gradiente potencial debido a I B
24 PB
T
B D
I E
π
ρ −=
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Dos hemisferios en paraleloDos hemisferios en paralelo
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A P B
P1
EA
EB
El gradiente de potencial total es Observe que el gradiente de potencial es cero en el punto medio entre los electrodos A y B. Si el punto P se ubica fuera de la línea que une a los dos electrodos pero se ubica como el caso P 1 en la Figura, los campos de los dos electrodos deberán adicionarse vectorialmente.
El potencial de toque en el punto P se obtiene a partir de la ecuación básica:
−=
22
11
4PBPA
T
D D
I E
π
ρ
∫ ∫−−= 211 dr E dr E V B A
Donde r 1 es la distancia D PA y r 2 es la distancia D PB . Sustituyendo valores:
22
2
12
1
1
1
4
1
4dr
r
I dr
r
I V T T ∫∫ +−=
π
ρ
π
ρ
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Dos hemisferios en paraleloDos hemisferios en paralelo
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A P B
P1
EA
EB
Al integrar de P a la superficie de A, r 1 cambia de D PA a r x ,mientras que r 2 cambia de D-D PA
a D - r x
Sobre la superficie de A
∫∫−
−
+−= x
PA
x
PA
r D
D D
r
D
r T dr
r
I dr
r
I V
2
212
1
1
1
4
1
4 π
ρ
π
ρ
−
−
−
+−=
xPAPA x
T
r D D D Dr
I V 11114
1π
ρ
xPA r D = 01=
V
Cuando P se ubica sobre el centro de la línea que une A y B
2
D D PA =
−
−
−
+−=
x x
T
r D D D
Dr
I V
1
2
1
2
11
41
π
ρ
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Dos hemisferios en paraleloDos hemisferios en paralelo
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A P B
P1
EA
EB
La corriente total será Y por lo tanto el potencial de toque V 1es
Ahora bien, si D = 5r x
+
==
Dr
V
R
V I
x
gg
T 11
4 π
ρ
+
−
−
=
Dr
r Dr V V
x
x x
g
11
11
1
( )
x
x
xg
r D
r D
r D
DV V
+
−
−
=2
1
VgV V 8
5
6
3
4
51 ==
Si D >> r x gV V =1
Si D se hace igual a r x , V 1 se indetermina, lo que indica nuevamente que la superposición
lineal no es aplicable cuando D tiende a r x .
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+=
Dr R
x 2
1
2
1
2π
ρ
AreaArea de influenciade influenciaSEMIESFERA ENTERRADASEMIESFERA ENTERRADA
xr D =
xr D >>
=
x
E r
R1
2π
ρ
E
x
Rr
R2
1
2
1
2=
=
π
ρ
IA
D
nivel del suelo
IB
G
rx
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AreaArea de influenciade influenciaSEMIESFERA ENTERRADASEMIESFERA ENTERRADA
0%rx
50%2 rx
67%3 rx
75%4 rx
80%5 rx
83%6 rx
86%7rx
87.5%8 rx
89%9 rx
90%10 rx
99%100 rx
100%
% (1/2)R E DISTANCIA D
∞Generalmente seacepta que, para finesprácticos dereducción deresistencia de puestaa tierra, la distanciade separación entreelectrodos verticalessea mayor o igual quedos veces su longitudde enterramiento.
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AreaArea de influenciade influencia
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IB
VgI
G
D
Bnivel del suelo
IA
A
Dos hemisferios en serieDos hemisferios en serie I I A = I I
B
−=
D I
r I V
A
Aπ
ρ
π
ρ
22−=
B
Br
I D
I V π π
ρ
22−=
−+==−
Dr r
I V V V
B A
g B A
211
2π
ρ
−+==
Dr r I
V R
B A
g 211
2π
ρ
B A
g
r r I
V R 1
21
2 π ρ
π ρ +==
B A r ór D >>
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IB
VgI
G
D
Bnivel del suelo
IA
A
Dos hemisferios en serieDos hemisferios en serie
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B A R R R += Donde R A y R B son las resistencias de los dos electrodos, cada una de ellas con respecto a una referencia remota. Esto indica que para separaciones grandes, el valor de conexión a tierra es la suma de los
dos valores de resistencia individuales. Si r A =r B = r y D = 4r
−+=
r r r R
4
211
r R
π
ρ
4
3=
Lo anterior muestra que la resistencia entre los dos electrodos A y B es menor que la suma de las dos
resistencias evaluadas individualmente.