Dipartimento di Informatica e Sistemistica Alessandro DE CARLI Anno Accademico 2006-07 TECNOLOGIE...
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Dipartimento diInformatica e Sistemistica
Alessandro DE CARLI Anno Accademico 2006-07
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLOCALCOLO DIRETTO DELL’EVOLUZIONE
DI UN SISTEMA DINAMICO
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 2
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE
• ASSEGNATI N COPPIE DI VALORI DELLA ASCISSA Ti E DELLA
CORRISPONDENTE ORDINATA Yi , L’INTERPOLAZIONE TRAMITE
SPLINE CONSENTE DI CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA CURVA CONTINUA, ANCHE NELLA DERIVATA PRIMA E SECONDA, CHE PASSA IN PUNTI ASSEGNATI
• L’INTERPOLAZIONE È EFFETTUATA TRAMITE UNA CUBICA I CUI COEFFICIENTI SONO CALCOLATI IN FUNZIONE DEI VALORI ASSEGNATI Ti E Yi (ASCISSE E ORDINATE)
• IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DELLA CURVA INTERPOLANTE È FISSATO DALL’UTENTE
• I VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE, INSIEME CON I COEFFICIENTI RELATIVI AI SINGOLI TRATTI DI CURVA INTERPOLANTE, POSSONO ESSERE CALCOLATI APPLICANDO LE ISTRUZIONI DEL MATLAB
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 3
L’ISTRUZIONE MATLAB PER CALCOLARE I VALORI DELLA CURVA INTERPOLANTE È
y = spline(T,Y,t)
IN CUI:
y È IL FILE RELATIVO AI VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE
T È IL FILE RELATIVO ALLE ASCISSE DEI VALORI ASSEGNATIT = [ T1 T2 • • • • TN ]
Y È IL FILE RELATIVO ALLE CORRISPONDENTI ORDINATEY = [ Y1 Y2 • • • • YN ]
t È IL FILE RELATIVO ALLA BASE DEI TEMPI CON PASSO DI DISCRETIZZAZIONE dt
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 4
INTERPOLAZIONE CON SPLINE
yi(t) = ai t3 + bi t2 + ci t + di 0 < t < ti
DERIVATA PRIMA
DERIVATA SECONDA
DERIVATA TERZAt1
t2
t3t4
t5a1b1c1d1
a2b2c2d2
a3b3c3d3
a4b4c4d4
a5b5c5d5
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
5
CALCOLO DELLA SPLINE INTEPOLANTELA SPLINE INTERPOLANTE È COSTITUITA DALLA COMBINAZINE LIARE DELLA SEGUENTI VARIABILI DI TIPO CANONICO:
• GRADINO• RAMPA LINEARE• RAMPA QUADRATICA• RAMPA CUBICA
I COEFFICIENTI DELLA INTERPOLAZIONE LINEARE SONO CALCOLATI IN MODO DA GARANTIRE LA CONTINUITÀ DEL VALORE ISTANTANEO, DELLA DERIVATA PRIMA E DELLA DERIVATA SECONDA. A TALE SCOPO VIENE UTILIZZATA L’ISTRUZIONE MATLAB:
K0 = spline(T,Y);KK=K0.coefs;
d1
c1
b1
a1
d2
c2
b2
a2
d3
c3
b3
a3
d4
c4
b4
a4
…………
…………
KK =
IN CUI:
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
6
(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
u(t)
0 =
00
10 =
0 1 000 1
0 0 000 0
00
01 i =
6 ai
2 bi
di
ci
0 < t < Ti+1 - Ti
0 i =
di
ci
6 ai
2 bi =
0 1 000 1
0 0 000 0
00
01 i =
00
10
LA SPLINE INTERPOLANTE PUÒ ESSERE CACOLATA ANCHE COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTENA DINAMICO CON 4 POLI NELLE ORIGINE
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE
AUTOMAZIONE INDUSTRIALE
7
ISTRUZIONI MATLAB PER IL CALCOLO DEI COEFFICIENTI
K0=spline(T,Y);KK=K.coefs;
-0.5786
-0.5786
0.1498
0.1242
-0.3005
0.9232
0.9232
2.6799
1.8120
-0.7919
-0.2977
0.5967
-0.4849
0.1300
-2.9953
-0.7494
0.7808
-0.4177
0.2999
0.4341
-0.3467
0.6000
-0.3000
0.7000
0.8000
-0.2000
0.5000
0.1000
0.60.0
0.5 -0.3
2.0 0.7
3.1 0.8
5.5 -0.2
6.7 0.5
0.18.9
10.0 0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
aiKK(i:i,4:4)Ti Yii
DATI DI PROVA COEFFICIENTI MATRICE KK
biKK(i:i,3:3)
ciKK(i:i,2:2)
diKK(i:i,1:1)
INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
8
-.4
-.2
0
.2
.4
.6
.8
2 4 6 8 10t (sec)
2 3 4 5 6 71
t1 t2
t3 t5 t7t4 t6
1 =
-3.4718
0.6000
-2.9953
5.35984 =
0.7453
0.8000
-0.4177
-0.59545 =
-1.8028
-0.2000
0.2999
1.19346 =
0.5591
0.5000
-2.9953
-0.96992 =
-3.4718
-0.3000
-0.7494
3.62393 =
0.8985
0.7000
0.7808
0.89857=
0.5591
0.1000
-0.3467
0.2601
u(t1) = 1 exp( t1) 0
u(t2) = 2 exp( t2) 0
u(t3) = 3 exp( t3) 0
u(t4) = 4 exp( t4) 0
u(t5) = 5 exp( t5) 0
u(t6) = 6 exp( t6) 0
u(t7) = 7 exp( t7) 0
CALCOLO DELL’EVOLUZIONE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
9
CALCOLO CONGIUNTO DELLA EVOLUZIONE LIBERA E DELLA EVOLUZIONE FORZATA DI UN SISTEMA DINAMICO COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA A STATO AUMENTATO
SISTEMA DINAMICO LINEARE E STAZIONARIO
VARIABILE DI FORZAMENTO DI TIPO ESPONENZIALE
•
y(t) = cT x(t)
x(t) = A x(t) + b u(t) x(0) = x0
u(t) = 1
u(t) = t
u(t) = t2/2
u(t) = t3/6
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
10
(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
•
y(t) = cT x(t)
x(t) = A x(t) + b u(t)
x(0)= x0
y(t)u(t)
0 1
0 0 =
0
1=
0
10 =
0 = 1 = 10 =
1
u(t
)
1/6
u(t
)
1/2
1
u(t
) t (sec)
u(t
)
1
= = 0 =0 1 0 0 0
00 1 0 000 0 1 1
= = 0 =
0 1 0 0 000 1 0 0
0 0 0 1 100 0 0 0
00
01
CALCOLO DELL’EVOLUZIONE
CALCOLO DELL’EVOLUZIONE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
11
x(0)= x0(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
•
y(t) = cT x(t)
x(t) = A x(t) + b u(t)y(t)u(t)
(t) =x(t)
(t)S =
A
b T
0 =x0
0
A
B T
(t)cT
0 I0 y(t)
u(t)(t) = e S t
CALCOLO DELL’EVOLUZIONE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
12
e S
t =e
A
t
e
t0
(e
A
te
t) b(t) A-1(e
A
t – I)b(t)
x(t) = (t) x0 + (t) 0
EVOLUZIONELIBERA E FORZATA
DELLE VARIABILI DI STATODEL SISTEMA DINAMICO
u(t) = e
t (t)EVOLUZIONE
DELLA VARIABILEDI FORZAMENTO
y(t) = cT x(t)EVOLUZIONE
LIBERA E FORZATADELLA VARIABILE DI USCITA
DEL SISTEMA DINAMICO
CALCOLO DELL’OSCILLAZIONE PERMANENTE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
13
CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTEIPOTESI1 - È ASSEGNATO L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO
2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO
3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO
PER CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANEN-TE OCCORRE CONOSCERE IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x0
RELATIVO AD UN ISTANTE DEFINITOPROCEDURA
1 - VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTATO CHE FORNISCE L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO NONCHÉ L’EVOLUZIONE LIBERA E DELL’EVOLUZIONE FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO
2 - VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO L’ANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
14
3 - VENGONO CONCATENATE LE SINGOLE SOLUZIONI IN FUZIONE DELLA SOLA INCOGNITA x0
4 - VIENE RISOLTA L’EQUAZIONE LINEARE CHE FORNISCE IL VALORE DELL’INCOGNITA x0
5 - VIENE CALCOLATO IN FUNZIONE DI x0 L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMENTENTE CHE COINCIDE CON LA VARIABILE DI USCITA DEL SISTEMA DINAMICO
ESEMPIO
CALCOLO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI UN SISTEMA DINA-MICO IL CUI FORZAMENTO È OTTENUTO DA UN RELÈ IN CUI LA DU-RATA DEL CICLO DI COMMUTAZIONE È PREFISSATA
ASPETTI INNOVATIVI DEL METODO
METODO DI CALCOLO DI TIPO DIRETTO IN CUI LA PRECISIONE DEL RISULTATO È INDIPENDENTE DAL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E DALLA CONDIZIONE SCELTA PER LA VERIFICA DELLA PERIODICITÀ
L’APPROCCIO CONVENZIONALE CONSISTE NEL FISSARE IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ. VIENE APPLICATO UN METODO ITERATIVO DI RICERCA DELLA SOLUZIONE
CALCOLO DELL’OSCILLAZIONE PERMANENTE
CONDIZIONE DIPERIODICITÀ
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
15
t1
t2a1
a2
0a1
0 1 =0
-a2
0 2 =
(t1)
(t1)
(t2)
(t2)
x0 x(t1) x0
x(t1) = (t1) x0 + (t1) 01
x(t2) = (t2) x(t1) + (t2) 02 = x0
x0= (t2)((t1) x0 + (t1) 01 ) + (t2) 02
x0 = ((t2)(t1) – I)-1 ((t2)(t1) 01 + (t2) 02 )
PER 0 < t < t1 y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 01 )PER 0 < t < t2 y(t) = cTx(t) = cT((t) x(t1) + (t) 02 )
TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO
CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI
CALCOLO DELL’OSCILLAZIONE PERMANENTE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
16
CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITEIPOTESI1 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO2 - È ASSEGNATO L’ANDAMENTO DELLA NON LINEARITÀ3 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO È SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI
CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO
PER CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMI-TE OCCORRE CONOSCERE LA DURATA DEL PERIODO T* E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x 0(T*) IN CORRISPONDENZA DELL’ISTAN-
TE INIZIALE DI UN PERIODOPROCEDURA1 - VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTA-
TO CHE FORNISCE L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZA-MENTO E L’EVOLUZIONE LIBERA E FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO
2 - VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO L’ANDA-MENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO
CALCOLO DEL CICLO LIMITE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
17
3 - VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
6 - VIENE CALCOLATO IL CORRISPONDENTE VALORE NUMERICO DEL VETTORE CONDIZIONI INIZIALI X(0)
4 - VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO
5 - VIENE ASSEGNATO UN VALORE DI TENTATIVO ALLA DURATA T DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE
7 - VIENE CONTROLLATO SE RISULTA VERIFICATA LA CONDIZIONE DI VARIAZIONE DEL SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO
8 - SE TALE CONDIZIONE NON RISULTA VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T. LA PROCEDURA RIPARTE DAL PASSO 6
9 - SE RISULTA VERIFICATA RISULTA DETERMINATO IL PERIODO T* DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE E IL CORRISPONDENTE VALORE X*(0) DELLE CONDIZIONI INIZIALI
10 –UNA VOLTA DETERMINATI I VALORI DI T* E DI X*(0) , VIENE CALCOLATO L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE TRAMITE IL MODELLO DINAMICO PRECEDENTEMENTE RICAVATO
CALCOLO DEL CICLO LIMITE
CONDIZIONE DIPERIODICITÀ
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
18
0a
0 =0a
0 = -
(T/2)
(T/2)
(T/2)
(T/2)
x0 x(t1) x0
x(T/2) = (T/2) x0(T) + (T/2) 0
x0(T) = x0(0) = - x0(T/2)
CONDIZIONE DI PERIODICITÀ
a
T/2
T/2
a
x(T) = (T/2) x(T/2) - (T/2) 0 = x0(T)
x0(0) = ( (T/2) + I )–1 (T/2) 0
CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI
y(0) = y(T/2) = 0
CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNODELLA VARIABILE DI FORZAMENTO
CALCOLO DEL CICLO LIMITE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
19
s3 + 3 s2 + 3 s + 111
-1+-
y*(t) = 0 y(t)u(t)e(t)
-10
0
1-1
0
01
-1A =
00
1b =
10
0c
T = 0 = 1=
y(0
)
T/2
T*/2
0 T*
tempo
CICLO LIMITE
ESEMPIO
CALCOLO DEL CICLO LIMITE
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
20
CALCOLO DIRETTO DEL CONTENUTO ARMONICODI UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE
IPOTESI1 - È ASSEGNATA LA DURATA DI UN PERIODO E L’ANDAMENTO
DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN
ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO
IL VALORE DELLE COMPONENTI ARMONICHE COINCIDE CON L’EVOLUZIONE FORZATA DELLE VARIABILI DI STATO DI UN SISTEMA DINAMICO IN CUI:
4 - È GIÀ STATO CALCOLATO IL VALORE CONDIZIONI INIZIALI X0 IN CORRISPONDENZA DELL’ ISTANTE INIZIALE
5 - È NOTO L’ORDINE DELL’ARMONICA DI CUI SI DEVONO CALCOLARE LE COMPONENTI ARMONICHE
1 - LA MATRICE DINAMICA È CARATTERIZZATA DA DUE POLI COMPLESSI DI VALORE COINCIDENTE CON LA PULSAZIONE DELLA ARMONICA DI CUI DEVONO ESSERE CALCOLATE LE COMPONENTI
CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
21
2 - L’EVOLUZIONE DINAMICA PARTE DA CONDIZIONI INIZIALI NULLE3 - IL VALORE DELLE VARIABILI DI STATO ALLA FINE DI UN
PERIODO COINCIDE CON LE COMPONENTI ARMONICHE DELLA OSCILLAZIONE PERIODICA
AGGREGANDO AL MODELLO DINAMICO DEL SISTEMA IN ESAME QUELLO DEL:
1 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLA EVOLUZIONE FORZATA
2 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLE COMPONENTI ARMONICHE
VIENE CALCOLATA:
1 - L’OSCILLAZIONE PERMANENTE
2 - L’ANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO
3 - LE COMPONENTI ARMONICHE
COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA DINAMICO A STATO AUMENTATO ESTESO AL CALCOLO DELLA EVOLUZIONE E DELLE COMPONENTI ARMONICHE CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
22
VANTAGGI DEL METODO DIRETTO PER IL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO:
1 - NEL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE COINCIDE CON QUELLO DI DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO;
2 - L’ANDAMENTO DELLA FORMA D’ONDA PERIODICA NON SUBISCE APPROSSIMAZIONI COLLEGATE ALLE MODALITÀ DI ELABORA-ZIONE DELL’ALGORITMO DI CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO;
CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO
3 - IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DIPENDE SOLO DALLE DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI DORZAMENTO E NON DALL’ORDINE DELL’ARMONICA ;
4 - LE ARMONICHE DI ORDINE SUPERIONE SONO CALCOLATE CON UNA PRECISIONE CHE DIPENDE SOLO DALLA LUNGHEZZA DI PAROLA UTILIZZATA NELLE ELABORAZIONI NUMERICHE.
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
23
y(t) = cT x(t)
•x(t) = A x(t) + b u(t)
x0(0)= 0
(t)= (t)•
u(t)= T (t)
u(t) y(t)
(t)= (t) + y(t)•
0= 0
(1)
(2)
=
2 T
n
2 T
- n
0
0=
0
2T
Tn (1)=
0
2 T
ncos( )t y(t) dt2T n
(2)=
0
T2 T
nsin( )t y(t) dt2T
y(t) = cTx(t) = cT((t) x0 + (t) 0 )
CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
24
(t) =(t)
(t) =
S
cT 0]
0
0 =0
0
(t) = (t) • (0) = 0
x(t)
(t)
(t)
VARIABILI DI STATO
FORZAMENTO
COMPONENTIIN FASE E
IN QUADRATURA
A0
cT
00
b0
x(t)
(t)(t)
•
••
= 0
x0
0
x0 0
CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO
P W MPULSE WIDTHMODULATION
SISTEMA DACONTROLLARE
ATTUATOREON-FF
y(t)m(t) u(t)
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
25
(s+1)(s+3)
2s+6s1
s2+.5s+1.5
1
METODO DIRETTO 2 ITERAZIONI: 1 CONDIZIONI INIZIALI
2 TRACCIAMENTO
METODO INDIRETTO 18 ITERAZIONI:2 AGGIORNAMENTO DELLE
CONDIZIONI INIZIALI
1 TRACCIAMENTO
tempoT
CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO
t
T
TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
26
0 10 20 30 40 50ordine delle armoniche
PROCEDURA:1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI X0 PER IL
TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO PERIODICO2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI X0 NEL VETTORE
(T) PER IL CALCOLO DELLE COMPONENTE ARMONICHE DI ORDINE N
3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE4 VIENE RICOSTRUITO L’ANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE
CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO