Dinamika rotacije - elektrotehnika.tmf.bg.ac.rs · •Telo može da vrši istovremeno rotaciono i...

Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 1

Dinamika rotacije


• Moment inercije je kvantitativna mera za inerciju tela pri rotaciji:

– zavisi od položaja ose rotacije,

– za materijalnu tačku:

– za neko telo:

• Štajnerova teorema:

• Drugi Njutnov zakon za rotaciono kretanje:

• Kinetička energija rotacionog kretanja:

Osnovni pojmovi

2rmI

mrI d2

2

Cd dmII

FrMI

2

rotk,2

1 IE


• Telo može da vrši istovremeno rotaciono i translaciono kretanje.

• Kotrljanje bez klizanja:

• Pri kotrljanju bez klizanja javlja se sila statičkog trenja:

• Moment količine kretanja:

• U odsustvu delovanja spoljnih momenata važi zakon održanja momenta

količine kretanja.

Osnovni pojmovi (2)

NF trs,

cR c

Rc

mrL IL


• Z1. U homogenom disku mase m = 1 kg i poluprečnika r = 30 cm

izrezan je okrugli otvor prečnika d = 20 cm čiji se centar nalazi na

rastojanju l = 15 cm od ose diska. Odrediti moment inercije sistema u

odnosu na osu koja prolazi kroz centar diska normalno na njega.

Moment inercije diska je .

Rešenje:

Zadaci

2/2rmI

2

1

2

1

2

2182

lmd

mrm

III

2

2

1

2

2

11

44

r

dmm

hrVm

hd

Vm

r

l

d

22

2

22

2

42

21 mkg102,42162

r

ld

r

dr

mIII


• Z2. Oko valjka mase M = 10 kg koji može da rotira oko nepokretne ose,

namotano je neistegljivo uže zanemarljivo male mase na čijem kraju visi

telo mase m = M/2. U početku kretanja telo mase m se nalazi na visini

H = 4 m iznad zemlje. Ubrzanje slobodnog padanje je g = 10 m/s2. Odrediti:

a) ubrzanje sistema,

b) brzinu kojom telo pada na zemlju,

c) ukupnu kinetičku energiju sistema u trenutku pada na zemlju.

Rešenje:

a)

b)

c)

Zadaci

2

zz

2

z

z

s

m5

2

2

22

Mm

gma

aMFRF

R

aRMRFI

Fgmam

gm

zF

zF

H

m/s1022 Ha

J2002/2/ 22

k ImE


• Z3. Dva tela čije su mase m1 i m2, pri čemu je m1>m2 vezana su koncem

zanemarljive mase i prebačena preko kotura mase M i poluprečnika R.

Ako konac u žljebu ne proklizava odrediti:

a) ubrzanje tegova,

b) sile zatezanja konca.

Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g. Moment inercije kotura je:

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

1 1 z1

2 z2 2

z1 z2 z1 z2

1 2

1 2

2

/ 2

m a m g F

m a F m g

M aI F F R F F

m ma g

m m M

gm 1

agmF

agmF

22z

11z

gm 2

z2Fz1F

z2Fz1F

2/2RMI


• Z4. Homogeni valjak mase m1 = 8 kg i metalni blok mase m2 = 4 kg

nalaze se na strmoj ravni koja zaklapa ugao = 30° sa horizontalom.

Blok je vezan za osovinu valjka neistegljivim koncem zanemarljive

mase. Koeficijent trenja između bloka i ravni je = 0,2. Odrediti

ubrzanje sistema ako se valjak kotrlja bez klizanja. Trenje u osovini

valjka zanemariti. Ubrzanje slobodnog padanja je g = 9,81 m/s2.

Rešenje:

Zadaci

2

21

12

1tr1tr1

22z2

ztr111

s

m25,3

2/3

sincossin

2

cossin

sin

gmm

mma

amFrFI

gmgmFam

FFgmam

zFzF tr2F

tr1F

1Q

2Q

1N

2N


• Z5. Homogena kugla mase m i poluprečnika r počne da se kotrlja bez

početne brzine i bez klizanja niz polusferu poluprečnika R. Kolika je

ugaona brzina kugle u trenutku odvajanja od polusfere. Moment inercije

kugle u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase iznosi:

Rešenje:

Zadaci

2

2

min

2 2

min

cos

0 cos

cos2 2

1 10

17

mm g N

r R

N g r R

m Im g R r m g R r

r

g R rr

22 / 5I m r

m g

N


• Z6. Homogeni drveni štap mase m = 10 kg i dužine l = 2 m obešen je o

osovinu O na jednom svom kraju. Metak mase m1 = 30 g i brzine

1 = 900 m/s pogodi štap u centru mase. Metak prođe kroz štap i na

izlasku ima brzinu 2 = 100 m/s. Moment inercije štapa je , a

ubrzanje slobodnog padanja g = 9,81 m/s2. Odrediti za koliki ugao će se

pomeriti štap.

Rešenje:

Zadaci

3212

222

š

lmlm

lmI

12/2lmI

h

cos12

l

h

lm

mI

lm

lm

2

3

22

211š2111

glm

mIhgm

2

2

21

2

1

2

š

4

31cos

2

76,38


• Z7. Homogeni štap mase m1 = 400 g i dužine l = 0,6 m može da rotira

oko horizontalne ose koja prolazi kroz tačku koja se nalazi na rastojanju

2l /3 od donjeg kraja štapa. U vrh štapa udara metak mase m2 = 10 g

brzinom = 10 m/s i ostaje u štapu. Za koliki ugao će se pomeriti štap

nakon udara metka? Moment inercije štapa u odnosu na osu koja prolazi

kroz centar mase iznosi: .

Rešenje:

Zadaci

12/2lmI

2

22 22

1 2

2 1 1

2 11 2

c c c

1 2 2 1

3 3

3 12 6

022' , ' '

3 6

lm I

m

m m ll l lI m m m

lm m

m mly s y l

m m m m


Zadaci

2

1 2 1 2 c

2 2

2

1 2 1 2

' 1 cos2

3arccos 1 14,7

2

Im m g h m m g s

m

m m m m g l


• D1. Metalni disk ima debljinu a = 2 mm i poluprečnik R = 20 cm. Uz ivicu

diska napravljen je šupalj kružni izrez poluprečnika r = 10 cm. Koliki je

moment inercije takvog diska u odnosu na osu koja je normalna na

ravan diska a prolazi kroz njegov centar? Gustina metala od kojeg je

disk napravljen iznosi = 7850 kg/m3.

Rešenje:

Zadaci

22 mkg102,3 I


• D2. Na horizontalni tanak cilindar mase m1 i prečnika d namotano je uže

zanemarljive mase na kome visi telo mase m2. Kada se sistem prepusti

samom sebi odrediti:

a) ugaono ubrzanje cilindra,

b) silu zatezanja u užetu.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

dmm

gm

12

2

2

4

12

21z

2 mm

gmmF


• D3. U žljeb na disku mase m = 54 g postavljen je tanak konac, o čije

krajeve su obešeni tegovi masa m1 = 100 g i m2 = 200 g. Odrediti:

a) ubrzanje tegova,

b) vreme potrebno da telo mase m2 pređe put dužine h = 1,5 cm, ako su

u početnom trenutku tela bila u stanju mirovanja.

Trenje kotura i konca zanemariti. Ubrzanje slobodnog padanja iznosi

g = 9,81 m/s2.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

2s

m3a

s1,02 t


• D4. Homogeni cilindar poluprečnika R = 20 cm rotira oko podužne ose

ugaonom brzinom 0 = 40 rad/s. Tako rotirajući cilindar se lagano pusti

na strmu ravan nagibnog ugla = 30° te se pusti da se kotrljanjem bez

klizanja penje uz strmu ravan. Ubrzanje slobodnog padanja iznosi

g = 10 m/s2. Odrediti:

a) minimalnu vrednost koeficijenta trenja između cilindra i strme ravni,

b) vreme posle koga će cilindar dostići najviši položaj na njoj.

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

19,03

1 tg

s4,2p t


• D5. Drveni blok mase M leži na horizontalnoj ravni i spojen je sa osom

O pomoću horizontalne šipke dužine l i zanemarljive mase. U težište

bloka, normalno na ravan crteža ispali se u horizontalnom pravcu metak

mase m brzinom intenziteta . Koeficijent trenja između bloka i podloge

je . Moment inercije bloka je , a intenzitet ubrzanja slobodnog

padanja g. Pretpostaviti da metak ostaje u bloku. Odrediti broj obrta N

koji će blok izvršiti pre nego što se zaustavi usled trenja o podlogu.

Rešenje:

Zadaci

2222

2

2

222

trktrtrk

422

'222

'

''

/'

Mmlg

m

l

sN

gMm

ms

sgMmMmIm

sFEsFAE

Mm

mImlml

l

l

2lMI

O


• D6. Drveni štap mase m = 500 g i dužine l = 1,2 m nalazi se u

horizontalnom položaju. Štap može da se obrće oko jednog svog kraja

u vertikalnoj ravni. Težište štapa pogodi metak mase m2 = 10 g krećući

se vertikalno naviše. Metak se pri tome zadrži u štapu. Putanja metka je

normalna na osu štapa. Kolika mora da bude brzina metka da bi štap

dospeo u vertikalni položaj? Moment inercije štapa u odnosu na težišnu

osu iznosi .

Rešenje:

Zadaci

s

m5,201

12/2

0 lmI


• D7. Homogeni štap mase m1 = 6 kg i dužine l = 4 m rotira oko

horizontalne ose koja prolazi kroz tačku koja se nalazi na rastojanju l/4

od gornjeg kraja štapa. U vrh štapa udara metak mase m2 = 1 kg

brzinom = 5 m/s i ostaje u štapu. Odrediti:

a) ugaonu brzinu štapa,

b) periferijsku brzinu tačke na kraju štapa nakon sudara metka i štapa.

Moment inercije štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase

iznosi:

Rešenje:

a)

b)

Zadaci

s

rad1033,3

37

12 1

21

2

lmm

m

12/2

10 lmI

s

m1

37

9

21

21

mm

m

Dinamika rotacije - elektrotehnika.tmf.bg.ac.rs · •Telo može da vrši istovremeno rotaciono i...

Documents

Transcript of Dinamika rotacije - elektrotehnika.tmf.bg.ac.rs · •Telo može da vrši istovremeno rotaciono i...