Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je...
Transcript of Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je...
![Page 1: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/1.jpg)
Dinamika krutog tijela Tehnička fizika 1
01/11/2019 Tehnološki fakultet
![Page 2: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/2.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Moment sile.
• Moment inercije.
• Štajnerov teorem.
• Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.
• Moment impulsa.
• Zakon održanja momenta impulsa.
• Kinetička energija i rad rotacionog kretanja.
![Page 3: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/3.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Pod dejstvom sile ne mijenja oblik
• Međusobna rastojanja čestica su ista
• Dvije vrste kretanja: TRANSLACIJA I ROTACIJA
• TRANSLACIJA KRUTOG TIJELA, svodi se na kretanje
materijalne tačke
• Rotaciono kretanje tijela:
sve čestice se kreću po kružnoj putanji
centri kružne linije leže na jednoj pravoj (osa rotacije)
sve čestice imaju istu ugaonu brzinu
Kruto tijelo
![Page 4: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/4.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Uticaj sile na rotaciju tijela opisuje se momentom sile.
• Kretanje MT oko ose rotacije:
kretanje je ubrzano
ubrzanje ima Tangencijalnu i Radijalnu komp.
• Sila koja djeluje na materijalnu tačku ima:
radijalnu komponentu,
tangencijalnu komponentu
• Samo dejstvo tangencijalne sile dovodi do rotacije
• Ugaono ubrzanje ima pravac ose rotacije,
• a smjer određuje pravilo desnog zavrtnja
RmFr2
Moment sile
mRFt sinFFt
![Page 5: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/5.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Tangencijalna komponenta sile pomnožena sa
poluprečnikom kružne linije definiše moment sile.
• Vektorski proizvod:
• Moment sile:
vektor
jednak vektorskom proizvodu radijus vektora i
tangencijalne komponente sile
pravac je koaksijalan sa osom rotacije
smjer se određuje pravilom desnog zavrtnja
isti smjer kao ugaona brzina i ubrzanje
sinRFFRM t
Moment sile
FRM
![Page 6: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/6.jpg)
Dinamika krutog tijela
FFFxdFxFMMM 212121 ),(
Par sila - spreg sile
FdFxFdFxM
FdM
![Page 7: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/7.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da
se suprotstavlja rotaciji.
• Moment inercije u rotacionoj dinamici je analogna
veličina masi u dinamici.
• Predstavlja inerciju krutog tijela koje rotira u odnosu na
njegovu rotaciju.
• Moment inercije materijalne tačke:
Skalarna veličina, jednaka proizvodu mase i kvadrata
njenog rastojanja od ose rotacije.
Moment inercije
2mRI
![Page 8: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/8.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Moment inercije tijela u odnosu na osu rotacije.
tijelo podijeli na elementarne mase ∆mi
svaka elementarna masa ima svoje rastojanje od
ose rotacije Ri
moment inercije ∆miRi
• Ako je gustina tijela:
• Ili u graničnim slučajevima:
Moment inercije
222
22
2
11 ... iinn RmRmRmRmI
V
m
ii VRI
2
V
dVRdmRI 22
![Page 9: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/9.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Omogućava izračunavanje momenta inercije u odnosu
na bilo koju osu rotacije.
Moment inercije u odnosu na proizvoljnu osu jednak je momentu
inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz težište tijela i paralelna je datoj
osi koji se uvećava za proizvod mase tijela i kvadrata rastojanja između tih
osa.
• Štajnerova teorema svodi izračunavanje momenta inercije u odnosu na
proizvoljnu osu, na izračunavanje momenta inercije u odnosu na osu koja
prolazi kroz težište tijela.
Štajnerova teorema.
2
0 mdII
d
![Page 10: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/10.jpg)
Dinamika krutog tijela
• Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.
• Moment impulsa tijela L materijalne tačke oko
nepokretne ose rotacije je vektorski proizvod njenog
vektora položaja r i vektora impulsa tijela:
Osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.
IM
prL
IL
dt
Ld
dt
Id
dt
dIIM
![Page 11: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/11.jpg)
Dinamika krutog tijela
Zakon održanja momenta impulsa.
dt
Ld
dt
Id
dt
dIIM
dt
dI
dt
dI
dt
Id
dt
LdM
0
constL
0M
U izolovanom sistemu, moment impulsa je konstantan.
![Page 12: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/12.jpg)
• Pri rotaciji krutog tijela (bez translatornog kretanja):
• Vrši se sumiranje kinetičke energije za svaki djelić
krutog tijela:
• Pri složenom kretanju ukupna kinetička energija je
suma kinetičke energije translatornog kretanja centra
mase i rotacionog kretanja tijela:
• Ako se pri rotaciji tijelo obrne za ugao θ (u radijanima)
pod uticajem momenta sile M, izvršeni rad je:
Kinetička energija i rad rotacionog kretanja.
ii rv
2
2
222iiii
ki
rmvmE
2
2IE kR
22
22Imv
E Ck
MA
![Page 13: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/13.jpg)
Gravitacija
• Keplerovi zakoni.
• Zakon gravitacije.
• Gravitaciono polje.
• Ubrzanje zemljine teže.
• Kosmičke brzine.
![Page 14: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/14.jpg)
Gravitacija
• Modeli kretanja nebeskih tijela:
Geocentrični model (grčki fizičar Ptolomej u II vijeku) – Zemlja miruje,
centar je vasione a ostala nebeska tijela se kreću oko nje.
Heliocentrični sistem (poljski fizičar Kopernik u XVI vijeku) – Sunce je
centar oko koga se kreću ostale planete
• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko
Sunca:
I zakon: Planete se kreću oko Sunca po eliptičnim
putanjama, u čijem se jednom fokusu (žiži) nalazi Sunce
Keplerovi zakoni
![Page 15: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/15.jpg)
Gravitacija
• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko
Sunca:
II zakon: Duž koja spaja položaj planete sa Suncem
prekrije u jednakim vremenskim intervalima jednake
površine, bez obzira na udaljenost od Sunca.
Kada je planeta bliže Suncu kreće se brže nego kada je
dalje od Sunca.
Keplerovi zakoni
![Page 16: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/16.jpg)
Gravitacija
• Kepler je u XVII vijeku formulisao zakone kretanja oko
Sunca:
III zakon: Kvadrat perioda (vremena obilaska planete
oko Sunca) proporcionalan je trećem stepenu srednje
udaljenosti planete od Sunca.
Za dvije planete je:
Keplerovi zakoni
3
2
3
1
2
2
2
1
r
r
T
T
m 1049597870.1AJ 1 11
![Page 17: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/17.jpg)
Gravitacija
• Na osnovu Keplerovih zakona i Njutnovih zakona
mehanike Njutn je definisao univerzalni zakon
gravitacije
• Na svaku planetu djeluje sila usmjerena ka Suncu čiji
je intenzitet:
srazmjeran masi planete
obrnuto srazmjeran kvadratu rastojanja između
planete i Sunca
Zakon gravitacije.
2 r
mkF
p
![Page 18: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/18.jpg)
Gravitacija
• Polazeći od III Njutnovog zakona mehanike Njutn je
pretpostavio da:
Sunce je izvor sile privlačenja koja djeluje na
planete,
planete privlače Sunce silom istog intenziteta ali
suprotnog smijera koja je srazmjerna masi Sunca.
Zakon gravitacije.
2
r
mmF
ps
2
211 Nm
1067,6kg
Kevendiš 1798. godine odredio gravitacionu konstantu.
![Page 19: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/19.jpg)
Gravitacija
• Njutn je uopštio zakon gravitacije kao interakciju svih
tijela u vasioni bez obzira na njihovu veličinu i nazvao
ga univerzalni zakon gravitacije:
Dva tijela se privlače silom istog intenziteta koja je
srazmjerna njihovim masama, a obrnuto srazmjerna
kvadratu njihovog rastojanja.
Zakon gravitacije.
2
21 r
mmFg
2
211 Nm
1067,6kg
Kevendiš 1798. godine odredio gravitacionu konstantu.
![Page 20: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/20.jpg)
Gravitacija
• Tijelo se nalazi na površini Zemlje ili u neposrednoj
blizini:
Težina tijela prema II Njutnovom zakonu:
Ista sila iskazana preko gravitacionog zakona:
Gravitaciono ubrzanje Zemlje:
Poluprečnik Zemlje na ekvatoru za 40 km veći od poluprečnika na polovima.
Gravitaciona sila najveća na polovima, a najmanja na ekvatoru.
Gravitaciono ubrzanje.
mgQ
2
z
zg
R
mmF
2 g
z
z
R
mmm
2 g
z
z
R
m
2m/s 81,9 g
2m/s 78,9 g 2m/s 83,9 g 2m/s 81,9 g
ekvator pol 45°
![Page 21: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/21.jpg)
Gravitacija
• Prostor u kome jedno tijelo djeluje na drugo gravitacionom silom naziva
se gravitaciono polje tog tijela.
• Gravitaciono polje se kvantitativno opisuje jačinom gravitacionog polja.
• Jačina gravitacionog polja u nekoj tački brojno je jednaka sili kojom
gravitaciono polje djeluje na jedinicu mase u tom polju.
• Vektorska veličina čiji je pravac i smijer jednak pravcu i smijeru
gravitacione sile.
Gravitaciono polje.
020
2
rr
mr
m
r
mm
m
FG
p
p
p
![Page 22: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/22.jpg)
Gravitacija
• Brzina koju treba da ima tijelo da bi se kretalo oko zemlje po putanji čiji je
poluprečnik blizak poluprečniku Zemlje.
• Računa se za sloj na visini do 200 km koji je skoro idealan vakuum i
nema otpora kretanju.
Prva kosmička brzina.
km/s 91,712
2
1 gRR
mv
R
mm
R
mv zz
![Page 23: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/23.jpg)
Gravitacija
• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa
neke planete da bi izašlo iz zone dejstva
gravitacionog polja te planete.
• Takovo tijelo ulazi u zonu dejstva Sunca i postaje nova
planeta.
• Da bi izašlo iz zone dejstva Zemlje tijelo mora da ima
dovoljnu kinetičku energiju da izvrši rad protiv
gravitacione sile sa njene površine poluprečnika R do
beskonačnosti.
Druga kosmička brzina.
km/s 2.11221
2
1
2
2
2
2
22
2
2
gRR
mv
Rmm
mv
rmm
r
drmmdr
r
mmFdr
mv
zz
Rz
R
z
R R
z
![Page 24: Dinamika krutog tijela - University of Banja Luka · Dinamika krutog tijela • Moment inercije je kvantitativna mjera svojstva tijela da se suprotstavlja rotaciji. • Moment inercije](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052616/60a72cc846fce2576f4f0199/html5/thumbnails/24.jpg)
Gravitacija
• Treća kosmička brzina.
• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa
neke planete da bi izašlo iz zone dejstva Sunca.
• Četvrta kosmička brzina.
• Najmanja brzina kojom treba da se izbaci tijelo sa
neke planete da bi izašlo iz zone dejstva naše
Galaksije i otišlo u vasionu.
km/s 7.163 v
km/s 2904 v