DİNAMİK Ders...Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği Örnek Problem Örnek Problem 2/72/7 A...
Transcript of DİNAMİK Ders...Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği Örnek Problem Örnek Problem 2/72/7 A...
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
DİNAMİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK
2KİNEMATİK
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Düzlemde Eğrisel Hareket
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
DİNAMİK
2.2
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 1Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
v = d r
dt
O
r
r
vA
Yörünge
v
v d r//
v = ds
dt
O
AA'
ds
d r
r
s
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.
= dt
| d r |
Yön :
Şiddet :
teğet
= s
Hareketin yörüngesi düzlemsel bir eğri ise o harekete düzlemde eğrisel hareket denir.
Mühendislik problemlerinin çoğunu düzlemde eğrisel hareket olarak incelemek yeterli olmaktadır.
HızHız
Yer değiştirme vektörü,konum vektöründekivektörel değişme
Yörünge üzerindekeyfi olarak seçilen bir orijinden (s = 0) itibarenyörünge üzerinden ölçülen konum
Yer değiştirme vektörü daima yörüngeye teğettir.Dolayısıyla:
Aradan geçen zaman dt kadar küçük olduğu içinA noktası ile A' noktası hemen hemen çakışıktır.Aradaki fark son derece küçüktür.Dolayısıyla | d r | = ds alınabilir.
www.makina.selcuk.edu.tr
konumdaki değişme
v
A A'
t t + dt
r r + d r
s s + ds
→→
→→
→ →
→
→
→
→
→ → →
→
→
→| d r | = ds→→
Yönleri aynıdır.
İvmeBehcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Yön :
Şiddet :
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
a = d v
dt
a d v//
a =
İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.
dt
| d v |
a ≠dt
dv
A'
vA
v '
d vv
v '
v v ' = v + d v
a
dv
| d v | ≠ dv = d | v |
İvme
d vv
v '
AYörünge
a
a =dt
dv Bu eşitlik sadecedoğrusal harekettegeçerlidir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 2
A A'
t t + dt
r r + d r
s s + ds
→→
→
→→
→ →
→
→ →
→→
→ → →
→→
→
→
→ → →
→ → → →
→
Yönleri aynıdır.
!
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
O (0,0)
r
v
Yörüngev A
a
Kartezyen koordinatlar (x,y)Kartezyen koordinatlar (x,y)
x
y
rx
ry
x
y
i
j
rvx
vy
vy
vx ax
ay
ax
ay
r = rx + ry = x i + y j
r 2 = x 2 + y 2
v = vx + vy = vx i + vy j
v2 = vx2 + vy
2
a = ax + ay = ax i + ay j
a2 = ax2 + ay
2
v = r = x i + y j
vx = x
a = v = vx i + vy j
ax = vx
y = f(x)
tanθ = ––– = –––dy
dx
ρ =( 1 + y' 2 )
3/2
| y'' |
vx =dx dy
dt dtvy = ax =
dvx dvy
dt dtay =
ρ : Eğrilik yarıçapı
teğet
C : Eğrilik merkezi
Yörünge
vθ
Kartezyen koordinatlarda orijin ve eksenler keyfi olarak seçilebilir.
Geometriden:
y = f(x) fonksiyonunungrafiğinin eğrilik yarıçapı:
vy
vx
i ve j : Birim vektörler
Birim vektörlerinyönü ve şiddeti
zamanladeğişmediğinden
dolayı:
Düzlemde eğrisel hareketin, iki tane doğrusal harekete indirgendiği görülmektedir.
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 3
a
→
Yörünge
i = 0→ →
→ →→
→
→
→
→
→
→ →
→A (x,y)→
→→
→ → → → → → → → →
→ → → → → → → →
→
→
→
j = 0→ →
vy = y ay = vy
→→→→→
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
O (0,0)
r
v
Yörünge
v
a = g
x
y
rx
ry
x
yr
vx
vy
vy
vxA
r = rx + ry
r2 = x2 + y2 v2 = vx2 + vy
2
a = ax + ay
vx = v cosθy = f(x)
tanθ =θ>0
Eğik atışın kartezyen koordinatlarda incelenmesiEğik atışın kartezyen koordinatlarda incelenmesi
vy
vx
ρ : Eğrilik yarıçapı
C : Eğrilik merkezi
teğet
Bu kutunun içindeki bağıntılarx-y eksenleri yandaki gibi
yatay ve düşey seçilirse geçerlidir.
a = |ay|
a = g = sb.
ay = − g = sb.
v = vx + vy
vy = v sinθ
a = ax + ay
0
θ
ax = 0
O
v
a = gx
y
vy
vxA
θ<0teğetv0vy0
vx0
θ0
yatay y = ymax
teğet
a = g
a0 = g
θ = 0
x = vx0 t
vx = vx0 = sb.
y = vy0 t − –– g t2
vy = vy0 − g t
12
vx0 = v0 cosθ0
vy0 = v0 sinθ0
v = vx
a2 = ax2 + ay
2
düşey
yatay
düşey
düşey
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 4
yatay
ρ = ρmin
!
→
→
→
→→
→
→ → → → → → → → →
→
→ → →
→ →
t = 0
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
a = g
Örnek Problem 2/5Örnek Problem 2/5
30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülenmenzili s yi hesaplayınız.
v0
xy
a = g
a0 = g
x = vx0 t
y = vy0 t − g t21
2
t = 0
A
s30 m/s
30o
30o
Bazı öğrenciler x-y eksenlerini seçerken yandaki gibieğik düzleme paralel ve dik olarak seçme eğiliminde olurlar.
Fakat bunu yaparken ivme bileşenlerinin değiştiğine dikkat etmedenx-y eksenlerinin yatay ve düşey seçildiği durumda kullanılan bağıntıları kullanırlar.
Halbuki x-y eksenleri yandaki gibi seçilirse ivme bileşenleri aşağıdaki gibi olur.
a = g
ay = − g cosα
θ0
yatay
α
αax = − g sinα
ax = ax0 = − g sinα
ay = ay0 = − g cosα
y = vy0 t − g cosα t21
2
x = vx0 t − g sinα t21
2
x-y eksenlerininbu şekilde seçilmesitavsiye edilmez.
s
ax = 0
ay = ay0 = − g
A (0,0)O
B
Bu bağıntılar, x-y eksenleri
yukarıdaki gibi seçilirsegeçerli değildir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 5
B
!
Yerçekiminden kaynaklanan ivme,daima düşeydir ve aşağıya yönelmiştir.
a = g
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s2
ax = ax0 = 0
a = g
vx0 = v0 cosθ0
vy0 = v0 sinθ0
Örnek Problem 2/5Örnek Problem 2/5
30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülenmenzili s yi hesaplayınız.
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
g = 9.81 m/s2
s = ?
a = a0 (sabit)a = g
Yerçekimindenkaynaklanan ivmedaima düşeydir veaşağıya yönelmiştir.
v0
A (0,0)
B (xB, yB)
v0 = 30 m/s
θ0 = 60o
x
y
a = g
a0 = g x = vx0 t
vx0 = 30 cos60o = 15 m/s
y = vy0 t + ay0 t21
2B noktasında:
x = xB
y = yB
t = tB
} xB = vx0 tB yB = vy0 tB − g tB21
2
vy0 = 30 sin60o = 26 m/s
s = 61.2 m
ÇözümÇözüm
t = 0
A
B
s30 m/s
30o
30o
s
30o
30o
xB = s cos30o
yB = s sin30o
tB =vx0
xB
= vy0 −g
2
vx0 yB
xB vx0
xB
}= vy0 − g tB
1
2
yB
tB
yatay
düşey
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 6
O
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s2
ax = ax0 = 0
a = g
v0 = 120 m/s
vx0 = v0 cosθ0
vy0 = v0 sinθ0
Örnek Problem 2/6Örnek Problem 2/6
Bir mermi şekilde görüldüğü gibi A noktasından fırlatılmıştır. Çarptığı B noktasının eğik düzlemüzerindeki uzaklığı s yi bulunuz. Uçuş süresi t yi de hesaplayınız.
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
A
B
s800 m20o
θ = 40o
g = 9.81 m/s2
s = ?
Yerçekimindenkaynaklanan ivmedaima düşeydir veaşağıya yönelmiştir.
v0
A (0,0)
B (xB, yB)s
800 m
20o
θ0
v0 = 120 m/s
θ0 = 40o
x
y
a = g
a0 = g
x = vx0 t
vx0 = 120 cos40o = 91.9 m/s
y = vy0 t + ay0 t21
2B noktasında:
x = xB
y = yB
t = tB
} xB = vx0 tB
yB = vy0 tB − g tB21
2
vy0 = 120 sin40o = 77.1 m/s
tB = t =vx0
xB
= vy0 − g tB1
2
yB
tB
= vy0 −g
2
vx0 yB
xB vx0
xB s = 1057 mg xB2 − 2 vx0 vy0 xB + 2 vx0
2 yB = 0
t = 19.5 s
xB = 800 + s cos20o
yB = − s sin20o
ÇözümÇözüm
}
t = 0
t1 = tA = 0t2 = tB = t
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 7
a = a0 (sabit)a = g
O
} Δt = t = ?
t harfi çoğunlukla içinde bulunulan anı göstermek için kullanılır.Ama bu problemde aradan geçen zaman Δt nin yerine de kullanılmıştır.Eğer göz önüne alınan zaman aralığının başlangıcı sıfır seçilebilirse o zamaniçinde bulunulan an ile aradan geçen zaman birbirine eşit olur. t = Δt olur.
x = vx0 t
y = vy0 t + ay0 t21
2
Buradaki t leriçinde bulunulan anı
gösterir.
a = g
içindebulunulan
an
aradangeçenzaman
→
→→
t = tB = Δt
!
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/7Örnek Problem 2/7
A pimi, hareketinin belirli bir aralığında, x-yönündeki hızı sabit ve 20 mm/s olan kılavuztarafından, sabitlenmiş parabolik yarık içerisinde hareket etmeye zorlanmıştır.Bütün boyutlar milimetre ve saniye cinsindendir.x = 60 mm iken A piminin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
v = ?
vx = vx0
ÇözümÇözüm
vx = 20 mm/s (sabit)
a = ?
y =x2
160
Yörüngenin denklemi:160 y = x2
160 y = 2 x x
80 vy = x vx
80 vy = x vx + x vx
80 ay = vx2+ x ax
0
x = 60 mm
x = 60 mm iken:
80 vy = 60 (20)
vy | = 15 mm/s
80 ay = vx2
ay = 5 mm/s2 (sabit)
v2 = vx2 + vy
2 a2 = ax2 + ay
2
a = 5 mm/s2 (sabit)
80 ay = 202
v2 = 202 + 152
y, mm
x, mm60
Yörüngey = x2/160
v
22.5vx
vy
aa
x = 60 mm
v | = 25 mm/s
A (x,y)
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 8
a2 = ax2 + 52
0
→
→
a
A
y = vy
x = vx}
vy = ay
x = vx }vx = ax
O (0,0)
y =x2
160
ax = 0 (sabit)vx = sb. →
x = (y2/12) − 3 eğrisinin pozitif y-kolu üzerinde hareket eden bir maddesel nokta t = 0 iken y = 0 konumundan ilk hızsız olarak harekete başlamıştır.Hızının y-bileşeni de vy = 2t bağıntısı ile değişmektedir. Yukarıdaki bağıntılarda x ve y metre, t saniye ve vy m/s cinsindendir. y = 9 m ikenbu maddesel noktanın hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/8Örnek Problem 2/8
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
v = ?
vy = 2t
ÇözümÇözüm
x = (y2/12) − 3
a = ?
Yörüngenin denklemi:
y = 9 m iken:
v2 = vx2 + vy
2
a2 = ax2 + ay
2
a | = 9.22 m/s2
v2 = 92 + 62
a2 = 92 + 22
v
vx
vya
y = 9 m
v | = 10.8 m/s
A (x,y)
t = 0 iken:
y = y0 = 0
v = v0 = 0
∫ dy = ∫ 2t dt0
t
0
y
dy = vy dt
y = t2
x = (t4/12) − 3
vx = x
vx = t3/3
y = 9 m iken t = 3 s
vx = 9 m/s
vy = 6 m/sax = vx
ay = vy
ax = t2
ax = 9 m/s2
ay = 2 m/s2 (sabit)
y = 9 may = 2 m/s2
x = (y2/12) − 3
y, m
x, m
Yörünge
6
x = (y2/12) − 3
9
3.75
ax
ay
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 9
O (0,0)
}
}
→
→
y = t2}
vy = 2t }
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
vYörünge
Normal ve teğetsel eksenler Normal ve teğetsel eksenler
A
v = vn + vt = vn en + vt et
v = vt = vt et = v et
v =
Yörünge
A
B
Ct
t
t
n
n
n
tet
n
en
0
v = ρ β
ρ = AC : Eğrilik yarıçapı
C : Eğrilik merkezi
A '
dβ
ds = ρ dβ
ρ dβ
dt
β daima pozitiftir.
Normal ve teğetsel eksenler maddesel nokta ile birlikte hareket ederler.
t-ekseni, daima yörüngeye teğettir ve hareket yönünde pozitiftir.
n-ekseni, ona dik ve yörüngenin içbükey tarafına doğru pozitiftir.
β
β : Eğrilik yarıçapının birim zamanda taradığı açı,
v = v et
v ve ρ daima pozitif olduğu içindönme yönünden bağımsız olarak
v =ds
dt
en ve et : Birim vektörler
eğrilik yarıçapının açısal hızı
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 10
→
→→
→
→
→ → → → →
→ → → →
→ →→
}
ds = ρ dβ
Hız vektörü, daima t-ekseni ile çakışıktır.
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
A Yörünge
aan
at
an
at
v = v et
a = v = v et + v et
et
en
t
n
a = an + at = an en + at eta2 = an
2 + at2
et = β en
an = v β = ρ β2 = –––v2
ρ
at = v = = ρ β + ρ β
1
1et
dβ
en
d et
et = d et
dt
d et // en
d et = |d et | en
d et = (1) dβ en
an daima pozitiftir.β
β
β : Eğrilik yarıçapının açısal ivmesi
et '
an daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.
dv
dt
Eğrisel harekette olduğunu görmüş oluyoruz.a ≠dt
dv
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 11
1
d et et
a→
→
→
→→→
→→
→ → →
→→
→→
→ →
→ → → → →
→ →
→ → → →
→
→
→
→
→
a = v β en + v et→ → →
→
v = ρ β
{↓
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
A
aan
at
an
atv = vt
t
n
a = an + at
a2 = an2 + at
2
an = v β = ρ β2 =v 2
ρ
at = v = ρ β + ρ β
β = α
Çembersel hareketin normal ve teğetsel eksenler ile incelenmesi :Çembersel hareketin normal ve teğetsel eksenler ile incelenmesi :
+O
A
Yörünge
vt
n
β = ω
+O
R : Çemberin yarıçapı
β = ω
ρ = R = sb.
v = R ω
v = ρ β
an = v ω = R ω2 =v 2
R
at = R α
v
Çembersel harekette açısal hız sabit ise :
a = an
a = an
a = v ω = R ω 2 =v 2
R
v ┴ a
Yörünge
ρ = R = sb.
Behcet DAĞHAN
C : Eğrilik merkezi
ρ = AC : Eğrilik yarıçapı
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 12
a
www.makina.selcuk.edu.tr
→ →
→
→
→→
→ → →
→ → → →}β = ω = sb.v = sb. at = 0
Buradaki eğrilik yarıçapı ρ ilekonum vektörünün şiddeti rbirbirine karıştırılmamalıdır.
ρ ≠ r
ρ = AC
r = OA
Bir mermi yatayla 30o lik açı yapan 360 m/s lik bir hızla ateşlenmiştir. Yörüngesinin, ateşlendikten 10 s sonraki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/9Örnek Problem 2/9
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
ρ = ?
ÇözümÇözüm
t = 10 s anında:
v0 = 360 m/s
θ0 = 30o
O (0,0)
r
v
Yörünge
a = g
x
y
rx
ry
rx = x
ry = y r
vx
vy
y = f(x)
θ
ρ = AC : Eğrilik yarıçapı
C : Eğrilik merkezi
θ
vy = vy0 − g t
t = 0
vy0 = v0 sinθ0
vy0 = 360 sin30o
vy0 = 180 m/s
vy = 81.9 m/s
g = 9.81 m/s2
t = 10 s anında:
vy > 0 olması merminin çıkış yaptığını gösterir.
an = v 2
ρvx = sb. = vx0 = v0 cosθ0
vx = 360 cos30o = 311.8 m/s (sabit)
v 2 = vx2 + vy
2
v = 322.4 m/s
n
t
an = a cosθ
tanθ =vy
vx
θ = 14.72o
an = a cosθ
an = 9.49 m/s2
an
v 2
ρ =
ρ = 10 953 m
t = 10 s
v0
vx0
vy0
θ0
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 13
A (x,y)
!→
→
→
Düzlemde eğrisel hareket yapan bir maddesel noktanın konumunun koordinatları zamana bağlı olarak x = 2t2 + 3t − 1 ve y = 5t − 2 bağıntıları ile verilmiştir.Burada x ve y metre ve t saniye cinsindendir. t = 1 s anında eğrilik merkezi C nin koordinatlarını bulunuz.
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/10Örnek Problem 2/10
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
ÇözümÇözüm
av 2 = vx2 + vy
2
tanθ =vy
vx
an = a sinθ
an
v 2
ρ =
x = 2t2 + 3t − 1
y = 5t − 2
t = 1 s anında:
vx = x
vy = y
vx = 4t + 3
vy = 5 m/s (sabit)
ax = x
ay = y
ax = 4 m/s2 (sabit)
ay = 0 (sabit)
t = 1 s anında:
x = 4 my = 3 mvx = 7 m/svy = 5 m/s vvy
vx
θ
O x, m
y, m
4
3
t
n
C : Eğrilik merkeziyC
xC
A
v 2 = 74 (m/s)2
θ = 35.54o
an = 2.32 m/s2
a 2 = ax2 + ay
2
a = 4 m/s2 (sabit)
ρ = 31.83 m
xC = ρ sinθ + 4
θ
yC = − ( ρ cosθ − 3)
xC = 22.5 m
yC = − 22.9 m
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 14
a 2 = ax2 + ay
20xC = ?
yC = ?
ρ = AC : Eğrilik yarıçapı_
ax
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/11Örnek Problem 2/11
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
ÇözümÇözüm
an =v 2
ρ
a 2 = an2 + at
2
Bir nümerik kontrol cihazına ait bandın hareketinin yönü, şekildeki gibi A ve B makaraları ile değiştirilmektedir.Bandın hızı, makaralardan 8 m lik kısmının geçmesi esnasında, düzgün bir şekilde 2 m/s den 18 m/s ye çıkmaktadır.Bandın hızı 3 m/s olduğunda B makarası ile temas eden bant üzerindeki P noktasının ivmesinin şiddetini hesaplayınız.
Δs = 8 m
at = sb.
v1 = 2 m/s
v2 = 18 m/s
rA = 100 mm
rB = 150 mm
v = 3 m/s olduğunda:
a = ?
an =v 2
rB
v = 3 m/s an = 60 m/s2
v dv = at ds
s1
s2
Bandın, B makarasınasarılı kısmında bulunanbir nokta için:ρ = rB
∫ v dv = at ∫ ds
Bandın hızı düzgün birşekilde artıyor.
O halde bandın üzerindebulunan bir nokta için:
}
Δs = 8 m
at = 20 m/s2
v1
v2
a = 63.2 m/s2
(sabit)
v = 3 m/s olduğunda:
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 15
←
→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/12Örnek Problem 2/12
Verilenler:Verilenler:
İstenenler:İstenenler:
ÇözümÇözüm
x-y düzleminde hareket eden bir maddesel noktanın konum vektörü r = 20 t2 i + (20/3) t3 j şeklinde verilmiştir. Buradaki r milimetre ve t saniyecinsindendir. t = 2 s anında maddesel noktanın bulunduğu konumdaki yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu hesaplayınız.
t = 2 s anında:
a
v 2 = vx2 + vy
2 an = a cos(45o + 26.6o)
an
v 2
ρ =
vx = x
vy = y
vx = 40 t ax = 40 mm/s2 (sabit)
ay = 40 t
ax = x
ay = y
vvy
vx
O x, mm
y, mm t
n
A
v 2 = 12 800 (mm/s)2
an = 28.23 mm/s2
a 2 = ax2 + ay
2
ρ = 453 mm
ρ = ?
r = 20 t2 i + (20/3) t3 j
r = x i + y j
x = 20 t2
y = (20/3) t3
r = 20 t2 i + (20/3) t3 j} }
x y
vy = 20 t2
t = 2 s anında:
vx = 80 mm/s
ax = 40 mm/s2 (sabit)
ay = 80 mm/s2
vy = 80 mm/s
80
45o
ay
ax
45o
26.6o
an
Hız vektörü daimat-ekseni ile çakışıktır.
160
3
İvme vektörü ven-ekseni daima
yörüngenin içbükeytarafına yönelmiştir.
an daima pozitiftir.
r
1
1
1
2
a = 40 √ 5 mm/s2
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 16
→ → → →
→ → →
→ → →
→ → →
veya
an = −ax sin45o + ay cos45o
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
vYörünge
A
v = vr + vθ = vr er + vθ eθ
v = r = r er + r er
er
v 2 = vr2 + vθ
2
θ er = θ eθ
er = = d er
dt
d er = |d er | eθ
θ açısı yönlü bir açıdır. Daima sabit eksendenhareketli eksene doğru yönlenmiştir.
O
r
θ
eθ
vr
vθ
vr
vθ
r
r
r = r er
v = r er + r θ eθ
er
eθ
1
1
dθ
d er
d er = (1) dθ eθ
d er // eθ
vr = r vθ = r θ
θ : r ekseninin birim zamanda taradığı açı, r ekseninin açısal hızı
Zaman geçtikçe : θ açısı artıyorsa : θ > 0
θ açısı değişmiyorsa : θ = 0
θ açısı azalıyorsa : θ < 0
Keyfi olarak seçilensabitlenmiş birreferans ekseni
Orijin (pole=kutup)keyfi olarak seçilenbir noktadır.
r ekseninin pozitif tarafı, θ açısının ölçüldüğü taraftır.
r ekseni, daima konum vektörü ile çakışıktır.Maddesel nokta daima r ekseni üzerindedir.Pozitif tarafta da olabilir negatif tarafta da olabilir.
er '
θ
er ve eθ : Birim vektörler
θ-ekseninin pozitif yönü,θ-açısı için seçilen
artış yönündedir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 17
v
1
d er er
Polar koordinatlar (r,θ) Polar koordinatlar (r,θ)
→ →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
→→
→ → →
→ →→
→
→ →
→ → → → →
←
↓→ →
→ → → →
→ → →
r : r koordinatında, birim zamanda meydana gelen değişme, r koordinatının değişme hızı
r
Koordinat↓
Konum vektörü↓
Konum vektörünün şiddeti olan r daima pozitiftir,
ama koordinat olan r pozitif veya negatif olabilir.
r = OA__
↓dθ eθ
→
dt
Yönleri aynıdır.
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
a
aθ
ar
aθ
ar
a = v = r er + r er + r θ eθ + r θ eθ + r θ eθ
a = ar + aθ = ar er + aθ eθ
Yörünge
A
θ
O
r
θ
rr
a2 = ar2 + aθ
2
v = r er + r θ eθ
eθ = θ ( – er )
eθ = d eθ
dt
d eθ = | d eθ | ( – er )
– er
eθ
1
1
dθ
d eθ
d eθ = (1) dθ ( – er )
d eθ // ( – er )
a = ( r – r θ 2 ) er + ( r θ + 2 r θ ) eθ
ar = r – r θ2 aθ = r θ + 2 r θ
r : r koordinatında birim zamanda meydana gelen değişmedeki birim zamanda meydana gelen değişme; r koordinatının değişme ivmesi
θ : r ekseninin birim zamanda taradığı açıdaki birim zamanda meydana gelen değişme; r ekseninin açısal ivmesi
er = θ eθeθ = – θ er
eθ '
θ
θ
er
eθ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 18
↓
1
d eθ eθ
→
→
→
→ →
→ → → → →
→
→
→
→ → →
→ → → → → → →
→ →
→ → →
←→→
→ →
→ →
→ →
→ → →
→ →
↓
vr = r
vr = r
drvr = ––dt
dvrvr = –––dt
} vr dvr = vr dr
r dr = r dr}
aYönleri aynıdır.
r
ar ≠ vr
aθ ≠ vθ
!
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
r
θ
v
vθ
vr
v'vθ'
vr'
dt kadar zaman aralığında hız vektörünün yönünde ve şiddetindemeydana gelen değişimlerin ivme terimlerindeki karşılıkları
vθ'
vr'
dθ
dθ
ar = r – r θ 2
drdθr
dθr θ
aθ = r θ + r θ + r θ
d(r θ)
d(r θ) = dr θ + r dθ
d vr
d vθ
Yörünge
er
eθ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 19
vr = r
vθ = r θ
→
→
→
→
vr nin boyundaki değişme
vθ nın boyundaki değişme
vr nin yönünüetkileyen terim
vθ nın yönünüetkileyen terim
vr nin boyunuetkileyen terim
vθ nın boyunuetkileyen terimler
vθ nın yönündeki değişme
vr nin yönündeki değişme
ar ≠ vr
aθ ≠ vθ
!
Verilenler: Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/13 Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/13
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Bir itfaiye aracının merdiveni, sabit l = 150 mm/s hızı ile uzamakta ve sabit θ = 2 deg/s oranında yükselmektedir.θ = 50o ve l = 4 m konumuna erişildiğinde A daki itfaiyecinin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.
l = 150 mm/s (sabit)
θ = 2 deg/s (sabit)
θ = 50o
l = 4 m } v = ?a = ?
r = OA = 6 m + l
r = l (sabit) r = l = 0
θ = 2 deg/s = 2 (π/180) rad/s
θ = 0
v 2 = vr2 + vθ
2 a2 = ar2 + aθ
2
vr = r
vθ = r θ
ar = r − r θ 2
aθ = r θ + 2 r θvr = 150 mm/s
vθ = 104 (π/90) = 349 mm/s
v = 380 mm/s
ar = 0 − 104 (π/90)2
ar = − 104 (π/90)2
ar = − 12.2 mm/s2
aθ = 0 + 2 (150) (π/90)
aθ = 10.5 mm/s2
a = 16 mm/s2
O
θ = 50o
rθ
r
A
l = 4 m iken
r = 6 + 4 = 10 m
ar
vr
a
aθ
v
vθ
l = 4 m iken
r = OA
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 20
Yörünge
→
→θ = π/90 rad/s (sabit)
r = 104 mm
Verilenler:Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/14 Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/14
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
θ = ?
vr = r
vθ = r θ
ar = r − r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
ar = 0
aθ = 0
O
θ
Av
r
Doğrusal bir yörünge üzerinde hareket eden A maddesel noktası, şekilde görülen konumdan
v = 100 m/s lik sabit şiddette bir hızla geçmektedir. Bu andaki r, θ, r ve θ değerlerini bulunuz.
r
r2 = 802 + 802
y
x
30o
80 m
80 m
x = 80 m
y = 80 m
v = 100 m/s (sabit)
α = 30o
r = ?
r = ?
θ = ?
O
Av
y, m
x, m
15o
80
80
θ = 45o
rθ
vr
vθ
r = − 96.6 m/s
θ = 0.229 rad/s
r = 80 √ 2 m
Doğrusal harekette hızın şiddeti sabit ise ivme sıfırdır.İvme sıfır ise, herhangi bir doğrultuya dik izdüşümü de sıfırdır.
0 = r − r θ 2
0 = r θ + 2 r θ
r = 5.92 m/s2
θ = 0.391 rad/s2
vr = − v cos15o
vθ = v sin15o
}
}}
}
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 21
Yörünge
θ = 45o
a = 0
v = sb. → a = 0
r
Behcet DAĞHANŞekildeki AB kolu, β açısının sınırlı bir aralığında dönmekte ve A ucu, yarıklı AC kolunun da dönmesine sebep
olmaktadır. β nın 60o ve sabit olan β nın da 0.6 rad/s olduğu şekilde görülen anda r, r, θ ve θ değerlerini bulunuz.
Örnek Problem 2/15
Verilenler:Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/15
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
θ = ?
θ
r
ar
vr
a
aθ
v
vθ
AB = R = 150 mm
BC = 150 mm
r = ?
r = ?
θ = ?
r = 77.9 mm/s
θ = − 0.3 rad/s
r = − 13.5 mm/s2
θ = 0150 mm
θ = 60o
β = 0.6 rad/s (sabit)
β = 60o iken :
β = 60o
β
B
C
A
60o
A noktası AB yarıçaplı çembersel bir yörünge üzerinde sabit bir açısal hız ilehareket etmektedir. Dolayısıyla A nın hızı da sabit şiddettedir, AB koluna diktir vedönme yönündedir. İvmesi de hızına dik ve çemberin merkezi B ye yönelmiştir.
O
rv = R ω
v = 90 mm/s
30o
a = R ω2
a = 54 mm/s2
ar = r − r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
ar = − a cos60o
aθ = − a sin60o
vr = v cos30o
vθ = − v sin30o
}
}
r = 150 mm R = 150 mm
}
}
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 22
β = ω
vr = r
vθ = r θ
ρ = R
Çembersel yörünge
θ
t
Behcet DAĞHANBir roket düşey düzlemde yer alan bir yörüngede ilerlerken A noktasındaki bir radar tarafından izlenmektedir.
Belirli bir anda, radar ölçümleri şunlardır: r = 10.5 km, r = 480 m/s, θ = 0 ve θ = − 0.0072 rad/s2.
Roketin yörüngesinin bu andaki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
Örnek Problem 2/16
Verilenler:Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/16
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
θ
r
vr
aθ
v
r = 10.5 km
θ
A
O
r
aθ = r θ + 2 r θ
θ = 0
r = 480 m/s
θ = − 0.0072 rad/s2
ρ = ?
t
ρ = ACan
n
aθ = − 75.6 m/s2
an = | aθ | = 75.6 m/s2
vθ = 0 olduğu için
(an daima pozitiftir.)
ρ = 3048 m
C : Eğrilik merkezi
Yör
ünge
an =v 2
ρ
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 23
vr = 480 m/s
vr = r
vθ = r θ } v = 480 m/s
v 2 = vr2 + vθ
2
vθ = r θ = 00
__
r
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
a
aθ
arYörüngeA
θ
O
r
θ
r
r
ar = r – r θ 2
aθ = r θ + 2 r θ
θ
vYörüngeA
θ
r
θ
vr
vθ
r
r
θ
n
t
C
β
vx
vy
y
x
v 2 = vx2 + vy
2 = vr2 + vθ
2
ρ = ACn
t
C
ρ = AC
β
vr = r
vθ = r θ
an
at
vx = x
ay
ax
vy = y v = ρ β
a 2 = ax2 + ay
2 = an2 + at
2 = ar2 + aθ
2
ax = vx = x
ay = vy = y
an = v β = ρ β 2 =v 2
ρ
at = v
v = vx + v y = vt = vr + vθ a = ax + ay = an + at = ar + aθ
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.
β daima pozitiftir. an daima pozitiftir.
Hız vektörü daima t-ekseni ile çakışıktır.
v = vt
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 24
İvme vektörü daima yörüngeniniçbükey tarafına yönelmiştir.
O
→
→ →
→
→
→ → → → → → → → → → → → →
→→
→
→ →
→
→y
x
→ →
r r
Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/17
Verilenler:
Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/17
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
an
tanθ = 400/1000
an =v 2
ρ
v
vθ
θ
O
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Düşey olan (r-θ) düzleminde yer alan eğrisel yörüngesinin en alt konumunda iken P uçağının yerdenyüksekliği 400 m ve yatay olan hızı 600 km/h tir. İvmesinin yatay bileşeni yoktur. Yörüngesinin eğrilikyarıçapı 1200 m dir. O noktasındaki radar tarafından kaydedilen r nın bu andaki değerini bulunuz.
v = 600 km/h
ρ = 1200 m
r = ?
r
n
t
rθ
a = an
yatay
düşeyİvmenin yatay bileşeni olmadığı için:
an = 23.15 m/s2
θ = 21.8o
θ
ar
θ
Hız vektörü daima yörüngeye teğettirve t-ekseni ile çakışıktır.
Maddesel nokta,yörüngesinin en alt konumunda bulunduğu içinyörüngesinin teğeti yataydır.
vθ = r θ
vθ = − v sinθ } θ = − 0.0575 rad/s
r2 = 4002 + 10002
a
ar = r − r θ 2
ar = a sinθ } r = 12.16 m/s2
P
r = 1077 m
ρ
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 25
Yörünge
İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir
a = 23.15 m/s2
↑
Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/18
Verilenler:Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/18
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
an
an =v 2
ρ
v
vr
θO
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
v = 30 m/s
a = 8 m/s2
r = ?
r
r
θ
ar
vθ = r θ
vθ = v cos30o } θ = 0.325 rad/s
a
ar = r − r θ 2
ar = − a cos60o } r = 4.438 m/s2
P
Göz önüne alınan anda, düzlemde eğrisel hareket yapan P maddesel noktası şekilde görüldüğü gibi O kutbundan
80 m uzaklıktadır. Maddesel noktanın hızı ve ivmesi şekilde verilmiştir. Bu anda r, r, θ ve θ değerlerini, ivmenin
n ve t bileşenlerini ve yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.
r = ?
θ = ?
θ = ?
r = 80 mHız vektörü daima yörüngeye teğettirve t-ekseni ile çakışıktır.
t
vθ
n
30o
30o
30o
vr = rr = 15 m/s
vr = v sin30o }
aθ = r θ + 2 r θ
aθ = a sin60o } θ = − 0.0352 rad/s2
aθ
30oan = a cos30o an = 6.93 m/s2
at = a sin30o at = 4 m/s2an = ?
at = ?
ρ = 129.9 m
ρ = ?
an daima pozitiftir.
ρ
θ
at
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 26
Yörünge
θ
r
Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/19
Verilenler:Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/19
Verilenler:
İstenenler:
Çözüm
vθ
θ = 30o
O
Behcet DAĞHAN
r
r
θ
ar
θaθ
ar = r − r θ 2 = − 338 mm/s2
P
Şekildeki robot kolu, aynı anda hem yükselip hem de uzamaktadır. Verilen bir anda, θ = 30o,
θ = 10 deg/s = sb. l = 0.5 m, l = 0.2 m/s ve l = − 0.3 m/s2 dir. Robot kolun tuttuğu P parçasının
hızının ve ivmesinin şiddetini hesaplayınız. Ayrıca hız ve ivmeyi i ve j birim vektörleri cinsinden yazınız.
v = ?
a = ?
θ = 30o
θ = 10 deg/s (sabit)
θ = (π/18) rad/s
l = 0.5 m
l = 0.2 m/s
l = − 0.3 m/s2
v = vx i + vy j a = ax i + ay j
aθ = r θ + 2 r θ = 70 mm/s2
v 2 = vr2 + vθ
2
a 2 = ar2 + aθ
2
v = 296 mm/s
a = 345 mm/s2
x
y
vr
θ
vx = vr cosθ − vθ sinθ = 64 mm/s
vy = vr sinθ + vθ cosθ = 289 mm/s
ax = − | ar | cosθ − aθ sinθ = − 328 mm/s2
ay = − | ar | sinθ + aθ cosθ = − 108 mm/s2
θ
i
j
a = − 328 i − 108 j mm/s2v = 64 i + 289 j mm/s
θ = sb. → θ = 0
θ
vθ = r θ = 218 mm/s
r = 0.75 m + l
r = l = 200 mm/s
r = l = − 300 mm/s2
vr = r = 200 mm/s
v = vx i + vy j
a = ax i + ay j
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 27
www.makina.selcuk.edu.tr
→ →
→
→
→
→ → →
→ → →
→ → →
→ →→ → →
→ → →
r = 0.75 + 0.5 = 1.25 m = 1250 mm
l = 0.5 m iken:
r
Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/20
Verilenler: 1. Çözüm
İstenenler:
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
1. Çözüm
a tanθ =| at |
an
an = = v 2
ρ
vy = v0 (sabit)
vvy
vx
θ
O
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğrukaldırılmaktadır. θ = 30o iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.
ρ = R = 250 mm
ρ (sabit)
θ = 30o iken:
v0 = 2 m/s (sabit)
θ
x
y t
A
at
anv0
ay = vy} ay = 0
a = ax + ay
0
θ
v 2
R
v0 = v cosθ}
θ = 30o iken:
an = 21.33 m/s2
at = − 12.32 m/s2
Yörünge
n
İvme vektörü daimayörüngenin içbükeytarafına yönelmiştir.
at nin negatif yönde olduğuşekilden görülmektedir.
Hız vektörü daimayörüngeye teğettir vet-ekseni ile çakışıktır.
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 28
ax
→
→ → →
an = ?
at = ?
R
Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
an = ––– = ––– v 2
ρ
vv0O
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğrukaldırılmaktadır. θ = 30o iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.
ρ = R = 250 mm
ρ (sabit)
θ
A
v 2
R
v0 = v cosθ
θ = 30o iken:
an = 21.33 m/s2
at = − 12.32 m/s2
θ
v0 = v cosθ
v0 = v cosθ + v (− sinθ θ )
at = v
v = ρ β = R β
ββ = | θ |
Zaman geçtikçe θ azaldığı için θ negatiftir.
Ama β daima pozitiftir, negatif olmaz.} θ = − 9.24 rad/s
v = − 12.32 m/s2
θ = 30o iken:
ρ
R
d(cosθ)
dt
d(cosθ)
dθ
dθ
dt––––––– = ––––––– ––– (Zincir kuralı)
2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 29
2. Çözüm2. Çözüm
θ = 30o iken:
v0 = 2 m/s (sabit)
an = ?
at = ?
Yörünge
0 }
v = 2.31 m/s
θ
→
C