Dinamica Carlos Attie

4)DINAMICA La dinámica es la rama de la física que se ocupa de l estudio de las

causas que provocan el movimiento de los cuerpos.

Mientras la cinemática describe a los movimientos, sin considerar al

cuerpo ni las causas, es decir estudia “el cómo se mueven”, la dinámica es-

tudia “el porqué se mueven”, considerando al cuerpo y las causas.

4-1)DINAMICA DEL CUERPO PUNTUAL.

Estudiamos aquí, la dinámica de cuerpos de dimensio nes despreciables

(cuerpos puntuales). Se sustenta en tres principios básicos, conocidos como

principios de la dinámica o leyes de Newton: 1)Prin cipio de inercia o 1ª

ley de Newton; 2)Principio de masa o 2ª ley de Newt on; 3)Principio de in-

teracción o 3ª ley de Newton y que desarrollamos a continuación:

4-1.1)PRINCIPIO DE INERCIA:

Todo cuerpo libre de la acción de fuerzas, conserva su vector velocidad

Cuando se dice “conserva su vector velocidad” signi fica que debe man-

tener intactos a todos los elementos del vector vel ocidad, es decir, su mó-

dulo, su dirección y su sentido (sus atributos vect oriales).

En el medio que nos rodea es imposible encontrar cu erpos que se ha-

llen “libres de la acción de fuerzas”, porque ello implica que dicho cuerpo

se halle en el espacio interestelar, muy alejado de la influencia de todo

cuerpo, planeta, satélite o estrella.

En la práctica, la simulación más aproximada a esta situación es te-

ner un cuerpo sometido a la acción de fuerzas todas equilibradas entre sí.

En estas condiciones también se observa que dicho c uerpo conserva su vector

velocidad, pero más que por este principio, justifi camos tal comportamiento

a través del principio de masa, que se desarrolla m ás adelante.

En la fig. Nº1-a vemos un caso que nos resulta fami liar por su obser-

vación cotidiana.

La acción que soportan las gotitas, es la de su pro pio peso, pero el

tiempo que transcurre desde que se desprenden hasta que chocan con la car-

caza del secarropas es tan pequeño, que es despreci able su acción, por lo

que podemos decir que las gotitas se comportan como si estuviesen libres de

la acción de fuerzas, conservando su velocidad en e se corto trayecto.

PAG.Nº2

La esfera de la fig. 1-b está en equilibrio, (su pe so se equilibra

con la reacción normal del piso), moviéndose someti da a un sistema de fuer-

zas en equilibrio, conservando su velocidad. (Se de sprecia el rozamiento

con el aire y la acción de toda otra fuerza).

4-1.2)PRINCIPIO DE MASA:

La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo, le imprime a éste una aceleración, cuya

dirección y sentido es la misma que la de dicha fuerza y cuyo módulo es directamente

proporcional a esa resultante. La constante de proporcionalidad entre la fuerza y la

aceleración es una propiedad del cuerpo llamada masa inercial del cuerpo

4-1.2.a)EXPRESIÓN MATEMÁTICA DEL PRINCIPIO DE MASA:

Al decir que la fuerza r

F y la aceleración r

a son directamente propor-

cionales entre sí, podemos expresar matemáticamente este concepto, así: r

r

F m a= .

Donde la masa m oficia de constante de proporcionalidad.

4-1.2.b)CONCEPTO DE MASA: La masa es una medida de la “inercia” o sea la

resistencia o dificultad que ofrece un cuerpo a cam biar de velocidad. Para

tener una idea más aproximada de este concepto, com paramos lo que le ocurre

a diversos cuerpos cuando pretendemos modificarles la velocidad. Si coloca-

mos en una misma línea a una pelotita de ping-pong, una pelota de tenis,

una pelota de fútbol y una bocha y pretendemos que todos esos cuerpos

arranquen desde el reposo con la misma aceleración, bastará con soplar a la

pelotita de ping-pong, golpear con un dedo a la pel ota de tenis, patear a

la pelota de fútbol y fracturarse el pié al intenta rlo con la bocha. Así es

como advertimos cual de esos cuerpos tiene más masa . Si viene hacia mí una

pelota, la atajo, en cambio si lo que viene es un t ren, obviamente no!

No debe confundirse a la masa con otras magnitudes (como el peso, el

volumen, o la cantidad de materia). La masa es prop orcional a ellas pero es

un concepto distinto.

Es como confundir a un objeto con su precio de vent a. Si compro 6 va-

sos, pago 6 veces más que si compro uno solo y tamb ién me llevo 6 veces más

peso, 6 veces más volumen, 6 veces más cantidad de materia y por supuesto 6

veces más masa de vidrio.

4-1.2.c)SISTEMAS DE UNIDADES :

Veremos seguidamente, las unidades en que se expres an las nuevas mag-

nitudes que aparecen en este módulo.

MODULO DE DINAMICA AUTOR: CARLOS ATTIE

PAG.Nº3 PROHIBIDA LA REPRODUCCION DE ESTE MÓDULO

Las llamadas de base o fundamentales, son las que s e definen y que

nos sirven de fundamento para construir las que de ellas se derivan y que

surgen por la combinación de dos o más unidades fun damentales.

LONGITUD: Antiguamente se definió al metro como la diez millonésima

ava parte de la longitud de un cuarto de meridiano terrestre y con ese va-

lor se construyó el metro patrón en una aleación de Platino-Iridio, dos me-

tales nobles inalterables por la corrosión. (Ver fi g.Nº2).

En la actualidad (desde el 14 de octubre de 1960) s e emplea un patrón

de comparación que resulta mucho más preciso. Se de fine al metro como el

múltiplo 1.650.764 de la longitud de onda emitida p or la radiación anaran-

jada del kriptón 86. Últimamente, se considera 1m a la distancia que reco-

rre la luz en un tiempo de 3,336.10 -9 seg.

En cuanto al kilogramo-masa, este equivale en la pr áctica a la masa

de 1 dm 3 de agua pura a 4°C de temperatura.

A los efectos de conservar un patrón de esta medida , también se lo ha

construido en platino-iridio con forma de cilindro (kilogramo-patrón) y al

igual que el metro-patrón, conservado en la Oficina Internacional de Pesas

y Medidas.

La unidad de tiempo 1 seg, es la 86400 ava parte de l día solar medio.

Lo que sigue son los cuadros que resumen las unidad es fundamentales y

las derivadas:

SISTEMAS DE UNIDADES FUNDAMENTALES O DE BASE

Las unidades que tienen el símbolo � son fundamentales.

U.T.M. significa Unidad Técnica de Masa y es una un idad derivada.

C.G.S. y M.K.S. son las iniciales de las tres unida des fundamentales

que le dan origen a cada sistema respectivamente.

SISTEMAS DE UNIDADES DERIVADAS

PAG.Nº4

Una dina (1 dyn) es la fuerza que, aplicada a un cu erpo cuya masa es

1 g, le produce una aceleración de 1 cmseg2

.

Un Newton (1 N) es la fuerza que, aplicada a un cue rpo cuya masa es 1

kg, le produce una aceleración de 1 mseg2

.

En cuanto al kilogramo fuerza (1 kgf), este es una unidad fundamental

y se lo define, como la fuerza con que la Tierra in teractúa con el kilogra-

mo patrón (1 kg masa) al nivel del mar y a 45º de l atitud.(ver item 4-1.2.d

y 4-1.3).

4-1.2.d)RELACIÓN ENTRE PESO Y MASA:

El peso es la fuerza que se manifiesta cuando un cu erpo interactúa

con la Tierra. El resultado de la interacción es un par de fuerzas, una de

las cuales actúa sobre el cuerpo y que llamamos “Pe so”. La otra actúa en el

centro de la Tierra (Ver 4-1.3 Principio de interac ción).

Aplicando el principio de masa a esta interacción, tendremos:

F = m.a que se convierte en P = m.g debido a que La Tierra provoca en

todo cuerpo una aceleración de dirección vertical, dirigida hacia abajo que

denominamos “ g ”, que hemos utilizado en cinemática (movimientos v ertica-

les) y cuyo valor es en módulo 9,8 mseg2

.

4-1.2.e)EQUIVALENCIA ENTRE UNIDADES:

Como habíamos dicho, una fuerza de 1 kgf, es la fue rza con que la

Tierra interactúa con un cuerpo cuya masa es 1 kg.

Entonces tendremos:

a)Equivalencia kgf-Newton: 1 kgf = 1 kg.9,8 mseg2

= 9,8 Newton = 9,8 N.

b)Equivalencia Newton-dina: 1 N = 1 kg. mseg2

= 1000g.100 cmseg2

= 100.000 g. cmseg2

= 100.000 dinas = 10 5 dinas.

c)Equivalencia kg-U.T.M.: 1 kg = 1

9 8 2

kgfm

seg,

= 0,102 kgf. segm

2 = 0,102 U.T.M.

4-1.3)PRINCIPIO DE INTERACCIÓN:

Cuando dos cuerpos interactúan, las fuerzas que se ejercen mutuamente (uno sobre el otro y viceversa), son de igual módulo, de igual dirección, pero de sentido contrario.

Un ejemplo de interacción, es la acción que produci mos sobre el piso

al caminar y podemos desplazarnos gracias al par de interacción que el piso

nos aplica. (Ver fig. Nº4).



El doble subíndice, que lleva cada fuerza, indica ( el primero de

ellos) dónde actúa la fuerza y el segundo, con quié n interactúa.

No debe confundirse a los pares de interacción, con las fuerzas apli-

cadas y sus reacciones en los vínculos. Mientras lo s pares de interacción

están aplicados sobre distintos cuerpos, las fuerza s y sus reacciones de

vínculo actúan sobre el mismo cuerpo, equilibrándos e entre sí.

Un ejemplo de esta situación lo tenemos cuando apoy amos un cuerpo so-

bre una mesa horizontal. (Ver fig. Nº 5)

La reacción al peso, está en el centro de la Tierra , mientras que la

reacción de vínculo es el par de interacción de la fuerza de contacto ejer-

cida por el cuerpo sobre la mesa.

El ejemplo de la mesa es un caso estático, pero par a que resulte más

claro, vamos a mostrar una situación en la que los pares de interacción se

manifiestan dinámicamente.

En la primera de las figuras que siguen, vemos un c hico en cuclillas,

que está próximo a efectuar un salto pero que como aún no comenzó, todavía

está en reposo, resultando por el momento similar a l ejemplo de la mesa.

Allí, la fuerza de contacto F c, es el par en la interacción de contacto con

Rn, la cual (esta última) equilibra al peso.

En la segunda, al incrementar la intensidad del con tacto (F c), también

crece la reacción del piso (R n) y ahora ya no equilibra al peso. Al superar

en módulo al peso, habrá una resultante hacia arrib a que provoca la acele-

ración que permite que el chico adquiera la velocid ad necesaria para despe-

garse del piso.

PAG.Nº6

En la última de las figuras, ya se ha separado del piso, no hay in-

teracción de contacto y por lo tanto solamente se v e la acción del peso que

provoca el frenado durante el ascenso y la posterio r caída.

4-1.4)APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON:

4-1.4.a)CUERPOS LIBRES O CON UN SOLO VINCULO.

Aquí aplicaremos las leyes de Newton a la resolució n de casos de

cuerpos sometidos a la acción de una o más fuerzas, alguna de las cuales

puede ser de vínculo.

1)Cuerpo en caída libre:

Como vimos en cinemática, un cuerpo libre en el vac ío, cae con la

aceleración de la gravedad, que en la tierra, al ni vel del mar y a 45º de

latitud vale en módulo 9,8 mseg2

,provocada por su propio peso (fig. Nº 6).

2)Cuerpo sometido a la acción de una fuerza vertica l aplicada por un

agente externo (no representado en la figura). (Ver fig. Nº7).

Pueden presentarse tres situaciones dentro de este caso:

a)El cuerpo se acelera hacia arriba (F > P).

b)El cuerpo se acelera hacia abajo (F < P).

c)El cuerpo está en reposo o tiene velocidad consta nte (F = P).

Veamos un ejemplo de cada caso para un cuerpo de 5 kg de masa:

a) F = 80 N ; P = m.g = 5 kg.9,8 mseg2

= 49 N

aF P

m

N N

kg

N

kgm

seg=

−=

−= =

80 49

5

31

56 2 2,



b) F = 20 N ; P = 49 N

aF P

m

N N

kg

N

kgm

seg=

−=

−=

−= −

20 49

5

29

55 8 2,

c) F = 49 N ; P = 49 N

aF P

m

N N

kg

N

kgm

seg=

−=

−= =

49 49

5

0

50 2

3)Caso de un cuerpo simplemente apoyado sobre una m esa horizontal,

sin fricción y sobre el que actúa una fuerza horizo ntal (paralela a la su-

perficie). (Ver fig. Nº8):

El cuerpo está sometido a la acción de tres fuerzas , dos de ellas

equilibradas entre sí (la reacción de vínculo neutr aliza al peso), quedando

la fuerza horizontal como la única capaz de acelera r a dicho cuerpo.

Analizaremos varias situaciones dentro de este caso , según los datos

que se suministran:

a)Datos: F = 10 N y m = 4 kg. Calcular la aceleraci ón:

aFm

N

kgm

seg= = =

1025

4 2,

b)Datos: P = 4 kgf y F = 10 N. Calcular la acelera ción:

Como no nos dan la masa, debemos calcularla o deduc irla a partir de

la definición del kgf.

Sabemos que un cuerpo que pesa en la Tierra 1 kgf, tiene 1 kg masa.

En este caso P = 4 kgf, por ello, m = 4 kg y la ace leración será:

aFm

N

kgm

seg= = =

1025

4 2,

c)Datos: m = 4 kg y a = 3 m

seg2. Calcular la fuerza aplicada:

F = m.a = 4 kg.3 m

seg2 = 12 N.

4-1.4.b)SISTEMAS DE CUERPOS VINCULADOS.

En esta parte vamos a aplicar las leyes de Newton a la resolución de

sistemas de cuerpos vinculados.

Esto significa el análisis dinámico de cada situaci ón y de los pasos

necesarios para conocer todas las variables que afe ctan al sistema.

PAG.Nº8

1º)Varios cuerpos vinculados entre sí y con el piso , (apoyados como

un trencito) y que son acelerados por una fuerza ho rizontal (F) aplicada

por una locomotora no representada en el esquema. ( fig. Nº9):

Para analizar en detalle lo que ocurre en este caso y en todo otro en

el que se presentan dos o más cuerpos vinculados en tre sí y con algún agen-

te externo (piso, poleas, pared, etc.), es necesari o efectuar un “DIAGRAMA

DE CUERPO LIBRE”, dado que las Leyes de NEWTON fueron formuladas par a cuer-

pos libres y no para sistemas de cuerpos vinculados .

Se trata de representar a cada cuerpo, liberado de sus vínculos y re-

emplazados estos por las fuerzas que ellos ejercen (estas son las reaccio-

nes de vínculo). Veamos para el caso del trencito:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE para cada vagón. (Ver Fig. Nº10):

Puede verse aquí, a cada vagón sometido a la acción de varias fuerzas

(las horizontales de igual color forman un par de i nteracción). El peso de

cada uno es equilibrado por las reacciones de los v ínculos (R n) que actúan

sobre las ruedas.

Las fuerzas horizontales de interacción entre los v agones se ponen en

evidencia al hacer los diagramas de cuerpo libre. E stas sí forman pares de

interacción, porque cada elemento del par de intera cción actúa sobre un

cuerpo distinto y por ello no se equilibran.

Veamos como se resuelve este caso, con los siguient es datos:

m1 = 180 kg ; m 2 = 150 kg ; m 3 = 100 kg ; F = 1290 N.

Calcular la aceleración y las fuerzas de interacció n entre los vago-

nes (suponemos igual la aceleración de todos los va gones porque las sogas o

cadenas que los vinculan las consideramos inextensi bles).

Se plantea la ecuación que corresponde a la 2º ley de Newton, para

cada cuerpo y para cada eje (una en el eje “x” y ot ra en “y”):

Para cada vagón será:



En el eje x En el eje y

I)F 1 -F 12 = m 1.a R n1 -P 1 = 0

II)F 21 -F 23 = m 2.a R n2 -P 2 = 0

III)F 32 = m 3.a R n3 -P 3 = 0

Suponiendo de masa despreciable a las cadenas o sog as que vinculan a

los vagones, podemos afirmar, por el tercer princip io, que:

F12 = F 21 y F 23 = F 32

Resolvemos ahora el sistema de tres ecuaciones plan teado antes:

F1 -F 12 = m 1.a Sumamos miembro a miembro y F21 -F 23 = m 2.a cancelamos los términos que F32 = m 3.a corresponden a los pares de interacción F1 = (m 1 +m2 +m3).a ...Y DESPEJAMOS LA ACELERACIÓN

aF

m m m

N

kg kg kgm

seg=

+ +=

+ +=1

1 2 3

1290

180 150 1003 2

Reemplazando el valor de la aceleración hallado en la primera y la

tercera ecuación del sistema planteado, obtenemos l os valores de las fuer-

zas de interacción entre los vagones:

F12 = F 1 - m 1.a = 1290 N -180 kg.3 mseg2

= 750 N

F32 = m 3.a = 100 kg.3 mseg2

= 300 N

2º)Un cuerpo apoyado sobre una superficie horizonta l sin rozamiento

vinculado a otro cuerpo suspendido, mediante una cu erda de masa desprecia-

ble e inextensible, que pasa por una polea (Fig. Nº 11):

Planteamos la ecuación que corresponde a la 2º ley de Newton, para

cada cuerpo:

T12 = m 1.a Sumamos miembro a miembro y cancelamos los P2 -T 21 = m 2.a términos de los pares de interacción. P 2 = (m 1 + m 2).a

m2.g = (m 1 + m 2).a de donde despejamos la aceleración

am g

m m=

+2

1 2

.

3º)Dos cuerpos suspendidos, vinculados entre sí med iante una cuerda

de masa despreciable e inextensible que pasa por un a polea. (Este disposi-

tivo se denomina MAQUINA DE ATWOOD) (Ver Fig. Nº12) :

PAG.Nº10

T12 - P 1 = m 1.a Sumamos miembro a miembro y cancelamos los P2 - T 21 = m 2.a términos de los pares de interacción. P2 -P 1 = (m 1 +m 2).a

(m2 - m 1).g = (m 1 + m 2).a ; de donde despejamos la aceleración:

am m g

m m=

−+

( ).

( )2 1

1 2

4º)Un cuerpo que desliza por un plano inclinado, si n fricción:

Observando el esquema de la figura, vemos que sobre el cuerpo actúan

sólo dos fuerzas: 1)El propio peso del cuerpo, al q ue proyectamos sobre los

ejes x e y; 2)La reacción normal del plano inclinad o. (Ver fig. Nº13)

Aplicando las ecuaciones de la 2º ley de Newton:

F = m.a ⇒ a = Fm

= Pm

x =

m g

m

. . sen α = g.sen α

5º)Un cuerpo que se mueve por un plano inclinado ba jo la acción de

fuerzas provocadas por diversas causas (rozamiento u otras).

La fuerza de rozamiento, es la consecuencia del con tacto entre dos

superficies “rugosas”, la cual existe aunque nos pa rezca que las mismas es-

tán bien pulidas. (Ver fig. Nº14)



La dirección de la fuerza de fricción es paralela a la dirección del

movimiento y de sentido contrario. Con respecto a s u valor, es proporcional

a la reacción normal del plano, ya que cuanto más i ntenso es el contacto,

mayor será la fuerza de rozamiento.

Aplicando las ecuaciones de la 2º ley de Newton:

F = m.a ⇒ a = Fm

= F P

mr x−

= F m g

mr − . . sen α

Esta aceleración tiene el sentido de P x porque la fuerza de fricción

es en general menor a la componente del peso en esa dirección. F r iguala a

Px en el caso en que el cuerpo permanece en reposo (r ozamiento estático), o

bien cuando desciende con velocidad constante (roza miento dinámico). La ex-

cepción que puede constituirse en que F r pueda superar a P x es cuando el

cuerpo se desplaza por el plano en ascenso o descen diendo bajo la acción de

otras fuerzas o cuando se lo ha dotado de velocidad y este rozamiento lo

esté frenando hasta detenerlo, punto en el cual F r será igual a P x.

4-2)LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La gravitación es una de las propiedades fundamenta les que tiene la

materia. Esta se manifiesta produciendo una fuerza de atracción entre dos

cuerpos y esa cualidad la posee todo cuerpo por el solo hecho de tener ma-

sa.

Cuando se colocan dos cuerpos, uno a cierta distanc ia del otro, exis-

te entre ambos interacción gravitatoria, pero ésta en general pasa desaper-

cibida debido a que es una interacción muy débil, s alvo que uno de los dos

cuerpos (o ambos) tenga una masa extraordinariament e grande, como es el ca-

so de la Tierra, la cual permite que su interacción gravitatoria con obje-

tos aún muy pequeños, se manifieste de manera notor ia.

Así es posible ver desde la caída de una gigante ro ca, hasta la de

una pequeña partícula de talco, o una pequeña pluma de un ave o un grano de

arena, y la influencia sobre la Luna (para mantener la en órbita).

La interacción gravitatoria cumple con la tercera l ey de Newton, en

cuanto a que el par de fuerzas que se manifiesta en los dos cuerpos (una en

cada uno), tienen igual módulo, igual dirección y s entido contrario.

La Ley De Gravitación Universal enunciada por Newto n establece lo si-

guiente:

PAG.Nº12

La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos, es directamente proporcional al producto de las masas de ambos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de masa.

Matemáticamente se expresa del siguiente modo:

F Gm m

d=

1 22

.

El coeficiente “ G” se denomina “Constante de Gravitación Universal” y

su valor es: G = 6,67.10 -11 N mkg. 2

2 = 0,0000000000667 N mkg. 2

2 y tiene validez Uni-

versal.

Observando el valor de esta constante, advertimos l a pequeñez de la

fuerza de interacción gravitatoria entre cuerpos or dinarios. Sólo es noto-

ria cuando el producto de las masas alcanza valores en el orden de los tri-

llones y la distancia no es demasiado grande.

Veamos un ejemplo:

Con que fuerza se atraen dos asteroides, sabiendo q ue sus masas son

respectivamente: m 1 = 3,2.10 12 kg y m 2 = 2,1.10 15 kg y se hallan distanciados

473,4 km.

Aplicando la fórmula arriba expresada:

F Gm m

d=

1 22

. = 6,67.10 -11 N m

kg. 2

2

3 2 10 21 10

473400

12 15

2

, . . ,.

( )

kg kg

m= 2.10 6 N

Si se emplea esta ley para el caso terrestre, cuand o interactúa un

cuerpo cualquiera con nuestro planeta, la fuerza en cuestión es lo que ha-

bitualmente denominamos “peso”.

La Tierra tiene una masa aproximada cercana a los s eis cuatrillones

de kilogramos (Masa de la Tierra = 6.10 24 kg).

Cuando un cuerpo se halla cerca de la superficie te rrestre, la inter-

acción gravitatoria se produce entre dicho cuerpo y la tierra, a la que

consideramos cual si fuese un cuerpo puntual separa do del otro por una dis-

tancia igual al radio terrestre medio, cuyo valor e s próximo a 6390 km.

Empleando estos valores en la fórmula de la ley que estamos conside-

rando, obtenemos el conocido valor de la aceleració n de la gravedad:

g ≅ 9,8 mseg2

Veamos: g = 6,67.10 -11 N mkg. 2

2

6 10

6390000

24

2

.

( )

kg

m ≅ 9,8 m

seg2

4-3)IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

4-3.1)IMPULSO APLICADO POR UNA FUERZA CONSTANTE.

El impulso aplicado a un cuerpo puntual por una fue rza constante, es igual al producto de dicha fuerza por el

lapso durante el cual la misma ha actuado.



Se simboliza con la letra I y es una magnitud vectorial.

I = F. ∆t

Las unidades que se emplean para su expresión, son:

Ejemplo: Calcular el impulso producido por el peso de un cuerpo de 1 kg

de masa, durante su caída libre, a partir del repos o, desde 10 m de altura.

a)Calculamos el peso: P = m.g = 1 kg.9,8 mseg2

= 9,8 N.

b)Calculamos el tiempo de caída:

∆∆

th

g

msegm

seg

= = =2 2 10

9 8143

2

. .

,,

c)Luego el Impulso será:

I = 9,8 N.1,43 seg = 14 N.seg

4-3.2)CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO PUNTUAL.

La cantidad de movimiento de un cuerpo puntual es i gual

al producto de su masa por su velocidad instantánea

Es una magnitud vectorial y se simboliza con la let ra p:

p = m.v

Se expresa en las siguientes unidades:

Ejemplo 1): ¿Qué cantidad de movimiento tiene un cu erpo de 12 kg de

masa que lleva una velocidad de 15 mseg?

p = m . v = 12 kg.15 mseg = 180 kg. m

seg

Ejemplo 2): ¿A qué velocidad un auto de 1500 kg de masa tendrá la

misma cantidad de movimiento que la de un camión de 7000 kg de masa que

lleva una velocidad de 10 mseg?

pcamión = 7000 kg.10 mseg = 70000 kg. m

seg

pauto = 1500 kg.v auto = 70000 kg. mseg ⇒ v auto = 46,7 m

seg = 168 km

h

4-3.3)RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

La importancia de esta relación reside en la posibi lidad de evaluar

la acción de una fuerza, cuando ésta ha variado dur ante el tiempo que actuó

sobre el cuerpo.

Si expresamos el principio de masa: F = m.a

PAG.Nº14

y sustituimos a la aceleración por su equivalente c inemático:

a = ∆∆vt

nos queda: F = m.∆∆vt

y si pasamos ∆t multiplicando al primer

miembro, nos da:

F. ∆t = m. ∆v

donde puede verse que, el primer miembro, es el imp ulso aplicado por

la fuerza F y el segundo miembro, es la variación que ha sufri do la canti-

dad de movimiento del cuerpo, como consecuencia del impulso aplicado por

dicha fuerza. Por lo tanto podemos generalizar que:

El impulso aplicado a un cuerpo, es igual a la variación que sufre su cantidad de movimiento

Ejemplo: Un automóvil de 1000 kg de masa, que viaja con una velocidad

de 10 mseg, incrementa su velocidad hasta alcanzar los 25 m

seg en 20 seg. Calcu-

lar la variación que sufrió su cantidad de movimien to y la fuerza media

realizada por su planta motriz, responsable del inc remento de velocidad.

∆p = m. ∆v = 1000 kg.(25 mseg - 10 m

seg) = 15000 kg. mseg

I = F. ∆t = m. ∆v = 15000 kg. mseg

F.20 seg = 15000 kg. mseg ⇒ F = 750 N

4-3.4)LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

En ausencia de impulso, la cantidad de movimiento de un cuerpo o sistema de cuerpos, se conserva

En efecto, observando la expresión: F. ∆t = m. ∆v ,si F. ∆t = 0 (impulso

nulo) será m. ∆v = 0 ,lo cual quiere decir que si la variación de la canti-

dad de movimiento es cero, entonces no varía, es co nstante (se conserva).

Esta ley de conservación es importantísima y es apl icable a un gran

número de situaciones físicas de las que mencionare mos sin desarrollar al-

gunas de ellas.

a)En el estudio del choque de dos o más cuerpos.

b)En la dinámica de un motor a reacción (cohete o a vión jet).

c)En el análisis de un fenómeno explosivo.

4-4)TRABAJO MECÁNICO DE UNA FUERZA CONSTANTE

El trabajo mecánico realizado por una fuerza consta nte es igual al producto escalar del vector fuerza por el vector

que da el desplazamiento de su punto de aplicación

Se denota con la letra L y es una magnitud escalar.

L F x= •

rr∆ Producto escalar cuyo desarrollo da: L F x=

rr

. .cos∆ α



Desde el punto de vista conceptual, significa multi plicar la distan-

cia que se ha desplazado el punto de aplicación de la fuerza por la proyec-

ción de dicho vector en la dirección del desplazami ento.

Las unidades que se emplean para su expresión, son:

EJEMPLOS: a)Calcular el trabajo mecánico que realiz a una persona so-

bre un carro de supermercados, cuando le aplica una fuerza de 5 kgf y lo

desplaza 20 m en una dirección paralela a la de la fuerza aplicada. Expre-

sar el resultado en los tres sistemas de unidades.

L = F. ∆x.cos α = 5 kgf.20 m.cos 0° = 100 kgfm

A través de la relación kgf-N, sabemos que 1 kgf = 9,8 N; por lo tan-

to: 100 kgfm = 980 N.m = 980 Joule = 980 J

Análogamente, 1 N = 10 5 dina y 1 m = 10 2 cm,

luego 1 J = 1 N.1 m = 10 5 dina.10 2 cm = 10 7 dina.cm = 10 7 ergio = 10 7 erg

y 980 J = 9,8.10 9 erg.

b)Determinar el trabajo que realiza el peso de un c uerpo de 3 kg de

masa cuando cae desde 5 m de altura.

P = m.g = 3 kg.9,8 m

seg2 = 29,4 N

L = 29,4 N. 5 m = 147 N.m = 147 J

c)¿Realiza trabajo un chico parado que sostiene un ladrillo de 1 kg

de masa, sobre la palma de su mano extendida horizo ntalmente a 1,5 m del

suelo? (Ver Fig. Nº17)

No, no realiza ningún trabajo porque la fuerza que le aplica al la-

drillo no sufre desplazamiento alguno.

PAG.Nº16

Aunque desde el punto de vista fisiológico, esto le represente algún

cansancio, pueda acalambrarse, ello no implica que realice trabajo mecánico

alguno, físicamente hablando.

No es equivalente el concepto físico “trabajo mecán ico de una fuerza”

con el término usual de que algo resulte “trabajoso ” o “cansador”.

Suponga ahora que el chico camina (con velocidad co nstante), con el

ladrillo sobre su mano extendida ¿realiza trabajo?.

Ahora tampoco realiza trabajo, porque la fuerza que sostiene al la-

drillo es perpendicular al desplazamiento del mismo y ese trabajo es nulo

(cos 90° = 0).

Para que exista trabajo realizado sobre el ladrillo por parte del

chico, debe subir alguna escalera o pendiente.

También podría correr con cierta aceleración, la cu al no podrá durar

mucho tiempo, porque su velocidad es limitada.

4-5)ENERGÍA MECÁNICA: CONCEPTO GENERAL DE ENERGÍA

La energía es un concepto que nos resulta tan o más difícil de defi-

nir que el de fuerza. Cuando hablamos de energía, a sociamos este término

con poder, poder efectuar cosas, actividad, vida, e tc.

Desde el punto de vista físico, la energía se prese nta en la natura-

leza con muchos disfraces. Así tenemos: 1)Energía m ecánica, 2)Energía elec-

tromagnética, 3)Energía calórica, 4)Energía lumínic a, 5) Energía nuclear,

6)Energía química, 7)Energía biológica, etc.

Estas manifestaciones de la energía pueden intercam biarse, aunque en

general, casi siempre se termina disipando en forma de energía calórica.

El nexo que permite que una forma de energía mude a otra forma de

energía es la realización de trabajo por parte de f uerzas que se ponen en

juego en cada situación particular. Más adelante ve remos casos concretos

donde esto pueda advertirse.

4-5.1)ENERGÍA CINÉTICA.

Es una de las dos facetas de la energía mecánica. E s una energía de

movimiento. Su valor depende de la mitad de la masa de un cuerpo y del cua-

drado de su velocidad:

LA ENERGÍA CINÉTICA DE UN CUERPO ES IGUAL AL PRODUC TO DE LA MITAD DE SU MASA POR EL CUADRADO DE SU VELOCI DAD

Se simboliza con E c:

Ec = ½.m.v 2

Las unidades en que se expresa son en cada sistema:



Observar que las unidades de energía son idénticas a las de trabajo.

Ejemplo 1: ¿Qué energía cinética tiene un cuerpo de 12 kg de masa que

lleva una velocidad de 15 m

seg?

Ec = ½. m.v 2 = ½. 12 kg .(15 m

seg) 2 = 1350 J

Ejemplo 2: ¿A qué velocidad un auto de 1500 kg de m asa tendrá la mis-

ma energía cinética que la de un camión de 7000 kg de masa que lleva una

velocidad de 10m

seg ?

Ec(camión) = ½. 7000 kg.(10 mseg ) 2 = 350000 J

Ec(auto) = ½. 1500 kg.(v auto ) 2 = 350000 J

v auto = 21,6 mseg = 77,7

km

h

Comparar este resultado con el obtenido al relacion ar la cantidad de

movimiento del auto con la del camión. En este caso , el auto no necesita

alcanzar una velocidad tan alta para igualar a la e nergía del camión, por-

que la energía cinética crece con el cuadrado de la velocidad (ver pag.

Nº11).

4-5.1.a)TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA.

Este teorema relaciona al trabajo realizado por la fuerza resultante

que actúa sobre un cuerpo, con la energía cinética adquirida por dicho

cuerpo.

Aplicamos la expresión del trabajo mecánico ejercid o por una fuerza

constante y cuya dirección sea paralela al desplaza miento, para el caso de

un cuerpo que se mueve sobre un plano horizontal (F ig.Nº18)

Supongamos que el cuerpo pasa por la posición x 1 en el instante t 1 con

una velocidad v 1 y que por la acción de la fuerza, sufre el desplaz amiento

que lo lleva a la posición x 2 en el instante t 2 con una velocidad v 2.

Aplicamos la definición de trabajo: L = F. ∆x y reemplazamos la fuerza por su equivalente en la l ey de masa :

L = m.a. ∆x = m. ( ∆∆vt) . ∆x

En el último paso hemos sustituido la aceleración p or su expresión

cinemática equivalente: a = ∆∆vt

Asociamos al desplazamiento con el lapso y lo reemp lazamos por la ve-

locidad media: V m = ∆∆xt

L = m. ∆v1,2 .v m

PAG.Nº18

Por tratarse del trabajo de una fuerza constante, l a aceleración tam-

bién será constante y el cuerpo se moverá con M.R.U .V., donde la velocidad

por ser función lineal del tiempo, permite que la v elocidad media se calcu-

le como promedio de las velocidades inicial y final .

De esta manera, reemplazando ∆v 1,2 por su igual (v 2 - v 1) y v m1,2 por

v v2 12

+ , queda:

L = m.(v 2 - v 1). v v2 1

2

+

Operando el producto de la suma por la diferencia, queda la diferen-

cia de cuadrados:

L = ½. m.[(v 2)2 -(v 1)

2] Distribuyendo la masa y el divisor queda:

L = ½ . m.(V 2)2 - ½ . m.(V 1)

2

L = E c2 -

Ec1

= ∆Ec1,2

Como podemos ver por lo desarrollado:

El trabajo realizado sobre un cuerpo, por la fuerza resultante, es igual a la variación que experimenta su energía cinética

La importancia de este resultado, es que su validez se extiende a to-

das las situaciones, aún aquellas en que la fuerza pudo haber variado du-

rante el desplazamiento.

Esto es a pesar de que la deducción la hayamos efec tuado para la si-

tuación particular en que la fuerza permanece const ante, para que el proce-

dimiento de llegar a la fórmula final pueda ser mat emáticamente más simple.

Ejemplo: Un auto de 1000 kg de masa, que viaja con una velocidad de

10 mseg , incrementa su velocidad hasta alcanzar los 25 m

seg mientras se despla-

za 350 m. Calcular la variación que sufrió su energ ía cinética y la fuerza

media realizada por su planta motriz responsable de producir dicho incre-

mento de velocidad.

Calculamos la variación de la energía cinética:

∆Ec1,2 = ½ . 1000 kg.{(25 mseg ) 2 -(10 m

seg ) 2}= 262500 J

Ahora despejamos la fuerza, a través de:

L = F. ∆x = F.350 m = 262500 J ⇒ F = 750 N

Comparar este resultado con el obtenido en la pág. 12, donde hemos

calculado la fuerza media pero en función de la var iación de la cantidad de

movimiento.

4-5.2)ENERGÍA POTENCIAL.

Es la otra faceta de la energía mecánica. Es una en ergía de posición.

Su valor depende de la posición de una fuerza dentr o del campo fuerzas que

la genera.



En la Energía mecánica, se presentan dos tipos de e nergías potencia-

les: a)ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA y b)ENERGÍA P OTENCIAL ELÁSTICA.

4-5.2.a)ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.

Es la que se manifiesta dentro del campo gravitator io de todo cuerpo,

(planeta, satélite, estrella, etc.), por ej.: La Ti erra.

En proximidad del suelo y mientras la altura no sig nifique una varia-

ción apreciable para la aceleración de la gravedad, definimos:

LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA DE UN CUERPO ES IGUAL AL PRODUCTO DE SU PESO POR SU ALTURA CON

RESPECTO A UN NIVEL ARBITRARIO DE REFERENCIA

Ep = P.h = m.g.h ,donde h representa dicha altura y P al peso del

cuerpo. (Ver fig. Nº19)

Ejemplo: Un edificio de 14 pisos mide 42 m. (altura de cada piso 2,8

m). Calcular la Energía potencial que tiene una pie dra de masa 60 kg, que

está en el 10º piso. Expresar el resultado tomando como referencia la plan-

ta baja y luego la terraza (15º piso).

1º) E p = m.g.h = 60 kg.9,8 m

seg2.28 m = 16464 Joule

2º) E p = m.g.h = 60 kg.9,8 m

seg2.(-14 m) = -8232 Joule

Observar que el valor de la energía potencial de un mismo cuerpo pue-

de ser diferente con tal de calcularla con respecto a un distinto nivel de

referencia.

4-5.2.b)ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA.

Es la que tiene todo resorte que se halle estirado o comprimido. La

energía se acumula en el resorte, debido al cambio de posición que sufrió

la fuerza recuperadora elástica, provocado por la i nteracción con algún

agente externo.

LA ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA ACUMULADA POR UN RESORTE, ES IGUAL AL PRODUCTO DE LA MITAD DE SU

CONSTANTE ELÁSTICA (k) POR EL CUADRADO DE LA ELONGACIÓN O COMPRESIÓN QUE HA SUFRIDO (∆l)

El cambio de longitud del resorte será ∆l = l-l o y la energía en él

almacenada (Energía potencial elástica E pe) está dada por la expresión:

PAG.Nº20

Epe= ½ .k.( ∆l)2

donde k representa a la constante elástica del reso rte.

4-5.3)ENERGÍA MECÁNICA TOTAL.

Es la suma de la energía cinética y las energías po tenciales.

Em(total) = E c + E pg + E pe = ½.m.v2 + m.g.h + ½.k.( ∆l)

2

*EJEMPLO: Veamos el caso de un cuerpo cuya masa es 2 kg y q ue está

suspendido a 3 m de altura de un resorte de constan te k = 500 Nm el cual se

halla elongado 40 cm respecto de su longitud normal y que en ese instante

su velocidad es 5 mseg (Ver fig. Nº21).

Cálculo del peso del cuerpo: P = m.g = 2 kg.9,8 m

seg2 = 19,6 N

Si tomamos como referencia para la energía potencia l gravitatoria al

suelo, entonces su energía mecánica total será:

a)Cálculo de la energía potencial gravitatoria:

Epg = P.h = 19,6 N.3 m = 58,8 J

b)Cálculo de la energía elástica:

Epe = ½.k.( ∆l)2 = ½.500 N

m .(0,4m)

2 = 40 J

c)Cálculo de la energía cinética:

Ec = ½.m.v2 = ½.2 kg.(5 m

seg )2 = 25 J

d)La energía mecánica total del sistema cuerpo-reso rte será la suma

de la tres energías calculadas:

Em = 58,8 J + 40 J + 25 J = 123,8 J.

4-5.4)LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN CUERPO.

La Ener gía mecánica total de un cuerpo o sistema de cuerpos permanece constante , a menos que sobre él actúen fuerzas no

conservativas que realicen trabajo.

∆Em = ∆Ec + ∆Epg + ∆Epe = 0

∆Em = ½.m.[(V 2)2 -(V 1)

2] + m.g. ∆h + ½.k.( ∆l)

2 = 0

FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS:

Se denominan FUERZAS CONSERVATIVAS a aquellas cuyo trabajo a través

de una trayectoria cerrada es nulo.

En general se trata de fuerzas que se derivan de un potencial, como

el gravitatorio, el elástico, el electrostático, en tre otros.



Son fuerzas conservativas, el peso, la fuerza elást ica y la fuerza de

atracción o repulsión electrostática, por ejemplo.

Se denominan FUERZAS NO CONSERVATIVAS a aquellas cuyo trabajo a tra-

vés de una trayectoria cerrada es distinto de cero.

Son fuerzas no conservativas, la fuerza de rozamien to, la fuerza mo-

triz, la fuerza muscular, etc.

En aquellos casos en que intervengan fuerzas no conservativas que realicen trabajo, la variación

de la Energía mecánica es igual al trabajo que realizan esas fuerzas no conservativas. ∆Em = ∆Ec + ∆Epg + ∆Epe = L F(no conservativas) .

*EJEMPLO DONDE SE CONSERVA LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN CUERPO:

Un cuerpo de 5 kg de masa se halla a 15 m de altura sobre el suelo.

Calcular su Energía potencial gravitatoria.

a)Cálculo de la energía potencial inicial:

Ep = m.g.h = 5 kg.9,8 m

seg2.15 m = 735 J

El cuerpo comienza a caer partiendo del reposo. Cal cular su energía

cinética y su velocidad cuando se halla a 10 m y al llegar al suelo. Des-

preciar la acción amortiguadora del aire.

b)Cálculo de la energía cinética a 10 m de altura:

∆Em = ∆Ec + ∆Epg = 0 ∆Em = ½.m.[(V 2)

2 -(V 1)

2] + m.g. ∆h = 0

∆Em = ½.5 kg.(V 2)2 + 5 kg.9,8 m

seg2.(10 m - 15 m) = 0

∆Em = ½.5 kg.(V 2)2 + 49 kg. m

seg2.(-5 m) = 0

∆Em = ½.5 kg.(V 2)2 - 245 J = 0

E c = ½.5 kg.(V 2)2 = 245 J (por ser E c1 = 0)

c)De la energía cinética despejamos la velocidad a esa altura:

(V 2)2 =

245 2

5

Jkg

. = 98 m

seg

2

2

V2 = 9,9 mseg

d)Se repiten los pasos para cuando el cuerpo está a una altura de 0 m

(al llegar al suelo):

∆Em = ∆Ec + ∆Epg = 0

∆Em = ½.m.[(v 2)2-(v 1)

2]+ m.g. ∆h = 0

∆Em = ½.5 kg.(v 2)2 +5 kg.9,8 m

seg2 .(0 m -15 m) = 0

∆Em = ½.5 kg.(v 2)2 +49 kg. m

seg2 .(-15 m) = 0

PAG.Nº22

∆Em = ½.5 kg.(v 2)2 -735 J = 0

Ec = ½.5 kg.(v 2)2 = 735 J (por ser E c1 = 0)

e)De la energía cinética despejamos la velocidad a esa altura:

(V 2)2 =

735 2

5

Jkg

. = 294 m

seg

2

2

V 2 = 17,15 mseg

*EJEMPLO DONDE NO SE CONSERVA LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN CUERPO:

Un cuerpo de 2 kg de masa desliza partiendo del rep oso desde la parte

más alta de un plano inclinado 37°, que mide 5 m de longitud.

Sobre el cuerpo actúa una fuerza de rozamiento cons tante y paralela

al plano (en sentido contrario al movimiento): F r = 5 N.

Calcular la Energía mecánica inicial y final del cu erpo, el trabajo

de la fuerza de fricción y su velocidad al llegar a l pié del plano.

a)En la parte más alta del plano, toda la energía m ecánica es poten-

cial gravitatoria. Luego:

Em = E pi = m.g.h i = 2 kg.9,8 m

seg2.5 m.sen 37° = 59 J

b)Cálculo del trabajo que realiza la fuerza de roza miento:

L = F r . ∆x.cos 180° = 5 N.5 m.(-1) = -25 J

c)Al final del plano, la energía mecánica será toda cinética, habién-

dose disipado 25 J en el trabajo del rozamiento:

∆Em = ∆Ec + ∆Epg = L F(no cons.)

∆Em = ∆Ec + (-59 J) = -25 J

∆Ec = 34 J = E mf

Ecf = ½.m.(V f )2 = 34 J

Ecf = ½.2 kg.(V f )2 = 34 J

(V f )2 = 34 m

seg

2

2

Vf = 5,83 m

seg

4-6)POTENCIA MECÁNICA:

La potencia mecánica media es el cociente entre el trabajo realizado por una fuerza y el lapso empleado en rea lizarlo

Es una medida de la rapidez con que se realiza un t rabajo y se trata

de una magnitud escalar ya que surge como cociente de dos magnitudes esca-

lares: trabajo y tiempo.

También es posible calcular la potencia media como producto de la

fuerza que realiza trabajo por la velocidad media c on que se desplazó du-

rante la realización de dicho trabajo.



Matemáticamente se expresa así:

Pm = L/ ∆t = F. ∆x/ ∆t = F.v m

Generalizando este concepto, podemos calcular la po tencia instantánea

disipada reemplazando la velocidad media por la vel ocidad instantánea.

P = F.v

Se expresa en las siguientes unidades:

EJEMPLO: Un operario arroja ladrillos de 1 kg masa cada uno desde la

caja de un camión (altura 1 m) hasta el 1º piso de una obra (3,5 m de altu-

ra). Suponer que cada ladrillo parte del reposo y l lega en reposo.

Calcular la potencia media con que se lanzan 1000 l adrillos si el

trabajo se hizo en 2 horas.

El trabajo realizado sobre cada ladrillo, es el nec esario para incre-

mentar su energía potencial gravitatoria:

L = ∆Ep = m.g. ∆h = 1 kg.9,8 m

seg2.(3,5 m -1 m) = 24,5 J (1 ladrillo)

P =Lt∆ =

24500

7200

J

seg= 3,4 Watt = 3,4 W.

En el sistema técnico, se suele emplear una unidad de potencia llama-

da caballo vapor (C.V.), equivalente a 75 kgfm

seg .

UNIDAD DE TRABAJO DERIVADA DE LA POTENCIA

Un múltiplo del Watt, es el kilowatt equivalente a 1000 Watt. De aquí

se deriva una unidad de trabajo y energía muy utili zada en la facturación

del consumo de energía eléctrica. Es el Kilowatt-ho ra (Kwh).

Su equivalencia con el Joule es:

1 Kwh = 1000 W.1 h = 1000j

seg.3600 seg = 3600000 J = 3,6.10 6 J

4-7)EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

*APLICACIÓN DE LOS PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

1)Un cuerpo pesa 7 kgf. Calcular su masa en los tre s sistemas de unidades

vistos. ¿Que aceleración le comunica una fuerza neta de 5250 00 dinas?

2)Un joven con su trineo, se hallan sobre una super ficie horizontal, y pe-

san 784 N en conjunto. Calcular la aceleración que le produce una fuerza

de 8 kgf, que actúa horizontalmente, provocada por una ristra de perros.

Hacer un esquema y señalar los pares de interacción .

PAG.Nº24

3)Una persona de 65 kg de masa se apoya contra la p ared posterior de un va-

gón de subte. Calcular la fuerza que recibe de dich a pared cuando el sub-

te acelera a razón de 1,8 m

seg2.

4)Un montacargas tiene sobre su piso un bulto de ma sa 100 kg. Calcular la

fuerza que el piso ejerce sobre el bulto, cuando: e l montacargas sube

acelerando con a = 1,2 m

seg2 ,cuando baja con igual aceleración y cuando se

mueve con velocidad constante.

5)Un pequeño jet de 3000 kg de masa tiene una veloc idad de 180 mseg . Cuando

aterriza, tarda 30 seg en detenerse. Calcular la fu erza puesta en juego

en el aterrizaje.

6)Una cuerda soporta como máximo una fuerza de 30 k gf sin cortarse. Calcu-

lar la máxima aceleración vertical que se puede tra nsmitir con esa cuerda

a un cuerpo de masa 15 kg que está apoyado en el pi so.

7)Una cuerda soporta como máximo una fuerza de 40 k gf sin cortarse. Calcu-

lar la mínima aceleración vertical con que debe des lizar por dicha cuer-

da, un muchacho de 60 kg de masa.

8)Un paracaidista, cuya masa en conjunto con su equ ipo es de 84 kg, experi-

menta en cierto punto de su descenso una aceleració n vertical y hacia

abajo de 1,4 m

seg2 . Calcular la fuerza con que el aire amortigua la caída

del paracaidista en ese instante.

9)Dos masas suman en conjunto 140 g. Se las utiliza para armar una máquina

de Atwood y al dejar libre el sistema se observa qu e se mueven con velo-

cidad constante. ¿Cuánto vale cada masa y que valor tiene la tensión en

la cuerda?. Repetir para el caso en que se mueven c on una aceleración de

20 cm

seg2. ¿Qué sobrecarga habría que agregar y dónde, para anu lar la acele-

ración?. Si en lugar de anular la aceleración con u na sobrecarga quisiera

hacerlo aplicando una fuerza, ¿Dónde la aplicaría y que valor tendrá la

tensión en ese caso.

10)Para los sistemas de las figuras siguientes, se pide:

a)efectuar el diagrama de cuerpo libre para cada cu erpo. b)plantear las

ecuaciones que corresponden a las leyes de Newton y calcular la acelera-

ción y la tensión en la cuerda.



En la última figura, hallar el ángulo α que forma la cuerda con la ver-

tical.

11)Un cuerpo de 5 kg de masa, desliza por un plano inclinado 45º. Durante

todo el descenso se le opone una fuerza de rozamien to de 20 N. Si la

longitud del plano es 7 m y el cuerpo partió del re poso, calcular la ve-

locidad con que llega al final del plano inclinado.

12)Repetir el problema anterior pero ahora el cuerp o es lanzado desde la

base del plano inclinado hacia arriba. ¿Cuál deberá ser la velocidad

inicial (v o) para que el cuerpo pueda recorrer los 7 m que req uiere para

llegar a la parte más alta del plano inclinado?

13) ¿Cuál es el mínimo ángulo que debe tener el plano in clinado del problema

anterior para que la piedra pueda deslizar hacia ab ajo, con velocidad

constante, suponiendo que la fuerza de fricción es de 20 N.

*IMPULSO ,CANTIDAD DE MOVIMIENTO, TRABAJO Y ENERGÍA

14)Una bala de 3 kg de masa abandona el cañón con u na velocidad de 400 mseg .

Si la bala recorrió dicho cañón en 0,02 seg. Calcul ar el impulso que los

gases de propulsión le aplicaron a la bala y la fue rza media que le

aplicaron.

15)El resorte de un “flipper” aplica una fuerza med ia de 150000 dinas a la

bola cuya masa es 75 g. Si el tiempo que la bola pe rmanece en contacto

con el dispositivo lanzador es de 0,1 seg, calcular la velocidad de la

bola inmediatamente después de abandonar al resorte .

16)Repetir el problema del jet (Nº5), aplicando el concepto de impulso y

cantidad de movimiento.

17)Calcular el trabajo que realiza el dispositivo l anzador del “flipper” al

impulsar la bola.

18)Calcular el trabajo que realizan los gases del c añón sobre la bala a lo

largo del recorrido por dicho caño.

19)Una pelota de fútbol tiene una masa aproximada d e 450 g. Si un jugador

al patearla puede imprimirle una velocidad de 28 mseg y el pié recorre 63cm

en contacto con la pelota. Calcular la fuerza media aplicada por el pié

sobre la pelota y cuánto tiempo estuvieron en conta cto.

PAG.Nº26

20)Un golfista aplica a la pelota (masa = 72 g ) un a fuerza de 48 N, lo-

grando que adquiera una velocidad de 20 mseg . Calcular el tiempo que estu-

vieron en contacto el palo y la pelotita y cuánto r ecorrieron juntos.

21) ¿Qué fuerza debe aplicar un tenista con su raqueta s obre la pelota cuya

masa es 36 g, para que adquiera una velocidad de 10 8 kmh si el contacto

con la pelota es de 0,01 seg. ¿Cuánto recorren juntas, la raqueta y la

pelota?

22)Suponga que el tenista golpea a la pelotita del problema anterior de mo-

do que la pelota sale impulsada verticalmente hacia arriba. ¿Qué altura

alcanza?

23)Un paracaidista de 70 kg de masa desciende con u na velocidad constante

de 6 mseg . Calcular la variación de energía mecánica que suf re en 10 seg.

24) ¿Cuál es el valor de la fuerza amortiguadora que el aire ejerce sobre el

paracaídas del problema anterior?

25)Un piedra se deja caer desde una altura de 10 m. Despreciando la acción

amortiguadora del aire atmosférico, calcular la vel ocidad con que llega

al suelo. Resolver por medios energéticos.

26)Si la piedra del problema anterior llega al suel o con una velocidad de

10 mseg . Calcular la pérdida de energía mecánica sufrida po r la piedra y la

fuerza que le provocó dicha pérdida.

27)La figura siguiente muestra una montaña rusa.

Por el punto A, pasa un carrito de 5 kg de masa, co n una velocidad de

10 mseg . Calcular la energía mecánica del carrito y su veloc idad en los

puntos B,C y D. Suponiendo que a partir de D, el ca rrito se detiene jus-

to al llegar a E, ¿Qué valor tiene la fuerza no conservativa que provo có

la detención del carro?

28)La figura siguiente muestra a un cuerpo de 1 kg de masa a punto de ser

lanzado hacia la rampa inclinada que conecta con un a plataforma elevada

3 m, mediante un resorte de constante k = 1000 Nm .



Calcular la compresión mínima que deberá darse al r esorte para que el

cuerpo alcance al punto C. Si se sabe que en la pla taforma superior ac-

túa sobre el cuerpo una fuerza de rozamiento consta nte de 50 N, ¿cuál

será el recorrido del cuerpo por dicha superficie e levada si fue lanzado

por el resorte con una compresión doble de la calcu lada antes?

*POTENCIA:

29)Calcular la potencia media que deberá desarrolla r el motor de una bomba

centrífuga, para elevar 20000 litros de agua en 5 h oras hasta una altura

de 40 m, sabiendo que el agua al ingresar al tanque tiene una velocidad

de 2 mseg .

30)Expresar en Kwh, el valor de la energía eléctric a consumida en el bombeo

del agua del problema anterior, suponiendo un aprov echamiento del 60%,

con ese fin.

31)Un auto de masa 950 kg, parte del reposo y alcan za 108 kmh en 15 seg.

Calcular la potencia media desarrollada por el moto r.

32)Repetir el problema anterior suponiendo que logr a esa velocidad en una

ruta en pendiente de 300 m de largo, inclinada 11º3 3’.

*GRAVITACIÓN UNIVERSAL

33)Dos meteoritos, se atraen con una fuerza de 1334 00 N, cuando la distan-

cia que separa sus centros de masa es 1000 km. Uno de ellos tiene 80 ve-

ces más masa que el otro. Se pide: a)Efectuar un pe queño esquema que

muestre la fuerza que se ejercen mutuamente. b)Calc ular la masa de cada

meteorito. c)Tiempo después y debido a la referida atracción se han

acercado a 500 km uno del otro. ¿Con qué fuerza se atraen ahora?

34)Dos meteoritos, se atraen con una fuerza de 6,67 .10 7 N, cuando la distan-

cia que separa sus centros de masa es 300 km. Uno d e ellos tiene 400 ve-

ces más masa que el otro. Se pide: a)Calcular la ma sa de cada meteorito.

b)Tiempo después se han alejado y ahora la fuerza e s cuatro veces más

chica que antes. ¿A qué distancia están ahora?

PAG.Nº28

ÍNDICE

4-1)DINAMICA DEL CUERPO PUNTUAL ................... ...... pag. 1

4-1.1)PRINCIPIO DE INERCIA ........................ ...... pag. 1

4-1.2)PRINCIPIO DE MASA ........................... ...... pag. 2

4-1.2.b)CONCEPTO DE MASA .......................... ...... pag. 2

4-1.2.c)SISTEMAS DE UNIDADES ...................... ...... pag. 2

4-1.2.d)RELACION ENTRE PESO Y MASA ................ ...... pag. 4

4-1.2.e)EQUIVALENCIA ENTRE UNIDADES ............... ...... pag. 4

4-1.3)PRINCIPIO DE INTERACCIÓN..................... ...... pag. 4

4-1.4)APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON ......... ...... pag. 6

4-1.4.a)CUERPOS LIBRES O CON UN SOLO VINCULO ...... ...... pag. 6

4-1.4.b)SISTEMAS DE CUERPOS VINCULADOS ............ ...... pag. 7

4-2)LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL .................. ...... pag.11

4-3.1)IMPULSO APLICADO POR UNA FUERZA CONSTANTE ... ...... pag.12

4-3.2)CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO PUNTUAL . ...... pag.13

4-3.3)RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIEN TO ... pag.13

4-3.4)LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIE NTO .. pag.14

4-4)TRABAJO MECÁNICO DE UNA FUERZA CONSTANTE ...... ...... pag.14

4-5)ENERGÍA MECÁNICA (CONCEPTO GENERAL DE ENERGÍA) ...... pag.15

4-5.1)ENERGÍA CINÉTICA ............................ ...... pag.16

4-5.1.a)TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA . ...... pag.17

4-5.2)ENERGÍA POTENCIAL ........................... ...... pag.18

4-5.3)ENERGÍA MECÁNICA TOTAL ...................... ...... pag.20

4-5.4)LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECANICA .. ...... pag.20

4-6)POTENCIA MECÁNICA ............................. ...... pag.22

4-7)EJERCICIOS DE APLICACIÓN ...................... ...... pag.23



TRABAJO PRACTICO:

ESTUDIO DE LA MAQUINA DE ATWOOD.

Emplearemos la máquina de Atwood, para efectuar una serie de medicio-

nes y utilizarlas con fines dinámicos y cinemáticos . (Ver Fig. Nº15).

Se arma el dispositivo de la figura, con dos pesas del mism o valor a

ambos lados y se verifica que permanezca en equilibrio, así como tam bién

que puede deslizar libremente, o con muy poca fricción.

Se sugiere que las pesas y las sobrecargas a incorp orar a la pesa de la

derecha tengan los valores sugeridos en la tabla si guiente.

m ms m t x a t a x u t u v u a d a c a v g g g cm seg cm seg cm

seg cm

seg2 cm

seg2 cm

seg2

70 2 142 60 100 70 4 144 60 100 70 6 146 60 100

168 2 338 60 100 168 4 340 60 100 168 6 342 60 100

REFERENCIAS: m = masa suspendida a cada lado de la polea; m s = masa de la sobrecarga; mt = masa total; x a = distancia recorrida con aceleración; t a = tiempo del movimiento acelerado; x u = distancia recorrida con velocidad constante (M.R .U.); t u = tiempo del M.R.U.; v u = velocidad del M.R.U.; a d = aceleración calculada con las leyes de la di-námica; a c = aceleración calculada cinemáticamente; a v = aceleración calculada a par-tir de la fórmula de la velocidad final del M.R.U.V .

FÓRMULAS QUE SE EMPLEAN PARA COMPLETAR EL CUADRO

am gm md

s

s=

+

.

.2 vxtu

u

u= a

x

tca

a

=2

2

. a

vtv

u

a=

PROCEDIMIENTO: Se agrega una sobrecarga sobre la masa de la derec ha y

se mide el tiempo que emplea en llegar hasta la mar ca de los 6 dm (t a). En

ese instante el aro retiene la sobrecarga y la pesa continúa con velocidad

constante (la cual coincide con la velocidad final de la etapa de acelera-

ción). Para registrar ambos tiempos en forma consec utiva, se emplea un cro-

nógrafo digital que tenga lapso. Al oprimir el botó n de “lap” al finalizar

los 6 dm, acumula dicho tiempo y permite medir la d uración de la etapa com-

prendida entre los 6 dm y los 16 dm.

PAG.Nº30

Aplicar las fórmulas dadas para completar el cuadro , analizar los resulta-

dos conjuntamente con el profesor y con todo el cur so, y sacar las conclu-

siones que correspondan.

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