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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA DE EDIFICAÇÕES E AMBIENTAL
EDER LEITE DE BRITO
DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA
SUPERESTRUTURA DE UMA PONTE EM ARCO
TRIARTICULADO DE MADEIRA SOB A ÓTICA DO
PROJETO DE REVISÃO DA NBR 7190 DE 2011.
CUIABÁ – MT
AGOSTO/2013
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA DE EDIFICAÇÕES E AMBIENTAL
EDER LEITE DE BRITO
DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA
SUPERESTRUTURA DE UMA PONTE EM ARCO
TRIARTICULADO DE MADEIRA SOB A ÓTICA DO
PROJETO DE REVISÃO DA NBR 7190 DE 2011.
CUIABÁ – MT
AGOSTO/2013
Dissertação apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Engenharia de
Edificações e Ambiental, da
Universidade Federal de Mato Grosso,
como requisito parcial para obtenção
do título de Mestre.
Orientador: Prof. Dr. Norman Barros Logsdon
Dedicatória
Dedico a meus pais, Esmeraldo e Josefina, a
Raquel, minha esposa, e aos meus filhos Pedro
Henrique e Ana Júlia. Pessoas que orgulho em dizer
que amo.
Agradecimentos
Agradeço ao Prof. Dr. Sérgio Luiz Magalhães por ter insistido
veementemente pra que eu me inscrevesse na prova de seleção do
Mestrado.
Agradeço a todos os companheiros de curso, que sempre contribuíram para
realizações dos trabalhos e sempre incentivaram para conclusão da
Dissertação.
Agradeço a Rafael Lima da Silva, amigo, companheiro e exímio
desenhista, responsável por todas as imagens contidas neste trabalho.
Agradeço especialmente ao Ilustre Prof. Dr. Norman Barros Logsdon, por
toda sua dedicação, seu companheirismo, sua educação. Sem dúvidas um
exemplo a ser seguido por toda vida.
RESUMO
BRITO, E. L. Dimensionamento dos elementos da superestrutura de uma ponte em
arco triarticulado de madeira sob a ótica do projeto de revisão da NBR 7190 de
2011. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Edificações e Ambiental.
Universidade Federal de Mato Grosso. Cuiabá. Mato Grosso, 2013.
De suma importância ao desenvolvimento dos municípios do Estado de Mato
Grosso, do ponto de vista econômico e social, as estradas devem assegurar a entrada de
insumos nas propriedades agrícolas, o escoamento da produção e o livre deslocamento
das populações do meio rural. Entretanto, nota-se que, ao longo dos anos, processos
incorretos de construção e de manutenção foram empregados nestas vias,
principalmente pela carência de informações técnicas por parte das Administrações
Estaduais e Municipais. Diante dessa realidade, o trabalho tem como objetivo principal
verificar se o dimensionamento dos elementos da superestrutura de uma ponte em arco
de MLC, com tabuleiro superior, conduz a seções usuais, tanto de madeira serrada,
como de MLC, e se é possível estabelecer um roteiro para simplificação nos cálculos do
dimensionamento das peças da superestrutura da ponte, considerando os critérios
estabelecidos pelo projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011). Como parâmetro
para o desenvolvimento do projeto da ponte a ser calculada foi adotado como referência
as características geométricas da ponte sobre o Rio Claro no Município de Cuiabá –
MT. Como conclusão verificou-se que o cálculo pode ser simplificado, pois as
envoltórias dos esforços solicitantes obtidas definem um formato e a posição dos
valores máximos, permitindo obter diretamente os valores máximos para
dimensionamento e que todos os elementos da ponte, construídos de madeira serrada,
possuem dimensões comerciais facilmente encontradas nas serrarias de Mato Grosso.
Além disso, constatou-se ainda que as dimensões obtidas para o arco laminado dessa
ponte, bem como seus elementos metálicos, são de fácil fabricação pela indústria
brasileira, o que torna esse modelo de ponte bastante viável sob o ponto de vista técnico.
Palavras chaves: Pontes de madeira, estrutura em arcos, linhas de influências.
ABSTRACT
BRITO, E. L. Elements designed from a wooden tri-articulated arch bridge from
the perspective of the revision project of NBR 7190 from 2011. Dissertation in
Environmental Engineering and Buildings. Universidade Federal de Mato Grosso.
Cuiabá. Mato Grosso, 2013.
Of great importance to the development of municipalities in the State of Mato
Grosso, from economic and social point of view, the roads must ensure the entry of
inputs in agricultural properties, the output of the production and the free movement of
rural populations. However, it should be noted that, over the years, incorrect processes
of construction and maintenance were employed in these ways, mainly by absence of
technical information from State and Municipal Administrations. On this reality, the
work has as its main objective to verify if the sections of elements of the superstructure
of a glulam arch bridge, with up road deck, are usual, both of lumber, as Glulam, and if
it is possible to establish a simplified roadmap to design the superstructure elements of
this bridge, considering the criteria set out by the NBR 7190 project review, from
ABNT (2011). As a parameter to the bridge design, was adopted, as a reference, the
geometrical characteristics of the bridge over the Rio Claro in the city of Cuiabá – MT.
As a conclusion it was found that the design can be simplified, because the curves of
maximum efforts obtained define the format and the position of the maximum values,
providing directly the design maximum values. It was concluded too that all elements of
the bridge, built of lumber, have commercial dimensions easily found in sawmills of
Mato Grosso. In addition, it was noted that the dimensions obtained for the laminated
arch of this bridge, as well as its metallic elements, are easy to manufacture by the
Brazilian industry, what makes this bridge model quite feasible under the technical
point of view.
Keywords: Wooden bridges, glulam arches, influence lines.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Esquema de fabricação de uma peça em MLC.............................. 30
Figura 2 -
Comparação das distribuições de frequências da resistência da
MLC e da madeira serrada............................................................. 31
Figura 3 - Arcos da Ponte Tioga, Oregon – EUA........................................... 34
Figura 4 - Vistas laterais de vigas de MLC.................................................... 34
Figura 5 - Tipos de usinagem das emendas dentadas..................................... 37
Figura 6 - Rua dos arcos, Lapa, Rio de Janeiro.............................................. 38
Figura 7 - Ponte de Fabricio; Ponte de Santo Ângelo; Ponte de Cestio......... 39
Figura 8 - Nomenclatura para arcos................................................................ 40
Figura 9 -
Regras para a verificação da estabilidade de arcos de Leonardo
da Vinci.......................................................................................... 41
Figura 10 - Mecanismo de colapso de La Hire e Belidor................................. 42
Figura 11 - Linha de pressão segundo Timoshenko......................................... 43
Figura 12 - Ponte dos Arcos, Conservatória, Rio de Janeiro – Brasil.............. 44
Figura 13 -
Ponte dos Arcos sobre o rio Vez, Parque Nacional da Peneda-
Gerês – Portugal............................................................................ 45
Figura 14 -
Estrutura em arcos parabólicos (Bodega de Ribera de Duero –
Espanha)......................................................................................... 45
Figura 15 - Ponte em arco parabólico (New Brunswick – Canadá) ................. 46
Figura 16 - Catedral de Notre Dame, Paris – França........................................ 47
Figura 17 -
Ponte em arco gótico (Ponte de D. Goimil. Matosinhos, Porto –
Portugal)......................................................................................... 48
Figura 18 - Esquemas de arcos quanto à sua estabilidade................................ 49
Figura 19 - Arco Paisagem, Parque Nacional dos Arcos, Utah, EUA............. 50
Figura 20 - Representação natural de uma ponte em viga ................................ 50
Figura 21 - Divisões estruturais de uma ponte................................................. 51
Figura 22 - Ponte de madeira em viga simples, Mafra – SC............................ 53
Figura 23 - Ponte de madeira em pórtico sobre rio Chorna Tysa, Ucrânia...... 54
Figura 24 - Ponte Caminho do Mar, Cubatão – SP.......................................... 55
Figura 25 - Esquema de seções de pontes em placas....................................... 56
Figura 26 - Posição do tabuleiro em relação à estrutura de arcos.................... 57
Figura 27 -
Exemplo de ponte em arco com tabuleiro superior - South Prairie
Creek - Buckley, WA..................................................................... 57
Figura 28 -
Exemplo de ponte em arco com tabuleiro inferior - Hopland
Casino Bridge – Califórnia............................................................ 58
Figura 29 -
Exemplo de ponte em arco com tabuleiro intermediário -
Cascade Highlands Bridge. Bend, OR........................................... 59
Figura 30 - Ponte Alves Lima (Ribeirão Claro/PR – Chavantes/SP)............... 60
Figura 31 -
Exemplo de ponte de madeira estaiada (Hiroshima Airport
Bridge - Japão).............................................................................. 61
Figura 32 - Disposição dos carregamentos em planta...................................... 67
Figura 33 - Veículos tipo.................................................................................. 69
Figura 34 - Vento sobre veículo....................................................................... 70
Figura 35 - Viga isostática biapoiada submetida a carregamento unitário....... 91
Figura 36 - LI da reação do apoio A................................................................. 92
Figura 37 - LI da reação do apoio B................................................................. 92
Figura 38 - LI da força cortante para viga isostática biapoiada........................ 93
Figura 39 - LI do momento fletor para viga isostática biapoiada..................... 94
Figura 40 - Arco triarticulado AGB e viga de substituição.............................. 95
Figura 41 - Obtenção do ângulo φ.................................................................... 97
Figura 42 - Linhas de Influência parciais da Linha de Influência de MS......... 98
Figura 43 - Linhas de Influências de um arco triarticulado.............................. 99
Figura 44 - Arco triarticulado nivelado............................................................ 100
Figura 45 - Esquema de uma ponte em arco com tabuleiro superior............... 102
Figura 46 - LI de VA do arco para carregamento direto................................... 102
Figura 47 - LI de VA para carregamento indireto............................................. 103
Figura 48 - LI de H para carregamento indireto............................................... 104
Figura 49 - LI de MS para carregamento indireto............................................. 105
Figura 50 -
Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada -
Hopland Casino Bridge – Califórnia............................................... 106
Figura 51 -
Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada
Hopland Casino Bridge – Califórnia............................................... 107
Figura 52 -
Detalhes da rótula do fecho da Steinhart Park Road, Nebraska
City, EUA....................................................................................... 107
Figura 53 - Contraventamento da Tynset Bridge.............................................. 108
Figura 54 - Ponte sobre o Rio Claro.................................................. .............. 109
Figura 55 - Planta baixa da Ponte a ser dimensionada..................................... 111
Figura 56 - Vista lateral da Ponte a ser dimensionada...................................... 112
Figura 57 - Corte transversal da ponte a ser dimensionada.............................. 113
Figura 58 - Corte transversal da ponte em estudo evidenciando o tabuleiro..... 115
Figura 59 - Vista superior do tabuleiro da Ponte............................................... 116
Figura 60 - Carregamento permanente do tabuleiro.......................................... 118
Figura 61 - Carregamento variável do tabuleiro................................................ 119
Figura 62 - Vista lateral da ponte em estudo..................................................... 122
Figura 63 - Longarinas principais e secundárias............................................... 123
Figura 64 - Carregamento permanente das longarinas principais..................... 125
Figura 65 - Veículo no eixo dos rodeiros.......................................................... 126
Figura 66 -
Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas
principais.................................................. ...................................... 127
Figura 67 - Trem-tipo para as longarinas principais.......................................... 128
Figura 68 - Carregamento variável para o cálculo das longarinas principais.... 129
Figura 69 -
Volume de madeira sobre a área de influência da longarina da
extremidade.................................................. .................................. 132
Figura 70 - Carregamento permanente das longarinas secundárias................... 134
Figura 71 - Veículo tipo fora do eixo dos rodeiros........................................... 135
Figura 72 -
Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas
secundárias.................................................. ................................... 136
Figura 73 - Trem-tipo para o cálculo das longarinas secundárias..................... 137
Figura 74 - Carregamento variável para o cálculo das longarinas secundárias 138
Figura 75 - Corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas... 141
Figura 76 - Conjunto tabuleiro/longarina da extremidade................................. 144
Figura 77 - Conjunto tabuleiro/longarina do centro da ponte........................... 144
Figura 78 - Conjunto rodeiro/tabuleiro/longarinas principais.......................... 145
Figura 79 - Carregamento permanente das transversinas................................. 146
Figura 80 -
Carregamentos para determinação do trem-tipo para as
transversinas.................................................. ................................ 147
Figura 81 - Trem-tipo para o cálculo das transversinas..................................... 148
Figura 82 - Carregamento da LI de V das transversinas.................................. 149
Figura 83 -
Carregamento da LI de M para o cálculo do momento fletor
máximo.................................................. ....................................... 151
Figura 84 - Carregamento para o cálculo da flecha máxima na transversina... 153
Figura 85 - Diagrama de momento fletor para carregamento permanente....... 154
Figura 86 - Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha no
centro.................................................. ........................................... 154
Figura 87 - Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha na
extremidade.................................................. ................................. 155
Figura 88 - Carregamento para cálculo da flecha no vão central..................... 156
Figura 89 - Carregamento indireto para cálculo da flecha no vão central........ 156
Figura 90 - Carregamento para cálculo da flecha no vão central..................... 157
Figura 91 - LI para o cálculo das deformações nas extremidades.................... 157
Figura 92 - Carregamento para cálculo das deformações nas extremidades.... 158
Figura 93 - Diagrama de M para carregamento variável.................................. 158
Figura 94 - Carregamento para obtenção de ̅................................................. 158
Figura 95 - Diagrama de ̅ para o carregamento variável................................ 159
Figura 96 - Vista lateral evidenciando os pilares da ponte............................... 162
Figura 97 - Posicionamento dos pilares em relação aos arcos.......................... 163
Figura 98 -
Carregamento permanente dos pilares proveniente das
transversinas.................................................. ................................ 165
Figura 99 - Carregamentos para determinação do trem-tipo dos pilares.......... 166
Figura 100 - Arcos triarticulados da ponte em estudo........................................ 169
Figura 101 - Características geométricas do arco............................................... 170
Figura 102 - Carregamento permanente dos arcos.............................................. 173
Figura 103 - Carregamento permanente dos arcos.............................................. 175
Figura 104 - Carregamentos para determinação do trem-tipo para os arcos....... 176
Figura 105 - Trem-tipo para o cálculo dos arcos................................................ 177
Figura 106 - LI de H do arco.................................................. ........................... 179
Figura 107 - LI de V da seção com maior força cortante atuante (apoio).......... 181
Figura 108 - Envoltório de força cortante do arco.............................................. 183
Figura 109 - LI de VA e LI de H do arco............................................................ 184
Figura 110 - LI de N da seção com maior força normal atuante (apoio)............ 185
Figura 111 - Envoltório de força normal do arco................................................ 187
Figura 112 - LI da seção com maior momento fletor atuante.............................. 188
Figura 113 - Envoltório de momento fletor do arco............................................ 190
Figura 114 - Forças atuantes nas rótulas de apoio dos arcos............................... 193
Figura 115 - Seções cisalhadas do pino da rótula................................................ 194
Figura 116 -
Detalhamento dos parafusos da chapa de ligação do arco com a
rótula.................................................. ........................................... 195
Figura 117 - Espaçamento entre furos da chapa da rótula.................................. 196
Figura 118 - Modalidades de ruptura de uma ligação com conectores............... 197
Figura 119 - Arcos da Ponte Big Wood River, Idaho – EUA............................ 199
Figura 120 - Modelo de contraventamento sugerido para os arcos.................... 200
Figura 121 - Vista lateral evidenciando o contraventamento dos pilares........... 200
Figura 122 - LI de V no apoio.................................................. .......................... 209
Figura 123 - LI de V da seção 1.......................................................................... 211
Figura 124 - LI de V da seção 2.................................................. ....................... 213
Figura 125 - LI de V da seção 3.................................................. ....................... 215
Figura 126 - LI de V da seção 4.................................................. ....................... 217
Figura 127 - LI de V da seção 5.................................................. ....................... 219
Figura 128 - LI de V da seção 6.................................................. ....................... 221
Figura 129 - LI de V da seção 7.................................................. ....................... 223
Figura 130 - LI de V da seção 8.................................................. ....................... 225
Figura 131 - LI de V da seção 9.................................................. ....................... 227
Figura 132 - LI de V da seção 10.................................................. ..................... 229
Figura 133 - LI de VA e LI de H......................................................................... 231
Figura 134 - LI de N no apoio.................................................. .......................... 232
Figura 135 - LI de V da seção 1 e LI de H.......................................................... 234
Figura 136 - LI de N na seção 1.................................................. ....................... 235
Figura 137 - LI de V da seção 2 e LI de H.......................................................... 237
Figura 138 - LI de N na seção 2.................................................. ....................... 238
Figura 139 - LI de V da seção 3 e LI de H.......................................................... 240
Figura 140 - LI de N na seção 3.................................................. ....................... 241
Figura 141 - LI de V da seção 4 e LI de H.......................................................... 243
Figura 142 - LI de N na seção 4.................................................. ....................... 244
Figura 143 - LI de V da seção 5 e LI de H.......................................................... 246
Figura 144 - LI de N na seção 5.................................................. ....................... 247
Figura 145 - LI de V da seção 6 e LI de H.......................................................... 249
Figura 146 - LI de N na seção 6.................................................. ....................... 250
Figura 147 - LI de V da seção 7 e LI de H.......................................................... 252
Figura 148 - LI de N na seção 7.................................................. ....................... 253
Figura 149 - LI de V da seção 8 e LI de H.......................................................... 255
Figura 150 - LI de N na seção 8.......................................................................... 256
Figura 151 - LI de V da seção 9 e LI de H.......................................................... 258
Figura 152 - LI de N na seção 9.......................................................................... 259
Figura 153 - LI de V da seção 10 e LI de H........................................................ 261
Figura 154 - LI de N na seção 10........................................................................ 262
Figura 155 - LI de M da seção 1.......................................................................... 264
Figura 156 - LI de M da seção 2.......................................................................... 266
Figura 157 - LI de M da seção 3.......................................................................... 268
Figura 158 - LI de M da seção 4.......................................................................... 270
Figura 159 - LI de M da seção 5.......................................................................... 273
Figura 160 - LI de M da seção 6.......................................................................... 275
Figura 161 - LI de M da seção 7.......................................................................... 278
Figura 162 - LI de M da seção 8.......................................................................... 280
Figura 163 - LI de M da seção 9.......................................................................... 282
Figura 164 - Peça de madeira submetida à compressão perpendicular às fibras 290
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Pesos específicos dos materiais...................................................... 65
Tabela 2 - Cargas móveis nas pontes............................................................... 67
Tabela 3 - Característica dos veículos.............................................................. 68
Tabela 4 -
Valores de k em função do ângulo de incidência do movimento
das águas......................................................................................... 71
Tabela 5 - Definição de classes de carregamento............................................ 75
Tabela 6 - Ações permanentes diretas consideradas separadamente............... 83
Tabela 7 - Ações permanentes diretas consideradas em conjunto................... 84
Tabela 8 - Ações variáveis consideradas separadamente................................. 85
Tabela 9 - Ações variáveis consideradas em conjunto..................................... 86
Tabela 10 -
Valores dos fatores de combinação (ψ0) e de redução (ψ1 e ψ2)
para as ações variáveis.................................................................... 87
Tabela 11 - Ordenadas da LI de V das transversinas......................................... 150
Tabela 12 - Comprimento dos pilares................................................................ 163
Tabela 13 - Ordenadas para cálculo da força horizontal.................................... 179
Tabela 14 - Áreas para cálculo da força horizontal H........................................ 180
Tabela 15 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 1............................... 181
Tabela 16 - Áreas para cálculo do momento fletor no apoio............................. 182
Tabela 17 - Ordenadas de LI de VA e LI de H................................................... 184
Tabela 18 - Características geométricas do arco no apoio................................. 185
Tabela 19 - Ordenadas de LI de N no apoio...................................................... 185
Tabela 20 - Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios....................... 186
Tabela 21 - Áreas para cálculo da força normal nos apoios.............................. 186
Tabela 22 - Ordenadas da LI de M da seção 5................................................... 189
Tabela 23 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 5.......................... 189
Tabela 24 - Ordenadas para cálculo da cortante no apoio................................. 210
Tabela 25 - Áreas para cálculo da cortante no apoio......................................... 210
Tabela 26 - Força cortante característica no apoio............................................. 210
Tabela 27 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 1............................... 212
Tabela 28 - Áreas para cálculo da cortante na seção 1...................................... 212
Tabela 29 - Força cortante característica da seção 1.......................................... 212
Tabela 30 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 2............................... 214
Tabela 31 - Áreas para cálculo da cortante na seção 2...................................... 214
Tabela 32 - Força cortante característica da seção 2.......................................... 214
Tabela 33 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 3............................... 216
Tabela 34 - Áreas para cálculo da cortante na seção 3...................................... 216
Tabela 35 - Força cortante característica da seção 3.......................................... 216
Tabela 36 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 4............................... 218
Tabela 37 - Áreas para cálculo da cortante na seção 4...................................... 218
Tabela 38 - Força cortante característica da seção 4.......................................... 218
Tabela 39 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 5............................... 220
Tabela 40 - Áreas para cálculo da cortante na seção 5...................................... 220
Tabela 41 - Força cortante característica da seção 5.......................................... 220
Tabela 42 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 6............................... 222
Tabela 43 - Áreas para cálculo da cortante na seção 6...................................... 222
Tabela 44 - Força cortante característica da seção 6.......................................... 222
Tabela 45 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 7............................... 224
Tabela 46 - Áreas para cálculo da cortante na seção 7...................................... 224
Tabela 47 - Força cortante característica da seção 7.......................................... 224
Tabela 48 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 8............................... 226
Tabela 49 - Áreas para cálculo da cortante na seção 8...................................... 226
Tabela 50 - Força cortante característica da seção 8.......................................... 226
Tabela 51 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 9............................... 228
Tabela 52 - Áreas para cálculo da cortante na seção 9...................................... 228
Tabela 53 - Força cortante característica da seção 9.......................................... 228
Tabela 54 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 10............................. 230
Tabela 55 - Áreas para cálculo da cortante na seção 10.................................... 230
Tabela 56 - Força cortante característica da seção 10........................................ 230
Tabela 57 - Ordenadas de LI de VA e LI de H................................................... 231
Tabela 58 - Características geométricas do arco no apoio................................. 232
Tabela 59 - Ordenadas de LI de N no apoio................................... .................. 232
Tabela 60 - Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios....................... 233
Tabela 61 - Áreas para cálculo da força normal nos apoios.............................. 233
Tabela 62 - Força normal característica nos apoios........................................... 233
Tabela 63 - Ordenadas de LI de V na seção 1 e LI de H................................... 234
Tabela 64 - Características geométricas do arco na seção 1.............................. 234
Tabela 65 - Ordenadas de LI de N na seção 1.................................................... 235
Tabela 66 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 1....................... 235
Tabela 67 - Áreas para cálculo da força normal da seção 1............................... 236
Tabela 68 - Força normal característica da seção 1........................................... 236
Tabela 69 - Ordenadas de LI de V na seção 2 e LI de H................................... 237
Tabela 70 - Características geométricas do arco na seção 2.............................. 238
Tabela 71 - Ordenadas de LI de N na seção 2.................................................... 238
Tabela 72 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 2....................... 239
Tabela 73 - Áreas para cálculo da força normal da seção 2............................... 239
Tabela 74 - Força normal característica da seção 2........................................... 239
Tabela 75 - Ordenadas de LI de V na seção 3 e LI de H................................... 240
Tabela 76 - Características geométricas do arco na seção 3.............................. 241
Tabela 77 - Ordenadas de LI de N na seção 3.................................................... 241
Tabela 78 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 3....................... 242
Tabela 79 - Áreas para cálculo da força normal da seção 3............................... 242
Tabela 80 - Força normal característica da seção 3........................................... 242
Tabela 81 - Ordenadas de LI de V na seção 4 e LI de H................................... 243
Tabela 82 - Características geométricas do arco na seção 4.............................. 244
Tabela 83 - Ordenadas de LI de N na seção 4.................................................... 244
Tabela 84 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 4....................... 245
Tabela 85 - Áreas para cálculo da força normal da seção 4............................... 245
Tabela 86 - Força normal característica da seção 4........................................... 245
Tabela 87 - Ordenadas de LI de V na seção 5 e LI de H................................... 246
Tabela 88 - Características geométricas do arco na seção 5.............................. 247
Tabela 89 - Ordenadas de LI de N na seção 5.................................................... 247
Tabela 90 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 5....................... 248
Tabela 91 - Áreas para cálculo da força normal da seção 5............................... 248
Tabela 92 - Força normal característica da seção 5........................................... 248
Tabela 93 - Ordenadas de LI de V na seção 6 e LI de H................................... 249
Tabela 94 - Características geométricas do arco na seção 6.............................. 250
Tabela 95 - Ordenadas de LI de N na seção 6.................................................... 250
Tabela 96 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 6....................... 251
Tabela 97 - Áreas para cálculo da força normal da seção 6............................... 251
Tabela 98 - Força normal característica da seção 6........................................... 251
Tabela 99 - Ordenadas de LI de V na seção 7 e LI de H................................... 252
Tabela 100 - Características geométricas do arco na seção 7.............................. 253
Tabela 101 - Ordenadas de LI de N na seção 7.................................................... 253
Tabela 102 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 7....................... 254
Tabela 103 - Áreas para cálculo da força normal da seção 7............................... 254
Tabela 104 - Força normal característica da seção 7........................................... 254
Tabela 105 - Ordenadas de LI de V na seção 8 e LI de H................................... 255
Tabela 106 - Características geométricas do arco na seção 8.............................. 256
Tabela 107 - Ordenadas de LI de N na seção 8.................................................... 256
Tabela 108 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 8....................... 257
Tabela 109 - Áreas para cálculo da força normal da seção 8............................... 257
Tabela 110 - Força normal característica da seção 8........................................... 257
Tabela 111 - Ordenadas de LI de V na seção 9 e LI de H................................... 258
Tabela 112 - Características geométricas do arco na seção 9.............................. 259
Tabela 113 - Ordenadas de LI de N na seção 9.................................................... 259
Tabela 114 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 9....................... 260
Tabela 115 - Áreas para cálculo da força normal da seção 9............................... 260
Tabela 116 - Força normal característica da seção 9........................................... 260
Tabela 117 - Ordenadas de LI de V na seção 10 e LI de H................................. 261
Tabela 118 - Características geométricas do arco na seção 10............................ 262
Tabela 119 - Ordenadas de LI de N na seção 10.................................................. 262
Tabela 120 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 10..................... 263
Tabela 121 - Áreas para cálculo da força normal da seção 10............................. 263
Tabela 122 - Força normal característica da seção 10......................................... 263
Tabela 123 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 1................... 265
Tabela 124 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 1.......................... 265
Tabela 125 - Força cortante característica da seção 1.......................................... 265
Tabela 126 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 2................... 267
Tabela 127 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 2.......................... 267
Tabela 128 - Força cortante característica da seção 2.......................................... 267
Tabela 129 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 3................... 269
Tabela 130 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 3.......................... 269
Tabela 131 - Força cortante característica da seção 3.......................................... 269
Tabela 132 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 4................... 271
Tabela 133 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 4.......................... 271
Tabela 134 - Força cortante característica da seção 4.......................................... 272
Tabela 135 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 5................... 274
Tabela 136 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 5.......................... 274
Tabela 137 - Força cortante característica da seção 5.......................................... 274
Tabela 138 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 6................... 276
Tabela 139 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 6.......................... 276
Tabela 140 - Força cortante característica da seção 6.......................................... 277
Tabela 141 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 7................... 279
Tabela 142 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 7.......................... 279
Tabela 143 - Força cortante característica da seção 7.......................................... 279
Tabela 144 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 8................... 281
Tabela 145 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 8.......................... 281
Tabela 146 - Força cortante característica da seção 8.......................................... 281
Tabela 147 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 9................... 283
Tabela 148 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 9.......................... 283
Tabela 149 - Força cortante característica da seção 9.......................................... 283
Tabela 150 - Definição de classes de carregamento e valores de kmod1............... 285
Tabela 151 - Valores de kmod2.............................................................................. 285
Tabela 152 - Valores dos coeficientes KE............................................................ 288
Tabela 153 - Fator de correção da resistência à compressão perpendicular (n) 291
Tabela 154 - Coeficiente de fluência (ϕ) ............................................................. 293
Tabela 155 - Integrais de produtos de duas funções............................................ 299
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO............................................................................................... 26
1.1 PROBLEMÁTICA..................................................................................... 27
1.2 OBJETIVOS............................................................................................... 28
1.3 JUSTIFICATIVA....................................................................................... 28
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...................................................................... 30
2.1 MADEIRA LAMINADA COLADA......................................................... 30
2.1.1 Histórico........................................................................................... 32
2.1.2 Vantagens e desvantagens da MLC............................................... 33
2.1.3 Colagem........................................................................................... 36
2.2 ETRUTURAS EM ARCOS....................................................................... 37
2.2.1 Classificação dos arcos quanto à forma........................................ 44
2.2.2 Classificação dos arcos quanto à estabilidade.............................. 48
2.3 PONTES.................................................................................................... 49
2.4 PONTES DE MADEIRA........................................................................... 52
2.4.1 Pontes em vigas................................................................................ 52
2.4.2 Pontes em pórticos........................................................................... 53
2.4.3 Pontes em placas.............................................................................. 54
2.4.4 Pontes em arcos............................................................................... 56
2.4.5 Pontes pênseis.................................................................................. 60
2.4.6 Pontes estaiadas............................................................................... 61
2.5 DESCRIÇÕES NORMATIVAS................................................................ 62
2.5.1 Estados limites................................................................................. 62
2.5.1.1 Estados limites últimos......................................................... 62
2.5.1.2 Estados limites de serviço..................................................... 63
2.5.2 Ações em pontes de madeira.......................................................... 64
2.5.2.1 Ações permanentes............................................................... 64
2.5.2.2 Ações variáveis..................................................................... 66
2.5.2.3 Ações Excepcionais.............................................................. 74
2.5.3 Classes de carregamento................................................................. 75
2.5.4 Tipos de carregamento.................................................................... 75
2.5.4.1 Carregamento normal........................................................... 76
2.5.4.2 Carregamento especial.......................................................... 76
2.5.4.3 Carregamento excepcional.................................................... 77
2.5.4.4 Carregamento de construção................................................. 77
2.5.5 Situações de projeto........................................................................ 77
2.5.5.1 Situações duradouras............................................................ 78
2.5.5.2 Situações transitórias............................................................ 78
2.5.5.3 Situações excepcionais......................................................... 78
2.5.6 Combinações de ações em pontes de madeira.............................. 79
2.5.6.1 Combinações últimas............................................................ 79
2.5.6.2 Coeficientes de ponderação para as ações permanentes....... 81
2.5.6.3 Coeficientes de ponderação para as ações variáveis............. 84
2.5.6.4 Valores dos fatores de combinação e de redução................. 86
2.5.6.5 Combinações em estado limite de serviço............................ 88
2.6 LINHAS DE INFLUÊNCIAS.................................................................... 89
2.6.1 Linhas de influencias em vigas biapoiadas................................... 90
2.6.2 Linhas de influências para arcos triarticulados........................... 95
2.6.2.1 Linhas de influências para arcos triarticulados nivelados.... 100
2.6.2.2 Linhas de influências para carregamentos indiretos............. 101
2.7 RÓTULAS.................................................................................................. 105
2.8 CONTRAVENTAMENTO........................................................................ 108
3 MATERIAIS E MÉTODOS.......................................................................... 109
4 DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA SUPERESTRUTURA
DA PONTE......................................................................................................... 115
4.1 DIMENSIONAMENTO DO TABULEIRO.............................................. 115
4.1.1 Características geométricas da peça.............................................. 117
4.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade..... 117
4.1.3 Determinação dos esforços de calculo e flecha de serviço........... 118
4.1.4 Verificação da tensão normal......................................................... 120
4.1.5 Verificação da tensão de cisalhamento.......................................... 120
4.1.6 Verificação da flecha de serviço..................................................... 121
4.2 DIMENSIONAMENTO DAS LONGARINAS........................................ 122
4.2.1 Dimensionamento das longarinas principais................................ 124
4.2.1.1 Características geométricas da peça..................................... 124
4.2.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de
elasticidade efetivo.............................................................. 124
4.2.1.3 Carregamentos e solicitações características........................ 125
4.2.1.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)........ 130
4.2.1.5 Verificações da tensão normal.............................................. 130
4.2.1.6 Verificação da tensão de cisalhamento................................. 131
4.2.1.7 Verificação da flecha de serviço........................................... 131
4.2.2 Dimensionamento das longarinas Secundárias............................ 132
4.2.2.1 Características geométricas da peça..................................... 132
4.2.2.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de
elasticidade.......................................................................... 133
4.2.2.3 Carregamentos e solicitações características....................... 133
4.2.2.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)......... 139
4.2.2.5 Verificações da tensão normal.............................................. 139
4.2.2.6 Verificação da tensão de cisalhamento................................. 140
4.2.2.7 Verificação da flecha de serviço........................................... 140
4.3 DIMENSIONAMENTO DAS TRANSVERSINAS.................................. 141
4.3.1 Características geométricas da peça.............................................. 142
4.3.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade
efetivo............................................................................................... 143
4.3.3 Carregamentos atuantes nas transversinas.................................. 143
4.3.4 Solicitações de cálculo..................................................................... 149
4.3.5 Verificações da tensão normal....................................................... 160
4.3.6 Verificação da tensão de cisalhamento.......................................... 160
4.3.7 Verificação da flecha de serviço..................................................... 160
4.4 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES.................................................. 162
4.4.1 Características geométricas da peça.............................................. 164
4.4.2 Características da madeira............................................................. 164
4.4.3 Carregamentos atuantes nos pilares............................................. 165
4.4.4 Solicitação de cálculo...................................................................... 167
4.4.5 Verificações e conclusões................................................................ 168
4.5 DIMENSIONAMENTO DOS ARCOS..................................................... 169
4.5.1 Características geométricas da peça.............................................. 170
4.5.2 Características da madeira............................................................. 172
4.5.3 Carregamentos atuantes nos arcos................................................ 173
4.5.4 Solicitações de cálculo..................................................................... 178
4.5.4.1 Força horizontal.................................................................... 178
4.5.4.2 Força cortante....................................................................... 180
4.5.4.3 Força Normal........................................................................ 183
4.5.4.4 Momento fletor..................................................................... 187
4.5.5 Verificações e conclusões................................................................ 191
4.5.5.1 Verificação da estabilidade na seção 5 191
5 DIMENSIONAMENTO DAS RÓTULAS .................................................. 193
6 SUGESTÃO DE CONTRAVENTAMENTO.............................................. 199
7 CONCLUSÃO.................................... ........................................ ................... 201
8 BIBLIOGRAFIA................................... ........................................ ...............
APÊNDICE A - Linhas de influências para o cálculo da força cortante..... 209
APÊNDICE B - Linhas de influências para o cálculo da força normal....... 231
APÊNDICE C - Linhas de influências para o cálculo do momento fletor... 264
APÊNDICE D - Resistência de cálculo de madeira serrada de folhosas
não classificadas.................................................................................... 284
APÊNDICE E - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais
submetidos à compressão paralela às fibras........................................... 287
APÊNDICE F - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais
submetidos à compressão normal às fibras............................................ 290
APÊNDICE G - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais
submetidos à flexão simples reta........................................................... 292
APÊNDICE H - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais 294
submetidos à flexocompressão................................................................
APÊNDICE I - Roteiro para cálculo da flecha em determinada posição de
uma viga de seção constante................................................................. 298
ANEXO 1 - Integrais de produtos de duas funções................................ 299
26
1 INTRODUÇÃO
O Brasil é um país com dimensões continentais, são mais de 8,5 milhões de
quilômetros quadrados de área, onde existem de acordo com o Departamento Nacional
de Infra Estrutura de Transportes – DNIT, mais de 1,7 milhões de quilômetros de
rodovias, dos quais apenas 10% são pavimentados, ou seja, são mais de 1,5 milhões de
quilômetros de estradas vicinais. De acordo com Calil Júnior e Góes (2005), estima-se
que 0,5% desse total constituem-se de pontes, assim sendo, tem-se cerca de 860 km de
pontes em estradas pavimentadas e, algo em torno de 7.500 km de pontes em estradas
vicinais no Brasil. Para Calil Júnior et al. (2006) as pontes são de suma importância ao
desenvolvimento dos municípios, do ponto de vista econômico e social, as estradas
devem assegurar a entrada de insumos nas propriedades agrícolas, o escoamento da
produção e o livre deslocamento das populações do meio rural.
Segundo a Secretaria de Estado de Transporte e Pavimentação Urbana do
Estado do Mato Grosso – Sinfra/MT, no Estado do Mato Grosso, 83% das rodovias
são estradas vicinais e mais de duas mil pontes no Estado são de madeira. Entretanto,
nota-se que, ao longo dos anos, processos incorretos de construção e de manutenção
foram empregados nestas estruturas, principalmente pela carência de informações
técnicas. Consequentemente, não foram utilizado todo o potencial da madeira como
elemento estrutural e tão pouco explorado o grande potencial estético desse material e
ainda, na maioria das vezes, a estrutura ficou mais cara do que o necessário. Em
consequência disso, fica no inconsciente da população a ideia equivocada de que a
madeira não é um material durável e muito menos confiável. Porém, já é sabido, que
quando a madeira é empregada de forma correta, com estrutura projetada e executada
por profissionais especializados e empregado os tratamentos preservantes contra
agentes biológicos, a madeira apresenta uma vida útil superior a cinquenta anos.
O lastimável estado em que se encontram as estradas e pontes vicinais, no
Brasil, desestimula a permanência dos indivíduos nas comunidades rurais, visto que
dificulta o trânsito causando desconforto e insegurança aos usuários, além de elevar o
custo do transporte para os produtores e os custos de manutenção para as prefeituras.
27
Em vista disto, faz-se necessário que técnicas corretas da utilização da madeira
em projetos de pontes sejam difundidas em todo país, para que se tenham estruturas
seguras, ecologicamente corretas, economicamente viáveis e esteticamente elogiáveis.
1.1 PROBLEMÁTICA
Pelo fato do Estado do Mato Grosso possuir um índice elevado de estradas
vicinais a grande maioria de suas pontes são de madeira, sendo predominantes as
pontes em vigas para vãos até 7 metros e pontes treliçadas para vãos compreendidos
entre 7 a 16 metros. Contudo, não se faz necessário o estudo em outras tecnologias?
Não se pode usar outra tipologia construtiva, como as pontes em arco? Não é possível
construir esse tipo de ponte com madeira serrada, de dimensões comerciais? E os arcos
de MLC, as dimensões serão inapropriadas para sua fabricação na indústria, que, em
geral, limitam a altura em 1,5m? O cálculo é muito complexo, não pode ser
simplificado?
Os estudos sobre pontes com estrutura em arcos, utilizando a Madeira
Laminada Colada (MLC), como material estrutural ainda carece de avanços em nosso
país. Essa técnica, já bastante utilizada em vários países, ganha destaque não só pela
estética proporcionada por sua estrutura em forma de arcos, que permite que seja
utilizada em zonas rurais e também em centros urbanos; como também pela
possibilidade da utilização de madeira de reflorestamento na composição de suas
peças, e de acordo com a Associação Brasileira de Produtores de Florestas Plantadas –
ABRAF (2011), no Brasil já são mais de 6,5 milhões de hectares de reflorestamento,
distribuídos por todas as cinco regiões do país. Soriano (2001) destaca que a escassez
das espécies de madeiras nativas tem contribuído para o desenvolvimento de pesquisas
e a aplicação de algumas espécies de madeira de reflorestamento, como exemplos o
pinus e o eucalipto.
28
1.2 OBJETIVOS
Este trabalho traz como objetivo geral verificar se o dimensionamento dos
elementos da superestrutura de uma ponte em arco de MLC, com tabuleiro superior,
conduz a seções usuais, tanto de madeira serrada, como de MLC, e se é possível
estabelecer um roteiro para simplificação nos cálculos do dimensionamento das peças
da superestrutura da ponte, considerando os critérios estabelecidos pelo projeto de
revisão da NBR 7190, da ABNT (2011). Para que estes objetivos sejam alcançados, se
faz necessário atender os seguintes objetivos específicos:
Definir um caso típico de ponte em arco de MLC, de vãos não atendidos
pelas tipologias utilizadas em MT, portanto superior a 16 m e com base em uma
situação real;
Dimensionar o tabuleiro, as longarinas, as transversinas e os pilares, todos
de madeira serrada, dessa ponte;
Dimensionar o arco de MLC dessa ponte, construindo as envoltórias de
máximos esforços solicitantes, para fazer o dimensionamento nas posições de
máximos esforços.
1.3 JUSTIFICATIVA
O Brasil ocupa lugar de destaque no cenário internacional pelo enorme
potencial na produção de madeira, não só de florestas nativas como também por área
de reflorestamento. Elemento de fonte renovável e excelente fixador de carbono, a
utilização da madeira é imprescindível para minoração dos impactos ecológicos
provocados por obras civis.
Nesse contexto, a Madeira Laminada Colada (MLC) aparece como excelente
alternativa para execução de estruturas de pontes, pois pode ser executada com
madeira de reflorestamento, de espécies de baixa densidade e qualidade estrutural
inferior, se comparadas com madeiras de alta resistência das florestas nativas do
Brasil. Para Szücs (2006) atualmente, as peças estruturais em MLC são, em sua
29
maioria, produzidas com madeira de floresta plantada, principalmente com a madeira
de Pinus, que é abundante nos países do hemisfério norte, berço da MLC.
A estrutura em forma de arcos em MLC para pontes apresenta a vantagem de
possibilitar a transposição de rios e outros obstáculos em locais cujas características
geográficas dificultam a construção de pilares e, além de eficiente pela excelente
resistência mecânica e com pouco peso, o que diminui o tamanho das fundações, a
estrutura é de rápida execução, possui baixo custo e pode ser uma ótima opção para
locais de difícil acesso e pouca infraestrutura, pois a mesma pode ser construída em
um local com recursos e posteriormente transportada e montada onde se deseja. Dessa
forma, as pontes de madeira com estrutura em arcos atende aos requisitos de
funcionalidade, segurança, economia e estética.
Portanto, as pontes em MLC tornam-se uma ótima alternativa para todas as
regiões brasileiras, em especial ao Centro Oeste e Norte do Brasil, onde existe uma
enorme necessidade de pontes, principalmente em estradas vicinais; pois se apresenta
como alternativa para as regiões alagadas do Pantanal Matogrossense, que possui
grande parte das pontes do tipo “barragem”, de vãos com pequenas dimensões, que
dificultam o fluxo das águas, principalmente no período chuvoso, se fazendo
necessárias soluções que apresentem vãos livres maiores; e também pode suprir a falta
de pedra brita em algumas localidades da região Norte, o que inviabiliza a construção
em concreto.
Dessa forma, a construção de pontes utilizando madeira como material
estrutural justifica-se por ser mais econômico, por ser um material abundante, por ser
renovável, ecologicamente correto, de baixo consumo energético, de excelente
resistente mecânica, de boa durabilidade, fácil manuseio e permite o seu transporte
com relativa facilidade.
30
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 MADEIRA LAMINADA COLADA
A Madeira Laminada Colada (MLC) é um produto manufaturado que, como o
próprio nome revela, provém da união de dois processos: a laminação da madeira e a
colagem das laminas. Após a laminação da madeira, é feita uma seleção das laminas a
serem utilizadas, de forma que sejam eliminadas as laminas que apresentarem
imperfeições significativas para a resistência da peça, a seguir as laminas são
colocadas para secagem e, então, as laminas são coladas de forma que as fibras de
todas as laminas na direção longitudinal coincida com o eixo principal da peça. As
peças de MLC podem assumir formas variadas de diversas dimensões, e podem ser
empregadas como pilares, vigas, arcos, pórticos, entre outros.
De acordo com o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), entende-
se por MLC para fins estruturais, peça de madeira, reconstituída em processo
industrializado de fabricação, composta de tábuas de dimensões relativamente
reduzidas se comparadas às dimensões da peça final, coladas umas às outras e
dispostas com as fibras paralelas ao eixo longitudinal da peça final. A Figura 1
apresenta o esquema de fabricação de uma peça de MLC.
Fig. 1: Esquema de fabricação de uma peça em MLC
Fonte: ZANGIÁCOMO (2003).
31
Moody et al. (1999)1 apud Miotto (2009) afirmam que praticamente todas as
espécies de madeira podem ser utilizadas na fabricação da MLC, contanto que as
propriedades físicas e mecânicas sejam apropriadas e que aceitem adequadamente o
processo de colagem.
Terezo e Szücs (2010) declaram que no Brasil, além da produção com Pinus
spp, também são confeccionadas vigas em MLC com madeiras de eucalipto. Ambas
provenientes de florestas plantadas, porém são espécies exóticas que não pertencem à
flora nativa brasileira.
Em estudos realizados por André (2006) fica evidente que a distribuição de
frequências da resistência da MLC tem menor variabilidade e maiores valores médios
e característicos do que no caso da madeira serrada. Isso significa que uma peça de
MLC resiste a cargas mais elevadas que outra peça de madeira serrada feita da mesma
espécie e com as mesmas dimensões, ou que para a mesma carga, menos madeira será
necessário se a tecnologia MLC for utilizada. A Figura 2 ilustra as diferenças citadas
acima.
Figura 2: Comparação das distribuições de frequências da resistência da MLC e da madeira
serrada
Fonte: ANDRÉ (2006).
___________________________________ 1
MOODY, R.G. et al. Glued structural members. In: Wood Handbook – Wood as an
engineering material. Madison: Forest Products Laboratory, 1999. Gen. Tech. Rep. FLP –
GTR – 113, Chapter 11, 24p.
32
O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), sugere que no processo
de fabricação da MLC:
Deve-se evitar a composição com espécies diferentes, ou que apresentem
diferentes coeficientes de retração;
As tábuas empregadas no processo de fabricação de peças de MLC devem
ser tratadas com produtos que garantam durabilidade e proteção biológica,
sem prejuízo à aderência da cola;
No processo de secagem, deve-se procurar a homogeneização do teor de
umidade do lote de tábuas.
Devem ser empregadas peças com densidade aparente (para um teor de
umidade de 12%) entre 0,40 g/cm³ e 0,75 g/cm3. No caso de peças com
densidade superior a 0,75 g/cm3, deve ser feita uma avaliação criteriosa do
comportamento das juntas coladas.
2.1.1 Histórico
A Madeira Laminada Colada (MLC) começou a ser utilizada na Suíça, no final
do século XIX, quando foi desenvolvida a técnica de laminar pequenas peças de
madeira para formar grandes elementos estruturais. A primeira obra em MLC foi um
auditório construído em Basel, na Suíça, em 1893. O método de colagem de lâminas
de madeira ficou conhecido na época por Hertzer System, graças a patente concedida a
Otto Karl Frederich Hertzer. O maior problema existente na época, é que não existiam
colas de boa qualidade, que fossem resistentes a umidades e intempéries, limitando a
utilização da descoberta de Hertzer a ambientes internos. O sistema se propagou pela
Europa a partir de 1913, após o surgimento de colas de melhor qualidade, e começou a
ser utilizado por países nórdicos como Dinamarca, Suécia e Noruega que possuíam
bastante tradição na utilização da madeira. Nos Estados Unidos, um dos primeiros
exemplos da utilização da MLC foi em uma construção do Forest Product Laboratory
em Madison, Wisconsin; construído em 1934, o qual foi projetado com base nos
princípios de engenharia para sistema de arcos (SMULSKI, 19972 apud TELES,
2009).
33
Segundo Teles (2009) a Esmara Estruturas de Madeira Ltda., fundada em
Curitiba – PR em 1934 com tecnologia alemã foi a primeira empresa brasileira a
trabalhar com confecção de MLC. Outra empresa de mesmo nome foi fundada no ano
de 1954 em Porto Alegre – RS e, no ano de 1984, mudou seu parque industrial para
Viamão – RS, onde ainda mantém suas atividades.
Além da Esmara, somente mais duas indústrias de MLC atuam no Brasil: a
Battistella Indústria e Comércio Ltda., situada em Lages-SC, atuando no setor há mais
de 40 anos e recentemente, a Rewood Indústria Madeireira Ltda., criada em Taboão da
Serra – SP, em 2008.
Outras indústrias de MLC foram criadas no Brasil, mas não estão mais em
funcionamento, são elas: a Premon, fundada em Curitiba – PR, em 1977; a Emadel
Estruturas de Madeira Ltda., fundada em Araucária – PR, em 1981; a Laminarco
Madeira Industrial Ltda., fundada na década de 60 em São Paulo – SP (ESPÓSITO,
2007).
2.1.2 Vantagens e desvantagens da MLC
A MLC apresenta vantagens significativas em sua utilização, pois é um
material pensado para manter e até melhorar as qualidades da madeira serrada,
diminuindo os problemas inerentes às suas imperfeições. Isso se torna possível porque
no processo de fabricação é realizada uma seleção das lâminas a serem utilizadas,
eliminando lâminas que apresentarem imperfeições como nós, fissuras, arqueamento,
entre outros, e as tábuas que comporão as lâminas deverão passar ainda por uma
classificação visual seguida de uma classificação pelo módulo de elasticidade.
Outra vantagem marcante na utilização da MLC é a grande liberdade
arquitetônica de projeto, sendo possível a criação de peças de grandes dimensões, com
seções transversais maiores que aquelas comumente encontradas em madeira serrada,
formas variadas e ainda aplicação de contra flechas, que seriam impossíveis com a
madeira serrada. A Figura 3 ilustra os arcos da Ponte Tioga, em Oregon – EUA,
construída em MLC.
34
Figura 3: Arcos da Ponte Tioga, Oregon – EUA
Fonte: http://westernwoodstructures.blogspot.com.br/
Carvalho (2008) ressalta que os elementos estruturais podem ser projetados
com uma secção transversal de geometria variável, adaptando-se as exigências das
condições de serviço em termos de resistência e rigidez. Na Figura 4 são dados alguns
exemplos desta característica da MLC. Como se apresenta, é possível ter seções
transversais maiores nas zonas de maiores solicitações. Deste modo, é possível, com
um projeto bem concebido, usar menos material para situações semelhantes e ao
mesmo tempo ter mais possibilidades arquitetônicas.
Figura 4 – Vistas laterais de vigas de MLC
Fonte: USDA (1999).
35
O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), faz algumas ressalvas
nas formas e dimensões das lâminas a serem utilizadas nas composições das peças. Na
composição longitudinal das lâminas, cada tábua deverá ter comprimento superior a
100 cm e espessura que permita uma dimensão máxima de 5 cm quando do
acabamento final da lâmina. Deve-se observar ainda que a área da seção transversal de
cada lâmina não exceda 60 cm2, para madeira de densidade igual ou inferior a
0,50_g/cm
3, ou 40 cm
2, para madeira de densidade superior a 0,50 g/cm
3, evitando-se
nos dois casos, largura final superior a 20 cm. Em nenhuma hipótese, a espessura final
de cada lâmina deverá exceder 5 cm. No caso de peças curvas, a espessura final de
cada lâmina deverá atender também ao limite máximo de L/150 do raio de curvatura
da face interna da lâmina, para o caso de madeiras com densidade aparente até
0,50_g/cm
3 e L/200, para o caso de madeiras com densidade aparente superior.
Henriques (2005) destaca que outra vantagem da MLC refere-se à relativa
imunidade ao ataque de xilófagos em grande parte devido às colas empregadas, que
são normalmente possuidoras de toxinas. Além disso, a devida impregnação de
produtos preservativos faz parte da sua tecnologia. Ressalta também que a MLC,
assim como a madeira “in natura”, é o material estrutural mais apropriado para
ambientes quimicamente agressivos, como indústrias químicas ou laboratórios, uma
vez que não sofre qualquer corrosão ou oxidação. É também imune às ações dos
cloretos da água do mar e à ação do cloro das piscinas, razão pela qual a sua larga
utilização em coberturas nesse tipo de obra.
Com relação a tratamentos contra agentes biológicos, o projeto de revisão da
NBR 7190, da ABNT (2011), específica que as tábuas empregadas no processo de
fabricação de peças de MLC devem ser tratadas com produtos que garantam
durabilidade e proteção biológica, sem prejuízo à aderência da cola. O tratamento
preservante também pode ser realizado após a fabricação das peças de MLC, desde
que não provoque alterações nas juntas coladas.
Pfeil e Pfeil (2003) afirmam que a MLC permite melhor controle de umidade
das lâminas, reduzindo defeitos provenientes da secagem irregular. Pois, em
decorrência do processo de colagem, se faz necessário que as lâminas estejam secas.
O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), recomenda que no
processo de secagem, deve-se procurar a homogeneização do teor de umidade do lote
de tábuas, visando evitar a ocorrência de defeitos prejudiciais à colagem. O processo
36
de composição das peças deve iniciar no menor tempo possível, após a secagem e
estabilização do teor de umidade do lote a ser utilizado. No momento da colagem, as
tábuas empregadas no processo de fabricação da MLC deverão estar secas, com no
máximo 18% de teor de umidade, não sendo permitida variação superior a 5% no teor
de umidade, entre lâminas adjacentes.
Zangiácomo (2003) ressalta a baixa relação peso/resistência, não exigindo
equipamentos possantes para içamento, bem como conduzindo a fundações com ações
de menores intensidades e o bom desempenho sob a ação do fogo, em razão de seções
transversais avantajadas e a elevada resistência aos agentes corrosivos.
As principais desvantagens da MLC esbarram no processo de fabricação das
peças, o qual é mais oneroso e demorado, necessitando de equipamentos especiais para
a montagem, colagem, treinamento de funcionários, utilização de adesivos para a
consolidação das peças e a modificação da planta da fábrica, os quais não são
necessários para a produção de madeira serrada. Outro fator importante é o transporte
das peças, que por possuírem dimensões especiais, dificultam a locomoção (USDA,
1999).
Outro fator prejudicial para a difusão da MLC no Brasil é o alto custo do
produto, que está na ordem de U$2.000,00/m³ (dois mil dólares por metro cúbico),
enquanto a madeira serrada de boa qualidade e alta resistência mecânica está na ordem
de U$500,00/m³ (quinhentos dólares por metro cúbico). A termos de comparação, a
MLC no Chile custa U$750,00/m³ (setecentos e cinquenta dólares por metro cúbico) e,
nos Estados Unidos e Canadá na ordem de U$1000,00/m³ (mil dólares por metro
cúbico).
2.1.3 Colagem
Para os autores do projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), os
adesivos empregados nas emendas de continuidade e na fabricação das peças
estruturais de MLC, devem ser estruturais e apresentar propriedades compatíveis às
condições ambientais a que os elementos estruturais estarão submetidos durante toda a
sua vida útil. A quantidade de adesivo e os demais parâmetros de colagem devem
37
seguir as recomendações dos fabricantes do adesivo, recomendando-se a comprovação
experimental tanto para as emendas dentadas como para os elementos estruturais
fabricados. Na ausência de recomendação do fabricante da cola, deve-se observar que
na colagem das peças de MLC a junta de cola entre lâminas deverá receber uma
pressão mínima de 0,7 MPa, para madeiras de densidade inferior ou igual a 0,5 g/cm3
e de 1,2 MPa, para madeiras de densidade superior a 0,5 g/cm3.
O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), dispõe que a
continuidade de cada lâmina deverá ser assegurada pela união longitudinal entre as
tábuas que as compõem. Essa união deverá ser realizada por colagem de entalhes
múltiplos usinados nas extremidades de tábuas consecutivas. As emendas dentadas
poderão ser usinadas verticalmente ou horizontalmente, conforme ilustra a Figura 5.
Figura 5: Tipos de usinagem das emendas dentadas
Usinagem horizontal Usinagem vertical
No caso dessa união ser realizada por emendas biseladas ou similar, a sua
eficiência deverá ser atestada por ensaio mecânico em laboratório idôneo. As emendas
de topo não deverão ser empregadas no processo de fabricação de peças estruturais de
MLC.
2.2 ESTRUTURAS EM ARCOS
De acordo com Silva e Souto (2000) apud Nunes (2009) as obras estruturais se
destinam a quatro funções fundamentais: abrigo, tráfego, condução e contenção. A
função de abrigo diz respeito a delimitar, cobrir ou proteger um espaço. As estruturas
destinadas ao tráfego são aquelas que visam facilitar a circulação de pessoas, animais,
veículos e materiais, como as estradas e ferrovias, incluindo pontes, viadutos e túneis.
A função de condução diz respeito à condução de líquidos (canais e tubos) ou gases
38
(dutos e chaminés), enquanto a função de contenção diz respeito à contenção e
armazenamento das mais diversas substâncias, por meio de reservatórios, silos,
barragens, arrimos, escoras, etc. Ao longo da história, o arco tem sido utilizado em
estruturas destinadas a todas essas funções, em diferentes formas e combinações.
Os arcos, há tempos exercem fascínio sobre os povos. Grandes obras foram
erguidas no mundo em forma de arcos, para simbolizar poder e desígnios imperiais.
Muitas dessas obras que utilizam o arco como elemento estrutural, construídas há
centenas e até milhares de anos, ainda são visitados e contemplados pela sociedade
moderna. Entre essas obras, são exemplos: o Coliseu em Roma, inaugurado em 80
d.C.; o Arco do Triunfo em Paris, construído em 1806, para comemorar as vitórias de
Napoleão Bonaparte; os arcos da Lapa, no Rio de Janeiro, inaugurado em 1723; entre
inúmeras outras. Ilustra-se na Figura 6 a velha Rua dos Arcos e sua arcada dupla
aberta ainda no século XIX e fechada na primeira metade dos anos 60, no bairro da
Lapa, na cidade do Rio de Janeiro.
Figura 6: Rua dos arcos, Lapa, Rio de Janeiro.
Fonte: http://www.rioquepassou.com.br
De acordo com Antunes (2010) os primeiros a utilizar essa técnica foram os
etruscos, porém foram os romanos que desenvolveram o conhecimento e difundiram o
processo pela Europa, nos territórios que eles conquistaram. Nesse período de
dominação, construíram inúmeras pontes com estrutura em forma de arcos, como
exemplo temos a Ponte de Fabricio (62 a.C.), a ponte de Santo Ângelo (134 d.C.) e a
39
Ponte de Cestio (365 d.C.) que ainda hoje servem a população local, ilustradas na
Figura 7.
Figura 7: (a) Ponte de Fabricio; (b) Ponte de Santo Ângelo; (c) Ponte de Cestio
(a)
(b)
40
(c)
Fonte: http://www.google.com.br/search
Arcos são estruturas que possuem seus eixos em forma curvilínea, onde a parte
central é mais alta que as extremidades. É uma estrutura plana, com carregamento no
mesmo plano e permite escolher a forma do eixo para que seja possível controlar os
esforços de flexão. Na Figura 8 apresenta-se um resumo da nomenclatura utilizada
para os arcos.
Figura 8: Nomenclatura para arcos
Fonte: FREITAS (1978).
Além das nomenclaturas exibidas na Figura 8, também são utilizados os
seguintes termos: corda de um arco, que é a distância entre dois apoios; vão, que é a
projeção horizontal da corda; flecha, que é a distância vertical que vai do fecho a linha
de nascença e é perpendicular a linha do horizonte; o grau de abatimento, que é a
41
relação entre a flecha e o vão; e o coeficiente de audácia, que é a relação entre o vão e
o grau de abatimento.
Segundo Antunes (2010) os primeiros estudos sobre o comportamento
mecânico dos arcos de que se tem conhecimento são de Leonardo Da Vinci e constam
de um conjunto de ensaios experimentais apresentando conceitos que só viriam a ser
desenvolvidos mais tarde. Da Vinci propôs para a verificação da estabilidade que “um
arco não cairá se uma corda que liga os apoios ao fecho não tocar o intradorso do
arco”, um conceito que viria a ser novamente enunciado em 1730 por Couplet. A
Figura 9 ilustra a teoria de Da Vinci.
Figura 9: Regras para a verificação da estabilidade de arcos de Leonardo da Vinci
Fonte: ANTUNES (2010).
Após Da Vinci, no ano 1638, Galileo Galilei desenvolveu as bases da mecânica
estrutural que levaram ao desenvolvimento de condições para a substituição das regras
de dimensionamento empíricas por regras racionais (GAGO, 20042 apud ANTUNES,
2010).
Em 1676, Robert Hooke sem resolver a estática do problema, reconheceu que o
problema do arco poderia ser identificado com o da catenária e estabeleceu que
suspendendo uma corrente metálica se obtivesse a geometria invertida de um arco
equilibrado (O’DWYER, 19993 apud ANTUNES, 2010).
David Gregory, em 1697, determinou a forma da corrente metálica de Hooke
publicando a expressão matemática que a definia afirmando ainda que “quando um
arco se mantém em equilíbrio é porque contém na sua espessura uma catenária”.
Gregory ainda afirmou que “a mesma força que a corrente exerce para dentro é
exercida para fora pelo arco” (GAGO, 20042 apud ANTUNES, 2010).
______________________________ 2 GAGO, A.; 2004; Análise Estrutural de Arcos, Abóbadas e Cúpulas; Dissertação para Obtenção do
Grau de Doutor em Engenharia Civil; IST; Lisboa. 3 O'DWYER, D.; 1999; Funicular analysis of masonry vaults; Computers and Structures, Vol. 73, pp
187-197.
42
No ano 1712, Philippe de La Hire arbitrou pela primeira vez uma forma como
um arco real poderia colapsar, por um mecanismo de cunha deslizante (desprezando o
atrito), onde pela ação do seu peso, a parte superior cairia, deslizando sobre juntas
fraturadas e empurrando os encontros para o exterior, conforme ilustrado na Figura 10.
Figura 10 - Mecanismo de colapso de La Hire e Belidor
Fonte: KURRER (2008)4 apud CANHÃO (2010).
Em 1823, Navier definiu o conceito de núcleo central do arco respondendo ao
problema da distribuição de tensões nas secções de peças lineares, permitindo, poucos
anos mais tarde, em 1830, a formulação de dois novos conceitos, por Méry, que
adotou as teorias de Moseley: linha de pressões e linha de resistência (NUNES, 2009).
Linha de pressões é, segundo Timoshenko, o lugar geométrico das
consecutivas intersecções entre as direções das pressões atuantes nas juntas e a linha
de resistência é o polígono que une os centros de pressões de cada junta (KURRER,
20084 apud CANHÃO, 2010). A Figura 11 ilustra a linha de pressão em um arco de
acordo com Timoshenko.
______________________________ 4 KURRER, K.E (2008). “The history of the theory of structures – from arch analysis to
computational mechanics”. Berlin: Ernest & Sohn.
43
Figura 11: Linha de pressão segundo Timoshenko
Fonte: Antunes (2010).
Para Antunes (2010) a determinação da posição da linha de pressões permite
avaliar a estabilidade da estrutura. A linha de pressões “verdadeira” é de difícil
determinação, contudo, recorrendo à teoria da análise limite, a determinação de
qualquer linha de pressões em equilíbrio com as ações atuantes e inscritas na espessura
do arco indica que essa estrutura estará em equilíbrio, ou seja, caso se encontre
qualquer solução de equilíbrio está provado que a estrutura está em equilíbrio, não
sendo necessário encontrar a solução exata.
Segundo Engel (1981) o arco, assim como o cabo de suspensão, em virtude de
seus esforços apenas por simples compressão ou tração, são, no que se refere à relação
peso/vão, os sistemas mais econômicos de cobrir um espaço.
Para Pinto (2009) o arco é uma estrutura resistente que, graças à sua forma,
vence um determinado vão, através de uma configuração geométrica poligonal ou
curva, que é submetida basicamente a esforços de compressão, evitando esforços de
flexão ou reduzindo-os a valores pouco significativos. Logo, é a estrutura de eleição
para materiais cuja resistência à tração é baixa ou nula, dado que estas se podem evitar
ou reduzir a um mínimo.
De acordo com Rebello (2000) os arcos também apresentam reação horizontal
nos apoios. Quanto maior a flecha, menor o empuxo horizontal e vice-versa, de onde
se conclui que quanto maior a flecha menor é a solicitação do arco. Dessa forma, arcos
abatidos são mais curtos, mas apresentam maior seção transversal; arcos com grande
flecha são mais longos, mas têm seção menor.
44
Os arcos podem ser classificados de acordo com sua forma e também pelo grau
de equilíbrio.
2.2.1 Classificação dos arcos quanto à forma
Os arcos são bastante variados, quanto à forma, sendo os mais comuns: os
semicirculares, elípticos ou em catenárias, parabólicos e góticos:
Arco semicircular: conhecido também como arco romano, é um arco
biapoiado e não é aconselhável para grandes vãos uma vez que a relação entre a
largura e a altura (2 : 1) o torna inviável. Um exemplo de arco semicircular é a Ponte
dos Arcos construída em Conservatória, no Estado do Rio de Janeiro em 1884,
ilustrada na Figura 12.
Figura 12: Ponte dos Arcos, Conservatória, Rio de Janeiro – Brasil
Fonte: http://www.turismovaledocafe.com/2009/10
Arco elíptico: pode ter dois ou mais apoios, tendo condições de ser
utilizado tanto para pequenos vãos (arco elíptico estreito) como para grandes vãos
(arco elíptico largo). Apresenta-se, na Figura 13, a ponte sobre o rio Vez, em Portugal,
construída no Século XIX, com estrutura em arcos elípticos.
45
Figura 13: Ponte dos Arcos sobre o rio Vez, Parque Nacional da Peneda-Gerês – Portugal
Fonte: http://gooaround.blogspot.com.br/2010/03
Arco parabólico: o arco parabólico é um dos mais adequados do ponto
de vista estrutural, pois têm a mesma forma parabólica do diagrama de momentos
fletores o que faz com que as tensões de flexão sejam eliminadas, no caso de forças
uniformemente distribuídas ao longo do vão. Na Figura 14 apresenta-se a Bodega de
Ribera de Duero em Valladolid na Espanha, com o emprego de arcos parabólicos em
madeira laminada colada.
Figura 14: Estrutura em arcos parabólicos (Bodega de Ribera de Duero – Espanha)
a) Vista parcial
46
b) Vista do conjunto
Fonte: http://www.flickr.com/photos
Na Figura 15 apresenta-se a Ponte dos arcos em Nova Brunswick no Canadá,
construída em concreto armado, com estrutura em forma de arcos parabólicos.
Figura 15: Ponte em arco parabólico (New Brunswick – Canadá)
Fonte: http://www.educacional.com.br/reportagens/arquitetura/industrial.asp
Arco gótico: é o arco em forma de ponta ou ogiva, bastante comum nas
grandes catedrais europeias. A razão desta forma de arco é essencialmente religiosa,
pois se acreditava que se houvesse algo apontando para Deus (a ponta ou ogiva)
conseguir-se-ia atingi-lo mais facilmente. A Catedral de Notre Dame em Paris,
47
apresentada na Figura 16 é um exemplo de construção com arcos góticos em toda
fachada principal.
Figura 16: Catedral de Notre Dame, Paris – França
Fonte: http://megaconstrucciones.net/?construccion=catedral-notre-dame-paris
A utilização dos arcos góticos não ficou limitada apenas às Igrejas, também
foram também utilizados na construção de pontes, sendo mais comuns em pedras ou
aço. Apresenta-se na Figura 17 a Ponte de pedras Dom Goimil em Portugal, construída
em forma de arco gótico.
48
Figura 17: Ponte em arco gótico (Ponte de D. Goimil. Matosinhos, Porto – Portugal)
Fonte: http://www.panoramio.com/photo
2.2.2 Classificação dos arcos quanto à estabilidade
Com relação à estabilidade de um arco, ele pode ser classificado em isostático
e hiperestático. Os arcos isostáticos possuem dois apoios fixos com uma articulação
entre eles (rótula) e também são chamados de arcos triarticulados.
Os arcos hiperestáticos podem ser:
1. Biengastado: é vinculado com engastes nas extremidades e é três vezes
hiperestático.
2. Biarticulado: É vinculado com apoios fixos nas extremidades, e é uma vez
hiperestático.
3. Atirantado: possui um apoio fixo e um apoio móvel, conectados por uma barra
tracionada denominada tirante. O arco atirantado é uma vez hiperestático.
A Figura 18 apresenta os esquemas de arcos classificados quanto à sua
estabilidade.
49
Figura 18: Esquemas de arcos quanto à sua estabilidade.
Fonte: ARRUDA SERRA (s/d).
Os arcos que possuem mais de três articulações são classificados como
hipostáticos, sendo assim, não podem ser utilizados.
2.3 PONTES
Para Logsdon (1982) as pontes primitivas são obras da própria natureza. O
tronco caído, o arco formado pela erosão, o galho de árvore cruzando o riacho e a
placa de gelo formada sobre o lago (equivalentes naturais às pontes em viga, em arco,
pênsil e em placa) são exemplos disto. A Figura 19 ilustra uma ponte primitiva
formada por erosão citada por Logsdon.
50
Figura 19: Arco Paisagem, Parque Nacional dos Arcos, Utah, EUA
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki
Logsdon (1982) afirma também que antes da descoberta dos metais (5.000
a.C.), imitando a natureza, o homem havia aprendido a construir pontes em viga,
jogando troncos de árvore ligando as margens do rio (Figura 20), e pontes suspensas
(uma variação de pontes pênseis), representadas por uma corda sustentando uma cesta
na qual o passageiro era transportado.
Figura 20: Representação natural de uma ponte em viga
Fonte: skyscrapercity.com
A NBR 7188, da ABNT (1984), define ponte como toda e qualquer estrutura
destinada a permitir a transposição de um obstáculo, natural ou artificial.
51
Para Freitas (1978) "ponte" é uma obra destinada a manter a continuidade de
uma via de comunicação qualquer vencendo um obstáculo natural ou artificial, com a
característica de não interromper totalmente esse obstáculo.
Para Soriano e Mascia (2008), as pontes podem ser definidas como obras de
arte destinadas à transposição de obstáculos naturais ou não, visando à locomoção de
veículos diversos e pedestres com segurança e conforto.
As pontes, em sua grande maioria, ficam marcadas na memória de uma
sociedade, pois são responsáveis pelo desenvolvimento financeiro, social e até mesmo
cultural de uma região. As pontes integram cidades, facilitam o escoamento de
produção, são indispensáveis em planos de mobilidade urbana, são consideradas obras
de artes, viram pontos turísticos e cartão postal de cidades. Indubitavelmente, uma
ponte entra para a história de um povo.
De acordo com Freitas (1978) as pontes podem ser classificadas segundo o seu
comprimento, a sua duração de utilização, a natureza do trafego, o material da
superestrutura, o desenvolvimento planimétrico, o desenvolvimento altimétrico, o tipo
estático da superestrutura, o sistema estrutural da superestrutura, a posição do
tabuleiro, a mobilidade do tramo, o tipo construtivo da superestrutura e o tipo da
secção transversal.
Estruturalmente as pontes podem ser divididas em três partes principais: a
infraestrutura, a mesoestrutura e a superestrutura. A infraestrutura é a parte com a
função de transmitir ao terreno os esforços provenientes da mesoestrutura e é
composta pelas fundações. A mesoestrutura recebe os esforços da superestrutura
transmitindo-os para a infraestrutura, sendo normalmente composta por pilares ou
arcos. A superestrutura é constituída pelo tabuleiro da ponte. Na Figura 21 são
ilustradas as divisões estruturais de uma ponte.
Figura 21: Divisões estruturais de uma ponte
Fonte: Almeida et al. (2000).
52
As pontes são caracterizadas de acordo com o material utilizado para elemento
estrutural, podendo ser de pedra, madeira, aço, concreto armado ou pela conjunção de
dois ou mais desses elementos.
2.4 PONTES DE MADEIRA
As pontes de madeira podem ser construídas em diversos sistemas estruturais e
construtivos, sendo mais comuns os sistemas em vigas, em pórticos, em placas, em
arcos, pênseis e estaiadas.
2.4.1 Pontes em vigas
Para Calil Júnior et al. (2006), as pontes em vigas são as mais práticas e
comumente encontradas. As vigas são, geralmente, utilizadas na forma de vão único
(vigas biapoiadas). Quando o comprimento é excessivo, pode-se construir apoios
intermediários (vigas contínuas).
As variações de seção transversal para esse tipo de ponte são vigas simples de
peças roliças, vigas com peças roliças compostas, vigas de peças serradas, vigas de
peças serradas compostas, vigas laminadas coladas, vigas compostas por peças
serradas e compensados e vigas treliçadas. Na Figura 22 apresenta-se uma ponte de
madeira em viga simples, construída na cidade de Mafra – SC na comunidade de Butiá
do Braz em 2011.
53
Foto 22: Ponte de madeira em viga simples, Mafra – SC
Fonte: Gazeta de Riomafra Jan/2011.
2.4.2 Pontes em pórticos
Esse sistema possibilita a transposição do vão livre em toda sua extensão sem a
necessidade de pilares intermediários, sendo capaz de vencer vãos maiores que as
pontes em vigas. Todavia, possui a desvantagem de apresentarem emendas e ligações
em ângulos.
Calil Júnior e Dias (1997) enfatizam que no sistema em pórtico a viga principal
está escorada por diagonais. As diagonais devem ser dispostas de forma que a relação
entre os vãos laterais e vão central do pórtico deve ser em torno de 3:4. Este sistema,
ao contrário do de vigas simplesmente apoiadas, tem o inconveniente de necessitar de
grande diferença entre o nível superior da ponte e o nível da água para implantação.
Para Logsdon e Jesus (2012) os pórticos são desejáveis, pois têm a finalidade
de transmitir as cargas de apoios intermediários para as extremidades e permitem
vencer vãos maiores que as vigas simplesmente apoiadas. Na Figura 23 apresenta-se
uma ponte com estrutura em pórtico construída na rodovia Cambaratiba, em
Borborema no Estado de São Paulo.
54
Foto 23: Ponte de madeira em pórtico sobre o Ribeirão dos Porcos, Borborema – SP.
(a) Vista lateral da ponte
(b) Vista inferior da ponte
Fonte: Calil Junior et. al (2006).
2.4.3 Pontes em placas
Esse sistema não utiliza vigas, transversinas e nem qualquer outro tipo de
elemento estrutural para distribuição das cargas atuantes e transmissão dos esforços; o
próprio tabuleiro é responsável pela absorção e transmissão das cargas atuantes para a
55
subestrutura. Para a execução do tabuleiro, podem-se adotar vários sistemas
construtivos, sendo os mais comuns o misto madeira-concreto, o tabuleiro protendido
simples, o tabuleiro protendido de seção T e o tabuleiro multicelular protendido.
As estruturas em placas podem ser moldadas no local ou constituídas de
elementos pré-moldados; são indicadas para vãos curtos, baixa altura de construção e
pequenas relações altura/vão.
Para Calil Júnior et al. (2006) o comportamento de placa é desejável no sentido
que a placa (quando rígida) é totalmente mobilizada pelas ações fazendo com que
sejam desnecessários elementos discretos como longarinas para aumentar a rigidez do
sistema. Por outro lado, o conjunto da placa passa a necessitar alturas maiores que o
tabuleiro comum de distribuição (quanto pior for o sistema que une os elementos na
forma de placa, maior será a seção necessária destes elementos). Na Figura 24, são
retratados os detalhes construtivos da ponte em placas Caminhos do Mar, executada
em Cubatão – SP em 2003.
Figura 24: Ponte Caminho do Mar, Cubatão – SP
Fonte: CALIL JÚNIOR e GÓES 2005.
As placas podem ser de seção laminada colada, laminada pregada, laminada
parafusada, composta de concreto e madeira roliça, composta de concreto e madeira
serrada ou ainda placa laminada protendida. Quando composta com concreto,
apresenta grandes vantagens construtivas já que os detalhes de fôrmas, armaduras e a
concretagem são consideravelmente simples, resultando em velocidade e facilidade de
construção. Na Figura 25 apresenta-se o esquema de fabricação de algumas seções de
pontes em placas.
56
Figura 25: Esquema de seções de pontes em placas
Fonte: CALIL JÚNIOR et al. (2006).
2.4.4 Pontes em arcos
Embora esse tipo de ponte não seja comum no Brasil, o conceito de ponte
sustentada por estruturas em arcos não é nenhuma novidade. As primeiras pontes
construídas no mundo foram justamente com estrutura em arcos, utilizando pedra ou
madeira como elementos estruturais.
As pontes em arco, como o próprio nome sugere, têm como estrutura principal
um arco. Nessas estruturas as solicitações existentes são transmitidas para os apoios
por força de compressão axial nos arcos, que sustentam o tabuleiro por meio de
tirantes ou escoras. Uma ponte em arco é classificada de acordo com a posição de seu
tabuleiro, podendo ser superior à estrutura (Figura 26, alínea a), intermediário a
estrutura (Figura 26, alínea b) ou inferior a estrutura de arcos (Figura 26, alínea c). São
utilizadas geralmente sobre leitos fluviais profundos ou grandes abismos, pois evitam
pilares intermediários.
57
Figura 26: Posição do tabuleiro em relação à estrutura de arcos
Fonte: BELL (s/d).
As pontes em arcos com tabuleiro superior possuem os seus tabuleiros
sustentados por montantes, e estes estão sujeitos a esforços de compressão. A Figura
27 ilustra uma ponte com tabuleiro superior à estrutura dos arcos.
Figura 27: Exemplo de ponte em arco com tabuleiro superior - South Prairie Creek -
Buckley, WA
Fonte: GILHAM (s/d).
As estruturas em arcos com tabuleiro inferior possuem seus tabuleiros
sustentados por tirantes ou pendurais, conforme se ilustra na Figura 28.
58
Figura 28: Exemplo de ponte em arco com tabuleiro inferior - Hopland Casino Bridge –
Califórnia
Fonte: GILHAM (s/d)
As pontes em arco com tabuleiro intermediário tem o tabuleiro sustentado
lateralmente por montantes e, no centro, por pendurais, conforme apresentado na
Figura 29.
59
Figura 29: Exemplo de ponte em arco com tabuleiro intermediário - Cascade Highlands Bridge
Bend, OR.
Fonte: GILHAM (s/d)
Para Mason (1997)5 apud Mattos (2001) as pontes em arco com tabuleiro
inferior são mais utilizadas para pequenos vãos e para grandes vãos é preferível a
ponte em arco com tabuleiro superior. As pontes em arco com tabuleiro intermediário
são menos utilizadas uma vez que a interseção do arco com o tabuleiro representa
problemas construtivos.
Os arcos têm sido muito utilizados em estruturas de pontes de madeira desde a
antiguidade. O principal fator para esta prática é que as altas solicitações oriundas da
flexão que ocorreriam em vigas passam a atuar em escala menor nos arcos onde
predominam as tensões de compressão. Outro fator relevante é a estética
proporcionada pelos arcos em pontes onde são, praticamente, ícones destas estruturas
(CALIL JÚNIOR et al., 2006).
___________________________________________ 5 MASON, Jayme. Pontes em Concreto Armado e Protendido, 1ª ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e
Científicos, 1977.
60
2.4.5 Pontes pênseis
As pontes pênseis se caracterizam por possuir o tabuleiro contínuo sustentado
por vários cabos metálicos atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua vez,
ligam-se às torres de sustentação. A transferência das principais cargas às torres e às
ancoragens em forma de pendurais é feita simplesmente por esforços de tração. Os
cabos comprimem as torres de sustentação, que transferem os esforços de compressão
para as fundações (MATTOS, 2001).
Segundo O´Cornnor (1976)6 apud Manera (2011) o emprego de cabos e
tirantes, ou pendurais, de aço de alta resistência à tração conduz a uma estrutura
econômica, principalmente quando o peso próprio torna-se importante, como nas
pontes de grandes vãos.
Para Freitas (1978) as pontes pênseis são capazes de vencer os maiores vãos
entre todos os tipos estruturais conhecidos.
Esse sistema estrutural de ponte de madeira não é muito explorado no Brasil,
existindo somente algumas pontes e passarelas em nosso território. Na Figura 30
apresenta-se a Ponte Alves Lima que liga as cidades de Ribeirão Claro, no Paraná, a
Chavantes, em São Paulo, construída no início da década de 20 do Século XX.
Figura 30: Ponte Alves Lima (Ribeirão Claro/PR – Chavantes/SP)
Fonte: http://ailtonsilva2000.blogspot.com.br
___________________________________________ 6 O´CONNOR, C. Pontes: superestruturas. Rio de Janeiro: Ed. da USP, 1976. v. 2.
61
2.4.6 Pontes estaiadas
A ponte estaiada, assim como a ponte pênsil, também utiliza cabos de aço
como estrutura principal. Todavia, diferencia-se da estrutura pênsil pela disposição dos
cabos, pois, enquanto que na estrutura pênsil os cabos principais passam pela torre e
são ligados à viga de rigidez através de cabos secundários que agem como tirantes, nas
estruturas estaiadas os cabos são ancorados nas torres e diretamente ligados a viga de
rigidez, dispensando assim o uso de cabos secundários. Outra diferença entre os dois
sistemas estruturais é que os cabos assumem formato parabólico nas estruturas
pênseis, sendo retos nas estruturas estaiadas.
O modelo de pontes estaiadas consiste de um sistema de vigas principais ao
nível do tabuleiro, de grande rigidez à torção, apoiadas nos encontros e na(s) torre(s),
somado a um sistema de cabos retos, denominados estais, que partem dos acessos,
passam sobre uma ou duas torres e dirigem-se ao vão principal para ancorá-lo e
sustentá-lo. Na Figura 31 apresenta-se uma ponte de madeira estaiada construída no
Japão.
Figura 31 - Exemplo de ponte de madeira estaiada (Hiroshima Airport Bridge - Japão)
Fonte: Base de dados do LaMEM.
62
2.5 DESCRIÇÕES NORMATIVAS
O texto deste item foi transcrito das normatizações nacionais vigentes sobre o
assunto. Inclui recomendações e aspectos existentes nas seguintes normas e textos:
NBR 7190, da ABNT (2011) – Projeto de estruturas de madeira (Projeto de Revisão).
NBR 6120, da ABNT (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações.
NBR 6123, da ABNT (1988) – Forças devidas ao vento em edificações.
NBR 7187, da ABNT (1986) – Projeto e execução de pontes de concreto armado e
protendido.
NBR 7188, da ABNT (1984) – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de
pedestre.
NBR 7189, da ABNT (1985) – Cargas móveis para projeto estrutural de obras
rodoviárias.
NBR 8681, da ABNT (2003) - Ações e segurança nas estruturas.
Manual de Projeto e Construção de Pontes de Madeira, de Calil Júnior et al. (2006).
2.5.1 Estados limites
São estados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenho inadequado às
finalidades da construção. Os estados limites podem ser estados limites últimos ou
estados limites de serviço. Os estados limites considerados nos projetos de estruturas
dependem dos tipos de materiais de construção empregados e devem ser especificados
pelas normas referentes ao projeto de estruturas com eles construídas.
2.5.1.1 Estados limites últimos
São estados que, pela sua simples ocorrência, determinam a paralisação, no
todo ou em parte, do uso da construção.
63
.No projeto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos
caracterizados por:
a. Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo
rígido;
b. Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
c. Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático;
d. Instabilidade por deformação;
e. Instabilidade dinâmica.
Em casos particulares pode ser necessário considerar outros estados limites
últimos que não os aqui especificados.
2.5.1.2 Estados limites de serviço
Estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos
estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da
construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura.
No período de vida da estrutura, usualmente são considerados estados limites
de serviço caracterizados por:
a. Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da
construção ou a durabilidade da estrutura;
b. Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou
seu aspecto estético;
c. Vibração excessiva ou desconfortável.
Os estados limites de serviço decorrem de ações cujas combinações podem ter
três diferentes ordens de grandeza de permanência na estrutura:
a. Combinações quase permanentes: combinações que podem atuar durante
grande parte do período de vida da estrutura, da ordem da metade deste
período;
b. Combinações frequentes: combinações que se repetem muitas vezes durante
o período de vida da estrutura, da ordem de 105 vezes em 50 anos, ou que
64
tenham duração total igual a uma parte não desprezível desse período, da
ordem de 5%;
c. Combinações raras: combinações que podem atuar no máximo algumas
horas durante o período de vida da estrutura.
2.5.2 Ações em pontes de madeira
Segundo a NBR 8681, da ABNT (1984), ações são definidas como as causas
que provocam o aparecimento de esforços ou deformações nas estruturas. As ações em
pontes de madeira são divididas em três grupos: as permanentes, variáveis e as
excepcionais.
2.5.2.1 Ações permanentes
São as cargas existentes em toda vida útil da estrutura. É composta pelo peso
próprio da estrutura e por todas as sobrecargas fixas. Segundo a NBR 7187, da ABNT
(1986), também são consideradas permanentes, as que crescem no tempo, tendendo a
um valor limite constante. As ações permanentes compreendem, entre outras:
a) Peso próprio da estrutura
Para o cálculo do peso próprio da estrutura de uma ponte de madeira, deve-se
fixar as dimensões das peças em um anteprojeto e calcular seu peso a partir do volume
de cada elemento, considerando a madeira na classe de umidade 1 (12%) e os
elementos metálicos das conexões como 3% do peso próprio da madeira. Após o
dimensionamento definitivo, admite-se uma variação de no máximo 10% entre o peso
próprio real e o estimado inicialmente.
65
b) Sobrecargas fixas
Para o cálculo de ações provenientes de sobrecargas fixas, deve-se levar em
consideração o volume e o peso específico de cada material empregado. A Tabela 1
apresenta o peso específico dos materiais mais comuns em estrutura de pontes.
Tabela 1: Pesos específicos dos materiais.
Material Peso (kN/m3)
Concreto Simples 24
Concreto Armado 25
Revestimento Asfáltico 24
Aço 78
Lastro de Brita 17
Madeira 6 a 12
Fonte: NBR 6120, da ABNT (1980).
c) Empuxo de terra e de líquidos
O empuxo de terra nas estruturas é determinado de acordo com os princípios da
mecânica dos solos, em função de sua natureza (ativo, passivo ou de repouso), das
características do terreno, assim como das inclinações dos taludes e dos paramentos.
Como simplificação, pode ser suposto que o solo não tenha coesão e que não
haja atrito entre o terreno e a estrutura, desde que as solicitações assim determinadas
estejam a favor da segurança.
O empuxo d´água e a subpressão devem ser considerados nas situações mais
desfavoráveis para a verificação dos estados limites, sendo dada especial atenção ao
estudo dos níveis máximo e mínimo dos cursos d’água e do lençol freático.
d) Forças de protensão
A ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas protendidas,
incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, aqueles que sofrem a
ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de protensão. O valor da
força de protensão deve ser calculado considerando a força inicial e as perdas de
protensão. As forças de protensão e respectivas perdas devem ser consideradas
conforme disposto na seção 9.6.3 da NBR 6118, da ABNT (2003).
66
e) Deslocamento de apoios
Se a natureza do terreno e o tipo de fundações permitirem a ocorrência de
deslocamentos que induzam efeitos apreciáveis na estrutura, as deformações impostas
decorrentes devem ser levadas em consideração no projeto.
2.5.2.2 Ações variáveis
Para a NBR 7187, da ABNT (2003), solicitações variáveis são ações de caráter
transitório que compreendem, entre outras:
a) Cargas móveis
Os valores característicos das cargas móveis verticais para pontes são fixados
nas normas NBR 7188 – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestres, da
ABNT (1984), e NBR 7189 – Cargas moveis para projeto estrutural de obras
ferroviárias, da ABNT (1985), ou pelo proprietário da obra.
Define-se como cargas móveis o sistema de cargas representativo dos valores
característicos dos carregamentos provenientes do tráfego a que a estrutura está sujeita
em serviço. A carga móvel em ponte rodoviária é também referida pelo termo trem-
tipo, e pode ser considerada como carga variável principal (ABNT, 1984).
Para pontes rodoviárias, o carregamento móvel divide-se em três classes:
Classe 45 - na qual a base do sistema é um veículo tipo de 450 kN de peso
total;
Classe 30 - na qual a base do sistema é um veículo tipo de 300 kN de peso
total;
Classe 12 - na qual a base do sistema é um veículo tipo de 120 kN de peso
total.
A utilização das diferentes classes de pontes fica a critério dos órgãos com
jurisdição sobre as pontes.
Os trens-tipo compõem-se de um veículo e de cargas uniformemente
distribuídas de acordo com a Tabela 2.
67
Tabela 2: Cargas móveis nas pontes
Classe
da
ponte
Veículo Carga uniformemente distribuída
Tipo Peso Total p p` Disposição
da carga kN tf kN/m2 kgf/m
2 kN/m
2 kgf/m
2
45 45 450 45 5 500 3 300
Carga p
em toda a
pista
30 30 300 30 5 500 3 300 Carga p’
nos
passeios
12 12 120 12 4 400 3 300
Fonte: NBR 7188, da ABNT (1984).
A disposição em planta destes carregamentos é apresentada na Figura 32.
Figura 32: Disposição dos carregamentos em planta
Fonte: CALIL JÚNIOR et al., 2006.
A NBR 7188, da ABNT (1984), ressalta que no cálculo dos arcos ou vigas
principais, permite-se desprezar o efeito de redistribuição das cargas causado pelas
vigas secundárias, permite-se, ainda, homogeneizar as cargas distribuídas e subtrair
das cargas concentradas dos veículos as parcelas correspondentes àquela
homogeneização, desde que não haja redução de solicitações.
A NBR 7188, da ABNT (1984), prevê ainda que as cargas móveis podem
provocar efeitos dinâmicos, nesse caso, o efeito dinâmico das cargas móveis deve ser
analisado pela teoria da dinâmica das estruturas. As características dos veículos,
segundo a NBR 7188, da ABNT (1984) são apresentadas na Tabela 3.
68
Tabela 3: Característica dos veículos.
Unidade
Tipo 45 Tipo 30 Tipo 12
Quantidade de eixos Eixo 3 3 2
Peso total de veículo kN-tf 450 - 45 300 - 30 120 – 12
Peso de cada roda dianteira kN-tf 75 - 7,5 50 - 5 20 – 2
Peso de cada roda traseira kN-tf 75 - 7,5 50 - 5 40 – 4
Peso de cada roda
intermediária
kN-tf 75 - 7,5 50 - 5 -
Largura de contato b1 de cada
roda dianteira
m 0,50 0,40 0,20
Largura de contato b3 de cada
roda traseira
m 0,50 0,40 0,30
Largura de contato b2 de cada
roda intermediária
m 0,50 0,40 -
Comprimento de contato de
cada
roda
m 0,20 0,20 0,20
Área de contato de cada roda m2
0,20 x b 0,20 x b 0,20 x b
Distância entre os eixos m 1,50 1,50 3,00
Distância entre os centros de
roda de cada eixo
m 2,00 2,00 2,00
Fonte: NBR 7188, da ABNT (1984).
Ilustram-se na Figura 33 as características dos veículos-tipos, que foram
apresentados na Tabela 3.
69
Figura 33: Veículos tipo
Fonte: CALIL JÚNIOR et al., 2006.
Para passarelas de pedestres, a norma NBR 7188, da ABNT (1984) define uma
classe única, na qual a carga móvel é uma carga uniformemente distribuída de
intensidade p = 5 kN/m² (500 kgf/m²), não majorada pelo coeficiente de impacto.
b) Forças de Vento
As forças devido à ação do vento seguem o disposto na NBR 6123, da ABNT
(1988). A ação do vento sobre veículos e pedestres deve ser considerada nas pontes
rodoviárias, como um valor característico nominal de 2 kN/m, aplicado a 1,2 m acima
da superfície de rolamento, conforme ilustrado na Figura 34. Nas pontes para
pedestres o vento sobre estes será fixado com o valor característico convencional de
1,8 kN/m, aplicado a 0,85 m acima do piso.
Para se levar em conta a maior resistência da madeira sob a ação de cargas de
curta duração, na verificação da segurança em relação a estados limites últimos,
apenas na combinação de ações de longa duração em que o vento representa a ação
variável principal, as solicitações nas peças de madeira devidas à ação do vento serão
multiplicadas por 0,75.
70
Figura 34 - Vento sobre veículo
Fonte: CALIL JÚNIOR et al. (2006).
c) Cargas de construção
No projeto e cálculo estrutural devem ser consideradas as ações das cargas
passíveis de ocorrer durante o período da construção, notadamente aquelas devidas ao
peso de equipamentos e estruturas auxiliares de montagem e de lançamento de
elementos estruturais e seus efeitos em cada etapa executiva da obra.
d) Empuxo de terra provocado por cargas móveis
O empuxo de terra provocado por cargas móveis deve ser considerado com os
mesmo critérios do empuxo causado por cargas permanentes, disposto no item 2.5.2.1,
alínea c, deste trabalho.
e) Pressão da água em movimento
De acordo com a NBR 7187, da ABNT (1986) a pressão da água em
movimento sobre os pilares e elementos das fundações pode ser determinada através
da expressão:
(1)
Onde:
p = Pressão estática equivalente, em kN/m2;
va = Velocidade da água, em m/s;
71
k = Coeficiente, cujo valor é 0,34 para elementos com seção transversal
circular. Para elementos com seção transversal retangular, o valor de k é
função do ângulo de incidência do movimento das águas em relação ao
plano da face do elemento, conforme a Tabela 4.
Tabela 4: Valores de k em função do ângulo de incidência do movimento das
águas
Ângulo de incidência k
90° 0,71
45° 0,54
0° 0
Fonte: NBR 7187, da ABNT (1986).
O efeito dinâmico das ondas e das águas em movimento deve ser determinado
através de métodos baseados na hidrodinâmica.
f) Variações de temperatura
De acordo com a NBR 7188, da ABNT (1984) a variação da temperatura da
estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura da atmosfera e pela
insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da
construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem.
De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores:
Para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm,
deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10°C a
15°C;
Para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios
inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa
oscilação seja reduzida respectivamente para 5°C a 10ºC;
Para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70_cm
admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados.
A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50%
da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra.
72
Devido o baixo coeficiente de dilatação térmica da madeira, na ordem de
0,15_mm/m para uma variação de 50ºC (MACHADO, 2006), é usual desprezar os
efeitos da variação de temperatura sobre os elementos de madeira.
g) Efeitos dinâmicos
Compreendem os efeitos dinâmicos em pontes os impactos verticais, impactos
laterais, a força longitudinal e a força centrífuga.
A fim de se levar em conta a maior resistência da madeira para cargas de curta
duração, na verificação de segurança em relação a estados limites últimos, os
acréscimos de solicitação nas peças de madeira devidas aos efeitos dinâmicos serão
multiplicados por 0,75.
Nas peças metálicas, inclusive nos elementos de ligações, será considerada a
totalidade dos esforços devidos aos efeitos dinâmicos.
g.1) Impacto vertical
Nas pontes, o impacto vertical é considerado uma ação de curta duração. Para
se levar em conta o acréscimo de solicitações devido ao impacto vertical, os valores
característicos das cargas móveis verticais devem ser multiplicados pelo coeficiente de
impacto.
( ) (2)
Onde:
L = Vão teórico do tramo da ponte em metros, no caso de vigas, e o menor de
seus dois vãos teóricos, no caso de placas;
α = 50 - em pontes ferroviárias
α = 20 - em pontes rodoviárias com soalho de madeira
α = 12 - em pontes rodoviárias com soalho revestido de concreto ou asfalto.
Não se considera o impacto vertical nos encontros, pilares maciços e
fundações, nem nos passeios das pontes.
Devido à maior resistência da madeira às cargas de curta duração, na
verificação da segurança nos estados limites últimos, as solicitações nas peças de
73
madeira devidas ao impacto vertical serão multiplicadas por 0,75. (CALIL JÚNIOR et
al., 2006)
g.2) Impacto lateral
O impacto lateral, só considerado nas pontes ferroviárias, segundo o projeto de
revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), é equiparado a uma força horizontal normal
ao eixo da linha e atuando no topo do trilho como carga móvel concentrada. Em
pontes em curva, não se soma o efeito do impacto lateral ao da força centrífuga,
devendo considerar-se, dentre os dois, apenas o que produzir maiores solicitações.
g.3) Força longitudinal
Nas pontes ferroviárias, a força longitudinal devida à aceleração ou à frenação
do trem será considerada com o valor característico convencional igual ao maior dos
seguintes valores: 15% da carga móvel para frenação, ou 25% do peso total sobre os
eixos motores para o esforço de aceleração. A força longitudinal será considerada
aplicada, sem impacto, no centro de gravidade do trem, suposto 2,4 metros acima do
topo dos trilhos. No caso de via múltipla, a força longitudinal deve ser considerada em
apenas uma das linhas. (CALIL JÚNIOR et al., 2006)
Nas pontes rodoviárias, a força longitudinal será considerada com o valor
característico convencional igual ao maior dos seguintes valores: 5% do carregamento
total do tabuleiro com carga móvel uniformemente distribuída, ou, para cada via de
tráfego, 30% do peso do caminhão-tipo. Esta força longitudinal deve ser aplicada, sem
impacto, a 2,0 metros acima da superfície de rolamento. (ABNT, 2010)
g.4) Força centrífuga
Nas pontes ferroviárias em curva, a força centrífuga será considerada atuando
no centro de gravidade do trem, suposto a 1,6 metros acima do topo dos trilhos, e será
avaliada em porcentagem da carga móvel, acrescida do impacto vertical, com os
seguintes valores característicos convencionais:
12% para curvas de raio R ≤ 1000m e 12/R para R > 1000m, em pontes
para bitola larga (1,60m);
8% para R ≤ 600m e 48/R para R > 600m, em pontes para bitola métrica
(1,00m).
Nas pontes rodoviárias em curva, a força centrífuga será considerada atuando
no centro de gravidade do caminhão-tipo, suposto 2,0 metros acima da superfície de
rolamento, e será tomada com o valor característico convencional igual a 20% do peso
74
deste veículo, por via de tráfego, para raios até 300 m e para valores maiores, pela
relação 60/R (em %) do peso do veículo-tipo. O peso do veículo é considerado com
impacto vertical (CALIL JÚNIOR et al., 2006).
h) Considerações sobre ações variáveis
Nem todas as cargas variáveis possuem importância significativa em todas as
pontes de madeira.
Em pontes rodoviárias de madeira de pequenos e médios vãos (até 20 m)
apenas são estruturalmente importantes à carga móvel e o impacto vertical, as demais
são inexistentes ou podem ser desprezadas frente à magnitude das anteriores
(LOGSDON, 1982).
2.5.2.3 Ações Excepcionais
Para a NBR 8681, da ABNT (2003), solicitações excepcionais são ações cuja
ocorrência se dá em circunstâncias anormais. São consideradas como ações
excepcionais:
a) Choques de objetos móveis
Os pilares passíveis de serem atingidos por veículos rodoviários ou
embarcações em movimento devem ter sua segurança verificada quanto aos choques
assim provocados. Dispensa-se essa verificação se no projeto forem incluídos
dispositivos capazes de proteger a estrutura contra este tipo de acidente. (ABNT,
2003)
b) Outras ações excepcionais
As verificações de segurança quanto às demais ações excepcionais somente
devem ser realizadas em construções especiais, a critério do proprietário da obra
(ABNT, 2003).
75
2.5.3 Classes de carregamento
Segundo o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), uma classe de
carregamento é especificada pelo conjunto das ações que têm probabilidade não
desprezável de atuarem simultaneamente sobre uma estrutura, durante um período de
tempo preestabelecido. As classes de carregamento, de qualquer combinação de ações,
são definidas pela duração acumulada da ação variável, tomada como principal na
combinação, e são definidas na Tabela 5.
Tabela 5: Definição de classes de carregamento
Classes de
carregamento
Ação variável principal da combinação
Duração
acumulada
Ordem de grandeza da duração
acumulada da ação característica
Permanente Permanente Vida útil da Construção
Longa duração Longa duração Mais de seis meses
Média Duração Média Duração Uma semana a seis meses
Curta duração Curta duração Menos de uma semana
Instantânea Instantânea Muito curta
Fonte: Projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011).
2.5.4 Tipos de carregamento
De acordo com a NBR 8681, da ABNT (2003), durante o período de vida da
construção, podem ocorrer os seguintes tipos de carregamento: carregamento normal,
carregamento especial e carregamento excepcional. Em cada tipo de carregamento as
ações devem ser combinadas de diferentes maneiras, a fim de que possam ser
determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. Devem ser estabelecidas
tantas combinações de ações quantas forem necessárias para que a segurança seja
verificada em relação a todos os possíveis estados limites da estrutura. Além destes,
76
em casos particulares, também pode ser necessária à consideração do carregamento de
construção.
2.5.4.1 Carregamento normal
O carregamento normal decorre do uso previsto para construção. Admite-se
que o carregamento normal possa ter duração igual ao período de referência da
estrutura, e sempre deve ser considerado na verificação da segurança, tanto em relação
a estados limites últimos quanto em relação a estados limites de serviço (ABNT,
2003).
2.5.4.2 Carregamento especial
Um carregamento especial decorre da atuação de ações variáveis de natureza
ou intensidade especiais, cujos efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos
pelas ações consideradas no carregamento normal. Os carregamentos especiais são
transitórios, com duração muito pequena em relação ao período de referência da
estrutura e, em geral, considerados apenas na verificação da segurança em relação aos
estados limites últimos, não se observando as exigências referentes aos estados limites
de utilização. A cada carregamento especial corresponde uma única combinação
última especial de ações. Em casos particulares, pode ser necessário considerar o
carregamento especial na verificação da segurança em relação aos estados limites de
serviço (ABNT, 2003)
77
2.5.4.3 Carregamento excepcional
Um carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais que
podem provocar efeitos catastróficos. Os carregamentos excepcionais somente devem
ser considerados no projeto de estrutura de determinados tipos de construção, para os
quais a ocorrência de ações excepcionais não possa ser desprezada e que, além disso,
na concepção estrutural, não possam ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a
gravidade das consequências dos efeitos dessas ações. O carregamento excepcional é
transitório, com duração extremamente curta. Para um carregamento excepcional,
considera-se apenas a verificação da segurança em relação a estados limites últimos,
através de uma única combinação última excepcional de ações (ABNT, 2003).
2.5.4.4 Carregamento de construção
O carregamento de construção é considerado apenas nas estruturas em que haja
risco de ocorrência de estados limites, já durante a fase de construção. O carregamento
de construção é transitório e sua duração deve ser definida em cada caso particular.
Devem ser consideradas tantas combinações de ações quantas sejam necessárias para
verificação das condições de segurança em relação a todos os estados limites que são
de se temer durante a fase de construção (ABNT, 2003).
2.5.5 Situações de projeto
O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), considera as seguintes
situações de projeto: duradouras, transitórias e excepcionais.
78
2.5.5.1 Situações duradouras
Nas situações duradouras, definidas na NBR 7190, da ABNT (1997), que
podem ter duração igual ao período de referência da estrutura, devem ser verificados
os estados limites últimos e de serviço (utilização) e devem ser consideradas em todos
os projetos. Nas verificações de segurança a estados limites últimos consideram-se
combinações últimas normais, enquanto que nas de estados limites de serviço
(utilização) consideram-se combinações quase permanentes de serviço.
2.5.5.2 Situações transitórias
Quando a duração for muito menor que a vida útil da construção, segundo a
NBR 7190, da ABNT (1997), tem-se uma situação transitória, que só será considerada
se existir um carregamento especial, explicitamente especificado, e na maioria dos
casos verifica-se apenas estados limites últimos, considerando-se combinações últimas
especiais ou de construção. Se necessária à verificação dos estados limites de serviço
(utilização), deve-se considerar combinações frequentes de serviço ou raras.
2.5.5.3 Situações excepcionais
As situações com duração extremamente curta são consideradas excepcionais,
segundo a NBR 7190, da ABNT (1997), e verificadas apenas quanto aos estados
limites últimos, considerando-se combinações últimas excepcionais. As situações
excepcionais devem ser explicitamente especificadas, sempre que houver necessidade
dessa consideração no projeto.
79
2.5.6 Combinações de ações em pontes de madeira
De acordo com a NBR 8681, da ABNT (2003), para a verificação da segurança
em relação aos possíveis estados limites, para cada tipo de carregamento devem ser
considerados todas as combinações de ações que possam acarretar os efeitos mais
desfavoráveis nas seções críticas da estrutura. As ações permanentes são consideradas
em sua totalidade. Das ações variáveis, são consideradas apenas as parcelas que
produzem efeitos desfavoráveis para a segurança. As ações variáveis móveis devem
ser consideradas em suas posições mais desfavoráveis para a segurança. A aplicação
de ações variáveis ao longo da estrutura pode ser feita de acordo com regras
simplificadas, estabelecidas em Normas que considerem determinados tipos
particulares de construção. As ações incluídas em cada uma destas combinações
devem ser consideradas com seus valores representativos, multiplicados pelos
respectivos coeficientes de ponderação das ações.
2.5.6.1 Combinações últimas
Segundo o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), para
combinações de ações em estados limites últimos, é estabelecido como critério que as
ações permanentes devem figurar em todas as combinações de ações, e as
combinações das ações variáveis dependem do tipo de carregamento utilizado. Os
esforços atuantes nas peças estruturais devem ser calculados de acordo com os
princípios da Estática das Construções, admitindo-se em geral a hipótese de
comportamento elástico linear dos materiais. Os coeficientes de ponderação e os
fatores de combinação e de utilização, para a determinação dos valores de cálculo das
ações, e as combinações de ações em estados limites últimos estão definidas na NBR
8681, da ABNT (2003). No caso de ações permanentes diretas consideradas
separadamente, para elementos estruturais de madeira são recomendados os seguintes
valores para os coeficientes de ponderação (γg):
γg = 1,3, para elementos estruturais de madeira em geral;
80
γg = 1,2, para elementos estruturais de madeira industrializados.
Em princípio, para a determinação dos valores de cálculo das ações, devem ser
utilizadas as correspondentes combinações últimas de ações para cada situação de
projeto: situações duradouras (combinações últimas normais), situações transitórias
(combinações últimas especiais ou de construção) e situações excepcionais
(combinações últimas excepcionais). Para cada estrutura particular devem ser
especificadas as situações de projeto a considerar, não sendo necessário levar em conta
as três possíveis situações de projeto em todos os tipos de construção, segundo o
projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT, 2011.
a) Combinações últimas normais
As combinações últimas normais, segundo o projeto de revisão da NBR 7190,
da ABNT (2011), são utilizadas para verificação de estados limites últimos causados
por um carregamento normal. As ações variáveis são divididas em dois grupos, as
principais (Fq1,k), que atuam com seus valores característicos; e as secundárias (Fqj,k),
que atuam com seus valores reduzidos de combinação. Para as ações permanentes
(Fgi,k), devem ser feitas duas verificações: a favorável, na qual as cargas permanentes
aliviam o efeito da atuação simultânea das ações; e a desfavorável, na qual as cargas
permanentes aumentam o efeito da atuação simultânea das ações. Assim, para este
caso, a ação, ou solicitação, de cálculo (Fd) é obtida utilizando-se a expressão
apresentada a seguir:
∑ ∑
(3)
No caso particular de ponte de madeira, segundo o projeto de revisão da NBR
7190, da ABNT (2011), o impacto vertical ( ) deve ser considerado junto com a
carga móvel ( ), como variável principal. O impacto vertical por ser carga rápida,
deve ser multiplicado por 0,75 e, portanto, .
b) Combinações últimas especiais
Nas combinações últimas especiais, segundo a NBR 8681, da ABNT (2003),
quando existirem, a ação variável especial deve ser considerada com seu valor
representativo e as demais ações variáveis devem ser consideradas com valores
81
correspondentes a uma probabilidade não desprezível de atuação simultânea com a
ação variável especial.
Para verificação de estados limites últimos causados por um carregamento
especial ou de construção, a combinação é a mesma utilizada para o carregamento
normal, com ψ0j,ef = ψ0j, salvo quando ação variável principal Fq1 tenha um tempo de
atuação muito pequeno, neste caso ψ0j,ef = ψ2j, portanto (ABNT, 2003).
∑ ∑
(4)
c) Combinações últimas excepcionais
Nas combinações últimas excepcionais, quando existirem, a ação excepcional
deve ser considerada com seu valor representativo e as demais ações variáveis devem
ser consideradas com valores correspondentes a uma grande probabilidade de atuação
simultânea com a ação variável excepcional. Para verificação de estados limites
últimos causados por um carregamento excepcional, não se aplica o coeficiente de
ponderação γq à ação excepcional e se mantém o coeficiente ψ0j,ef definido para as
combinações especiais ou de construção (ABNT, 2003), portanto:
∑ ∑
(5)
2.5.6.2 Coeficientes de ponderação para as ações permanentes
Segundo a NBR 8681, da ABNT (2003), os coeficientes de ponderação γg das
ações permanentes majoram os valores representativos das ações permanentes que
provocam efeitos desfavoráveis e minoram os valores representativos daquelas que
provocam efeitos favoráveis para a segurança da estrutura. Para uma dada ação
permanente, todas as suas parcelas são ponderadas pelo mesmo coeficiente γg, não se
admitindo que algumas de suas partes possam ser majoradas e outras minoradas. Para
os materiais sólidos que possam provocar empuxos, a componente vertical é
considerada como uma ação e a horizontal como outra ação, independentemente da
primeira.
82
Os coeficientes de ponderação γg relativos às ações permanentes que figuram
nas combinações últimas, salvo indicação em contrário, expressa em norma relativa ao
tipo de construção e de material considerados, devem ser tomados com os valores
básicos indicados nas Tabelas 6 e 7. Na Tabela 6 são fornecidos os valores do
coeficiente de ponderação a considerar se, numa combinação, todas essas ações forem
separadas.
83
Tabela 6: Ações permanentes diretas consideradas separadamente
Combinação Tipo de ação Efeito
Desfavorável Favorável
Normal
Peso próprio de estruturas
metálicas 1,25 1,0
Peso próprio de estruturas pré-
moldadas 1,30 1,0
Peso próprio de estruturas
moldadas no local 1,35 1,0
Elementos construtivos
industrializados1
1,35 1,0
Elementos construtivos
industrializados com adições in
loco
1,40 1,0
Elementos construtivos em
geral e equipamentos2
1,50 1,0
Especial ou
de
construção
Peso próprio de estruturas
metálicas 1,15 1,0
Peso próprio de estruturas pré-
moldadas 1,20 1,0
Peso próprio de estruturas
moldadas no local 1,25 1,0
Elementos construtivos
industrializados1
1,25 1,0
Elementos construtivos
industrializados com adições in
loco
1,30 1,0
Elementos construtivos em
geral e equipamentos2
1,40 1,0
Excepcional
Peso próprio de estruturas
metálicas 1,10 1,0
Peso próprio de estruturas pré-
moldadas 1,15 1,0
Peso próprio de estruturas
moldadas no local 1,15 1,0
Elementos construtivos
industrializados1
1,15 1,0
Elementos construtivos
industrializados com adições in
loco
1,20 1,0
Elementos construtivos em
geral e equipamentos2
1,30 1,0
¹ Por exemplo: paredes e fachadas pré-moldadas, gesso acartonado.
² Por exemplo: paredes de alvenaria e seus revestimentos, contrapisos.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2003).
84
Na Tabela 7 são fornecidos os valores do coeficiente de ponderação a
considerar se, numa combinação, todas essas ações forem agrupadas.
Tabela 7: Ações permanentes diretas consideradas em conjunto
Combinação Tipo de ação Efeito
Desfavorável Favorável
Normal
Grandes pontes1 1,30 1,0
Edificações tipo 1 e pontes em
geral2
1,35 1,0
Edificação tipo 23 1,4 1,0
Especial ou
de
construção
Grandes pontes1 1,20 1,0
Edificações tipo 1 e pontes em
geral2
1,25 1,0
Edificação tipo 23 1,30 1,0
Excepcional
Grandes pontes1 1,10 1,0
Edificações tipo 1 e pontes em
geral2
1,15 1,0
Edificação tipo 23 1,20 1,0
1 Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75%
da
totalidade das ações permanentes.
² Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2.
³ Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5
kN/m2.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2003)
2.5.6.3 Coeficientes de ponderação para as ações variáveis
Segundo a NBR 8681, da ABNT (2003), os coeficientes de ponderação γq das
ações variáveis majoram os valores representativos das ações variáveis que provocam
efeitos desfavoráveis para a segurança da estrutura. As ações variáveis que provocam
85
efeitos favoráveis não são consideradas nas combinações de ações, admitindo-se que
sobre a estrutura atuem apenas as parcelas de ações variáveis que produzam efeitos
desfavoráveis. As ações variáveis que tenham parcelas favoráveis e desfavoráveis, que
fisicamente não possam atuar separadamente, devem ser consideradas conjuntamente
como uma ação única.
Os coeficientes de ponderação γq relativos às ações variáveis que figuram nas
combinações últimas, salvo indicação em contrário, expressa em norma relativa ao
tipo de construção e de material considerados, devem ser tomados com os valores
básicos indicados na Tabela 8 para cada uma das ações consideradas separadamente.
Tabela 8: Ações variáveis consideradas separadamente
Combinação Tipo de ação Coeficiente de
ponderação
Normal
Ações truncadas1 1,2
Efeito de temperatura 1,2
Ação do vento 1,4
Ações variáveis em geral 1,5
Especial ou
de construção
Ações truncadas1 1,1
Efeito de temperatura 1,0
Ação do vento 1,2
Ações variáveis em geral 1,3
Excepcional Ações variáveis em geral 1,0
1Ações truncadas são consideradas ações variáveis cuja distribuição de
máximos é truncada por um dispositivo físico de modo que o valor dessa
ação não pode superar o limite correspondente. O coeficiente de ponderação
mostrado na Tabela 4 se aplica a esse valor limite.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2003)
Se as ações forem consideradas conjuntamente, empregam-se os valores
expressos na Tabela 9.
86
Tabela 9: Ações variáveis consideradas em conjunto
Combinação Tipo de ação Coeficiente de
ponderação
Normal Pontes e edificações tipo 1
Edificações tipo 2
1,5
1,4
Especial ou
de construção
Pontes e edificações tipo 1
Edificações tipo 2
1,3
1,2
Excepcional Estruturas em geral 1,0
Quando a ações variáveis forem consideradas conjuntamente, o coeficiente
de ponderação mostrado nesta tabela se aplica a todas as ações, devendo-se
considerar também conjuntamente as ações permanentes diretas. Nesse caso
permite-se considerar separadamente as ações indiretas como recalque de
apoio e retração dos materiais e o efeito de temperatura.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2003)
2.5.6.4 Valores dos fatores de combinação e de redução
Segundo a NBR 8681, da ABNT (2003), os fatores de combinação ψ0, salvo
indicação em contrário, expressa em norma relativa ao tipo de construção e de material
considerados, estão indicados na Tabela 10, juntamente com os fatores de redução ψ1 e
ψ2 referentes às combinações de serviço.
87
Tabela 10: Valores dos fatores de combinação (ψ0) e de redução (ψ1 e ψ2) para
as ações variáveis
Ações ψ0 ψ1 ψ23,4
Cargas acidentais de edifícios
Locais em que não há predominância de pesos e de
equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de
pessoas1.
Locais em que há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de
pessoas2.
Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e garagens.
0,5
0,7
0,8
0,4
0,6
0,7
0,3
0,4
0,6
Vento
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral
0,6
0,3
0
Temperatura
Variações uniformes de temperatura em relação à
média anual local 0,6 0,5 0,3
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos
Passarelas de pedestres
Pontes rodoviárias
Pontes ferroviárias não especializadas
Pontes ferroviárias especializadas
Vigas de rolamentos de pontes rolantes
0,6
0,7
0,8
1,0
1,0
0,4
0,5
0,7
1,0
0,8
0,3
0,3
0,5
0,6
0,5 1 Edificações residenciais, de acesso restrito.
2 Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público.
3 Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo,
admite-se adotar para ψ2 o valor zero. 4 Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o
fator de redução ψ2 pode ser reduzido, multiplicando-o por 0,7.
Fonte: NBR 8681, da ABNT (2003).
88
2.5.6.5 Combinações em estado limite de serviço
Na verificação da segurança das estruturas de madeira são usualmente
considerados os estados limites de serviço caracterizados por:
a. Deformações excessivas, que afetam a utilização normal da construção ou
seu aspecto estético;
b. Danos em materiais não estruturais da construção em decorrência de
deformações da estrutura;
c. Vibrações excessivas.
A NBR 8681, da ABNT (2003), apresenta as seguintes combinações:
Combinações quase permanentes de serviço
Nas construções correntes são utilizadas as combinações quase permanentes.
As verificações da segurança em relação aos estados limites de serviço são feitas
admitindo-se apenas os carregamentos usuais, correspondentes às combinações de
longa duração. Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações
variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes ψ2 FQk, portanto:
∑ ∑
(6)
Combinações frequentes de serviço
Nas construções em que haja materiais frágeis não estruturais e nas construções
em que o controle de deformações seja particularmente importante, a verificação da
segurança deve ser feita com as combinações de média ou de curta duração, a critério
do proprietário da obra, em função do rigor da segurança pretendida.
Nas combinações frequentes de serviço, a ação variável principal FQ1 é tomada
com seu valor frequente ψ1 FQ1,k e todas as demais ações variáveis são tomadas com
seus valores quase-permanentes ψ2 FQk:
∑ ∑
(7)
89
Combinações raras de serviço
Em casos especiais, a critério do proprietário da construção, pode ser exigida a
verificação da segurança em função das combinações de duração instantânea.
Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal FQ1 é tomada com
seu valor característico FQ1,k e todas as demais ações são tomadas com seus valores
frequentes ψ1 FQk:
∑ ∑
(8)
2.6 LINHAS DE INFLUÊNCIAS
No dimensionamento de uma estrutura submetida a cargas móveis, deve-se
levar em consideração não só a intensidade das cargas aplicadas, mas também o
posicionamento das mesmas sobre a estrutura, para que seja determinada a posição em
que as cargas produzam seus efeitos mais extremos, tanto positivos quanto negativos.
Uma alternativa seria variar o posicionamento das cargas acidentais móveis e
selecionar seus efeitos mais desfavoráveis, todavia, essa opção não é prática, tão
pouco eficiente, exceto para estruturas e carregamentos extremamente simples. A
solução para esse tipo de situação é a utilização das Linhas de Influências (LIs), que
permitem determinar as posições das cargas móveis e acidentais que provocam efeitos
extremos de um determinado esforço em uma seção de uma estrutura.
Linhas de Influências (LIs) descrevem a variação de um determinado efeito
(por exemplo, uma reação de apoio, um esforço cortante ou um momento fletor em
determinada seção) em função da posição de uma carga unitária que passeia sobre a
estrutura. Assim, a LI de momento fletor em uma seção é a representação gráfica ou
analítica do momento fletor, na seção de estudo, produzida por uma carga concentrada
unitária, geralmente de cima para baixo, que percorre a estrutura (MARTHA, 2010).
Vale a pena ressaltar que as LIs apresentam os efeitos provocados por uma
carga móvel unitária em apenas uma seção da estrutura, para todos os possíveis
posicionamentos dessa carga móvel, diferentemente dos diagramas de esforços, que
90
apresentam os valores das solicitações em toda extensão da peça, para apenas uma
condição de carregamento.
Para qualquer estrutura submetida à ação de cargas móveis, isoladas ou em
conjunto, é necessário que se saiba que cada posição desta(s) carga(s), produz(em)
efeitos diferentes. Assim, se faz necessário a determinação da posição mais
desfavorável dessa carga, ou desse conjunto de cargas para a determinação de seus
respectivos efeitos extremos. Através das LIs é possível determinar o efeito de cargas
móveis de vários tipos, concentradas ou distribuídas, de intensidade uniforme ou
variada, além de permitir também, determinar as condições de carregamentos que
provocam mínimos e máximos efeitos.
Com base no traçado de LI, é possível obter os chamados envoltórios limites de
esforços que são necessários para o dimensionamento de estruturas submetidas a
cargas móveis ou acidentais. Os envoltórios limites de momento fletor em uma
estrutura descrevem, para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os valores
máximos e mínimos de momento fletor em cada uma das seções da estrutura, de forma
análoga ao que descreve o diagrama de momentos fletores para um carregamento fixo.
Assim, o objetivo da análise estrutural para o caso de cargas móveis ou acidentais é a
determinação de envoltórios de máximos e mínimos de momentos fletores, esforços
cortantes etc., o que possibilitará o dimensionamento da estrutura submetida a este tipo
de solicitação. Os envoltórios são, em geral, obtidos pela visualização gráfica de
valores máximos e mínimos, respectivamente, de esforços calculados em um
determinado número de seções transversais ao longo da estrutura (MARTHA, 2010).
2.6.1 Linhas de influencias em vigas biapoiadas
O processo para determinação de LI para estruturas isostáticas é relativamente
simples, bastando equacionar explicitamente o equilíbrio da estrutura submetida a uma
carga concentrada unitária, com posicionamento genérico (x), em relação a um ponto
de referência. Como exemplo, analisa-se a viga isostática biapoiada representada na
Figura 35.
91
Figura 35: Viga isostática biapoiada submetida a carregamento unitário.
Na Figura 34 tem-se uma carga unitária aplicada a uma distância x do apoio A
e uma seção S situada a uma distância x0 do mesmo apoio. As reações dos apoios A e
B foram convencionadas para cima. Com utilização das equações fundamentais da
estática é possível determinar as reações RA e RB em função da variável x e do vão L.
Assim obtém-se:
∑
( )
( ) ⁄
⁄ (9)
Como,
⁄ (10)
Essas equações são representações analíticas das linhas de influência das
reações de apoio, também chamada de função de influência, pois expressam a variação
de RA e RB em função da posição x da carga concentrada unitária. Portanto, pode-se
facilmente fazer a representação gráfica das LIs para as reações dos apoios A e B,
através das equações 9 e 10, representadas nas Figuras 36 e 37:
92
Figura 36: LI da reação do apoio A
A ordenada “YS”, na Figura 36, representa o valor da reação de apoio RA
quando a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”. Analogamente traça-se a LI
da reação RB.
Figura 37: LI da reação do apoio B
As mesmas condições de equilíbrio são utilizadas para a determinação das LIs
da força cortante e do momento fletor. Para esses casos, duas situações devem ser
observadas, uma quando a força está aplicada a esquerda da seção considerada e outra
quando a força está aplicada a direita da seção em estudo.
Portanto, a força cortante será, para carga aplicada à esquerda da seção, ou seja
:
(11)
Para carga aplicada à direita da seção, ou seja , a força cortante
será:
(12)
A função de influência da força cortante, para carga aplicada à esquerda da
seção considerada, é obtida como segue:
Sendo ⁄ e , obtém-se:
𝑅𝐴 𝑥 𝐿⁄
𝑃/ 𝑥 ⟹ 𝑅𝐴(𝑥)
𝑃/ 𝑥 𝐿 ⟹ 𝑅𝐴(𝑥)
𝑅𝐵(𝑥) 𝑥 𝐿⁄
𝑃/ 𝑥 ⟹ 𝑅𝐵(𝑥)
𝑃/ 𝑥 𝐿 ⟹ 𝑅𝐵(𝑥)
93
( ) ( ⁄ ) ⁄
/ ⟹ ( )
/ ⟹ ( ) ⁄
Para carga unitária aplicada à direita da seção, tem-se:
( ) ⁄
/ ⟹ ( ) ⁄
/ ⟹ ( )
Verifica-se que a LI do efeito cortante é negativa para carga aplicada à
esquerda da seção e positiva para carga aplicada à direita da seção considerada. Para o
traçado das LIs, são convencionados valores negativos acima da linha do eixo da viga
e positivo abaixo dela. Tem-se então o traçado da LI da força cortante para a estrutura
em questão, como se apresenta na Figura 38.
Figura 38: LI da força cortante para viga isostática biapoiada.
Para o momento fletor, a partir do esquema estático da Figura 34, obtém-se
para carga aplicada à esquerda da seção, ou seja, .
94
( ) (13)
Para carga aplicada à direita da seção, ou seja, com , obtém-se:
(14)
Como ⁄ e , obtém-se a seguinte função de influência para o
momento fletor:
( ⁄ ) ( ) ( ) ⁄
( ⁄ ), para
( ⁄ ), para
A representação gráfica da (LI) do momento fletor é apresentada na Figura 39.
Figura 39: LI do momento fletor para viga isostática biapoiada
95
2.6.2 Linhas de influências para arcos triarticulados
Sejam o arco triarticulado de alma cheia AGB e a correspondente viga de
substituição, apresentados da Figura 40, nos quais: L é o vão AB, medido
horizontalmente; L1 é à distância AG, medido horizontalmente; L2 é à distância GB,
medido horizontalmente; f é a flecha medida verticalmente entre G e a linha de
fechamento entre A e B.
Figura 40: Arco triarticulado AGB e viga de substituição
96
Em decorrência da carga unitária P, aplicada a uma distância x0 medida
horizontalmente a partir do apoio A, surgirão nos apoios A e B as forças verticais VA e
VB, respectivamente, e as forças horizontais HA e HB respectivamente, que podem ser
calculados pelas equações fundamentais da estática, como segue:
∑ ⟹
∑ ⟹
∑ ⟹ ( )
[ ( ) ] ⁄ (15)
Nas expressões 16 a 37, os índices maiúsculos referem-se ao arco AGB e os
índices minúsculos referem-se à viga de substituição ab.
A expressão [P.(L1 - x0) – VA. L1], presente na Equação 15, equivale ao
momento fletor no ponto “g” na viga de substituição, assim sendo:
( )⁄ (16)
Como ∑ , então:
( )
( )/ (17)
Para , tem-se / , que é o mesmo valor da reação vertical
da viga de substituição. O cálculo das reações de apoio do arco triarticulado AGB
recai, então, no cálculo da viga de substituição ab e são fornecidas pelas expressões:
( )⁄ (18)
Sendo φ o ângulo de inclinação do arco em relação a horizontal em uma seção
genérica S, de abscissa x medida a partir do apoio A, ordenada y medida a partir da
linha de fechamento AB e, conforme ilustrado na Figura 41.
97
Figura 41: Obtenção do ângulo φ
Os valores do Momento fletor, força cortante e força normal são dadas pelas
seguintes expressões:
( ) (19)
( ) ( ) (20)
( ) ( ) (21)
Como, a expressão [ ( )], presente na Equação 19, é igual ao
momento fletor na seção s da viga de substituição e ( ) é a expressão da força
cortante na seção s, o cálculo dos esforços simples na seção S do arco triarticulado
AGB recai no cálculo de sua viga de substituição ab e são dados pelas expressões:
(22)
( ) (23)
( ) (24)
Observando-se as expressões 22 a 24, conclui-se que a resolução do arco
triarticulado AGB pode ser feita por meio da viga de substituição ab. Com essas
expressões dos esforços, podem ser escritas as funções de influência para o arco
98
triarticulado AGB, tomando como referência as funções de influência da viga de
substituição ab. Tem-se então:
(25)
(26)
( ⁄ ) (27)
(28)
( ) (29)
( ) (30)
Nota-se que a LI do momento fletor na seção S será obtida a partir da união de
duas LIs, que correspondem aos termos da expressão de LIMS. Na Figura 42 são
apresentadas essas LIs.
Figura 42: Linhas de Influência parciais da Linha de Influência de MS
a) LI do Momento fletor da viga de b) LI da expressão (-y.cosα.LiH).
substituição, na seção s.
Na Figura 43 ilustram-se as linhas de influência de um arco triarticulado.
99
Figura 43: Linhas de Influências de um arco triarticulado
Em geral as cargas a serem consideradas nos projetos de estruturas solicitadas
por carregamento móvel, são especificadas em Normas Técnicas. Estas cargas são
representadas pelos chamados trem-tipo, onde são indicadas as cargas concentradas, as
distâncias entre elas, além de eventuais cargas distribuídas. Conhecido o carregamento
permanente e dado um determinado "trem-tipo" constituído de cargas concentradas e
distribuídas, pode-se determinar os valores máximos dos esforços numa seção. Na
100
pesquisa destes valores máximos deve-se considerar o carregamento permanente em
toda a estrutura e o carregamento variável (trem-tipo) nas posições mais desfavoráveis.
2.6.2.1 Linhas de influências para arcos triarticulados nivelados
Um caso comum para arcos é possuir os apoios no mesmo nível, conforme
ilustrado na Figura 44.
Figura 44: Arco triarticulado nivelado
Neste caso, o ângulo α, que é o ângulo formado entre os apoios A e B do arco,
será igual a zero. Sendo cos0º = 1, as expressões que definem os esforços simples do
arco e as expressões que definem as linhas de influência do arco ficam reduzidas,
como se apresenta nas equações 31 a 37.
101
(31)
(32)
(33)
( ⁄ ) (34)
(35)
( ) (36)
( ) (37)
2.6.2.2 Linhas de influências para carregamentos indiretos
Segundo Fonseca (1974) o carregamento indireto ocorre quando a transmissão
das cargas sobre a estrutura principal em estudo se efetua por intermédio de elementos
intermediários. Nesses casos, as reações de apoios são as mesmas que se obteriam se o
carregamento fosse aplicado de forma direta, porém os esforços simples sofrem
influência das peças de transmissão. Dessa forma, as linhas de influência dos esforços
ficam modificadas devido à natureza indireta da carga.
No caso de ponte em arcos triarticulados com tabuleiro superior, as cargas são
aplicadas no tabuleiro e transmitidas aos arcos através das longarinas, transversinas e
pilares. A Figura 45 ilustra o esquema da ponte em arco com tabuleiro superior para
determinação das LIs para carregamento indireto.
102
Figura 45: Esquema de uma ponte em arco com tabuleiro superior
As linhas de influência das reações de apoio apresentam modificações por
carregamento indireto, pois o comprimento do tabuleiro CH é diferente do
comprimento da viga de substituição AB, assim sendo, o carregamento aplicado nos
trechos CD e FH produzem alterações nas LIs dos arcos. A Figura 46 ilustra a LI de
VA do arco para carregamento direto.
Figura 46: LI de VA do arco para carregamento direto
103
A Figura 47 ilustra a LI de VA para carregamento indireto no arco AGB
considerando cargas unitárias aplicadas no trecho CD e FH.
Figura 47: LI de VA para carregamento indireto
As LIs de reações em C e em H não interessam para esse estudo pois os
esforços não são transmitidos aos arcos e sim para os apoios das encostas. A LI de
reação em B é análoga a LI de reação em A.
Para o traçado da LI de H e da LI de M em determinada seção, também se faz
necessário os ajustes para carregamento indireto, considerando as cargas aplicadas nos
trechos à esquerda de A e a direita de B. A Figura 48 ilustra a LI de H para o
carregamento indireto em estudo.
104
Figura 48: LI de H para carregamento indireto
A Figura 49 ilustra a LI de M na seção S, para o carregamento indireto em
estudo.
105
Figura 49: LI de MS para carregamento indireto
Assim, pode-se dizer que a aplicação indireta do carregamento por meio de
uma viga biapoiada acarreta alteração na LI, de qualquer efeito, correspondente a
união das ordenadas da LI sob pontos de apoio da viga biapoiada por uma reta. Essa
linearidade é reflexo do traçado das LIs de reações de apoio da viga biapoiada.
2.7 RÓTULAS
Uma ligação articulada em um modelo estrutural é chamada de rótula e é
representada no esquema estático por um circulo. Uma rótula libera a continuidade de
rotação no interior de uma estrutura. A colocação de uma rótula em uma peça
estrutural faz com que, na rótula, o momento fletor seja nulo independentemente do
sentido em que a peça esteja sendo analisada, dessa forma existe a transmissão de
apenas dois esforços internos: o esforço cortante e o esforço normal.
106
De acordo com Martha (2010) isso é, na verdade, uma condição adicional de
equilíbrio imposta por uma rótula, pois a resultante momento de qualquer um dos
lados daquela rótula tem de ser nula. Se a resultante momento de qualquer um dos
lados da rótula não fosse nula, cada parte giraria em torno do ponto da rótula. Uma
rótula simples na ligação de duas barras só impõe uma condição adicional de
equilíbrio. Embora o momento fletor tenha de ser nulo em cada lado da rótula, a
imposição de momento fletor nulo apenas por um lado da rótula já garante que o
momento fletor entrando pelo outro lado também seja nulo, posto que o equilíbrio
global de momentos em qualquer ponto já é considerado.
Nas pontes de MLC com estrutura em forma de arcos triarticulados, as rótulas
são utilizadas tanto na base dos arcos, fazendo a conexão do arco com os apoios, como
no fecho do arco. Ilustra-se nas Figuras 50 e 51 a rótula de conexão entre o apoio e o
arco de madeira laminada da ponte Hopland Casino na Califórnia, EUA.
Figura 50: Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada - Hopland Casino
Bridge – Califórnia
Fonte: GILHAM (s/d)
107
Figura 51: Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada Hopland Casino Bridge
– Califórnia
Fonte: GILHAM (s/d)
Ilustra-se na Figura 52 a rótula do fecho do arco da ponte Steinhart Park Road
em Nebraska City, EUA.
Figura 52: Detalhes da rótula do fecho da Steinhart Park Road, Nebraska City, EUA
Fonte: http://bridgehunter.com/ne/otoe/steinhart-park-road/
108
2.8 CONTRAVENTAMENTO
O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), dispõe que as estruturas
formadas por um sistema principal de elementos estruturais, dispostos com sua maior
rigidez em planos paralelos entre si, devem ser contraventadas por outros elementos
estruturais, dispostos com sua maior rigidez em planos ortogonais aos primeiros, de
modo a impedir deslocamentos transversais excessivos do sistema principal e garantir
a estabilidade global do conjunto. Ilustra-se nas Figuras 53 a Ponte Tynset, construída
em Oslo, na Noruega, e o sistema de contraventamentos do vão principal da ponte.
Figura 53: Contraventamento da Ponte Tynset, Oslo – Noruega
Fonte: http://www.panoramio.com
Segundo Fusco et al. (2006) no dimensionamento do contraventamento devem
ser consideradas as imperfeições geométricas das peças, as excentricidades inevitáveis
dos carregamentos e os efeitos de segunda ordem decorrentes das deformações das
peças fletidas.
109
3 MATERIAIS E MÉTODOS
Para o desenvolvimento dos roteiros de cálculo dos elementos da
superestrutura da ponte em arco triarticulado, foi adotado como parâmetro de
dimensionamento as características geométricas do Rio Claro, no Município de Cuiabá
próximo à divisa com o Município de Chapada dos Guimarães, onde atualmente existe
construída uma ponte em vigas de madeira serrada, na qual só é permitida a passagem
de veículos de pequeno porte, pois existe uma placa no local proibindo a passagem de
caminhões. Ilustra-se na Figura 54 o Rio Claro e a ponte existente.
Figura 54: Ponte sobre o Rio Claro
Fonte: Foto do autor (2012).
O rio possui uma largura de aproximadamente 22 metros e a ponte existente
possui um tabuleiro de 35 metros de comprimento, sendo a distância entre pilares de
20,34 metros e o tabuleiro dista 6,60 metros em relação ao nível do rio.
A ponte em arco triarticulado a ser dimensionada possui tabuleiro superior com
24 m de comprimento, 22 metros de distância entre os apoios e 6 m de flecha dos
110
arcos. Para o dimensionamento dos elementos da superestrutura da ponte, serão
consideradas madeira serrada da classe D60 para tabuleiro, longarinas, transversinas e
pilares e MLC de classe C30. Os esforços solicitantes serão obtidos através das LIs e
os dimensionamentos dos elementos seguirão as determinações do projeto de revisão
da NBR 7190, da ABNT (2011). A Figura 55 ilustra a planta baixa da Ponte a ser
dimensionada.
111
Figura 55: Planta baixa da Ponte a ser dimensionada
112
A vista lateral da ponte com respectivas características geométricas é ilustrada
na Figura 56.
Figura 56: Vista lateral da Ponte a ser dimensionada
113
A Figura 57 ilustra um corte transversal da ponte entre os pilares 1 e 2.
Figura 57: Corte transversal da ponte a ser dimensionada
Para o desenvolvimento do projeto da ponte em arco triarticulado, foram
estabelecidos roteiros de dimensionamento para o tabuleiro, a longarina, a
transversina, o pilar e o arco de sustentação da ponte, com base no projeto de revisão
da NBR 7190, da ABNT (2011).
114
Foram criados apêndices com os roteiros de cálculos para dimensionamento de
peças estruturais de uma ponte em arco: submetidas à flexão simples reta (tabuleiro,
longarinas e transversinas); a compressão (pilares); e a flexocompressão simples reta
(arcos).
115
4 DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA SUPERESTRUTURA DA
PONTE
Os elementos da superestrutura da ponte a serem dimensionados são o
tabuleiro, as longarinas principais e secundárias, a transversina, o pilar mais solicitado
e o arco triarticulado da ponte em estudo.
4.1 DIMENSIONAMENTO DO TABULEIRO
As peças do tabuleiro são vigas de madeira apoiadas nas duas extremidades nas
longarinas. A Figura 58 ilustra um corte transversal da ponte em estudo, nota-se que
existem cinco longarinas, as longarinas principais que são compostas por duas peças
associadas e estão situadas abaixo dos rodeiros e as longarinas secundárias situadas
nas extremidades e no centro do vão, que dividem a seção transversal do tabuleiro em
quatro vãos de um metro cada. Assim sendo, as peças que compõem o tabuleiro são
vigas biapoiadas, de um metro de comprimento, submetidas a carregamento vertical
perpendicular ao eixo principal da peça.
Figura 58: Corte transversal da ponte em estudo evidenciando o tabuleiro
116
No projeto do tabuleiro adotou-se o uso de rodeiro e guarda rodas, pois com as
rodas diretamente sobre o rodeiro o carregamento móvel no tabuleiro será apenas a
carga distribuída estipulada pela NBR 7188, da ABNT (1984), de 5 kN/m2,
correspondente aos veículos menores e pessoas sobre a ponte. A Figura 59 ilustra a
vista superior do tabuleiro da ponte destacando o rodeiro e o guarda rodas.
Figura 59: Vista superior do tabuleiro da Ponte
De acordo com o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), em
pontes rodoviárias ou para pedestres, sem revestimento protetor, deve-se admitir uma
camada de desgaste com pelo menos 2 cm de espessura. Nesse sentido, a peça adotada
terá sua altura reduzida no cálculo de características geométricas e resistência
mecânica, como previsão ao desgaste, e serão mantidas suas dimensões reais para o
cálculo do peso próprio.
Para cálculo inicial do tabuleiro, foram adotadas peças com dimensões de 30
cm de largura, 4 cm de espessura, 2 cm de revestimento e 1m de comprimento.
Para as verificações de cálculo foi utilizado o roteiro para dimensionamento de
elementos estruturais submetidos à flexão simples reta, apresentado no Apêndice G.
117
4.1.1 Características geométricas da peça
Momento estático
Momento de Inércia
Largura da seção transversal no centro de gravidade (b)
Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada (yt2)
4.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade
Os valores de cálculo da resistência e da rigidez efetiva são dados por:
e
Para carregamento de longa duração e classe de umidade 1, de acordo com os
valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D, tem-se para a madeira não
classificada da classe D 60, os seguintes valores:
/ (densidade aparente)
/ (peso específico aparente)
118
4.1.3 Determinação dos esforços de calculo e flecha de serviço
a) Carregamento permanente
Dimensões da peça adotada:
Volume da peça:
Peso específico da madeira D60: ⁄
Peso próprio:
Peso das ligações:
Carregamento distribuído: ⁄ /
A Figura 60 ilustra o carregamento permanente a ser considerado:
Figura 60: Carregamento permanente do tabuleiro
Os esforços característicos devido ao carregamento permanente a serem
considerados são:
b) Carregamento variável
Dimensões da peça adotada: 0,30 m x 0,06 m x 1,00 m
Área de superfície da peça: 0,30 m²
Carga total: (
) ( )
Carregamento distribuído: ⁄ /
A Figura 61 ilustra o carregamento variável a ser considerado.
119
Figura 61: Carregamento variável do tabuleiro
Os esforços característicos devido ao carregamento variável a serem
considerados são:
c) Impacto vertical
Coeficiente de impacto ( ):
( )
( )
Onde:
= coeficiente de impacto;
= coeficiente associado à rugosidade da via, definido em norma, que para
vias de madeira sem revestimento é de 20;
L= vão do elemento considerado em m.
Os esforços característicos devido ao impacto vertical a serem considerados
são:
( )
( )
( )
d) Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)
Utilizando a Equação 3 para a determinação da força cortante de cálculo Vd e
do momento fletor de cálculo Md, e da Equação 6 para a determinação da flecha de
serviço , tem-se:
120
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4.1.4 Verificação da tensão normal
De acordo com as Equações 54 e 55 do Apêndice G, tem-se:
Ok!
4.1.5 Verificação da tensão de cisalhamento
De acordo com a Equação 56 do Apêndice G, tem-se:
Ok!
121
4.1.6 Verificação da flecha de serviço
De acordo com a Equação 57 do Apêndice G, tem-se:
( )
( )
( )
Ok!
122
4.2 DIMENSIONAMENTO DAS LONGARINAS
As longarinas são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes do
tabuleiro e transmiti-las às transversinas. A ponte em estudo possui cinco longarinas,
divididas em onze vãos: três vãos de 2,00 m de comprimento, nas encostas e no vão
central da ponte, e os demais de 2,25 m de comprimento. Em uma vista lateral da
ponte, ilustrado na Figura 62, é possível visualizar as divisões das longarinas
caracterizadas pelos pontos de apoios das longarinas nas transversina.
Figura 62: Vista lateral da ponte em estudo
As longarinas localizadas abaixo dos rodeiros, chamadas de longarinas
principais, são as mais exigidas mecanicamente por receber diretamente as cargas dos
veículos que passam sobre a ponte. As demais longarinas, chamadas de longarinas
secundárias, que estão situadas nas extremidades e no centro do tabuleiro, recebem
apenas uma pequena parcela das cargas concentradas provenientes do veículo tipo que
trafega sobre a ponte, tendo como carga variável o carregamento distribuído estipulado
na NBR 7188, da ABNT (1984), correspondente à faixa do tabuleiro destinada ao
transito de pessoas, e uma pequena parcela do carregamento móvel, oriunda da
influência do veículo tipo. A Figura 63 ilustra o posicionamento das longarinas
principais e secundárias da ponte em estudo.
123
Figura 63: Longarinas principais e secundárias
As cargas móveis atuantes nas longarinas foram obtidas através da Linha de
Influência de reação, do conjunto do tabuleiro, sobre as longarinas.
As peças que compõem as longarinas são vigas apoiadas nas transversinas, que
não dão continuidade de um vão para o outro, para que as cargas aplicadas em um vão
não causem influências no vão seguinte. Para o cálculo das longarinas principais
foram adotadas vigas de madeira da classe D60, sendo as longarinas principais
formadas por duas peças de seção retangular, com 25 cm de base e 30 cm de altura,
justapostas lado a lado e, cada longarina secundaria formada por uma peça de seção
retangular com 20 cm de base e 30 cm de altura. Para as verificações de cálculo foi
utilizado o roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexão
simples reta, apresentado no Apêndice G.
124
4.2.1 Dimensionamento das longarinas principais
As longarinas principais estão situadas abaixo dos rodeiros, dessa forma, são
responsáveis por absorver as cargas provenientes do trem-tipo e são compostas por
duas peças de 25x30 cm².
4.2.1.1 Características geométricas da peça
Momento estático ( ):
Momento de Inércia ( ):
Largura da seção transversal no centro de gravidade ( ):
Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada (yt2):
4.2.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade efetivo
Para carregamento de longa duração e classe de umidade 1, de acordo com os
valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D, tem-se para a madeira não
classificada da classe D 60, os seguintes valores:
/ (densidade aparente)
125
/ (peso específico aparente)
4.2.1.3 Carregamentos e solicitações características
a) Carregamento permanente
Peso do tabuleiro ( ):
( ) ⁄
⁄ ⁄
Peso da longarina ( ):
( ) ⁄
/ /
Peso das peças de madeira ( ):
/
Peso das ligações ( ):
/
Carregamento distribuído ( ):
/
A Figura 64 ilustra o carregamento permanente a ser considerado no cálculo
das longarinas.
Figura 64: Carregamento permanente das longarinas principais
Os esforços característicos devido ao carregamento permanente a serem
considerados são:
( )
126
( )
( )
b) Carregamento variável
O estudo do carregamento variável das longarinas deve ser feito com a
obtenção do trem-tipo sobre as longarinas, utilizando a LI de reação, do conjunto do
tabuleiro, sobre a longarina em estudo.
As longarinas principais, localizadas abaixo dos rodeiros, são as responsáveis
por receber as cargas provenientes dos veículos e transmiti-las às transversinas. As
direções do centro de gravidade das longarinas principais coincidem com a direção do
centro dos rodeiros, porém, como o rodeiro possui o dobro da largura dos pneus do
veículo, existe a possibilidade dos veículos não trafegarem no centro de gravidade dos
rodeiros. Todavia, quando o veículo trafega no centro do rodeiro, as cargas variáveis
são depositadas integralmente nas longarinas principais, causando assim, as condições
mais desfavoráveis para as mesmas. A Figura 65 ilustra um veículo trafegando sobre a
ponte com as rodas nos eixos dos rodeiros.
Figura 65: Veículo no eixo dos rodeiros
O trem-tipo para a situação descrita é ilustrado na Figura 66.
127
Figura 66: Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas principais
O valor da ordenada da LI de R no próprio apoio é igual a 1 e a ordenada η1
pode ser obtido através da semelhança de triângulos, sendo seu valor 0,5.
128
A carga concentrada P, que para o cálculo das longarinas principais deve ser
aplicada no apoio, é obtida multiplicando o peso de cada roda, que é de 75 kN, pela
ordenada da LI sob a carga, que é igual a 1. Dessa forma tem-se
O carregamento q1 ocorre na faixa unitária de ponte sob o veículo,
correspondendo aos veículos mais leves e/ou pedestres, transitando lateralmente ao
veículo.
O valor do carregamento q1 é obtido multiplicando o carregamento distribuído
estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área da LI até a cota η1 .
*( )
+ /
As longarinas principais estarão submetidas ao carregamento q2 quando não
houver veículos trafegando sobre a ponte ou nas faixas onde não se encontram
veículos. Para obtenção do carregamento q2 deve-se carregar a LI, apenas no trecho
que provoca acréscimo na reação, com a carga de 5 kN/m² estipulado na NBR 7188,
da ABNT (1984).
O valor do carregamento q2 é obtido multiplicando o carregamento distribuído
pela área total da LI (At).
(
) /
Com os valores de P, q1 e q2 determinados, obtém-se o trem tipo para as
longarinas principais que é ilustrado na Figura 67.
Figura 67: Trem-tipo para as longarinas principais
Logsdon (1982) obteve para vigas simplesmente apoiadas de pontes, sem
restrição na posição do veículo, o momento máximo e a flecha máxima no centro do
vão e força cortante máxima nos apoios. Assim sendo, a situação mais desfavorável
para o momento fletor e a flecha máxima das longarinas se dá quando a carga
concentrada encontra-se aplicada no meio do vão e para a força cortante quando a
129
carga concentrada é aplicada nos apoios. A Figura 68 ilustra o carregamento variável
para o cálculo do momento fletor e flecha máxima (a) e para o cálculo da força
cortante (b).
Figura 68: Carregamento variável para o cálculo das longarinas principais
Os esforços característicos devido ao carregamento variável a serem
considerados para as longarinas principais são:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
c) Impacto vertical
O impacto vertical é função do coeficiente de impacto:
( )
( )
Os esforços relativos ao impacto vertical são obtidos a partir dos esforços
devidos à carga móvel, como segue:
( )
( )
130
( )
4.2.1.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)
Utilizando a Equação 3 para a determinação da força cortante de cálculo Vd e
do momento fletor de cálculo Md, e da Equação 6 para a determinação da flecha de
serviço , tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
4.2.1.5 Verificações da tensão normal
De acordo com as Equações 54 e 55 do Apêndice G, tem-se:
OK!
131
4.2.1.6 Verificação da tensão de cisalhamento
De acordo com a Equação 56 do Apêndice G, tem-se:
OK!
4.2.1.7 Verificação da flecha de serviço
De acordo com a Equação 57 do Apêndice G, tem-se:
( )
( )
( )
OK!
132
4.2.2 Dimensionamento das longarinas Secundárias
As longarinas secundárias foram analisadas separadamente e o
dimensionamento feito com os valores encontrados para as longarinas das
extremidades, que apresentaram valores mais desfavoráveis que a longarina secundária
do centro da ponte. A Figura 69 ilustra o volume de madeira sobre a área de influência
da longarina da extremidade.
Figura 69: Volume de madeira sobre a área de influência da longarina da extremidade
4.2.2.1 Características geométricas da peça
Momento estático:
Momento de Inércia:
Largura da seção transversal no centro de gravidade (b):
133
Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada: (yt2):
4.2.2.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade
Para carregamento de longa duração e classe de umidade 1, de acordo com os
valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D, tem-se para a madeira não
classificada da classe D 60, os seguintes valores:
/ (densidade aparente)
/ (peso específico aparente)
4.2.2.3 Carregamentos e solicitações características
a) Carregamento permanente
Peso do tabuleiro ( ):
( ) ⁄
⁄ ⁄
Peso da longarina ( ):
( ) ⁄
/ /
Peso das peças de madeira ( ):
/
Peso das ligações ( ):
/
134
Carregamento distribuído ( ):
/
A Figura 70 ilustra o carregamento permanente a ser considerado no cálculo
das longarinas secundárias:
Figura 70: Carregamento permanente das longarinas secundárias
Os esforços relativos ao carregamento permanente a serem considerados são:
b) Carregamento variável
Para as longarinas secundárias, a situação mais desfavorável ocorre quando o
veículo tipo trafega ligeiramente deslocado do centro do rodeiro, transferindo dessa
forma, uma parcela do carregamento variável proveniente do veículo tipo para as
longarinas secundárias. A Figura 71 ilustra o veículo tipo trafegando fora do centro
dos rodeiros, posição mais desfavorável para as longarinas das extremidades.
135
Figura 71: Veículo tipo fora do eixo dos rodeiros
O trem-tipo para a situação descrita é ilustrado na Figura 72.
136
Figura 72: Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas secundárias
137
O valor da ordenada da LI de R no apoio é igual a 1 e as ordenadas η1 e η2
podem ser obtidas por semelhança de triângulos, sendo seus valores 0,75 e 0,25
respectivamente.
A carga concentrada P, que para o cálculo das longarinas secundárias deve ser
aplicada fora do apoio, é obtida multiplicando o peso de cada roda, que é de 75 kN,
pela correspondente ordenada da LI, que é igual a 0,25. Dessa forma tem-se:
O valor do carregamento q1 é obtido multiplicando o carregamento distribuído
estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área compreendida entre as cotas 1 e
η1 (A1).
*( )
+ /
O valor do carregamento q2 é obtido multiplicando o carregamento distribuído
pela área total da LI.
(
) /
Com os valores de P, q1 e q2 determinados, o trem-tipo para as longarinas
secundárias é ilustrado na Figura 73.
Figura 73: Trem-tipo para o cálculo das longarinas secundárias
A Figura 74 ilustra o carregamento variável para o cálculo do momento fletor e
flecha máxima (a) e para o cálculo da força cortante (b) das longarinas secundárias.
138
Figura 74: Carregamento variável para o cálculo das longarinas secundárias
Os esforços característicos devido ao carregamento variável a serem
considerados para as longarinas secundárias são:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
c) Impacto vertical
O impacto vertical a ser considerado para as longarinas principais é:
( )
( )
Os esforços relativos ao impacto vertical a serem considerados para as
longarinas principais são:
( )
( )
( )
139
4.2.2.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud,uti)
Utilizando a Equação 3 para a determinação da Cortante de cálculo Vd e do
Momento de cálculo Md, e da Equação 6 para a determinação da flecha de serviço
, tem-se:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
4.2.2.5 Verificações da tensão normal
De acordo com as Equações 54 e 55 do Apêndice G, tem-se:
OK!
140
4.2.2.6 Verificação da tensão de cisalhamento
De acordo com a Equação 56 do Apêndice G, tem-se:
OK!
4.2.2.7 Verificação da flecha de serviço
De acordo com a Equação 57 do Apêndice G, tem-se:
( )
( )
( )
OK!
141
4.3 DIMENSIONAMENTO DAS TRANSVERSINAS
As transversinas são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes
das longarinas, principais e secundárias, e transmiti-las aos montantes. A ponte em
estudo possui dez transversinas de 4 m de comprimento, que foram dimensionadas
para a situação mais desfavorável, ou seja, transversinas que apoiam longarinas com
vãos de 2,25 m de comprimento de ambos os lados, o que determina uma área de
influência de 2,25 m de comprimento para cada transversina. A Figura 75 ilustra o
corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas.
Figura 75: Corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas
As transversinas da ponte em estudo são vigas biapoiadas, com balanço em
ambas as extremidades.
Uma rápida análise do esquema estático da transversina indica valores
máximos do momento fletor no centro do vão ou sobre os apoios, valores máximos da
força cortante à esquerda ou à direita do apoio, e valores máximos da flecha no centro
do vão ou na extremidade do balanço. Assim, estes valores devem ser obtidos tanto
para o carregamento permanente como para a carga móvel.
Ao combinar os carregamentos para obter valores de cálculo, os coeficientes de
ponderação da carga permanente serão diferentes caso seja favorável ou desfavorável,
portanto, os efeitos devido à carga permanente devem ser obtidos separados (parcela
142
positiva da parcela negativa) para, na combinação, poder ser utilizado o valor correto
do coeficiente de ponderação. Para valores de serviço (flechas) isso não é necessário.
O carregamento permanente das transversinas é composto pelo peso próprio do
conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas e transversina pertencentes à área de influência
de cada transversina. O peso próprio do conjunto rodeiro, tabuleiro e longarinas atuam
como cargas concentradas aplicadas pelas longarinas nas transversinas.
As cargas móveis atuantes nas transversina foram obtidas através da LI de
reação, do conjunto do tabuleiro e longarina, sobre as transversina.
Para o cálculo das transversinas foram adotadas vigas de madeira da classe
D60, com 25 cm de base e 30 cm de altura. Para as verificações de cálculo foi
utilizado o roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexão
simples reta, apresentado no Apêndice G.
4.3.1 Características geométricas da peça
Momento estático ( ):
Momento de Inércia ( ):
Largura da seção transversal no centro de gravidade ( ):
Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada (yt2):
143
4.3.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade efetivo
Para carregamento de longa duração e classe de umidade 1, de acordo com os
valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D, tem-se para a madeira não
classificada da classe D 60, os seguintes valores:
/ (densidade aparente)
/ (peso específico aparente)
4.3.3 Carregamentos atuantes nas transversinas
a) Carregamento permanente
O carregamento permanente, proveniente do tabuleiro e das longarinas, atua
como cargas concentradas nas transversinas e foi obtido para a área de influência do
conjunto nas transversinas.
Peso do conjunto tabuleiro/longarina das extremidades:
A Figura 76 ilustra o volume de madeira a ser considerado no cálculo do
peso próprio do conjunto tabuleiro/longarina das extremidades.
144
Figura 76: Conjunto tabuleiro/longarina da extremidade
( ) ⁄
( ) ⁄
/
/
/ /
Peso do conjunto tabuleiro/longarina do centro:
A Figura 77 ilustra o volume de madeira a ser considerado no cálculo do
peso próprio do conjunto tabuleiro/longarina do centro da ponte:
Figura 77: Conjunto tabuleiro/longarina do centro da ponte
145
( ) ⁄
( ) ⁄
/
/
/ /
Peso do conjunto rodeiro/tabuleiro/longarina para as longarinas principais:
A Figura 78 ilustra a área de influência a ser considerada no cálculo do
peso próprio do conjunto rodeiro/tabuleiro/longarina para as longarinas principais da
ponte.
Figura 78: Conjunto rodeiro/tabuleiro/longarinas principais
( ) ⁄
( ) ⁄
( ) ⁄
/ /
/ /
/ / /
146
Peso das transversinas ( ):
( ) ⁄ /
Peso das ligações ( ):
/
Carregamento distribuído ( ):
/
A Figura 79 ilustra o carregamento permanente a ser considerado no cálculo
das transversinas.
Figura 79: Carregamento permanente das transversinas
b) Carregamento variável
O estudo do carregamento variável das transversinas deve ser feito com a
obtenção do trem-tipo sobre as transversinas, considerando o carregamento aplicado
de forma indireta às transversinas.
A situação mais desfavorável para o carregamento das transversina ocorre
quando o eixo central do veículo tipo encontra-se sobre uma das transversina, nessa
situação, os três eixos do veículo tipo encontram-se sobre a área de influência da
transversina em estudo.
O carregamento da “linha das transversinas” é indiretamente aplicado às
transversinas, mas utilizando LI de M ou LI de V, obtêm-se os esforços máximos. O
carregamento pode ser aplicado diretamente porque as linhas de ajustes para
carregamento indireto correspondem a aplicar a LI de reação em conjunto com a do
esforço procurado.
147
É importante ressaltar que existe a possibilidade do trem-tipo mover-se
lateralmente 25 cm, para a esquerda ou para direita, em decorrência da largura do
rodeiro.
A Figura 80 ilustra o carregamento na LI da transversina para obtenção
dos esforços solicitantes.
Figura 80: Carregamentos para determinação do trem-tipo para as transversinas
148
Os valores de η1 e η2 podem ser obtidos por meio de semelhança de triângulos
e valem 1,5 e 1,25 respectivamente.
O valor da carga concentrada P é obtida multiplicando o peso de cada roda,
que é de 75 kN, pelas ordenadas da LI sob as cargas. Dessa forma tem-se:
( )
O carregamento q1 ocorre na faixa unitária de ponte sob o veículo,
correspondendo a pedestres transitando lateralmente ao veículo tipo.
O valor do carregamento q1 é obtido multiplicando o carregamento distribuído
estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área da LI compreendida entre η1 e
η2.
*( )
+ /
O carregamento q2 ocorre nas faixas onde não se encontra o veículo tipo ou na
existência de veículos menores.
O valor do carregamento q2 é obtido multiplicando-se o carregamento
distribuído pela área correspondente na LI.
(
) /
Com os valores de P e q1 e q2 obtidos, o trem tipo para o cálculo das
transversinas é ilustrado na Figura 81.
Figura 81: Trem-tipo para o cálculo das transversinas
c) Impacto vertical
O impacto vertical é função do coeficiente de impacto:
( )
( )
149
4.3.4 Solicitações de cálculo
a) Força cortante
Para determinação da força cortante, carregou-se a LI de V, com os
carregamentos permanentes, positivo e negativo, e o trem-tipo obtido para as
transversinas na posição que provocam máximos efeitos. A Figura 82 ilustra o
carregamento da LI de V para obtenção da Força Cortante.
Figura 82: Carregamento da LI de V das transversinas
Os valores das ordenadas para o cálculo da força cortante podem ser obtidas
por semelhança de triângulos e estão apresentadas na Tabela 11.
150
Tabela 11: Ordenadas da LI de V das transversinas
η1 η2 η3 η4 η5 η6 η7 η8
0,5 0,375 0,125 0,5 0,125 -0,125 -0,375 -0,5
É importante ressaltar que as cargas concentradas permanentes provenientes
das longarinas principais são absorvidas diretamente pelos apoios das transversinas,
não interferindo dessa forma na força cortante aplicada à esquerda ou à direita dos
apoios.
A força cortante positiva a ser considerada devido ao carregamento permanente
é:
( )
Ressalta-se que o carregamento distribuído permanente das transversina refere-
se ao peso próprio da mesma, sendo assim ele é carregamento direto, devendo ser
multiplicado por toda a área da LI.
A força cortante negativa a ser considerada devido ao carregamento
permanente é:
( ) ( )
A força cortante positiva a ser considerada devido ao carregamento variável é:
( )
( )
( )
A força cortante negativa a ser considerada devido ao carregamento variável é:
( )
( )
( )
O valor de cálculo máximo da força cortante na transversina é obtido através
da seguinte combinação de ações:
[ ( )
]
( )
151
b) Momento fletor
Para determinação do momento fletor máximo, carregou-se a LI de M com o
carregamento permanente, positivo e negativo, e o trem-tipo obtido para as
transversinas na posição que provocam máximos efeitos. A Figura 83 ilustra o
carregamento da LI de M para obtenção do momento fletor máximo.
Figura 83: Carregamento da LI de M para o cálculo do momento fletor máximo
Os valores de η1,η2 e η3 podem ser encontrados por meio de semelhança de
triângulos e valem 0,5.
O momento fletor positivo a ser considerado devido ao carregamento
permanente é:
152
O momento fletor negativo a ser considerado devido ao carregamento
permanente é:
*
( )
( )+
O momento fletor positivo a ser considerado devido ao carregamento variável
é:
O momento fletor negativo a ser considerado devido ao carregamento variável
é:
*
( )
+
O valor de cálculo máximo do momento fletor na transversina é obtido através
da seguinte combinação de ações:
[ ( )
]
c) Flecha de serviço
Segundo Logsdon (1982) o cálculo de LI de flechas pode ser transformado no
cálculo de linhas elásticas, pois o TEOREMA DUAL DE MÜLLER-BRESLAU
afirma que: “A linha de influência de um deslocamento Δc numa seção C para uma
carga unitária com direção e sentido especificados em cada ponto de uma linha S a ser
percorrido pela carga, é em cada ponto de S definido pela coordenada s, o valor do
deslocamento δs medido no sentido da carga em s, correspondente a carregar a
estrutura com uma carga unitária na direção e sentido do deslocamento Δc”. Ou seja, a
linha de influência de um deslocamento Δc, numa seção C, é a linha elástica da
estrutura sob a carga unitária aplicada na seção C, com sentido e direção do
deslocamento.
Assim, o carregamento que produzirá flecha máxima pode ser obtido a partir
do esboço da LI do deslocamento vertical (elástica para carga unitária aplicada na
posição, direção e sentido do deslocamento desejado).
A Figura 84 ilustra os carregamentos, permanente e variável, para o cálculo da
flecha máxima na transversina.
153
Figura 84: Carregamento para o cálculo da flecha máxima na transversina
De acordo com Logsdon (1989), uma maneira de se obter a flecha é através da
aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais, sendo determinado pela Equação 38,
desprezando-se os deslocamentos produzidos pela força cortante (usual).
∫ ̅̅ ̅ (38)
Para a aplicação da Equação 38, utiliza-se o roteiro apresentado no Apêndice I.
Para uma viga em balanço, devem-se analisar as deflexões no centro do vão
central e nas extremidades a fim de se verificar o ponto mais desfavorável. O diagrama
de M é ilustrado na Figura 85.
154
Figura 85: Diagrama de momento fletor para carregamento permanente
Para determinação de ̅ deve-se aplicar a carga unitária nos pontos em que se
deseja calcular as flechas, ou seja, no meio do vão central e na extremidade do
balanço. A Figura 86 apresenta o carregamento unitário e o diagrama de ̅ para o
cálculo da flecha no centro do vão da transversina.
Figura 86: Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha no centro
Utilizando-se a Tabela 155 apresentada no Anexo 1, o valor do deslocamento é
dado por:
∫ ̅̅ ̅
Da tabela 155, apresentada no Anexo 1, tem-se:
155
A Figura 87 apresenta o carregamento unitário e o diagrama de ̅ para o
cálculo da flecha na extremidade da transversina.
Figura 87: Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha na extremidade
Utilizando-se a Tabela 155 apresentado no Anexo 1, o valor do deslocamento é
dado por:
∫ ̅̅ ̅
Da tabela 155, apresentada no Anexo 1, tem-se:
156
O carregamento variável para o cálculo da deformação máxima no vão central
é ilustrado na Figura 88.
Figura 88: Carregamento para cálculo da flecha no vão central
Por se tratar de carregamento indireto aplicado pelas longarinas às
transversinas na forma de carga concentrada, o carregamento distribuído produz uma
reação no centro do vão da transversina. A Figura 89 ilustra o carregamento indireto
para o cálculo da deformação no vão central das transversinas.
Figura 89: Carregamento indireto para cálculo da flecha no vão central
A intensidade da força P é dado pelo produto entre o carregamento distribuído
pela área da LI de R. dessa forma tem-se:
157
O deslocamento provocado pela carga é:
( )
( )
O carregamento variável para o cálculo da deformação nas extremidades é
ilustrado na Figura 90.
Figura 90: Carregamento para cálculo da flecha no vão central
Por se tratar de carregamento indireto, o carregamento distribuído deve ser
substituído por uma carga concentrada a ser calculada através da LI da deformação nas
extremidades. A Figura 91 ilustra a LI para o cálculo da deformação nas extremidades.
Figura 91: LI para o cálculo das deformações nas extremidades
A carga concentrada para o cálculo das deformações é dada pelo produto do
carregamento distribuído pela área da LI de R. Assim sendo, tem-se:
158
A Figura 92 ilustra o carregamento para o cálculo das deformações nas
extremidades das transversinas decorrentes do carregamento variável.
Figura 92: Carregamento para cálculo das deformações nas extremidades
O diagrama de M para o carregamento indicado é ilustrado na Figura 93.
Figura 93: Diagrama de M para carregamento variável
O diagrama ̅ é obtido através do carregamento unitário aplicado na
extremidade do balanço. A Figura 94 ilustra o carregamento para obtenção de ̅̅ ̅
Figura 94: Carregamento para obtenção de ̅
O diagrama de ̅ é ilustrado na Figura 95.
159
Figura 95: Diagrama de ̅ para o carregamento variável
Utilizando-se a Tabela 155 apresentado no Anexo 1, o valor do deslocamento é
dado por:
∫ ̅̅ ̅
+
Da Tabela 155, apresentada no Anexo 1, tem-se:
*(
) (
)+
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A flecha de serviço é dada pela seguinte combinação:
( ) ( )
( ) ( )
( )
160
( ) ( )
( ) ( )
4.3.5 Verificações da tensão normal
De acordo com as Equações 54 e 55 do Apêndice G, tem-se:
OK!
4.3.6 Verificação da tensão de cisalhamento
De acordo com a Equação 56 do Apêndice G, tem-se:
OK!
4.3.7 Verificação da flecha de serviço
De acordo com a Equação 57 do Apêndice G, tem-se:
No centro
( ) ( )
( )
OK!
161
No balanço
( ) ( )
( )
OK!
162
4.4 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES
Os pilares são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes das
transversinas e transmiti-las aos arcos triarticulados. Os pilares da ponte em estudo
foram dimensionados para a situação mais desfavorável, ou seja, considerando um
afastamento de 2,25 m de comprimento de ambos os lados, o que determina uma área
de influência de 2,25 m de comprimento para cada pilar, que deve ser dimensionado
também para o maior comprimento de flambagem, correspondente aos pilares mais
próximos dos apoios. A Figura 96 ilustra uma vista lateral evidenciando os pilares a
serem dimensionados.
Figura 96: Vista lateral evidenciando os pilares da ponte
O comprimento do pilar foi obtido geometricamente a partir da função
quadrática que representa o arco da ponte em
estudo. A Figura 97 ilustra o posicionamento dos pilares em relação ao arco da ponte
em estudo.
163
Figura 97: Posicionamento dos pilares em relação aos arcos
A Tabela 12 apresenta o comprimento dos pilares da ponte em estudo,
arredondados na primeira casa decimal.
Tabela 12: Comprimento dos pilares
Pilar Comprimento (m)
P1 5,6
P2 3,6
P3 2,1
P4 1,2
P5 0,6
Os pilares são os apoios das transversinas, dessa forma, o carregamento
permanente atuante nos pilares é composto pela reação de apoio das transversinas
acrescido do peso próprio dos mesmos. As cargas móveis atuantes foram obtidas
através da LI de reação do conjunto sobre os pilares. O carregamento existente atua
como carga normal de compressão aplicada nos pilares pelas transversinas.
Para o cálculo dos pilares, considerados biarticulados, foram adotadas peças de
madeira serrada da classe D60, com seção transversal quadrada de 25 cm de lado. Para
as verificações de cálculo foi utilizado o roteiro para dimensionamento de elementos
estruturais submetidos à compressão paralela às fibras, apresentado no Apêndice E.
164
4.4.1 Características geométricas da peça
Área da seção transversal ( ):
Raio de giração ( ):
√
√
Comprimento de flambagem ( ):
Índice de esbeltez máximo ( ):
4.4.2 Características da madeira
Para carregamento de longa duração e classe de umidade 1, de acordo com os
valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D, tem-se para a madeira não
classificada da classe D 60, os seguintes valores:
/ (densidade aparente)
/ (peso específico aparente)
165
4.4.3 Carregamentos atuantes nos pilares
a) Carregamento permanente
O carregamento permanente a ser considerado no cálculo dos pilares é a reação
de apoio do conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas e transversinas acrescido do peso
próprio dos pilares. A Figura 98 ilustra o carregamento do conjunto a ser considerado
para o cálculo da ação permanente nos pilares.
Figura 98: Carregamento permanente dos pilares proveniente das transversinas
A ação de compressão existente em cada pilar proveniente do conjunto é:
O peso próprio da peça é:
O peso de madeira a ser considerado no cálculo dos pilares é:
O peso das ligações a ser considerado é:
O carregamento permanente a ser considerado no dimensionamento dos pilares
é:
166
b) Carregamento variável
O estudo do carregamento variável nos pilares deve ser feito com a obtenção
do trem-tipo, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. Pode ser obtido
carregando-se a LI de reação dos pilares com as cargas provenientes das transversinas.
A situação mais desfavorável para o carregamento dos montantes ocorre
quando o eixo central do veículo tipo encontra-se sobre uma das transversina, nessa
situação, os três eixos do veículo tipo encontram-se sobre a área de influência dos
pilares que servem de apoio para essa transversina. A Figura 99 ilustra o carregamento
na LI dos pilares para obtenção dos esforços solicitantes.
Figura 99: Carregamentos para determinação do trem-tipo dos pilares
O valor de η1 é 0,5 e pode ser obtido por semelhança de triângulos.
167
O valor da carga concentrada P é obtido através da soma da carga concentrada
aplicada pelas transversinas com o carregamento distribuído multiplicado por sua
respectiva área na LI de R dos pilares.
Na hipótese de haver apenas pedestres ou veículos menores na ponte, o valor
da carga P é obtido multiplicando-se o carregamento distribuído pela área da LI.
c) Impacto vertical
O impacto vertical é função do coeficiente de impacto:
( )
( )
Os esforços relativos ao impacto vertical são obtidos a partir dos esforços
devidos à carga móvel, como segue:
( )
4.4.4 Solicitação de cálculo
A força normal de cálculo é dada pela seguinte combinação de ações:
( )
( )
168
4.4.5 Verificações e conclusões
a) Verificação quanto à ruptura
OK!
b) Verificação quanto à estabilidade
OK!
169
4.5 DIMENSIONAMENTO DOS ARCOS
Os arcos são as peças responsáveis por receber todas as cargas da
superestrutura da ponte, permanentes e variáveis, e transmiti-las às fundações. A
Figura 100 evidencia um dos arcos da ponte em estudo.
Figura 100: Arcos triarticulados da ponte em estudo
Todos os esforços internos obtidos nos arcos, tanto os provenientes de cargas
permanentes quanto os de cargas variáveis, foram obtidos através das LIs dos esforços.
Embora as cargas sejam transmitidas aos arcos de forma concentrada pelos pilares, o
carregamento foi considerado distribuído ao longo dos arcos a fim de encontrar as
situações mais desfavoráveis para a peça. O carregamento permanente aplicado em
cada arco é composto pela metade do peso próprio do conjunto rodeiro, tabuleiro,
longarinas, transversinas e pilares, acrescido do peso do próprio arco, e o
carregamento variável obtido através do trem-tipo da ponte sobre os arcos.
Para o cálculo dos arcos foram adotadas peças de madeira laminada colada da
classe C30, com seção transversal retangular de 60 cm de base por 100 cm de altura.
Para as verificações de cálculo foi utilizado o roteiro para dimensionamento de
elementos estruturais submetidos à flexocompressão, apresentado no Apêndice H.
170
4.5.1 Características geométricas da peça
A Figura 101 ilustra as características geométricas do arco em estudo.
Figura 101: Características geométricas do arco
Raio de Curvatura do arco ( )
Onde:
L = vão livre do arco;
f = flecha do arco
171
Ângulo de imposição do arco ( )
( )
( )
Ângulo de meio arco ( )
Comprimento do semi eixo do arco ( )
Comprimento entre dois pontos contraventados do arco (LA)
Área da seção transversal ( )
Momento estático (S)
Momento de Inércia (I)
Raio de Giração ( )
√
√
√
√
Comprimento de Flambagem7 ( )
___________________________________________ 7O trecho de comprimento LA do arco, entre dois pontos contraventados, foi considerado
Biengastado, dessa forma tem-se Ke = 0,65.
172
Índice de esbeltez ( )
Esbeltezes relativas (rel,x e rel,y)
√
√
√
√
Largura da seção no centro de gravidade e distâncias às bordas
;
;
4.5.2 Características da madeira
De acordo com os valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D e
considerando a curvatura do arco para o cálculo do , tem-se para a madeira C30
classificada, classe de umidade 1 e carregamento de longa duração, os seguintes
valores:
/ (densidade aparente)
/ (peso específico aparente)
173
4.5.3 Carregamentos atuantes nos arcos
a) Carregamentos permanentes
Os carregamentos permanentes a serem considerados no cálculo dos arcos são
o peso próprio do conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas, transversinas e pilares
pertencentes à área de influência de cada arco, além do peso próprio dos mesmos e o
peso das ligações. A Figura 102 ilustra os carregamentos do conjunto a serem
considerados para o cálculo da ação permanente dos arcos.
Figura 102: Carregamento permanente dos arcos
O carregamento permanente proveniente do rodeiro foi obtido multiplicando-se
o volume de madeira do rodeiro, que possui 1 m de largura e 6 cm de espessura, pelo
peso específico da madeira. Como cada rodeiro pertence à área de influência de um
dos arcos, tem-se para cada metro de rodeiro o seguinte carregamento:
( )
174
Para obtenção do carregamento permanente oriundo do tabuleiro, multiplicou-
se a volume de madeira do tabuleiro pertencente à área de influência de cada arco pelo
peso específico da madeira.
( )
No cálculo do carregamento permanente provocado pelas longarinas,
considerou-se pertencente a área de influência de cada arco a longarina de (20x30) cm²
da extremidade, a longarina principal 2.(25x30) cm² e metade da longarina central de
(20 x 30) cm².
[( ) ( ) ( )]
Para obtenção do carregamento permanente causado pelas transversinas e pelos
pilares, que não atuam continuamente ao longo dos arcos, somou-se o peso dessas
peças e distribuiu-se a carga ao longo da extensão do arco.
* ( )
+
* ( )
+ /
O carregamento devido ao peso próprio do arco foi obtido multiplicando-se o
volume de madeira do arco pelo peso específico do material.
*( )
+ /
O peso próprio das ligações foi calculado como 3% do peso de madeira
empregado.
( )
A Figura 103 ilustra o carregamento permanente a ser considerado no
dimensionamento dos arcos.
175
Figura 103: Carregamento permanente dos arcos
b) Carregamento variável
O estudo do carregamento variável nos arcos deve ser feito com a obtenção do
trem-tipo para os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta.
Como as LIs de reações são lineares, elas correspondem as linhas de união para
carregamentos indiretos, assim sendo, pode-se analisar o carregamento como se as
cargas fossem transmitidas diretamente do tabuleiro para os arcos.
A situação mais desfavorável para o dimensionamento dos arcos ocorre quando
as cargas concentradas variáveis provenientes do veículo tipo encontram-se afastadas
25 cm do eixo do rodeiro, para a esquerda ou para direita, causando dessa forma um
aumento das solicitações internas dos arcos. A Figura 104 ilustra o carregamento na
LI de reação dos arcos para obtenção dos esforços solicitantes.
176
Figura 104: Carregamentos para determinação do trem-tipo para os arcos
O valor da ordenada da LI de R no próprio apoio é igual a 1 e as ordenadas η1,
η2, η3 e η4 podem ser obtidos através da semelhança de triângulos, sendo seus valores
1.5, 1.375, 1.125 e 0.125 respectivamente.
177
O valor da carga concentrada P é obtida multiplicando o peso de cada roda, que
é de 75 kN, pelas ordenadas da LI sob as cargas. Dessa forma tem-se:
( )
O valor do carregamento q1 é obtido multiplicando o carregamento distribuído
estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área compreendida entre η1 e η2.
*( )
+ /
Os arcos estarão submetidos ao carregamento q2 à frente e atrás do veículo tipo
ou quando só houver pedestres e veículos menores na ponte. Para obtenção do
carregamento q2 deve-se carregar a LI, apenas no trecho que provoca acréscimo na
reação, com a carga de 5 kN/m² estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984).
O valor do carregamento q2 é obtido multiplicando o carregamento distribuído
pela área da LI que provoca efeito desfavorável.
(
) /
Com os valores de P, q1 e q2 determinados, o trem tipo para o
dimensionamento dos arcos é ilustrado na Figura 105.
Figura 105: Trem-tipo para o cálculo dos arcos
c) Impacto vertical
O impacto vertical é função do coeficiente de impacto:
( )
( )
178
4.5.4 Solicitações de cálculo
Para a determinação das solicitações de cálculo, o arco em estudo foi dividido
em dez seções além dos apoios, a fim de se encontrar a posição e os valores mais
críticos para a estrutura. Foram escolhidos como seções para estudo os pontos de
encontro dos pilares com os arcos, os pontos médios entre dois pilares, os apoios e o
fecho do arco. Neste capítulo serão apresentados apenas os valores máximos, que
foram obtidos após o traçado das envoltórias de máximos devido à carga móvel.
Considerando a simetria da estrutura, as seções foram estudadas apenas de um lado da
rótula de fecho do arco.
4.5.4.1 Força horizontal
Para determinação da força horizontal carregou-se a LI de H com o
carregamento permanente e o trem tipo para os arcos, considerando o carregamento
aplicado de forma indireta, conforme ilustra a Figura 106.
179
Figura 106: LI de H do arco
Os valores das ordenadas da LI de H para o cálculo da força horizontal podem
ser obtidos através dos conceitos da geometria plana ou da geometria analítica e estão
apresentadas na Tabela 13.
Tabela 13: Ordenadas para cálculo da força horizontal
Ordenadas da LI de H
η1 0,917
η2 0,083
η3 0,792
η4 0,667
As áreas da LI de H para o cálculo da força horizontal estão apresentadas na
Tabela 14.
180
Tabela 14: Áreas para cálculo da força horizontal H
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η2 η2 – η4 η4 – η1 η1 – η4 η4 – η2 η2 – x24 Área
total
0,083 2,625 2,376 2,376 2,625 0,083 10,167
O valor característico para a força horizontal H devido ao carregamento
permanente é obtido multiplicando-se a área da LI de H pelo carregamento
permanente. Dessa forma tem-se:
O valor característico para a força horizontal H oriundo do carregamento
variável é obtido multiplicando os carregamentos distribuídos por suas respectivas
áreas na LI somado ao produto das cargas concentradas por suas respectivas ordenadas
na LI. Assim, tem-se:
( )
( )
O valor de cálculo da força horizontal H é obtido através da seguinte
combinação de ações:
[ ( ) ]
( )
4.5.4.2 Força cortante
Para determinação da força cortante, carregou-se as LIs de força cortante de
todas as seções de estudo, com o carregamento permanente e o trem-tipo obtido para
os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. A Figura 107
ilustra a LI de força cortante no apoio, com os carregamentos permanente e variável, a
qual apresentou maiores valores característicos para a força cortante.
181
Figura 107: LI de V da seção com maior força cortante atuante (apoio)
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas
na Tabela 15.
Tabela 15: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 1
Ordenadas positivas
η1 0,955 η6 0,818
η2 0,045 η7 0,750
η3 0,500
η4 0,239
η5 0,886
182
As áreas da LI para o cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas na
Tabela 16.
Tabela 16: Áreas para cálculo do momento fletor no apoio
Áreas positivas (compreendidas entre)
x0 – η4 0,060 η7 – η2 6,165
η4 – η1 0,895 η2 – x24 0,045
η1 – η7 3,835 Área Total 11,000
O valor característico para a força cortante no apoio devido ao carregamento
permanente é obtido multiplicando-se a área da LI de VA pelo carregamento
permanente. Dessa forma tem-se:
O valor característico para a força cortante no apoio causada pelo carregamento
variável é obtido multiplicando os carregamentos distribuídos por suas respectivas
áreas na LI somado ao produto das cargas concentradas por suas respectivas ordenadas
na LI. Assim, tem-se:
( ) ( )
( )
O valor de cálculo da força cortante no apoio A é obtido através da seguinte
combinação de ações:
[ ( ) ]
( )
Os cálculos das forças cortantes de todas as seções encontram-se apresentados
no Apêndice A. A Figura 108 ilustra a envoltória da força cortante devido à carga
móvel para o arco em estudo.
183
Figura 108: Envoltória de força cortante do arco
4.5.4.3 Força Normal
De acordo com a Equação 37, a LI da força normal está em função da LI de
força cortante e da LI da força horizontal, dessa forma se faz necessário o
conhecimento das ordenadas das LIs de V e da LI de H para obtenção das ordenadas
das LIs de N das seções a serem estudadas. A Figura 109 ilustra a LI de V e da LI de
H para determinação das ordenadas da LI de N da seção que apresentou maior força
normal.
184
Figura 109: LI de VA e LI de H do arco
Os valores das ordenadas da LI de VA e da LI de H necessários para obtenção
da LI de N no apoio estão apresentados na Tabela 17.
Tabela 17: Ordenadas de LI de VA e LI de H
Ordenadas da LI de VA Ordenadas da LI de H
η1 0,955 η1 0,917
η2 0,045 η2 0,083
η3 0,500
As características geométricas do arco no apoio encontram-se apresentadas na
Tabela 18.
185
Tabela 18: Características geométricas do arco no apoio
x y tgφ φ senφ cosφ
0 0 1,091 47,49 0,737 0,676
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para LI de N,
apresentadas na Tabela 19.
Tabela 19: Ordenadas de LI de N no apoio
Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,760
11 -0,988
21 -0,090
A Figura 110 ilustra a LI de N no apoio, com os carregamentos permanente e
variável que provoca máximos efeitos.
Figura 110: LI de N da seção com maior força normal atuante (apoio)
186
As ordenadas da LI para cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas
na Tabela 20.
Tabela 20: Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios
Ordenadas negativas
η1 -0,760 η5 -0,988
η2 -0,886 η6 -0,853
η3 -0,920 η7 -0,090
η4 -0,954
As áreas da LI para o cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas na
Tabela 21.
Tabela 21: Áreas para cálculo da força normal nos apoios
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η2 – η5 η5 – η6 η6 – η7 η7 –
x24
Área
total
-0,760 -4,525 -4,216 -1,381 -4,009 -0,09 -14,981
O valor característico para a força normal no apoio devido ao carregamento
permanente é obtido multiplicando-se a área da LI de N pelo carregamento
permanente. Assim sendo:
O valor característico para a força normal no apoio causada pelo carregamento
variável é obtido multiplicando os carregamentos distribuídos por suas respectivas
áreas na LI somado ao produto das cargas concentradas por suas respectivas ordenadas
na LI. Assim, tem-se:
( ) (
) ( )
O valor de cálculo da força normal no apoio A é obtido através da seguinte
combinação de ações:
187
[ ( ) ]
( ) [( ) ( )]
Os cálculos das forças normais de todas as seções encontram-se apresentados
no Apêndice B. A Figura 111 ilustra a envoltória da força normal para o arco em
estudo.
Figura 111: Envoltória de força normal do arco
4.5.4.3 Momento fletor
Para determinação do momento fletor, carregou-se as LIs de M de todas as
seções de estudo, com o carregamento permanente e o trem-tipo obtido para os arcos,
considerando o carregamento aplicado de forma indireta. A Figura 112 ilustra a LI de
M que apresentou maiores valores característicos, com os carregamentos permanente e
variável.
188
Figura 112: LI da seção com maior momento fletor atuante
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 5 estão
apresentadas na Tabela 22.
189
Tabela 22: Ordenadas da LI de M da seção 5
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,375 η7 -0,437
η2 0,937 η8 -1,375
η3 1,500 η9 -1,187
η4 2,062 η10 -1,000
η5 1,125 η11 -0,812
η6 0,187 η12 -0,125
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 5 estão apresentadas
na Tabela 23.
Tabela 23: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 5
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,375 PI – η7 -0,153
η1 - η2 0,984 η7 - η8 -1,359
η2 – η4 4,500 η8 - η11 -4,922
η4 – η6 3,375 η11 - η12 -2,578
η6 - PI 0,028 η12 – X24 -0,125
Atotal 9,262 Atotal -9,137
Os valores característicos, positivo e negativo, para o momento fletor na seção
devido ao carregamento permanente são obtidos multiplicando-se as áreas
correspondentes da LI de M pelo carregamento permanente.
Os valores característicos para o momento fletor na seção 5 causados pelo
carregamento variável são obtidos multiplicando os carregamentos distribuídos por
suas respectivas áreas na LI somado ao produto das cargas concentradas por suas
respectivas ordenadas.
190
( ) ( ) (
)
( ) ( )
( )
Os valores de cálculo do momento fletor na seção são obtidos através da
seguinte combinação de ações:
[
( ) ]
( ) [( ) ( )]
[
( ) ]
( ) [( ) ( )]
Os cálculos dos momentos fletores de todas as seções encontram-se
apresentados no Apêndice C. A Figura 113 ilustra a envoltória de momento fletor para
o arco em estudo.
Figura 113: Envoltório de momento fletor do arco
191
4.5.5 Verificações e conclusões
As verificações das solicitações devem acontecer nas seções que apresentam
maiores valores solicitações de cálculo. Como a força normal apresenta maior valor no
apoio, que possui momento fletor nulo, as verificações foram feitas para a seção 5, que
apresenta momento fletor máximo e foram verificadas a força normal e força cortante
no apoio.
4.5.5.1 Verificação da estabilidade na seção 5
a) Coeficientes kx e kcx
* ( ) ( ) +
[ ( ) ( ) ]
√( ) ( )
√( ) ( )
De forma análoga a apresentada no item 4.5.4.3 foi obtido o esforço normal de
cálculo na seção 5 ( ).
Onde,
/
/
OBS. O Projeto de Revisão da Norma NBR 7190, da ABNT de 2011,
estabelece que se e , não se faz necessário a verificação da
estabilidade. Porém, a verificação da estabilidade foi feita como exemplo didático.
192
b) Verificação da Tensão normal
(
)
(
)
c) Verificação da tensão de cisalhamento
193
5 DIMENSIONAMENTO DAS RÓTULAS
As rótulas da ponte em estudo foram dimensionadas com aço ASTM A36 e
segue os critérios de dimensionamento da NBR 8800, da ABNT de 2008. Para o
dimensionamento das rótulas de apoio, deve-se fazer a soma vetorial das forças,
horizontal e vertical, que será a força utilizada no dimensionamento da rótula. A
Figura 114 ilustra a soma vetorial a ser feita para determinação da força atuante na
rótula.
Figura 114: Forças atuantes nas rótulas de apoio dos arcos
Pelo método do paralelogramo de soma vetorial tem-se:
√( ) ( ) √( ) ( )
a) Dimensionamento do pino
Pelo fato do pino da rótula estar submetido a dois planos de corte, o pino estará
submetido à força cortante em duas seções, devendo este ser dimensionado para a
força existente na seção de cisalhamento. A Figura 115 ilustra o plano de corte das
seções cisalhadas dos pinos das rótulas.
194
Figura 115: Seções cisalhadas do pino da rótula
De acordo com a NBR 8800, da ABNT de 2008, a Força Cortante Resistente
de Cálculo é dada pela seguinte expressão:
e
Onde,
Área efetiva de cisalhamento da seção do pino;
Área bruta do pino;
Resistência ao escoamento do material do pino;
Coeficiente de ponderação de resistência ou ações, para combinações
normais .
Assim sendo,
N
Como a força resistente de cálculo deve ser maior que a força cortante atuante,
tem-se:
Portanto, para as rótulas de apoio, adota-se um pino com 50 mm de diâmetro.
Como as forças existentes na rótula do fecho do arco são menores que as forças
existentes no apoio, adotou-se também um diâmetro de 50 mm para a rótula do fecho.
195
b) Dimensionamento dos parafusos
Para o calculo dos parafusos foi considerado a hipótese do plano de corte
passar pela rosca do parafuso, por se tratar da hipótese mais desfavorável para o
dimensionamento.
A força cisalhante resistente de cálculo de um parafuso é dada por:
Onde,
Área bruta da seção;
Resistência à ruptura do material do parafuso;
Coeficiente de ponderação de resistência ou ações.
O parafuso adotado foi de aço A325 com resistência à corrosão atmosférica,
diâmetro nominal de 25 mm, e furo padrão de 26,5mm. Para
combinações normais,
Assim sendo,
Portanto, para a força cisalhante existente na rótula de apoio, que é de
1.050.071,03 N, se faz necessário à utilização de 10 parafusos com as características
descritas acima. Foram utilizados, na união das rótulas com os arcos, 12 parafusos na
parte central da chapa de ligação mais 4 parafusos na parte superior da chapa, para
cada apoio, conforme ilustrado na Figura 116.
Figura 116: Detalhamento dos parafusos da chapa de ligação do arco com a rótula
196
c) Dimensionamento da chapa da rótula
Para o dimensionamento da chapa da rótula foram observados os espaçamentos
máximos e mínimos entre furos, entre furos e as bordas e adotado para a chapa da
rótula uma espessura de 50 mm de aço de baixa liga, resistente a corrosão atmosférica
CGR 500A, . Também foi verificada a resistência da chapa da rótula
conforme a direção de aplicação da resultante das forças que atuam nos elementos
ligados, conforme estabelece a NBR 8800, da ABNT de 2008.
Quanto aos espaçamentos, a NBR 8800, da ABNT de 2008 estabelece que o
espaçamento mínimo entre furos para parafusos de 25 mm deva ser de 75 mm, o que
corresponde ao triplo do diâmetro do parafuso, e o espaçamento máximo seja de 300
mm. A NBR 8800, da ABNT de 2008 estabelece ainda que o espaçamento mínimo
entre furo e borda, para parafusos de 25 mm, seja de 38 mm e o espaçamento máximo
seja de 150 mm. Ilustram-se na Figura 117 as dimensões e os espaçamentos da chapa
da rótula.
Figura 117: Espaçamento entre furos da chapa da rótula
197
Ilustram-se na Figura 118 as modalidades de ruptura de uma chapa em uma
ligação com conectores.
Figura 118: Modalidades de ruptura de uma ligação com conectores: (a) ruptura por ovalização
do furo por plastificação local da chapa na superfície de apoio do fuste do conector; (b) ruptura por
rasgamento da chapa entre o furo e a borda ou entre dois furos consecutivos; (c) ruptura por tração da
chapa na seção transversal líquida.
Para a verificação quanto ao colapso por rasgamento da chapa ou ovalização do
furo, no caso de furação-padrão, a resistência Rd à pressão de apoio entre o fuste do
conector e a parede do furo (Fig. 118a) e ao rasgamento da chapa entre conectores ou
entre um conector e uma borda (Fig. 118b) é dada por / . Onde Rn é o menor dos
valores obtidos com as seguintes expressões:
Pressão de apoio (contato conector-chapa)
(39)
Rasgamento
(40)
Onde,
a = distância entre a borda do furo e a extremidade da chapa medida na
direção da força solicitante para a resistência ao rasgamento entre um furo extremo e a
borda da chapa;
198
a = distância entre a borda do furo e a borda do furo consecutivo, medida na
direção da força solicitante para a determinação da resistência ao rasgamento da chapa
entre furos; igual a (s - d), sendo s o espaçamento entre os centros de furos;
d = diâmetro nominal do conector;
t = espessura da chapa;
fu = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.
Para a situação desta chapa de ligação, a resistência nominal à pressão de apoio
e ao rasgamento apresentam os mesmos valores. Assim sendo, tem-se para resistência
de cálculo da chapa o seguinte valor:
/
/
Portanto, a resistência de cálculo da chapa é superior a força cisalhante
existente.
199
6 SUGESTÃO DE CONTRAVENTAMENTO
Não faz parte dos objetivos desse trabalho o dimensionamento dos elementos
de contraventamento da ponte. Todavia, estudos sobre este item foram realizados para
que fosse sugerido um modelo de contraventamento para a ponte em estudo.
Observou-se em diversas pontes em arcos triarticulados de madeira laminada
colada construídas em todo o mundo, que a estrutura de contraventamento é construída
tanto nos arcos quanto nos pilares das pontes, sendo o contraventamento dos pilares
construídos na direção perpendicular ao sentido dos arcos. Os contraventamentos
podem ser executados em madeira, serrada ou colada, ou em aço. A Figura 119 ilustra
os arcos da Ponte Big Wood River contraventados com estrutura metálica em Idaho –
EUA.
Figura 119: Arcos da Ponte Big Wood River, Idaho – EUA
Fonte: http://westernwoodstructures.blogspot.com.br/
O modelo de contraventamento sugerido para a ponte em estudo é o
contraventamento em “X” para arcos e pilares, com exceção aos pilares 4 e 5 que, por
terem comprimentos pequenos, foi adotado uma barra horizontal como elemento de
200
contraventamento para essas peças. A vista inferior da ponte ilustrado na Figura 120
possibilita a visualização do contraventamento dos arcos.
Figura 120: Modelo de contraventamento sugerido para os arcos
Na Figura 121 pode-se visualizar o contraventamento em “X” para os pilares 1,
2 e 3 e o contraventamento horizontal sugerido para os pilares 4 e 5.
Figura 121: Vista lateral evidenciando o contraventamento dos pilares
201
7 CONCLUSÃO
A construção de pontes em arco com madeira laminada colada é uma
alternativa a ser considerada, pois é possível se construir pontes de classe 45 com um
volume relativamente pequeno de madeira. Para a situação exposta, a altura da seção
transversal do arco foi inferior a 5% do vão a ser vencido e, todos os elementos da
ponte, construídos de madeira serrada possuem dimensões comerciais, facilmente
encontradas nas serrarias de Mato Grosso.
Uma vantagem a ser considerada neste tipo de estrutura é a possibilidade da
execução das pontes sem a necessidade de fundações dentro do rio. As dimensões
obtidas para o arco laminado dessa ponte, bem como seus elementos metálicos, são de
fácil fabricação pela indústria brasileira. Outro fator relevante é que para locais onde a
diferença de cota entre o rio e o tabuleiro for pequena, existe a possibilidade da
construção de pontes em arco triarticulado com tabuleiro inferior, o que torna este tipo
de estrutura uma alternativa para as pontes do tipo “barragens” existente em toda
região.
Outro ponto de interesse é o formato das envoltórias, pois as envoltórias
obtidas definem um formato e a posição dos valores máximos, permitindo obter
diretamente os valores máximos para dimensionamento, sem a necessidade prévia de
fazer várias LIs para traçar as envoltórias.
A envoltória de forças cortantes, é muito semelhante à observada em vigas
simplesmente apoiadas, com máximo positivo no apoio esquerdo, diminuindo de
maneira praticamente linear, até o apoio direito onde é nula. Já para os valores
negativos observa-se o inverso, nulo no apoio esquerdo, crescendo de maneira
praticamente linear, até o máximo no apoio direito.
A envoltória de força normal, em arcos triarticulados nivelados e simétricos, é
sempre de compressão e apresenta valores máximos nos apoios, com queda
praticamente linear até a articulação central onde se observa seu valor mínimo.
A envoltória de momentos fletores positivos (tração embaixo), em arcos
triarticulados nivelados e simétricos, tem a forma aproximada de duas parábolas com
momentos nulos nas articulações e máximos nos "quartos de vão" (no centro de cada
202
lado do arco), o mesmo acontecendo para os momentos fletores negativos (tração
encima).
Assim, a verificação de flexocompressão deve ser feita nos "quartos de vão". A
verificação de cisalhamento, na região dos apoios.
203
8 REFERÊNCIAS
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_________. NBR-7189:1985. Cargas móveis para projeto estrutural de obras
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_________. NBR-7187:1986. Projeto e execução de pontes de concreto armado e
protendido. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil.
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http://www1.dnit.gov.br. Acesso em Fevereiro/2012.
Secretaria de Estado de Transporte e Pavimentação Urbana – Sinfra
http://www.sinfra.mt.gov.br/ Setpu investiu R$ 5,4 milhões em pontes de madeira
Terça, 27 de dezembro de 2011. Acesso em Fevereiro/2012.
209
APÊNDICE A
Linhas de influências para o cálculo da força cortante
Calculo da força cortante no apoio
A Figura 122 ilustra a LI de V no apoio, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 122: LI de V no apoio
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas
na Tabela 24.
210
Tabela 24: Ordenadas para cálculo da cortante no apoio
Ordenadas positivas
η1 0,955 η6 0,818
η2 0,045 η7 0,750
η3 0,500
η4 0,239
η5 0,886
As áreas da LI para o cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas na
Tabela 25.
Tabela 25: Áreas para cálculo do momento fletor no apoio
Áreas positivas (compreendidas entre)
x0 – η4 0,060 η7 – η2 6,165
η4 – η1 0,895 η2 – x24 0,045
η1 – η7 3,835 Área Total 11,000
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis no apoio estão apresentados na Tabela 26.
Tabela 26: Força cortante característica no apoio
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
122210
328340
211
Cálculo da força cortante na seção 1
A Figura 123 ilustra a LI de V na seção 1, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 123: LI de V da seção 1
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 1 estão
apresentadas na Tabela 27.
212
Tabela 27: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 1
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,011 η3 0,954
η2 -0,045 η4 0,886
η5 0,818
η6 0,750
η7 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 1 estão apresentadas
na Tabela 28.
Tabela 28: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 1
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η2 -0,045 η3 – η6 3,835
Área Total -0,045 η6 – x24 6,210
Área Total 10,045
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 1 estão apresentados na Tabela 29.
Tabela 29: Força cortante característica da seção 1
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
111605
326060
-505
-5410
213
Cálculo da força cortante na seção 2
A Figura 124 ilustra a LI de V na seção 2, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 124: LI de V da seção 2
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 2 estão
apresentadas na Tabela 30.
214
Tabela 30: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 2
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,003 η6 0,903
η2 -0,014 η7 0,835
η3 -0,045 η8 0,767
η4 -0,097 η9 0,699
η5 η10 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 2 estão apresentadas
na Tabela 31.
Tabela 31: Áreas para cálculo da cortante da seção 2
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η4 -0,125 η5 – η8 3,605
Área Total -0,125 η8 – x24 5,395
Área Total 9,000
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 2 estão apresentados na Tabela 32.
Tabela 32: Força cortante característica da seção 2
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
99994
302093
-1393
-10880
215
Cálculo da força cortante na seção 3
A Figura 125 ilustra a LI de V na seção 3, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 125: LI de V da seção 3
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 3 estão
apresentadas na Tabela 33.
216
Tabela 33: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 3
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,028 η5 0,852
η2 -0,045 η6 0,784
η3 -0,079 η7 0,716
η4 -0,148 η8 0,647
Η9 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 3 estão apresentadas
na Tabela 34.
Tabela 34: Áreas para cálculo da cortante da seção 3
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η4 -0,263 η5 – η8 3,375
Área Total -0,263 η8 – x24 4,638
Área Total 8,013
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 3 estão apresentados na Tabela 35.
Tabela 35: Força cortante característica da seção 3
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
89022
278780
-2920
-24443
217
Cálculo da força cortante na seção 4
A Figura 126 ilustra a LI de V na seção 4, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 126: LI de V da seção 4
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 4 estão
apresentadas na Tabela 36.
218
Tabela 36: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 4
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,020 η6 0,801
η2 -0,045 η7 0,733
η3 -0,062 η8 0,665
η4 -0,131 Η9 0,597
η5 -0,199 η10 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 4 estão apresentadas
na Tabela 37.
Tabela 37: Áreas para cálculo da cortante da seção 4
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η1 -0,009 η6 – η10 3,145
η1 – η5 -0,461 η10 – x24 3,938
Área Total -0,470 Área Total 7,083
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 4 estão apresentados na Tabela 38.
Tabela 38: Força cortante característica da seção 4
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
78689
256105
-5222
-37682
219
Cálculo da força cortante na seção 5
A Figura 127 ilustra a LI de V na seção 5, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 127: LI de V da seção 5
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 5 estão
apresentadas na Tabela 39.
220
Tabela 39: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 5
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,045 η5 0,750
η2 -0,114 η6 0,682
η3 -0,182 η7 0,614
η4 -0,250 η8 0,545
η9 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 5 estão apresentadas
na Tabela 40.
Tabela 40: Áreas para cálculo da cortante da seção 5
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η1 -0,045 η5 – η8 2,915
η1 – η4 -0,665 η8 – x24 3,295
Área Total -0,710 Área Total 6,210
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 5estão apresentados na Tabela 41.
Tabela 41: Força cortante característica da seção 5
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
68996
234082
-7891
-52844
221
Cálculo da força cortante na seção 6
A Figura 128 ilustra a LI de V na seção 6, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 128: LI de V da seção 6
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 6 estão
apresentadas na Tabela 42.
222
Tabela 42: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 6
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,045 η6 0,699
η2 -0,097 η7 0,631
η3 -0,165 η8 0,562
η4 -0,233 η9 0,494
η5 -0,301 η10 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 6 estão apresentadas
na Tabela 43.
Tabela 43: Áreas para cálculo da cortante da seção 6
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η2 -0,125 η6 – η9 2,684
η2 – η5 -0,895 η9 – x24 2,711
Área Total -1,020 Área Total 5,395
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 6 estão apresentados na Tabela 44.
Tabela 44: Força cortante característica da seção 6
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
59941
212706
-11335
-68540
223
Cálculo da força cortante na seção 7
A Figura 129 ilustra a LI de V na seção 7, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 129: LI de V da seção 7
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 7 estão
apresentadas na Tabela 45.
224
Tabela 45: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 7
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,045 η6 0,648
η2 -0,148 η7 0,579
η3 -0,216 η8 0,511
η4 -0,284 η9 0,443
η5 -0,352 η10 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 7 estão apresentadas
na Tabela 46.
Tabela 46: Áreas para cálculo da cortante da seção 7
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η2 -0,263 η6 – η9 2,455
η2 – η5 -1,125 η9 – x24 2,183
Área Total -1,388 Área Total 4,638
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 7 estão apresentados na Tabela 47.
Tabela 47: Força cortante característica da seção 7
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
51526
191977
-15418
-84882
225
Cálculo da força cortante na seção 8
A Figura 130 ilustra a LI de V na seção 8, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 130: LI de V da seção 8
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 8 estão
apresentadas na Tabela 48.
226
Tabela 48: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 8
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,045 η6 0,597
η2 -0,199 η7 0,528
η3 -0,267 η8 0,460
η4 -0,335 η9 0,392
η5 -0,403 η10 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 8 estão apresentadas
na Tabela 49.
Tabela 49: Áreas para cálculo da cortante da seção 8
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η2 -0,458 η6 – η9 2,224
η2 – η5 -1,355 η9 – x24 1,714
Área Total -1,813 Área Total 3,938
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 8 estão apresentados na Tabela 50.
Tabela 50: Força cortante característica da seção 8
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
43750
171895
-20141
-101871
227
Cálculo da força cortante na seção 9
A Figura 131 ilustra a LI de V na seção 9, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 131: LI de V da seção 9
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 9 estão
apresentadas na Tabela 51.
228
Tabela 51: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 9
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,045 η6 0,545
η2 -0,250 η7 0,477
η3 -0,318 η8 0,409
η4 -0,386 η9 0,341
η5 -0,454 η10 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 9 estão apresentadas
na Tabela 52.
Tabela 52: Áreas para cálculo da cortante da seção 9
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η2 -0,710 η6 – η9 1,994
η2 – η5 -1,585 η9 – x24 1,301
Área Total -2,295 Área Total 3,295
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 9 estão apresentados na Tabela 53.
Tabela 53: Força cortante característica da seção 9
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
36613
152461
-25503
-119508
229
Cálculo da força cortante na seção 10
A Figura 132 ilustra a LI de V na seção 10, com os carregamentos permanente
e variável que provocam máximos efeitos.
Figura 132: LI de V da seção 10
As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 10 estão
apresentadas na Tabela 54.
230
Tabela 54: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 10
Ordenadas negativas Ordenadas positivas
η1 -0,500 η6 0,500
η2 -0,432 η7 0,432
η3 -0,364 η8 0,364
η4 -0,295 η9 0,295
η5 -0,045 η10 0,045
As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 10 estão apresentadas
na Tabela 55.
Tabela 55: Áreas para cálculo da cortante da seção 10
Áreas negativas
(Compreendidas entre)
Áreas positivas
(compreendidas entre)
x0 – η2 -1,790 η6 – η9 1,790
η2 – η5 -0,983 η9 – x24 0,983
Área Total -2,773 Área Total 2,773
Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 10 estão apresentados na Tabela 56.
Tabela 56: Força cortante característica da seção 10
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
30805
135729
-30805
-135729
231
APÊNDICE B
Linhas de influências para o cálculo da força normal
Determinação da força normal nos apoios
A Figura 133 ilustra a LI de força cortante no apoio e a LI de H para obtenção
da LI de N no apoio.
Figura 133: LI de VA e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de VA e da LI de H necessários para obtenção
da LI de N no apoio estão apresentados na Tabela 57.
Tabela 57: Ordenadas de LI de VA e LI de H
Ordenadas da LI de VA Ordenadas da LI de H
η1 0,955 η1 0,917
η2 0,045 η2 0,083
η3 0,500
As características geométricas do arco no apoio encontram-se apresentadas na
Tabela 58.
232
Tabela 58: Características geométricas do arco no apoio
x y tgφ φ senφ cosφ
0 0 1,091 47,49 0,737 0,676
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas a LI de N.
Tabela 59: Ordenadas de LI de N no apoio
Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,760
11 -0,988
21 -0,090
A Figura 134 ilustra a LI de N no apoio, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 134: LI de N no apoio
As ordenadas da LI para cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas
na Tabela 60.
233
Tabela 60: Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios
Ordenadas negativas
η1 -0,760 η5 -0,988
η2 -0,886 η6 -0,853
η3 -0,920 η7 -0,090
η4 -0,954
As áreas da LI para o cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas na
Tabela 61.
Tabela 61: Áreas para cálculo da força normal nos apoios
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η2 – η5 η5 – η6 η6 – η7 η7 – x24 Área total
-0,760 -4,525 -4,216 -1,381 -4,009 -0,090 -14,981
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis nos apoios estão apresentados na Tabela 62.
Tabela 62: Força normal característica nos apoios
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-166440
-383951
234
Determinação da força normal na seção 1
A Figura 135 ilustra a LI de força cortante na seção 1 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção.
Figura 135: LI de V da seção 1 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 1 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 1 estão apresentados na Tabela 63.
Tabela 63: Ordenadas de LI de V na seção 1 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η2 -0,045 η1 0,917
η3 0,955 η2 0,083
η7 0,045
η8 0,500
As características geométricas do arco na seção 1 encontram-se apresentadas
na Tabela 64.
Tabela 64: Características geométricas do arco na seção 1
x y tgφ φ senφ cosφ
1 1,041 0,992 44,762 0,704 0,710
235
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 65: Ordenadas de LI de N na seção 1
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,027 11 -1,003
1 -0,731 21 -0,091
A Figura 136 ilustra a LI de N na seção 1, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 136: LI de N na seção 1
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 1 estão apresentadas
na Tabela 66.
Tabela 66: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 1
Ordenadas negativas
η1 -0,027 η5 -0,962
η2 -0,731 η6 -1,003
η3 -0,881 η7 -0,866
η4 -0,922 η8 -0,091
236
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 1 estão apresentadas na
Tabela 67.
Tabela 67: Áreas para cálculo da força normal da seção 1
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η2 – η3 η3 – η6 η6 – η7 η7 – η8 η8 – x24 Área total
-0,027 -4,434 -4,239 -1,402 -4,070 -0,091 -14,263
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 1 estão apresentados na Tabela 68.
Tabela 68: Força normal característica da seção 1
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-158462
-377826
237
Determinação da força normal na seção 2
A Figura 137 ilustra a LI de força cortante na seção 2 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção.
Figura 137: LI de V da seção 2 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 2 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 2 estão apresentados na Tabela 69.
Tabela 69: Ordenadas de LI de V na seção 2 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η3 -0,045 η1 0,917
η4 -0,097 η2 0,083
η5 0,903 η3 0,177
η9 0,045
η10 0,500
As características geométricas do arco na seção 2 encontram-se apresentadas
na Tabela 70.
238
Tabela 70: Características geométricas do arco na seção 2
x y tgφ φ senφ cosφ
2,125 2,094 0,880 41,353 0,661 0,751
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 71: Ordenadas de LI de N na seção 2
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,033 11 -1,019
2,125 -0,069 21 -0,093
2,125 -0,730
A Figura 138 ilustra a LI de N na seção 2, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 138: LI de N na seção 2
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 2 estão apresentadas
na Tabela 72.
239
Tabela 72: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 2
Ordenadas negativas
η1 -0,033 η6 -0,970
η2 -0,069 η7 -1,019
η3 -0,730 η8 -0,880
η4 -0,872 η9 -0,093
η5 -0,921
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 2 estão apresentadas na
Tabela 73.
Tabela 73: Áreas para cálculo da força normal da seção 2
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η3 – η4 η4 – η7 η7 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,033 -0,057 -3,505 -4,255 -1,424 -4,133 -0,093 -13,498
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 2 estão apresentados na Tabela 74.
Tabela 74: Força normal característica da seção 2
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-149964
-370970
240
Determinação da força normal na seção 3
A Figura 139 ilustra a LI de força cortante na seção 3 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção.
Figura 139: LI de V da seção 3 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 3 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 3 estão apresentados na Tabela 75.
Tabela 75: Ordenadas de LI de V na seção 3 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η2 -0,045 η1 0,917
η4 -0,097 η2 0,083
η5 0,903 η3 0,177
η9 0,045
η10 0,500
As características geométricas do arco na seção 3 encontram-se apresentadas
na Tabela 76.
241
Tabela 76: Características geométricas do arco na seção 3
x y tgφ φ senφ cosφ
3,250 3,022 0,769 37,546 0,609 0,793
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 77: Ordenadas de LI de N na seção 3
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,038 11 -1,032
3,25 -0,125 21 -0,094
3,25 -0,734
A Figura 140 ilustra a LI de N na seção 3, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 140: LI de N na seção 3
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 3 estão apresentadas
na Tabela 78.
242
Tabela 78: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 3
Ordenadas negativas
η1 -0,038 η6 -0,974
η2 -0,125 η7 -1,032
η3 -0,734 η8 -0,891
η4 -0,859 η9 -0,094
η5 -0,917
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 3 estão apresentadas na
Tabela 79.
Tabela 79: Áreas para cálculo da força normal da seção 3
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η3 – η4 η4 – η7 η7 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,038 -0,184 -2,589 -4,254 -1,442 -4,186 -0,094 -12,787
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 3 estão apresentados na Tabela 80.
Tabela 80: Força normal característica da seção 3
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-142059
-364002
243
Determinação da força normal na seção 4
A Figura 141 ilustra a LI de força cortante na seção 4 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção 4.
Figura 141: LI de V da seção 4 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 4 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 4 estão apresentados na Tabela 81.
Tabela 81: Ordenadas de LI de V na seção 4 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η2 -0,045 η1 0,917
η5 -0,199 η2 0,083
η6 0,801 η3 0,365
η10 0,045
η11 0,500
As características geométricas do arco na seção 4 encontram-se apresentadas
na Tabela 82.
244
Tabela 82: Características geométricas do arco na seção 4
x y tgφ φ senφ cosφ
4,375 3,824 0,657 33,306 0,549 0,836
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 83: Ordenadas de LI de N na seção 4
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,045 11 -1,041
4,375 -0,196 21 -0,095
4,375 -0,745
A Figura 142 ilustra a LI de N na seção 4, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 142: LI de N na seção 4
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 4 estão apresentadas
na Tabela 84.
245
Tabela 84: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 4
Ordenadas negativas
η1 -0,045 η6 -1,041
η2 -0,196 η7 -0,899
η3 -0,745 η8 -0,757
η4 -0,907 η9 -0,095
η5 -0,974
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 4 estão apresentadas na
Tabela 85.
Tabela 85: Áreas para cálculo da força normal da seção 4
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η3 – η4 η4 – η6 η6 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,045 -0,406 -2,993 -2,922 -2,697 -2,981 -0,095 -12,138
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 4 estão apresentados na Tabela 86.
Tabela 86: Força normal característica da seção 4
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-134850
-356623
246
Determinação da força normal na seção 5
A Figura 143 ilustra a LI de força cortante na seção 5 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção 5.
Figura 143: LI de V da seção 5 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 5 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 5 estão apresentados na Tabela 87.
Tabela 87: Ordenadas de LI de V na seção 5 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η2 -0,045 η1 0,917
η4 -0,250 η2 0,083
η5 0,750 η3 0,459
η9 0,045
η10 0,500
As características geométricas do arco na seção 5 encontram-se apresentadas
na Tabela 88.
247
Tabela 88: Características geométricas do arco na seção 5
x y tgφ φ senφ cosφ
5,500 4,500 0,545 28,610 0,479 0,878
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 89: Ordenadas de LI de N na seção 5
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,051 11 -1,044
5,5 -0,283 21 -0,095
5,5 -0,762
A Figura 144 ilustra a LI de N na seção 5, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 144: LI de N na seção 5
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 5 estão apresentadas
na Tabela 90.
248
Tabela 90: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 5
Ordenadas negativas
η1 -0,051 η6 -1,044
η2 -0,283 η7 -0,902
η3 -0,762 η8 -0,760
η4 -0,890 η9 -0,095
η5 -0,967
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 5 estão apresentadas na
Tabela 91.
Tabela 91: Áreas para cálculo da força normal da seção 5
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η3 – η4 η4 – η6 η6 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,051 -0,752 -2,065 -2,902 -2,706 -2,991 -0,095 -11,562
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 5 estão apresentados na Tabela 92.
Tabela 92: Força normal característica da seção 5
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-128456
-350249
249
Determinação da força normal na seção 6
A Figura 145 ilustra a LI de força cortante na seção 6 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção 6.
Figura 145: LI de V da seção 6 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 6 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 6 estão apresentados na Tabela 93.
Tabela 93: Ordenadas de LI de V na seção 6 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η1 -0,045 η1 0,917
η5 -0,301 η2 0,083
η6 0,699 η3 0,552
η10 0,045
η11 0,500
As características geométricas do arco na seção 6 encontram-se apresentadas
na Tabela 94.
250
Tabela 94: Características geométricas do arco na seção 6
x y tgφ φ senφ cosφ
6,625 5,051 0,434 23,455 0,398 0,917
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 95: Ordenadas de LI de N na seção 6
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,058 11 -1,040
6,625 -0,387 21 -0,095
6,625 -0,785
A Figura 146 ilustra a LI de N na seção 6, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 146: LI de N na seção 6
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 6 estão apresentadas
na Tabela 96.
251
Tabela 96: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 6
Ordenadas negativas
η1 -0,058 η6 -1,040
η2 -0,387 η7 -0,898
η3 -0,785 η8 -0,757
η4 -0,865 η9 -0,095
η5 -0,953
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 6 estão apresentadas na
Tabela 97.
Tabela 97: Áreas para cálculo da força normal da seção 6
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η3 – η4 η4 – η6 η6 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,058 -1,252 -1,134 -2,858 -2,695 -2,979 -0,095 -11,071
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 6 estão apresentados na Tabela 98.
Tabela 98: Força normal característica da seção 6
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-123,003
-343136
252
Determinação da força normal na seção 7
A Figura 147 ilustra a LI de força cortante na seção 7 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção 7.
Figura 147: LI de V da seção 7 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 7 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 7 estão apresentados na Tabela 99.
Tabela 99: Ordenadas de LI de V na seção 7 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η1 -0,045 η1 0,917
η5 -0,352 η2 0,083
η6 0,648 η3 0,646
η10 0,045
η11 0,500
As características geométricas do arco na seção 7 encontram-se apresentadas
na Tabela 100.
253
Tabela 100: Características geométricas do arco na seção 7
x y tgφ φ senφ cosφ
7,750 5,476 0,322 17,865 0,307 0,952
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 101: Ordenadas de LI de N na seção 7
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,065 11 -1,026
7,75 -0,507 21 -0,093
7,75 -0,814
A Figura 148 ilustra a LI de N na seção 7, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 148: LI de N na seção 7
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 7 estão apresentadas
na Tabela 102.
254
Tabela 102: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 7
Ordenadas negativas
η1 -0,065 η6 -1,026
η2 -0,507 η7 -0,886
η3 -0,814 η8 -0,746
η4 -0,830 η9 -0,093
η5 -0,928
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 7 estão apresentadas na
Tabela 103.
Tabela 103: Áreas para cálculo da força normal da seção 7
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η3 – η4 η4 – η6 η6 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,065 -1,903 -0,205 -2,784 -2,659 -2,939 -0,093 -10,648
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 7 estão apresentados na Tabela 104.
Tabela 104: Força normal característica da seção 7
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-118303
-334654
255
Determinação da força normal na seção 8
A Figura 149 ilustra a LI de força cortante na seção 8 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção 8.
Figura 149: LI de V da seção 8 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 8 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 8 estão apresentados na Tabela 105.
Tabela 105: Ordenadas de LI de V na seção 8 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η1 -0,045 η1 0,917
η5 -0,403 η2 0,083
η6 0,597 η3 0,740
η10 0,045
η11 0,500
As características geométricas do arco na seção 8 encontram-se apresentadas
na Tabela 106.
256
Tabela 106: Características geométricas do arco na seção 8
x y tgφ φ senφ cosφ
8,875 5,776 0,211 11,901 0,206 0,979
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 107: Ordenadas de LI de N na seção 8
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,072 11 -1,000
8,875 -0,641 21 -0,091
8,875 -0,847
A Figura 150 ilustra a LI de N na seção 8, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 150: LI de N na seção 8
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 8 estão apresentadas
na Tabela 108.
257
Tabela 108: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 8
Ordenadas negativas
η1 -0,072 η6 -1,000
η2 -0,578 η7 -0,864
η3 -0,641 η8 -0,728
η4 -0,847 η9 -0,091
η5 -0,892
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 8 estão apresentadas na
Tabela 109.
Tabela 109: Áreas para cálculo da força normal da seção 8
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η2 – η3 η4 – η6 η6 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,072 -2,274 -0,533 -1,963 -2,592 -2,865 -0,091 -10,390
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 8 estão apresentados na Tabela 110.
Tabela 110: Força normal característica da seção 8
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-115433
-332264
258
Determinação da força normal na seção 9
A Figura 151 ilustra a LI de força cortante na seção 9 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção 9.
Figura 151: LI de V da seção 9 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 9 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 9 estão apresentados na Tabela 111.
Tabela 111: Ordenadas de LI de V na seção 9 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η1 -0,045 η1 0,917
η5 -0,455 η2 0,083
η6 0,545 η3 0,834
η10 0,045
η11 0,500
As características geométricas do arco na seção 9 encontram-se apresentadas
na Tabela 112.
259
Tabela 112: Características geométricas do arco na seção 9
x y tgφ φ senφ cosφ
10,000 5,950 0,099 5,664 0,099 0,995
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 113: Ordenadas de LI de N na seção 9
Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,078 11 -0,962
10 -0,785 21 -0,087
10 -0,883
A Figura 152 ilustra a LI de N na seção 9, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 152: LI de N na seção 9
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 9 estão apresentadas
na Tabela 114.
260
Tabela 114: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 9
Ordenadas negativas
η1 -0,078 η6 -0,962
η2 -0,628 η7 -0,831
η3 -0,745 η8 -0,700
η4 -0,785 η9 -0,087
η5 -0,883
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 9 estão apresentadas na
Tabela 115.
Tabela 115: Áreas para cálculo da força normal da seção 9
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η1 η1 – η2 η2 – η4 η5 – η6 η6 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área
total
-0,078 -2,472 -1,412 -0,923 -2,492 -2,754 -0,087 -10,219
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 9 estão apresentados na Tabela 116.
Tabela 116: Força normal característica da seção 9
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-113538
-307293
261
Determinação da força normal na seção 10
A Figura 153 ilustra a LI de força cortante na seção 10 e a LI de H para
obtenção da LI de N na seção 10.
Figura 153: LI de V da seção 10 e LI de H
Os valores das ordenadas da LI de V na seção 10 e da LI de H necessários para
obtenção da LI de N na seção 10 estão apresentados na Tabela 117.
Tabela 117: Ordenadas de LI de V na seção 10 e LI de H
Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H
η1 -0,045 η1 0,917
η5 -0,500 η2 0,083
η6 0,500
η10 0,045
As características geométricas do arco na seção 10 encontram-se apresentadas
na Tabela 118.
262
Tabela 118: Características geométricas do arco na seção 10
x y tgφ φ senφ cosφ
11,000 6,000 0,000 0,000 0,000 1,000
A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.
Tabela 119: Ordenadas de LI de N na seção 10
Abscissa (x) Ordenadas (η)
1 -0,917
11 -0,083
21 -0,917
A Figura 154 ilustra a LI de N na seção 10, com os carregamentos permanente
e variável que provocam máximos efeitos.
Figura 154: LI de N na seção 10
As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 10 estão
apresentadas na Tabela 120.
263
Tabela 120: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 10
Ordenadas negativas
η1 -0,917
η2 -0,083
η3 -0,792
η4 -0,667
As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 10 estão apresentadas
na Tabela 121.
Tabela 121: Áreas para cálculo da força normal da seção 10
Áreas (compreendidas entre)
x0 – η2 η2 – η4 η4 – η1 η1 – η4 η4 – η2 η2 – x24 Área total
-0,083 -2,625 -2,376 -2,376 -2,625 -0,083 -10,167
Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 10 estão apresentados na Tabela 122.
Tabela 122: Força normal característica da seção 10
Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)
-112956
-303952
264
APÊNDICE C
Linhas de influências para o cálculo do momento fletor
Cálculo do momento fletor na seção 1
A Figura 155 ilustra a LI de M na seção 1, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 155: LI de M da seção 1
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 1 estão
apresentadas na Tabela 123.
265
Tabela 123: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 1
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,217 η6 -0,058
η2 0,868 η7 -0,257
η3 0,669 η8 -0,454
η4 0,471 η9 -0,392
η5 0,273 η10 -0,331
η11 -0,041
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 1 estão apresentadas
na Tabela 124.
Tabela 124: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 1
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,054 PI - η6 -0,781
η1 - η2 0,813 η6 - η8 -2,479
η2 - η5 2,566 η8 - η10 -0,041
η5 - PI 0,281 η10 - η11 -0,013
Atotal 3,715 η11 – X24 -1,302
Atotal -4,616
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 1 estão apresentados na Tabela 125.
Tabela 125: Força cortante característica da seção 1
Carregamento Permanente
(N.mm)
Carregamento Variável
(N.mm)
41275142
198132374
-36684233
-122189063
266
Cálculo do momento fletor na seção 2
A Figura 156 ilustra a LI de M na seção 2, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 156: LI de M da seção 2
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 2 estão
apresentadas na Tabela 126.
267
Tabela 126: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 2
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,455 η8 -0,044
η2 0,729 η9 -0,451
η3 0,848 η10 -0,857
η4 0,986 η11 -0,740
η5 1,244 η12 -0,623
η6 0,837 η13 -0,078
η7 0,430
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 2 estão apresentadas
na Tabela 127.
Tabela 127: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 2
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,285 PI – η8 -0,004
η1 - η2 0,444 η8 – η10 -1,352
η2 - η5 2,219 η10 - η12 -2,221
η5 – η7 2,512 η12 - η13 -2,455
η7 - PI 0,342 η13 – X24 -0,078
Atotal 5,802 Atotal -6,110
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 2 estão apresentados na Tabela 128.
Tabela 128: Força cortante característica da seção 2
Carregamento Permanente
(N.mm)
Carregamento Variável
(N.mm)
64457483
290941917
-67871972
-226980198
268
Cálculo do momento fletor na seção 3
A Figura 157 ilustra a LI de M na seção 3, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 157: LI de M da seção 3
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 3 estão
apresentadas na Tabela 129.
269
Tabela 129: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 3
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,375 η7 -0,550
η2 0,600 η8 -1,145
η3 1,051 η9 -0,989
η4 1,951 η10 -0,833
η5 1,352 η11 -0,676
η6 0,753 η12 -0,104
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 3 estão apresentadas
na Tabela 130.
Tabela 130: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 3
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,235 PI – η7 -0,375
η1 - η2 0,366 η7 - η8 -1,271
η2 - η5 2,871 η8 - η11 -4,098
η4 - η6 4,057 η11 - η12 -2,147
η6 - PI 0,709 η12 – X24 -0,104
Atotal 8,237 Atotal -7,996
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 3 estão apresentados na Tabela 131.
Tabela 131: Força cortante característica da seção 3
Carregamento Permanente
(N.mm)
Carregamento Variável
(N.mm)
91518290
431985335
-88831175
-317300615
270
Cálculo do momento fletor na seção 4
A Figura 158 ilustra a LI de M na seção 4, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 158: LI de M da seção 4
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 4 estão
apresentadas na Tabela 132.
271
Tabela 132: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 4
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,482 η9 -0,541
η2 0,844 η10 -1,317
η3 1,568 η11 -1,138
η4 1,548 η12 -0,958
η5 1,539 η13 -0,778
η6 1,529 η14 -0,120
η7 1,141
η8 0,364
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 4 estão apresentadas
na Tabela 133.
Tabela 133: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 4
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,482 PI – η9 -0,283
η1 - η2 0,498 η9 – η10 -1,394
η2 – η3 1,809 η10 - η13 -4,716
η3 - η6 3,484 η13 - η14 -2,470
η6 – η8 2,130 η14 – X24 -0,120
η8 - PI 0,128 Atotal -8,983
Atotal 8,532
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 4 estão apresentados na Tabela 134.
272
Tabela 134: Força cortante característica da seção 4
Carregamento Permanente
(N.mm)
Carregamento Variável
(N.mm)
94785834
424022969
-99801301
-363330579
273
Cálculo do momento fletor na seção 5
A Figura 159 ilustra a LI de M na seção 5, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 159: LI de M da seção 5
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 5 estão
apresentadas na Tabela 135.
274
Tabela 135: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 5
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,375 η7 -0,437
η2 0,937 η8 -1,375
η3 1,500 η9 -1,187
η4 2,062 η10 -1,000
η5 1,125 η11 -0,812
η6 0,187 η12 -0,125
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 5 estão apresentadas
na Tabela 136.
Tabela 136: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 5
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,375 PI – η7 -0,153
η1 - η2 0,984 η7 - η8 -1,359
η2 – η4 4,500 η8 - η11 -4,922
η4 – η6 3,375 η11 - η12 -2,578
η6 - PI 0,028 η12 – X24 -0,125
Atotal 9,262 Atotal -9,137
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 5 estão apresentados na Tabela 137.
Tabela 137: Força cortante característica da seção 5
Carregamento Permanente
(N.mm)
Carregamento Variável
(N.mm)
102906375
469237500
-101517625
-377423438
275
Cálculo do momento fletor na seção 6
A Figura 160 ilustra a LI de M na seção 6, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 160: LI de M da seção 6
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 6 estão
apresentadas na Tabela 138.
276
Tabela 138: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 6
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,278 η9 -0,234
η2 0,695 η10 -1,317
η3 1,112 η11 -1,138
η4 1,529 η12 -0,958
η5 1,279 η13 -0,778
η6 1,196 η14 -0,120
η7 1,029
η8 0,488
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 6 estão apresentadas
na Tabela 139.
Tabela 139: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 6
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,278 PI – η9 -0,038
η1 - η2 0,730 η9 – η10 -1,164
η2 – η4 3,335 η10 - η13 -4,716
η4 – η7 2,878 η13 - η14 -2,470
η7 – η8 0,569 η14 – X24 -0,120
η8 - PI 0,165 Atotal -8,508
Atotal 7,954
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 6 estão apresentados na Tabela 140.
277
Tabela 140: Força cortante característica da seção 6
Carregamento Permanente
(N.mm)
Carregamento Variável
(N.mm)
88371366
385047860
-94523186
-360160488
278
Cálculo do momento fletor na seção 7:
A Figura 161 ilustra a LI de M na seção 7, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 161: LI de M da seção 7
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 7 estão
apresentadas na Tabela 141.
279
Tabela 141: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 7
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,191 η7 -1,145
η2 0,622 η8 -0,989
η3 0,909 η9 -0,833
η4 1,196 η10 -0,676
η5 1,483 η11 -0,104
η6 0,270
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 7 estão apresentadas
na Tabela 142.
Tabela 142: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 7
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,191 PI – η7 -0,810
η1 - η2 0,915 η7 – η10 -4,098
η2 - η5 4,736 η10 - η11 -2,147
η5 – η6 1,315 η11 – X24 -0,104
η6 - PI 0,045 Atotal -7,159
Atotal 7,203
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 7 estão apresentados na Tabela 143.
Tabela 143: Força cortante característica da seção 7
Carregamento Permanente (N.mm) Carregamento Variável
(N.mm)
80025895
360246974
-79540980
-312246740
280
Cálculo do momento fletor na seção 8
A Figura 162 ilustra a LI de M na seção 8, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 162: LI de M da seção 8
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 8 estão
apresentadas na Tabela 144.
281
Tabela 144: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 8
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,115 η8 -0,857
η2 0,375 η9 -0,740
η3 0,547 η10 -0,623
η4 0,720 η11 -0,506
η5 0,893 η12 -0,078
η6 0,447
η7 0,027
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 8 estão apresentadas
na Tabela 145.
Tabela 145: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 8
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,115 PI – η8 -0,415
η1 - η2 0,796 η8 – η11 -3,068
η2 - η5 2,852 η11 - η12 -1,607
η5 – η7 0,690 η12 – X24 -0,078
η7 - PI 0,001 Atotal -5,169
Atotal 4,454
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 8 estão apresentados na Tabela 146.
Tabela 146: Força cortante característica da seção 8
Carregamento Permanente (N.mm) Carregamento Variável
(N.mm)
49490603
219221953
-57428773
-233452837
282
Cálculo do momento fletor na seção 9
A Figura 163 ilustra a LI de M na seção 9, com os carregamentos permanente e
variável que provocam máximos efeitos.
Figura 163: LI de M da seção 9
As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 9 estão
apresentadas na Tabela 147.
283
Tabela 147: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 9
Ordenadas positivas Ordenadas negativas
η1 0,050 η7 -0,454
η2 0,198 η8 -0,392
η3 0,273 η9 -0,331
η4 0,347 η10 -0,269
η5 0,421 η11 -0,041
η6 0,496
As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 9 estão apresentadas
na Tabela 148.
Tabela 148: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 9
Áreas Positivas
(compreendidas entre)
Áreas Negativas
(Compreendidas entre)
X0 - η1 0,050 PI – η7 -0,109
η1 - η2 0,372 η7 – η10 -1,627
η2 – η6 2,083 η10 - η11 -0,852
η6 - PI 0,129 η11 – X24 -0,041
Atotal 2,634 Atotal -2,629
Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos
permanentes e variáveis na seção 9 estão apresentados na Tabela 149.
Tabela 149: Força cortante característica da seção 9
Carregamento Permanente (N.mm) Carregamento Variável
(N.mm)
29258063
107569727
-29212154
-123585373
284
APÊNDICE D
Resistência de cálculo de madeira serrada de folhosas não classificadas
Os valores de cálculo da resistência são dados por:
(41)
Onde, fwd é a resistência de cálculo da madeira, kmod é o coeficiente de
modificação, fwk é a resistência característica da madeira e o γw é o coeficiente de
minoração da resistência para estados limites último.
Os coeficientes de minoração γw para estados limites últimos decorrentes de
tensões de compressão paralela às fibras tem o valor básico γwc = 1,4. O coeficiente de
ponderação para estados limites últimos decorrentes de tensões de tração paralela às
fibras tem o valor básico γwt = 1,8. O coeficiente de ponderação para estados limites
últimos decorrentes de tensões de cisalhamento paralelo às fibras tem o valor básico
γwv = 1,8.
O coeficiente de modificação kmod reporta, para a situação de uso, os valores
de cálculo das propriedades da madeira em função da classe de carregamento da
estrutura (kmod1), da classe de umidade admitida (kmod2), e do eventual emprego de
madeira de segunda qualidade (kmod3). O coeficiente de modificação kmod é formado
pelo produto:
kmod = kmod1 . kmod2 . kmod3 (42)
O coeficiente parcial de modificação kmod1 pode ser obtido na Tabela 12.
285
Tabela 150 – Definição de classes de carregamento e valores de kmod1
Classes de
carregamento
Ação variável principal da
combinação Tipos de madeira
Duração
acumulada
Ordem de
grandeza da
duração
acumulada da
ação
característica
Madeira serrada
Madeira roliça
Madeira
laminada colada
Madeira
compensada
Madeira
recomposta
Permanente Permanente Vida útil da
construção
0,60 0,30
Longa
duração
Longa
duração
Mais de seis
meses
0,70 0,45
Média
duração
Média
duração
Uma semana a
seis meses 0,80 0,65
Curta duração Curta
duração
Menos de uma
semana
0,90 0,90
Instantânea Instantânea Muito curta 1,10 1,10
Fonte: Projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011).
O coeficiente de modificação kmod2 é dado pela Tabela 13.
Tabela 151 – Valores de kmod2
Classes de Umidade
Madeira serrada
Madeira roliça
Madeira laminada colada
Madeira compensada
Madeira
recomposta
(1) 1,00 1,00
(2) 0,90 0,95
(3) 0,80 0,93
(4) 0,70 0,90
No caso de madeira serrada submersa, admite-se o valor kmod2 = 0,65.
Fonte: Projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011).
286
O coeficiente parcial de modificação kmod3 leva em consideração a qualidade da
madeira. Para a avaliação da qualidade da madeira é necessária à classificação de
todas as peças estruturais por meio de método visual normalizado e também
submetidas a uma classificação mecânica que garanta a homogeneidade da rigidez das
peças que compõem o lote de madeira a ser empregado.
Para madeira não classificada, os valores a serem empregados de kmod3
correspondem a:
Madeira de folhosa, não classificada: kmod3 = 0,70;
Madeira de conífera, não classificada: não é permitido seu uso sem
classificação.
O coeficiente de modificação kmod3 para madeira laminada colada leva em
conta a curvatura da peça, valendo kmod3 = 1,0 para peça reta e, nos demais casos:
(
)
(43)
Onde, t é a espessura das lâminas e r o menor raio de curvatura das lâminas que
compõem a seção transversal resistente.
O dimensionamento de peças estruturais em MLC deve seguir as
recomendações do projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), quanto ao
dimensionamento de peças serradas.
287
APÊNDICE E
Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à
compressão paralela às fibras
Considerando que o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011),admite
um comportamento elastofrágil do material, ou seja, um diagrama “tensão X
deformação” linear até a ruptura, tanto na compressão quanto na tração, dois estados
limites devem ser considerados:
Ruptura, na seção menos resistente, por tensões normais de compressão de
peças curtas;
Flambagem elástica, de peças esbeltas;
Assim, o dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à
compressão paralela às fibras pode ser feito aplicando-se o seguinte roteiro:
1. Obter as características geométricas da seção de interesse do problema, que
são: a área da seção transversal da barra (A) e o raio de giração mínimo (imin);
comprimento de flambagem (L0); e o índice de esbeltez máximo ().
O comprimento de flambagem, L0, depende das condições de vinculação das
extremidades das barras e é calculado pela expressão:
(44)
Onde L é o comprimento da peça submetida à compressão e os valores do
coeficiente KE podem ser obtidos na Tabela 14.
288
Tabela 152: Valores dos coeficientes KE
Modos de
flambagem
Valores de
projeto para
KE
0,65 0,80 1,20 1,00 2,10 2,40
Código das
condições
de
extremidade
Rotação e translação lateral impedidas, translação
vertical livre
Rotação e translação vertical livres, translação
lateral impedida
Rotação livre e translações impedidas
Rotação impedida e translações livres
Rotação e translação livres
Fonte: Projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011).
O índice de esbeltez máximo () é calculo pela expressão:
Onde imin é o raio de giração mínimo da seção transversal da peça estudada.
2. Obter as características da madeira:
Resistência de cálculo à compressão paralela às fibras (fc0,d);
Módulo de elasticidade longitudinal de cálculo (Ec0,d):
(45)
Onde,
289
(46)
Tensão crítica de Euler, de cálculo (cr,d):
(47)
3. Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o(s)
diagrama(s) de força(s) normal(is);
4. Obter a tensão atuante de cálculo máxima (cd);
5. Verificar e concluir sobre a seção, sendo as condições de verificação:
Verificação quanto à ruptura
(48)
Verificação quanto à estabilidade
(49)
O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), proíbe o uso de peças
comprimidas, ou flexocomprimidas, com índice de esbeltez superior a 140.
290
APÊNDICE F
Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à
compressão normal às fibras
Os esforços resistentes correspondentes à compressão normal às fibras,
segundo O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), devem considerar a
extensão do carregamento, medida paralelamente à direção das fibras (“a”, na Figura
xx). Além disso, deve-se garantir que a configuração de equilíbrio não seja alterada
durante o carregamento. Por isso, recomenda-se uma distância mínima, de 7,5 cm, da
placa de distribuição às extremidades da peça. A Figura 164 ilustra um carregamento
perpendicular às fibras, denominando de “a” a extensão do carregamento medido na
direção paralela às fibras, “b” a extensão do carregamento medido na direção
perpendicular às fibras e “c” a distância da placa até a extremidade.
Figura 164: Peça de madeira submetida à compressão perpendicular às fibras
O dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à compressão
normal às fibras pode ser feito aplicando-se o seguinte roteiro.
1. Obter o esforço de cálculo, Fd;
2. Determinar os valores de "a", "b" e "c" (definidos na figura anterior).
Aproveitar para verificar, e corrigir, a distância construtiva “c”;
3. Calcular a área de distribuição (Adist):
291
(área de contato); (50)
4. Obter a tensão atuante, de cálculo, à compressão normal (c90,d):
(51)
5. Obter o fator de correção (n) da resistência à compressão normal (fc90,d). Os
valores de n são obtidos na Tabela 15.
Tabela 153: Fator de correção da resistência à compressão perpendicular (n)
Extensão do carregamento normal às
fibras, medidas paralelamente a estas
“a” (cm)
Coeficiente n
1 2,00
2 1,70
3 1,55
4 1,40
5 1,30
7,5 1,15
10 1,10
Para a ≥ 15 cm, adota-se n = 1,00.
Fonte: Projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011).
6. Verificar e concluir sobre a seção, sendo a condição de verificação:
(52)
292
APÊNDICE G
Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexão
simples reta
A flexão simples reta se caracteriza pela ação de momento fletor em torno de
apenas um dos eixos principais de inércia, sem a presença de esforço normal. Pode-se
utilizar para a flexão simples reta o seguinte roteiro:
1. Determinar o momento estático (S) de meia seção, e o momento de inércia
(I), ambos em relação ao eixo central de inércia perpendicular ao plano de ação do
momento fletor. Obter, também, a largura da seção transversal (b), no centro de
gravidade, e as distâncias deste às bordas comprimida (yc1) e tracionada (yt2);
2. Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0,d; a resistência
à tração paralela às fibras, ft0,d; a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0,d e o
módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras, Ec0,ef, onde:
(53)
3. Obter os esforços de cálculo (Vd e Md) e a flecha de serviço (ud,uti), apenas
para ações de longa duração, considerando como vão teórico o menor dos seguintes
valores:
a) Distância entre eixos dos apoios;
b) O vão livre mais a altura da viga, se menor que 10 cm.
4. Verificação da Tensão normal:
Na Borda comprimida
(54)
Na Borda tracionada
(55)
293
5. Verificação da tensão de cisalhamento
(56)
6. Verificação da Flecha
( ) (57)
Na qual ulim deve ser:
Para peças de madeira serrada ou roliça sem balanço
(58)
Para peças de madeira serrada ou roliça com balanço
(59)
Para peças de MLC, e para escoramentos de fôrmas de madeira
(60)
Os valores do coeficiente de fluência (ϕ) são obtidos na Tabela 16.
Tabela 154: Coeficiente de fluência (ϕ)
Classes de carregamento Classes de umidade
(1) e (2) (3) e (4)
Permanente ou longa duração 0,80 2,00
Média duração 0,30 1,00
Curta duração 0,10 0,50
Fonte: Projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011).
7. Concluir sobre a seção.
294
APÊNDICE H
Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à
flexocompressão
A presença de um esforço normal de compressão em um problema de flexão
caracteriza a flexocompressão. Em caso de flexocompressão, pode-se aplicar o
seguinte roteiro:
1. Determinar: a área da seção transversal (A); os momentos estáticos (Sx-x e
Sy-y), de meia seção; os momentos de inércia (Ix-x e Iy-y); e os raios de giração (ix-x e iy-
y). Obter, também, as dimensões da seção transversal (b e h), no centro de gravidade, e
as distâncias deste às bordas comprimida (xc1 e yc1) e tracionada (xt2 e yt2);
2. Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0,d; a resistência
à tração paralela às fibras, ft0,d (se necessário verificar a borda tracionada); a
resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0,d; os módulos de elasticidades
efetivo, Ec0,ef, e de cálculo, Ec0,d, ambos à compressão paralela às fibras;
3. Obter os esforços de cálculo (Nd, Vx,d, Vy,d, Mx,d e My,d) e as flechas de
serviço (ux,ime e uy,ime, que correspondem a ux,d,uti e uy,d,uti);
4. Verificação da estabilidade:
a) Determinar comprimentos de flambagem (L0,x e L0,y) e índices de esbeltezes
(x e y);
Obs.: Existindo, em determinada direção, valores diferentes de vão (Lx ou Ly),
deve-se usar o mais desfavorável.
b) Obter as esbeltezes relativas (rel,x e rel,y)
√
(61)
√
(62)
295
Onde E0,05 é o módulo de elasticidade medido na direção paralela às fibras da
madeira, que, considerando distribuição normal, pode ser considerado igual a 0,7.Ec0,m
e Ec0,m é o valor médio do módulo de elasticidade medido na direção paralela às fibras
da madeira. A relação fc0,k/E0,05 é igual à relação fc0,d/Ec0,d (valores obtidos no 2º
passo).
Obs.: Para rel,x 0,3 e rel,y 0,3, não ocorrerá instabilidade, mas deve-se
verificar a resistência.
c) Obter os coeficientes kx e ky
* ( ) ( ) + (63)
* ( ) ( ) + (64)
Onde,
Para peças de madeira serrada ou roliça: βc = 0,2
Para peças de MLC e microlaminada (LVL): βc = 0,1
βc
d) Obter os coeficientes kcx e kcy
√( ) ( ) (65)
√( ) ( )
(66)
Se limitados os
alinhamentos
no centro do
vão Consultar norma específica para
escoramentos e fôrmas de madeira
𝑙 para peças de madeira serrada ou
roliças
𝑙 para peças de madeira laminada
colada
296
e) Verificar a estabilidade Usar a mais rigorosa das condições
(67)
(68)
Onde,
(69)
(70)
(71)
Para seção retangular: kM = 0,7
Para outras seções transversais: kM = 1,0
5. Verificação da Tensão normal (na borda comprimida usar a mais rigorosa
das condições)
(
)
(72)
(
)
(73)
6. Verificação da tensão de cisalhamento
√ (74)
297
Onde,
(75)
(76)
Fonte: SOUZA, (2009).
7. Verificação da Flecha
√ (77)
Existindo vãos diferentes,
e (78)
8. Concluir sobre a seção.
298
APÊNDICE I
Roteiro para cálculo da flecha em determinada posição de uma viga de seção
constante
1. Traçar o diagrama de momento fletor (M), para o carregamento dado.
2. Traçar o diagrama de momento fletor ( M ), para um carregamento unitário,
aplicado na posição e com a direção do deslocamento (v) desejado.
3. Utilizando-se a Tabela para integrais de produtos de duas funções calcular:
Estrutura
dx.M.M (79)
4. Aplicar a Equação 99, obtendo o valor do deslocamento (v) desejado.
299
ANEXO 1
Integrais de produtos de duas funções
Tabela 155: Integrais de produtos de duas funções
0
dx).x().x(f
Número I II III IV V
Nú
mer
o
)x(
)x(f
1
.a..
2
1 .a..
3
1 ..a.. 2
6
1
.a..3
1 .a..
4
1
2
.b..
2
1 .b..
6
1 ..b.. 2
6
1
.b..3
1 .b..
12
1
3
.ba.. 2
1
.ba... 26
1
..a.[. 26
1
]..b 2
.ba.. 3
1
.ba... 312
1
4
.a..
3
1 .a..
4
1 ..a.. 3
12
1 .a..
5
1 .a..
5
1
5
.b..
3
1 .b..
12
1 ..b.. 3
12
1 .b..
5
1 .b..
30
1
6
.a..
3
2 .a..
12
5 ...a.. 35
12
1
.a..15
7 .a..
10
3
7
.b..
3
2 .b..
4
1 ...b.. 53
12
1
.b..15
7 .b..
15
2
8
.c..
3
2 .c..
3
1 .c..
3
1 .c..
15
8 .c..
15
1
9
.c..
2
1 .c..
4
1 .c..
4
1 .c..
12
15 .c..
48
7
300
10
.c..2
1
.c..6
2
26
1...[c..
]. 1
.c..3
1 2
.c..3
1 2
11
.a..
4
1 .a..
6
1 ..a.. 4
20
1 .a..
15
2 .a..
6
1
12
.b..
4
1 .b..
20
1 ..b.. 4
20
1 .b..
15
2 .b..
60
1
0
2dx.)x(
2.
2
3
1..
22
3
1 ...
2
15
8..
2
5
1..
ou
o ponto significa que a tangente à curva é horizontal