Dílčí cíl V201

Výzkum prouděním vybuzených vibrací elementů energetických zařízení. Optimalizace zařízení s cílem eliminovat tyto nežádoucí vibrace.

projektu Výzkumné centrum 1M 0659

Progresivní technologie a systémy pro energetiku

Připravil Josef Voldřich

(skupina NTC ZČU v Plzni pro strukturální dynamiku dílčího cíle V201,

celková kapacita 1,1 člověk/rok ) – seminář 14.9.2006, ČVUT Praha

celková problematika

aktuální problematika třecích tlumičů – hrubý návrh matematického postupu modelování této (nelineární) problematiky

ilustrace zvláštností mechaniky rotujících konstrukcí, linearizace

problematika olopatkovaných disků – cyklická symetrie, rozladěné lopatkové svazky

znovu nelineární problematika

Celková problematika

1) problematika nerotujících konstrukcí

1a) rozvoj výpočetních metod na základě užití komerčních softwarových systémů (především COSMOS/M, ANSYS, MARC)1b) rozvoj výpočetních nástrojů a implementace různých procedur v programovém prostředí FORTRAN (např. užití knihoven CXML a IMSL pro řešení soustav lineárních rovnic s řídkými maticemi)

2) problematika rotujících lopatek a olopatkovaných disků

2a) vyhledávání a studium literatury nejaktuálnější problematiky2b) rozvoj metod výpočetního modelování rotujících lopatek s cílem snižování jejich vibrací – aktuální problematika vývoje a optimalizace třecích tlumičů (friction dampers)

Ačkoliv hlavní náplň prací směřuje do oblasti výpočetního a matematického modelování, pozornost bude věnována i sběru inženýrských poznatků, návaznosti na experiment apod.

Aktuální problematika třecích tlumičů

Základní princip – třením lopatek navzájem nebo s jinými konstrukčními díly utlumit jejich vibrace

Přenos technologií z leteckých motorů a spalovacích turbín na parní turbíny

Náš příspěvek by měl směřovat do oblasti matematického modelování a optimalizace třecích tlumičů

Strukturální model M q´´ + C q´ + K q = P(t) + N ,

M, C, K jsou matice hmotností, tlumení a tuhosti, obecně především matice C a K mohou být v důsledku extrémních mechanických podmínek nebo aerodynamiky nezanedbatelně závislé na řešení (nelinearity) nebo nezanedbatelně časově proměnné. Reálné modely MKP mohou mít statisíce stupňů volnosti, přechod na nelinární problematiku prakticky vyžaduje jejich redukci.

N síly způsobené třecími tlumiči (závisí na q a t)

q - fyzikální souřadnice, t - čas, Φ - matice vlastních vektorů

η = Φq modální souřadnice, ω - vlastní frekvence

Návrh výpočetního postupu

vyjádření v modálních souřadnicích η´´ + (2ζ ω) η´ + (ω2) η = θa(η, η´,t) + θf(η,t)

1. metodou konečných prvků stanovit matice M, C, K, Φ a dále aerodynamické síly θa

2. získat relativní fyzikální posuvy mezi dvě uzly tlumiče z modálních posuvů η a hodnot vlastních tvarů v těchto uzlech

3. užít semi-analytickou charakteristiku síla-posuv třecího tlumiče a z relativního posuvu z bodu 2 získat třecí sílu

4. pomocí Φ transformovat třecí sílu z fyzikální oblasti do modální oblasti, tj. získat θf

5. nalézt modální souřadnici η řešením uvedené rovnice a jít na krok 2 až modální síly třecího tlumiče z kroku 4 nedosáhnou konvergentní hodnotu

Ilustrace zvláštností mechaniky rotujících systémů

Již stanovení matice M,C a K pro rotující systémy za ustáleného režimu představuje jistou linearizaci, C a K jsou závislé na frekvenci otáček, velký vliv na K může mít namáhání lopatek apod. (gyroskopické efekty hlavně u leteckých motorů). Nejvhodnějším nástrojem na našem pracovišti je programový systém ANSYS.

Nerotující soustava

)(2/12220 ])([)( titi eAcmkeFtr

Řešení

tieFrkrcrm 0

kde

2

mk

carctg

m

c

2

2

2

m

c

m

k

rezonanční frekvence ω je ovlivněna tlumením c – ne každý systém MKP toto postihuje

tj. Fρ|r = Fρ eiΩt = -cr eiΩt dρ/dt = -cr (dr/dt –iΩ r)

r = x + i y inerciální souřadný systém

ρ = ξ + i η rotující souřadný systém

TnT

yx yxcFF ,,

TrT cFF ,,

Nerotující tlumení

Jiný zápis Fr = -cn dr/dt

Jiný zápis Fρ = -cr dρ/dt

Rotující tlumení

r = ρ eiΩt

dr/dt = (dρ/dt + i Ω ρ ) eiΩt

d2r/dt2 = (d2 ρ /dt2 + 2iΩ dρ/dt – Ω2 ρ ) eiΩt

titirrn eFemrcikrccrm 0

2)()(

k = ko + Ω2 kGnevývažek rotoru

022 )()2( Fmcimkmiccm nrn

Rotující soustava

x

y

ξ η

Ω t

titirrn eFemrcikrccrm 0

2)()(

Vlastní frekvence a módy : m s2 + ( cn+ cr ) s + k – iΩcr = 0

2

2

4

)(4)(

2 m

cikmcc

m

ccis rnrnr

2

22,1

2

1

2 m

c

m

cc rnr Nebezpečí nestability v důsledku rotujícího tlumení

2

22,1

2

)(sgn

m

cr

2

2

4

)(

m

cc

m

k nr Pozn. Ještě není zahrnut gyroskopický efekt - iΩG dr/dt

Olopatkované disky a cyklická symetrie

Příklad vlastního tvaru („běžící vlny“) systému s cyklickou symetrií

Problematika vlastních čísel je složitější, zavádějí se harmonické indexy. Pro každý harmonický index náleží řada vlastních čísel. Příklady pro vybrané indexy:

Harmonický index 0

Harmonický index 1

Harmonický index 2 Harmonický index 4

Rozladěné lopatkové svazky

V současnosti je značně aktuální problematika. Rozladění (mistuning) může nastat v důsledku porušení ideální geometrické nebo fyzikální symetrie (což je u reálného díla vždy).

- amplitudy kmitů některých lopatek mohou být mnohem větší než u nerozladěných

- rozladění např. v důsledku tolerance uložení atd.

Znovu nelineární problematika

Nejvíce úsilí v literatuře týkající se matematického modelování rotujících systémů bylo vynaloženo v souvislosti s problematikou leteckých motorů. Mnoho je přenositelného na problematiku energetických zařízení.

Nelineární problematika vyžaduje velmi šetřit stupni volnosti. Lopatky jsou zpravidla modelovány pomocí Timošenkových nosníků nestenoměrného průřezu. Po vyjádření závislosti kinetické a potenciální energie systému na modelovaných stupních volnosti Lagrangeovy rovnici dají požadovanou matematickou formulaci. Zpravidla mnoho členů vyšších řádů se zanedbává nebo dále linearizuje, aby problém bylo možné vůbec řešit.

Samostatnou specializací je problematika aerodynamiky a aeropružnosti, kterou se v projektu centra zabývá skupina z KKE Fakulty strojní ZČU v Plzni.