Diktat Psd Bab III

7/27/2019 Diktat Psd Bab III

1/11

Bab III Transformasi dari Sistem Analog ke Digital 60

BAB III

TRANSFORMASI DARI SISTEM ANALOG KE DIGITAL

Untuk sistem digital LSI, keluaran y(n) dapat dihitung dari masukanya x(n)

kalau salah satu dari persamaan beda, tanggap impuls h(n), atau fungsi pindah H(z)

diketahui. Jika sistem stabil, tanggap frekuensi dari sistem dapat diperoleh dari

H(z) dengan substitusi .

)( jeH

jez =

Pada bab ini akan dibicarakan bagaimana mendapatkan sistem digital yang

wataknya mendekati watak dari suatu sistem analog. Hal ini sering dilakukan mengingat

filter analog telah lebih dahulu berkembang, seperti dengan telah dikenalnya beberapa

bentuk filter analog seperti misalnya, filter Butterworth, filter Chebyshev dan filter

Eliptik. Hal ini juga dilakukan kalau kita akan melakukan simulasi filter analog dengan

filter digital. Untuk ini diperlukan suatu transformasi yang membawa H(s) ke H(z).

Dalam melakukan transformasi dari sistem analog H(s), ke sistem digital H(z),

ada dua hal yang harus dipenuhi, yaitu :

1. watak frekuensi dari filter digital yang kita peroleh masih mencerminkan watak

frekuensi dari filter analog. Dengan kata lain, oleh karena == jssHjH )()( dan

j

ezzHjH

== )()( maka transformasi s z ini harus membawa sumbu imaginer

dari bidang-s (s=j) ke lingkaran satuan dalam bidang-z ( ).jez =

2. hal lain yang harus dipenuhi dalam transformasi ini adalah diperolehnya sistem

digital yang stabil dari sistem analog yang stabil. Untuk sistem kausal, ini berarti

bahwa pole dari sistem analog yang terletak disebelah kiri sumbu imaginer dalam


2/11


bidang-s, dengan transformasi ini harus dibawa ke dalam lingkaran satuan dalam

bidang-z.

III.1 Transformasi Impuls Invariant

Salah satu cara untuk mendapatkan filter digital dari filter analog adalah

mendapatkan h(n) dengan melakukan pencuplikan terhadap h(t), sehingga :

nTtthnThnh === )()()( (3.1)

dimana T adalah interval cuplik. Dengan demikian bentuk dari tanggap impuls tidak

berubah. Selanjutnya H(z) dapat diperoleh dari h(n), yaitu :

= nznhzH )()( (3.2)

oleh karena h(t) dapat diperoleh dari H(s) dengan melakukan transformasi Laplace

balik, maka kita dapat menghitung H(z) jika H(s) diketahui. Sebagai contoh kalau

diketahui persamaan diferensial dari sistem analog adalah :

)()( tAxtaydt

dy=+ (3.3a)

maka fungsi alihnya H(s) adalah :

as

AsH

+=)( (3.3b)

sistem dengan fungsi alih mempunyai tanggap impuls , sehingga untuk

sistem kausal :

atAeth

=)(

)()( nuAenh anT=


3/11


dan ( )1

1

1)(

==

ze

AzeAzH

aT

naT (3.4)

seperti telah dibicarakan pada bab I.5, dengan cara pencuplikan ini hubungan antara

== jssHjH )()( dan

jez

j zHeH=

= )()( adalah :

+=

T

kjjH

TeH j

21)( (3.5)

kemudian jika dipenuhi Fs 2Fh, maka untuk interval frekuensiTT

:

)(1

)()( == jHT

eHeHTjj

(3.6)

sehingga untuk menghitung y(n) dari H(z), H(z) pada persamaan (3.4) perlu dikalikan

dengan T, sehingga :

11

)(

=ze

ATzHaT

(3.7)

yang diagram alirnya terlihat pada Gambar3-1.

x(n)a

ATy(n)

aTe

1z

Gambar 3-1 Diagram alir dari persamaan (3.7)

Jadi secara umum, jika H(s) mempunyai bentuk :

= +

=N

k k

k

ss

AsH

1 )()( (3.8)

maka dengan transformasi impuls invariant, bentuk dari H(z) adalah :


4/11


( )=

=N

kTs

k

ze

TAzH

k1

11)( (3.9)

Dari persamaan (3.3) dan (3.4) terlihat bahwa pole s = -a dalam bidang-s akan

ditransformasikan sebagai pole dalam bidang-z. Sehingga hubungan antara z

dan s dalam transformasi impuls invariant adalah :

atez=

sTez =

Dengan transformasi ini dapat dibuktikan bahwa setiap segmen garis pada sumbu

imaginer dalam bidang-s (s=j) dengan intervalT

k

T

k )12()12( +


5/11


aj

AjH

+=)( atau

22

2)(

a

AjH

+= (3.10)

dan)sin(cos11

)(TjTe

AT

ee

ATeH

aTTjaT

Tj

=

=

atauTee

ATeH

aTaT

Tj

+=

cos1)(

2

2

(3.11)

Dari (3.10) terlihat bahwa )( jH harganya menurun untuk yang semakin besar.

Dan = a merupakan frekuensi pojok 3 dB, c. Sedang dari (3.11), terlihat bahwa

)( TjeH periodik terhadap dengan periode 2/T, karena cos( + 2/T)T = cos T.

Untuk = 0, harganya maksimum, kemudian menurun untuk yang semakin besar,

dan mencapai harga minimum pada = /T. Harga maksimum dicapai lagi pada =

2/T. Jadi dapat disimpulkan bahwa harga )( TjeH hampir sama dengan )( jH

hanya pada interval 0 /T ( 0 F Fs/2). Jadi kalau dikehendaki )(TjeH

mendekati bentuk )( jH sampai dengan = c = a ( = tetapan), maka harus

dipilih interval cuplik T, atau frekuensi cuplik Fs yang memenuhi :

Ta

= ataua

T

=

atau cs Fa

F

2==

Gambar 3-2 menunjukan bentuk )( jH dan )( TjeH = )( jeH untuk Fc = 10 Hz (a

= 2Fc) dan Fs = 10 Fc = 100 Hz ( = 5; T = 0,01 sekon; aT = 0,2). Perhatikan

bentuknya hampir sama hingga frekuensi 50 Hz (Fs/2).


6/11


Gambar 3-2 Tanggap frekuensi H(j) dan )( jeH

Pada transformasi impuls invariant

III.2 Pendekatan Diferensial

Cara ini biasa digunakan dalam analisa numerik untuk melakukan simulasi dari

sistem analog. Dasarnya adalah dengan melakukan pendekatan diferensial dengan :

T

nyny

dt

dy )1()( =

atau

=

T

nyny

T

nyny

Tdt

yd )2()1()1()(12

2

[ ])2()1(2)(1

2+= nynyny

T

mengingat bahwa transformasi Laplace daridt

dyadalah sY(s) dan transformasi-z dari

dt

dyadalah )(

11

zY

T

z

, maka hubungan antara s dan z dalam transformasi ini adalah:


7/11


T

zs

11

= atausT

z

=1

1(3.12)

sehingga dengan demikian H(z) dapat diperoleh dari H(s) dengan rumus :

T

zs

sHzH 11)()( =

= (3.13)

Untuk mengetahui apakah transformasi ini memenuhi syarat kestabilan dan membawa s

= j ke (lingkaran satuan), kita substitusikan s = j ke persamaan (3.10)

sehingga didapat :

jez =

jyxTj

z +=

=1

1(3.14)

dari (3.14) dapat dibuktikan bahwa :

Tjtgj

eTezz

+==

1

221

1

yang berarti221

1

Tz

+= dan tg =T (3.15a)

dari (3.14) juga dapat dibuktikan bahwa :

221

1

Tx

+

= dan221 T

Ty

+

=

sehingga xT

yx =+

=+22

22

1

1

atau4

1)

2

1( 22 =+ yx (3.15b)

Jadi s = j dalam bidang-s transformasinya dalam bidang-z akan berupa lingkaran

dengan jari-jari dan pusat lingkaran (1/2, 0), seperti yang terlihat pada Gambar 3-3.


8/11


Dapat dibuktikan juga bahwa pole pada bidang-s disebelah kiri sumbu imaginer

transformasinya dalam bidang-z akan berada di dalam lingkaran persamaan (3.15b),

yang berarti juga di dalam lingkaran satuan.

bidang-s

= js

sb-real

sb-imaginer

bidang-z

Y

Gambar 3-3 Transformasi dari s z dengan pendekatan diferensial

Jadi dapat disimpulkan bahwa syarat kestabilan dipenuhi, namun, namun oleh karena

untuk s = j harga 1z (lihat persamaan 3.15a), bentuk dari tidak serupa

dengan .

)( TjeH

)( jH

III. 3 Transformasi Bilinear

Transformasi ini berdasar atas pendekatan integral, dan dapat dibuktikan

memenuhi syarat kestabilan dan membawa transformasi s = j ke . Untuk

fungsi kontinyu kita dapat menulis :

jez =

(3.16) +=t

ttydttyty

0

)()(')( 0

Kalau secara pendekatan y(t) = y(n) dan y(t0) = y(n-1), maka kita peroleh :


9/11


(3.17) =t

tnynydtty

0

)1()()('

kemudian kalau integral dari suatu fungsi kita dekati dengan luas yang dibatasi oleh y(t)

dan y(t0), maka :

[ +=t

tnyny

Tdtty

0

)1()(2

)( ] (3.18)

Jadi untuk system analog yang mepunyai persamaan diferensial (3.3a), dengan fungsi

alih :

as

AsH

+=)( (3.19)

dengan pendekatan tersebut di atas, kalau persamaan (3.3a) kita integral akan dihasilkan

persamaan beda :

[ ] [ ] [ ])1()(2)1()(

2)1()( +=++ nxnxATnynyaTnyny

atau [ )1()(2

)1(2

1)(2

1 +=

+ nxnx

ATny

aTny

aT] (3.20)

Dengan melakukan transformasi-z pada persamaan (3.20) akan diperoleh :

( )

1

1

21

21

12)(

)()(

+

+==

zaTaT

zAT

zHzXzY

atau

az

z

T

AzH

++

=

1

1

1

12)( (3.21)

Jika kita bandingkan (3.19) dengan (3.21), maka dapat disimpulkan dengan transformasi

ini H(z) dapat diperoleh dari H(s) dengan substitusi :


10/11


+

=

1

1

1

12

z

z

Ts (3.22a)

atausT

sTz

+=

2

2(3.22b)

Transformasi (3.22) dikenal dengan transformasi bilinear. Untuk membuktikan bahwa

dengan transformasi ini lingkaran satuan pada bidang-z sesuai dengan s = j pada

bidang-s, kita lakukan substitusi s = j pada (3.22b), sehingga didapat :

)2/(2

2

2 Tarctgjje

Tj

Tjezz

=

+==

yang berarti : 1=z (3.23)

dan

=

22

Tarctg atau

=

2

2 tg

T(3.24)

Jadi terbukti bahwa s = j trasnformasinya dalam bidang-z adalah lingkaran satuan,

sedang hubungan antara dandinyatakan pada persamaan (3.24).

Lebih lanjut dapat dibuktikan bahwa bidang-s di sebelah kiri dan di sebelah

kanan sumbu imaginer berturut-turut ditransformasikan di dalam dan di luar lingkaran

satuan pada bidang-z. Jadi dengan transformasi bilinear kedua syarat, yaitu syarat

kestabilan dan syarat trasformasi s = j , terpenuhi.jez =

Persamaan (3.24) tidak lain adalah menyatakan hubungan antara frekuensi dari

filter analog H(j) dan filter digital atau sebaliknya. Jadi apabila kita akan

merancang filter digital dengan frekuensi pojok

)( jeH

c, maka dengan transformasi bilinear,

ini harus diperoleh dari filter analog yang mempunyai frekuensi pojok :


11/11


=

2

2 cc tg

T

Namun oleh karena untuk sinyal x(n) hasil pencuplikan, frekuensi sinyal digital c

ekivalen dengan frekuensi sinyal analog cs = c/T, maka hubungan antara c dan cs

adalah :

=

2

2 Ttg

Tcsc (3.25a)

atau

==

2

2 1 TtgTT

c

c

cs (3.25b)

atau

=

s

cs

csF

Ftg

FF

1(3.25c)

Dapat dibuktikan bahwa untuk Fc tertentu harga Fcs akan makin dekat dengan Fc

kalau frekuensi cuplik Fs makin besar. Hal ini terlihat dari persamaan (3.25c), kalau

s

c

F

Fsemakin kecil karena Fs yang semakin besar, maka

s

c

F

Ftg

1harganya semakin

dekat dengans

c

F

F, sehingga c

s

cs

cs FF

FFF ==

.

Sebagai gambaran untuk Fc = 100 Hz :

Fcs = 63,910 Hz jika Fs =2 x Fc = 200 Hz


Fcs = 94,70 Hz jika Fs =7,5 x Fc = 750 Hz


Diktat Psd Bab III

Documents

Transcript of Diktat Psd Bab III