Diktat Binomial Newton

8/16/2019 Diktat Binomial Newton

http://slidepdf.com/reader/full/diktat-binomial-newton 1/4

Binomial Newton

Pada saat SMP, siswa telah diajarkan menjabarkan bentuk (a + b)n yang untuk nilai n = 2 dapatdilakukan dengan perkalian langsung sedangkan untuk n yang besar dapat dilakukan denganmenggunakan segitiga pascal untuk mendapatkan koeisien!koeisien penjabaran"

#ntuk n = $ $ $#ntuk n = 2 $ 2 $#ntuk n = % $ % % $#ntuk n = & $ & ' & $#ntuk n = $ $ $ $

*ilangan yang di bawah merupakan penjumlahan dua bilangan di atasnya" ari segitiga pascaltersebut akan didapat

(a 2b) = ($)(a)(2b)o + ()(a)&(2b)$ + ($)(a)%(2b)2 + ($)(a)2(2b)% + ()(a)$(2b)& +

($)(a)

(2b)

(a 2b) = a $a&b + &a%b2 -a2b% + -ab& %2b

.ara lain adalah dengan menggunakan rumus kombinasi"

/ika (a + b)n kita jabarkan akan didapat rumus sebagai berikut 0

(a + b)n = n.o(a)n(b) + n.$(a)n!$(b)$ + n.2(a)n!2(b)2 + ⋅⋅⋅ + n.n!$(a)$(b)n!$ + n.n(a)(b)n

atau dapat juga ditulis

(a + b)n = n.o(a)(b)n + n.$(a)$(b)n!$ + n.2(a)2(b)n!2 + ⋅⋅⋅ + n.n!$(a)n!$(b)$ + n.n(a)n(b)

.ontoh 0

/abarkan (2m + n)"Solusi 0

(2m + n) = .o(2m)(n) + .$(2m)&(n)$ + .2(2m)%(n)2 + .%(2m)2(n)% + .&(2m)$(n)& +

.(2m)(n)

(2m + n) = ($)(%2m)($) + ()($'m&)(n) + ($)(-m%)(n2) + ($)(&m2)(n%) + ()(2m)(n&) + ($)($)

(n)

(2m + n) = %2m + -m&n + -m%n2 + &m2n% + $mn& + n

.ontoh 0

/abarkan bentuk (21 %y)%

Solusi 0

(21 %y)% = %.o(21)%(%y) + %.$(21)2(%y)$ + %.2(21)$(%y)2 + %.%(21)(%y)%

(21 %y) = ($)(-1%)($) + (%)(&12)(%y) + (%)(21)(y2) + ($)($)(23y%)

(21 %y)% = -1% %'12y + &1y2 23y%

Persoalan timbul adalah bila 4ariabel yang akan dijabarkan tidak terdiri dari hanya 2 4ariabel"Sebenarnya hal ini tidak terlalu sulit sebab dengan menggunakan pemisalan maka dari

beberapa 4ariabel dapat diubah menjadi 2 4ariabel saja" Misalkan penjabaran (1 + y + 5) n dapat

diubah menjadi (6 + *)n dengan pemisalan 6 = 1 dan * = y + 5".ontoh0

/abarkan bentuk (a + b + c)%"Solusi 07arena persoalannya terdiri dari % 4ariabel maka dapat kita pecah seolah!olah menjadi 24ariabel yaitu a dan b + c"

(a + b + c)% = %.o(a)%(b + c) + %.$(a)2(b + c)$ + %.2(a)$(b + c)2 + %.%(a)(b + c)%

engan menggunakan penjabaran binom sebelumnya dapat diketahui bahwa 0

(b + c)2 = b2 + 2bc + c2



(b + c)% = b% + %b2c + %bc2 + c%

Sehingga didapat 0

(a + b + c)% = a% + %a2( b + c) + %a(b2 + 2bc + c2) + (b + c)%

(a + b + c)% = a% + %a2b + %a2c + %ab2 + 'abc + %ac2 + b% + %b2c + %bc2 + c%

(a + b + c)% = a% + b% + c% + %a2b + %a2c + %ab2 + %ac2 + %b2c + %bc2 + 'abc

Persoalan berikutnya adalah bagaimana caranya dapat diketahui koeisien dari suatu 4ariabeltertentu tanpa harus menjabarkan semua suku!sukunya"

.ontoh 0

8entukan koeisien 1'y dari penjabaran (21 y)$$"Solusi 0

7arena yang diminta hanya koeisien 1'y maka kita hanya berkonsentrasi pada penjabaran

bentuk (21)'(y) saja"

(21 y)$$ = ⋅⋅⋅ + $$. (21)'(y) + ⋅⋅⋅

(21 y)$$ = ⋅⋅⋅ + (&'2)('&1')(%$2y) + ⋅⋅⋅

(21 y)$$ = ⋅⋅⋅ 2& 1'y + ⋅⋅⋅

Maka koeisien 1'y dari penjabaran (21 y)$$ adalah 2&"

.ontoh 0

6pakah koeisien 1' pada penjabaran

101

x x

− ÷

9Solusi 0

/ika

101

x

x

− ÷

dijabarkan akan didapat 010

10

10

1 1... ( ) ...

r

r

r x C x

x x

− − = + − + ÷ ÷

( )10

210

10

1... ( 1) ...

r r

r x C x

x

− − = + − + ÷

7arena yang ditanyakan adalah koeisien 1' maka harus dipenuhi $ : 2r = ' sehingga r = 2"#ntuk r = 2 didapat 0

( )10

610 6

101 ... ( 1) ... ... 45 x ...r

r x C x

x

− − = + − + = + + ÷

Maka koeisien 1' pada penjabaran

101

x x

− ÷

adalah &"Selain digunakan dalam penjabaran suku!suku dari suatu binom, metode yang digunakan dalamsegitiga pascal juga dapat diterapkan pada suatu persoalan menarik"

.ontoh08entukan banyaknya cara menyusun kata S#76 dari atas ke bawah pada susunan berikut jikahuru!huru yang diambil harus berdekatan"

S# #

7 7 7 6 6 6 6

Solusi 0/ika dituliskan sebagaimana metode pascal didapat

$



$ $$2 $

$ % % $ 6ngka!angka di atas menyatakan banyaknya cara untuk sampai pada angka tersebut"ari angka!angka tersebut didapat banyaknya cara untuk menyusun kata S#76 = $ + % + % + $= -"

.ontoh 0 6da berapa banyak cara menyusun kata M68;<M68.S dimulai dari atas ke bawah jika huru!huru yang diambil harus berdekatan"

M 6 68 8 8

; ; ; ;< < < < <

M M M M M M 6 6 6 6 6

8 8 8 8 . .S

Solusi 07ita ubah huru!huru tersebut dengan angka!angka sebagai berikut"

$$ $

$ 2 $$ % % $

$ & ' & $

$ $ $ $' $ 2 $ '2$ % % 2$

' 3 '$2' $2'

22Maka banyaknya cara menyusun kata M68;<M68.S adalah 22"

$" *uktikan bahwa n.r = n!$.r!$ + n!$.r "

2" /abarkan bentuk (%1 y)'"

%" >ur ?ajri berhasil menjabarkan bentuk (21 + %y)$" 6pakah koeisien 1'y& yang didapatnya 9

&" (@SP 2$) Suku konstan dari

8

5

2

2 x

x

− ÷

adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

" 8entukan koeisien ab2c pada penjabaran (a + %b c)&"

'" 8entukan koeisien 1%y25& pada penjabaran (1 + y 25)"

3" *erapakah perbandingan koeisien suku 1

dengan koeisien suku 1'

pada penjabaran (21 +%)2 9

-" /ika (%1 $)3 dijabarkan dalam suku!sukunya akan berbentuk a313 + a'1' + a1 + ⋅⋅⋅ + a$1

+ ao" *erapakah nilai a$ + a2 + a% + a& + a + a' + a3 9

" 8entukan nilai n dalam penjabaran ($ + 1)n dengan n A $, jika diketahui

a" koeisien suku 12 sama dengan koeisien suku 1%"

b" koeisien suku 1% sama dengan lima kali koeisien suku 1"$" *erapakah penjumlahan semua koeisien suku!suku pada penjabaran 0



a" (1 + y)'

b" (a 2b)-

$$" 8entukan nilai dari n. + n.$ + n.2 + ⋅⋅⋅ + n.n"

$2" (@S7 2) >ilai eksak dari

2009 2009 2009...

1 2 1004

+ + +

÷ ÷ ÷ adalah """"

$%" (@S7 2$$ 8ipe %) 7oeisien 1& dari penjabaran ($ + 21 + %12)$ adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

$&" (6M< $-%) 8entukan sisanya jika '-% + --% dibagi &"

$" (6M< $-') Suku banyak $ 1 + 12 1% + ⋅⋅⋅ 1$ + 1$' 1$3 dapat ditulis sebagai suku

banyak dalam 4ariabel y dengan y = 1 + $" 7oeisien dari y2 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ $'" (6M< 2$) 8entukan penjumlahan semua akar!akar persamaan polinomial

12$ + (2$ 1)2$ = "

Diktat Binomial Newton

Documents

Transcript of Diktat Binomial Newton