DIKTAT ALJABAR LINEAR · 2017. 7. 27. · 1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks. 1.5 Transpose Matriks....
Transcript of DIKTAT ALJABAR LINEAR · 2017. 7. 27. · 1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks. 1.5 Transpose Matriks....
1
DIKTAT
ALJABAR LINEAR( MKK 3003 )
Disusun Oleh:
I GUSTI NGURAH PUTU TENAYA, ST., MT.
PROGRAM STUDI TEKNIK MESINFAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS UDAYANA2017
2
KATA PENGANTAR
Suatu hal biasa jika terdengar ungkapan bahwa mata kuliah aljabar linear
adalah mata kuliah yang sulit. Ungkapan ini tidak selamanya benar karena mata
kuliah aljabar linear justru bisa menjadi mata kuliah yang mudah, menarik, dan
menantang kreativitas berpikir. Sulitnya mata kuliah aljabar linear sebenarnya
disebabkan oleh beberapa faktor, di antaranya cara penyajian. Cara penyajian baik
secara lisan maupun tulisan, sangat berpengaruh terhadap mudah atau tidaknya mata
kuliah aljabar linear diserap.
Belajar aljabar linear bukanlah beban yang harus dipikul mahasiswa, terutama
untuk menghafal rumus-rumusnya. Namun, belajar aljabar linear lebih ditekankan
pada pemahaman konsep-konsep, kelancaran berprosedur dan penalaran adaptif.
Berdasarkan hal tersebut, penulis mencoba mewujudkan pemikiran tentang
konsep penyajian mata kuliah aljabar linear yang mudah dan terarah dalam diktat
mata kuliah aljabar linear untuk mahasiswa Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik
Universitas Udayana. Dengan demikian, diharapkan mahasiswa dapat dengan mudah
mempelajari aljabar linear dan menjadikan mata kuliah aljabar linear sebagai mata
kuliah favorit. Untuk mencapai tujuan ini, penulis menyajikan pelajaran secara
komunikatif yang mengacu pada fenomena mutakhir dan keseharian mahasiswa.
Materi pelajaran tersaji dengan bahasa yang sederhana dan dimulai dari materi yang
mudah hingga materi yang sulit. Tentu saja materi pelajaran disertai dengan contoh-
contoh soal yang disertai dengan penyelesaiannya dan tugas-tugas.
Materi pelajaran dalam diktat aljabar linear untuk mahasiswa Jurusan Teknik
Mesin Fakultas Teknik Universitas Udayana merupakan materi dasar yang akan
berguna untuk kita. Oleh karena itu, mahasiswa hendaknya benar-benar cermat
mempelajarinya karena merupakan kunci untuk mempermudah mempelajari mata
kuliah selanjutnya. Jadi, persiapkanlah diri sebaik mungkin dan buanglah perasaan
bahwa mata kuliah aljabar linear adalah mata kuliah yang sulit.
Akhir kata, penulis berharap diktat ini benar-benar berguna sebagai pemandu
mempelajari mata kuliah aljabar linear secara mudah. Aljabar linear akan bisa
dikuasai jika biasa belajar dan berlatih. Selamat belajar dan semoga berhasil.
3
Bukit Jimbaran, Maret 2017Jurusan Teknik Mesin FT UNUD
Penyusun,
4
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................... ii
DAFTAR ISI ...................................................................................... iv
SILABUS ...................................................................................... vi
BAB I MATRIKS .............................................................................. 11.1 Pengertian Matriks…………………………………………. 11.2 Jenis-Jenis Matriks Khusus …….…………………......... 41.3 Kesamaan Dua Matriks …………………………….......... 91.4 Operasi Aljabar Pada Matriks …..……………………… 111.5 Transpose Matriks ……………………………………….. 191.6 Transformasi atau Operasi Elementer Pada Baris dan
Kolom Suatu Matriks .....………………………….......... 201.7 Matriks Ekivalen …………………………………………. 231.8 Latihan Soal- Soal ………………………………………. 25
BAB II DETERMINAN ........ ............................................................. 272.1 Pengertian Determinan ................................................ 272.2 Menentukan Harga Determinan ………………………… 272.3 Sifat-Sifat Determinan ……………..…………………… 362.4 Latihan Soa-Soal ….………………………………………. 40
BAB III INVERS MATRIKS .................... ......................................... 413.1 Pengertian Invers Matriks .............................................. 413.2 Menentukan Invers Matriks ........................................... . 413.3 Latihan Soal_Soal ..………………………………………. 49
BAB IV SISTEM PERSAMAAN LINIER …………………………… 514.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear .............................. 514.2 Metode Eliminasi Gauss ................................................. 524.3 Metode Operasi Baris Elemen ........................................ 544.4 Metode Cramer .............................................................. 564.5 Metode Invers Matriks ................................................... 634.6 Latihan Soal-Soal .......................................................... 67
BAB V BILANGAN KOMPLEKS .................................................... . 695.1 Pegertian Bilangan Kompleks ....................................... .. 695.2 Gambar Bilangan Kompleks ........................................... 705.3 Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks ….................... 705.4 Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub ....................... 735.5 Latihan Soal Soal ….…………….................................. 78
5
BAB VI HITUNG VEKTOR .................................................... ......... 816.1 Definisi ....................................................................... .. 816.2 Gambar Vektor............................................................... 816.3 Operasi Hitung Vektor …................................................ 826.4 Sifat-Sifat Vektor............................................ ................ 856.5 Menyatakan Sebuah Vektor …………….......................... 866.6 Perkalian Dalam Aljabar Vektor ……………................... 896.7 Perkalian Silang ……………........................................... 926.8 Latihan Soal-Soal ……................................................. 96
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 98
LAMPIRAN ………………………………………………………………… 99
6
SILABUS BERBASIS KOMPETENSI
Jurusan/PS : Teknik Mesin.Mata Kuliah : Aljabar Linear.Kode : MD. 3003.SKS : 3 (SKS).Semester : III (tiga).Prasyarat : Kalkulus I.
Kalkulus II.
Standar Kompotisi : dapat mengetahui, memahami dan menerapkanteorema–teorema (kaidah) dasar matematika seperti penggunaan matrik ,determinan dan nilai invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dll.
No Kompotensi Dasar Indikator Capaian Materi Pokok1 2 3 41 1. Dapat mengetahui dan
memahami teoremamatriks.
1. Dapat menjelaskan danmelakukan operasimatriks.
1.1 Pengertian Matriks.1.2 Jenis Matriks Khusus.1.3 Kesamaan Dua Matriks.1.4 Operasi Aljabar Pada
Matriks.1.5 Transpose Matriks.1.6 Transpormasi atau
Operasi Elementer PadaBaris dan kolom SuatuMatriks.
1.7 Matrik Ekivalen.1.8 Latihan Soal-Soal.
2 2. Dapat mengetahui,memahami determinan.
2. Dapat menjelaskan danmenentukan nilaideterminan.
2.1 Pengertian Determinan.2.2 Menentukan Harga
Determinan.2.3 Sifat-Sifat Determinan.2.4 Latihan Soal-Soal.
3 4. . Dapat mengetahui,memahami inversmatriks.
4. Dapat menjelaskan danmenentukan nilai inversmatriks.
3.1 Pengertian InversMatrik.
3.2 Menentukan InversMatriks.
3.3 Latihan Soal-Soal.
4 5. Dapat mengetahui danmemahami berbagaisistem persamaan linear.
4. Dapat menerapkanteorema matrik,transpormasi linier danteorema determinandalam penyelesaiansistem persamaan linier.
4.1 Pengertian SistemPersamaan Linear.
4.2 Metode Eleminasi Gauss.4.3 Metode Operasi Baris
Elemen.4.4 Metode Cramer.4.5 Metode Invers Matriks.4.6 Latihan Soal-Soal.
5 6. Dapat mengetehui danmemahami dasar daribilangan kompleks.
5. Dapat menjelaskan danmekakukan operasihitung pada bilangankompleks.
5.1 Pengertian BilanganKompleks.
5.2 Gambar BilanganKompleks.
5.3 Operasi Hitung PadaBilangan Kompleks.
5.4 Bilangan KomplekDalam Bentuk Kutub.
7
5.5 Latihan Soal-Soal.
6 7. Dapat mengetahui danmemahami tentangvektor.
6. Dapat menjelaskan danmekakukan operasihitung vektor.
6.1 Definisi .6.2 Gambar Vektor.6.3 Operasi Hitung Vektor.6.4 Sifat-Sifat Vektor.6.5 Menyatakan Sebuah
Vektor.6.6 Perkalian Dalam Aljabar
Vektor.6.7 Perkalian Silang.6.8 Latihan Soal-Soal.
8
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
I. Identitas Mata Kuliah.Jurusan/PS : Teknik Mesin.Mata Kuliah : Aljabar LinearKode : MD. 3003.SKS : 3 (SKS).Semester : III (tiga).Prasyarat : Kalkulus I.
Kalkulus II.
II. Deskripsi Mata Kuliah.Mata kuliah ini membahas tentang matriks, transpormasi linearr,determinan, sistem persamaan linear, bilangan kompleks dan hitungvektor.
Mingguke
StandarKomptensi
KompetensiDasar
IndikatorCapaian
Materi Pokok PengalamanBelajar
AlokasiWaktu
Media/Sumber
1 2 3 4 5 6 7 8I 1. Pendahuluan.
2. KontrakPerkuliahan.
1x3x50menit
II, III,IV
1. Setelah satusemestermengikuti matakuliah inimahasiswasemester IIIProgramStudi TeknikMesin dapatmengetahui,memahamidanmenerapkanteorema-teorema(kaidah) dasarmatematikasepertipenggunaanmatrik ,determinandan inversdalampenyelesaiansystempersamaanlinear dll.
1 Dapatmengetahuidanmemahamiteoremamatriks.
1. Dapatmenjelaskandanmelakukanoperasimatriks.
1.1 PengertianMatriks.
1.2 JenisMatriksKhusus.
1.3 KesamaanDua Matriks.
1.4 OperasiAljabar PadaMatriks.
1.5 TransposeMatriks.
1.6Transpormasi atauOperasiElementerPada Barisdan KolomSuatuMatriks.
1.7 MatrikEkivalen.
1.8 LatihanSoal-Soal.
2x3x50menit
1, 3, 4, 10
V, VI 2. Dapatmengetahuidanmemahami
2. Dapatmenjelaskan danmenentukannilai
2.1 PengertianDeterminan.
2.2 MenentukanHargaDeterminan.
2x3x50menit
1, 3, 4
9
determinan.
determinan. 2.3 Sifat-SifatDeterminan.
2.4 LatihanSoal-Soal.
VII 3. Dapatmengetahuidanmemahami inversmatriks.
3. Dapatmenjelaskan danmenentukannilai inversmatriks.
3.1 PengertianInversMatrik.
3.2 MenentukanInversMatriks.
3.3 LatihanSoal-Soal.
VIII UTS I 1x3x50menit
IX, X,XI
4. Dapatmengetahui danmemahami berbagaisistempersamaan linear.
4. Dapatmenerapkanteoremamatrik,transpormasi linier danteoremadeterminandalampenyelesaian sistempersamaanlinear.
4.1 PengertianSistemPersamaanLinear.
4.2 MetodeEleminasiGauss.
4.3 MetodeOperasiBarisElemen.
4.4 MetodeCramer.
4.5 MetodeInversMatriks.
4.6 LatihanSoal-Soal.
3x3x50menit
1, 3, 4, 7, 8
XII,XIII
5. Dapatmengetehui danmemahami dasardaribilangankompleks.
5. Dapatmenjelaskan danmekakukanoperasihitung padabilangankompleks
5.1 PengertianBilanganKompleks.
5.2 GambarBilanganKompleks.
5.3 OperasiHitung PadaBilanganKompleks.
5.4 BilanganKomplekDalamBentukKutub.
5.5 LatihanSoal-Soal.
2x3x50menit
1, 4, 9
XIV,XV
6. Dapatmengetahui danmemahami tentangvektor.
6. Dapatmenjelaskan danmekakukanoperasihitungvektor.
6.1 Definisi6.2 Gambar
Vektor.6.3 Operasi
HitungVektor.
6.4 Sifat-SifatVektor.
2x3x50menit
1, 6, 9, 10
10
6.5 MenyatakanSebuahVektor.
6.6 PerkalianDalamAljabarVektor.
6.7 PerkalianSilang.
6.8 LatihanSoal-Soal.
XVI UTS II 1x3x50menit
Daftar Pustaka:1. Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer (terjemahan). Jakarta:
Erlangga. Edwin J2. Edwin J Purcell, dale varberg, “Kalkulus dan Geometri Analitis”, Jilid
I Edisi 4 Erlangga.3. Ismail Basari,”Matematika I”.4. N. Soemarjo, Dra . Prof, “Kalkulus Dasar”, Lembaga Penerbit
Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.5. Purell, Edwin J, “Calculus With Analyti Geometry”, Prentie-Hall, Inc,
1984.6. Soehardjo, “Analisa Vektor”.7. Sucipto E, “Matematika Untuk Perguruan Tinggi”.8. Thomas, “Calculus and Analytic Geometri”.9. Yoewono Moekidam, “Matematika II”, Bahan Kuliah Matematika
Untuk Fakultas Teknologi.10. Yusuf Yahya, Suryadi HS, Agus S, “Matematika Dasar Untuk
Perguruan Tinggi”, Serial Matematika dan Komputer Aski, GhaliaIndonesia.
11
KONTRAK PERKULIAHAN
Nama mata kuliah : Aljabar Linear.Kode Mata Kuliah : MD 3203.Semester : III (tiga).Hari pertemuan/jam : Senin, 11.50 – 14.20 Wita.Tempat pertemuan : Ruang kuliah DE.2 Jurusan Teknik Mesin
Fakultas Teknik Universitas Udayana.Pengajar : Team Teaching Aljabar Linear
1. Manfaat mata kuliah
Mata kuliah ini bermanfaat sebagai dasar untuk mengetahui dan memahamiteorema–teorema (kaidah) dasar matematika.
2. Deskripsi mata kuliah
Mata kuliah ini membahas tentang matriks, transpormasi linear, determinan,invers matriks, sistem persamaan linear, bilangan kompleks dan hitungvektor.
3. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi:Dapat mengetahui, memahami dan menerapkan teorema–teorema (kaidah)dasar matematika seperti penggunaan matriks, determinan dan invers matriksdalam penyelesaian sistem persamaan linear dll.
Kompetensi Dasar: Dapat mengetahui dan memahami teorema matriks. Dapat mengetahui dan memahami determinan. Dapat mengetahui dan memahami invers matriks. Dapat mengetahui dan memahami berbagai sistem persamaan linear. Dapat mengetehui dan memahami dasar dari bilangan kompleks. Dapat mengetahui dan memahami tentang vector
12
4. Organisasi materi
Materi perkuliahan terdiri dari :1. Matriks.
1.1 Pengertian Matriks.1.2 Jenis-Jenis Matriks Khusus.1.3 Kesamaan Dua Matriks.1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks.1.5 Transpose Matriks.1.6 Transpormasi atau Operasi Elementer Pada baris dan Kolom SuatuMatriks.1.7 Matrik Ekivalen.1.8 Latihan Soal- Soal.
2. Determinan.3.1 Pendahuluan.3.2 Menentukan Harga Determinan.3.3 Sifat-Sifat Determinan.3.4 Latihan Soal-Soal.
3. Invers Matriks.3.1 Pengertian Invers Matriks.3.2 Menentukan Invers Matriks.3.3 Latihan Soal-Soal.
4. Sistem Persamaan Linear.
4.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear.4.2 Metode Eleminasi Gauss.4.3 Metode Operasi Baris Elemen.4.4 Metode Cramer.4.5 Metode Invers Matriks.4.6 Latihan Soal-Soal.
5. Bilangan Kompleks.
5.1 Pegertian Bilangan Kompleks.5.2 Gambar Bilangan Kompleks.5.3 Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks.5.4 Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub.5.5 Latihan Soal-Soal.
6. Hitung Vektor.
6.1 Definisi.6.2 Gambar Vektor.
13
6.3 Operasi Hitung Vektor.6.4 Sifat-Sifat Vektor.6.5 Menyatakan Sebuah Vektor.6.6 Perkalian Dalam Aljabar Vektor.6.7 Perkalian Silang.6.8 Latihan Soal-Soal.
5. Strategi Perkuliahan
Strategi perkuliahan yang digunakan yaitu: Kuliah : 11.50 – 13.30 Wita. Diskusi : 13.30 – 14.20 Wita.
6. Materi/Bahan Bacaan Perkuliahan
Buku bacaan pokok dalam perkuliahan ini adalah:1. Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer (terjemahan). Jakarta:
Erlangga. Edwin J2. Edwin J Purcell, dale varberg, “Kalkulus dan Geometri Analitis”, Jilid
I Edisi 4 Erlangga.3. Ismail Basari,”Matematika I”.4. N. Soemarjo, Dra . Prof, “Kalkulus Dasar”, Lembaga Penerbit
Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.5. Purell, Edwin J, “Calculus With Analyti Geometry”, Prentie-Hall, Inc,
1984.6. Soehardjo, “Analisa Vektor”.7. Sucipto E, “Matematika Untuk Perguruan Tinggi”.8. Thomas, “Calculus and Analytic Geometri”.9. Yoewono Moekidam, “Matematika II”, Bahan Kuliah Matematika
Untuk Fakultas Teknologi.10. Yusuf Yahya, Suryadi HS, Agus S, “Matematika Dasar Untuk
Perguruan Tinggi”, Serial Matematika dan Komputer Aski, GhaliaIndonesia.
7. Tugas-Tugas
Tugas mandiri yang diberikan pada setiap akhir bab, agar dikerjakan dirumah danhasilnya dikumpulkan pada awal perkuliahan minggu berikutnya.
Tugas berkelompok akan diberikan dua minggu sebelum UTS I dan UAS, hasilnyadikumpulkan pada saat UTS I dan UAS.
14
8. Kriteria Penilaian
Kriteria Penilaian yang dipakai adalah: Kehadiran (min. 75%) : 5% Tugas : 15% Quis + Diskusi (Aktif) : 15% UTS : 30% UAS : 35%
9. Jadwal Perkuliahan
Jadwal perkuliahan mengikuti Satuan Acara Perkuliahan (SAP), kecuali padasaat hari perkuliahan merupakan hari libur (sesuai edaran dari Universitas),maka hari penggantinya akan ditentukan sesuai dengan kesepakatan antaradosen dan mahasiswa.
10. Aturan Umum
1. Mahasiswa wajib mengikuti kuliah > 75% dari pertemuan dosen.2. Mahasiswa tidak boleh terlambat > dari 15 menit.3. Mahasiswa wajib berpakaian rapi, sopan, serta menggunakan sepatu.4. Mahasiswa dilarang merokok di kelas saat kuliah berlangsung.5. Handphone, music player dan sejenisnya harus dimatikan saat kuliah
berlangsung.6. Tugas dikumpul sesuai perjanjian dan dikumpul paling lambat 10 menit
dari saat dosen masuk ruang kuliah atau mulai memberikan kuliah dantugas tidak bisa menyusul.
7. Pada saat Quis, UTS dan UAS mahasiswa dilarang bekerjasama.
11. Sanksi
1. Apabila aturan nomor 1 dilanggar, maka mahasiswa tidak diperkenankanmengikuti UAS.
2. Apabila aturan nomor 2 dilanggar, maka mahasiswa dianggap tidak hadir.3. Apabila aturan nomor 3 – 5 dilanggar, maka mahasiswa akan dikeluarkan
dari ruang kuliah dan dianggap tidak hadir kuliah.4. Apabila aturan nomor 6 dilanggar, maka mahasiswa dianggap tidak
mengumpulkan tugas.5. Apabila aturan nomor 7 dilanggar, maka nilai mahasiswa yang
bersangkutan akan dikurangi atau ujian dianggap batal.
15
Bukit Jimbaran, Maret 2017Dosen pengajar Koordinator mahasiswa
I Gusti Ngurah Putu Tenaya, ST, MT …………………………….NIP. 19680726 199603 1 001 NIM. ……………………
Mengetahui,Ketua Program Studi Teknik Mesin
Dr. Ir. I Ketut Gede Sugita, MTNIP. 19660414 199203 1 004
16
BAB I
MATRIKS
1.1 Pengertian Matriks
Banyak informasi yang sering disajikan dalam bentuk tabel, diantaranya
klasemen sementara dari kejuaraan, data rekening telepon, data tagihan
listrik, data tabungan, data harga penjualan barang, data absensi siswa dan
lain-lain. Sebagai ilustrasi awal untuk memahami pengertian matriks, pelajari
uraian berikut.
Diketahui data kunjungan wisatawan, baik domestik maupun asing di
suatu objek wisata selama empat bulan berturut-turut, disajikan dalam tabel
berikut (dalam ribuan).
Tabel 1.1. Jumlah kunjungan wisatawan domestik dan asing
Bulan
Wisatawan I II III IV
Domestik 7 6 8 6
Asing 1 2 1 3
Berdasarkan tabel 1.1, anda pasti memperhatikan setiap keterangan
yang ada yang terkait dengan jumlah wisatawan domestik maupun asing
dalam bentuk angka yang tertera pada tabel yang disusun letaknya
berdasarkan baris dan kolom. Tabel yang baru anda baca dapat
disederhanakan dengan menghilangkan keterangan-keterangan yang terdapat
pada tabel dan mengganti tabel dengan tanda kurung seperti berikut ini.
Kini data yang telah diubah bentuknya hanya terdiri atas bilangan-
bilangan yang disusun menurut baris dan kolom. Bentuk baru seperti inilah
yang dinamakan sebagai matriks. Jadi matriks merupakan kumpulan
17
bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom sedemikian sehingga
tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau bujur sangkar.
Sebuah matriks memuat tanda kurung sebagai pembatas. Tanda kurung
yang digunakan dapat berupa tanda kurung biasa ataupun tanda kurung siku.
Pada umumnya matriks diberi nama dengan memakai huruf kapital seperti A,
B, C. Bilangan-bilangan yang menyusun sebuah matriks dinamakan unsur
atau anggota dari matriks tersebut dan dinotasikan dengan huruf kecil
berindeks yang menyatakan letak dari unsur tersebut dalam matriks (baris
dan kolom). Perhatikan kembali matriks pada uraian sebelumnya. Misalkan
matriks tersebut adalah matriks A maka:
[A] =
Pada matriks A, yang dimaksud dengan adalah unsur dari matriks A
yang berada pada baris kedua dan kolom ketiga, yaitu 1. Jika kita perhatikan,
matriks A terdiri atas 2 buah baris dan 4 buah kolom. Banyaknya baris dan
kolom yang menyusun sebuah matriks dinamakan sebagai ordo atau ukuran
matriks. Sehingga matriks A disebut sebagai matriks berordo atau berukuran
2 × 4.
Secara umum, matriks dengan m baris dan n kolom dapat disajikan
sebagai berikut.
[A] =Baris 1Baris 2
Baris 3
Baris m
klm1
klm 3 klmn
Baris 1
18
Masing-masing n-triple horisontal seperti: [ , , , ……, ],
[ , , , ……, ], [ , , , ……, ], ...................................
dan [ , , , ……, ], disebut baris matriks, sedangkan m-triple
vertical seperti:
……..
disebut kolom-kolom matriks.
Secara sederhana, matriks di atas ditulis [A] = [ ]. Matriks di atas
mempunyai m buah baris dan n buah kolom, dikatakan ukuran matriks
tersebut adalah (m x n). Apabila m = n, maka matriks itu disebut matriks
bujur sangkar.
Contoh:
Diketahui matriks:
[B] =
Tentukan:
a. ordo [B].
b. b12 dan b23.
c. banyaknya elemen pada [B].
Jawab:
a. Ordo dari [B] adalah 2 × 3 karena [B] terdiri dari 2 baris dan 3
kolom.
b. b12 artinya unsur [B] yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-2
sehingga b12 = – 4.
b23 artinya unsur [B] yang terletak pada baris ke-2 dan kolom ke-3
sehingga b23 = – 2.
c. [B] memiliki 6 elemen yaitu 2, – 4, 3, 5, 1 dan – 2.
19
1.2 Jenis-Jenis Matriks Khusus
Agar anda lebih memahami mengenai jenis matriks tersebut perhatikan
uraian materi berikut.
a. Matriks Nol
Matriks nol ialah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
Contoh:
[A] = , [B] = , [C] =
Semua unsur pada [A], [B], dan [C] adalah angka 0, sehingga disebut
sebagai matriks nol.
Sifat-sifat matriks nol :
a. [A] + [0] = [A] bila ukuran [A] = ukuran [0]
b. [A][0] = [0]; [0][A] = [0] kalau syarat-syarat perkalian
terpenuhi
b. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja.
Contoh:
[D] = [E] = [F] =
[D] berordo 1 × 2, [E] berordo 1 × 3, dan [F] berordo 1 × 4. [D],
[E], dan [F] di atas hanya memiliki satu baris saja sehingga disebut
sebagai matriks baris.
c. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom
saja.
20
Contoh:
[G] = [H] = [I] =
[G] berordo 2 × 1, [H] berordo 3 × 1, dan [I] berordo 4 × 1. [G],
[H], dan [I] di atas hanya memiliki satu kolom saja sehingga disebut
sebagai matriks kolom.
d. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks persegi atau matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak
barisnya sama dengan banyak kolomnya.
Contoh:
[J] = [K] =
[J] berordo 2 × 2 dan [K] berordo 3 × 3.
Karena [J] dan [K] banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya,
maka [J]dan [K] disebut sebagai matriks persegi atau matriks bujur
sangkar.
e. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua
elemen di bawah diagonal utamanya sama dengan 0. Dengan
perkataan lain [A] adalah matriks segitiga atas bila aij = 0 untuk i >
j.
Contoh:
[L] = [M] =
21
Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua
elemen diatas diagonal utamanya sama dengan 0. Dengan perkataan
lain [A] adalah matriks segitiga atas bila = 0 untuk i < j.
Contoh:
[N] = [O] =
f.Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar
diagonal utamanya sama dengan nol. Dengan perkataan lain [A] adalah
matriks diagonal bila = 0 untuk i j.
Contoh :
[P] = [Q] =
g. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen-elemen
diagonal utamanya sama dengan 1, dengan perkataan lain [A] adalah
matriks identitas bila = 1 untuk i = j, dan 0 bila i j.
Matriks identitas biasa ditulis [I].
Contoh :
[I] = [I] =
Sifat matriks identitas adalah seperti bilangan 1 (satu) dalam operasi -
operasi dengan bilangan biasa, yaitu :
22
[A] [I] = [I] [A] = [A] (bila syarat-syarat perkalian terpenuhi).
h. Matriks Skalar
Matriks skalar ialah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal
utamanya sama dengan k. Matriks I adalah bentuk khusus dari
matriks skalar, dengan k = 1
Contoh :
[T] = [U] =
adalah matriks skalar, dapat dituliskan pula sebagai 4[I] =
4
i. Matrik Invers
Kalau [A] dan [B] matriks-matriks bujur sangkar berordo m x n dan
berlaku [A][B] = [B][A] = [I] maka dikatakan [B] invers dari [A] dan
ditulis [B] = [A-1], sebaliknya [A] adalah invers dari [B], dan ditulis
[A] = [B-1]
Contoh :
[A] = Mempunyai [A-1] =
Karena [A][A-1] = [A-1][A] =
23
j.Matriks Simetris
Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar yang transposenya sama
dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain bila [A] = [AT] atau =
untuk semua i dan j.
Contoh :
[A] dan [AT] =
Karena [A] = [AT] maka [A] adalah matriks simetris.
k. Matriks Antisimetris
Matriks antisimetris adalah matriks yang transposenya adalah
negatifnya. Dengan perkataan lain bila [AT] = -[A] atau = -
untuk semua i dan j. Mudah dipahami bahwa semua elemen diagonal
utama matriks antisimetris adalah = 0
Contoh :
[A] [AT] = -[A]
l.Matriks Komutatif
Kalau [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar dan berlaku [A][B] =
[B][A], maka [A] dan [B] dikatakan berkomutatif satu sama lain.
Jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatif dengan [I]
(yang ukurannya sama) dan dengan inversnya (bila ada).
Kalau [A][B] = -[B][A], dikatakan antikomutatif.
Contoh :
[A] dan [B] dikatakan berkomotatif karena
[A][B] = = , sedangkan
24
[B][A] = =
TUGAS 1.
Diskusikan dengan teman anda.
1. Apakah matriks persegi merupakan matriks diagonal?, berikan
alasannya.
2. Apakah matriks diagonal merupakan matriks persegi?, berikan
alasannya.
1.3 Kesamaan Dua Matriks
Dalam matriks dikenal adanya kesamaan dua matriks yang didefinisikan
sebagai berikut. Dua matriks dikatakan sama jika ordo yang dimiliki
keduanya sama, dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama.
Cantoh:
Diketahui matriks-matriks sebagai berikut:
[A] [B] [C] [D]
Tentukan apakah:
a. [A] = [B],
b. [A] = [C],
c. [A] = [D].
Jawab:
a. [A] ≠ [B] karena ordo [A] tidak sama dengan ordo [B].
b. [A] = [C] karena ordo [A] sama dengan ordo [C] dan elemen-elemen
yang bersesuaian pada [A] sama dengan elemen-elemen pada [C].
25
c. [A] ≠ [D] karena ordo [A] memang sama dengan ordo [D] tetapi
elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut ada yang
tidak sama, yaitu ≠ .
Contoh
Diketahui persamaan matriks:
[A] dan [B]
Apabila [A] = [B] maka tentukan nilai x, y, z dan w.
Jawab:
[A] = [B]
maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi 4 buah persamaan:x + y = 3, 2x + w = 5x – y = 1; z – w = 4
dan bila diselesaikan menghasilkan x = 2, y = 1, z = 3 dan w = -1.
1.4 Operasi Aljabar Pada Matriks
Pada sub bab sebelumnya, telah dipelajari mengenai pengertian, jenis-
jenis dan kesamaan dari suatu matriks. Pelajaran selanjutnya pada sub bab ini
adalah operasi aljabar pada matriks. Jadi sama seperti pada bilangan, pada
matriks pun berlaku sifat-sifat operasi aljabar.
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila ordo
dari kedua matriks tersebut sama. Operasi penjumlahan dan
pengurangan pada matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan atau
mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak).
Jika [A] = (aij) dan [B] = (bij) matriks-matriks berukuran sama, maka
[A] + [B] adalah suatu matriks [C] = (cij) dimana cij = aij + bij, untuk
setiap i dan j.
atau [A] + [B] = (aij + bij)
26
Contoh:
1. Diketahui:
[A] = dan [B] =
Maka:
[A] + [B] = + = =
[A] – [B] = – = =
2. Diketahui:
[A] = , [B] = , [C] =
Maka:
[A] + [C] =
[A] – [B] pada [A] dan [B] tidak dapat dilakukan operasi
pengurangan atau penjumlahan karena ordo matriks [A]
tidak sama dengan ordo [B].
TUGAS 2.
Diskusikan dengan teman anda.
[A] = , [B] = dan [C] =
Hitung:
a. [A] + [B]
b. [B] + [A]
c. [A] – [B]
d. [B] – [A]
27
e. [B] + [C]
f. {[A] + [B]} + [C]
g. [A] + {[B] + [C]}
Dari hasil yang anda peroleh, apa yang dapat anda simpulkan?
b. Perkalian Skalar Terhadap Matriks
Jika [A] adalah suatu matriks dan k adalah bilangan riil maka k [A]
adalah matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil
perkalian k dengan setiap elemen pada matriks [A].
Contoh;
Diketahui:
[B] = ,
Maka:
3 [B] = 3 = =
½ [B] = ½ =
TUGAS 3.
Diskusikan dengan teman anda.
[A] = , [B] = , p = 2 dan q = 3
Hitung:
a. (p + q) [A]
28
b. p[A] + q[A]
c. p{[A] + [B]}
d. p[A] + p[B]
e. p{q[A]}
f. {pq}[A]
Dari hasil yang anda peroleh, apa yang dapat anda simpulkan?
c. Perkalian Matriks
Pada perkalian [A][B], dimana [A] kita sebut sebagai matriks
pertama dan [B] kita sebut sebagai matriks kedua.
Syarat perkalian matriks adalah banyaknya kolom matriks pertama
sama dengan banyaknya baris matriks kedua.
Elemen-elemen pada [A][B] diperoleh dari penjumlahan hasil kali
elemen baris pada [A] dengan elemen kolom pada [B].
Definisi:
Pandangan [A] = (aij) berukuran (p x q) dan [B] = (bij) berukuran (q
x r). Maka perkalian [A][B] adalah suatu [C] = (cij) berukuran (p x r)
dimana:
cij = ai1b1j + ai2b2j + ........ + aiqbqj
untuk setiap i = 1, 2, 3, ...., p dan j = 1, 2, 3, ...., r.
Sebagai contoh diberikan [A] dan [B] sebagai berikut:
[A] = dan [B] =
Maka [A] [B] =
29
=
Dimana:
c11 = elemen baris pertama dan kolom pertama dari perkalian [A]
dengan [B].
= semua elemen baris pertama [A] dikalikan dengan semua
elemen kolom pertama [B].
=
=
c12 = elemen baris pertama dan kolom kedua dari perkalian [A]
dengan [B]
= semua elemen baris pertama [A] dikalikan dengan semua
elemen kolom kedua [B].
=
=
c1r = elemen baris pertama dan kolom ke-r dari perkalian [A]
dengan [B].
= semua elemen baris pertama [A] dikalikan dengan semua
elemen kolom ke-r [B].
30
=
=
Sehingga dengan cara yang sama, maka:
Contoh
Diketahui:
[P] = , [Q] = dan [R] =
Tentukan:
a. [P] [Q]
b. [Q] [P]
c. [P] [R]
d. [R] [P]
31
Jawab:
a. [P] [Q] = =
=
=
b. [Q] [P] = =
=
c. [P] [R] = =
=
d. [R][P] = tidak ada karena banyaknya kolom pada [R] tidak sama dengan
banyaknya baris pada [P].
TUGAS 4.
Diskusikan dengan teman anda.
[A] = , [B] = dan [C] =
Hitung:
a. [A] [B] dan [B] [A]
b. {[A][B]}[C] dan [A]{[B][C]}
32
c. [A]{[B] + [C]} dan [A][B] + [A][C]
d. {[A] + [B]}[C] dan [A][C] + [B][C]
Dari hasil yang anda peroleh, apa yang dapat anda simpulkan?
d. Perpangkatan Matriks Persegi
Sifat perpangkatan pada matriks, sama halnya seperti sifat
perpangkatan pada bilangan-bilangan.
Untuk setiap bilangan riil (a), berlaku:
a2 = a x a
a3 = a x a x a
dst
Pada matriks persegi juga berlaku hal yang sama seperti:
[A]2 = [A][A]
[A]3 = [A][A][A] = [A]2 [A] = [A][A]2
dst
Contoh:
Diketahui:
[B] = ,
Tentukan:
a. [B]2
b. [B]3
33
Jawab:
a. [B]2 = [B][B] = =
b. [B]3 = [B] [B]2 = =
= [B]2 [B] = =
1.5 Transpose Matriks
Dalam sebuah [A] dimana [A] = . Setiap baris dari [A]
dapat diubah menjadi kolom dan juga sebaliknya setiap kolom dari [A]
menjadi baris dari suatu matriks yang baru misalnya [B], maka [B] disebut
transpose dari [A], ditulis:
[B] = [A]T =
Cantoh:
Diketahui:
[A] = dan [B] =
Tentukan:
a. [A]T
b. [B]T
Jawab:
a. [A]T =
b. [B]T =
34
Beberapa sifat matriks transpose yaitu:
a. {[A] + [B]}T = [A]T + [B]T
b. {[A]T}T = [A]
c. k[A]T = [kA]T
d. {[A][B]}T = [B]T [A]T
1.6 Transformasi atau Operasi Elementer Pada Baris dan Kolom Suatu
Matriks
Yang dimaksud dengan transformasi atau operasi elementer pada baris
dan kolom suatu matriks adalah sebagai berikut:
a. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j dari [A]. Atau baris ke-i
dijadikan baris ke-j dan baris ke-j dijadikan baris ke-I dari [A].
Ditulis : Hij [A]
b. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j dari [A]. Atau kolom ke-i
dijadikan kolom ke-j dan baris ke-j dijadikan baris ke-I dari [A].
Ditulis : Kij [A]
c. Memperkalikan baris ke-i dari [A] dengan skalar λ 0.
Ditulis : Hi(λ) [A]
d. Memperkalikan kolom ke-i dari [A] dengan skalar λ 0.
Ditulis : Ki(λ) [A]
e. Menambah baris ke-i dengan λ kali baris ke-j dari [B].
Ditulis : Hij(λ)[B]
f.Menambah kolom ke-i dengan λ kali kolom ke-j dari [B].
Ditulis : Kij(λ)[B]
g. Menambah λ1 kali baris ke-i dengan λ2 kali baris ke-j dari [A].
35
Ditulis : Hi(λ1)
j(λ2) [A]
h. Menambah λ1 kali kolom ke-i dengan λ2 kali kolom ke-j dari [A].
Ditulis : Ki(λ1)
j(λ2) [A]
Contoh:
Diketahui:
[A] = dan [B] =
Maka:
a. H23[A] = dan H12[B] =
b. K13 [A] = dan K23 [B] =
c. H2(-2) [A] = dan H1
(1/2) [B] =
d. K3(2) [A] = dan K1
(-1) [B] =
e. H31(1) [A] = dan H23
(-1) [A] =
36
f. K23(-2) [A] = dan K21
(2) [B] =
g. H2(2)
3(1) [A] =
h. K2(2)
3(3) [A] =
Misalnya kita telah mengetahui [B] sebagai hasil transformasi
elementer dari [A]. Kita dapat mencari [A] dengan cara mencari invers dari
transformasi elementer tersebut.
Contoh :
Misalkan: [B] = H31(1) ([A] =
Maka: [A] = H31(1)-1 [B]
Jadi:
Invers suatu transformasi elementer juga suatu transformasi elementer.
Dapat dirumuskan sebagai berikut:
a. [A] = Hij1 [B] = Hij [B]
b. [A] = Kij-1 [B] = Kij [B]
c. [A] = Hj(λ) 1
[B] = Hj(1/λ) [B]
d. [A] = Ki(λ) 1
[B] = Ki(1/λ) [B]
e. [A] = Hij(λ) 1
[B] = Hij(-λ) [B]
37
f. [A] = Kij(λ) 1
[B] = Kij(-λ) [B]
Contoh:
a. Kalau [B] = H23(1) [A] =
maka [A] = H23(1)
1
[B] = H23(-1) [B] =
b. Kalau [A] = H3(4) [B] =
maka [B] = H3(4)
1[A] = H3
(1/4) [A] =
1.7 Matriks Ekivalen
Dua [A] dan [B] disebut ekivalen [A]~[B] apabila salah satunya dapat
diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer
terhadap baris dan atau kolom. Kalau transformasi-transformasi
elementernya hanya pada baris saja, dikatakan ekivalen baris, Kalau
transformasi-transformasi elementernya hanya pada kolom saja, dikatakan
ekivalen kolom.
Contoh :
a. [A] = dan [B] =
[A] adalah ekivalen baris dengan [B]
Karena : [B] = H12 [A]
b. [A] = dan [B] =
38
[A] adalah ekivalen dengan [B]
Karena:
[A] = = K12(-1) ’
= K42(-2) =
H12 = H12 [B]
1.8 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut:
1. Diketahui matriks sebagai berikut.
[A] =
Tentukan:
a. Ordo [A]
b. Elemen-elemen pada kolom ketiga [A]
c. Nilai dari a21 dan a34
2. Diketahui:
[A] = dan [B] =
Jika [A] =[B], tentukan nilai p + q
3. Diketahui kesamaan matriks berikut:
=
Tentukan nilai a + b + c
4. Tentukan matriks transpose dari matrik-matrik berikut.
a. [D] =
39
b. [Q] =
5. Diketahui.
[K] = dan [L] =
Jika [K] = [L]T , tentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan berikut.
6. Diketahui.
[A] = dan [B] =
Tentukan:
a. 3[A] c. 3[A] – [B]
b. [A] + 2[B] d. 3[B] – 2[A]
7. Diketahui.
[A] = dan [B] =
Tentukan:
a. [A][B] f. H12 [A]
b. [A]T g. K23 [B]
c. [B]T h. H23(-2) [B]
d. {[A][B]}T i. K3(-1) [A]
e. [B]T [A]T j. H3(2)
2(-1) [B]
8. Carilah harga x, y, z dan u bila:
3 = +
40
BAB II
DETERMINAN
2.1 Pengertian Determinan
Determinan adalah sekumpulan elemen-elemen atau bilangan-bilangan
yang disusun dalam deretan baris dan deretan kolom dimana banyakya
deretan baris sama dengan banyaknya deretan kolom dan mempunyai suatu
harga.
Dan biasanya dilambangkan dengan dua buah garis tegak.
Contoh:
=
Dimana:- Elemen-elemen yang mendatar adalah elemen baris sedangkan elemen-
elemen vertikal adalah elemen kolom.
- Jika banyaknya elemen baris m buah, banyaknya elemen kolom n buah
maka determinan A dikatakan berderajat m x n (berordo m x n).
- = elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j
- = elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2
2.2 Menentukan Harga Determinan
a. Determinan matriks berordo 2 x 2
Misalkan [A] adalah matriks persegi berordo 2 x 2 sebagai berikut:
[A] =
41
Determinan dari [A] didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali
elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-
elemen pada diagonal sekunder.
Determinan dari [A] dinotasikan dengan det A atau . Berdasarkan
definisi determinan, diperoleh determinan dari [A] sebagai berikut.
Det A = =
= ( x ) – ( x )
Contoh:
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut.
[A] = dan [B] =
Jawab:
det A = =
= (1 x 8) – (2 x 3)
= 8 – 6
= 2
det B = =
= (4 x (– 4)) – (2 x (– 7))
= – 16 – (– 14)
= – 2
42
b. Determinan matriks berordo 3 x 3
Misalkan [A] adalah matriks persegi berordo 3 x 3 sebagai berikut:
[A] =
Untuk mencari nilai determinan dari [A] yang berordo 3 × 3,
digunakan Metode Sarrus. Adapun langkah-langkah Metode Sarrus
adalah sebagai berikut:
1) Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua dari matriks A kemudian
diletakkan di sebelah kanan kolom ketiga,
Atau salin kembali kolom kedua dan kolom ketiga dari matriks A
kemudian diletakkan di sebelah kiri kolom pertama.
Atau salin kembali baris pertama dan baris kedua dari matriks A
kemudian diletakkan di sebelah bawah baris ketiga,
Atau salin kembali baris kedua dan baris ketiga dari matriks A kemudian
diletakkan di sebelah atas baris pertama.
2) Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan
diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah
tersebut sebagai D1.
3) Hitung jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan
diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah
tersebut sebagai D2.
4) Determinan dari matriks A adalah pengurangan D1 oleh D2, maka:
det A = D1 – D2
43
Berdasarkan langkah-langkah Metode Sarrus, diperoleh determinan
dari [A] sebagai berikut:
det A = =
=
= D1 – D2
Dimana:
D1 = ( . ) + ( . ) + ( . )
D2 = ( . ) + ( . ) + ( . )
Sehingga:
det A = = D1 – D2
= [ ( . ) + ( . ) + ( . ) ] –
[ ( . ) + ( . ) + ( . ) ]
= ( . ) + ( . ) + ( . ) –
( . ) – ( . ) – ( . )
44
Contoh:
Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.
[A] =
Jawab:
det A = =
=
= [((–1) x (–3) x 3) + (2 x 1 x 0) + (5 x 4 x 2)] –
[(5 x (–3) x 0) + ((–1) x 1 x 2) + (2 x 4 x 3)]
= [ 9 + 0 + 40 ] – [– 0 – 2 + 24 ]
= 49 – 22
= 27
c. Determinan matriks berordo lebih besar atau sama dengan 3 x 3(> 3 x 3)
Untuk menghitung determinan matriks berordo lebih besar atau
sama dengan 3 x 3 (> 3 x 3) dipergunakan ekspansi atau pembubaran
menurut elemen baris atau elemen kolom.
1) Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen baris maka:
45
=jin
j
1
)1( . Mij
2) Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen kolom maka:
=jim
i
1
)1( Mij
Dimana:
= elemen dari matriks A yang terletak pada baris ke-i
dan kolom ke-j
Mij = minor (determinan sisa apabila baris ke-i dan kolom
ke-j dihilangkan).
Berdasarkan langkah-langkah diatas diperoleh determinan dari [A]
sebagai berikut:
Misalkan [A] adalah matriks persegi berordo 4 x 4 sebagai berikut:
[A] =
Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen baris pertama maka:
=jin
j
1
)1( Mij
=j
j
14
1
)1( M1j
46
= (– 1)1+1 . M11 + (– 1)1+2 . . M12 +
(– 1)1+3 . . M13 + (– 1)1+4 . . M14
= . M11 – . M12 + . M13 – . M14
Dimana:
M11 = M12 =
M13 = M14 =
Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen kolom kedua maka:
=jim
i
1
)1( Mij
=24
1
)1(
i
i
Mi2
= (– 1)1+2 . . M12 + (– 1)2+2 . . M22 +
(– 1)3+2 . . M32 + (– 1)4+2 . . M42
= – . M12 + . M22 – . M32 + . M42
47
Dimana:
M12 = M22 =
M32 = M42 =
Contoh :
a. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.
[A] =
Jawab:
Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen baris pertama maka:
=jin
j
1
)1( Mij
=j
j
14
1
)1( M1j
= (– 1)1+1 . . M11 + (– 1)1+2. M12 + (– 1)1+3. .M13
= . M11 – . M12 + . M13
= – 1 – 2 + 5
48
= – 1 ( – 9 – 2 ) – 2 ( 12 – 0 ) + 5 ( 8 – 0 )
= – 1 ( – 11 ) – 2 ( 12 ) + 5 ( 8 )
= 11 – 24 + 40
= 27
b. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut.
[A] =
Jawab:
Jika ekspansi atau pembubaran menurut elemen kolom keempat
maka:
=jim
i
1
)1( Mij
=44
1
)1(
i
i
Mi4
= (– 1)1+4 . M14 + (– 1)2+4 . . M24 +
(– 1)3+4 . . M34 + (– 1)4+4 . . M44
= – . M14 + . M24 – . M34 + . M44
49
= – 5 + 1 – 8 +
5
= – 5 ( 32 ) + 1 (– 272 ) – 8 ( 48 ) + 5 ( 208 )
= – 160 – 272 – 384 + 1040
= 224
2.3. Sifat – Sifat Determinan.
1) Jika suatu determinan salah satu elemen baris atau elemen kolomnya
mempunyai elemen nol semua, maka harga determinannya sama dengan
nol.
Contoh :
[A] =
Maka:
= . M11 – . M12 + . M13
= 0. M11 – 0. M12 + 0. M13
= 0
2) Jika suatu determinan elemen – elemen barisnya ditukarkan menjadi elemen
kolom yang bersesuaian atau ditransposkan maka harga determinannya
tidak berubah.
Contoh :
50
[A] = dan [A]T =
Maka:
= . M11 – . M12 + . M13
= – +
= ( – ) – ( – ) +
( – )
= . M11 – . M12 + . M13
= – +
= ( – ) – ( – ) +
( – )
=
3) Jika dalam suatu determinan dua baris atau dua kolom ditukar
tempatnya maka harga determinan baru sama dengan negatip harga
determinan yang lama.
4) Jika dua baris atau kolom dalam satu determinan mempunyai elemen-
elemen yang sama (identik) maka harga determinannya sama dengan
nol.
51
5) Bila setiap elemen dari satu baris atau kolom dalam satu determinan
digandakan dengan suatu konstanta k, maka harga determinan baru
sama dengan k kali harga determinan lama.
6) Bila elemen – elemen yang bersesuaian dari 2 baris atau kolom dalam
satu determinan adalah sebanding maka harga determinannya sama
dengan nol.
7) Bila setiap elemen dari suatu baris atau kolom dalam suatu
determinan merupakan penjumlahan dua suku maka bentuk
determinan baru dapat dinyatakan dalam penjumlahan dua determinan
yang elemen-elemennya merupakan pemisah dari dua suku pada baris
atau kolom tersebut, sedangkan elemen-elemennya sama dengan
elemen determinan semula.
Contoh :
[B] = =
Maka :
= = – 16 – (– 14) = – 2
=
= +
= [ – 8 – (– 16) ] + [ – 8 – 2 ]
= [ 8 ] + [– 10 ]
= – 2
52
8) Bila setiap elemen dari suatu baris atau kolom setelah digandakan
dengan konstanta k, kemudian ditambahkan pada tiap baris atau
kolom yang lain dalam determinan itu maka harga determinannya
tidak berubah.
TUGAS 1.
Diskusikan dengan teman anda.
1. Coba buktikan sifat-sifat determinan nomor 3, 4, 5, 6 dan 8.
2. Diketahui:
[A] = , [B] =
[C] = [D] =
Hitung:
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
Dari hasil yang anda peroleh, apa yang dapat anda simpulkan?
53
2.4 Latihan Soal.
Tentukan determinan dari matriks dibawah ini:
1. [A] =
2. [B] =
3. [C] =
4. [D] =
5. [E] =
54
BAB III
INVERS MATRIKS
3.1 Pengertian Invers Matriks
Pada aljabar bilangan, kita telah mengenal bahwa jika suatu bilangan
dikalikan dengan inversnya maka akan diperoleh unsur identitas. Begitu pula
dalam matriks, jika suatu matriks apabila dikalikan dengan inversnya maka
akan diperoleh matriks identitas. Supaya kita lebih memahami pernyataan
tersebut, pelajari ilustrasi berikut.
Misalkan:
[A] dan [B]
Maka:
[A] [B] = = =
Karena perkalian antara matriks A dengan matriks B menghasilkan
matriks identitas [I] maka dapat kita simpulkan bahwa matriks A dan matriks
B saling invers. Hal ini berarti matriks B merupakan matriks invers dari
matriks A ditulis [B] = [A-1] atau sebaliknya matriks A merupakan matriks
invers dari matriks B ditulis [A] = [B-1]. Dengan demikian kita dapat
menyatakan sebagai berikut:
Jika [A] dan [B] adalah dua matriks persegi yang berordo sama dan
memenuhi persamaan [A] [B] = [B] [A] = [I] maka matriks A adalah matriks
invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A.
3.2 Menentukan Invers Matriks
Sebelum kita mempelajari invers matriks ada konsep yang harus kita
pahami terlebih dahulu yaitu matriks minor, matriks kofaktor dan adjoin
matriks.
55
d. Matriks Minor
Misalkan diketahui suatu matriks A sebagai berikut:
[A] =
Di bab 2 kita sudah mempelajari cara mencari minor suatu matriks.
Sehingga matriks minor dari matriks A adalah sebagai berikut:
[M] =
e. Matriks Kofaktor
Jika Mij merupakan minor ke-ij dari matriks A maka kofaktor (Kij) adalah
hasil perkalian (–1)i+j dengan elemen minor Mij.
Dengan demikian, Kij = (–1)i+j . Mij
Sehingga matriks kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut:
[K] =
56
f.Adjoin Matriks
Jika matriks kofaktor dari matriks A tersebut di transposkan, maka didapat
matriks baru yang disebut sebagai adjoin matriks A.
Sehingga adjoin matriks A adalah sebagai berikut:
Adj [A] = [K]T =
Setelah kita mempelajari matriks minor, matriks kofaktor dan adjoin
matriks, mari kita sekarang menentukan invers matriks. Invers matriks dapat
ditentukan dengan cara:
1. Dengan rumus yaitu:
[A-1] =
Dimana:
[A-1] = invers matriks A
adj [A] = adjoin matriks A
= determinan matriks A
≠ 0
Contoh:
Tentukan invers matriks dibawah:
a. [A]
b. [B]
57
Jawab:
a. [A]
[A-1] =
Dimana:
[M] = =
[K] = = =
adj [A] = [KT] = =
= 9 – 8 = 1
Sehingga:
[A-1] =
=
=
58
b. [B]
[B-1] =
Dimana:
[M] = =
[K] = =
=
adj [B] = [K] T =
= (– 20 – 9 + 24) – (24 – 18 – 10)
= (– 5) – (– 4)
= – 1
Sehingga:
[B-1] =
=
=
59
2. Dengan Metode Transpormasi atau Operasi Elementer Pada Baris atau
Kolom Matriks
Menyelesaikan invers matriks dengan metode transpormasi dilakukan
dengan cara yaitu:
a) Buat matriks yang akan dicari inversnya.
b) Buat matriks identitas dengan ukuran yang sama dengan matriks yang
akan dicari inversnya di sebelah kanannya.
c) Kenakan transpormasi matriks pada matriks yang akan dicari
inversnya dan pada matriks identitas yang dibuat tadi sampai pada
matriks yang akan dicari inversnya menjadi matriks identitas.
d) Kalau matriks yang kita akan cari inversnya sudah menjadi matriks
identitas maka matriks identitas yang disebelah kanan tadi setelah
dikenakan transpormasi matriks itu merupakan invers dari matriks
yang kita cari.
Untuk lebih jelasnya tentukan invers matriks dibawah:
1. [A]
2. [B]
Jawab:
1. [A]
Mencari inversnya atau [A-1] = ……… ?
60
Langkah:
a) Buat matriks yang akan dicari inversnya.
b) Buat matriks identitas dikanannya.
c) Kenakan transpormasi matriks seperti:
1. H1(1/3) →
2. H21(- 4) →
3. H2(3) →
4. H12(- 2/3) →
d) Jadi invers matriksnya:
[A-1] =
2. [B]
Mencari inversnya atau [B-1] = ……….. ?
Langkah:
a) Buat matriks yang akan dicari inversnya.
61
b) Buat matriks identitas dikanannya.
c) Kenakan transpormasi matriks seperti:
1. H1(1/1) →
2. H21(- 2) →
3. H31(- 3) →
4. H2(1/2) →
5. H32(-3) →
6. H3(-2) →
7. H12(-1) →
8. H13(-11/2) →
9. H23(7/2) →
62
d) Jadi invers matriksnya:
[B-1] =
3.3 Latihan Soal
1. Tentukan apakah matriks-matriks dibawah ini memiliki invers:
a. [A]
b. [B]
c. [C]
d. [D] =
2. Tentukan invers dari matriks dibawah ini:
a. [E]
b. [F] =
c. [G] =
d. [H] =
63
e. [J] =
64
BAB IV
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
4.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear adalah suatu sistem persamaan yang peubah-
peubahnya atau variabel-variabelnya berpangkat satu. Sistem persamaan
linear dapat terdiri dari dua atau lebih variabel.
Bentuk umum dari sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan tiga
variabel yang belum diketahui adalah sebagai berikut:
dengan a, b, c dan k ϵ R
Dalam sistem persamaan linear besarnya variabel yang belum diketahui
bisa dicari dengan syarat banyaknya variabel yang belum diketahui harus
sama dengan jumlah persamaan linearnya.
Sehingga sistem persamaan linear dengan n buah persamaan dan n buah
bilangan yang belum diketahui bisa diselesaikan dengan berbagai metode
seperti: metode grafik, metode eleminasi, metode substitusi, metode
eleminasi Gauss, metode operasi baris elemen, metode Cramer (determinan)
dan metode invers.
Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan empat metode untuk
menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear yaitu metode
eleminasi Gauss, metode operasi baris elemen, metode Cramer (determinan)
dan metode invers matriks.
4.2 Metode Eliminasi Gauss
Metode ini lebih dikenal dengan metode substitusi balik (back substitution).
Metode ini memecahkan sistem persamaan linear dengan mereduksi matriks yang
diperbesar menjadi bentuk eselon baris.
65
Sehingga langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
dengan metode eleminasi Gauss adalah:
e) Rubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar.
f) Lakukan transformasi atau operasi elementer pada baris dan kolom dari
matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks segi tiga atas atau matriks
segitiga bawah.
g) Kembalikan dalam bentuk matriks.
h) Kembalikan ke dalam bentuk sistem persamaan linear.
i)Substitusikan nilai variabel yang telah didapat ke persamaan liniar yang
lainnya.
Contoh:
Tentukan besarnya nilai x, y dan z dari sistem persamaan linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Langkah:
a) Rubah dalam bentuk matriks yang diperbesar.
=
b) Lakukan transformasi atau operasi elementer pada baris dan kolom dari
matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks segi tiga atas.
66
1. H1(1/1) →
2. H21(-2) →
3. H31(-3) →
4. H2(1/2) →
5. H32(-3) →
6. H3(-2) →
c) Kembalikan dalam bentuk matriks.
=
d) Kembalikan dalam bentuk sistem persamaan linear.
x + y + 2z = 9
y – 7/2z = – 17/2
z = 3
e) Substitusikan nilai variabel yang telah didapat ke persamaan linear yang
lainnya.
Dengan mensubstitusikan nilai z = 3 maka nilai y = 2 dan x = 1
67
4.3 Metode Eliminasi Gauss Jordan
Metode ini agak mirip dengan metode eleminasi Gauss, namun transpormasi
pada baris dan kolom sampai terbentuk matriks identitas.
Sehingga langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan
metode operasi baris elemen adalah:
a) Rubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar.
b) Lakukan transformasi atau operasi elementer pada baris dan kolom dari
matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks identitas.
c) Kembalikan dalam bentuk matriks.
d) Kembalikan ke dalam bentuk sistem persamaan linear.
e) Tentukan nilai variabel.
Contoh:
Tentukan besarnya nilai x, y dan z dari sistem persamaan linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Langkah:
a) Rubah dalam bentuk matriks yang diperbesar.
=
b) Lakukan transformasi atau operasi elementer pada baris dan kolom dari
matriks diperbesar tadi sampai terbentuk matriks identitas.
1. H1(1/1) →
68
2. H21(-2) →
3. H31(-3) →
4. H2(1/2) →
5. H32(-3) →
6. H3(-2) →
7. H12(-1) →
8. H23(7/2) →
9. H13(-11/2) →
c) Kembalikan dalam bentuk matriks.
=
69
d) Kembalikan dalam bentuk sistem persamaan linear.
x = 1
y = 2
z = 3
e) Tentukan nilai variabel.
Maka nilai x = 1, y = 2 dan z = 3.
4.4 Metode Cramer
Metode ini sering disebut dengan metode determinan. Metode ini bisa
dipergunakan untuk mencari variabel yang belum diketahui dalam sistem
persamaan linear dengan n buah persamaan dan n buah variabel yang belum
diketahui.
Misal:
Sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan tiga variabel yang
belum diketahui adalah sebagai berikut:
Rubah sistem persamaan linear tersebut dalam bentuk matriks:
=
=
Dimana:
=
70
=
=
Pandang:
=
Maka:
=
Sesuai dengan sifat determinan no 5 (lihat sifat-sifat determinan pada Bab II)
yaitu, bila setiap elemen dari satu baris atau kolom dalam satu determinan
digandakan dengan suatu konstanta k atau , maka harga determinan baru sama
dengan kali harga determinan lama.
Maka:
=
Sesuai dengan sifat determinan no 8 yaitu, bila setiap elemen dari suatu
baris atau kolom setelah digandakan dengan konstanta atau kemudian
ditambahkan pada tiap baris atau kolom yang lain dalam determinan itu maka
harga determinannya tidak berubah.
Maka:
71
=
=
=
=
=
Dengan cara yang sama akan diperoleh:
= dan =
Dengan:
= =
= =
Sehingga untuk sistem persamaan linear dengan n buah persamaan dan
n buah variabel yang belum diketahui, dengan metode Cramer dapat di
dirumuskan:
72
= dengan i = 1,2,3, ………., n
Contoh :
Tentukan besarnya nilai w, x, y dan z dari sistem persamaan linear:
1. 2x + 3y = 28
3y + 4z = 46
4z + 5x = 53
2. 4w – 2x + 3y + 5z = 25
w – 3y + z = 14
9w + 10x + 2y + 8z = 101
4w + 2x – 3y + 5z = 53
Jawab:
1. 2x + 3y = 28
3y + 4z = 46
4z + 5x = 53
Sempurnakan sistem persamaan linearnya:
2x + 3y + 0 = 28
0 + 3y + 4z = 46
5x + 0 + 4z = 53
Rubah sistem persamaan linear tersebut dalam bentuk matriks:
=
=
Dimana:
=
73
=
=
Pandang:
=
Maka:
= = (24 + 60 + 0) – (0 + 0 + 0) = 84
= = (336 + 636 + 0) – (0 + 0 + 552) =
420
= = (368 + 560 + 0) – (0 + 424 + 0) =
504
= = (318 + 690 + 0) – (420 + 0 + 0) =
558
Maka :
= = = 5
= = = 6
= = = 7
74
2. 4w – 2x + 3y + 5z = 25
w – 3y + z = 14
9w + 10x + 2y + 8z = 101
4w + 2x – 3y + 5z = 53
Sempurnakan sistem persamaan linearnya:
4w – 2x + 3y + 5z = 25
w + 0 – 3y + z = 14
9w + 10x + 2y + 8z = 101
4w + 2x – 3y + 5z = 53
Rubah sistem persamaan linear tersebut dalam bentuk matriks:
=
=
Dimana:
=
=
=
75
Pandang:
=
Maka:
= = 4(68) + 2(38) + 3(12) –5(32) = 224
= = 25(68) + 2(310) + 3(148) – 5(508) =
224
= = 4(310) – 25(38) + 3(–28) – 5(–138) =
896
= = 4(–148) + 2(–28) + 25(12) –5(20) = –
448
= = 4(508) + 2(138) + 3(20) –25(32) =
1568
Maka :
= = = 1
76
= = = 4
= = = – 2
= = = 7
4.5 Metode Invers Matriks
Metode ini bisa dipergunakan untuk mencari variabel yang belum
diketahui dalam sistem persamaan linear dengan n buah persamaan dan n
buah variabel yang belum diketahui.
Misal:
Sistem persamaan linear dengan tiga persamaan dan tiga variabel yang
belum diketahui adalah sebagai berikut:
Rubah sistem persamaan linear tersebut dalam bentuk matriks:
=
=
Ruas kiri dan ruas kanan sama-sama dikalikan dengan invers matrik A, maka:
=
=
=
77
Sehingga dengan metode invers matriks dapat dirumuskan:
=
Dimana:
=
=
=
= invers matrik A
= matrik identitas, dengan ukuran sama dengan matriks A
Contoh :
Tentukan besarnya nilai x, y dan z dari sistem persamaan linear:
1. 3x + 2y = 20
4x + 3y = 25
2. x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Jawab:
1. 3x + 2y = 20
4x + 3y = 25
78
Rubah sistem persamaan linear tersebut dalam bentuk matriks:
=
=
Dengan metode invers matriks dapat dirumuskan:
=
Dimana:
=
=
= = =
=
Sehingga:
=
=
=
=
79
2. x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Rubah sistem persamaan linear tersebut dalam bentuk matriks:
=
=
Dengan metode invers matriks dapat dirumuskan:
=
Dimana:
=
=
= = =
=
Sehingga:
=
=
80
=
=
4.6 Latihan Soal
Selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini dengan metode
eleminasi Gauss, operasi baris elemen, metode Cramer dan invers
matriks.
1) 3x + 5y – 2z = 5
10x – 3y – 2z = 11
4x + 2y + 3z = 19
2) 5X1 + 2X2 – 3X4 = 1
X1 – X2 + X3 = 6
2X1 + 2X2 + 3X3 – 3X4 = – 5
– 3X1 – X2 + 4X3 + X4 = – 1
3) 3y + 9x = – 12
x + y = – 8
4) X + Y + Z = 0
X + 3Z + Y = 2
2X – 3Y – 5Z = 8
81
5) 2y – 3x – 2z – 10 = 0
3z – 2y + 12 = – 5x
7x + 4y – 7 = 20 – 5z
6) Diketahui:
= dan =
Tentukan sehingga =
82
BAB V
BILANGAN KOMPLEKS
5.1 Pegertian Bilangan Kompleks
Sebuah bilangan kompleks adalah sebuah bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk .
Jadi
Disini dan adalah bilangan nyata, sedangkan satuan bilangan khayal yang
didefinisikan sebagai :
atau
Pada , disebut bagian nyata dan biasa dinyatakan dengan lambang
, sedangkan bi disebut bilangan khayal, dinyatakan dengan lambang .
Jika maka adalah bilangan nyata, jika maka adalah bilangan
khayal. Jika dan maka disebut khayal murni.
Secara umum akar genap suatu bilangan negatif akan berupa bilangan khayal,
dan selalu dapat dinyatakan dengan satuan bilangan khayal . Khususnya akar kedua
bilangan negative, misalnya :
Dari definisi satuan bilangan khayal i didapat :
83
Nampaklah bahwa pangkat-pangkat menghasilkan bilangan-bilangan:
dan saja, dan nampak pula bahwa dengan sembarang pangkat tidak
berubah nilainya jika pangkatnya ditambah atau dikurangi 4.
Dua bilangan kompleks dan , yang hanya berbeda tanda
tanda bagian khayalnya, disebut sekawan (conjugate). Dua definisi berikut ini
menyangkut kesamaan bilangan kompleks:
1) Dua bilangan kompleks dan dikatakan sama
jika dan hanya jika:
Jadi jika bagian nyata kedua bilangan itu sama dan bagian khayal
keduanya juga sama.
2) Suatu bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika:
dan
5.2 Gambar Bilangan Kompleks
Setiap bilangan kompleks dapat disajikan pada bidang sebagai
titik . Sebaliknya setiap titik pada bidang itu dapat dianggap sebagai
bilangan kompleks .
Bidang tempat menggambarkan bilangan-bilangan kompleks itu disebut bidang
kompleks. Pada bidang kompleks, titik-titik pada sumbu menggambarkan bilangan
yang nyata . Titik pada sumbu menyatakan bilangan khayal murni, karena
. Dengan alasan itulah maka sumbu disebut sumbu nyata , dan sumbu
disebut sumbu khayal murni. (Gambar 5.1)
5.3 Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks
a. Penjumlahan.
Jumlah dua bilangan kompleks dan ialah bilangan
kompleks yang diperoleh dengan cara berikut :
84
Cara menjumlahkan seperti itu disebut cara analitis. Menjumlahkan
dapat juga dilakukan secara grafis, yaitu dengan melukiskan sebuah jajaran
genjang. Dua titik yang menyatakan kedua bilangan yang dijumlahkan
merupakan dua titik sudut yang berhadapan, sedangkan pangkal sumbu
merupakan titik sudut ketiga. Dengan demikian titik sudut yang keempat
menyatakan jumlah kedua bilangan itu. (Gambar 5.2)
10-1-2-3 2 3 4
i
2i
3i
-3 +2
-i
-2i
-3i
4 + 1
-2 – 3i
Y
X
0
Y
X
Gambar 5.2
85
b. Pengurangan
Selisih dua bilangan kompleks dan ialah suatu bilangan kompleks yang
bila ditambahkan pada menghasilkan . Secara analitis mudah dilihat, jika
, maka :
Secara grafis selisih dua bilangan kompleks diperoleh dengan mula-mula
mengubah tanda pengurangannya, baru kemudian menjumlahkannya. Perhatikan
bahwa secara grafis lawan suatu bilangan kompleks ialah titik yang simetris
dengannya terhadap pangkal sumbu. (Gambar 5.3)
c. Perkalian
Hasil kali dua bilangan kompleks dan ialah suatu
bilangan kompleks yang diperoleh dengan cara memperkalikan secara aljabar kedua
bilangan itu, dengan mengingat bila timbul harus diganti dengan .
Gambar 5.3
Y
X
86
Contoh :
Kalikan dengan
Perhatikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks sekawan berupa bilangan
nyata, yaitu :
d. Pembagian
Pembagian pada bilangan kompleks didefinisikan sebagai kebalikan perkalian.
Didalam pelaksanaannya pembagian dilakukan dengan menggunakan sifat hasil kali
dua bilangan kompleks sekawan.
Contoh :
Bagilah dengan
5.4 Bilangan Kompleks Dalam Bentuk Kutub
Pada Gambar 7.4 titik menyatakan bilangan . Jarak dari
pangkal sumbu ke titik dinyatakan dengan , dan sudut dari sumbu nyata
positif ke segmen jarak ini dinamakan jarak yang selalu nonnegative
disebut nilai mutlak atau modulus bilangan kompleks itu.
87
Sudut disebut amplitudo atau argument bilangan kompleks. Dari
gambar itu terlihat hubungan-hubungan :
dan ……(1)
Selanjutnya Nampak bahwa :
dan …………(2)
Sehingga :
……… (3)
Bangun pada ruas kanan (3) itu disebut bentuk kutub bilangan
kompleks.
Sudut θ didalam bentuk kutub itu dapat diganti dengan sembarang
kelipatan bulat atau , tanpa mengubah nilai sinus atau kosinus
sudutnya. Demikianlah maka suatu bilangan kompleks dapat dinyatakan
dalam bentuk kutub yang lebih umum sebagai berikut:
Disini sembarang bilangan bulat. Nanti akan ternyata betapa
pentingnya bentuk bilangan kompleks seperti ini.
Dengan hubungan (1), (2), dan atau (3) diatas, maka sebuah bilangan
kompleks dalam bentuk dapat diubah menjadi bentuk kutub, dan
sebaliknya. Tetapi didalam menggunakan bangunan (1), untuk menentukan
nilai 0, hendaknyalah dipilih dengan kuadran tempat bilangan kompleks yang
bersangkutan.
0
Y
XGambar 5.4
88
Contoh:
Gambar bilangan dan ubah kedalam bentuk kutub!.
Penyelesaian : (Gambar 3.5)
Titik ( ) menyatakan bilangan tersebut. Sekarang kita hitung
modulus dan argumennya.
Tangen sudut terletak dikuadran II.
Demikianlah maka :
Y
X-2
θ
Gambar 5.5
89
Contoh :
Gambarkanlah bilangan dan buah ke dalam bentuk
.
Penyelesaian : (Gambar 7.6)
Titik yang menyatakan bilangan ini mudah digambarkan dengan
membuat sudut dengan sumbunya positif sebagai salah satu kakinya dan
dengan arah putar mengiri. Kemudian ukurkan 5 satuan panjang, sepanjang
kaki sudut yang baru ini. Dari hubungan (2) dan dari gambarnya didapat:
Sehingga :
Hasil kali dan hasil bagi dua bilangan kompleks dapat mempercepat
dengan cepat jika bilangan yang dikerjakan ditulis dalam bentuk kutub.
Misalnya kita akan mengalikan dua bilangan:
dan
Maka kita kalikan secara biasa, dan dengan menggunakan sifat-sifat
pada trigonometri didapat:
0
Y
X
Gambar 5.6
90
Dengan kata-kata dapatlah dirumuskan teorema:
Teorema 1.
Modulus hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan hasil kali
modulus kedua bilangan itu argumennya sama dengan jumlah bangunan
masing-masing bilangan itu. Aturan tentang perkalian itu dapat dipergunakan
berkali-kali untuk mendapatkan hasil kali lebih dari dua bilangan kompleks
jadi untuk tiga bilangan misalnya, kita dapatkan:
(ditulis dalam bentuk singkat)
Kita nyatakan rumus untuk hasil bagi dua bilangan kompleks ini dengan
teorema sebagai berikut:
Teorema 2.
Modulus hasil bagi kedua bilangan kompleks sama dengan hasil bagi
modulus kedua bilangan. Argumennya sama dengan argument binagi
dikurangi argumen pembagi.
91
Contoh:
Nyatakan bilangan dan dalam bentuk kutub dan tentukan
hasil kalinya.
Penyelesaian :
Maka :
5.5 Latihan Soal
1. Termasuk golongan manakah bilangan kompleks dibawah ini, bilangan
nyata, khayal, ataukah khayal murni:
2. Tuliskan bilangan dibawah ini dalam bentuk :
a.
b.
c.
d.
92
3. Selesaikan dan berikan hasilnya dalam bentuk :
a.
b.
c.
d.
4. Tuliskan kawan (conjugate) bilangan kompleks dibawah ini. Gambarkan
beserta sekawannya.
a.
b.
c.
d.
Kerjakan secara grafis dan secara analitis.
5. Gambarkan bilangan-bilangan dibawah ini dan tuliskan bentuk kutubnya :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
6. Ubah ke dalam bentuk :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
93
7. Tentukan hasil dalam bentuk
a.
b.
c.
d.
8. Nyatakan bilangan bilangan dibawah ini dengan bentuk kutub dan hitung
hasilnya :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
94
BAB VI
HITUNG VEKTOR
6.1 Definisi
Sebagai entites (ujud) matematika murni, vector merupakan suatu
segmen garis berarah, sehingga biasa di gambarkan sebagai sepotong
ruasgaris dengan tanda panah pada salah satu titik ujungnya. Jelas vector
disini mempunyai dua unsure besar dan arah. Dengan demikian setiap entitas
yang memiliki kedua unsure ini dapat dinyatakan dengan vector, misalnya:
gaya, kecepatan, percepatan, dan geseran. Entitas seperti: massa, panjang,
suhu, bukanlah vector, karena hanya memiliki besar, tidak mempunyai arah.
Entitas-entitas seperti ini disebut scalar. Bilangan-bilangan didalam aljabar
pun termasuk scalar.
6.2 Gambar Vektor
Besar suatu vektor dinyatakan dengan panjang ruas garisnya. Jadi untuk
bisa membandingkan besar suatu vector dengan vector lainya, kita tentukan
dulu satuan panjang yang kita pakai.
Arah vektor dinyatakan dengan letak ujung panah pada ruas garisnya.
Untuk membedakan suatu vektor dengan suatu skalar, didalam
menuliskan suatu vektor kita gunakan sebuah huruf dengan garis datar
diatasnya. Misalkan: dan menyatakan vektor, sedangkan A dan a adalah
scalar. Didalam media cetak vektor dinyatakan dengan huruf tebal. Vektor
yang berpengaruh di titik A dan berujung di B ditulis dengan , jadi
dengan anak panah di atasnya (gambar 8.1).
Untuk meyatakan panjang vektor dipakai tanda nilai mutlak : / /,
atau dutulis saja A tanpa garis di atasnya.
A B
Gambar 6.1
95
Definisi kesamaan, dua vector dikatakan sama baik panjang maupun arahnya
sama.
Dari definisi ini tersirat bahwa vektor yang kita bicarakan di sini adalah
vector bebas, artinya : sebuah vektor dapat dipindahkan dari suatu tempat ke
tempat yang lain asal panjang dan arahnya tidak berubah, dan kita anggap
vektor yang dimiliki tidak mengalami perubahan.
Sebuah garis yang berimpit dengan sebuah vektor disebut garis pemutar
vektor tersebut.
Definisi kesejajaran. Dua vector dinyatakan sejajar jika garis -garis
pemutarannya sejajar.
Di dalam definisi ini tidak dibicarakan arah vektor. Dua vektor yang
bersekutu garis pemuat dikatakan sejajar pula.
Jika sebuah garis L sejajar atau berimpit dengan garis pemuat sebuah
vector , maka vector ini disebut vector arah garis L. Sebagai vector arah
ini sembarang saja. Dengan kata lain sembarang vector dapat dipakai sebagai
vector arah garis L, asal sejajar dengan
6.3 Oprasi Hitung Vektor
Definisi penjumlahan.
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dengan apa yang disebut
aturan polygon, Pada ujung sebuah vektor diimpitkan pangkal kedua, pada
ujung vector kedua ini diimpit vector ketiga, demikian seterusnya. Jumlah
vector-vektor ini ialah: vector yang ditarik dari pangkal vector yang pertama
ke ujung vector yang terakhir, jadi vector yang melengkapi atau menutup
poligonya.
A+B+C C
B
A
Gambar 6.2
Perhatikan bahwa polygon ini bias “terpuntir”, artinya tidak harus terletak
pada sebuah bidang datar.
96
Pada gambar 6.3 terlihat : + = 2 adalah sebuah vector yang
searah dengan vector dan panjangnya dua kali panjang vector . Secara
umum K dengan K suatu scalar ialah vector yang panjangnya /k/ kali
vector , dan searah dengan:
2
-
Gambar 6.3
Vector jika k positif, tetapi berlawanan arah jika k negatif. Kita
dapatkan suatu sifat:
Jika dua vector sejajar, maka vector yang satu dapat ditulis sebagai suatu
scalar k kali vector yang lainnya, sebaliknya, jika suatu vector dapat
dinyatakan sebagai suatu scalar kali vector lain, maka vector itu sejajar.
Definisi pengurangan.
- ialah vector yang bila ditambahkan pada menghasilkan .
-
-
Gambar 6.4 Gambar 6.5
Menurut definisi ini, dan mengingat definisi penjumlahan, jelas bahwa
- ialah vector dari ujung ke ujung , setelah dan diperimpitkan
pangkalnya (lihat gambar 6.4).
Cara lain untuk mengurangi dengan ialah dengan menambah -
pada (gambar 6.5). Cara ini lebih cocok untuk menyelesaikan misalnya:
3A-2B+4C-2D.
97
Vector nol pada penjumlahan,
Apabila vector-vektor yang dijumlahkan kebetulan telah menutup
poligonya, maka pangkal vector yang pertama berimpit dengan ujung vector
terakhir. Jadi jumlahnya merupakan vector yang panjangnya nol. Vector
semacam ini disebut vector nol dan ditulis 0.
Jadi pada gmabar 6.6.
Gambar 6.6
+ + + = 0
Jika suatu vector dijumlahkan dengan vector lawanny, maka hasilnya
pun berupa vector nol. Jadi + - = 0. Demikinalah, jika = - , maka +
=0.
Cara lain menjumlahkan dua vector A dan B ialah dengan membentuk
jajaran genjang dengan kedua vector itu. Yaitu dengan memperimpitkan
pangkal kedua vector itu. Vector diagonal yang bersatu pangkal dengan
dan itulah jumlahnya, atau resultan vector dan (gambar 8.7).
hasilnya tentu sama dengan yang diperoleh dengan cara yang disebutkan
dalam defenisi penjumlahan.
6.4 Sifat-Sifat Vector
Kesamaan-kesamaan di bawah ini sudah dibuktikan kebenaranya:
a. ) (sifat komulatif).
b. (sifat asosiatif).
c. m(n ) = (mn) (sifat asosiatif untuk perkalian dengan
bilangan skalar).
98
d. (m+n) = m + n (sifat distributif)
e. m( = m + m (sifat distributif terhadap
penjumlahan vektor-vektornya).
6.5 Menyatakan Sebuah Vektor
Pandangan dua titik P1 (x1, y1, z1) dan P2 (x2, y2, z2) : (Gambar 8.7)
Z
0 Y
X
Gambar 6.7
Vektor posisi OP1 dan OP2 dapat dinyatakan sebagai :
Maka sesuai dengan definisi pengurangan didapat: ,
sehingga:
Rumus ini memberikan cara menyatakan vektor yang berpangkal di P1
dan berujung di P2. Ungkapan untuk mengingat rumus tersebut ialah
Koordinat ujung dikurangi koordinat pangkal. Dari rumus tersebut didapat
rumus untuk panjang vektor atau jarak antara P1 dan P2, yaitu :
P1 (x1, y1, z1)
P2 (x2, y2, z2)
99
Di dalam dwimatra rumus ini menjadi :
Contoh : Nyatakan vektor dari A (-2,1) ke B (2,4), dan hitung panjangnya.
Penyelesaian
Vektor dapat pula dipergunakan untuk menentukan koordinat titik yang
terletak di antara dua titik yang diketahui dengan perbandingan jarak yang
ditentukan.
Contoh.
Diketahui:
Titik P (2,3,1) dan Q (4,-2,3). Tentukan titik R yang membagi ruas garis PQ
menjadi dua bagian yang berbanding sebagai 3 : 5 (Gambar 6.8)
Penyelesaian:
Andaikan R ialah R (x,y,z). Dibentuk vektor PR dan RQ. Menurut
syaratnya, maka . Karena kedua vektor ini segaris, maka
dpatlah ditulis : .
Dengan kaidah “Koordinat ujung dikurangi koordinat pangkal” maka :
P (2,3,1)
R (x,y,z)
Q (4,-2,3)
Gambar 6.8
100
Sehingga :
Suatu vektor hanya dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi
linier i, j, dan k, sehingga haruslah :
x-2 = 3/5 (4-x) x = 11/4
y-3 = 3/5 (-2-y) y = 9/8
z-1 = 3/5 (3-z) z = 7/4
Jadi koordinat titik R ialah R (11/4,9/8,7/4)
Secara umum, koordinat titik R yang membagi ruas garis yang
menghubungkan
P (x1, y1, z1) dan Q (x2, y2, z2) dengan perbandingan m : n, dapat ditentukan
dengan rumus yang diturunkan dengan cara seperti di atas :
n
m
P (X1, Y1, Z1)
R(X,Y,Z)
Q (X2, Y2,Z2)
Gambar 6.9
101
Jika R membagi dua sama ruas garis PQ, maka rumusnya menjadi :
6.6 Perkalian Dalam Aljabar Vektor
Di dalam hitung vektor dibicarakan dua macam perkalian antar vektor,
yaitu : perkalian titik dan perkalian silang.
Perkalian titik dua vektor Adan b, ditulis : A.B, didefinisikan sebagai :
Disini ialah sudut antara dalam selang 00 1800. Nampak
bahwa hasil perkalian perkalian titik berupa skalar. Itulah sebabnya perkalian
ini lebih sering disebutsebagai perkalian skalar.
Dari definisi terlihat bahwa perkalian skalar bersifat komutatif :
Pada gambar 6.10 terlihat :
dan
berasatu pangkal. Maka :
Gambar 6.10
102
Pada segitiga vektor itu, dengan aturan kosinus, kita dapat :
,
sehingga :
Dengan demikian kita peroleh :
Ternyatalah bahwa hasil perkalian skalar dua vektor dapat dinyatakan
sebagai jumlah hasil kali bilangan-bilangan arah yang bersesuaian.
Karena Cos 00 = 1, maka :
Dua vektor yang saling tegak lurus membentuk sudut 900 yang
kosinusnya = 0, sehingga hasil perkalian skalarnya = 0.
Maka terdapatlah sifat: Dua vektor yang saling tegak lurus jika dan hanya
perkalian skalarnya sama dengan nol.
Contoh 1.
Dengan dua titik A (1,-2,2) dan B (6,3,-2) tentukan hasil perkalian skalar dua
vektor posisi yang berujung pada A dan B, dan tentukan bear sudut antara
kedua vektor itu.
Penyelesaian:
0A= i-2j-2k dan OB = 6i + 3j-2k.
Maka
OA.OB = (1) (6) + (-2) (3) + (-2) (-2) = 4
Cos 21/44936441
4
///
.
OBOA
OBOA
Jadi sudut antara kedua vektor itu ialah:
arc cos 4/21 = 79°
103
Contoh 2.
Periksalah, apakah vektor A = 3i + 4j + k dan B = 2i-j + 6 k saling tegak
lurus.
Penyelesaian:
A.B = (2) (3) + (4) (-3) + (1) (6) = 0, Jadi kedua vektor itu saling tegak
lurus.
Cacatan : karena vektor-vektor satuan i.j + k dan B = 2i-j + 6 k saling tegak
lurus.
Penyelesaian:
A.B = (2) (3) + (4) (-3) + (1) (6) = 0, Jadi kedua vektor itu saling tegak
lurus.
Cacatan : karena vektor-vektor satuan i.j, dan k saling tegak lurus, maka, 1.j
= j.k = k.i =0
6.7 Perkalian Silang
,BxA dibaca A dan B , adalah perkalian silang vektor A dan B , yang
didefinisikana sebagai berikut:
Dengan ialah sudut antara A dan B yang berselang 0 ≤ 0 ≤x, sedang
n ialah vektor satuan dengan arah majunya sekrup yang diputar dari A ke B.
Karena hasil perkalian silang berupa sebuah vektor, maka perkalian ini
juga mempunyai sebutkan : perkaliana vektor.
Dari definisinyaa nampak bahwa / A X B = /A//B/sin , dan ini
merupakan luas jajaran genjanga yang dibentuk oleh vektor A dan B yang
berhimpitan pangkalnya (gambar 6.11).
nBABXA sin////
104
Perkalian vektor pada i , j
dan k, memberikan:
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k, j x k = i , k x i = j
Gambar 6.11
Cara mengingat-ingat yanag terakhir
Cara mengingat-ingat yang terakhir ini ialah dengan menempatkan i,j
dan k dengan urutan seperti itu pada keliling sebuah lingkaran.
Mengingat definisinya maka A x B = - (B x A). jadi pada perkalian
silang tidak berlaku hukum komutatif.
Menggunakan sifat distributif pada perkalian silang terhadap
penjumlahan (lihat Thomas, halaman 509) dapat diperhatikan bahwa
perkalian silang dua vektor dapat duliskan dalam bentuk determinan, yaitu
jika:
A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k
Maka A X B =
321
321
1
bbb
aaa
kj
Bukti :
A X B = (a1 i + a2 j + a3k) X (b1i + b1 j + b3 k O)
= (a1 i + (b2 i + b2 j + b3k) + a2j X (b1i + b1 j +a3k) + a3 k X (b1i + b2 j +
b3 k )
Bt = /B/sin
j
Ik
k
ji
105
= (a1 b2 k - a3 b3 j ) + (a2 b1 k + a2 b3 i ) + (a3b1j = a3b2)
= (a2b3-a3b2) i - (a1b3-) j + (a1b2-a2b1) k
= D (Determinana di atas)
Beberapa contoh:
1) Jika C = 3 i -2 j + 4 k dan D = 4 i -3 j - k , maka:
Maka D X C =
423
134
1
kj
= -14 i -19 j + k
Sedang D X C = 14 i -19 j + k (berlawanan arah dengan D X C ).
2) Hitung luas segitiga yang titik sudutnya : A (1,-1,0). B (2,1,-1), dan
C (-1,1,2).
Penyelesaian:
Dua sisi segitiga itu ialah vektor:
A B = (2-1) i + (1 + 1) j + (-1-0) k = i + 2 j - k dan
A C = (-1-1) i + (1 + 1) j + (2-0) k = 2 i + 2 j -2 k dan
Vektor n = A B x A C =
222
121
1
kj
/ n / = 263636
/ n / adalah luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor
tersebut. Jadi luas segitiga yang ditanyakan adalah separuhnya,
yaitu 23
3) Tentukan vektor satuan yanag tegak lurus pada kedua vektor:
a = 2 i + j - k dan b = i + j -2 k
Penyelesaian
106
n = a = b tegaklurus pada a dan b . Vektor satuan yang ditanyakan
dipeorleh dengan membagi n dengan panjangnya.
n =
211
112
1
kj
= i + 5 j -3 k
/ n / = ,359251 sehingga vektor satuan yang ditanyakan
ialah u = ±35
35 kji
6.8 Latihan Soal
1. Hitung panjang vektor berikut:
a. 2 i + j -2 k
b. 3 i + 6 j -2 k
2. Diketahui : A (-3,2) dan B (5,4) gambarkan garis Ab dan tentukan:
a. Jarak AB
b. Titik tengahnya
c. Vektor BA
d. Titik pada AB yang jarak ke A tiga kali B
3. Buktikan:
a. A .( B + C ) = A . B + A . C
b. ( A . B ) . C = A . C + B . C
4. Diketahui tiga titik : A (4,7,11), B (-3,1,4), dan C (2,3,-3)
a. Tentukan besar sudut-sudut segitiga ABC
b. Buktikan bahwa vektor : 14 i -21 j + 4 k tegak lurus pada bidang
segitiga ABC.
107
5. Buktikan bahwa sudut antara dua vektor dapat juga dihitung dengan
rumus: Cos = cos ∞1 cos ∞2 + cos β1 cos β2 + cos δ1 cos δ2
6. Diketahui tiga titik : A (3,1), B (5,-2) dan (6,3)
a) Tentukan besar sudut-sudut segitiga ABC
b) Hitung luas segitiga ABC (untuk menghitung tingginya, ingat :
sin = 2
cos1
7. Buktikan bahwa : A x B =- B x A , tetapi A . B = B . A
8. Buktikan bahwa:
a. A . (= A x B = 0, dan B . (= A x B = 0, dengan dua
cara
i. dengan menghitungkan,
ii. dengan mengingat sifat A x B.
b.Secara umum A. (B x C) dapat ditulis sebagai diterminana
berordo 3 dari bilangan-bilangan arahnya :
321
321
321
ccc
aab
aaa
ini membuktikan lagi soal (a). Mengapa juga ini membuktikan
bahwa: A. (B x C) = B. (C x A) = C. (A x B) mengapa?.
9. Hitung luas segitiga yang titik sudutnya : A (1, 2, 3), B (2, -1, 1)
dan C (-2, 1, -1).
10. Hitung volume balok yang rusuknya ialah OA, OB, dan OC, dengan:
A (1, 2, 3), B (1, 1, 2) dan C (2, 1, 1).
108
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1997. Aljabar Linear Elementer (terjemahan). Jakarta: Erlangga.Edwin J
Purcell, dale varberg, “Kalkulus dan Geometri Analitis”, Jilid I Edisi 4Erlangga.
Ismail Basari,”Matematika I”.
N. Soemarjo, Dra . Prof, “Kalkulus Dasar”, Lembaga Penerbit FakultasEkonomi Universitas Indonesia.
Purell, Edwin J, “Calculus With Analyti Geometry”, Prentie-Hall, Inc, 1984.
Soehardjo, “Analisa Vektor”.
Sucipto E, “Matematika Untuk Perguruan Tinggi”.
Thomas, “Calculus and Analytic Geometri”.
Yoewono Moekidam, “Matematika II”, Bahan Kuliah Matematika UntukFakultas Teknologi.
Yusuf Yahya, Suryadi HS, Agus S, “Matematika Dasar Untuk PerguruanTinggi”, Serial Matematika dan Komputer Aski, Ghalia Indonesia .