DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA
description
Transcript of DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA
![Page 1: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/1.jpg)
DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA
2. Auditorne vježbe
Metode diskretizacije
![Page 2: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/2.jpg)
Metode diskretizacije
• Metoda s očuvanjem oblika odziva na jediničnu impulsnu pobudu (jedinični impuls; impulse-invariant)
• Metoda s očuvanjem oblika odziva na jediničnu odskočnu pobudu (jedinični skok; step-invariant; ZOH)
• Metoda usklađivanja polova i nula• Metoda s Eulerovim unaprijednim oblikom aproksimacije
operatora deriviranja• Metoda s Eulerovim unazadnim oblikom aproksimacije
operatora deriviranja• Metoda s bilinearnom aproksimacijom operatora
deriviranja• Tustinova metoda (Metoda s bilinearnom
aproksimacijom operatora deriviranja i koeficijentom predpodešavanja)
![Page 3: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/3.jpg)
Prednosti korištenja step-invariant (ZOH) metode
• Kvaliteta SAU procjenjuje se prema mjerama, omjerima i pokazateljima u vremenskoj domeni procjenjenima na osnovi prijelazne pojave u SAU
• Čuvanjem oblika prijelazne pojave u SAU ostaje zajamčena kvaliteta upravljanja
• Za ovu metodu ZOH rekonstruktor je “proziran”.• Transformiranjem kontinuiranog regulatora
dobiva se diskretan regulator čiji upravljački signal, rekonstruiran ZOH rekonstruktorom, na jednak način utjeće na objekt upravljanja
![Page 4: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/4.jpg)
Prednosti korištenja MPZ (matched pole zero) metode
• Očuvana su svojstva gušenja karakterističnih (neželjenih) frekvencija određenih polovima prijenosne funkcije objekta upravljanja u kontinuiranoj domeni
• Očuvana su svojstva izdizanja tj. ubrzavanja odziva uzrokovana nulama prijenosne funkcije objekta upravljanja u kontinuiranoj domeni
• Istovrijednost pojačanja u području propuštanja (najčešće NF) osigurava se faktorom predpodešavanja
![Page 5: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Zadatak
• Zadan je sustav:
• Diskretizirajte sustav:– metodom usklađenih polova i nula– metodom očuvanja oblika odziva na
jediničnu odskočnu funkciju (ZOH metoda)
... ako je vrijeme diskretizacije T = 0,8333[s]
3 2
1,5
8 19 12
sG s
s s s
![Page 6: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/6.jpg)
Rješenje 1. zadatka a) (1)
n = 3 <- broj polova
m = 1 <- broj nula
d = n–m = 3–1 = 2 <- polni višak
Preslikavanje nula i polovaNula Tip Pravilo Vrijednost
–1,5 real. exp(–0,125)
Polovi Tip Pravilo Vrijednost
–1 real. exp(–0,08333)
–3 real. exp(–0,25)
–4 real. exp(–0,3333)
exp Ps T
exp Ns T
exp Ps T
exp Ps T
![Page 7: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/7.jpg)
Rješenje 1. zadatka a) (2)
2 0,125
*
0,333 0,25 0,0833
e
e e e
z zG z K
z z z
• Polni višak• Nule izvorne prijenosne funkcije• Polovi izvorne prijenosne funkcije• Koeficijent podešavanja istovjetnosti statičkog pojačanja
![Page 8: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/8.jpg)
Rješenje 1. zadatka a) (3)• K* se podešava za NF, tj. za istovjetnost
statičkog pojačanja prijenosne funkcije, ako nije drukčije zadano
def !
**0 1
1lim ; lims z
G s K aK a G zK
0,125
*
0,25 0,0833 0,5833 0,4166 0,666
1,5 1
12 1
eK K
e e e e e
* 1,50,0053
12 23,4375K
![Page 9: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/9.jpg)
Rješenje 1. zadatka a) (4)• Konačni izračun koeficijenata prijenosne
funkcije u z-domeni, G(z):
3 0,125 2
3 0,25 0,0833 0,333 2 0,25 0,0833 0,333 0,333 0,666
e*
e e e e e e e e
z zG z K
z z z
3 2
3 2
0,0053 0,004707
2,415 1,934 0,5134
z zG z
z z z
• Usporediti sa riješenjem b) zadatka
![Page 10: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/10.jpg)
Rješenje 1. zadatka b) (1)
• Pogledati zadatak
• Potom rastav na parcijalne razlomke:
3 2
1,5 1,5
8 19 12 1 3 4
s sG s
s s s s s s
ZOH ZOH
1 3 4Z Z
1 3 4G z G s A B C
s s s
![Page 11: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/11.jpg)
Rješenje 1. zadatka b) (2)
• Izračun koeficijenata rastava na parcijalne razlomke:
3 4 0 7 21 28 0; 12 36 48 0A B C A B C A B C
12 12 12 1,5A B C 7 15 16 1A B C
7 21 28 0 12 36 48 0
7 15 16 1 12 12 12 1,5
6 12 1 24 36 1,5
A B C A B C
A B C A B C
B C B C
24 48 4B C
![Page 12: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/12.jpg)
Rješenje 1. zadatka b) (3)
24 48 4
24 36 1,5
B C
B C
• Rješavanje sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice
12 2,5C 5 15 3 15 3 12 1
2424 2 2 48 48 4
C B B
3 50
4 6A
10 9 1
12 12A
![Page 13: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/13.jpg)
Rješenje 1. zadatka b) (4)
• ZOH transformacija za osnovne prijenosne funkcije (PT1, PT2S itd.), tj. njihove normirane oblike radi se prema tablicama
ZOH ZOH ZOH
1 3 1 1 5 4Z Z Z
4 3 12 1 24 4G z
s s s
0,25 0,0833 0,333
0,25 0,0833 0,333
1 1 e 1 1 e 5 1 e
4 e 12 24e eG z
z z z
![Page 14: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/14.jpg)
Rješenje 1. zadatka b) (5)
• Sređivanje:
2
2 1 03 2
3 2 1
b z b z bG z
z a z a z a
0,25 0,0833 0,3332
13 6e 2e 5e
24b
0,0833 0,5833 0,25 0,4166 0,25 0,5833 0,0833 0, 41661
1 1 1 1 5 5 5 5e e e e e e e e
4 4 12 12 24 24 24 24b
0,4166 0,5833 0,333 0,6660
16e 2e 5e 3e
24b
0,25 0,0833 0,3332 e e ea
0,25 0,0833 0,333 0,3331 e e e ea
0,6660 ea
![Page 15: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/15.jpg)
Rješenje 1. zadatka b) (6)
• Konačno rješenje:
2
2 1 03 2
3 2 1
b z b z bG z
z a z a z a
b2 b1 b0
0,0029068 – 0,2672332 – 0.0021414
a3 a2 a1 a0
1 –2,4154 1,9338 –0,5134
![Page 16: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/16.jpg)
2. Zadatak• Kontinuirani SISO sustav prikazan slikom 1 valja diskretizirati:
– Metodom usklađenih polova i nula sa predpodešavanjem pojačanja tako da kontinuiran i diskretan sustav imaju isto pojačanje na prirodnoj frekvenciji zatvorenog kruga
– Metodom Tustinove bilinearne transformacije– Metodom Tustinove bilinearne transformacije sa predpodešavanjem
frekvencije na vrijednost prirodne frekvencije zatvorenog kruga• Vrijeme uzorkovanja je T = 1 [s].
![Page 17: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/17.jpg)
Rješenje 2. zadatka međurezultati
• Nalazimo prijenosnu funkciju u kontinuiranoj domeni čitavog sustava predstavljenog blok shemom
2
2 2
3 22
22
2
11 1
1 122 1
1 3 4 22 11 11 1 2
12
ss s ss
ss s s s sG ss s ss s s s
s s s ss ss
s s
3 2 2
2 2 2 20 0
20 0
3 4 2 1 2 2
12 2 2 1 2 2 1
2
1 2 2; ; 2 1;
2 2 2
s sG s
s s s s s s
s s s s s s
![Page 18: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/18.jpg)
Rješenje 2. zadatka a) (1)
n = 3 <- broj polova
m = 1 <- broj nula
d = n–m = 3–1 = 2 <- polni višak
Preslikavanje nula i polovaNula Tip Pravilo Vrijednost
0 real. 1
Polovi Tip Pravilo Vrijednost
–1 real. exp(–0,08333)
–1+i konj. kompl. exp(–1)cis(1)
–1 –i konj. kompl. exp(–1)cis(–1)
exp Ps T
exp Ns T
exp Ps T
exp Ps T
![Page 19: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/19.jpg)
Rješenje 2. zadatka a) (2)
• Polni višak• Nule izvorne prijenosne funkcije• Polovi izvorne prijenosne funkcije• Koeficijent podešavanja istovjetnosti statičkog pojačanja
2*
1 1 1
2*
1 2 1 2 2 2
2*
1 2 1 2
1
e e cos1 sin1 e cos1 sin1
1
e e cos1 sin1 cos1 sin1 e cos 1 sin 1
1
e 2e cos1 e
z zG z K
z z j z j
z zK
z z z j j
z zK
z z z
![Page 20: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/20.jpg)
Rješenje 2. zadatka a) (3)• K* se podešava za prirodnu frekvenciju
zatvorenog kruga n
0
def !*
0 *0 e
1lim ; lim
j Ts zG j K aK a G z
K
0
2 22 30 0 0
2 22 51 512 2
21 98 51 162 3 44 16 8
K
0* e
0 0 0 0
1 1 2 10 0 0 0 0 0
1lim
cos 2 sin 2 cos 1 sin
cos e sin cos 2 2e cos1cos e sin 2 2e cos1sin
jzG z
K
j j
j j
![Page 21: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/21.jpg)
Rješenje 2. zadatka a) (4)
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 1 1 2 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
*e
cos 2 cos 1 sin 2 sin sin 2 cos 1 sin cos 2
cos e cos 2 2e cos1cos e sin sin 2 2e cos1sin sin cos 2 2e cos1cos e sin 2 2e cos1sin cos e
1lim
z
j
j
K
j 0
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 21 1 2 1 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
cos 2 cos 1 sin 2 sin sin 2 cos 1 sin cos 2
cos e cos 2 2e cos1cos e sin sin 2 2e cos1sin sin cos 2 2e cos1cos e sin 2 2e cos1sin cos eG z
• Složeno i nepregledno, koristiti Matlab ili neki drugi paket za numeričku i simboličku matematiku
j 0
**
e
*
1 51 51lim 1,2505854 K=
2 2 1,2505854
2,855234
zG z K
K
K
![Page 22: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/22.jpg)
Rješenje 2. zadatka a) (5)• Konačni izračun koeficijenata prijenosne
funkcije u z-domeni, G(z):
3 2
3 1 2 2 32,855234
e 2cos1 1 e 2cos1 1 e
z zG z
z z z
3 2
3 2
2,855234 2,855234
0,765412 0,281579 0,049787
z zG z
z z z
![Page 23: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/23.jpg)
Rješenje 2. zadatka b) (1)
• Supstitucija operatora deriviranja s bilinearnim (Tustinovim) operatorom proizašlim iz bilinearne numeričke aproksimacije mjere nagiba linearnog spline-a: 2(z-1)/T/(z+1)
3 2
33 2 2 2
3 3 3 3
2 1
3 4 2 11
21
8 3 3 1 4 2 1 1 2 1 2 1 13 4 2
1 4 1 1 1
s zG s s
s s s T zzzG z
z z z z z z z z z z
z z z z
![Page 24: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/24.jpg)
Rješenje 2. zadatka b) (2)
2
3 2 3 2 3 2 3 2
2 1 2 1
8 24 24 8 12 1 8 1 2 6 6 2
z z zG z
z z z z z z z z z z z z
• Potpuno drugačije od rezultata dobivenog transformacijom uz očuvanje frekvencijskih utjecaja polova i nula kontinuirane funkcije: unešeni “numerički” polovi, i funkcija nije ispravno ponderirana po pojačanju
3 2
3 2
2 2 2 2
30 22 10 2
z z zG z
z z z
![Page 25: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/25.jpg)
Rješenje 2. zadatka c) (1)
• Supstitucija operatora deriviranja s bilinearnim (Tustinovim) operatorom i predpodešavanje po frekvenciji 0
03 2
0
33 2 2 2
3 3 3 3
21 1 12 1,915964
3 4 2 1 1 12tan tan2 4
11,915964
17,033345 3 3 1 3,670918 2 1 1 1,915964 1 2 1 1
3 4 21 4 1 1 1
s z z zG s s
Ts s s z z z
zzG z
z z z z z z z z z z
z z z z
![Page 26: DIGITALNI SUSTAVI UPRAVLJANJA](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061604/56815907550346895dc639d1/html5/thumbnails/26.jpg)
Rješenje 2. zadatka c) (2)
2
3 2 3 2 3 2 3 2
1,915964 1 2 1
7,033345 3 3 1 3 3,670918 1 4 1,915964 1 2 6 6 2
z z zG z
z z z z z z z z z z z z
• Uočiti promjene u izrazu, zbog višestrukog potenciranja (3. potencija, 2. potencija, različita linearna kombinacija) relativno malo različitog korekcijskog faktora u Tustinovoj transformaciji s predpodešavanjem
3 2
3 2
1,915964 1,915964 1,915964 1,915964
27,709953 18,4489326 8,4234277 2
z z zG z
z z z