perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL ENDEMIK .../Model... · perpustakaan.uns.ac.id...
Click here to load reader
Transcript of perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL ENDEMIK .../Model... · perpustakaan.uns.ac.id...
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED
(SIR) DENGAN IMIGRASI, VAKSINASI DAN SANITASI
oleh
ANITA KESUMA ARUM
M0108030
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2012
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Anita Kesuma Arum. 2012. MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE INFEC-
TED RECOVERED (SIR) DENGAN IMIGRASI VAKSINASI DAN SANITASI.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Masalah penyebaran penyakit dapat dijelaskan dengan menggunakan mo-
del matematika. Model matematika yang dimaksud yaitu model SIR. Ada dua
jenis model SIR yaitu model epidemik SIR dan model endemik SIR. Model epi-
demik SIR tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit
menyebar dalam waktu yang singkat, sedangkan model endemik SIR memper-
hatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit menyebar dalam kurun
waktu yang lama. Imigrasi merupakan faktor yang dapat mempengaruhi penye-
baran penyakit. Selain faktor imigrasi, upaya pencegahan yang dilakukan seperti
program vaksinasi dan program sanitasi juga dapat mempengaruhi penyebaran
suatu penyakit.
Tujuan penulisan ini adalah mengkonstruksikan model endemik SIR dengan
imigrasi, vaksinasi dan sanitasi serta menentukan titik kesetimbangan dan tipe
kestabilan titik kesetimbangan tersebut.
Model SIR berupa sistem autonomous persamaan diferensial nonlinier orde
satu. Penyelesaian model tersebut berupa jumlah individu tiap kelompok S,I
dan R tiap saat. Penyelesaian dimana jumlah individu susceptible, infected dan
recovered tetap sepanjang waktu disebut titik kesetimbangan. Dari pembahas-
an diperoleh dua jenis titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan endemik
dan bebas penyakit. Untuk mengetahui kestabilan titik kesetimbangan dapat
dilihat dari nilai eigen matriks Jacobian sistem di titik kesetimbangan atau mela-
lui perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Simulasi
menunjukkan bahwa faktor sanitasi dapat menurunkan jumlah penderita serta
mempersingkat waktu yang dibutuhkan penyakit untuk menyebar dalam suatu
wilayah.
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Anita Kesuma Arum. 2012. ENDEMIC SUSCEPTIBLE INFECTED RE-
COVERED (SIR) MODEL WITH IMMIGRATION VACCINATION AND SA-
NITATION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Uni-
versity.
The disease outbreak problem can be explained using a mathematical model.
The mathematical model mentioned is the model of SIR. There are two classic
SIR models, namely SIR epidemic model and SIR endemic model. SIR epidemic
models are used to describe the rapid outbreak, while the SIR endemic models are
used for studying disease over longer periods. Immigration is a factor that able to
influence the disease outbreak. In addition, prevention efforts such as vaccination
programs and sanitation programs can also affect the disease outbreak.
The purposes of this research are to construct model of endemic SIR with
immigration, vaccination and sanitation and to find the type of equilibrium points
and the stability of the equilibrium points.
The SIR model is an autonomous system of nonlinear first-order differential
equations. The solution of the model which the number of individuals susceptible,
infected and recovered are fixed all the time is called the equilibrium point. Based
on the discussion, there are two types of equilibrium point that is the point of
endemic equilibrium and disease-free equilibrium. The stability of the equilibrium
point can be obtained by the eigenvalue of the Jacobian matrix system at the
equilibrium point or through the behavioral trajectory around the equilibrium
point in the phase plane. Simulations show that the factor of sanitation can
reduce the number of infected individuals, and can shorten the time required for
the spread of disease within a region.
iv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Bapak Dr. Sutanto, DEA. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Purnami
Widyaningsih, M.App.Sc selaku Pembimbing II yang telah membimbing
dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini.
2. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.
Surakarta, September 2012
Penulis
v
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk
Bapak, Ibu, Kakak, serta saudara kembar saya sebagai wujud atas doa,
semangat, dan pengorbanan yang diberikan.
vi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II LANDASAN TEORI 5
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Sistem Autonomous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Bidang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Model Endemik SIR dengan Imigrasi dan Vaksinasi . . . . 7
2.2.4 Kesetimbangan dan Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . 9
vii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.3 Kerangka Berpikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IIIMETODE PENELITIAN 14
IVPEMBAHASAN 16
4.1 Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Penerapan Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
V PENUTUP 27
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
DAFTAR PUSTAKA 29
viii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR TABEL
2.1 Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen . . . . . . . . . . . . . 12
4.1 Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H . . . . . . . . . . . 26
ix
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
DAFTAR GAMBAR
2.1 Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan vak-
sinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Trajektori pada bidang fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sa-
nitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Jumlah individu S dan R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Jumlah individu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Trajektori di sekitar titik kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Penurunan puncak endemik H=0 (kiri), H=0.25,0.5,0.75,1 (kanan) 26
x
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Penyakit infeksi seperti rubella, measles, mumps, pertussis, cacar air dan
hepatitis merupakan penyakit infeksi yang berbahaya. Kinbaby [13] menyebut-
kan bahwa penyakit tersebut berbahaya karena dapat mengakibatkan komplikasi,
kerusakan organ tubuh, cacat, kelumpuhan bahkan kematian. Penyakit tersebut
disebabkan oleh virus yang dapat menyerang siapa saja. Penyebaran penyakit
ini dapat melalui udara, batuk atau bersin, makanan, minuman dan kotoran
manusia. Bagi anak-anak gejala yang ditimbulkan dari penyakit ini memang
tidak begitu berbahaya, namun pada orang dewasa khususnya pada ibu hamil
gejala tersebut bisa menjadi sangat berbahaya.
Piccolo dan Billings [15] menyebutkan penyakit infeksi seperti cacar air,
rubella, measles, mumps dan pertussis merupakan masalah yang dihadapi setiap
negara di dunia. Pada kota-kota besar imigrasi merupakan suatu hal yang wajar
dan sering terjadi, sehingga faktor imigran menjadi salah satu faktor yang dapat
mempengaruhi penyebaran suatu penyakit di wilayah tersebut. Individu baru
yang masuk ke suatu wilayah mungkin membawa penyakit dari daerah sebelum-
nya, sehingga individu tersebut dapat menularkan penyakit pada individu lain
dalam daerah baru.
Penyakit infeksi tersebut bersifat endemik yaitu menyebar dalam kurun
waktu yang lama, sehingga dapat menimbulkan kerugian yang cukup besar. De-
ngan demikian perlu dilakukan upaya untuk menurunkan jumlah penderita. Upa-
ya pencegahan penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan vaksinasi. Vaksinasi
diberikan pada individu susceptible atau individu yang rentan terhadap penyakit.
Program vaksinasi diharapkan dapat meningkatkan imunitas tubuh, sehingga in-
1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dividu menjadi kebal terhadap suatu penyakit. Menurut WHO [16], pemberian
vaksin MMR (Measles, Mumps, Rubella) telah terbukti dapat menekan jumlah
kematian yang disebabkan penyakit measles, mumps dan rubella.
Pada umumnya, suatu penyakit akan cepat menyebar apabila didukung oleh
keadaan lingkungan yang tidak sehat. Lingkungan yang tidak sehat ini dikare-
nakan kurangnya akses masyarakat terhadap sanitasi serta kurangnya pelayanan
kesehatan pada daerah tersebut. Menurut CDC [17], pada dasarnya sanitasi di-
gambarkan sebagai suatu akses terhadap fasilitas pembuangan yang aman dari
kotoran manusia (tinja dan urine), serta memiliki kemampuan untuk memper-
tahankan kondisi higienis. Hetchote [9] menyebutkan bahwa, perbaikan sanitasi
dapat mengurangi laju penyebaran penyakit. Upaya pencegahan penyebaran
penyakit dapat dilakukan dengan meningkatkan sanitasi seperti mencegah ter-
kontaminasinya makanan dan air oleh tinja, mencuci tangan setelah buang air
besar dan sebelum makan, menjaga kebersihan saluran pembuangan, pengelolaan
sampah rumah tangga serta gaya hidup sehat.
Menurut CDC [17], sanitasi total meliputi sumber air bersih, gaya hidup se-
hat dan saluran pembuangan. Tingkat sanitasi dapat dilihat dari jumlah individu
yang sakit tiap tahunnya. Hal ini berkorelasi dengan fasilitas sanitasi yang ada
pada suatu daerah. Apabila di daerah tersebut banyak individu yang sakit tiap
tahunnya, maka tingkat sanitasi di daerah tersebut kurang baik dan begitu pula
sebaliknya. Guimaraens dan Codeco [6] menyebutkan bahwa daerah yang memi-
liki tingkat sanitasi rendah dapat menyebabkan endemik bagi penyakit hepatitis
A. Selain hepatitis A, penyakit cacar air juga menjadi endemik pada daerah yang
memikiki tingkat sanitasi yang rendah.
Masalah penyebaran penyakit dengan upaya pencegahannya dapat digam-
barkan dengan model matematika. Masalah tersebut dibentuk ke dalam model
matematis dengan asumsi-asumsi dan parameter yang telah ditentukan. Pada
beberapa kasus, individu yang rentan penyakit dapat terinfeksi. Kemudian de-
ngan pengobatan medis atau proses alam, individu terinfeksi akan sembuh dan
diharapkan kebal terhadap penyakit. Menurut Kermak dan McKendrick [11],
2
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
pola penyebaran penyakit seperti ini dapat dijelaskan melalui model susceptible,
infected, recovered (SIR).
Menurut Hethcote [8] ada dua model SIR klasik yaitu model epidemi SIR
dan model endemik SIR. Karena penyakit ini bersifat endemik maka permasa-
lahan penyebaran penyakit ini dapat dimodelkan dengan model endemik SIR.
Kermack dan McKendrick [11] menyebutkan bahwa model endemik SIR berben-
tuk sistem autonomous persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian
sistem tersebut menyatakan jumlah individu susceptible (S ), infected (I ) dan
recovered (R) setiap saat. Dengan demikian penyelesaian sistem tersebut dapat
menjelaskan tentang bagaimana penyebaran penyakit pada suatu wilayah. Penye-
lesaian sistem dengan sifat tertentu dimana jumlah individu susceptible, infected
dan recovered tetap sepanjang waktu disebut titik kesetimbangan. Selanjutnya
perlu diketahui sifat kestabilan dari titik kesetimbangan tersebut untuk menge-
tahui bagaimana perilaku penyelesaian di sekitar titik kesetimbangan tersebut.
Piccolo dan Billings [15] telah meneliti tentang model endemik susceptible,
infected, recovered SIR yang mempertimbangkan faktor imigrasi dan vaksinasi
dengan keefektifan vaksin 100%. Dalam hal ini, penulis ingin mengembangkan
model endemik susceptible, infected, recovered (SIR) yang mempertimbangkan
faktor imigrasi dan vaksinasi dengan keefektifan vaksin yang tidak 100% serta
menambahkan faktor sanitasi dalam model. Selain itu penulis juga tertarik un-
tuk mengetahui titik kesetimbangan serta kestabilan titik kesetimbangan model
tersebut. Kemudian diberikan pula suatu contoh kasus untuk menginterpretasi-
kan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil tiga perumusan
masalah yaitu
1. bagaimana menurunkan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan
sanitasi?
3
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2. bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan di titik kese-
timbangan?
3. bagaimana interpretasi model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan
sanitasi pada suatu kasus?
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada fungsi sanitasi
dengan nilai konstanta proporsionalitas pada fungsi tersebut lebih kecil atau sama
dengan tingkat rata-rata kontaknya.
1.4 Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk
1. menurunkan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi,
2. menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan di titik kesetimbangan,
3. menginterpretasikan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan
sanitasi pada suatu kasus.
1.5 Manfaat
Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang pengaruh
imigrasi, vaksinasi, serta sanitasi terhadap penyebaran penyakit dilihat dari sudut
pandang matematika.
4
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab II
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian sebe-
lumnya yang mendasari penelitian ini, teori penunjang yang berisi definisi dan
teori yang diperlukan serta kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran
penulisan skripsi.
2.1 Tinjauan Pustaka
Model SIR pertama kali diperkenalkan pada tahun 1927 oleh Kermack dan
McKendrick [11]. Model ini berbentuk sistem autonomous persamaan diferensial.
Menurut Hethcote [8], ada dua model SIR yaitu model epidemik SIR dan model
endemik SIR. Model epidemik SIR digunakan untuk menggambarkan penyebaran
suatu penyakit yang bersifat epidemik, sedangkan model endemik SIR digunakan
untuk menggambarkan penyebaran suatu penyakit yang bersifat endemik. Model
SIR sendiri telah dikembangkan oleh beberapa ilmuwan lain seperti Piccolo dan
Billings [15], Guimaraens dan Codeco [6] untuk mempelajari penyebaran penyakit
pada kasus-kasus tertentu.
Dalam artikelnya, Piccolo dan Billings [15] telah mempelajari tentang pe-
ngaruh vaksinasi pada model SIR dengan imigrasi. Vaksinasi pada model tersebut
memiliki keefektifan vaksin 100%. Kemudian pada tahun 2005, dalam artikelnya
Guimaraens dan Codeco [6] meneliti tentang pengaruh sanitasi pada penyebaran
penyakit dengan model SIR dengan vaksinasi. Mereka mempelajari tentang pe-
nyebaran penyakit hepatitis A pada masyarakat Brazil yang sangat kurang dalam
pelayanan kesehatan dan kebersihan.
Penulis tertarik untuk mengembangkan model SIR dengan mempertim-
bangkan faktor imigrasi dan vaksinasi seperti yang dikembangkan oleh Piccolo
5
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dan Billings [15], namun dengan keefektifan vaksin yang tidak 100%. Kemudian
model tersebut ditambahkan dengan faktor sanitasi seperti yang ditulis oleh Gui-
maraens dan Codeco [6]. Hal tersebut merupakan pengembangan dari yang telah
dilakukan Arum dan Kuntari [1] yang membahas tentang simulasi level sanitasi
pada model SIR dengan imigrasi dan vaksinasi.
2.2 Teori Penunjang
Pada bagian ini dijelaskan definisi dan teori yang mendukung dalam menca-
pai tujuan penulisan. Selanjutnya diberikan definisi sistem autonomous, bidang
fase, model endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi, kesetimbangan serta
kestabilan.
2.2.1 Sistem Autonomous
Sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu yang terdiri dari tiga
persamaan mempunyai bentuk umum
dS
dt=f1(S, I, R)
dI
dt=f2(S, I, R)
dR
dt=f3(S, I, R),
(2.1)
dengan variabel S, I, dan R bergantung pada t. Fungsi f1, f2, f3 merupakan per-
samaan nonlinear yang kontinu. Dengan demikian ada jaminan bahwa sistem
(2.1) memiliki penyelesaian. Menurut Boyce [3], suatu sistem persamaan diferen-
sial dimana variabel bebas t tidak muncul secara eksplisit pada f1, f2, f3 disebut
sistem autonomous.
2.2.2 Bidang Fase
Farlow [4] menyebutkan bahwa tidak semua sistem persamaan nonlinear
dapat diselesaikan dengan mudah. Oleh karena itu dibutuhkan suatu alat yang
6
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dapat membantu memberikan informasi tentang perilaku penyelesaian sistem no-
nlinier tersebut. Dalam hal ini trajektori pada bidang fase dapat digunakan untuk
mengetahui perilaku penyelesaian sistem.
Sistem (2.1) terdiri dari tiga persamaan diferensial orde satu yaitu
dS
dt= f1(S, I, R),
dI
dt= f2(S, I, R),
dR
dt= f3(S, I, R).
Sistem (2.1) memiliki tiga kemungkinan persamaan bidang fase yaitu dSdI,dSdR
, dan
dIdR
. Ambil contoh persamaan bidang fase dSdI. Persamaan bidang fase dS
dIyaitu
dS
dI=
f1(S, I, R)
f2(S, I, R). (2.2)
Penyelesaian persamaan bidang fase (2.2) tersebut dapat digambarkan sebagai
kurva pada bidang S−I. Untuk selanjutnya bidang S−I tersebut disebut bidang
fase. Sedangkan kurva yang dibentuk oleh penyelesaian persamaan bidang fase
(2.2) yang disajikan pada bidang fase disebut trajektori.
2.2.3 Model Endemik SIR dengan Imigrasi dan
Vaksinasi
Penyakit yang bersifat endemik merupakan suatu penyakit yang menyebar
pada suatu wilayah tertentu dalam kurun waktu yang lama. Menurut Hethcote
[8], penyebaran penyakit endemik dapat dimodelkan kedalam model matematika
yang disebut model endemik SIR. Karena terjadi dalam kurun waktu yang lama,
faktor kelahiran dan kematian diperhatikan dalam model tersebut. Kemudian
Piccolo dan Bilings [15] mengembangkan model endemik SIR dengan menam-
bahkan faktor imigran dan vaksinasi. Dalam hal ini imigrasi dan program vak-
sinasi juga memberikan pengaruh pada penyebaran suatu penyakit.
Menurut Hethcote [8], populasi pada model endemik SIR dengan imigrasi
dan vaksinasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu susceptible
atau individu yang rentan penyakit (S), kelompok individu infected atau individu
yang terinfeksi penyakit serta dapat menyebarkan penyakit ke sejumlah individu
lain (I) dan kelompok individu recovered atau individu yang sudah sembuh atau
7
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
bebas dari penyakit (R). Berikut adalah asumsi yang digunakan pada model
endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi.
1. Jumlah individu pada populasi konstan.
2. Setiap individu lahir dan imigran dalam keadaan sehat tetapi rentan pe-
nyakit.
3. Populasi bercampur secara homogen, artinya setiap individu memiliki ke-
mungkinan yang sama tertular suatu penyakit.
4. Hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi dengan masa inkubasi
penyakit diabaikan.
5. Tidak terjadi emigrasi pada daerah tersebut.
6. Vaksinasi hanya diberikan pada individu susceptible, dengan keefektifan
vaksin 100%.
Karena diasumsikan populasi konstan, sehingga jumlah individu pada po-
pulasi tersebut tetap atau S(t)+I(t)+R(t) = N . Misal tingkat kelahiran sebesar
µ1, dan tingkat individu imigran sebesar µ2. Oleh karena itu jumlah individu lahir
dan jumlah individu imigran pada daerah tersebut sebesar µ1N dan µ2N . Ting-
kat kematian dalam tiap kelompok sama dengan tingkat kelahiran dan tingkat
imigrasi yaitu (µ1+µ2). Misal tingkat vaksinasi pada individu lahir dan individu
imigran sebesar σ1 dan σ2. Dengan demikian jumlah individu lahir dan imigran
yang divaksin yaitu sebesar σ1µ1N dan σ2µ2N . Karena diasumsikan bahwa ke-
efektifan vaksin 100%, maka individu yang telah berhasil divaksin langsung ma-
suk pada kelompok R.
Individu dapat terinfeksi suatu penyakit jika ada kontak antara individu
infected dengan susceptible. Misal tingkat rata-rata kontak sebesar β dan tingkat
kesembuhan penyakit sebesar γ. Karena setiap individu memiliki kemungkinan
yang sama tertular suatu penyakit, maka kemungkinan jumlah individu suscep-
tible yang pindah ke kelompok I sebesar βSI
N. Sedangkan jumlah individu yang
sembuh sebesar γI. Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan
8
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vaksinasi disajikan dalam Gambar 2.1. Perubahan jumlah individu S, I dan R
Gambar 2.1. Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan
vaksinasi
setiap saat disajikan sebagai
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (µ1 + µ2)S −
βSI
N− (σ1µ1 + σ2µ2)
dI
dt=
βSI
N− (µ1 + µ2)I − γI
dR
dt= γI − (µ1 + µ2)R + (σ1µ1 + σ2µ2).
(2.3)
Sistem persamaan diferensial (2.3) merupakan model endemik SIR dengan vak-
sinasi dan imigrasi.
2.2.4 Kesetimbangan dan Kestabilan
Panfilov [14] menyebutkan bahwa titik kesetimbangan dari suatu sistem
merupakan suatu titik saat sistem tidak mengalami perubahan sepanjang wak-
tu. Definisi titik kesetimbangan secara matematis disajikan pada Definisi 2.2.1
berikut.
Definisi 2.2.1. Titik (S∗, I
∗, R
∗) merupakan titik kesetimbangan sistem (2.1) jika
memenuhi
f1(S∗, I
∗, R
∗) = f2(S∗, I
∗, R
∗) = f3(S∗, I
∗, R
∗) = 0.
Titik kesetimbangan merupakan salah satu penyelesaian dari suatu sistem
persamaan diferensial. Perilaku kestabilan di sekitar titik kesetimbangan dapat
9
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
memberikan informasi tentang perilaku penyelesaian sistem tersebut. Menurut
Finizio dan Ladas [5], titik kesetimbangan yang stabil berarti jika terjadi per-
ubahan kecil pada titik kesetimbangan maka akan memberikan pengaruh kecil
pada penyelesaian. Sedangkan stabil asimtotis berarti pengaruh dari perubahan
kecil tersebut cenderung menghilang, dan suatu titik kesetimbangan yang tidak
stabil berarti perubahan kecil yang terjadi pada titik kesetimbangan tersebut
memiliki pengaruh besar dalam penyelesaiannya.
Jika (S, I, R) merupakan suatu titik disekitar titik kesetimbangan (S∗, I
∗, R
∗)
pada sistem (2.1), maka (S, I, R) secara matematis dapat dituliskankan sebagai
(S, I, R) = (S∗ +∆S, I∗ +∆I, R
∗ +∆R).
Dengan demikian perubahan titik kesetimbangan pada sistem (2.1) dapat
dituliskan sebagai
dS
dt=f1(S
∗ +∆S, I∗ +∆I, R
∗ +∆R)
dI
dt=f2(S
∗ +∆S, I∗ +∆I, R
∗ +∆R)
dR
dt=f3(S
∗ +∆S, I∗ +∆I, R
∗ +∆R).
(2.4)
Menurut Khamsi [12], fungsi nonlinear f1, f2, f3 pada sistem (2.4) dapat didekati
dengan menggunakan ekspansi deret Taylor
f1(S, I,R) ≈ f1(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)
∂f1(S∗, I∗, R∗)
∂S+ (I − I∗)
∂f1(S∗, I∗, R∗)
∂I+
(R −R∗)∂f1(S
∗, I∗, R∗)
∂R
f2(S, I,R) ≈ f2(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)
∂f2(S∗, I∗, R∗)
∂S+ (I − I∗)
∂f2(S∗, I∗, R∗)
∂I+
(R −R∗)∂f2(S
∗, I∗, R∗)
∂R
f3(S, I,R) ≈ f3(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)
∂f3(S∗, I∗, R∗)
∂S+ (I − I∗)
∂f3(S∗, I∗, R∗)
∂I+
(R −R∗)∂f3(S
∗, I∗, R∗)
∂R.
Karena (S∗, I
∗, R
∗) merupakan titik kesetimbangan maka berdasarkan
Definisi 2.2.1 berlaku
f1(S∗, I
∗, R
∗) = f2(S∗, I
∗, R
∗) = f3(S∗, I
∗, R
∗) = 0.
10
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Dengan demikian sistem (2.1) dapat didekati sebagai sistem linear
dS
dt=
∂f1(S∗, I∗, R∗)
∂S∆S +
∂f1(S∗, I∗, R∗)
∂I∆I +
∂f1(S∗, I∗, R∗)
∂R∆R
dI
dt=
∂f2(S∗, I∗, R∗)
∂S∆S +
∂f2(S∗, I∗, R∗)
∂I∆I +
∂f2(S∗, I∗, R∗)
∂R∆R
dR
dt=
∂f3(S∗, I∗, R∗)
∂S∆S +
∂f3(S∗, I∗, R∗)
∂I∆I +
∂f3(S∗, I∗, R∗)
∂R∆R.
(2.5)
Sistem linear (2.5) dapat disajikan dalam bentuk matriks
dSdt
dIdt
dRdt
=
∂f1(S∗,I∗,R∗)∂S
∂f1(S∗,I∗,R∗)∂I
∂f1(S∗,I∗,R∗)∂R
∂f2(S∗,I∗,R∗)∂S
∂f2(S∗,I∗,R∗)∂I
∂f2(S∗,I∗,R∗)∂R
∂f3(S∗,I∗,R∗)∂S
∂f3(S∗,I∗,R∗)∂I
∂f3(S∗,I∗,R∗)∂R
∆S
∆I
∆R
= J(S∗, I
∗, R
∗)
∆S
∆I
∆R
.
(2.6)
Matriks J(S∗, I
∗, R
∗) pada sistem (2.6) merupakan matriks Jacobian. Menurut
Bellomo dan Preziosi [2] nilai eigen dari matriks Jacobian pada sistem (2.6) dapat
digunakan untuk menentukkan tipe kestabilan di titik kesetimbangan. Berikut
ini teorema yang menyatakan hal tersebut.
Teorema 2.2.1. Jika λi merupakan nilai eigen matriks Jacobian J(S∗, I
∗, R
∗)
yang dievaluasi pada titik kesetimbangan (S∗, I
∗, R
∗) dan Re(λi) adalah real dari
λi maka
1. untuk setiap Re(λi) < 0, (S∗, I
∗, R
∗) disebut stabil asimtotis,
2. untuk setiap Re(λi) > 0, (S∗, I
∗, R
∗) disebut tidak stabil.
Kriteria kestabilan titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen dari ma-
triks Jacobian disajikan pada Tabel 2.1. Selain dengan menggunakan nilai eigen
matriks Jacobian, kestabilan titik kesetimbangan dapat dilihat dari perilaku tra-
jektori pada bidang fase. Menurut Haberman [7] apabila arah trajektori menuju
titik kesetimbangan maka titik kesetimbangan tersebut stabil, sebaliknya apabila
arah trajektori menjauhi titik kesetimbangan maka titik kesetimbangan tersebut
tidak stabil. Trajektori pada bidang fase disajikan pada Gambar 2.2.
11
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen
Nilai eigen. Titik Kestabilan
real, tidak sama, simpul stabil asimtotis : semuanya negatif
bertanda sama tidak stabil : semuanya positif
real, tidak sama, sadel tidak stabil
berlawanan tanda
real, sama simpul stabil asimtotis : semuanya negatif
tidak stabil : jika semuanya positif
kompleks konjugate spiral stabil asimtotis : bagian real negatif
bukan imajiner murni tidak stabil : bagian real positif
imajiner murni pusat stabil
2.3 Kerangka Berpikir
Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun kerangka pemikiran sebagai
berikut. Model susceptible, infected, recovered (SIR) merupakan salah satu model
matematika yang menyatakan pola penyebaran penyakit. Dengan asumsi-asumsi
tertentu model tersebut dapat digunakan untuk masalah yang memenuhi asumsi
tersebut.
Penyakit infeksi seperti hepatitis, rubella, measles, mumps, hepatitis, cacar
air dan pertussis merupakan penyakit infeksi yang dapat dimodelkan dengan
model SIR. Penyakit tersebut bersifat endemik, oleh karena itu faktor kelahiran,
kematian perlu diperhatikan dalam model. Selanjutnya individu imigran juga
dapat mempengaruhi penyebaran suatu penyakit, untuk itu faktor imigrasi perlu
diperhatikan dalam model.
Upaya penekanan laju penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan vak-
sinasi. Dengan demikian, untuk selanjutnya vaksinasi juga akan diperhatikan
dalam model. Namun pada nyatanya, pemberian vaksin saja tidak cukup un-
tuk menurunkan jumlah penderita. Hal ini dikarenakan beberapa faktor, seperti
keefektivitasan vaksinasi dan faktor sanitasi yang kurang baik. Pada beberapa
penyakit infeksi seperti cacar air, faktor sanitasi merupakan suatu faktor yang
12
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Gambar 2.2. Trajektori pada bidang fase
sangat berpengaruh dalam penyebaran penyakit. Oleh karena itu faktor sanitasi
akan dimasukkan ke dalam model.
Model endemik SIR berupa sistem autonomous persamaan diferensial non-
linear orde satu. Perilaku sistem dapat diamati dengan menganalisis kestabilan
di titik kesetimbangannya. Tipe kestabilan pada model SIR dapat ditentukan
dari nilai eigen matriks Jacobian di titik kesetimbangan atau dapat diamati dari
perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Selanjutnya
model diinterpretasikan dalam permasalahan nyata.
13
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi
literatur. Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan dalam pene-
litian ini adalah sebagai berikut.
1. Mempelajari keadaan, perilaku, interaksi, serta kejadian dalam suatu popu-
lasi konstan dimana terdapat individu imigran dengan individu didalamnya
telah diberi vaksinasi, dan program sanitasi.
2. Menentukan asumsi, dan parameter yang diperlukan untuk mengkonstruksi
model.
3. Mengkonstruksi model berdasarkan asumsi, dan parameter yang telah di-
tentukan.
Langkah 1-3 dilakukan untuk mencapai tujuan pertama.
4. Menentukan titik kesetimbangan dari model SIR dengan imigrasi, vaksinasi
dan sanitasi menggunakan Definisi 2.2.1
5. Menganalisis tipe kestabilan di titik kesetimbangan menggunakan Teorema
7.1 dan Tabel 2.1.
Langkah 4-5 dilakukan untuk mencapai tujuan kedua.
6. Menentukan nilai parameter pada contoh yang diamati kemudian menen-
tukan titik kesetimbangan serta kestabilan di titik kesetimbangan.
7. Menggambarkan grafik penyelesaian untuk membantu mendeskripsikan pe-
rilaku penyelesaian model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi.
8. Melakukan simulasi numerik menggunakan nilai parameter yang bervariasi
untuk mengetahui perubahan puncak endemik.
14
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
9. Membandingkan hasil-hasil perubahan puncak endemik yang diperoleh dari
langkah (8)
10. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh.
Langkah 6-10 dilakukan untuk mencapai tujuan ketiga.
15
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab IV
PEMBAHASAN
4.1 Konstruksi Model
Konstruksi model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi
mengacu pada Piccolo dan Billings [15]. Penyebaran penyakit terjadi pada suatu
daerah dengan asumsi dasar yang sama dengan asumsi pada model endemik SIR
dengan imigrasi dan vaksinasi menurut Piccolo dan Billings [15].
Telah diasumsikan populasi konstan, sehingga jumlah individu pada popu-
lasi tersebut tetap atau S(t)+ I(t)+R(t) = N . Tingkat kelahiran pada populasi
tersebut sebesar µ1, sedangkan tingkat individu yang masuk ke daerah tersebut
(imigran) sebesar µ2. Tingkat kematian dalam tiap kelompok sama dengan de-
ngan tingkat kelahiran dan tingkat imigrasi yaitu (µ1 + µ2). Tingkat vaksinasi
pada individu lahir adalah σ1, sedangkan tingkat vaksinasi pada individu imigran
adalah σ2 dengan 0 ≤ σ1 ≤ 1 dan 0 ≤ σ2 ≤ 1. Pada Piccolo dan Billings [15] di-
asumsikan keefektifan vaksin 100%, namun pada penelitian ini diasumsikan bah-
wa keefektifan vaksin tidak 100%. Oleh karena itu terdapat individu yang gagal
vaksin dengan tingkat kegagalan vaksin sebesar θ. Tingkat kegagalan vaksin ter-
sebut bernilai 0 ≤ θ ≤ 1. Individu yang telah berhasil divaksin langsung masuk
pada kelompok R, sedangkan individu yang mengalami kegagalan vaksin kembali
ke kelompok S.
Penyakit yang menyebar pada daerah tersebut bersifat endemik atau me-
nyebar dalam jangka waktu lama. Banyaknya jumlah individu infected tentunya
akan membawa kerugian yang besar bagi daerah tersebut. Untuk itu perlu di-
lakukan suatu cara untuk menurunkan jumlah individu infected. Usaha untuk me-
nurunkan jumlah individu infected dapat dilakukan dengan menurunkan tingkat
kontak rata-rata. Menurut Hethcote [8] faktor sanitasi dapat menurunkan ting-
16
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
kat kontak rata-rata tersebut. Guimaraens dan Codeco [6] menyebutkan bahwa
faktor sanitasi merupakan suatu fungsi linear kontinu yang mendeskripsikan efek
sanitasi terhadap tingkat kontak rata-rata. Dengan demikian fungsi tersebut
dapat didefinisikan sebagai c(H) = β−αH , dengan β merupakan tingkat kontak
rata-rata, α merupakan sebuah konstanta proporsionalitas yang bernilai 0 < α ≤
β dan H merupakan tingkat sanitasi yang bernilai 0 ≤ H ≤ 1. Oleh karena
itu kemungkinan jumlah individu susceptible yang pindah ke kelompok I sebesar
(β−αH)SIN
.
Perubahan jumlah individu kelompok S setiap saat adalah jumlah individu
lahir serta imigran sebesar (µ1 + µ2)N dikurangi dengan jumlah individu lahir
dan imigran yang telah sukses divaksin sebesar (1 − θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N . Jumlah
individu kelompok S juga berkurang karena adanya individu yang terinfeksi atau
pindah ke kelompok I sebesar(β−αH)SI
Nserta adanya kematian pada kelompok S
sejumlah (µ1+µ2)S. Oleh karena itu perubahan jumlah individu pada kelompok
S setiap saat dapat diekspresikan sebagai
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −
(β − αH)SI
N. (4.1)
Individu pada kelompok I berasal dari individu pada kelompok S yang
terinfeksi sebesar(β−αH)SI
N. Jumlah individu pada kelompok I berkurang karena
adanya kematian alami yang terjadi pada kelompok I sebesar (µ1 + µ2)I dan
adanya individu yang sembuh. Misal tingkat kesembuhan γ, jumlah individu
yang sembuh dan ke dalam kelompok R sejumlah γI. Perubahan jumlah individu
pada kelompok I setiap saat dapat diekspresikan sebagai
dI
dt=
(β − αH)SI
N− (µ1 + µ2)I − γI. (4.2)
Individu pada kelompok R berasal dari jumlah individu yang telah berhasil
divaksin (baik individu lahir maupun imigran) dan jumlah individu yang sembuh
sebesar γI. Jumlah individu pada kelompok R berkurang dengan adanya kema-
tian pada kelompok R sebesar (µ1 + µ2)R. Dengan demikian perubahan jumlah
individu pada kelompok R setiap saat dapat diekspresikan sebagai
dR
dt= (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N + γI − (µ1 + µ2)R. (4.3)
17
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi dan vaksinasi disajikan dalam
Gambar 4.1. Dari persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) diperoleh model endemik
Gambar 4.1. Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan
sanitasi
SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi yang dinyatakan sebagai
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −
(β − αH)SI
N
dI
dt=
(β − αH)SI
N− (µ1 + µ2)I − γI
dR
dt= (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N + γI − (µ1 + µ2)R.
(4.4)
Sistem persamaan diferensial (4.4) merupakan model endemik SIR dengan imi-
grasi, vaksinasi dan sanitasi dengan parameter µ1, µ2, β, γ bernilai positif dan α
merupakan suatu konstanta proporsionalitas. Penyelesaian dari sistem (4.4) be-
rupa S(t), I(t) dan R(t) yang menyatakan jumlah individu pada kelompok S,I,R
setiap saat. Hal ini dapat digunakan untuk menjelaskan tentang penyebaran
suatu penyakit.
4.2 Titik Kesetimbangan
Panfilov [14] menyebutkan bahwa titik kesetimbangan dari suatu sistem
merupakan suatu titik saat sistem tidak mengalami perubahan sepanjang waktu.
Pada sistem (4.4) variabel R tidak muncul pada kedua persamaan lainnya, hal ini
menunjukkan bahwa jumlah individu pada kelompok R tidak mempengaruhi laju
18
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
perubahan individu pada kelompok S dan I. Karena diasumsikan bahwa populasi
konstan S(t) + I(t) + R(t) = N, maka nilai R(t) dapat diketahui apabila nilai
S(t) dan I(t) diketahui. Oleh karena itu sistem (4.4) dapat ditulis sebagai
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −
(β − αH)SI
N
dI
dt=
(β − αH)SI
N− (µ1 + µ2)I − γI.
Dengan demikian berdasarkan Definisi 2.2.1 sistem akan setimbang jika
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −
(β − αH)SI
N= 0
dI
dt=
(β − αH)SI
N− (µ1 + µ2)I − γI = 0.
Karena pada sistem (4.4) terdapat suatu fungsi c(H) = β − αH dengan 0 ≤
H ≤ 1, maka sulit untuk menentukan titik kesetimbangannya. Sehingga harus
dimasukkan suatu nilai H ke dalam sistem (4.4) agar dapat ditentukan titik
kesetimbangannya. Untuk selanjutnya titik kesetimbangan hanya akan diselidiki
pada H = 1. Hal ini dilakukan untuk mengetahui titik kesetimbangan dengan
sanitasi maksimal (H = 1). Sedangkan untuk 0 ≤ H < 1 akan diselidiki melalui
simulasi.
Untuk sanitasi maksimal atau H = 1, sistem (4.4) memenuhi keadaan se-
timbang jika
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −
(β − α)SI
N= 0
dI
dt=
(β − α)SI
N− (µ1 + µ2)I − γI = 0.
Karena S + I + R = N maka nilai R dapat diperoleh jika nilai S dan I telah
diperoleh. Dari persamaan (4.2) diperoleh dua jenis titik kesetimbangan dilihat
dari ada tidaknya individu pada kelompok I.
1. Titik kesetimbangan bebas penyakit
E0 = (S0, I0, R0) =(
(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)Nµ1+µ2
, 0,(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N
µ1+µ2
)
.
Nilai I0 = 0 menunjukkan bahwa tidak ada individu pada kelompok I saat
sistem dalam keadaan setimbang. Oleh karena itu pada kondisi ini penyakit
sudah tidak menyebar lagi atau bebas penyakit.
19
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2. Titik kesetimbangan endemik
Ee =(
Se, Ie, Re
)
dengan
Se =(γ + µ1 + µ2)N
β − α
Ie =(µ1 + µ2)N − (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)N − (µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)N
β−α
(γ + µ1 + µ2)
Re =N − Se − Ie
Nilai Ie yang tidak nol menunjukkan bahwa terdapat sejumlah individu
pada kelompok I yang menyebarkan penyakit dan menyebabkan endemik.
4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Menurut Bellomo dan Presziosi [2], kestabilan dari suatu sistem persamaan
diferensial dapat ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian sistem yang
dievaluasi pada titik kesetimbangannya. Karena diasumsikan populasi konstan
S + I + R = N, nilai R dapat diketahui apabila nilai S dan I telah diketahui.
Dengan demikian sistem (4.4) dapat ditulis sebagai
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −
(β − αH)SI
N
dI
dt=
(β − αH)SI
N− (µ1 + µ2)I − γI.
(4.5)
Matriks Jacobian dari sistem (4.5) adalah
J =
− (β−αH)IN
− µ1 − µ2 − (β−αH)SN
(β−αH)IN
(β−αH)SN
− γ − µ1 − µ2
.
Seperti pada titik kesetimbangan, harus dimasukkan suatu nilai H pada
sistem (4.5) agar dapat ditentukan nilai eigen dari matriks J . Berikut kestabilan
di titik kesetimbangan dengan H = 1.
1. Bebas penyakit
Matriks Jacobian sistem (4.5) untuk H = 1 yaitu
J(E0) =
−µ1 − µ2 − (β−α)S0
N
0(β−α)S0
N− γ − µ1 − µ2
(4.6)
20
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dengan S0 =(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N
µ1+µ2. Nilai eigen dari matriks Jacobian
(4.6) adalah
λ1 = −(µ1 + µ2)
λ2 = −γ − µ1 − µ2 + (β − α)
(
(µ1 + µ2)− (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)
(µ1 + µ2)
)
.
Dari Tabel 2.1, sistem akan stabil asimtotis jika(µ1+µ2)−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)
(µ1+µ2)≤ 0.
Sebaliknya jika(µ1+µ2)−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)
(µ1+µ2)> 0 maka sistem tidak stabil.
2. Endemik
Matriks Jacobian sistem (4.5) untuk H = 1 yaitu
J(Ee) =
− (β−α)IeN
γ + µ1 + µ2
(β−α)IeN
0
(4.7)
dengan Ie =(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N−
(µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)Nβ−α
(γ+µ1+µ2). Persamaan karakte-
ristik matriks Jacobian (4.7) yaitu
λ2 + Aλ+B = 0
dengan
A =(β − α)((µ1 + µ2)− (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)− (µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)
(β−α))
(γ + µ1 + µ2)− (µ1 + µ2)
B = −(β − α)((µ1 + µ2)− (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)−(µ1 + µ2)(γ + µ1 + µ2)
(β − α).
Nilai eigen dari matriks Jacobian (4.7) adalah λ1 = −A−√A2−4B2
dan λ2 =
−A+√A2−4B2
. Berdasarkan Tabel 2.1 titik kesetimbangan tersebut akan sta-
bil asimtotis apabila nilai eigennya bernilai real negatif. Dengan demikian
titik kesetimbangan akan stabil asimtotis apabila√A2 − 4B < A dan tidak
stabil apabila√A2 − 4B > A dengan nilai A > 0 dan A
2 − 4B > 0. Selain
itu titik kesetimbangan juga akan stabil asimtotis apabila bagian real nilai
eigennya yang berbentuk kompleks konjugat bernilai negatif. Dengan demi-
kian apabila nilai A > 0 maka titik kesetimbangan stabil asimtotis, dengan
A2 − 4B ≤ 0. Sebaliknya apabila nilai A < 0 maka titik kesetimbangan
tidak stabil.
21
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.4 Penerapan Kasus
Penerapan kasus ini merupakan pengembangan dari Arum dan Kuntari [1].
Diberikan informasi tentang penyebaran penyakit cacar air. Penyakit cacar air
merupakan penyakit infeksi yang menyebar melalui bersin, batuk, makanan dan
bersentuhan langsung dengan luka yang diakibatkan oleh penyakit ini. Menurut
Johnson [10] tingkat rata-rata kontak penyakit cacar air yaitu 0.65 ≤ β ≤ 0.85,
sedangkan tingkat kesembuhan penyakit sebesar γ = 0.3. Pada pembahasan ini
ingin diketahui perilaku penyebaran penyakit cacar air dengan tingkat rata-rata
kontak minimal, untuk itu digunakan tingkat rata-rata kontak minimal atau β =
0.65. Sebagai contoh, suatu daerah yang memenuhi asumsi pada model memiliki
jumlah penduduk yaitu N = 586039, dengan tingkat kelahiran sebesar µ1 =
0.01193 dan tingkat individu imigran sebesar µ2 = 0.02585. Tingkat individu
lahir yang divaksin pada daerah tersebut sebesar σ1 = 0.7, sedangkan tingkat
individu imigran yang divaksin sebesar σ2 = 0.6. Menurut Johnson [10], vaksin
cacar air hanya memiliki keefektifan 99%. Dengan demikian tingkat kegagalan
vaksin cacar air yaitu θ = 0.01.
Pada penerapan, ingin diketahui penyebaran penyakit apabila dengan ting-
kat sanitasi maksimal atau H = 1. Diambil nilai α = 0.5, dengan demikian
tingkat sanitasi dapat menurunkan tingkat rata-rata kontak dari 0.65 menjadi
0.15. Selanjutnya berdasarkan parameter yang telah diketahui, model (4.4) da-
pat disajikan sebagai
dS
dt= 8296.91− 0.03778S − 2.55956× 10−7
IS
dI
dt= 2.55956× 10−7
IS − 0.33778I
dR
dt= 13843.6 + 0.3I − 0.03778R.
(4.8)
Penyelesaian model SIR (4.8) dilakukan dengan menggunakan metode Runge-
Kutta orde empat dengan jumlah individu awal I(0) = 100, S(0) = 585939
dan R(0) = 0. Jumlah individu kelompok S, I dan R dengan tingkat sanitasi
maksimal dapat dilihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.
Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa seiring berjalannya waktu terjadi penu-
22
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
R
S
0 400t
219 611
366 428
585 939
S R
Gambar 4.2. Jumlah individu S dan R
runan jumlah individu pada kelompok S, hal ini dikarenakan adanya individu
susceptible yang tertular penyakit dan kemudian berpindah ke kelompok I. Pada
awalnya tidak ada individu pada kelompok R, namun jumlah individu recovered
meningkat karena adanya individu yang sembuh dari penyakit dan individu yang
sukses divaksin. Jumlah individu pada kelompok R meningkat dari 0 sampai
366428 individu kemudian jumlah tersebut tetap sepanjang waktu. Hal ini ber-
kebalikan dengan kelompok S yang menurun dari 585939 sampai 219611 individu
kemudian jumlah tersebut tidak berubah atau tetap sepanjang waktu. Jumlah
0 24 100t0
100
I
Gambar 4.3. Jumlah individu I
23
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
individu infected yang tampak pada Gambar 4.3 menurun dari 100 individu sam-
pai 0, kemudian jumlahnya tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Hal
ini berarti bahwa penyakit tersebut sudah tidak menyebar lagi. Dari Gambar
4.2 dan 4.3 tampak bahwa untuk suatu waktu t jumlah individu S,I dan R akan
tetap sepanjang waktu. Kondisi seperti ini disebut titik kesetimbangan.
Titik kesetimbangan merupakan suatu titik dimana tidak terjadi perubahan
jumlah individu pada tiap kelompok. Pada kasus ini, hanya terdapat satu titik ke-
setimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit pada (219611, 0, 366428).
Tidak adanya individu pada kelompok I menunjukkan bahwa penyakit sudah
tidak menyebar lagi atau bebas penyakit. Untuk tingkat sanitasi maksimal atau
H = 1, nilai eigen dari matriks Jacobian di titik kesetimbangan tersebut ada-
lah (−0.28156,−0.03778). Berdasarkan Tabel 2.1 titik kesetimbangan tersebut
bersifat stabil asimtotis. Selain dilihat dari nilai eigen matriks Jacobiannya, kes-
tabilan di titik kesetimbangan dapat dilihat melalui perilaku trajektori di sekitar
titik kesetimbangan pada bidang fase. Hal ini dilakukan untuk mengetahui ba-
gaimana perilaku penyelesaian sistem disekitar titik kesetimbangan secara visual
agar lebih mudah dipahami.
Pada model (4.8) dapat dibuat tiga bidang fase, yaitu bidang fase S-I, S-
R dan I-R. Akan tetapi pada pembahasan ini hanya ditampilkan bidang fase
S-I. Hal ini karena penyebaran suatu penyakit dapat dilihat dari jumlah indi-
vidu yang sakit (infected), sedangkan jumlah individu recovered akan diketahui
apabila jumlah individu susceptible diketahui. Trajektori di sekitar titik kese-
timbangan disajikan pada Gambar 4.4. Dilihat dari bentuknya yang menyerupai
simpul, titik kesetimbangan pada kasus ini disebut titik simpul. Tampak bahwa
arah trajektori menuju titik kesetimbangan, oleh karena itu kestabilan di titik
tersebut bersifat stabil. Selanjutnya karena arah trajektori tersebut membentuk
suatu garis asimtotis di sepanjang sumbu S maka kestabilan di titik kesetimbang-
an tersebut bersifat stabil asimtotis. Karena titik kesetimbangan yang diperoleh
merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit, maka pada keadaan ini tidak
ada individu yang terinfeksi penyakit. Dengan demikian jika titik kesetimbangan
24
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
tersebut stabil asimtotis maka kondisi dimana tidak ada individu yang terinfeksi
akan terus berlangsung di daerah tersebut. Kondisi yang demikian sangat diha-
rapkan karena penyakit tidak akan menyebar lagi.
-300 000 600 000I
-300 000
600 000S
Gambar 4.4. Trajektori di sekitar titik kesetimbangan
Selanjutnya dilakukan simulasi pada nilai H untuk mengetahui bagaimana
pengaruh tingkat sanitasi terhadap penurunan puncak endemik. Hal tersebut
dirasa penting untuk dijadikan sebagai acuan dalam mengambil tindakan pence-
gahan untuk menurunkan puncak endemik. Dengan demikian diharapkan penye-
baran penyakit yang terjadi akan berkurang. Simulasi pertama dilakukan pada
H = 0 atau tanpa sanitasi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa jumlah individu
infected meningkat dengan puncak endemik mencapai 6564 individu pada hari
ke-31.
Simulasi kedua dilakukan pada nilai H = 0.25. Jumlah individu infected
meningkat pada H = 0.25 dengan puncak endemik sebesar 1507 individu pada
hari ke-27, artinya terjadi penurunan puncak endemik sebesar 5057 orang jika
tingkat sanitasi dinaikkan dari H = 0 menjadi H = 0.25. Simulasi yang ketiga
25
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
dilakukan dengan menaikkan tingkat sanitasi menjadi H = 0.5. Ketika tingkat
sanitasi dinaikkan menjadi 0.5, jumlah individu infected mencapai 393 individu
pada hari ke-19. Hal ini berarti terjadi penurunan puncak endemik sebesar 6171
individu apabila sanitasi dinaikkan dari H = 0 sampai H = 0.5. Simulasi yang
terakhir dilakukan pada H = 0.75. Jumlah individu infected maksimal menca-
pai 153 individu pada hari ke-11. Dengan demikian terjadi penurunan jumlah
individu infected sebesar 6411 individu.
Jumlah individu infeksi maksimum atau puncak endemik pada nilai H =
0, 0.25, 0.5, 0.75, dan 1 disajikan pada Tabel 4.1. Berdasarkan Tabel 4.1 tampak
Tabel 4.1. Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H
H Puncak endemik (Imaks) t (dalam hari)
0 6564 31
0.25 1507 27
0.5 393 19
0.75 153 11
1 100 0
bahwa semakin besar nilai H maka puncak endemik akan semakin menurun.
Secara visual penurunan puncak endemik dapat dilihat pada Gambar 4.5. Pada
Gambar 4.5 tampak bahwa semakin besar tingkat sanitasi, maka semakin singkat
pula penyakit tersebut menyebar pada suatu wilayah.
31 150t100
6564I
H = 0.25H = 0.5H = 0.75H = 1
0 11 19 27 150t
100153
393
1507I
Gambar 4.5. Penurunan puncak endemik H=0 (kiri), H=0.25,0.5,0.75,1 (kanan)
26
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
1. Model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi dapat dieks-
presikan sebagai
dS
dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −
(β − αH)SI
N
dI
dt=
(β − αH)SI
N− (µ1 + µ2)I − γI
dR
dt= (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N + γI − (µ1 + µ2)R.
2. Terdapat dua jenis titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigrasi,
vaksinasi dan sanitasi yaitu titik kesetimbangan endemik yaitu
Ee =(
Se, Ie, Re
)
dengan
Se =(γ + µ1 + µ2)N
β − αH
Ie =(µ1 + µ2)N − (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)N − (µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)N
β−αH
(γ + µ1 + µ2)
Re =N − Se1 − Ie1
dan titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu
E0 = (S0, I0, R0) =(
(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)Nµ1+µ2
, 0,(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N
µ1+µ2
)
.
3. Simulasi menunjukkan bahwa peningkatan sanitasi dapat menurunkan pun-
cak endemik serta mempersingkat suatu penyakit menyebar dalam suatu
daerah.
27
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5.2 Saran
Pada penulisan tugas akhir ini hanya dibahas tentang fungsi sanitasi de-
ngan nilai konstanta proporsionalitas (α) pada fungsi sanitasi lebih kecil dari
tingkat rata-rata kontak penyakit (β). Sedangkan untuk konstanta proporsionali-
tas pada fungsi sanitasi yang lebih besar dari tingkat rata-rata kontak penyebaran
penyakit tidak dibahas dalam tugas akhir ini. Dengan demikian apabila pemba-
ca tertarik dengan topik ini, model tersebut dapat dikembangkan lebih lanjut
dengan menggunakan nilai α > β.
28