Difus~ao da mal aria em Mo˘cambique: …biomat/bio25_art11.pdfDifus~ao da mal aria em Mo˘cambique...
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Biomatematica 25 (2015), 161–184 ISSN 1679-365X
Uma Publicacao do Grupo de Biomatematica IMECC – UNICAMP
Difusao da malaria em Mocambique: modelagem
com simulacoes computacionais
Marta Ma M. Macufa1, Joao F. C. A. Mayer2,
Depto Matematica Aplicada, IMECC – UNICAMP, 13.083-970,
Campinas/SP.
Andre Krindges3,
Depto Matematica, ICET – UFMT, 78.060-900, Cuiaba/MT.
Resumo. Neste trabalho apresentamos um modelo que descreve o espalha-
mento da malaria na regiao de Mocambique. As equacoes que compoem o
modelo sao de Difusao-Adveccao em que interagem duas populacoes: A po-
pulacao de humanos que, por sua vez, subdivide-se em suscetıveis, infectados
e recuperados e para a populacao de mosquitos consideramos mosquitos nao
portadores e mosquitos portadores, (ver abaixo). Na tentativa de encontrar
uma solucao para o modelo apresentado, recorremos ao metodo numerico, uma
vez que nao existem solucoes analıticas para resolver o sistema nao linear de
equacoes diferenciais parciais. Como e nosso caso, utilizaremos o metodo de
elementos finitos, para o qual, para a discretizacao do modelo, apos feita a
formulacao variacional do modelo, utilizamos o metodo de Galerkin para as
variaveis espaciais e o metodo de Crank Nicolson para a variavel temporal.
Palavras-chave: Modelo SIRS, Difusao-Adveccao, epidemiologia, ele-
mentos finitos.
1. Introducao
Mocambique e um paıs que esta localizado na costa oriental da Africa
austral entre os paralelos 1027′ e 2656′ latitude sul e os meridionais 3012′ e
162 Macufa, Meyer & Krindges
4051′ latitude leste. Mocambique limita-se ao norte pela Tanzania, ao noro-
este pela Zambia e Malawi, ao oeste pela Suazilandia e pelo Zimbabwe, ao sul
e oeste pela Africa do sul e a leste pelo canal de Mocambique, (oceano ındico).
A populacao de Mocambique esta estimada em 21 milhoes de habitantes Mi-
nisterio da Saude (2012).
A malaria e uma doenca infecciosa que e transmitida ao ser humano
atraves da picada do mosquito portador, a femea Anopheles. Existem 4 especies
de parasitas: Plasmodium falsiparum, Plasmodium vivax, Plasmodium ovale e
Plasmodium malarie, sendo o P. falsiparum o mais virulento de todos.
As criancas com menos de 5 anos e a mulheres gravidas sao mais sus-
cetıveis a doenca assim como os viajantes que vivem em zonas nao endemicas
podem apresentar as formas mais graves da malaria. Os sintomas mais comuns
da doencas sao: Febres altas, encefaleia, dores abdominais, diarreia, vomito e
dor no corpo, entre outros Macufa (2011).
Mocambique e um paıs no qual a malaria e endemica onde registam-se
cerca de 90% das infeccoes malaricas causadas pelo Plasmodium falsiparum,
visto ser o mais frequente no paıs. Neste paıs, a malaria atinge o seu pico
em epocas chuvosas, podendo eclodir surtos epidemicos Ministerio da Saude
(2012).
2. Objetivos
– O objetivo deste trabalho e analisar o impacto do espalhamento geografico
da epidemia da malaria na regiao de Mocambique.
3. Descricao do modelo matematico
A seguir apresentamos a proposta do modelo evolutivo utilizando equacoes
diferenciais parciais nao lineares, no qual tentamos descrever a situacao da
malaria com espalhamento geografico na regiao de Mocambique, isto e, que
envolva difusao e adveccao ou, para o mosquito dispersao e possıveis processos
de migracao. Este modelo envolve duas populacoes que interagem entre si: A
populacao humana e a de mosquito.
O modelo escolhido para descrever a situacao da malaria emMocambique
recorre as seguintes equacoes diferenciais parciais nao lineares, para (x, y) ∈Ω ⊂ R2, o domınio espacial e t ∈ J = (0, Tf ), o domınio temporal:
Difusao da malaria em Mocambique ... 163
S = S(x, y, t) e a populacao de suscetıveis,
I = I(x, y, t) e a populacao de infectados,
R = R(x, y, t) e a populacao de recuperados,
M = M(x, y, t) e a populacao de mosquitos nao portadores e
P = P (x, y, t) e a populacao de mosquitos portadores,
em que utilizamos os parametros:
• αS e a taxa da dispersao da populacao de humanos suscetıveis.
• αI e a taxa da dispersao da populacao de indivıduos infectados.
• αR e a taxa da dispersao da populacao de recuperados.
• αM e a taxa da dispersao da populacao de mosquitos nao portadores.
• αP e a taxa da dispersao da populacao de mosquitos portadores.
• VS e o transporte advectivo da populacao de suscetıveis.
• VI e o transporte advectivo da populacao de infectados.
• VR e o transporte advectivo da populacao de recuperados.
• WM e o transporte advectivo da populacao de mosquitos nao portadores.
• WP e o transporte advectivo da populacao de mosquitos portadores.
• λH e a taxa intrınseca de crescimento da populacao humana de sus-
cetıveis.
• λM e a taxa intrınseca de crescimento da populacao de mosquitos.
• γH e a taxa com a qual a populacao de recuperados volta a serem sus-
cetıveis.
• µS e a taxa na qual a populacao de indivıduos suscetıveis morrem natu-
ralmente.
• µI e a taxa na qual a populacao de indivıduos infectados morrem pela
doenca.
• µM e a taxa na qual a populacao de mosquito morrem pela acao humana,
atraves da pulverizacao.
164 Macufa, Meyer & Krindges
• δH e a taxa com a qual a populacao de indivıduos infectados se recuperam
da doenca.
• βH e a taxa com que os suscetıveis contraem a doenca ao serem picados
por mosquitos infectados.
• βM e a taxa com que os mosquitos nao portadores contraem o vırus ao
picarem indivıduos infectados.
∂S
∂t− αS∆S + VS · ∇S + µSS = λH (S + I +R)
(1− S + I +R
K
)− βHSP + γHR,
∂I
∂t− αI∆I + VI · ∇I + µII = βHSP − δHI,
∂R
∂t− αR∆R+ VR · ∇R = δHI − γHR,
∂M
∂t− αM∆M +WM · ∇M + µMM = λM (M + P )
(1− M + P
K
)− βMMI, e
∂P
∂t− αP∆P +WP · ∇P + µMP = βMMI.
(3.1)
com as seguintes condicoes iniciais e de contorno:
S(x, y, 0) = S0 e∂S
∂η= 0.
I(x, y, 0) = I0 e∂I
∂η= 0.
R(x, y, 0) = R0 e∂R
∂η= 0.
M(x, y, 0) = M0 e∂M
∂η= 0.
P (x, y, 0) = P 0 e∂P
∂η= 0. (3.2)
Colocamos as condicoes de contorno de Von Neumann homogenea em
toda a fronteira da regiao de Mocambique, pelo fato de que, no leste de
Difusao da malaria em Mocambique ... 165
Mocambique termos o oceano Indico, onde consideramos que nao ha passa-
gem de ambas as populacoes. Na fronteira de Mocambique com outros paıses,
isto e, ao norte, ao sul e ao oeste de Mocambique temos: Tanzania, Malawi,
Zambia, Africa do Sul, Suazilandia e Zimbabwe que tambem sao paıses em
que a malaria e endemica, sendo assim, a populacao na fronteira nao varia e,
portanto, a derivada direcional e igual a zero.
4. Formulacao variacional
Uma alternativa para construir a solucao e a aproximacao numerica e
para a referida solucao, vamos descrever o sistema (3.1) na formulacao variaci-
onal Ciarlet (1979), ou seja, na formulacao fraca.
Seja W =L2([0, Tf ], V )
o espaco das solucoes onde, V = H1(Ω) e o
espaco das funcoes testes e em V definimos o produto interno:
(u, v) =
∫Ω
uvdxdy
(∇u||∇v) =
∫Ω
∇u∇vdµ
onde u ∈ W e v ∈ V .
Multiplicamos as equacoes do sistema (3.1) por v ∈ V e obtemos:
166 Macufa, Meyer & Krindges
(∂S
∂t|v)− αS (∆S|v) + (VS · ∇S|v) + µS(S|v) =
λH
((S + I +R)
(1− S + I +R
K
)|v)− βH (SP |v) + γH (R|v)
(∂I
∂t|v)− αI (∆I|v) + (VI · ∇I|v) + µI (I|v) = βH (SP |v)− δH (I|v)
(∂R
∂t|v)− αR (∆R|v) + (VR · ∇R|v) = δH (I|v)− γH (R|v)
(∂M
∂t|v)− αM (∆M |v) + (WM · ∇M |v) + µM (M |v) =
λM
((M + P )
(1− M + P
L
)|v)− βM (MI|v)
(∂P
∂t|v)− αP (∆P |v) + (WP · ∇P |v) + µM (P |v) = βM (MI|v)
(4.3)
para todo v ∈ V .
Seja
U = S, I,R,M,P. (4.4)
tal que, U = U(x, y, t), v = v(x, y)
Utilizando as formulas de Green, temos:
−αU (∆U |v) = αU (∇U ||∇v)− αU
(∂U
∂η|v)
Como ∂U∂η = 0 em ∂Ω, entao temos:
−αU (∆U |v) = αU (∇U ||∇v) (4.5)
Substituindo (4.5) em (4.3) e utilizando que V =< VU1, VU2 > e cons-
tante, temos entao a formulacao variacional dada pelas seguintes equacoes:
Difusao da malaria em Mocambique ... 167
(∂S
∂t|v)+ αS (∇S||∇v) + VS1
(∂S
∂x|v)+ VS2
(∂S
∂y|v)+ µS(S|v) =
λH
((S + I +R)
(1− S + I +R
K
)|v)− βH (SP |v) + γH (R|v)
(∂I
∂t|v)+ αI (∇I||∇v) + VI1
(∂I
∂x|v)+ VI2
(∂I
∂y|v)+ µI (I|v) =
βH (SP |v)− δH (I|v)
(∂R
∂t|v)+ αR (∇R||∇v) + VR1
(∂R
∂x|v)+ VR2
(∂R
∂y|v)
= δH (I|v)− γH (R|v)
(∂M
∂t|v)+ αM (∇M ||∇v) +WM1
(∂M
∂x|v)+WM2
(∂M
∂y|v)+ µM (M |v) =
λM
((M + P )
(1− M + P
L
)|v)− βM (MI|v)
(∂P
∂t|v)+ αP (∇P ||∇v) +WP1
(∂P
∂x|v)+WP2
(∂P
∂y|v)+ µM (P |v) =
βM (MI|v)(4.6)
para todo v ∈ V .
Como podemos ver, as condicoes de contorno do problema (3.1), ficaram
incluıdas no sistema (4.6).
5. Discretizacao espacial utilizando o metodo de
Galerkin
De posse da formulacao variacional, ou seja da formulacao fraca do nosso
problema, o proximo passo para a construcao da solucao numerica, e a discre-
tizacao do sistema (4.6) utilizando o metodo de Galerkin nas variaveis espaciais
Ciarlet (1979), ja que nao e possıvel apresentar a solucao analıtica do problema.
Temos base na teoria de Lions para esperar existencia e unicidade da solucao
para o qual o metodo proposto deve convergir Lions (1961).
Inicialmente vamos definir o espaco de aproximacao do nosso problema
como espaco de dimensao finita Vh ∈ V , com base ϕ1, ..., ϕn: Temos entao
168 Macufa, Meyer & Krindges
que encontrar Sh, Ih, Rh, Mh e Ph, tais que:
(∂Sh
∂t|v)+ αS (∇Sh||∇v) + VS1
(∂Sh
∂x|v)+ VS2
(∂Sh
∂y|v)+ µS(Sh|v) =
λH
((Sh + Ih +Rh)
(1− Sh + Ih +Rh
K
)|v)− βH (ShPh|v) + γH (Rh|v)
(∂Ih∂t
|v)+ αI (∇Ih||∇v) + VI1
(∂Ih∂x
|v)+ VI2
(∂Ih∂y
|v)+ µI (Ih|v) =
βH (ShPh|v)− δH (Ih|v)
(∂Rh
∂t|v)+ αR (∇Rh||∇v) + VR1
(∂Rh
∂x|v)+ VR2
(∂Rh
∂y|v)
=
δH (Ih|v)− γH (Rh|v)
(∂Mh
∂t|v)+ αM (∇Mh||∇v) +WM1
(∂Mh
∂x|v)+WM2
(∂Mh
∂y|v)
+µM (Mh|v) = λM
((Mh + Ph)
(1− Mh + Ph
L
)|v)− βM (MhI|vh)
(∂Ph
∂t|v)+ αP (∇Ph||∇v) +WP1
(∂Ph
∂x|v)+WP2
(∂Ph
∂y|v)+ µM (Ph|v) =
βM (MhIh|v)(5.7)
para todo v ∈ V .
Usando a notacao (4.4), iremos proceder a uma separacao de variaveis:
Uh =n∑
j=1
U(t)jϕj(x, y) (5.8)
e a aproximacao da solucao do problema (5.7), onde Uh = Sh, Ih, Rh,Mh, Ph e
as respectivas derivadas temporal e espaciais:
∂Uh
∂t=
n∑j=1
dUj
dtϕj(x, y) (5.9)
∂Uh
∂x=
n∑i=1
Uj∂ϕj
∂x(x, y) (5.10)
Difusao da malaria em Mocambique ... 169
∂Uh
∂y=
n∑i=1
Uj∂ϕj
∂y(x, y) (5.11)
Substituindo as equacoes (5.8)-(5.11) em cada uma das equacoes da for-
mulacao variacional (5.7), temos:nn∑j=1
dSj
dt(ϕj |v) + αS
nn∑j=1
Sj(∇ϕj ||∇v)
+ VS1
nn∑j=1
Sj
(∂ϕj
∂x|v)+ VS2
nn∑j=1
Sj
(∂ϕj
∂y|v)+ µS
nn∑j=1
Sj(ϕj |v)
= λH
nn∑j=1
Sj(ϕj |v) + λH
nn∑j=1
Ij(ϕj |v) + λH
nn∑j=1
Rj(ϕj |v)
− λH
K
nn∑j=1
Sj
nn∑k=1
(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|v)
− λH
K
nn∑j=1
Ij
nn∑k=1
(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|v)−λH
K
nn∑j=1
Rj
nn∑k=1
(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|v)
− βH
nn∑j=1
Sj
nn∑k=1
Pk(ϕjϕk|v) + γH
nn∑j=1
Rj(ϕj |v)
nn∑j=1
dIjdt
(ϕj |v) + αI
nn∑j=1
Ij(∇ϕj ||∇v)
+ VI1
nn∑j=1
Ij
(∂ϕj
∂x|v)+ VI2
nn∑j=1
Ij
(∂ϕj
∂y|v)+ µI
nn∑j=1
Ij(ϕj |v)
= βH
nn∑j=1
Sj
nn∑k=1
Pk(ϕjϕk|v)− δH
nn∑j=1
Ij(ϕj |v)
nn∑j=1
dRj
dt(ϕj |v) + αR
nn∑j=1
Rj(∇ϕj ||∇v)
+ VR1
nn∑j=1
Rj
(∂ϕj
∂x|v)+ VR2
nn∑j=1
Rj
(∂ϕj
∂y|v)
= δH
nn∑j=1
Ij(ϕj |v)− γH
nn∑j=1
Rj(ϕj |v)
nn∑j=1
dMj
dt(ϕj |v) + αM
nn∑j=1
Ij(∇ϕj ||∇v)
+WM1
nn∑j=1
Mj
(∂ϕj
∂x|v)+WM2
nn∑j=1
Mj
(∂ϕj
∂y|v)+ µM
nn∑j=1
Mj(ϕj |v)
170 Macufa, Meyer & Krindges
= λM
nn∑j=1
Mj(ϕj |v) + λM
nn∑j=1
Pj(ϕj |v)
− λM
L
nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
Mk + 2nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
Pk +nn∑j=1
Pj
nn∑k=1
Pk
(ϕjϕk|v)
− βv
nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
Ik(ϕjϕk|v)
nn∑j=1
dPj
dt(ϕj |v) + αP
nn∑j=1
Pj(∇ϕj ||∇v)
+WP1
nn∑j=1
Pj
(∂ϕj
∂x|v)+WP2
nn∑j=1
Pj
(∂ϕj
∂y|v)+ µH
nn∑j=1
Pj(ϕj |v)
= βv
nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
(Ik)(ϕjϕk|v)
para todo v ∈ Vh.
E como v ∈ Vh e qualquer, podemos tomar ϕi ∈ Vh.
nn∑j=1
dSj
dt(ϕj |ϕi) + αS
nn∑j=1
Sj(∇ϕj ||∇ϕi)
+VS1
nn∑j=1
Sj
(∂ϕj
∂xϕi
)+ VS2
nn∑j=1
Sj
(∂ϕj
∂y|ϕi
)+ µS
nn∑j=1
Sj(ϕj |ϕi)
= λH
nn∑j=1
Sj(ϕjϕi) + λH
nn∑j=1
Ij(ϕj |ϕi) + λH
nn∑j=1
Rj(ϕj |ϕi)
−λH
K
nn∑j=1
Sj
nn∑k=1
(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|ϕi)
−λH
K
nn∑j=1
Ij
nn∑k=1
(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|ϕi)−λH
K
nn∑j=1
Rj
nn∑k=1
(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|ϕi)
−βH
nn∑j=1
Sj
nn∑k=1
Pk(ϕjϕk|ϕi) + γH
nn∑j=1
Rj(ϕj |ϕi)(5.12)
Difusao da malaria em Mocambique ... 171
nn∑j=1
dIjdt
(ϕj |ϕi) + αI
nn∑j=1
Ij(∇ϕj ||∇ϕi)
+VI1
nn∑j=1
Ij
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+ VI2
nn∑j=1
Ij
(∂ϕj
∂y|ϕi
)+ µI
nn∑j=1
Ij(ϕj |ϕi)
= βH
nn∑j=1
Sj
nn∑k=1
Pk(ϕjϕk|ϕi)− δH
nn∑j=1
Ij(ϕj |ϕi) (5.13)
nn∑j=1
dRj
dt(ϕj |ϕi) + αR
nn∑j=1
Rj(∇ϕj ||∇ϕi)
+VR1
nn∑j=1
Rj
(∂ϕj
∂x|v)+ VR2
nn∑j=1
Rj
(∂ϕj
∂y|ϕi
)
= δH
nn∑j=1
Ij(ϕj |ϕi)− γH
nn∑j=1
Rj(ϕj |ϕi) (5.14)
nn∑j=1
dMj
dt(ϕj |ϕi) + αM
nn∑j=1
Ij(∇ϕj ||∇ϕi)
+WM1
nn∑j=1
Mj
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+WM2
nn∑j=1
Mj
(∂ϕj
∂y|ϕi
)+ µM
nn∑j=1
Mj(ϕj |ϕi)
= λM
nn∑j=1
Mj(ϕj |ϕi) + λM
nn∑j=1
Pj(ϕj |ϕi)
−λM
L
nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
Mk + 2nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
Pk +nn∑j=1
Pj
nn∑k=1
Pk
(ϕjϕk|ϕi)
−βM
nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
Ik(ϕjϕk|ϕi)(5.15)
nn∑j=1
dPj
dt(ϕj |ϕi) + αP
nn∑j=1
Pj(∇ϕj ||∇ϕi)
+WP1
nn∑j=1
Pj
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+WP2
nn∑j=1
Pj
(∂ϕj
∂y|ϕi
)+ µH
nn∑j=1
Pj(ϕj |ϕi)
= βM
nn∑j=1
Mj
nn∑k=1
(Ik)(ϕjϕk|ϕi) (5.16)
172 Macufa, Meyer & Krindges
6. Discretizacao temporal utilizando o metodo de
Cranck-Nicolson
Para a discretizacao da variavel temporal vamos utilizar o metodo de
Crank Nicolson que e um metodo de aproximacao implıcita de segunda ordem
Cunha (1993). Aplicando a diferenca centrada no tempo tn+1/2, obtemos a
seguintes aproximacoes:
Uj
dt(x, y, tn+1/2) ≈
U(n+1)j − U
(n)j
2(6.17)
dUj
dt(x, y, tn+1/2) ≈
U(n+1)j − U
(n)j
∆t(6.18)
Substituindo as equacoes (6.17) e (6.18) nas equacoes (5.12)-(5.16) te-
mos:nn∑j=1
S(n+1)j − S
(n)j
∆t(ϕj |ϕi) + αS
nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2(∇ϕj ||∇ϕi)
+ VS1
nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+ VS2
nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2
(∂ϕj
∂y|ϕ)
+ µS
nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2(ϕj |ϕi)
= λH
nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2+
nn∑j=1
I(n+1)j + I
(n)j
2λH
nn∑j=1
R(n+1)j +R
(n)j
2
(ϕj |ϕi)
− λH
K
nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2
nn∑k=1
S(n+1)k + S
(n)k
2
(ϕjϕk|ϕj)
− λH
K
2 nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2
nn∑k=1
I(n+1)k + I
(n)k
2
(ϕjϕk|ϕj)
− λH
K
2 nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2
nn∑k=1
R(n+1)k +R
(n)k
2
(ϕjϕk|ϕj)
− λH
K
2 nn∑j=1
I(n+1)j + I
(n)j
2
nn∑k=1
R(n+1)k +R
(n)k
2
(ϕjϕk|ϕj)
− λH
K
nn∑j=1
I(n+1)j + I
(n)j
2
nn∑k=1
I(n+1)k + I
(n)k
2
(ϕjϕk|ϕj)
Difusao da malaria em Mocambique ... 173
− λH
K
nn∑j=1
R(n+1)j +R
(n)j
2
nn∑k=1
R(n+1)k +R
(n)k
2
(ϕjϕk|ϕj)
−βH
nn∑j=1
S(n+1)j + S
(n)j
2
nn∑k=1
P(n+1)k + P
(n)k
2(ϕjϕk|ϕj)+γH
nn∑j=1
R(n+1)j +R
(n)j
2(ϕj |ϕi)
para a populacao de suscetıveis.
De modo analogo, fazemos para as equacoes das populacoes de humanos,
infectados e recuperados e a para mosquitos nao portadores e mosquitos porta-
dores. Multiplicando cada termos por ∆t, reorganizando os termos e colocando
os termos do instante (n+1) do lado esquerdo e do instante (n) do lado direito
para cada equacao, obtemos:
Equacao para a populacao de suscetıveis.nn∑j=1
S(n+1)j
[(1 + (µS − λH)
∆t
2
)(ϕj |ϕi) + αS
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]+
nn∑j=1
S(n+1)j
[VS1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+ VS2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]
+nn∑j=1
S(n+1)j
[nn∑k=1
(βH
∆t
4(P
(n+1)k + P
(n)k )
)(ϕjϕk|ϕi)
]
+nn∑j=1
S(n+1)j
nn∑k=1
[λH
∆t
4kS(n+1)k + S
(n)k
](ϕjϕk|ϕi)
+nn∑j=1
S(n+1)j
nn∑k=1
[2λH
∆t
4k(I
(n+1)k + I
(n)k +R
(n+1)k +R
(n)k )
](ϕjϕk|ϕi)
=nn∑j=1
S(n)j
[(1− (µS − λH)
∆t
2
)(ϕj |ϕi)− αS
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]−
nn∑j=1
S(n)j
[VS1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+ VS2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]
−nn∑j=1
S(n)j
[nn∑k=1
(βH
∆t
4(P
(n+1)k + P
(n)k )
)(ϕjϕk|ϕi)
]
+
nn∑j=1
S(n)j
nn∑k=1
[λH
∆t
4kS(n+1)k + S
(n)k
](ϕjϕk|ϕi)
+nn∑j=1
S(n)j
nn∑k=1
[2λH
∆t
4k(I
(n+1)k + I
(n)k +R
(n+1)k +R
(n)k )
](ϕjϕk|ϕi)
+
λH∆t
2
nn∑j=1
(I(n+1)j + I
(n)j ) + (λH + γH)
nn∑k=1
(R(n+1)k +R
(n)k )
(ϕj |ϕi)
174 Macufa, Meyer & Krindges
−λH∆t
4K
nn∑j=1
(I(n+1)j + I
(n)j )
(nn∑k=1
(I(n+1)k + I
(n)k ) + 2(R
(n+1)k +R
(n)k )
) (ϕjϕk|ϕi)
− λH∆t
2K
nn∑j=1
(R(n+1)j +R
(n)j )
nn∑k=1
(R(n+1)k +R
(n)k )
(ϕjϕk|ϕi)
Equacao para a populacao de infectadosnn∑j=1
I(n+1)j
[(1 + (δH + µH)
∆t
2
)(ϕj |ϕi) + αI
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]+
nn∑j=1
I(n+1)j
[VI1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+ VI2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]=
nn∑j=1
I(n)j
[(1− (δH + µH)
∆t
2
)(ϕj |ϕi)− αI
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]−
nn∑j=1
I(n)j
[VI1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)− VI2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]+ βH
∆t
4
nn∑j=1
nn∑k=1
(S(n+1)j + S
(n)j
)(P
(n+1)k + P
(n)k
)(ϕjϕk|ϕi)
Equacao para a populacao de Recuperadosnn∑j=1
R(n+1)j
[(1 + γH
∆t
2
)(ϕj |ϕi) + αR
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]+
nn∑j=1
R(n+1)j
[VR1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+ VR2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]=
nn∑j=1
R(n)j
[(1− γH
∆t
2
)(ϕj |ϕi)− αR
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]−
nn∑j=1
R(n)j
[VR1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)− VR2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]+ δH
∆t
2
nn∑j=1
(I(n+1)j + Ij
)(ϕj |ϕi)
Equacao para Mosquitos nao Portadoresnn∑j=1
M(n+1)j
[(1 + (µM − λM )
∆t
2
)(ϕj |ϕi) + αM
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]+
nn∑j=1
M(n+1)j
[WM1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+WM2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]+ βv
∆t
4
nn∑j=1
M(n+1)j
nn∑k=1
(I(n+1)k + I
(n)k )(ϕjϕk|ϕi)
Difusao da malaria em Mocambique ... 175
+
nn∑j=1
M(n+1)j
[λM
∆t
4L
nn∑k=1
(M(n+1)K +M
(n)k ) + λM
∆t
2L
nn∑k=1
(P(n+1)K + P
(n)k )
](ϕjϕk|ϕi)
=nn∑j=1
M(n)j
[(1− (µM − λM )
∆t
2
)(ϕj |ϕi)− αM
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]−
nn∑j=1
M(n)j
[WM1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+WM2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]− βv
∆t
4
nn∑j=1
M(n)j
nn∑k=1
(I(n+1)k + I
(n)k )(ϕjϕk|ϕi)
−nn∑j=1
M(n)j
[λM
∆t
4L
nn∑k=1
(M(n+1)k +M
(n)k ) + λM
∆t
2L
nn∑k=1
(P(n+1)k + P
(n)k )
](ϕjϕk|ϕi)
+ λM∆t
2
nn∑j=1
(P(n+1)j + P
(n)j )(ϕj |ϕi)
− λM∆t
4L
nn∑j=1
(P(n+1)j + P
(n)j )
nn∑k=1
(P(n+1)k + P
(n)k )(ϕjϕk|ϕi)
Equacao para Mosquitos Portadores
nn∑j=1
P(n+1)j
[(1 + µM )
∆t
2(ϕj |ϕi) + αP
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]+
nn∑j=1
P(n+1)j
[WP1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+WP2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]=
nn∑j=1
P(n)j
[(1− µM )
∆t
2(ϕj |ϕi) + αP
∆t
2(∇ϕj ||∇ϕi)
]−
nn∑j=1
P(n)j
[WP1
∆t
2
(∂ϕj
∂x|ϕi
)+WP2
∆t
2
(∂ϕj
∂y|ϕi
)]+ βv
∆t
4
nn∑j=1
nn∑k=1
(M(n+1)j +M
(n)j )(I
(n+1)k + I
(n)k )(ϕjϕk|ϕi)
7. Tratamento das variaveis nao lineares
De uma maneira geral as equacoes anteriores podem ser descritas na
forma matricial, cujo problema e apresentado do seguinte modo: encontrar
S(n), I(n), R(n),M (n), P (n) tais que
176 Macufa, Meyer & Krindges
AS(·)S(n+1) = BS(·)S(n)
AI(·)I(n+1) = BI(·)I(n)
AR(·)R(n+1) = BR(·)R(n)
AM (·)M (n+1) = BM (·)M (n)
AP (·)P (n+1) = BP (·)P (n)
(7.19)
onde
AS(·) = AS(P(n), S(n), I(n), R(n), P (n+1), S(n+1), I(n+1), R(n+1))
BS(·) = BS(P(n), S(n), I(n), R(n), P (n+1), S(n+1), I(n+1), R(n+1))
AI(·) = AI(c)
BI(·) = BI(S(n), P (n), S(n+1), P (n+1))
AR(·) = AR(c)
BR(·) = BR(I(n), I(n+1))
AM (·) = AM (I(n),M (n), P (n),M(I(n+1),M (n+1), P (n+1))
BM (·) = BM (I(n),M (n), P (n), I(n+1),M (n+1), P (n+1))
AP (·) = AR(c)
BP (·) = BR(I(n),M (n), I(n+1),M (n+1))
Para resolver o sistema (7.19) nos baseamos no metodo do preditor-
corretor estudado pelo autores Douglas e Dupont, Douglas Jr et al. (1979). Este
metodo de resolucao consiste em, a cada passo do tempo, resolver o sistema
nao linear atraves de processos iterativos, Tabares (2012).
A seguir, vamos resolver o sistema (7.19) para n = 0, temos portanto
que resolver o seguinte sistema:
Difusao da malaria em Mocambique ... 177
AS(·)S(1) = BS(·)S(0)
AI(·)I(1) = BI(·)I(0)
AR(·)R(1) = BR(·)R(0)
AM (·)M (1) = BM (·)M (0)
AP (·)P (1) = BP (·)P (0)
(7.20)
Dadas S(0), I(0), R(0),M (0), P (0) as condicoes iniciais de cada uma das
populacoes: Para encontrar S(1), I(1), R(1),M (1), P (1) vamos inicialmente efe-
tuar o seguinte processo iterativo Souza (2010), que passamos a descrever:
• calculamos S(∗)
AS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(0), I(0), P (0), R(0))S(∗) =
BS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(0), I(0), P (0), R(0))S(0)
obtemos o vetor S(∗)
• calculamos I(∗)
AI(c)I(∗) = BI(P
(0), S(∗), S(0), P (0))I(0)
obtemos o vetor I(∗)
• calculamos R(∗)
AR(c)R(∗) = BR(I
(0), I(∗))R(0)
obtemos o vetor R(∗)
• calculamos M (∗)
AM (I(∗),M (0), P (0), I(0),M (0), P (0))M (∗) =
BM (I(∗),M (0), P (0), I(0),M (0), P (0))M (0)
obtemos o vetor M (∗)
• calculamos P (∗)
AP (c)P(∗) = BP (I
(∗),M (∗), I(0),M (0))P (0)
obtemos o vetor P (∗)
Para encontrar S(∗∗), I(∗∗), R(∗∗),M (∗∗), P (∗∗), fazemos o processo analogo
ao anterior, do seguinte modo:
178 Macufa, Meyer & Krindges
• calculamos S(∗∗)
AS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(∗), I(∗), P (∗), R(∗))S(∗∗) =
BS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(∗), I(∗), P (∗), R(∗))S(0)
obtemos o vector S(∗∗)
• calculamos I(∗∗)
AI(c)I(∗∗) = BI(P
(0), S(∗∗), S(0), P (∗))I(0)
obtemos o vetor I(∗∗)
• calculamos R(∗∗)
AR(c)R(∗∗) = BR(I
(0), I(∗∗))R(0)
obtemos o vetor R(∗∗)
• calculamos M (∗∗)
AM (I(∗∗),M (∗), P (∗), I(0),M (0), P (0))M (∗∗) =
BM (I(∗∗),M (∗), P (∗), I(0),M (0), P (0))M (0)
obtemos o vetor M (∗∗)
• calculamos P (∗∗)
AP (c)P(∗∗) = BP (I
(∗∗),M (∗∗), I(0),M (0))P (0)
obtemos o vetor P (∗∗)
Continuando sucessivamente este processo ate obtermos:
S(1) = S(5∗), I(1) = I(5∗), R(1) = R(5∗), M (1) = M (5∗) e P (1) =
P (5∗)
8. Resultados e discussao
Como o principal objetivo deste trabalho ao propormos o modelo, e de
analisar o impacto do espalhamento geografico da epidemia da malaria na regiao
de Mocambique, os parametros de difusao ou transporte para as populacoes em
estudo, sao de importancia significante para os testes realizados.
Neste primeiro estudo, as simulacoes numericas foram feitas em uma
malha regular, e posteriormente resolveremos o problema numericamente sobre
a regiao de Mocambique, ou seja, com uma malha irregular. Sendo assim, os
Difusao da malaria em Mocambique ... 179
resultados que aqui apresentaremos sao testes em que os parametros utilizados
foram escolhidos de modo que satisfacam as condicoes de Peclet.
A tabela a seguir contem os parametros utilizados nas iteracoes:
Tabela 1: Tabela de Parametrosα V µ β λ δ
Suscetıveis 0.10e-2 0 0.0004 0.01 0.01 -
Infectados 0.10e-3 0 0.03 - - 0.02
Recuperados 0.10e-2 0 - - - -
M.nao portador 0.10e-2 0 0.002 0.01 0.009 -
M. portador 0.10e-2 0 - - - -
Como se observa na Tabela 1, as caracterısticas migratorias ou de trans-
porte advectivo sao consideradas nulas nestes ensaios, permitindo uma analise
qualitativa dos resultados graficos.
E as condicoes iniciais que utilizamos nestes testes sao:
S0 = 50, I0 = 0, R0 = 0, M0 = 100 e P 0 = 1, isto e, colocamos
apenas uma pequena densidade de mosquito infectado no no 525 da nossa
malha regular.
180 Macufa, Meyer & Krindges
Figura 1: Solucao numerica: Suscetıveis, infectados, recuperados, mosquitos
nao portadores e mosquitos portadores. Solucao gerada apos 40 iteracoes
Difusao da malaria em Mocambique ... 181
Pode-se observar nesta Figura 1 que com a introducao de uma baixıssima
densidade de mosquitos infectados num dos pontos do domınio, apos certo
numero de iteracoes observam-se a passagem de suscetıveis a infectados e destes
a recuperados em proporcao bem menor; comportamento identico ocorre com
o mosquitos.
Figura 2: Solucao numerica: Suscetıveis, infectados, recuperados, mosquitos
nao portadores e mosquitos portadores
Na Figura 2 esta mesma situacao pode ser observada de outro ponto de
vista.
Apos 1000 interacoes obtivemos os seguintes resultados:
182 Macufa, Meyer & Krindges
Figura 3: Solucao numerica: Suscetıveis, infectados, recuperados, mosquitos
nao portadores e mosquitos portadores
Como podemos observar na Figura 3, o mesmo comportamento e ob-
servado mas de modo qualitativa e numericamente intensificado, tanto para a
populacao humana quanto para os mosquitos.
Difusao da malaria em Mocambique ... 183
Figura 4: Solucao numerica: Suscetıveis, infectados, recuperados, mosquitos
nao portadores e mosquitos portadores
Aqui de novo podemos ver na Figura 4 que, esta mesma situacao pode
ser observada de outro ponto de vista.
9. Conclusao
Neste trabalho apresentamos um instrumental numerico-computacional
que permita, como ferramenta auxiliar, contribuir para polıticas publicas de
combate a malaria atraves da eliminacao da quantidade de mosquito.
Alem disto, este assim chamado instrumental pode servir de motivacao
e estımulo para trabalhos de ambito transdisciplinar que reuna entomologos,
matematicos, responsaveis por polıticas publicas e cientistas computacionais
184 Macufa, Meyer & Krindges
para futuros trabalhos em areas afim, tanto como objecto-fim de pesquisa,
como instrumento auxiliar em estudo de maior amplitude.
Agradecimentos
A autora gostaria de expressar os seus agradecimentos a CAPES pelo
recurso financeiro.
Referencias
Ciarlet, P. G. (1979). The Finite Element Method For Elliptic Problems. Nort-
Holland Publishing Compony, Amsterdan, 1a edicao.
Cunha, M. C. C. (1993). Metodos Numericos. Ed.Unicamp, Campinas/SP, 1a
edicao.
Douglas Jr, J., Dupont, T., e Ewing, E. R. (1979). Incomplete iteration for
time-sepping a Galerking method for a quasi-linear parabolic problem. Siam
– J.Numerical Analysis, 16:575–626.
Lions, J. L. (1961). Equations–Differentiells e Problemes aux Limites. Springer
Verlag, Paris.
Macufa, M. M. M. (2011). Modelos epidemiologicos alternativos da malaria.
Dissertacao de Mestrado, IMECC–UNICAMP, Campinas/SP.
Ministerio da Saude (2012). Programa nacional de controle da malaria.
Mocambique, http://www.rollbackmalaria.org/flescountries/ Acesso
em: 15/04/2015.
Souza, J. M. R. (2010). Estudo da dispersao de risco de epizootias em animais:
o caso da influenza aviaria. Dissertacao de Mestrado, IMECC–UNICAMP,
Campinas/SP.
Tabares, P. C. C. (2012). Impacto do sedimento sobre especies que interagem:
modelagem e simulacoes de bentos na Enseada Potter. Tese de Doutorado,
IMECC–UNICAMP, Campinas/SP.