DIFERENTSIAALVÕRRANDID

• Diferentsiaalvõrrandiks (DV) nimetatakse võrrandit, mis seob sõltumatut muutujat x, otsitavat funktsiooni y = f(x) ja selle tuletisi y´, y´´, ...y(n).

0,...,,,, nyyyyxF

0,...,,,,2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyyxFvõi

Sümbolites võib võib diferentsiaalvõrrandit esitada kujul

Näided:

dxydyx

xy

xyy

2

4

06

dxxydyx

xey

yxy

y

ln

02

• Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate tuletiste kõrgemat järku.

I

I

I

II

III

• Diferentsiaalvõrrandi lahendiks ehk integraaliks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse.

Näide 1. Olgu antud võrrand

Näitame, et funktsioon

on diferentsiaalvõrrandi lahendiks

RCCxCxCy 2121 ,,cossin

02

2

ydx

yd

Lahendus:

Funktsioonid kujul on antud võrrandi

lahenditeks konstantide С1 ja С2 mistahes väärtuste korral:

xCxCy sincos 21

xCxCy cossin 21

0cossincossin 2121 xCxCxCxC

00

xyCjaC sin:01 21

xxyCjaC cossin3:13 21

Asetame:

xCxCy cossin 21

RCCxCxCy

ydx

yd

2121

2

2

,,cossin

0

Esimest järku diferentsiaalvõrrand

• Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse funktsiooni

mis sõltub ühest suvalisest konstandist С.

0,, yyxF

),( yxfy dxyxfdy ),(

),,( Cxy

või

0),,( Cyxvõi (ilmutamata kujul)

• Esimest järku diferentsiaalvõrrandil on kuju

Kui seda võrrandit saab lahendada y´ suhtes, siis võib teda esitada kujul

• Erilahendiks nimetatakse mistahes funktsiooni

mis saadakse üldlahendist

kui selles suvalisele konstandile

C anda konkreetne väärtus С = С0.

),,( 0Cxy

),,( Cxy

0),,( 0 Cyx• Seost nimetatakse sel juhul

võrrandi eriintegraaliks

Näide 2. On antud DV: 23xy

Cxy 3 23 3xCxy

2:2 3 xyC 23 32 xxy

1:1 3 xyC 23 31 xxy

3:0 xyC 23 3xxy

- üldlahend

erilahendid

Geomeetriline tõlgendus: • DV-i üldlahendiks on koordinaattasandil

asetsev joonteparv, mis sõltub ühest suvalisest konstandist C.

• DV-i erilahendile vastab selle parve üks joon, mis läbib tasandi antud punkti

),( Cxy

),( 0Cxy ),( 00 yx

23xy

Cxy 3 — üldlahend

13 xy

х

у

— erilahend(х0, у0)

• Ülesannet, milles otsitakse DV-i erilahendit y=y(x), mis rahuldab algtingimusi y(x0)=y0, nimetatakse Cauchy ülesandeks (ka algtingimustega ülesandeks).

00 )( yxy 00yy xx või

• Tingimust, et funktsiooni y väärtus peab võrduma antud arvuga у0, kui х=х0 nimetatakse algtingimuseks.

Näide 3.Lahendada Cauchy ülesanne:

Cey x 3

3

1on üldlahend

3

2)0(,3 yey x

Lahendus:

Asetame algtingimused:3

2)0( y

Ce 03

3

1

3

2

C3

1

3

2

13

1

3

2C 1

3

1 3 xey on erilahend

3

2;0

х

у

Diferentsiaalvõrrandi lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem

• Kui võrrandis esinev funktsioon

f(x,y) ja tema osatuletis on muutuja y suhtes

pidevad xy-tasandi mingis piirkonnas D, mis sisaldab

punkti (х0;у0), siis on sellel võrrandil ainult üks

lahend mis rahuldab tingimust

),( yxfy

);( yxf y

),(xy .)( 00 yxy

1. Esimest järku eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandid

• Diferentsiaalvõrrandit kujul

nimetatakse eraldatud muutujatega võrrandiks.

Selle võrrandi üldintegraal on

0)()( dyyNdxxM

CdyyNdxxM )()(

Näide 4. Lahendada DV: 0 dyydxx

Lahendus:

dxxdyy

dxxdyy

Cxy

22

22

2

Cxy 222

Cxy 22

Cyx 22

С

üldlahend:

või

Geomeetriliselt: see on kontsentriliste ringjoonte parve võrrand, kus iga ringjoone keskpunktiks on koordinaatide alguspunkt ja raadiuseks on С.

С

х

у

0

Näide 5. Lahendada DV: 0 dyydxx

Lahendus:

dxxdyy

dxxdyy

Cxy

22

22

2

Cxy 222 Cxy 22

Cxy 22С

üldlahend:

või

х

у

0

С=1

С=1

С=3

С=3

С=-2С=-2

2. Esimest järku eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

• Võrrandit, millel on kuju

nimetatakse eralduvate muutujatega võrrandiks,

)(),(),(),( 2121 yNyNxMxMkus

on mingid funktsioonid.

0)()()()( 2211 dyyNxMdxyNxM

0

21

22

21

11 dyxMyN

yNxMdx

xMyN

yNxM

0)(

)(

)(

)(

1

2

2

1 dyyN

yNdx

xM

xM

CdyyN

yNdx

xM

xM )(

)(

)(

)(

1

2

2

1

0)()(: 21 xMyN

Integreerides saame:

0)()()()( 2211 dyyNxMdxyNxM

Märkus:

• Jagades võrrandi mõlemad pooled avaldisega

mingid lahendid võivad olla kaotatud. Seetõttu tuleb lahendada võrrandit

ja leida neid DV-i lahendeid, mida ei ole võimalik saada üldlahendist nn iseärased ehk singulaarsed lahendid.

)()( 21 xMyN

0)()( 21 xMyN

Näide 6. Leidada DV-i üld- ja erilahendid.

Lahendus:

10)5(, ydxydyx

dxydyx xy

1

x

dx

y

dy

x

dx

y

dy

Cxy lnln

Cxy lnlnln

xCy lnln

Cxy

Cxy Cxy ⇒

1) Leiame DV-i üldlahend:

DV-i üldlahend on Cxy

2) Leiame DV-i erilahend, kui 10)5( y

Asendades seda võrrandisse, leiame С:

2

510

C

Cxy 2 - DV-i erilahend.⇒

Vastus: üldlahend on ja erilahend on

Cxy .2xy

Geomeetriliselt:

х

у

Üldlahend on Cxy

xy 2

у = 2х

(5;10)

Erilahend on

Näide 7. Leida DV-i üldlahend:

Lahendus:

011 dyxydxyx

011 dyxydxyx

xy

1 dxyxdyxy 11

dxx

xdy

y

y

11

dxx

dyy

1

11

1

dx

xdy

y1

11

1

Cxxyy lnln

Cxyxy lnln

Cxyxy ln Cxyxy lnvõi

⇒

Vastus. Üldlahend on .ln Cxyxy

Iseärase lahendi leidmine.

Võrrandi kuju on ху = 0. Selle

lahendid х=0, у=0 on antud võrrandi lahenditeks, kuid

ei ole võimalik saada üldlahendist mitte ühegi

konstandi C väärtuse korral.

Seega on х=0, у=0 võrrandi singulaarsed lahendid.

0)()( 21 xMyN

Näide 8. Leiame antud võrrandi üldlahend :

Lahendus:

0cos3sin2 2 dyyxdxyx

yx sin3

12

0cos3sin2 2 dyyxdxyx

dxyxdyyx sin2cos32

dxx

xdy

y

y

3

2

sin

cos2

dx

x

xdy

y

y

3

2

sin

cos2

Cxy 3lnsinln 2

Cxy ln3lnsinln 2

3lnsinln

2

x

Cy

3sin

2

x

Cy

3sin

2

x

Cy

3sin

2

x

Cy

3arcsin

2

x

Cyvõi

⇒

Geomeetriliselt:

Üldlahend:3

arcsin2

x

Cy

С=5

С=3

С=1

С=-2С=-5

х

у

Näide 9. Lahendada Cauchy ülesanne :

Lahendus:

1)0(,1 22 yeyye xx

xe21

1

xx edx

dyye 2211) Leiame DV-i üldlalahend:

dxedyye xx 221

dxe

edyy

x

x

22

1

dx

e

edyy

x

x

22

1

Cey x arctan3

3

3

Cey x 3arctan33 Cey x arctan33või

DV-i üldlahend on Cey x arctan33

С

2) Leiame DV-i erilahend, kui 1)0( y

Asetame algtingimused üldlahendisse ja leiame С:

DV-i erilahend:

Cey x arctan33

C

C

Ce

431

1arctan31

arctan31 0

4

31arctan33 xey

4

31arctan33 xey

3

4

31arctan3

xey

või

Geomeetriliselt:

Üldlahend on

Erilahend on 3

4

31arctan3

xey

Cey x arctan3

3

4

31arctan3

xey

4

31

C

(0;1)

С=5

С=-3

С=-6

С=0

х

у

Näide 10. Lahendada Cauchy ülesanne :

Lahendus:

4)0(),3(2 yydx

dy

3

1

y

1) Leiame DV-i üldlahend:

dxydy )3(2

dxy

dy2

3

dxy

dy2

3

Cxy 23ln

Cey x lnln3ln 2

xeCy 2ln3ln xeCy 23

xeCy 23 xeCy 23

xeCy 23 DV-i üldlahend:

⇒

2) Leiame DV-i erilahend, kui 4)0( y

Asendame seda üldlahendisse ja leiame С:

Siis DV-i erilahend on

1

34

34 0

C

C

eC

xeCy 23

xey 23

Geomeetriliselt:

Üldlahend on

Erilahend on

xeCy 23

xey 23

xey 23С=1

С=-5

С=9

С=-1

х

у

(0;4)