Diferansiyel Denklemlere Giri˘skisi.deu.edu.tr/ali.sevimlican/mat3-sunum1yeni.pdf · Diferansiyel...

Diferansiyel Denklemlere Giris

Fizik, muhendislik, kimya, biyoloji, astronomi, ekonomi gibi dallardabelli problemleri temsil etmek icin bir matematiksel model gerekliolur. Bu matematiksel modeller icinde degiskenleri ve turevleri bu-lunduran bir denklemi ve bu denklemi bazı kosullarda saglayan birbilinmeyen fonksiyonu bulmak icin kaynak olusturur. En ilginc dogalolaylar degisim icerir ve degisen nicelikleri birbirine baglayan den-klemler ile tanımlanır.

Ogr.Gor.Dr. A.Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 24

Diferansiyel Denklemler

Tanım

Bagımlı bir degiskeni ve bunun bir yada daha cok bagımsızdegiskene gore turevlerini veya diferansiyellerini iceren denklemediferansiyel denklem denir.

dt= x2 + t2 + 3

diferansiyel denklemi, hem x(t) bilinmeyen fonksiyonunu hemdeonun x′(t) = dx

dt birinci turevini icerir.

Tanım

Bagımlı bir degiskeni ve bunun bir yada daha cok bagımsızdegiskene gore turevlerini veya diferansiyellerini iceren denklemediferansiyel denklem denir.

dt= x2 + t2 + 3

diferansiyel denklemi, hem x(t) bilinmeyen fonksiyonunu hemdeonun x′(t) = dx

dt birinci turevini icerir.

dx2+ 3

dx+ 7y = 0

diferansiyel denklemi, x bagımsız degiskeninin bilinmeyen yfonksiyonunu ve y nin ilk iki y′, y′′ turevlerini ecerir.

(x− y)dx+ x2dy = 0

dx2+ 3

dx+ 7y = 0

diferansiyel denklemi, x bagımsız degiskeninin bilinmeyen yfonksiyonunu ve y nin ilk iki y′, y′′ turevlerini ecerir.

(x− y)dx+ x2dy = 0

Diferansiyel denklemleri incelemenin baslıca uc amacı vardır.

Belirli bir fiziksel olayı tanımlayan diferansiyel denklemibulmak,

Diferansiyel denklemin -kesin yada yaklasık- uygun bircozumunu elde etmek,

Elde edilen cozumu yorumlamak.

Cebirde, genellikle x3+7x2−11x+41 = 0 gibi bir denklemi saglayanbilinmeyen sayıları ararız. Aksine, bir diferansiyel denklemi cozerkenbir reel sayı aralıgında

y′(x) = 2xy(x)

gibi bir diferansiyel denklemi saglayan bilinmeyen y(x) fonksiyon-larını bulmak isteriz. Genellikle diferansiyel denklemin, eger mumkunsetum cozumlerini bulmak isteyecegiz.

ORNEKEger C bir sabit sayı ve

y(x) = Cex2

ise, bu takdirde

dx= C(2xex

2) = 2x(Cex

2) = 2xy

dir. Boylece denk. (1) seklindeki her y(x) fonksiyonu, tum x ler icin

dx= 2xy (2)

diferansiyel denklemini saglar ve boylece onun bir cozumudur.

Ozellikle denk. (1), bu diferansiyel denklemin (2), C keyfi sabitininher secimi icin farklı cozumlerinin bir sonsuz ailesini tanımlar.

Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması

Tanım

Bir tek degiskene baglı bir fonksiyonun bu bagımsız degiskene goreturevlerini iceren bir denkleme adi diferansiyel denklem denir

Ornegin,dy

dx− 6y = 9

dx2− 4

dx− 6y = sinx

(y − x)dx+ 7xdy = 0

Tanım

Ornegin,dy

dx− 6y = 9

dx2− 4

dx− 6y = sinx

(y − x)dx+ 7xdy = 0

Tanım

Ornegin,dy

dx− 6y = 9

dx2− 4

dx− 6y = sinx

(y − x)dx+ 7xdy = 0

Tanım

Ornegin,dy

dx− 6y = 9

dx2− 4

dx− 6y = sinx

(y − x)dx+ 7xdy = 0

Tanım

Iki yada daha cok bagımsız degiskene baglı bir fonksiyonun bubagımsız degiskene gore turevlerini iceren denkleme kismidiferansiyel denklem denir.

Ornegin,∂u

∂t= k

∂x+ y

∂y= u

Tanım

Ornegin,∂u

∂t= k

∂x+ y

∂y= u

Tanım

Ornegin,∂u

∂t= k

∂x+ y

∂y= u

Tanım

Ornegin,∂u

∂t= k

∂x+ y

∂y= u

Tanım

Bir diferansiyel denklemin mertebesi, denklemde gorulen en yuksekturevin mertebesidir.

dx= y2 (Birinci mertebeden)

dt= −k(T −A) (Birinci mertebeden)

y(4) + x2y(3) + x5y = sinx (Dorduncu mertebeden)

Tanım

Bir diferansiyel denklem var olan tum turevlere gore bir polinomdenklem biciminde ise, denklemde gorulen en yuksek turevinkuvveti(ussu) diferensiyel denklemin derecesidir.

(y′′)2/3 + y

′= 1 (ikinci mertebe, ikinci derece)

Tanım

Bir diferansiyel denklem var olan tum turevlere gore bir polinomdenklem biciminde ise, denklemde gorulen en yuksek turevinkuvveti(ussu) diferensiyel denklemin derecesidir.

(y′′)2/3 + y

′= 1 (ikinci mertebe, ikinci derece)

Tanım

Bir diferansiyel denklem bilinmeyen fonksiyon ve bilinmeyenfonksiyonun var olan turevlerine gore birinci dereceden ise,diferensiyel denklem lineerdir denir.

Bagımsız degiskeni x ve bilinmeyen fonksiyonu veya bagımlıdegiskeni y = y(x) olan n. mertebeden en genel diferansiyeldenklem

F (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0 (3)

dır. Burada F , n+ 2 degiskenli verilmis bir reel-degerlifonksiyondur.

Tanım

Bir diferansiyel denklem bilinmeyen fonksiyon ve bilinmeyenfonksiyonun var olan turevlerine gore birinci dereceden ise,diferensiyel denklem lineerdir denir.

Bagımsız degiskeni x ve bilinmeyen fonksiyonu veya bagımlıdegiskeni y = y(x) olan n. mertebeden en genel diferansiyeldenklem

F (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0 (3)

dır. Burada F , n+ 2 degiskenli verilmis bir reel-degerlifonksiyondur.

Tanım

y bagımlı degisken ve x bagımsız degisken olmak uzere n.mertebeden bir lineer adi diferansiyel denklem

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ . . .+ a1(x)

dx+ a0(x)y = b(x)

seklinde ifade edilen denklemdir.

COZUMLER

Acık cozum, Kapalı cozum

F , x, y, y′, y′′, ..., y(n) gibi n+ 2 degiskenli verilmis bir reel-degerlifonksiyon olmak uzere

F (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0 (4)

adi diferansiyel denklemi ele alalım.I aralıgında surekli bir y = f(x) fonksiyonunun f ′, f ′′, ..., f (n)

turevleri I da mevcut ve I daki tum x ler icin

F (x, f, f ′, f ′′, ..., f (n)) = 0 (5)

ise y = f(x) fonksiyonuna (4) diferansiyel denkleminin bir acıkcozumudur denir.

Kısaca y = f(x) in I da (4) daki diferansiyel denklemi sagladıgınısoyleyebiliriz.

COZUMLER

Acık cozum, Kapalı cozum

F , x, y, y′, y′′, ..., y(n) gibi n+ 2 degiskenli verilmis bir reel-degerlifonksiyon olmak uzere

F (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0 (4)

adi diferansiyel denklemi ele alalım.I aralıgında surekli bir y = f(x) fonksiyonunun f ′, f ′′, ..., f (n)

turevleri I da mevcut ve I daki tum x ler icin

F (x, f, f ′, f ′′, ..., f (n)) = 0 (5)

ise y = f(x) fonksiyonuna (4) diferansiyel denkleminin bir acıkcozumudur denir.

Kısaca y = f(x) in I da (4) daki diferansiyel denklemi sagladıgınısoyleyebiliriz.

Bir g(x, y) = 0 kapalı fonksiyonu, bir I aralıgında (4) denkleminisaglarsa buna (4)’nin kapalı cozumu denir.

ornek 1. ∀x ∈ R icin y = sinx fonksiyonu y′′ + y = 0 diferansiyeldenkleminin bir acık cozumudur.

ornek 2. g(x, y) = x2 + y2 − 25 = 0 fonksiyonu x + yy′ = 0diferansiyel denkleminin bir kapalı cozumudur.

Genel, Ozel, Tekil cozum

n. mertebedenF (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0

adi diferansiyel denklem verildiginde

Bu denklemin c1, c2, . . . , cn gibi n tane keyfi sabit icerenf(x, c1, c2, . . . , cn) cozumune genel cozum

Bu genel cozumdeki keyfi sabitlere deger vererek elde edilencozume ozel cozum

Genel cozumdeki keyfi sabitlerin herhangi bir sekilde secimi ileelde edilemeyen cozume tekil cozum.

Baslangıc ve Sınır Deger Problemleri

Diferensyel denklemler iceren uygulamalarda, denklemin genelcozumuden cok, onceden verilen yardımcı kosulları saglayancozumununun bulunması istenir. yardımcı kosullar, bagımzsızdegiskeninn bir veya daha cok degeri icin bilinmeyen fonksiyonunve onun turevlerinin onceden verilmesi seklide ortaya cıkar.Yardımcı kousllar, bagımsız degiskenin bir tek degeri icin veriliyorsabaslangıc kosulları; iki veya daha cok degeri icin veriliyorsa sınırkosulları adını alır.

Tanım. Bir diferesiyel denklem baslangıc kosulları ile veriliyorsabaslangıc deger problemi, sınır kosulları ile veriliyorsa sınır degerproblemi olarak adlandırılır.

Diferensyel denklemler iceren uygulamalarda, denklemin genelcozumuden cok, onceden verilen yardımcı kosulları saglayancozumununun bulunması istenir. yardımcı kosullar, bagımzsızdegiskeninn bir veya daha cok degeri icin bilinmeyen fonksiyonunve onun turevlerinin onceden verilmesi seklide ortaya cıkar.Yardımcı kousllar, bagımsız degiskenin bir tek degeri icin veriliyorsabaslangıc kosulları; iki veya daha cok degeri icin veriliyorsa sınırkosulları adını alır.Tanım. Bir diferesiyel denklem baslangıc kosulları ile veriliyorsabaslangıc deger problemi, sınır kosulları ile veriliyorsa sınır degerproblemi olarak adlandırılır.

Ornegin

y′′(x) + y(x) = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 (6)

baslangıc deger problemi

y′′(x) + y(x) = 0, y(0) = 1, y(π) = 0 (7)

sınır deger problemi

Ornegin

y′′(x) + y(x) = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 (6)

baslangıc deger problemi

y′′(x) + y(x) = 0, y(0) = 1, y(π) = 0 (7)

sınır deger problemi

dx= f(x, y), y(x0) = y0 (8)

baslangıc deger problemini cozmek, x0 ı iceren bir aralıkta denk.(8) deki her iki kosulu saglayan turevlenebilir bir y = y(x)fonksiyonu bulmak demektir.

dx= 2xy, y(0) = 1 (9)

baslangıc deger problemini cozunuz.

COZUMDaha once dy/dx = 2xy diferansiyel denkleminin cozumunun y(x) =cex

2oldugunu soylemistik. Burada sadece y(0) = 1 baslangıc kosulunu

saglayacak sekilde bir c degeri bulmamız gerekir. x = 0 icin y(0) =c = 1 degeri cozumde yerine konursa baslangıc deger problemincozumu y(x) = ex

2olarak bulunur.

Genel ve Ozel Cozum olarak Integraller

dx= f(x, y)

Eger f fonksiyonu y bagımlı degiskenine bagımlı degilse, yukarıdakibirinci mertebeden diferansiyel denklem basit bir hal alır:

dx= f(x) (10)

Bu ozel halde, (10) denkleminin her iki yanının sadece integralinialmamız yeterlidir. Boylece

y(x) =

∫f(x)dx+ C (11)

elde ederiz. (11), (10) denkleminin genel cozumudur.

Bir y(x0) = y0 baslangıc kosulunu saglaması icin y(x) = G(x) + Cgenel cozumunde x = x0 ve y = y0 konulması gerekir. Buradan Cdegerini bulabilir ve

dx= f(x), y(x0) = y0

baslangıc deger problemini saglayan bir ozel cozumunu elde ederiz.

dx= 2x+ 3, y(1) = 2 (12)

baslangıc deger problemini cozunuz.COZUMDiferansiyel denklemin her iki yanının integralini alalım

y(x) =

∫(2x+ 3)dx = x2 + 3x+ C

genel cozumu elde ederiz. Aradıgımız ozel cozum (1, 2) noktasındangecen, dolayısıyla

y(1) = (1)2 + 3.(1) + C = 2

baslangıc kosulunu saglayan egridir. Boylece aranan ozel cozum

y(x) = x2 + 3x− 2

dir.Ogr.Gor.Dr. A.Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 24/ 24

Diferansiyel Denklemlere Giri˘skisi.deu.edu.tr/ali.sevimlican/mat3-sunum1yeni.pdf · Diferansiyel...

Documents

Transcript of Diferansiyel Denklemlere Giri˘skisi.deu.edu.tr/ali.sevimlican/mat3-sunum1yeni.pdf · Diferansiyel...