Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) 0044-2275/84/005723-05 $ 2.50/0 Vot. 35, September 1984 �9 Birkh~iuser Verlag Basel, 1984

Die Singularitfitenfunktionen der gespannten Platte und der Kreiszylinderschale

Von Peter Wagner , Inst i tut fiir Ma thema t ik und Geometr ie , Innsbruck, Osterreich

1. E i n l e i t u n g

In [1] wurde zum erstenmal die Singularit/itenfunktion

E(xI,x2) 1 il 1 l~2l - - - (I x 2 [ - - t) K o (). t) dt 42n K o ( 2 x / ~ + xZ) s h 2 t dt ~n o

des Operators der gespannten Platte PI(~)= A 2 - 4 2 2 8~ angegeben und auf einige physikalische Probleme angewandt. In [2] wurde E auf mathematisch exaktem Wege im Sinne der Distributionentheorie abgeleitet. In [3] und [4] wird der Operator P~ (~) = A 22 - i ~ im Zusammenhang mit den komplexen Gleichungen der Kreiszylinder- schale betrachtet. Seine Fundamentall6sung (= Singularit/itenfunktion) erh/ilt man aus E mit 2 = (1 + 0 / 2 , ~ (vgl. etwa [4], p. 287, (4)). Eine Fundamentall6sung des Operators 4 4- 4 P2(8) = A 2 + 162 81 der Kreiszylinderschale wird in [5], p. 443, (14) angegeben und durch Differenzieren auBerhalb der Singutarit/it x 1 = x 2 = 0 sowie durch Regularit/itsbe- trachtungen verifiziert. Eine Methode der Herleitung wird nicht gegeben.

Ich will im folgenden mit einer einfachen algebraischen Methode die Fundamental- 16sungen von P1 und P2 berechnen. Eine/ihnliche Vorgangsweise (unbestimmte Integra- tion bzgl. x) wurde auch in [6] verwendet.

2 . D i e G l e i c h u n g e n

a) Nach [7], p. 379, erffillt die Durchbiegung w einer Platte unter der Flfichenbelastung p und mit den Spannungskomponenten al, a2, z12 die verallgemeinerte Plattenglei- chung K A22 w = p + h (a 1 ~2 + 2 z12 ~12 + 0"2 82) W, wobei K = Plattensteifigkeit, h = Plattenst/irke. Wenn wir gleichf6rmige Spannung in der Richtung x 1 annehmen, d.h. 0"2 = "C12 = 0, 0"1 = konstant, so erhalten wit

/ ' l ( ~ ) w = ~ mit 2 = ~ / 4 K

b) Nach [7], p. 523, erf/illt die Spannungsfunktion F einer Kreiszylinderschale unter Normalbelastung p

1 - v 2 1 - - 1 / 2

A~ F + ~ 8~ F - k a 3 E h p' wobei h = Schalenst/~rke, E = Elastizit/itsmo-

dul, a = Schalenradius, k = h2/12 a 2, v = Poissonsche Konstante. Die Verschiebun- gen u, v, w der Schale k6nnen aus F durch Differentiation ermittelt werden, vgl. [7], Formel (306).

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3. D i e Berechnungsmethode

Ich verwende die Bezeichnungen aus [8]. x = (xl . . . . . x,) ~ I R n, x ' = ( x 2 . . . . . Xn)

Satz: Q(8) sei ein Di f fe ren t i a lopera to r im N" mi t kons t an t en Koeffizienten, 0 r c e C, T~ bzw. T 2 e D' (R") seien F u n d a m e n t a l l 6 s u n g e n von

Q (8) - (c 81)" bzw. Q (8) + (c 8 0 " .

T~ und T z seien stet ig von x~ abh/ ingige Dis t r ibu t ionen , d.h. durch stetige Abb i ldungen yon R 1 nach D' (N"~;-t) gegeben. .i; 1

G : - x1

J (x 1 - t) ~-1 (T l ( t , x ' ) - T2 ( t , x ' ) ) d t . 2cm (m 1)! b

Behauptung:

a)

b)

m - 1

( 0 (8) ~ - (c 8~) ~ ) 6 = ~ + Z x ] | F,. V, ~ D ' 0RT,. ~). k = 0

W e n n H~ s D' (IR") eine L6sung der Gle i chung

(Q (~)2 _ (c St) zm) H k = x~ | Fk ist, so ist nl--1

E : = G - ~2 H k eine F u n d a m e n t a l l 6 s u n g yon Q(~)2 _ (c802, , . k = 0

Beweis :

a) 8~ [(Q (8) 2 - (c 81) 2~) 6 - ~1 = (Q (8) 2 - (c 8~) ~ ) 8~ ~ - 8~ = (Q (8) 2 - (c ~ ~2m~ 1 C ~ (Tt -- Tz) - 8~

1 - m m = ~ c [(Q (8) + (c 80") ~ - (0 (8) - (c 80") ~1 - 8~ ~ ~ o ra--1

k = O

b) folgt aus a).

4. D e r Operator der gespannten P la t t e

Q(8) = A 2, m = 1, P 1 ( 8 ) = A ~ - 4 2 2 8 2 , c = 22. Es t re ten nur F o und H o auf,

wobei

( A ~ - 4 L 282 ) H o = I | o

D a h e r k 6 n n e n wir H o = 1 | h (x2) mi t h TM = F o setzen. a) Berechnung yon G.

Als F u n d a m e n t a l l 6 s u n g von A2 ~ 22 81 nehmen wir nach [2], p. 143:

T1 = - (1/2 re) e ~'xl K o (2 r), T 2 = - (1/2 ~) e - ~xl Ko (2 r)

m i t r 2 = x~ z + x~. Die Vorausse tzungen des Satzes s ind d a n n erffillt. D a h e r ist

1 x l G - x )sh tat

Vol. 35, 1984 Die Singularit/itenfunktionen der gespannten Platte 725

b) Berechnung von F o.

1 ~[1 Ti (t, x2) dr. Es sei fiir i = 1, 2: Gi:= 42

= (81 + 22)(A z - 22 81) 81 + 82 z (A 2 - 2 2 8 0

= (81 + 22)(A 2 - 2)~ 81) 8~ + 822 (81 - 22) 81 + 84

( A ~ - 4228~) G1

- 421 ( 8 t + 2 2 ) 3 + 4 2 8 2 ( 8 _ 2 2 ) T l + 8 ~ G 1 .

Ebenso erh/ilt man

(A 2 - 4228~) G 2

_ 1 (St - 22) 6 + 1822 (81 + 22) T 2 + 8 4 G 2. 42 q-A

Der Satz liefert uns:

+ lxl | Fo (x2) = (A 2 - - 4 2 2 8 2 ) G

= (A a - 422 8~)(G1 - G2)

= 6 + 8 ~ 8 1 ( T 1 - - T 2 ) - - ~ 8 2 ( T l + T2)+824G

L , | eo (x2) = 82 82 G + 81 (7"1 - r2) - ~ (r l + 7"2

A

A ~ D' (IR 2) hfingt stetig von xl ab, d.h. V xl: F o = 822 Axl (x2). c) Berechnung yon h.

h TM = F o = 82 A o. Folglich k6nnen wir h (welches nicht eindeutig ist) so wfihlen, dab h" = A o.

G(x 1 = 0 , x 2 ) = 0 ~ 8 2 2 G ( x 1 = 0 , x 2 ) = 0 ;

81(T 1 - T 2 ) = _ 2_ch(2xl) K o ( 2 r ) + 2x l s h ( 2 x l ) K o(2r)

81 ( T 1 - - T 2 ) ( x I = 0, x2 ) = - - -A K o ( ,~[x2]) ; 7r

1 Ti(xl = 0, x 2 ) = - ~ Ko(2[Xal), i = 1, 2.

Nach b) ist daher

1 1 1~21 = = ([ x2] - t) Ko (2 t) dt Ao 4nn K~ = h' , h ~ o

und es ergibt sich mit E = G -- h die in der Einleitung angegebene Fundamental- 16sung yon P1 (8).

d) Bemerkung: Fiir 2 > 0 wfichst E i m Unendlichen wie Konstante �9 ( Ix /~l I + Ix2 D, ist also insbesondere eine temperierte Distribution (siehe [8]). Mit Fouriertransfor- mat ion sieht man leicht, dab E die einzige Fundmental l6sung von P1 (8) ruit dem an- gegebenen Wachstumsverhal ten ist, abgesehen yon einem Term C 1 + C2 x2.

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5. Der Operator der Kreiszylindersehale

Q(~) = A 2, m = 2, P2(O) = A~ + 16,~* ~ , c = x /~(1 + i) 2. Die Berechnung gleicht der in Punkt 4, ich fasse mich daher kurz. a) Berechnung yon G.

Aus 4. erhalten wir die Fundamental l6sung yon A ~ -T- 4 i 22 ~ :

Ix21 1 ! (Ix21- t )Ko(2xSi t )d t , 1 K o (2 x/i (t 2 + x22)) s h 2 t dt - r l - 4Z,fi

m

T 2 = T 1 = konjugiert komplexe Funkt ion von T 1.

1 i ~(x 1 - t ) ( T l ( t , x 2 ) - T 2(t,x2) )dt G - 8 i22

1 ~1 1 ~1 - 4 2 2 Jo(X 1 - t ) I m T l ( t , x z ) d t - 32x/ /~n23 ! ( x 1 - 0 2 .

Fs ).t 2 t h - - cos - - (kei (2 x / ~ + x~) - ker (2 x//~ + x~))

2 t 2 t )] + c h ~ sin ~ (kei (2 x / ~ + x22) + ker (2 ~ ) dt

x /2 , , /2

x2 I*!l (Ix~l 32 rc 22 - t) kei 2 t dt .

b) Berechnung von F o, F 1 . ( A 4 + 1 6 2 4 O 4 ) G = (5 + lx~ | Fo + x~ | F~, F~ s O' (lt.~,2). Da G eine gerade Funkt ion in x~ ist, muB F~ = 0 sein. Wie oben ergibt sich:

c)

l ~ , | 0 ( x 2 ) = 8 4 ~ G + ( ~ i + 2 ~ 2 ) ( T ~ - T 2 ) - ~ .

A~ (x2)

V x~ : Fo = ~4 &, (xg. Wir setzen wieder H o = 1 | h mit h vm = F o. Berechnung von h. Wir wfihlen h so, dab

3 1 1-21 h l V = A o - 1 6 z c R z k e i ( R l x 2 l ) + ~ ! ( ]x2 l - t ) ker (R t )d t '

- - - ( Ix21- t)Sker(2t) dt. h - 32 7r 22 o (]x2l - 03 kei (2 t) dt 480 zr o

d) Die Singularit/itenfunktion von Pz ist damit E = G - h. Bemerkung: Fiir 2 > 0 w/ichst E im Unendlichen wie Kons tan te . (I x l [2,5 +Ix215) und ist eindeutig durch dieses Wachstumsverhalten best immt bis auf einen Term R5 (x2) + xl R3 (x2) + x~ R 1 (x2), wobei R, ein Polynom von Grad < nist .

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Literatur

[1] J. Dundurs, A. Jahanshahi, Concentrated forces on unidirectionally stretched plates, Quart. J. Mech. Appl. Math. 18, 129-139 (1965).

[2] N. Ortner, Regularisierte Faltung yon Distributionen, Z. angew. Math. Phys. (ZAMP) 31, 133-173 (1980).

[3] J. L. Sanders, J. G. Simmonds, Concentrated forces on shallow cylindrical shells, J. Appl. Mech. 37, 367-373 (1970).

[4] J. G. Simmonds, M. R. Bradley, The fundamental solution for a shallow shell with an arbittrary quadratic midsurfaee, J. Appl. Mech. 43, 286-290 (1976).

[5] A. Jahanshahi, Some notes on singular solutions and the Green's functions in the theory of plates and shells, J. Appl. Mech. 31, 441-447 (1964).

[6] R. Naderer, P. Wagner, Die Durchbiegung der gelenkig gelagerten Viertelkreisplatte, Z. angew. Math. Mech. (ZAMM) 62, 710-712 (1982).

[7] S. P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of plates and shells, 2 na ed., Mc Graw-Hill 1959.

[8] L. Schwarz, Thborie des distributions, Nouvelle 6d. Hermann, Paris 1966.

Zusammenfassung

Es wird eine Darstellung einer Fundamentall6sung des Operators P (8) = Q (8) z - (c 81) 2m durch Fundamentall6sungen der Operatoren Q (8) • (e ~ 1) '~ angegeben. Als Anwendung berechnen wir die Singularitfitenfunktionen der gespannten Platte und der Kreiszylinderschale.

Summary

A method is given, which allows to derive a fundamental solution of the operator P(8) = Q (8) z - (c 81) TM from some fundamental solutions of the operators Q (8) _+ (c 81) ~. As an appli- cation we easily obtain the singular solutions of the unidirectionally stretched plate and of the circular cylindrical shell.

(Eingegangen: 25. Juli 1983; Revision: 17. Februar 1984)