Didaktik der Linearen Algebra Übergangsmatrizen Referenten: Leif Stuhrmann René Kühne.
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Didaktik der Linearen Algebra
Übergangsmatrizen
Referenten: Leif Stuhrmann René Kühne
Übersicht
Problemvorstellung Wiederholung
Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung Wiederholung
Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung Wiederholung
Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung Wiederholung
Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung Wiederholung
Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
Übersicht
Problemvorstellung Wiederholung
Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien
ProblemDie drei Firmen A, B und C führen einen völlig neuartigen Mikrochip auf dem Markt ein.
Zu Beginn besitzt A 40%, B 20% und C 40% Marktanteil. Während des ersten Jahres verliert A 5% seiner Kunden an B und 10% an C, B gibt 15% seiner Kunden an A und 10% an C ab, und C verliert jeweils 5% seiner Kunden an A und B. Während der folgenden Jahre verändern sich die Marktanteile stets nach demselben Schema.
Problem
A : 40
B : 20
C : 40
Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres?
5 % zu B und 10 % zu C5 % zu A und 5 % zu B
15 % zu A und 10 % zu C
Matrizenmultiplikation
Beachte: Stimmen die inneren Zeilen überein, so ist das Produkt definiert. Die äußeren Zahlen geben die Größe des Produktes an.
Problem
A : 38,1
B : 18,3
C : 43,6
Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?
A : 39
B : 19
C : 42
1.Jahr 2.Jahr
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes
System:(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
vvA
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes
System:(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
vvA
0)(
vAE
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes
System:(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
vvA
0)(
vAE
Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes
System:(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:
vvA
0)(
vAE
0)det( AE
Zahlenbeispiel
Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A
211
432
112
A
Problem
A : 38,1
B : 18,3
C : 43,6
Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?
A : 39
B : 19
C : 42
1.Jahr 2.Jahr
Lösung mit Derive
AnwendungBei Konzerten sind die Preise in 3 Klassen A, B und C unterteilt. (A ist die teuerste, dann folgt B und C ist schließlich billigste). 70% bleiben am nächsten Wochenende bei ihrer Preisklasse.
Von A aus wechseln 30% zu B und 0% zu C. Von B wechseln 20% zu A und 10% zu C. Von C wechseln wiederum 20% zu B und 10% zu A.
Die Veranstalter wollen auf lange Sicht gleich viele Karten von jeder Preisklasse verkaufen.
Nur die Besucher der Klasse A sollen ihr Übergangsverhalten ändern.
Untersuche, wie sich das Übergangsverhalten derjenigen Mitglieder, die Klasse A gewählt haben, ändern müsste, damit auf lange Sicht je 400 Karten der Klassen A, B und C reserviert werden können.
Lösung Übergangsmatrix:
7,01,00
2,07,03,0
1,02,07,0
A
Lösung Übergangsmatrix:
Lösung von
7,01,00
2,07,03,0
1,02,07,0
A
400
400
400
400
400
400
7,01,0
2,07,0
1,02,0
3
2
1
x
x
x
Lösung Übergangsmatrix:
Lösung von
Lösung:
7,01,00
2,07,03,0
1,02,07,0
A
400
400
400
400
400
400
7,01,0
2,07,0
1,02,0
3
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x
x
x
2,01,07,0 321 xxx
Anwendungsszenarien
Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von
Wettervorhersagen)
Anwendungsszenarien
Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von
Wettervorhersagen)
Anwendungsszenarien
Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von
Wettervorhersagen)
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!