Diagramas de Minkowski Representação do E-T : diagramas de Minkowski eventos ( transitórios )...
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Representação do E-T : diagramas de Minkowskidiagramas de Minkowski
eventos ( transitórios ) linhas de mundo ( duradoura no t ) cones de luz ( raios de luz)
um observador recebe sinais de luzque vêm do passado e transmite sinaisde luz para o futuro
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cada observador temo seu cone de luz
Informações chegam ao observador com v c
eventos que foram observados estão dentro ou no cone de luz dopassado
eventos influenciados pelo observador deverãoficar dentro ou no cone de luz do futuro
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Somente os eventos que estão dentro ou sobre o conesde luz de um dado observador fazem parte da linha demundo deste observador
Tipos de intervalo de E-T:
A. d2 > 0 : time-like → pode situar-se sobre a linha de mundo de um dado observador v < c
B. d2 = 0 : light-like → pode situar-se na linha de mundo de um raio de luz → eventos de separação nula (geodésica nulas) v = c
C. d2 < 0 : space-like → não pode situar-se sobre a linha de mundo de um dado observador v > c
x= - ct x= ct
x
t
A
B
C
cone de luz
O
•AO = time-like•OB = light-like•OC = space-like
presente
passado
futuro
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Como d = 0 para um sinal luminoso 02
22
c
dsdtd
ds= c dt
ds2=dx2+dy2+dz2 (distância própria= euclidiana)
Definição : DISTÂNCIA PRÓPRIA
Distância medida entre 2 eventos : mede-se o tempoque um sinal de luz leva de A para B
dD = c dt
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Trajetórias no E-TTrajetórias no E-T
Distâncias entre dois pontos no E-T não são medidas comodistâncias entre dois pontos no espaço ordinário
d(E-T)2=c2dt2-ds2
Distância menor entre dois eventos NÃO é uma linha reta no E-T
Para a luz: tempo = espaço
d=1000 anos-luz
> t= 1000 anos
(E-T)=0
luz invariante!!!
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1. Seja uma linha de mundo reta que conecta dois eventos a e b
2. Seja um caminho alternativo acb onde a partir de c formam-se os cones de luz que interceptam a e b
Na folha de papel a distância acb > distância ab
Mas... no E-T distância acb=0 !!!distância ab é o maior caminhoEntre os dois eventos!!!
Caminhos alternativos + próximosa acb são < caminho reto ab
Paradoxo dos gêmeos Ler na apostilha demonstração usando métricade Minkowski
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PARADOXO DOS GÊMEOS
O tempo próprio de um corpo mede-se ao longo da sua linhade mundo idade = comprimento de linha de mundo
adb leva tempo menor do que ab
O tempo medido é ao comprimentoda linha de mundo medida no E-T
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Gêmeos A e B nasceram juntos suas linhas de mundo começam no mesmo evento
O gêmeo B viaja durante 6 anos (ida e volta) com v=0.8c (tempo marcado por B)
O gêmeo A continua em repouso em relação à Terra
Quantos anos se passaram para A ?
Diagrama de Minkowski para os 2 gêmeos
coordenadas dos eventos:O (0,0)Q (tQ,xQ)P (tP,0)considerando: tQ=tP/2 xQ=vtQ=vtP/2
Separação entre os dois eventos O e Q:
22
2
2
222)( )1(
2
QOQcTEd t
c
V
c
xtd
2
2
1cV
OQQt
anost
cV
OQP 10
1
2
2
2
OP = linha de mundo de AOPQ= linha de mundo de B
O
P
Q
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Paradoxo: se o nosso sistema de coordenadas estivesse em B A seria o viajante t seria menor para A ??
situação de A e B NÃO são simétricas
Experimento:
decaimento (decai em 10-3 s)tempo de vida intrínseco medidoao longo da sua linha de mundo
move-se relativisticamenteem relação a nós tempo de vida maior!
t decaimento 1/(1-V2/c2)1/2 (V=0.9998c)
tdecaimento (observado) = 50 tdecaimento
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Análise da gravitação...
O princípio da Equivalência
F gravitacional e F inercial produzem efeitos indistinguíveis
conexão entre movimento e gravidade
geometria e gravidade tem algo em comum
1o passo p/ TRG
2o passo p/ TRG
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Um cenário mais simples...
Seja um laboratório sem janelas no espaço
1a situação: lab está longe da estrela + próxima
g ~ 0
move-se livremente: F inercial = 0F=ma
Lab em estado inercial
experimentos feitos dentro do lab
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2a situação: lab passa perto da estrela + próxima
lab continua em estado inercial
experimentos feitos dentro do lab
lab segue uma órbita em queda-livre
Ftotal=Finercial-Fgravitacional=0
Conclusão: neste caso não dá para distinguir força inercial da gravitacional
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TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais (não acelerados)
Mas se os experimentos não conseguem distinguir entreFinercial e Fgravitacional
pode-se usar a TRE em sistemas em queda-livre
TRE → as leis e suas equações físicas são as mesmas em todos os sistemas inerciais + sistemas em queda-livre
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“Newtonianamente” falando...
Na queda-livre: massa inercial = massa gravitacional
gmr
mGMam g
gi
2
mi e mg : massas inerciale gravitacional do lab
Princípio da equivalência newtoniano
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“Einstenianamente” falando...
Aceleração do lab em queda livre cancela completamenteo efeito da gravidade NÃO SÓ DINAMICAMENTE!!
Mecânica newtoniana
MAS EM QUAISQUER EXPERIMENTOS FÍSICOS
TRE usada em sistemas inerciais e em queda-livre
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Geometria e gravidade
Superfícies curvas são análogas à gravidade
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Outros termos...
Corpos com V constante descrevem linhas retas no E-T planode Minkowski da TRE
Corpos em queda livre no mesmo E-T de Minkowski possuem linhas de mundo curvas
Mas e a equivalência entre sistemas inerciais e em queda-livre???Não teriam ambos linhas de mundo retas???
Abandono do E-T plano para encontrar uma teoria naqual gravidade altera a geometria do E-T tal que todosos corpos em queda-livre descrevam linhas de mundo retas
Mundo Newtoniano de linhas de mundo curvas
Linhas de mundo retas (geodésicas) num E-T curvo
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Uma pequena complicadinha...
Forças de maré
Cenários descritos anteriormente para demonstrar o princípioda equivalência são idealizações...
1. Somente pontos no espaço vão ser inerciais (movimento inercial raramente existe!!!)
2. Princípio da equivalência só é verdadeiro num campo gravitacional UNIFORME
Gravidade não é nunca uniforme
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Seja um corpo sólido que se move sob a ação da gravidade
Força de maré : resultante da força gravitacional não uniforme
Centro de massa é o único realmente em queda-livre
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Princípio da equivalência aplicável só a regiões de volumeextremamente pequenos...
Leis da física são expressas em termos de equações diferenciais
Lab extremamente pequeno...
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Forças de maré e variações na curvatura
Princípio da equivalência aplica-se somente a regiões infinitesimais
Geometria euclidiana pode ser usada somente em regiões pequenasde uma superfície curva
Retângulo = variação de K com a posiçãoe com o tempo = simula lab em queda- livre com um campo gravitacionalnão uniforme e que varia com t
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TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL
Universo newtoniano : geometria euclidiana + forças gravitacionais
Universo relativístico do E-T de curvatura variável
Órbitas curvas de corpos em queda-livre no universo newtoniano
Órbitas retas no E-T curvo no universo de Einstein
Órbita em linha reta = geodésica = distância + curta entre dois pontos
substituído por:
Na TRG: corpos em queda-livre seguem caminho geodésicos
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TRG
curvatura do E-T é influenciada pela distribuição de matéria-energia
Outra forma: a deformação do E-T está relacionada com a tensão induzida pela matéria-energia
curvatura do E-T=constante (matéria-energia)
Ligação entre geometriae matéria-energia
E=mc2
constante G
•qdo K é negligível: equação TRG→equação TRE
•qdo v << c: equação TR→equação de movimento e gravidade de Newton Gij=cteTij
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Usar curvatura ao invés de gravidade !!!
Curvatura produz curvatura
Cada curvatura tem influência oué influenciada por outras curvaturasno espaço
Universo Newtoniano: gravidade deum corpo não modifica a gravidadede um outro
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“Gravidade” é transmitida a velocidade da luz
Universo de Newton: gravidade é propagada instantaneamente...
Campo gravitacional produzidopor um corpo existe instantaneamente
Universo de Einstein: gravidade ou K do E-T se propaga a velocidade da luz!
Equação da TRG = equação de ondaque gera e propaga as deformaçõescurvas do E-T
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2 estrelas orbitando ao redor delas mesmas
produzem g que varia periodicamentecom o tempo
Então K do E-T varia periodicamenteEnergia é redistribuída na região
Ondas de “deformação” do E-Tfluem em todas as direções comvelocidade = c
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Energia e momentum angular são perdidos pelas s sob forma de ONDAS GRAVITACIONAIS
A cada 109 ou 1012 anos
Prova da existência de radiaçãogravitacional : sistemas binárioscom um pulsar