Diagrama de Bode Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Diagrama de Bode Função resposta...
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Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Diagrama de Bode
Função resposta de frequência
Análise dos factores elementaresGanho KFactores derivativo e integralFactores de 1ª ordemFactores de 2ª ordem
Sistemas de fase mínima/não mínima
Relação entre resposta ao escalão e resposta de frequência
Identificação de sistemas a partir da resposta de frequência
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Função resposta de frequência thjH TF
)(sH tutAtx 1sin ?)( tyest
jHarg
tutjHAtyest 1sin)(
t
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Diagrama de Bode Representação gráfica de
jωs
sHjH
Característica de amplitude
jHjHdB
log20
Característica de fase
jHarg
escala linear
0 escala logarítmica
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Diagrama de Bode Representação gráfica de
jωs
sHjH
n
ii sHsH
1
Função de transferência
n
ii jHjH
1
Resposta de frequência
n
idBi
n
iidB
jHjHjH11
log20
n
ii jHjH
1
argarg soma das contribuições dos factores elementares jH i
Factores elementares: Ganho K Factores integral (polo na origem) ou derivativo (zero na origem) Factores de 1ª ordem (polo ou zero real) Factores de 2ª ordem (par de polos ou par de zeros complexos conjugados)
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Ganho K KjHKsH
KjH
KjH
dBlog20
0;
0;0arg KKjH
Exemplo: 100sH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor derivativo jjHssH
log20
dBjH
jjH
2
arg jH
01 dB
jH
sRe
sIm
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor integral
j
jHs
sH 11
log20
11
dBjH
jjH
2
arg jH
01 dB
jH sRe
sIm
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares
Factores elementares:
Ganho:
Polo na origem:
100K
s1
Exemplo
s
sH 100
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: polo real
Tj
jHsTTs
TsH
1
11
11
1
sRe
sIm
T/1
22
1log201
1 TjHT
jHdB
Caracteristica de amplitude:
Baixa frequência: T1
dB 0dB
jH
Alta frequência: T1
TTjHdB
log20log20 2
dB
jH
0
T1
dB/década 20
frequência de corteganho estático unitário
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: polo real
Tj
jHsTTs
TsH
1
11
11
1
sRe
sIm
T/1
TTjjH arctan1argarg
Caracteristica de fase:
Baixa frequência: T1
rad 0arg jH
Alta frequência: T1
rad 2
arg jH
jHarg
0
2
T10
T101
T1
4
rad 4
1arctan1arg1
TjH
T
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: polo real
Tj
jHsTTs
TsH
1
11
11
1
sRe
sIm
T/1
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementaresExemplo
101.010
sssH
Factores elementares:
Ganho:
Polo real:
Polo real:
100 K
1.01.0
s
1010s
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: zero real
22 1log201 TjHTjHdB
Caracteristica de amplitude:
Baixa frequência: T1
dB 0dB
jH
Alta frequência: T1
TTjHdB
log20log20 2
dB
jH
0
T1
dB/década 20
ganho estático unitário
TjjHsTT
TssH
11
1
1
sRe
sIm
T/1
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares
TTjjH arctan1argarg
Caracteristica de fase:
Baixa frequência: T1
rad 0arg jH
Alta frequência: T1
rad 2
arg jH
jHarg
0
2
T10
T101 T
1
4
rad 4
1arctan1arg1
TjH
T
Factor 1ª ordem: zero real
TjjHsTT
TssH
11
1
1
sRe
sIm
T/1
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 1ª ordem: zero real
TjjHsTT
TssH
11
1
1
sRe
sIm
T/1
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementaresExemplo
1.0
101.0
sssH
Factores elementares:
Ganho:
Polo real:
Zero real:
100 K
1.01.0
s
1010s
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: polos complexos conjugados
sRe
sIm
n
21 nj
21 nj
n
nj
nj
n
nnnn
nn
n
j
jHssss
sH
21
1
21
12 2222
2
10
222
222
21log20
21
1
nndB
nn
jH
jH
Caracteristica de amplitude:
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: polos complexos conjugados
222
21log20
nndB
jH
Caracteristica de amplitude:
Baixa frequência: n
dB 0dB
jH
Alta frequência: n
nndB
jH
log40log20
4
dB
jH
0 n
ganho estático unitário
dB/década 40
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: polos complexos conjugados
nnnn
nn
n
j
jHssss
sH
21
1
21
12 2222
2
10
2
1
2arctanarg
n
njH
Caracteristica de fase:
Baixa frequência: n
rad 0arg jH
Alta frequência: n
rad arg jH
jHarg
0
n1010n n
2
rad 2
arg nn jH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: polos complexos conjugados
22
2
2 nn
n
sssH
10
frequência de ressonância:
2
2
12
1
21
ξjH r
nr
frequência de natural:
21
nn jH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: zeros complexos conjugados
nnnnn
nn jjHsssssH
21212
22
2
22
10
222
222
21log20
21
nndB
nn
jH
jH
Caracteristica de amplitude:
sRe
sIm
n
21 nj
21 nj
n
nj
nj
n
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: zeros complexos conjugados
222
21log20
nndB
jH
Caracteristica de amplitude:
Baixa frequência: n
dB 0dB
jH
Alta frequência: n
nndB
jH
log40log20
4
dB
jH
0n
ganho estático unitário
dB/década 40
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares
2
1
2arctanarg
n
njH
Caracteristica de fase:
Baixa frequência: n
rad 0arg jH
Alta frequência: n
rad arg jH
jHarg
0
n1010n n
2
rad 2
arg nn jH
nnnnn
nn jjHsssssH
21212
22
2
22
10
Factor 2ª ordem: zeros complexos conjugados
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementares Factor 2ª ordem: zeros complexos conjugados
2
22 2
n
nnsssH
10
frequência de ressonância:
2
2
12
21
r
nr
jH
frequência de natural:
2 nn jH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Análise dos factores elementaresExemplo
42
24
102012.010
ssssssH
Factores elementares:
Polo na origem:
Polos complexos:
Zeros complexos:
s1
42
4
102010
ss
112.02 ss
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de fase mínima/não mínima
jHjH 22
22
11
10
1
101
sssH
sRe
sIm
10 1
110
2
sssH
sRe
sIm
101
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de fase mínima/não mínima
1
101
sssH
sRe
sIm
10 1
110
2
sssH
sRe
sIm
101
arctan10
arctanarg 1
jH arctan
10arctanarg 2
jH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
21
1
s
sHganho estático = ganho de baixa frequência
1rad argedB 0 0dB0 yKK
ganho de alta frequência
00dB limdB
yjH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
21
sssHganho estático = ganho de baixa frequência
0dB dB0 yK
ganho de alta frequência
00dB limdB
yjH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
220
sssHganho estático = ganho de baixa frequência
10rad 0argedB 20 0dB0 yKK
ganho de alta frequência
10rad 0arglim
dB 0limdB
yjHjH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Largura de banda a 3 dB
A largura de banda (LB) a 3 dB é a dimensão da banda de frequências para a qual o módulo da função resposta de frequência não cai mais de 3 dB em relação ao ganho de baixa frequência
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Largura de banda vs. rapidez de resposta
1
11 )(
s
sH2
22 )(
s
sH12
Quanto maior for a largura de banda, maior é a rapidez de resposta do sistema
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Polos dominantes/não dominantes
sRe
sIm
21 nj
pn
21 nj
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Polos dominantes/não dominantes
sRe
sIm
21 nj
pn
21 nj
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Polos dominantes/não dominantes
sRe
sIm
1p2p
z
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo I
2.0rad 0argdB 14
00
dB0 K
KK
1 polo em 1 zero em 1 polo em
1s40s
200s
200
20040
401
12.0
s
ss
sH
200140
ssssH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo II
5rad argdB 14
00
dB0 K
KK
1 zero em 1 polo em
1s20s
20
201
15
sssH
201100
sssH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo III
década/dB 20 declive
Baixa frequência:
1 polo na origem
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo III
Polo na origem
Sistema original
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo III
Sistema sem o polo na origem
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo III
2
40801 2
ssssH
10rad 0argdB 20
00
dB0 K
KK
1 polo em 2 zeros em
2s40s
2
2
4040
22110
s
sssH
Com o polo na origem
Sem o efeito do polo na origem
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
década/dB 20 declive
Baixa frequência:
1 zero na origem
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
Sistema original
Zero na origem
Sistema original
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
Sistema sem o zero na origem
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
1 par de polos complexos conjugados com
1 polo real em 10s
rad/s 10n
Sem o efeito do zero na origem
10rad 0argdB 20
00
dB0 K
KK
Baixa frequência:
Alta frequência:
rad/s 10 paradécada/dB 60 declive
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
Sistema sem o zero na origem
Polo real
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
Sistema sem o zero na origeme o polo real
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
1 par de polos complexos conjugados com rad/s 10n
Sem o efeito do zero na origem e do polo real
10rad 0argdB 20
00
dB0 K
KK
Baixa frequência:
Alta frequência:
década/dB 40 declive
14 dB
pico de ressonância: 1.0
215dB 14
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo IV
Resumo: 1 zero na origempolo real em 1 par de polos
complexos conjugados com
10Ganho
10s
1.0 rad/s, 10 n
22
2
10210
101010
sssssH
22
4
1021010
sssssH
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo V
10rad argdB 20
00
dB0 K
KK
100100
101010
ss
sH
10
100
sssH
1 polo com 1 zero com
rad/s 10rad/s 100
Mas polo no SPCE porque
fase diminui ( )zero no SPCD porque
fase diminui ( )
10s
100s
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo VI
Fase diminui: 1 polo real duplo em 10s
Mas polo no SPCE porque
fase diminui ( )zero no SPCD porque
fase diminui ( )
10s
100s
10rad 0argdB 20
00
dB0 K
KK
Baixa frequência:
Alta frequência:
rad/s 10 paradécada/dB 40 declive
Fase diminui em vez de : par polo (SPCE)/zero (SPCD)
2
Diagrama de BodeFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Identificação de sistemas Exemplo VI
Fase sem o efeito do polo real duplo em 10s
polo (SPCE): zero (SPCD):
100s100s
Resumo: polo real duplo em 1 polo em1 zero em
10Ganho
10s100s
100s
100
100100
10010
1010 2
2
sss
sH
10010
1001000 2
ss
ssH