Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos...
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Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente utilizado na calibração estática de sistemas de medição.
Pode-se utilizar este método para vários tipos de curvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação para medidor de vazão tangencial, calibrado através do método gravimétrico.
Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados
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Equacionamento: Q Qi
l/s l/s
0,09 0,09
0,20 0,20
0,31 0,30
0,39 0,40
0,48 0,50
0,57 0,60
0,65 0,70
0,74 0,80
0,84 0,91
0,93 1,00
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Qi [l/s]
Q [l/s]
Q = 0,902 . Qi + 0,0232
Qi = 1,105 . Q - 0,0246
xy
y
A
B
xx
xn2
22
xxn
yxxynA
n
xAyB
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Propagação de Incertezas Propagação de Incertezas Através de MódulosAtravés de Módulos
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MotivaçãoMotivação
Algumas vezes é necessário compor Algumas vezes é necessário compor sistemas de medição reunido sistemas de medição reunido módulos já existentes.módulos já existentes.
O comportamento metrológico de O comportamento metrológico de cada módulo é conhecido cada módulo é conhecido separadamente.separadamente.
Qual o comportamento metrológico Qual o comportamento metrológico do sistema resultante da combinação do sistema resultante da combinação dos vários módulos?dos vários módulos?
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0.000
0.000
TransdutoresUTS
Dispositivos mostradores
0.000
0.000
0.000
6.414
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Composição de sistemas de Composição de sistemas de mediçãomedição
Módulo 1
...Módulo 2
Módulo nESM SSM
sistema de medição
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Modelo matemático para um Modelo matemático para um módulomódulo
Módulo 1 S(M1)E(M1)
K(M1) : sensibilidade
C(M1) : correção
u(M1) : incerteza padrão
Idealmente:
S(M1) = K(M1) . E(M1)
Em função dos erros:
S(M1) = K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)
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Modelo para dois módulosModelo para dois módulos
Módulo 1E(M1)
S(M1) = K(M1) . E(M1) - C(M1) ± u(M1)
Módulo 2S(M2)
S(M2) = K(M2) . E(M2) – C(M2) ± u(M2
)
S(M1)
E(M2)
E(M2) = S(M1)S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)] – C(M2) ± u(M2
)
S(M2) = K(M1) . K(M2) . E(M1) - [C(M1). K(M2) + C(M2)] ± [u(M1). K(M2) + u(M2)]
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Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
Módulo 1
...Módulo 2
Módulo nE(SM) S(SM)
K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2) K(Mn), C(Mn), u(Mn)
S(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn) . E(SM)
K(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn)
sensibilidade
Sensibilidade EquivalenteSensibilidade Equivalente
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Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) + ... + Cr(Mn)
sendo:
correção
Cr = correção relativa, calculada por:
para o módulo “k”)S(M
)C(M)Cr(M
k
kk
para o sistema de mediçãoS(SM)
CS(SM)
E(SM)
CE(SM))Cr(SM
CE(SM) = correção na entrada do SM
CS(SM) = correção na saída do SM
Correção Relativa Correção Relativa EquivalenteEquivalente
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Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 )2 + ... + ur(Mn )2
sendo:
incerteza
ur = incerteza relativa, calculada por:
para o módulo “k”)S(M
)u(M)ur(M
k
kk
para o sistema de mediçãoS(SM)
uS(SM)
E(SM)
uE(SM)ur(SM)
uE(SM) = incerteza na entrada do SM
uS(SM) = incerteza na saída do SM
Incerteza Padrão Relativa Incerteza Padrão Relativa EquivalenteEquivalente
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Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
graus de liberdade efetivos
)(
)(...
)(
)(
)(
)(
)(
)( 4
2
42
1
41
4
n
n
M
Mur
M
Mur
M
Mur
SM
SMur
sendo:
número de graus de liberdade efetivo do sistema de medição
a incerteza padrão relativa combinada do sistema de medição
a incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo
n de graus de liberdade da incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo
)(SM)(SMur)( ir Mu
)( iM
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Modelo matemático para Modelo matemático para nn módulos módulos
Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 )2 + ... + Ur(Mn )2
para o módulo “k”)S(M
)U(M)Ur(M
k
kk
para o sistema de mediçãoS(SM)
US(SM)
E(SM)
UE(SM)Ur(SM)
Se o número de graus de liberdade com Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida escrita em termos da incerteza expandida como:como:
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Correção e IncertezaCorreção e Incerteza
Na entrada do SM:
SMSM
SMSM
urE
CrE
.uE
.CE
SM
SM
SMSM
SMSM
urS
CrS
.uS
.CS
SM
SM
Na saída do SM:
Correção e Incerteza em Termos Correção e Incerteza em Termos AbsolutosAbsolutos
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Problema:Problema:
A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. Determine o resultado da medição do Determine o resultado da medição do deslocamento, efetuado com o sistema de deslocamento, efetuado com o sistema de medição especificado abaixo, composto de:medição especificado abaixo, composto de:
ESM= ? 2,500 Vtransd. indutivo
amplifi-cador
voltí-metro
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transd. indutivo
amplifi-cador
voltí-metroESM= ? 2,500 V
transd. indutivo de deslocamentosfaixa de medição: 0 a 20 mmsensibilidade: 5 mV/mmcorreção: - 1 mVu = 2 mVν=16
unidade de tratamento de sinaisfaixa de medição: ± 200 mV (entrada)amplificação: 100 Xcorreção: 0,000 Vu = 0,2 % (VFE)ν=20
disp. mostrador: voltímetro digitalfaixa de medição: ± 20 Vcorreção: 0,02% do valor indicadou = 5 mVν=96
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transd. indutivo
amplifi-cador
voltí-metroESM= ? 2,500 V
KT = 5 mV/mmCT = - 1 mVuT = 2 mV
KUTS = 0,1 V/mVCUTS = 0,000 VuUTS = 0,2 % . 0,20 V
KDM = 1 V/VCDM = 0,02 % . 2,5VuDM = 5 mV
CrT = - 1/25 = -0,04urT = 2 /25 = 0,08
CrUTS = 0,000 urUTS = 0,0004/2,5 = 0,00016
CrDM = 0,0005/2,5 = 0,0002urDM = 0,005/2,5 = 0,002
2,500 V25,00 mV5,00 mm
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KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V
KSM = 0,5 V/mm
CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0,0400 + 0,0000 +0,0002
CrSM = -0,0398
sensibilidade
correção
na entrada:
CESM = CrSM . ESM = -0,0398 . 5,000 mm = -0,199 mm
CESM = -0,199 mm
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(urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2
incerteza
na entrada:
uESM = urSM . ESM = 0,080025. 5,000 mm
(urSM)2 = (0,08)2 + (0,00016)2 + (0,002)2
(urSM)2 = 10-4 . [64 + 0,00026 + 0,04]
urSM = 0,080025
uESM = 0,4001 mm
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graus de liberdade efetivos
n
n
SM
SM urururur
4
2
42
1
41
4
...
96
)002,0(
20
)00016,0(
16
)080,0()08005,0( 4444
SM
02,16SM
UESM = t . uESM = 2,169 * 0,4001 = 0,868 mm
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Resultado da mediçãoResultado da medição
RM = I + CESM ± UESM
RM = 5,000 + (-0,199) ± 0,868
RM = (4,80 ± 0,87) mm