Deterministic Dynamic Programming

63
DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING Program Studi Statistika Universitas Brawijaya

description

riset operasi

Transcript of Deterministic Dynamic Programming

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMING

DETERMINISTIC DYNAMIC PROGRAMMINGProgram Studi StatistikaUniversitas BrawijayaDynamic programming problems adalah masalah multi tahap(multistage) dimana keputusan dibuat secara berurutan (in sequence) Beberapa aplikasi dari dynamic programming antara lain:Network Resource allocationInventory control,

2Network problemUntuk menemukan shortest (longest) path yang menghubungkan dua titik dalam networkContoh:Joe tinggal di new York dan akan pergi ke LA. Dia berencana menginap di rumah temannya dalam perjalanan tersebut. Joe punya teman di Columbus, Nashville, Louisville, Kansas, Omaha, Dallas, San Antonio, dan Denver. Joe tahu setelah satu hari perjalanan dia akan mencapai Columbus, Nashville atau Louisville. Setelah perjalanan 2 hari akan mencapai Kansas, Omaha, atau Dallas. Setelah 3 hari perjalanan akan mencapai Denver atau San Antonio. Setelah 4 hari akan mencapai LA. Untuk meminimalkan jarak, kemana Joe harus menginap setiap malam dalam perjalanannya ?network 680 1050 580 610 550 790 790 1030 900 760 540

660 700 940 1350 770 510 790

830 270

Stage 1 Stage 2 Stage 3 Stage 4 Stage 5New York1Nashville3Columbus2Louisville4Kansas5Omaha6Dallas7LA10Denver8San Antonio9The recursionIde bekerja secara backward adalah kita mulai menyelesaikan masalah dari yang paling sederhana untuk menyelesaikan masalah yang kompleks.Jadi kita mulai dari kota yang hanya membutuhkan perjalanan satu hari ke LA yaitu kota Denver dan San Antonio (kota pada stage 4)Kemudian kita gunakan informasi dari stage 4 untuk menemukan jarak terpendek dari kota pada stage 3 ( yang membutuhkan 2 hari) ke LADemikian seterusnya sampai kita menemukan shortest path dari kota New York ke LA

SolusiTentukan Cij = jarak kota i ke kota jTentukan Ft(i) = panjang shortest path dari kota i ke kota LA dimana kota i adalah kota pada stage tTentukan shortest path ke LA dari setiap kota di setiap stage mulai dari stage akhirStage 4 computationKarena hanya ada satu path dari kota pada stage 4 ke LA maka kita dapat langsung menentukan Jarak terpendek dari kota Denver ke kota LA adalahF4(8) = 1030Dari kota San Antonio ke LA adalahF4(9) = 1390Stage 3 computationTerdapat tiga kota pada stage 3 yaitu kota Kansas, Omaha dan DallasDari kota Kansas terdapat 2 path menuju kota LA yaitu Path 1. Kansas Denver kemudian mengambil shortest path dari Denver ke LAPath 2. Kansas San Antonio kemudian mengambil shortest path dari San Antonio ke LAStage 2 computationPada stage 2 terdapat 3 kota yaitu Columbus, Nashville, dan LouisvilleTerdapat 3 path dari Coulumbus ke LA yaituPath 1. Columbus Kansas kemudain mengambil shortest path dari KansasPath 2. Columbus Omaha kemudian mengambil shortest path dari OmahaPath 3. Columbus Dallas kemudian mengambil shortest path dari Dallas

Stage 1 computationDari kota 1(New York) terdapat 3 Path ke kota LA yaituPath 1. New York Columbus kemudian mengikuti shortest path dari ColumbusPath 2. new York Nashville kemudian mengikuti shortest pat dari NashvillePath 3. New York Louisville kemudian mengikuti shortest path dari Louisville Karakteristik aplikasi Dynamic Programming Karakteristik 1Problem dapat dibagi menjadi beberapa stage dan dibutuhkan sebuah keputusan pada setiap stage.Karakteristik 2Setiap stage memiliki beberapa state.state, adalah informasi yang dibutuhkan pada setiap stage untuk membuat keputusan optimal.Karakteristik 3Keputusan yang dipilih pada setiap stage menggambarkan bagaimana state pada stage sekarang ditransformasi ke state pada stage berikutnya.16 Karakteristik 4Diberikan state sekarang, keputusan optimal untuk setiap stage yang tersisa harus tidak tergantung pada state yang dicapai sebelumnya atau keputusan yang diambil sebelumnya.Ide ini dikenal sebagai the principle of optimality.Karakteristik 5Jika state untuk suatu problem telah diklasifikasikan ke T stage, harus terdapat rekursi yang menghubungkan biaya atau reward yang didapat selama stage t, t+1, ., T terhadap biaya atau reward yang didapat dari stages t+1, t+2, . T. 17Production And Inventory ProblemDynamic programming dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah inventory dengan karakteristik berikut: Waktu dibagi menjadi beberapa periode. Periode sekarang adalah periode 1, berikutnya periode 2 dan terakhir adalah periode T. Pada awal periode 1, permintaan selama setiap periode diketahui. Pada awal setiap periode, perusahaan harus menentukan berapa banyak unit yang harus diproduksi. Kapasitas produksi selama setiap periode terbatas. 18 Permintaan pada setiap periode harus dipenuhi tepat waktu dari inventory ataau produksi sekarang. Selama setiap periode dimana dilakukan produksi maka akan timbul fixed cost dan variabel cost. Perusahaan memiliki kapasitas penyimpanan yang terbatas. Hal ini mencerminkan batas pada end-of-period inventory. Holding cost per unit timbul pada setiap periods ending inventory.Tujuan perusahaan adalah menentukan jadwal produksi untuk meminimumkan total cost dari pemenuhan permintaan tepat waktu untuk periode 1,2, ., T.19 Pada model ini, posisi inventory perusahaan direview pada akhir setiap periode dan kemudian keputusan produksi dibuat. Model seperti ini dinamakan periodic review model. Model ini berlawanan dengan the continuous review model dimana perusahaan mengetahui posisi inventory setiap saat dan memesan order atau memulai produksi setiap saat. 2021PRODUCTION AND INVENTORY PROBLEMSMJ berencana memproduksi 15 mobil selama 5 bulan yaitu bulan Mei, Juni, Juli, Agustus dan September.22Maximum level produksi adalah 3 untuk Juli, dan 4 untuk setiap bulan yang lain.Kapasitas penyimpanan adalah 2 mobil dengan holding cost adalah $2,500 per bulan ($3,000 untuk Mei).

Fixed costs (untuk asuransi dan lain lain) hanya terjadi jika mobil benar benar diproduksi

Data23Membuat jadwal produksi yang meminimumkan total costTUJUAN DARI MJ24Stage variable j: Bulan ke - j.

State variable Xj: Banyaknya mobil di inventory pada awal bulan ke - j

Decision variable Dj: Jumlah produksi untuk bulan ke jMJ - Definisi25Production costs PCj(Dj) dalam bulan j proporsional dengan jumlah mobil yang diproduksiPCj(Dj) = PjDjHolding (storage) costs HCj(Dj) dalam bulan ke j dibayarkan untuk mobil yang tidak terjual di akhir bulan ke j.Untuk bulan j =1: HC1(D1) = 3000(X1 + D1 - C1)= 3000D1 9000Untuk bulan j = 2, 3, 4, 5: HCj(Dj ) =2500(Xj+Dj - Cj)Stage cost function:Fixed costs FCj(Dj) terjadi jika dalam bulan ke j terdapat produksi mobil. SehinggaFCj(Dj) = Sjjika Dj > 0FCj(0) = 0jika Dj = 0MJ - DefinisiAsumsi: X1 = 0 dan C1 = 326The optimal value function Fj(Xj) dalam bulan j adalah minimum total cost yang terjadi dari bulan ke j sampai 5( September), jika terdapat Xj mobil pada inventory di awal bulan ke-j Boundary conditions F5(X5):F5(0) = 2,000 + 23,000(4) = $94,000;D5 = 4F5(1) = 2,000 + 23,000(3) = $71,000;D5 = 3F5(2) = 2,000 + 23,000(2) = $48,000;D5 = 2

Optimal solution F1(0) adalah minimum total cost dari bulan Mei sampai September jika tidak ada inventory awalMJ - Definisi27Fj(Xj) = Min{FCj(Dj) + PCj(Dj) + HCj(Dj) + Fj+1(Xj +Dj - Cj)},

Dj feasible hanya jika memenuhi kondisi berikut :Dj + Xj Cj ; D3 3 for July; Dj 4 for j = 1, 2, 4, 5; Dj + Xj - Cj 2;Dj 0

Pada semua Dj yang feasible.The Recursion28Recursive Calculations Stage 4: AugustX4Possible D4X4 + D4 C4 FC4 PC4 HC4 F5(X4+D4C4) Total OptimalProductionUnits Stored Cost Value0Infeasible Infeasible Infeasible1 40352094149.0F4=149 D4=42 413522.571128.5F4=128.530339094136.0D4=4 BulanFixed Production Holding Permintaan Kap Produksi Kap invjCosts Sj ($) Costs Pj ($) Cost s Hc ($) CjAugust3000 13,0002,500 54 229X3Possible D3X3 + D3 C3 FC3 PC3 HC3 F4(X3+D3C3) Total OptimalProductionUnits Stored Cost Value0214182.5149173.5F3=164.5324275.0128.5164.5D3=3111492.5149164.5F3=155.5 224185128.5155.5D3=2201002.5149151.5F3=146.5 12495128.5146.5D3=1Recursive Calculations Stage 3: JulyBulanFixed ProductionHolding Permintaan Kap Produksi Kap invjCosts Sj ($) Costs Pj ($)Cost s Hc ($) CjJuly4000 9,000 2,500 1 3 2Recursive Calculations Stage 2: JuniX2Possible D2X2 + D2 C2Units StoredFC2PC2HC2F3(X2+D2C2)TotalCostOptimal Value023401233332486402.55164.5155.5146.5199.5209218.5F2 = 199.5D2 = 2112301233316324802.55164.5155.5146.5183.5193202.5F2 = 183.5D2 = 1

20120120330163202.55164.5155.5146.5164.5177186.5F2 =164.5D2 = 0

BulanFixed ProductionHolding Permintaan Kap Produksi Kap inv jCosts Sj ($) Costs Pj ($)Cost HCj CjJune3000 16,000 2,500 24 2Recursive Calculations Stage 1: MeiBulan Fixed ProductionHolding Permintaan Kap Produksi Kap invj Costs Sj ($) Costs Pj ($)Cost s Hc ($) CjMay 2000 21,000 $3,000 3 4 2

X1Possible D1X1 + D1 C1Units StoredFC1PC1HC1F2(X1+D1C1)TotalCostOptimal Value0340122638403199.5183.5264.5272.5F1= 264.5D1 = 3solusi

Jadwal Produksi MJ yang meminimumkan total costBulan May : 3 MobilBulan Juni : 2 MobilBulan Juli: 3 Mobil Bulan Agustus: 4 MobilBulan September : 3 Mobil Dengan biaya minimum $264,50033Kementrian tenaga kerja memiliki dana sebesar 5 juta dollar untuk digunakan oleh kementrian kementrian yang lain untuk menciptakan tenaga kerjaTerdapat 4 kementrian yang mengajukan permohonan dana untuk kepentingan penciptaan tenaga kerja.Kementrian tenaga kerja ingin mengalokasikan dana untuk memaksimalkan banyaknya tenaga kerja yang diciptakanResource allocation Problem34Data

Estimasi pekerjaan baru yang tercipta35SOLUsiKementrian tenaga kerja ingin :

Memaksimumkan total banyaknya tenaga kerja baru

Biaya yang tersedia adalah $5 juta.

36Notasi Dj = jumlah dana yang dialokasikan ke kementrian j, di mana j adalah :1 - Pendidikan, 2 - Keuangan, 3 Perhubungan , 4 - Pertanian.

Rj(Dj) = banyaknya pekerjaan baru yang tercipta jika Kementrian j dibiayai sebesar $Dj juta.

Model

Max R1(D1) + R2(D2) + R3(D3) + R4(D4) STD1 + D2 + D3 + D4 = 0Fungsi nonlinierSOLUsi37Definisikan Fj(Xj) adalah maksimum banyaknya pekerjaan baru yang diciptakan oleh kementrian (stage) j,j+1,, 4, jika tersedia dana sebesar $Xj juta (state) untuk kementrian j sampai 4.

The Backward Dynamic Programming38Stage 4: Kementrian Pertanian,(KPt)Mulailah dengan tahap terakhir j = 4 (Kementrian Pertanian, KPt). Alokasikan dana yang memaksimalkan jumlah pekerjaan baru yang diciptakan untuk kementrian ini.Jelas, solusi optimal untuk kementrian terakhir adalah menggunakan semua jumlah yang tersedia pada stage ini).Solusi optimal untuk stage terakhir disebut The boundary conditionThe Backward Dynamic Programming39Stage 4: Tabel Kementrian Pertanian

States

Ingat: untuk Kementrian PertanianSOLUsi40Stage 3: Kementrian Perhubungan, (KPh)Pada stage ini kita mempertimbangkan pendanaan untuk Kementrian Perhubungan dan Kementrian Pertanian Untuk jumlah dana tertentu yang tersedia untuk kedua kementrian ini, keputusan besarnya dana yang diberikan untuk kementrian KPh akan berpengaruh pada dana yang tersedia untuk KPtSOLUsi41

Stage 3: Tabel Kementrian Perhubungan SOLUTION42

SOLUsiStage 3: Tabel Kementrian Perhubungan43Stage 2: Kementrian Keuangan, (KKu)Pada stage ini kita memikirkan pendanaan untukKementrian Keuangan dan dua Kementrian sebelumnya yaitu Kementrian Perhubngan dan Pertanian

Untuk state tertentu (jumlah dana yang tersedia untuk ketiga Kementrian ), keputusan mengalokasikan sejumlah dana untuk Kementrian Keuangan berpengaruh pada jumlah dana yang tersedia untuk Kementrian Perhubungan dan Pertanian (state pada stage j = 3). SOLUsi44

SOLUsi45Stage 1: Kementrian Pendidikan (KPd)

Pada stage ini kita memikirkan pendanaan untuk Kementrian Pendidikan dan semua kementrian sebelumnya. Perhatikan bahwa pada stage 1 masih terdapat $5 juta untuk dialokasikan (X1 = 5).SOLUsi46Stage 1: Kementrian Pendidikan hanya mengusulkan satu proposal yaitu sebesar $4 juta, sehingga (D1 = 0, 4).

Tidak didanaiProposal didanaiSOLUsi47

Alokasi pendanaan optimal untuk memaksimalkan banyaknya pekerjaan yang diciptakan adalah : Pendidikan= $0Keuangan= $3 millionPerhubungan= $2 millionPertanian = $0Maximum banyaknya pekerjaan yang diciptakan= 290SOLUsi48

komponen Dynamic Programming49Dynamic programming adalah proses rekursifRecursive relationship berikut menggambarkan proses untuk resource allocationDefinisikan Fj(Xj) sebagai maksimum banyaknya pekerjaan baru yang diciptakan oleh kementrian (stage j, j+1, , 4, jika tersedia $Xj juta untuk pendanaan kementrian (stage) j sampai 4.Fj(Xj) = Max {(Rj(Xj) + Fj+1(Xj - Dj)} Untuk semua Xj yang feasibleDynamic Recursive Relationship50Bentuk dari recursion relation berbeda beda dari satu problem ke problem yang lain, tapi secara umum idenya sama : Lakukan yang terbaik untuk stage yang tersisa dengan resource sisa yang tersedia.Dynamic Recursive Relationship51Jaringan (Networks) dapat digunakan untuk memodelkan multistage decision problems yang diselesaikan dengan dynamic programming approach.Setiap node merepresentasikan nilai state variable pada setiap stage.Setiap arc merepresentasikan keputusan yang mungkin pada state tertentu.Stage return adalah nilai (panjang) pada setiap arc.Tujuannya adalah menemukan path terpanjang(terpendek).Dynamic programs as networks52Network Presentation-Resource allocation problem

Formulating Dynamic Programming RecursionsPada banyak dynamic programming problems, stage tertentu terdiri atas semua state yang mungkinJika kasusnya adalah seperti ini maka dynamic programming recursion dapat dituliskan dalam bentuk berikut:Ft(i) = min{(cost during stage t) + ft+1 (new stage at stage t +1)}dimana minimum pada persamaan di atas adalah untuk semua keputusan yang mungkin (feasible) bila state pada stage t adalah i53 Formulasi yang benar menghasruskan kita mengidentifikasi tiga aspek penting dari masalah tersebut : Aspect 1: Sekumpulan keputusan yang feasible untuk state dan stage tertentu.Aspect 2: Kita harus menentukan bagaimana biaya selama periode waktu sekarang (stage t) tergantung pada nilai t, state yang sekarang dan keputusan yang dipilih pada stage t.Aspect 3: Kita harus menentukan bagaimana state pada stage t+1 tergantung pada nilai t, state pada stage t dan keputusan yang diambil pada stage t. Tidak semua recursi merupakan bentuk dari yang telah ditunjukkan sebelumnya. 54A Fishery ExamplePemilik danau harus memutuskan berapa banyak bass yang harus ditangkap dan dijual setiap tahun.Jika dia menjual x bass selama tahun t, maka pendapatan r(x) didapatkan. Biaya menangkap x bass selama setahun adalah fungsi c(x, b) dari banyaknya bass yang ditangkap selama tahun tersebut dan b banyaknya bass di danau pada awal tahun tersebut. Tentu saja bass bereproduksi.

55A Fishery ExampleUntuk memodelkan masalah ini, kita asumsikan bahwa banyaknya bass didalam danau pada awal tahun adalah 20% lebih banyak dari banyaknya bass yang tersisa didanau pada akhir tahun sebelumnya. Asumsikan bahwa terdapat 10,000 bass di danau pada awal tahun pertama. Bentuklah dynamic programming recursion yang dapat digunakan untuk memaksimumkan net profit pemiliknya selama T- tahun.56A Fishery ExampleDalam suatu masalah dimana keputusan harus dibuat pada beberapa titik waktu. Seringkali terdapat trade off dari keuntungan sekarang dan keuntungan masa datang.Pada awal tahun T, pemilik danau tidak perlu khawatir tentang efek bahwa penangkapan bass akan berpengaruh pada populasi di danau pada masa datang. Jadi, masalah pada awal tahun T relative lebih mudah diselesaikan. Untuk alasan ini, kita pilih waktu sebagai stage. Pada setiap stage, pemilik danau harus memutuskan berapa banyak bass yang harus ditangkap. 57A Fishery ExampleKita tentukan xt adalah banyaknya bass yang ditangkap selama tahun t. Untuk menentukan nilai optimal dari xt, pemilik danau hanya perlu tahu berapa banyak bass (sebut sebagai bt) di danau pada awal tahun ke- t. sehinggastate pada awal tahun t adalah bt.Kita tentukan ft (bt) adalah maximum net profit yang dapat diperoleh dari bass yang ditangkap selama tahun t, t+1, T jika terdapat bt bass di danau pada awal tahun t.58A Fishery ExampleSekarang kita bahas aspek 1-3 dari rekursi.Aspect 1: apakah keputusan yang diijinkan? Selama setiap tahun kita tidak dapat menangkap Bass lebih banyak dari yang ada di danau. Sehungga, dalam setiap state dan untuk semua t 0 xt bt harus terpenuhi.Aspect 2: berapakah net profit yang didapatkan selama tahun t ? Jika xt bass ditangkap selama satu tahunyang dimulai bt bass di danau, maka net profit adalah r(xt) c(xt, bt).Aspect 3: Apakah state selama t+1? State tahun t+1 adalah 1.2 (bt xt).59A Fishery ExampleSetelah tahun T, tidak ada future profit yang harus dipertimbangkan, sehingga ft(bt)=max{r(xt) c(xt,bt)+ft+1[1.2(bt-xt)]} dimana 0 xt bt.Kita gunakan persamaan ini untuk bekerja backward sampai f1(10,000) selesai dihitung.Kemudian untuk menentukan optimal fishing policy, kita pilih x1 adalah nilai yang mencapai maksimum dalam persamaan untuk f1(10,000).Kemudian tahun 2 akan mulai dengan 1.2(10,000 x1) bass di danau.

60A Fishery ExampleArtinya x2 harus dipilih nilai yang mencapai maximum di persamaan untuk f2(1.2(10,000-x1)).Lanjutkan terus sampai nilai optimal x3, x4,xT ditentukan. 6162Dynamic programming problems biasanya diselesaikan menggunakan program komputer.

Karena dynamic problem berbeda - beda, tidak ada universal code untuk menyelesaikan semua masalah tersebut.

Computers and dynamic programming63Dynamic Programming - ExamplesDalam setiap permasalahan dynamic programming kita harus dapat menentukan / mengidentifikasi hal hal berikut: :The stage variable.The state variable.The decision variable.The stage return or cost function(s).The optimal value function.The boundary conditions.The optimal solution value (stopping rule).The recurrence relation. Sheet1BulanFixedProductionPermintaanjCosts Sj ($)Costs Pj ($)CjMay200021,0003June300016,0002July40009,0001August300013,0005September200023,0004

&APage &P

Sheet1StageState0121D1 = 32D2 = 2D2 = 1D2 = 03D3 = 3D3 = 2D3 =14-D4 = 4D4 = 45D4 = 4D4 = 3D4 = 2

&APage &P

Sheet1BulanFixedProductionPermintaanjCosts Sj ($)Costs Pj ($)CjMay200021,0003June300016,0002July40009,0001August300013,0005September200023,0004

&APage &P

Sheet1KementrianBiaya $ jutapekrjaan yg diciptakanPendidikan4225Keuangan14521253190Perhubungan50 pekerjaan per biaya $1 jutaPertanian27531554220

&APage &P

Sheet1DanaPendanaan OptimalMaximum PkerjaanTersediauntuk Stage 4F4(X4)0001002275331554422055220

&APage &P

Sheet1BiayaPekerjaanKementrian Pertanian27531554220

&APage &P

Sheet14040+220 = 2201350+155 = 20522100+75 = 17531150+ 0 = 15040200+ 0 = 220F3(4) = 220; D3 = 05050+220 = 2201450+220 = 27023100+155 = 25532150+75 = 22541200+0 = 20050250+0 = 250F3(5) = 270; D3 = 1

Sheet2Dana ygKemungkinanDana ygMax. Jobs baruOptimal F3(X3)TersediaPendanaanTersisa utkJk m'alokasikanutk Stage 3,4utk Stage 3Stage 4D3 ke Stage 3Optimal D3(X3)(D3)(X3-D3)R3(D3)+F4(X3-D3)0000 + 0F3(0) = 0; D3(0) = 01010+01050+0 = 50F3(1) = 50; D3 = 12020+75 = 751150+0 = 5020100+0F3(3) = 100; D3 = 23030+155 = 1551250+75 = 12521100+0 = 10030150+0 = 150F3(3) = 155; D3 = 0

Sheet3

Sheet1AvailablePossibleRemainingMax. New JobsOptimal F3(X3)FundingFundingFunds forWhen Allocatingfor Stage 3,4for Stage 3,4Stage 4D3 to Stage 3Optimal D3(X3)(D3)(X3-D3)R3(D3)+F4(X3-D3)4040+220 = 2201350+155 = 20522100+75 = 17531150+ 0 = 15040200+ 0 = 220F3(4) = 220; D3 = 05050+220 = 2201450+220 = 27023100+155 = 25532150+75 = 22541200+0 = 20050250+0 = 250F3(5) = 270; D3 = 1

Sheet2Dana ygKemungkinanDana ygMax. Jobs baruOptimal F3(X3)TersediaPendanaanTersisa utkJk m'alokasikanutk Stage 3,4utk Stage 3Stage 4D3 ke Stage 3Optimal D3(X3)(D3)(X3-D3)R3(D3)+F4(X3-D3)4040+220 = 2201350+155 = 20522100+75 = 17531150+ 0 = 15040200+ 0 = 220F3(4) = 220; D3 = 05050+220 = 2201450+220 = 27023100+155 = 25532150+75 = 22541200+0 = 20050250+0 = 250F3(5) = 270; D3 = 1

Sheet3

Sheet1Dana ygKemungkinanDana ygMax. Jobs baruOptimal F2(X2)Tersedia utkpendanaanTersisa utkJi m'alokasikanStage 2,3,4utk Stage 2Stage 3,4D2 ke Stage 2Optimal D2(X2)(D2)(X2-D2)R2(D2)+F3(X2-D2)0000 + 0F2(0) = 0; D2 = 01010+50 = 501045+0 = 45F2(1) = 50; D2 = 02020+100 = 1001145+50 = 9520125+0 = 125F2(2) = 125; D2 = 23030+155 = 1551245+100 = 14521125+50 = 17530190+0 = 190F2(3) = 190; D2 = 34040+220 = 2201345+155 = 19522125+100 = 22531190+50 = 240F2(4) = 240; D2 = 35050+270 = 2701445+220 = 26523125+155 = 28032190+100 = 290F2(5) = 290; D2 = 3

&APage &P

Sheet1Dana ygKemungkinanDana ygMax. Jobs BaruOptimal F1(X1)TersediaPendanaanTersisa utkJk m'alokasikanutk Stage 1,2,3,4utk Stage 1Stage 2,3,4D3 ke Stage 3Optimal D1(X1)(D1)(X1-D1)R1(D1)+F2(X1-D1)5050+290 = 29041225+50 = 275F1(5) = 290; D1 = 0

&APage &P

Sheet1StageState0123451D1 = 02D2 = 0D2 = 0D2 = 2D2 = 3D2 = 3D2 = 33D3 = 0D3 = 1D3 = 2D3 = 0D3 = 0D3 = 14D4 = 0D4 = 1D4 = 2D4 = 3D4 = 4D4 = 533

&APage &P

Sheet1NotasiDeskripsiContohVariabel StagejTitik KeputusanKeempat KementrianVariabel StateXjJumlah ResourceDana yang tersisa utk dialokasikantersisa untuk dialokasikanke Kementrian - kementrianVariabel KeputusanDjKeputusan yg mungkinDana yang diberikan untukpada stage jkementrian ke jNilai Stage ReturnRj(Dj)stage return karenaBanyaknya pekerjaan padamembuat keputusan Djkementrian j jika didanai DjNilai OptimalFj(Xj)Return kumulatif terbaikMaximum banyaknya pekerjaan baruuntuk stages j danyang diciptakan kementrian j,,4.stages sisanya pada state Xj.Boundary ConditionF(XN)sekumpulan nilai optimalBanyaknya pekerjaan baru yang diciptakanuntuk stage terakhir (N)mendanai kementrian 4 dg $X4 juta.Nilai Solusi OptimalF1(T)Kumulatif return terbaikMaximum total banyaknya pekerjaan barudengan dana tersedia T utkdialokasikan ke semua kementrian

&APage &P