Determinante i inverzne matrice.pdf
4
Determinante i inverzne matrice 17. listopada 2014. 1 Determinante Permutacija brojeva 1, 2, 3, ··· ,n je svaka ure dena n-torka (i 1 ,i 2 , ··· ,i n ) u kojoj se svaki od brojeva 1, 2, 3, ··· ,n javlja toˇ cno jednom. Brojevi i p i i q su u inverziji ako je p<q i i p >i q . Permutacija je parna ako je broj inverzija u njoj paran, a neparna inaˇ ce. Broj permutacija n brojeva jednak je n!= n(n - 1)(n - 2) ··· 2 · 1(n faktorijela). Svakoj kvadratnoj matrici A =[a ij ] ∈M n moˇ ze se pridruˇ ziti realan broj |A| = det A = a 11 a 12 a 13 ··· a 1n a 21 a 22 a 23 ··· a 2n . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 a n3 ··· a nn = X π (-1) k(π) a 1i 1 a 2i 2 ··· a nin , gdje je π =(i 1 ,i 2 , ··· ,i n ) permutacija brojeva 1, 2, 3, ··· ,n,a k(π) broj inverzija u per- mutaciji π. Taj realan broj nazivamo determinantom. Npr. a 11 a 12 a 21 a 22 = (-1) 0 a 11 a 22 +(-1) 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 - a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = (-1) 0 a 11 a 22 a 33 +(-1) 1 a 11 a 23 a 32 +(-1) 1 a 12 a 21 a 33 + +(-1) 2 a 12 a 23 a 31 +(-1) 2 a 13 a 21 a 32 + +(-1) 3 a 13 a 22 a 31 Formulu za determinantu 3 × 3 matrice jednostavnije pamtimo uz pomo´ c Sarrusovog pravila. 1.1 Laplaceov razvoj determinante Neka D ij oznaˇ cava determinantu podmatrice matrice A =[a ij ] ∈M n , koja se do- bije kada iz matrice A ispustimo i-ti redak i j -ti stupac. Algebarski komplement ili kofaktor elementa a ij je broj A ij =(-1) i+j D ij . 1
-
Upload
snjezanakomic -
Category
Documents
-
view
20 -
download
2
Transcript of Determinante i inverzne matrice.pdf
Determinante i inverzne matrice
17. listopada 2014.
1 Determinante
Permutacija brojeva 1, 2, 3, · · · , n je svaka uredena n-torka (i1, i2, · · · , in) u kojoj sesvaki od brojeva 1, 2, 3, · · · , n javlja tocno jednom.
Brojevi ip i iq su u inverziji ako je p < q i ip > iq. Permutacija je parna ako je brojinverzija u njoj paran, a neparna inace.
Broj permutacija n brojeva jednak je n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 2 · 1 (n faktorijela).
Svakoj kvadratnoj matrici A = [aij ] ∈Mn moze se pridruziti realan broj
|A| = detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...
......
...an1 an2 an3 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∑π
(−1)k(π)a1i1a2i2 · · · anin ,
gdje je π = (i1, i2, · · · , in) permutacija brojeva 1, 2, 3, · · · , n, a k(π) broj inverzija u per-mutaciji π. Taj realan broj nazivamo determinantom.
Npr.
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = (−1)0a11a22 + (−1)1a12a21 = a11a22 − a12a21∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = (−1)0a11a22a33 + (−1)1a11a23a32 + (−1)1a12a21a33 +
+(−1)2a12a23a31 + (−1)2a13a21a32 + +(−1)3a13a22a31
Formulu za determinantu 3× 3 matrice jednostavnije pamtimo uz pomoc Sarrusovogpravila.
1.1 Laplaceov razvoj determinante
Neka Dij oznacava determinantu podmatrice matrice A = [aij ] ∈ Mn, koja se do-bije kada iz matrice A ispustimo i-ti redak i j-ti stupac. Algebarski komplement ilikofaktor elementa aij je broj
Aij = (−1)i+jDij .
1
Ako pribrojnike u formuli za racunanje determinante grupiramo po elementima koji senalaze u i-tom retku, dobijemo Laplaceov razvoj determinante po elementima i-tog retka
detA =
n∑j=1
aijAij .
Slicno, ako pribrojnike u formuli za racunanje determinante grupiramo po elementimakoji se nalaze u j-tom stupcu, dobijemo Laplaceov razvoj determinante po elemen-tima j-tog stupca
detA =
n∑i=1
aijAij .
1.2 Svojstva determinanti
D1 Determinanta trokutaste matrice jednaka je produktu elemenata na dijagonali.
D2 detA = detAT
D3 Zamjenom dvaju stupaca determinanta mijenja predznak.
D4 Determinanta matrice s dva jednaka stupca je nula.
D5 Determinanta se ne mijenja ako jednom stupcu pribrojimo neki drugi stupac pomnozennekim brojem.
D6 Determinanta se mnozi brojem k ∈ R tako da se svi elementi jednog stupca pomnozetim brojem.
D7 Za matrice A,B ∈Mn vrijedi
detA ·B = detA · detB.
D8 Determinanta matrice je razlicita od nule ako i samo ako su stupci matrice linearnonezavisni, odnosno ako je matrica regularna.
Zbog svojstva D2 sva pravila koja vrijede za stupce, vrijede i za retke!
2 Inverzna matrica
Matricu cija je determinanta razlicita od nule nazivamo regularnom matricom. Ma-tricu cija je determinanta jednaka nuli nazivamo singularnom matricom.
Teorem 1 Matrica A = [aij ] ∈Mn je regularna ako i samo ako je rang(A) = n.
Ako je A ∈Mn regularna matrica, postoji kvadratna matrica B ∈Mn takva da je
A ·B = B ·A = I.
2
Kvadratnu matricu koja zadovoljava ovaj uvjet nazivamo inverznom matricom matriceA i oznacavamo s A−1. Dakle
A ·A−1 = A−1 ·A = I,
gdje je I ∈Mn.
Neka je
A =
a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n...
......
...an1 an2 an3 · · · ann
kvadratna matrica. Matricu
A∗ =
A11 A12 A13 · · · A1n
A21 A22 A23 · · · A2n...
......
...An1 An2 An3 · · · Ann
T
gdje je Aij algebarski komplement elementa aij (i, j ∈ {1, 2, · · · , n}), nazivamo adjungi-ranom matricom matrice A.
Teorem 2 Ako je matrica A ∈Mn regularna, onda je
A−1 =1
detA·A∗.
Skup Gn svih regularnih matrica ima sljedeca svojstva:
1. Gn 6=Mn
2. I ∈ Gn
3. (AB)−1 = B−1A−1, ∀A,B ∈ Gn
4. (A−1)−1 = A, ∀A ∈ Gn
5. detA−1 =1
detA
Inverzna matrica matrice A ∈ Mn moze se izracunati i primjenom elementarnih tran-sformacija (Gauss-Jordanovih transformacija) istodobno na matrici A i na jedinicnoj ma-trici I ∈Mn, odnosno na matrici [
A... I
].
Elementarne transformacije se vrse samo nad retcima ove matrice, dok ne dobijemo oblik[I
... B
],
a tada je A−1 = B (ako se ne moze dobiti ovaj oblik, matrica A je singularna).
3
3 Cramerovo pravilo
Sljedeci teorem daje formulu za rjesavanje sustava linearnih jednadzbi kada je matricasustava regularna.
Teorem 3 Neka je matrica A ∈Mn regularna matrica i neka je Di determinanta matricekoja se dobije kada se i-ti stupac matrice A zamijeni vektorom b. Tada su komponenterjesenja sustava Ax = b dane s
xi =Di
detA, i ∈ {1, 2, · · · , n} .
4
