INTRODUÇÃO

O projeto de um eixo depende da limitação na quantidade de rotação ou

torção que ocorre no eixo quando submetido ao torque. O ângulo de torção é o

parâmetro que nos dá uma noção dos esforços que tentam rotacionar o eixo.

Para eixos estaticamente determinado o ângulo de torção pode ser dado

por:

∅=∫0

LT ( x )∗dxJ ( x )∗G

(1)

Onde:

Φ é o ângulo de torção da extremidade do eixo em relação à outra;

T(x) é o torque interno na posição arbitrária x;

J(x) é o momento de inércia polar do eixo;

G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.

Normalmente, o material é homogêneo, de modo que G, a área da secção

transversal e o torque aplicado são constantes. Quando estas condições

ocorrem:

∅=T∗LJ∗G

(2)

Quando o eixo estiver sujeito a diversos torques, ou área de secção

transversal e módulo de cisalhamento mudarem abruptamente de uma região

para outra, o ângulo de torção passa a ser:

∅=∑ T∗LJ∗G

(3)

A direção e o sentido do torque aplicado são definidos a partir da regra

da mão direita. O torque e ângulo serão positivos se a direção indicada pelo

polegar for no sentido de se afastar-se do eixo;

Se o eixo tiver uma secção transversal circular maciça o momento polar

de inércia é dado por:

J= π2∗r 4 (4)

Se o eixo tiver uma secção transversal tubular, o momento de inércia é

dado por:

J= π2∗(r¿¿o¿¿4−ri

4)¿¿ (5)

Com base nesses conhecimentos foi realizado um experimento no qual

o objetivo é avaliar a propagação de erro pelo método de Kline McClintock na

determinação experimental do módulo de cisalhamento de um tubo em aço.

Na maioria dos experimentos, a medição de uma grandeza R de

interesse é feita de maneira indireta, sendo esta grandeza obtida a partir de

medidas de n grandezas primárias {a1, a2, a3 ... an}. O cálculo de R é feito a

partir de uma função conhecida das grandezas primárias. Estas grandezas são

também denominadas grandezas de entrada, enquanto a grandeza R é

denominada grandeza de saída. Em linguagem formal escrevemos:

R=f (a1 , a2 ,a3 ...an) (6)

Utilizando aproximações e um grande número de medidas (amostras),

podemos admitir o valor médio como o valor verdadeiro. Da mesma forma, a

incerteza padrão pode ser considerada como o desvio padrão verdadeiro.

Fazendo um desenvolvimento matemático apropriado segundo o método de

Kleine e McClintock, temos uma expressão para calcular a propagação de erro

da grandeza de saída, como mostra a Equação 2 [TOGINHO FILHO E

ANDRELLO, 2009]:

σ R=√( ∂Ra1 ×σ a1)2

+( ∂Ra2 ×σ a2)2

+( ∂Ra3 ×σ a3)2

+… ( ∂Ran

×σ an)2 (7)

MATERIAIS

Para o desenvolvimento deste trabalho foram utilizados os materiais

discriminados abaixo:

Relógio comparador;

Régua;

Balança;

Paquímetro;

Micrômetro;

Tubo em Aço;

Anilhas;

Máquina de ensaio.

MÉTODOS

O tubo de aço foi engastado na máquina para o ensaio de torção. No

tubo foram fixados dois braços em posições diferentes, um perto do engaste

(b1) e outro próximo a aplicação da força que promovia o torque (b2).

Com o paquímetro mediu-se as dimensões do tubo a ensaiar, sendo

estas, o raio interno ri e raio externo re.

Fazendo uso da uma régua mediu-se, com relação ao engaste do tubo,

a posição de dois braços (Pb) para tomada dos deslocamentos com o relógio

comparador. Foi realizada a medição dos braços (b), dado pela distância da

extremidade do braço à parede do tubo somada ao raio externo do tubo,

utilizando-se o paquímetro.

As pontas dos dois relógios comparadores foram posicionadas nas

extremidades dos braços. Com uma anilha de 10 kg, foi realizado um pré-

torque para zerar o relógio comparador.

Acrescentou-se mais 10 kg, calculou-se o peso (M*g), o torque gerado

(T) e realizou-se leitura do relógio comparador do deslocamento (y) situado em

cada braço, devido a massa da segunda anilha. Esse procedimento foi repetido

quando se acrescentou o terceiro peso (10 kg) e o quarto peso (20 kg).

Foram calculados os ângulos de torção Φ em cada situação de torque

utilizando a Equação 9.

Com o método de Kline e McClintock foi determinado a propagação de

erro do torque, momento polar de inércia, ângulo de torção e modulo elástico

de cisalhamento.

O resultado da média do módulo elástico de cisalhamento foi comparado

com o encontrado na literatura.

As equações utilizadas, foram:

Torque: T=F∗I (8)

Ângulo de torção: Φ=asen ( yb ) (9)

Momento de inércia polar: J=π∗(re

4−ri4)

2

(10)

Módulo elástico de cisalhamento: G=T∗Pb

J∗Φ(11)

Força Peso: P=M∗g (12)

Desenho esquemático que mostra o ângulo de torção

RESULTADOS

O dados, referentes as dimensões do tubo (ri , ree L¿, as posições dos

braços com relação ao engaste (Pb1ePb2 ¿ e ao tamanho dos braços (b1e b2) ,

estão resumidos na Tabela 1, juntamente com o erro do instrumento utilizado

para determinada medição.

Tabela 1- Dados referentes a dimensão do tubo, posição de engaste, tamanho do braço e aos erros dos instrumentos de medição.

DADOS VALORES [M] ERRO DO INSTRUMENTO [M]RI 0,02300 ±0,00005RE 0,025275 ±0,00005L 0,595 ±0,001PB1 0,10400 ±0,00005PB2 0,483 ±0,001B1 0,066275 ±0,00005B2 0,067375 ±0,00005I 0,275 ±0,001

Na Tabela 2 estão especificadas as massas utilizadas para promover os torques e os valores de deslocamento correspondentes aos mesmos em cada braço.

Tabela 2- Massa e deslocamento y.

MASSA (M) [KG] Y1 [M] Y2 [M]

10 0,00003 0,0001120 0,00005 0,0002140 0,0001 0,00045

ERRO DO ERRO DO ERRO DO

INSTRUMENTO [KG]

INSTRUMENTO [m]

INSTRUMENTO [m]

± 0,0001 ±0,00001 ±0,00001

Abaixo estão especificados os resultados da força aplicada, do torque,

do momento de inércia polar e do módulo de elasticidade, bem como a

propagação de erro de cada um deles, segundo o método de Kleine e

McClintock :

1. Para o força peso (P) [N]:

P=M∗g (13)

σ P=√( ∂ P∂M P

)2

∗σM2

(14)

σ P=√g2∗σM2 (15)

σ P=0,000981N

Foram calculadas as forças correspondentes a cada massa aplicada e a

propagação de erro, mostrados na Tabela 3.

Tabela 3- Massas, forças aplicadas e erro propagado.

Massa (M) [kg] Força (F) [N]10 98,120 196,240 392,4

ERRO DA FORÇA F σ P=0,000981N

2. Para o Torque (T) [N.m]:

O torque foi calculado a partir da força peso (F) e do braço de alavanca

(I).

T=F∗I (16)

σ T=√( ∂T∂F )2

∗σF2+( ∂T∂ I )

2

∗σ I2

(17)

σ T=√I 2∗σ F2+F2∗σ I

2 (18)

Os resultados obtidos estão tabelados abaixo.

Tabela 4- Resultados do torque e erros de propagação

Torque T1 e T2 [N.m] ERRO DE T1 e T2 [N.m]26,977 0,09853,955 0,196

107,910 0,392

3. Para o ângulo de torção (Φ) [radianos]:

Os ângulos de torção dependem do deslocamento devido ao torque e

das posições do braço.

Φ=asen ( yb ) (19)

σΦ=√( ∂Φ∂ y )2

∗σ y2+( ∂Φ∂b )

2

∗σ b2

(20)

σΦ=√(1b

√1−( yb )2 )2

∗σ y2+( − y

b2√1−( yb )2 )2

∗σ b2

(21)

Os resultados estão dispostos na tabela 5.

Tabela 5- Resultados do ângulo de torção e erros de propagação.

Ângulo de torção experimental Φ1 [radianos]

ERRO DE Φ1 [radianos]

Ângulo de torção experimental Φ2 [radianos]

ERRO DE Φ2

[radianos]

0,00045 0,00015 0,00163 0,0001480,00075 0,00015 0,00312 0,0001480,00151 0,00015 0,00668 0,000148

4. Para o momento de inércia (J) [m4]:

O momento de inércia polar depende apenas dos raios interno e externo

do tubo.

J=π∗(re

4−ri4)

2

(22)

σ J=√( ∂J∂r 0 )2

∗σ r0

2+( ∂J∂r1 )2

∗σr1

2(23)

σ J=√( 4∗π∗r 03

2 )2

∗σ r0

2+( 4∗π∗r13

2 )2

∗σr1

2(24)

Tabela 6- Resultados do momento de inércia polar e do erro de propagação.

Momento de inércia polar J [m4]

ERRO DE PROPAGAÇÃO J [m4]

2,01364*10-7 0,06348*10-7

5. Para o módulo elástico de cisalhamento (G) [Pa]:

O módulo elástico de cisalhamento depende do torque aplicado, das

posições do braço ao local de aplicação do torque, dos ângulos de torção e do

momento de inércia polar.

G=T∗Pb

J∗Φ(25)

σ G=√( ∂G∂T )2

∗σT2+( ∂G∂Pb

)2

∗σPb

2+( ∂G∂J )2

∗σ J2+( ∂G∂Φ )

2

∗σΦ2

(26)

σ G=√( Pb

J∗Φ )2

∗σT2+( T

J∗Φ )2

∗σP b

2+(−T∗Pb

J 2∗Φ )2

∗σJ2+(−T∗Pb

J∗Φ2 )2

∗σΦ2

(27)

A Tabela 7 contém os valores do módulo elástico de cisalhamento e os erros de propagação.

Tabela 7- Resultados do módulo elástico de cisalhamento.

Módulo elástico de cisalhamento G1 [GPa]

ERRO PROPAGADO G1 [GPa]

Módulo elástico de cisalhamento G2 [GPa]

ERRO PROPAGADO G2 [GPa]

30,78 10,31 39,63 38,1736,94 7,48 41,52 23,7836,94 3,88 38,75 15,034

6. Com os valores do módulo elástico de cisalhamento calculou-se a média

e o desvio padrão, os resultados estão apresentados na Tabela 8.

Tabela 8- Resultado do módulo de cisalhamento e o desvio padrão da média.

Módulo elástico de cisalhamento médio (Gmédio) [GPa]

Desvio padrão da média de (Gmédio) [GPa]

37,43 3,37

7. Utilizando o módulo elástico de cisalhamento médio (Gmédio) calculou-se

o ângulo de torção teórico de acordo com a Equação 28.

Φ=T∗Pb

J∗Gmédio

(28)

Os resultados estão contidos na Tabela 9.

Tabela 9- Resultados do ângulo de torção teórico.

Ângulo de torção teórico Φ1 (radianos) Ângulo de torção teórico Φ2 (radianos)0,00037 0,001730,00074 0,003460,00149 0,00692

CONCLUSÃO

Comparando-se os resultados, para as duas posições, dos ângulos de

torção teóricos e experimentais, observa-se que os valores teóricos e

experimentais que mais se aproximam são referentes aos ângulos calculados

para a primeira posição de deslocamento (posição mais próxima ao engaste).

BIBLIOGRAFIA

TOGINHO FILHO, D. O., ANDRELLO, A.C., Medição e propagação de erros.

Catálogo de Experimentos do Laboratório Integrado de Física Geral.

Departamento de Física, Universidade Estadual de Londrina, Março de 2009.

.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

ENGENHARIA MECÂNICA

INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL

PROF. MARCOS IRMÃO

DISCENTES: CAMILA COELHO GUIMARÃES E ADEMY MATTOS

RELATÓRIO:

DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO MÓDULO

ELÁSTICO DE CISALHAMENTO DE UM TUBO EM AÇO

JUAZEIRO, BA.

2013