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Modulações digitais
6
Detecção não coerente de DPSK e MFSK
Probabilidades de erro.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 2
Detecção não-coerente de FSK binário
O sinal recebido é r (t) =2 Eb
Tcos(ω it + θ ) + n(t ), em que θ é uma
amostra de uma variável aleatória com fdp uniforme em [0, 2π]. A detecção não-coerente deste sinal pode fazer-se com um dos dois receptores alternativos equivalentes seguintes:
• Receptor em quadratura
0
T∫
0
T∫
( )2
( )2
si(t)^
z1I(T)
[z1I(T)]2 + [z1Q(T)]2
r(t) +
-
0
T∫
0
T∫
( )2
( )2
Opcional
Opcional
2T
cos ω1t
2T
cos ω2t
2T
sen ω2t
2T
sen ω1t z1Q(T)
z2I(T)
z2Q(T)
[z2I(T)]2 + [z2Q(T)]2
• Receptor com filtro adaptado não-coerente
Filtroadaptado
a ψ1(t)r(t)
y1(t) Detector deenvolvente
1/Tz1(t)
si(t)^
+
-Filtroadaptado
a ψ2(t)Detector deenvolvente
1/T
z2(t)
z1(T)
z2(T)y2(t)
Alternativa (pior) aos filtros adaptados: filtros passa-banda centrados em ωi.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 3
Detecção não-coerente de FSK binário
Receptor em quadratura
Suponhamos que à entrada do receptor temos (sem ruído)
r (t) =
2 EbT
cos(ω1t + θ ) 0 ≤ t ≤ T
A fase θ é desconhecida. Quais são os valores de z1I (T) , z1Q(T) , etc., no
receptor em quadratura?
z1I (T) =2T
r (t)cosω1tdt0
T
∫ =2 Eb
T2T
cos(ω1t + θ )cosω1tdt0
T
∫ = Eb cosθ
De igual modo:
z1Q (T) =2T
r( t)senω1tdt0
T
∫ =2T
Eb cos(ω1t + θ )senω1tdt0
T
∫ = Ebsenθ
z2 I (T ) =2T
r( t)cosω2tdt0
T
∫ =2T
Eb cos(ω1t + θ )cosω2tdt0
T
∫ = 0
z2Q (T ) =2T
r(t )senω2tdt0
T
∫ =2T
Eb cos(ω1t + θ )senω2 tdt0
T
∫ = 0
(Não esquecer que os valores das frequências f1 e f2 fazem com que os sinais
FSK sejam ortogonais)
z1I2 (T ) + z1Q
2 (T) = Eb (cos2 θ + sen2θ ) = Eb
z2 I2 (T) + z2Q
2 (T) = 0
O contrário se passaria se tivesse sido recebido 2 Eb
Tcos(ω2 t + θ ).
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 4
Detecção não-coerente de FSK
Receptor com filtros adaptados
O receptor não-coerente com filtros adaptados é equivalente ao receptor em quadratura.
Considerando apenas metade do receptor (um dos ramos):
Filtroadaptado
a ψi(t)
r(t) y(t) Detector deenvolvente
1/T z(T)z(t)
• Resposta impulsional do filtro adaptado a 2T
cosωit , para 0 ≤ t ≤ T :
h(t) =2T
cosωi (T − t ) 0 ≤ t ≤ T
• Saída do filtro adaptado:
y(t) = r(τ)h(t − τ)dτ−∞
∞
∫ = 2T
r(τ )cos ω i(T − t + τ )[ ]dτ0
T
∫ =
=2T
cos ω i(T − t)[ ] r (τ )cos(ω iτ )dτ0
T
∫ −2T
sen ωi (T − t)[ ] r(τ )sen(ωiτ )dτ0
T
∫
• A envolvente deste sinal é proporcional à raiz quadrada da soma dos quadrados dos integrais. No instante T:
z(T ) = r(τ ) 2T
cos(ωiτ )dτ0
T
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
2
+ r(τ ) 2T
sen(ω iτ )dτ0
T
∫⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
2⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
1 2
Isto é precisamente o que temos na saída de cada metade do receptor em quadratura.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 5
Detecção não-coerente de FSK
Receptores não coerentes de FSK:
• em quadratura
É a melhor opção.
• com filtros adaptados
• com filtros passa-banda
É a pior opção.
Outras considerações
• O detector de envolvente é um rectificador seguido de filtro passa-baixo.
• Escolhe-se a envolvente de maior amplitude.
• Em nenhum caso se usa referência de fase.
Se se usasse referência de fase a detecção seria… coerente!
• No receptor com filtros passa-banda os filtros estão centrados nas frequências fi e têm uma largura de banda 1/T.
• Os receptores em quadratura são facilmente implementados digitalmente. São os preferidos.
• Os detectores de envolvente são menos usados porque os filtros (analógicos ou digitais) são mais complexos.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 6
PSK diferencial (DPSK)
• Em modulação de fase não podemos dispensar o conhecimento da… fase; logo, a única maneira de desmodular PSK é através de detecção coerente.
• PSK diferencial, ou DPSK, é uma modulação PSK “falsa”. Pode ser desmodulada de forma coerente e não-coerente.
• DPSK é uma forma de sinalização ortogonal no intervalo de dois bits.
• A geração de DPSK compreende duas operações:
1. Codificação diferencial 2. Modulação PSK convencional
Codificador diferencial
Tb
bk ck ⊕
1k k kc b c −= ⊕
ou Tb
bk ck ⊕
1k k kc b c −= ⊕
Modulador DPSK (com 1k k kc b c −= ⊕ )
Tb
Codificador diferencial
Conversor binário-polar
bk ck
{0,1} → {-A,+A}
2 cos 2b cT f tπ Modulador BPSK
si(t)
DPSK
⊕
Exemplo de codificação diferencial (com 1k k kc b c −= ⊕ )
Índice da amostra, k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mensagem binária, bk: 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
Mensagem codificada diferencialmente, ck:
1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1
Variação de fase: π 0 π π 0 0 π 0 0 0 π
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PSK diferencial (DPSK)
• A codificação diferencial segundo a regra 1k k kc b c −= ⊕ significa que:
• um bit bk = 0 não altera a fase da forma de onda do intervalo de tempo anterior.
• um bit bk = 1 avança a fase anterior de 180°.
• Também poderá ser usada a regra de codificação 1k k kc b c −= ⊕ .
Se no intervalo 0 bt T≤ ≤ for transmitida a forma de onda 2 cosb
cb
E tT
ω ,
no intervalo 2b bT t T≤ ≤ a forma de onda é a mesma (se o bit correspondente for “0”) ou avançada de 180° (se o bit correspondente for “1”):
• Se bit do intervalo 2b bT t T≤ ≤ for “0”:
1
2 cos 0( )
2 cos 2
bc b
b
bc b b
b
E t t TT
s tE t T t T
T
ω
ω
⎧≤ ≤⎪
⎪= ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎩
(mantém a fase anterior)
• Se bit do intervalo 2b bT t T≤ ≤ for “1”:
2
2 cos 0( )
2 cos( ) 2
bc b
b
bc b b
b
E t t TT
s tE t T t T
T
ω
ω π
⎧≤ ≤⎪
⎪= ⎨⎪ + ≤ ≤⎪⎩
(altera a fase anterior)
A segunda metade de um símbolo é a primeira metade do símbolo seguinte.
• No intervalo [0,2 ]bT os símbolos s1(t) e s2( t) são ortogonais:
2
1 20
( ) ( ) 0bT
s t s t dt =∫
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 8
Desmodulação não-coerente de PSK diferencial
• Em DPSK a informação é transportada pela diferença de fase entre duas formas de onda sucessivas, logo, não é necessário determinar o valor real da fase do sinal recebido.
Suponhamos que a forma de onda transmitida é
[ ] 02( ) cos 2 ( )
1,2b
i c ib
t TEs t f t tiT
π θ≤ ≤
= +=
Depois de atravessar um canal sem distorção de amplitude o sinal recebido pode ser caracterizado por
[ ]2( ) cos 2 ( ) ( )c ib
Er t k f t t n tT
π θ α= + + +
em que k traduz o ganho do canal, α é um esfasamento aleatório com distribuição uniforme em [0; 2π] e n(t) é o ruído AWGN.
• Se α variar pouco em dois períodos consecutivos, a diferença de fase entre duas formas de onda sucessivas, θ j (T1) e θk (T2 ), com 2 1 bT T T− = , é
independente do esfasamento α:
θ k (T2 ) + α[ ]− θ j (T1) + α[ ]= θk (T2 ) − θ j (T1 ) = φi (T2 )
⇓
A fase da portadora no intervalo precedente pode ser usada como referência de fase para a desmodulação:
θk (T2 ) = θ j (T1 ) + φi (T2 ) .
Com modulação binária φi (T2 ) só pode assumir os valores 0° ou 180°.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 9
Desmodulação não-coerente de DPSK
θ
(ou este)
Instante t = 2Tb
y2(2Tb)
y1(2Tb) bE yQ
yI θ yI
y1(Tb) bE
(ou este)
Instante t = Tb
yQ
y2(Tb)
I
Q
yy
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦y
No instante t = Tb (figura da esquerda) é recebido ou o ponto y1(Tb), com uma fase desconhecida θ, ou o ponto y2(Tb), com uma fase desconhecida π+θ. Como os sinais transmitidos em DPSK são antipodais, no instante seguinte, t = 2Tb (figura da direita), será recebido ou o ponto y1(2Tb) ou o ponto y2(2Tb). Portanto no intervalo [0, 2Tb] podem ocorrer duas situações:
• ou os pontos sucessivos estão no mesmo quadrante
⇒ a fase do sinal não se alterou ⇒ foi enviado o bit “0”.
⇒ os produtos internos ( ) (2 )b bT T•1 1y y ou 2 2( ) (2 )b bT T•y y são positivos.
• ou os pontos sucessivos estão em quadrantes opostos
⇒ a fase do sinal sofreu alteração ⇒ foi enviado o bit “1”.
⇒ os produtos internos 2( ) (2 )b bT T•1y y ou 2 1( ) (2 )b bT T•y y são negativos.
1 2 2
2 2 1
( ) (2 ) ( ) (2 ) bit 0 enviado( ) (2 )
( ) (2 ) ( ) (2 ) bit 1 enviadob b b b b
b bb b b b b
T T T T ET T
T T T T E• = • =⎧
• = ⎨ • = • = −⎩1
1
y y y yy y
y y y y
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 10
Desmodulação de DPSK
Como efectuar o produto interno dos vectores de sinal recebidos nos instantes Tb e 2Tb? Por exemplo com o circuito seguinte, onde yI e yQ são as
coordenadas do ponto y, [ ]TI Qy y=y :
Desmodulação diferencialmente coerente
Sinal DPSK
Decisor
+
+
γ = 0
yI(2Tb)
yQ(Tb)
yQ(2Tb)
yI(Tb)
y(Tb)• y(2Tb)
sen 2 cf tπ
cos 2 cf tπ
ˆ ( )is t
0bT
∫Tb
0bT
∫Tb
• Neste receptor os sinais de referência estão sincronizados em frequência (mas não em fase) com os sinais recebidos: o método de detecção é não-coerente.
• É mais fácil implementar um receptor de DPSK do que de PSK porque aquele não requer sincronização de fase.
• Para se obter a mesma probabilidade de erro (≤10-4) DPSK requer ≈1dB mais de relação Eb N0 do que PSK.
• DPSK também pode ser desmodulado como na figura seguinte:
Desmodulação sub-óptima de PSK diferencial
0
T∫
T
Sinal DPSK si(t)^
Neste receptor o sinal de referência é uma versão atrasada do sinal recebido. A probabilidade de erro é maior que com o receptor diferencialmente coerente.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 11
Modulação ortogonal não-coerente
Probabilidades de erro
• Fórmula geral da probabilidade de símbolo errado:
Pe =(−1)k+1
k +1
M −1
k
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ exp −
kEs(k +1)N0
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
k=1
M −1
∑
• Se M = 2 (modulação binária):
PB =12
e−
E2 N0 (E — energia dos símbolos)
• Casos particulares com M = 2:
• FSK binário ortogonal com detecção não-coerente:
Energia do símbolo: E = Eb (Eb — energia/bit)
PB =12
e−
Eb2 N0
• DPSK binário com detecção não-coerente:
Duração do símbolo DPSK: 2T
Energia do símbolo: E = 2 Eb
PB =12
e−
EbN0
• DPSK apresenta um ganho de 3 dB sobre BFSK não-coerente, para a mesma probabilidade de erro.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 12
Modulações digitais binárias: PSK, DPSK e FSK
Probabilidades de bit errado em modulações digitais binárias
-5 0 5 1010 -7
10 -6
10 -5
10 -4
10 -3
10 -2
10 -1
1
15Eb/No (dB)
Pro
babi
lidad
e de
bit
erra
do, P
B
detecção coerentede PSK
detecção coerente de FSK
detecção coerentede DPSK
detecção não-coerentede DPSK
detecção não-coerente de FSK
Limite de Shannon(-1,6dB)
Para probabilidades de erro muito pequenas (<10-7) podemos observar o seguinte:
• a relação EbN0
necessária para atingir um determinado valor de PB em PSK
e em DPSK é praticamente a mesma.
• a relação EbN0
necessária para atingir um determinado valor de PB em FSK
é praticamente a mesma qualquer que seja o tipo de detecção usado.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 13
Modulação digital MFSK
Probabilidade de símbolo errado com detecção não-coerente
-5 0 5 15-1,6Eb/No (dB)
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
Pro
babi
lidad
e de
sím
bolo
erra
do, P
e
10
M=2
4
8
16
32
Probabilidade de bit errado com detecção não-coerente
-5 0 5 15-1,6Eb/No (dB)
1010-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
Pro
babi
lidad
e de
bit
erra
do, P
B M=2
4
8
16
32
Acima de M=128 há pouca diferença entre as probabilidades de erro obtidas com detecção coerente e detecção não-coerente.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 14
Probabilidades de bit e símbolo errado
Modulação Tipo de detecção
M = 2 M > 2
Pb Pe
PSK Coerente Q2EbN0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ≈ 2Q
2EsN0
senπM
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
*
DPSK Coerente 2Q2EbN0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ 1 − Q
2EbN0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
—
DPSK Não- -coerente
12
exp −EbN0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ≈ 2Q 2
EsN0
senπ
2M
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
*
FSK Coerente QEbN0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ≤ (M −1)Q
EsN0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
FSK Não- -coerente
12
exp −Eb
2N0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ (−1)k+1
k +1
M −1
k
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ exp −
kEs(k +1)N0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
k =1
M −1
∑**
OOK Coerente QEbN0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ —
OOK Não--coerente 0 0
1 exp2 2
b bE EQN N
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
—
QAM Coerente — ≈ 4 1 −1M
⎛ ⎝
⎞ ⎠ Q
2E0N0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
* Para Es N0 elevado.
** Limite superior: Pe ≤M −1
2exp −
Es2N0
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
• Todos os sinais são equiprováveis e Es = Eb log2 M = kEb . Em OOK: bE E= ⟨ ⟩ .
• Relação entre probabilidade de bit errado e probabilidade de símbolo errado:
o Sinais ortogonais: 12 2 1
1 22 1
kb
k ke
P MP M
−
→∞= = ⎯⎯⎯→
−−
o Sinais de fase múltipla e código de Gray: 1 ( 1)be
e
P PP k
≈ <<
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 15
Probabilidades de bit errado em modulações digitais
Valores de Eb/N0 necessários para se atingir Pb = 10-4 e 10-5
Modulação Tipo de detecção
Eficiência espectral
Eb/N0 (dB)
(bits/s/Hz) Pb = 10-4 Pb = 10-5
BPSK Coerente 1 8,4 9,6
QPSK Coerente 2 8,4 9,6
MSK Coerente 2 8,4 9,6
DPSK Não-coerente 1 9,3 10,3
DQPSK Não-coerente 2 10,7 11,9
BFSK Coerente 1 11,4 12,6
OOK Coerente 1 11,4 12,6
8-PSK Coerente 3 11,7 13,0
16-QAM Coerente 4 12,2 13,4
BFSK Não-coerente 1 12,3 13,4
OOK Não-coerente 1 12,3 13,4
8-DPSK Não-coerente 3 14,6 15,8
16-PSK Coerente 4 16,1 17,4
64-QAM Coerente 6 16,5 17,8
256-QAM Coerente 8 21,2 22,5
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 16
Apêndice 1: espaçamento entre frequências de sinais ortogonais FSK
P.: Se ( )1 12( ) cos 2b
b
Es t f tT
π φ= + e 2 22( ) cos2b
b
Es t f tT
π= forem usados em
FSK qual deverá ser o espaçamento mínimo entre f1 e f2 de modo que as formas de onda sejam ortogonais?
R.: Se as formas de onda forem ortogonais deverá ser
1 20( ) ( ) 0
Ts t s t dt =∫ ⇒ 1 20
cos(2 )cos2 0T
f t f tdtπ φ π+ =∫
Desenvolvendo:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 0cos cos 2 cos 2 sen sen 2 cos 2 0
T Tf t f t dt f t f t dtφ π π φ π π− =∫ ∫
Mas
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2cos 2 cos 2 1 2cos2 1 2cos2f t f t f f t f f tπ π π π= + + −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2sen 2 cos 2 1 2sen 2 1 2sen 2f t f t f f t f f tπ π π π= + + −
Substituindo valores e calculando os integrais obtemos:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
sen 2 sen 2cos
2 2
cos2 1 cos2 1sen 0
2 2
f f T f f Tf f f f
f f T f f Tf f f f
π πφ
π π
π πφ
π π
⎡ ⎤+ −+ +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − − −+ + =⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
Ora
( )( )
( )( )
1 2 1 2
1 2 1 2
sen 2 cos20
2 2f f T f f T
f f f fπ π
π π+ +
≈ ≈+ +
se 1 2 1f f+
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 17
Apêndice 1: espaçamento entre frequências de sinais ortogonais FSK (cont.)
Assim,
( ) ( )1 2 1 2cos sen 2 sen cos2 1 0f f T f f Tφ π φ π− + − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ (*)
Se a detecção for coerente então 0φ = , caso contrário é 0φ ≠ .
Detecção não coerente de FSK ( 0φ ≠ ):
Terá de ser ( )1 2sen 2 0f f Tπ − = ∧ ( )1 2cos2 1f f Tπ − =
⇓ ⇓
( )1 22 f f T kπ π− = ( )1 22 2f f T kπ π− =
A segunda condição é mais restritiva que a primeira. Conclui-se que
Espaçamento para ortogonalidade: 1 2kf fT
− = k = 1,2,…
Espaçamento mínimo: 1 21f fT
− =
Detecção coerente de FSK ( 0φ = ):
A equação (*) passa a ( )1 2sen 2 0f f Tπ − = , donde ( )1 22 f f T kπ π− = .
Espaçamento para ortogonalidade: 1 2 2kf fT
− = k = 1,2,…
Espaçamento mínimo: 1 21
2f f
T− =
Logo, a detecção coerente permite que o sinal FSK ocupe uma menor largura de banda.
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 18
Apêndice 2: Probabilidade de bit errado em BFSK com detecção não coerente
Pressupostos:
• Sinais ( ) 2 cos2i b is t E T f tπ= , 0 t T≤ ≤ , 1,2i = (equiprováveis)
• Detector constituído por M = 2 filtros passa-banda com B = 1/T e M = 2 detectores de envolvente
• s1(t) e s2(t) estão suficientemente separados em frequência (isto é, a sobreposição de espectros é desprezável)
Sinal recebido
Filtro passa-banda
1
Detector de envolvente
1 +
-
1/T
Filtro passa-banda
2
Detector de envolvente
2
z1(T)
z2(T)
1/T
z(T)
Sinal estimado
B = 1/T
B = 1/T
r(t) = s(t) + n(t)
( ) ( )0
1 20
1 12 2bP p z s dz p z s dz
∞
−∞
= +∫ ∫
Como em casos anteriores e dada a simetria das funções densidade de probabilidade (fdp) podemos escrever
( ) ( )2 1 2 20bP p z s dz P z z s∞
= = >∫ (com 1 1( )z z T= e 2 2( )z z T= )
Suponhamos que a frequência f2 foi enviada (isto é, 2( ) ( ) ( )r t s t n t= + )
⇒ à saída do filtro 1 temos uma v.a. gaussiana 2(0, )σN (ruído apenas, sem sinal) cuja envolvente, z1(T), tem uma fdp de Rayleigh (ver Apêndice 3).
⇒ à saída do filtro 2 temos ruído 2(0, )σN mais a sinusóide s2(t) logo, a sua envolvente, z2(T), tem uma fdp de Rice (ver Apêndice 3).
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 19
Apêndice 2: Probabilidade de bit errado em FSK com detecção não-coerente (cont.)
fdp da envolvente 1 (Rayleigh):
21 1
12 21 2
1
exp 0( ) 2
0 0
z z zp z s
zσ σ
⎧ ⎛ ⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠
⎪ <⎩
2σ – variância do ruído na saída
fdp da envolvente 2 (Rice):
2 22 2 2
0 22 2 22 2
2
exp 0( ) 2
0 0
z z A z AI zp z s
zσ σ σ
⎧ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪ <⎩
com 2 bEAT
=
2 cos0 0
1( )2
xI x e dπ θ θ
π= ∫ – função de Bessel modificada da 1ª espécie, de ordem 0
Sendo transmitido s2(t) o receptor comete um erro sempre que a amostra da envolvente z1(T), obtida no canal superior e devida apenas a ruído, exceder a amostra da envolvente z2(T), obtida no canal inferior e devida a sinal + ruído. Logo,
A probabilidade desta situação ocorrer pode ser calculada integrando
1 2( )p z s relativamente a z1, desde z2 a infinito, e tomando a sua
média para todos os valores possíveis de z2:
( ) ( ) ( )2
2
1 2 2 2 2 1 2 1 20
2 2 22 2 2 1 1
0 1 22 2 2 2 20exp exp
2 2
b z
z
P P z z s p z s p z s dz dz
z z A z A z zI dz dzσ σ σ σ σ
∞ ∞
∞ ∞
⎡ ⎤= > = =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 20
Apêndice 2: Probabilidade de bit errado em FSK com detecção não-coerente (cont.)
A expressão anterior vale
2 2
20
1 1exp exp2 2 44b
A APN Bσ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (pois 2 0 2
2N Bσ = × )
• Pb é tanto menor quanto menor for B (largura de banda do filtro)
• Como um sinal passa-banda ocupa o dobro da largura de banda do sinal em banda-base que lhe deu origem, a menor largura de banda possível do
filtro (sem ISI) é 1 122T T
× = .
⇓
2
0 04 21 1e e2 2
bEA TN N
bP− −
= =
• FSK com detecção não coerente requer ≈1 dB mais em Eb/N0 do que FSK com detecção coerente, para a mesma 410bP −≤ .
• O receptor não coerente é mais simples pois os sinais de referência coerentes não precisam de ser gerados ⇒ é o tipo de receptor quase sempre usado!
Detecção não coerente de DPSK e MFSK 21
Apêndice 3: As funções densidade de probabilidade (fdp) de Rayleigh e de Rice
• fdp de Rayleigh – é a fdp da envolvente de ruído gaussiano 2(0, )σN :
2
2 2exp 0( ) 2
0 outros valoresR
r r rf r σ σ
⎧ ⎛ ⎞− ≥⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎨ ⎝ ⎠
⎪⎩
Fdp normalizada:
Fazendo rvσ
= ⇒ ( )2exp 2 0( ) ( )
0 outros valoresV R
v v vf v f rσ
⎧ − ≥⎪= = ⎨⎪⎩
f R(r
)
0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
r
• fdp riciana (de Rice) – é a fdp da envolvente de ruído gaussiano 2(0, )σN + sinusóide de amplitude A:
2 2
02 2 2( ) exp2R
r r A Arf r Iσ σ σ
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(I0(x) – função de Bessel modificada da 1ª espécie e ordem zero)
Fdp normalizada:
Fazendo rvσ
= e Aaσ
= ⇒ ( )2 2( ) 2
0( ) ( ) v aV Rf v f r v e I avσ − += =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0
0.2
0.4
0.6 a = 0
1 2 3 4
v
f V(v
)
Se a = 0 ⇒ Rayleigh
Se a for elevado ⇒ ≈ gaussiana nas vizinhanças de v = a