Desempenho de Sistemas de Controle
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Controle de Sistemas Desempenho de Sistemas de Controle
Renato Dourado Maia
Universidade Estadual de Montes Claros
Engenharia de Sistemas
Controle de Sistemas – Renato Dourado Maia 2
Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
O Hubble é um telescópio de 2,4m, que fica a 380 milhas da Terra, sendo capaz de apontar e focalizar um moeda de dez
centavos de dólar a 400 milhas de distância...
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Diagrama de blocos:
Realimentação de Velocidade
Comando
Perturbação
Posicionamento
( )R s K 2
1s
1K s
( )D s
( )Y s
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Diagrama de blocos:
Objetiva-se escolher K1 e K de modo que:
1. A U.P para entrada em degrau seja ≤ 10%. 2. O erro em estado estacionário seja minimizado. 3. O efeito da perturbação de carda, D, seja minimizado.
K1
1( )s s K+( )R s
( )D s
( )Y s( )E s
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
A função de transferência em malha fechada, de R para Y é?
K1
1( )s s K+( )R s
( )D s
( )Y s
21
1
1
1( )( )( ) 11 ( ) 1
( )
Ks sG sT sG s s s
s s
KK K
KK
KK K+
= = =+ + ++
+
( )E s
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
O que fazer agora?
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Projetar os valores de K1 e K de modo que as es-pecificações de desempenho sejam atendidas.
Perguntas iniciais:
Como o erro em estado estacionário, sem perturbação, pode ser minimizado?
Como o erro em estado estacionário, devido a apenas uma perturbação em degrau unitário, pode ser minimi-zado?
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Vamos observar novamente a função de trans-ferência da planta:
1
1( )( )
G ss s K
=+
Qual é o erro em estado estacionário para uma entrada em degrau, com perturbação nula?
1
1( )( )
G ss s K
=+
Sistema Tipo 1, com realimentação unitária negativa: o erro em estado estacionário para
entrada em degrau é nulo!
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Pensemos, então, numa entrada tipo rampa de inclinação B, com perturbação nula:
Agora vamos analisar o efeito de uma perturba-ção em degrau unitário, com referência nula:
01 1
0lim ( ) lim
( )v s ssG s s
s KKK
s KK
→ →= =
+
1vss
B BeK KK
= =
0
( ) 1( ) ( ) lim ( )1 ( ) ss s
G sE s D s e sE sG sK K→
= − ⇒ = = −+
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Resumindo:
Para uma entrada em rampa de inclinação B, com per-turbação nula, o erro em estado estacionário é:
Para referência nula, o erro para uma perturbação em degrau unitário é:
1ss
BeK K
=
1sse
K= −
Conclusões: 1: 1K 1 12 : 1K KK K⇒
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Falta analisar a especificação de ultrapassagem percentual... Lembremos da função de transfe-rência em malha fechada:
21
( )TKs sK
Ks =
+ +
Podemos utilizar todo o nosso conhecimento sobre sistemas de
segunda ordem!
1
2
2 2 2( )2
n
n n
TsKs sK
Kss
ωζω ω
= =+ + + +
1 2 2n
n
K
K K
ω
ζω ζ
=
= =
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Ultrapassagem Percentual e Tempo de Pico Normalizado versus Relação de Amortecimento
Ultr
apas
sage
m M
áxim
a Pe
rcen
tual
Coeficiente de Amortecimento
Ultrapassagem Percentual
U.P. ≤ 10% ζ = 0,6; U.P. = 9,5%
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
1
2
2 2 2( )2
n
n n
TsKs sK
Kss
ωζω ω
= =+ + + +
1 2 2n
n
K
K K
ω
ζω ζ
=
= =
0.6ζ =
1 2(0,6) 1,2n
n KK
Kω
ω
=
= =
E agora?
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
1 2(0,6) 1,2n
n KK
Kω
ω
=
= =
1: 1K
1 12 : 1K KK K⇒
1 1, 2 1,2K K K KK = =
1
1
1,2
K
K K
>>
=
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
( )R s
( )D s
( )Y s( )E s
1001
1( 2)s s +
Escolhendo K = 100, K1 = 12.
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Controle de Posicionamento do Telescópio Hubble
Resposta à referência
Resposta à perturbação
t (segundos)
( )y t
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop Um telescópio espacial deve ser lançado para
realizar experimentos astronômicos. Deseja-se que o sistema de controle de posicionamento seja capaz de uma resolução de 0.01 minuto de arco e de rastrear objetos solares com movi-mento aparente de até 0.21 minuto de arco por segundo. O sistema e o sistema de controle es-tão apresentados nas figuras dos próximos dois slides. Admitir que a constante de tempo 1 é de 1 s, e a constante de tempo 2 é nula (uma a-proximação).
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
12
Ks
2 1
2
( 1)( 1)
K ssτ
τ++Entrada Ângulo de
Apontamento
( )R s ( )Y s
a) Determinar o ganho K = K1K2 necessário pra que a resposta a um comando em degrau seja tão rápida quanto razoável com uma ultrapassagem menor do que 5%.
b) Determinar o erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau e em rampa.
c) Selecionar K utilizando o índice de desempenho ITAE para entradas em degrau e em rampa. 29/10/2014
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop Função de transferência em malha fechada:
A função de transferência é de segunda or-
dem... Mas há um zero! Então, devemos ser mais cautelosos com a análise!
Deseja-se uma ultrapassagem percentual menor do que 5%. Um coeficiente de amortecimento de 0,7 leva a uma ultrapassagem de aproxima-damente 4,7%...
1 22 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)( ) K K s K sT ss K K s K K s Ks K
+ += =
+ + + +
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop Função de transferência em malha fechada:
1 22 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)( ) K K s K sT ss K K s K K s Ks K
+ += =
+ + + +
2
2n
n
K
K
ω
ζω
=
=2 2 1,4 1,4n n n nω ζω ω ω= = ⇒ =
1 2 1,96K K K= =
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop Como o sistema é Tipo 2, com realimentação u-
nitária negativa, o erro em estado estacionário é zero para entradas em degrau e em rampa.
Agora, vamos simular o sistema para entradas em degrau e rampa e verificar se as especifica-ções foram atendidas... Lembrem-se que há um zero na função de transferência em malha fe-chada.
Script em Matlab: M_7_DesempenhoSistemasProg1.m
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
y(t)
Resposta ao Degrau
1,96K =
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7
8
t
y(t)
Resposta à Rampa
SaídaReferência
1,96K =
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Diagrama de Pólos e Zeros
Eixo Real
Eixo
Imag
inár
io
1,96K =
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop A ultrapassagem percentual foi de 20%... E a-
gora?
1 22 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)( ) K K s K sT ss K K s K K s Ks K
+ += =
+ + + +
Pólos: 2 ( 4)4
2 2 2K KK K K K −− ± −
= − ±
4 ???4 ???4 ???
KKK
=><
E aí?
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
y(t)
Resposta ao Degrau - Forçando o K
16K =
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
y(t)
Resposta à Rampa - Forçando o K
SaídaReferência
16K =
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Problema 5.5 – Dorf & Bishop
-15 -10 -5 0-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Diagrama de Pólos e Zeros - Forçando o K
Eixo Real
Eixo
Imag
inár
io
16K =
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