DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika...
Transcript of DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika...
![Page 1: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/1.jpg)
DERIVATIVEArum Handini primandari
![Page 2: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/2.jpg)
INTRODUCTION
Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan)
Calculus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz, dan ilmuwan lainnya; yang pada mulanya berusaha untuk menyelesaikan masalah:
1. Garis singgung (tangent line): mencari garis singgung di titik tertentu pada suatu kurva
2. Luas area: menentukan luas area di bawah suatu kurva
![Page 3: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/3.jpg)
TINGKAT PERUBAHAN (CHANGE OF RATE)
Fungsi linier (garis), antara satu titik dantitik yang lain memiliki tingkat perubahan
yang sama, yaitu sebesar m
Kurva, antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang
berbeda, yaitu diberikan oleh kemiringandari garis singgung pada P(c,f(c))
![Page 4: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/4.jpg)
CONTOH: TINGKAT PERUBAHAN KURVA
Fungsi daripengaruh
penggangguranterhadap inflasi
![Page 5: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/5.jpg)
BERAPAKAH BESAR TINGKAT PERUBAHAN?
Berapakah besar tingkat perubahan di titik๐(๐, ๐ ๐ )?
Misalkan diketahui titik:
๐(๐ + โ, ๐ ๐ + โ )
Ruas garis PQ disebut garis potong (secant line)
Perhatikan: seiring โ mendekati 0, garispotong PQ semakin mendakati garissinggung di titik P
Sehingga besar tingkat perubahan:
limโโ0
๐๐๐๐ข๐๐โ๐๐ ๐ฆ
๐๐๐๐ข๐๐โ๐๐ ๐ฅ= lim
โโ0
๐ ๐ + โ โ ๐(๐)
โ
![Page 6: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/6.jpg)
DERIVATIVE
Fungsi derivative:
Fungsi derivative ๐(๐ฅ) adalah suatu fungsi ๐โฒ(๐ฅ) yang dirumuskan:
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
๐ ๐ฅ + โ โ ๐(๐ฅ)
โ
Proses dari perhitungannya disebut diferensial (turunan). Dikatakan bahwa ๐(๐ฅ) terdiferensial di ๐ฅ = ๐ jika ๐โฒ(๐ฅ) ada, yaitu jika limit yang mendefinisikan ๐โฒ(๐ฅ) ada di titik ๐ฅ = ๐
![Page 7: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/7.jpg)
CONTOH 1:
Tentukan diferensial dari fungsi ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2
Jawab:
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
๐ ๐ฅ+โ โ๐ ๐ฅ
โ
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
๐ฅ+โ 2โ๐ฅ2
โ= lim
โโ0
(๐ฅ2+2๐ฅโ+โ2)โ๐ฅ2
โ= lim
โโ0
2๐ฅโ+โ2
โ= lim
โโ02๐ฅ + โ = 2๐ฅ
![Page 8: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/8.jpg)
NOTASI LEIBNIZ
Misalkan notasi turunan:
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= lim
โโ0
๐ ๐ฅ + โ โ ๐(๐ฅ)
โ
dituliskan๐๐ฆ
๐๐ฅ= lim
โโ0
๐ ๐ฅ + โ โ ๐(๐ฅ)
โ= ๐โฒ(๐ฅ)
Order yang lebih tinggi:
2
2
4(4)
4
''d y
f xdx
d yf x
dx
![Page 9: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/9.jpg)
TEKNIK DIFERENSIAL
Diferensial dari suatu konstanta๐
๐๐ฅ๐ = 0
Jika ๐ bilangan riil, maka berlaku๐
๐๐ฅ๐ฅ๐ = ๐๐ฅ๐โ1
Jika ๐ adalah konstan dan ๐(๐ฅ) fungsi terdiferensial, maka: ๐
๐๐ฅ๐๐ ๐ฅ = ๐
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
![Page 10: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/10.jpg)
LATIHAN 1
Tentukan diferensial dari fungsi berikut:
1. ๐ ๐ฅ =1
4๐ฅ8 โ
1
2๐ฅ6 โ ๐ฅ + 2
2. ๐ฆ =1
๐ก+
1
๐ก2โ
1
๐ก
3. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 +1
๐ฅ5
4. ๐ ๐ก = 2 ๐ก3 +4
๐กโ 2
5. ๐ฆ = โ๐ฅ2
16+
2
๐ฅโ ๐ฅ
3
2 +1
3๐ฅ2
6. ๐ฆ =7
๐ฅ1.2+
5
๐ฅโ2.1
7. ๐ฆ =3๐ฅ5 + 2๐ฅ +
4
๐ก
![Page 11: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/11.jpg)
KEGUNAAN DIFERENSIAL
1. Kemiringan Kurva
Kemiringan suatu kurva ๐ฆ = ๐(๐ฅ) di titik ๐ฅ = ๐ adalah ๐ = ๐โฒ(๐)
2. Tingkat perubahan
Tingkat perubahan dari ๐(๐ฅ) terhadap ๐ฅ, ketika ๐ฅ = ๐ adalah ๐โฒ(๐)
![Page 12: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/12.jpg)
MENENTUKAN TINGKAT (RATE) PERUBAHAN
Kegunaan fungsi derivative, salah satunya, adalah menentukan tingkat (rate) perubahan, contohnyapada gerak linier.
Jika posisi obyek yang bergerak pada lintasan linier pada waktu ๐กdiberikan oleh fungsi ๐ (๐ก), maka obyek memiliki:
1) Kecepatan ๐ฃ ๐ก = ๐ โฒ ๐ก =๐๐
๐๐ก
2) Percepatan ๐ ๐ก = ๐ฃโฒ ๐ก =๐๐ฃ
๐๐ก
Obyek bergerak maju ketika ๐ฃ ๐ก > 0, bergerak mundur ketika ๐ฃ ๐ก < 0, dan berhenti (stasioner) ketika ๐ฃ ๐ก = 0
![Page 13: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/13.jpg)
RELATIFITAS DAN PERSENTASE PERUBAHAN
Tingkat perubahan dari kuantitas ๐(๐ฅ) pada saat ๐ฅ diberikan oleh rasio:
Persentase perubahan dari ๐(๐ฅ) pada waktu ๐ฅ adalah:
ฮ =๐โฒ ๐ฅ
๐ ๐ฅ
% ฮ =๐โฒ ๐ฅ
๐ ๐ฅโ 100%
![Page 14: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/14.jpg)
TANDA SIGNIFIKAN PADA DERIVATIVE
Jika fungsi ๐ terdiferensial pada ๐ฅ = ๐, maka:
1. ๐ naik di ๐ฅ = ๐, jika ๐โฒ ๐ > 0
2. ๐ turun di ๐ฅ = ๐, jika ๐โฒ ๐ < 0
Penggunaan aturan ini adalah ketika menentukan titik stasioner dan sketsa kurva.
Titik-titik stasioner ๐ฅ, yaitu memenuhi ๐โฒ ๐ฅ = 0
![Page 15: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/15.jpg)
CONTOH 2:
Tentukan titik stasioner dan sketsa dari ๐ ๐ฅ =๐ฅ3
3+ 2๐ฅ2 โ 21๐ฅ + 3
![Page 16: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/16.jpg)
CONTOH
Posisi suatu benda bergerak linier diberikan oleh fungsi ๐ ๐ก = ๐ก3 โ 6๐ก2 + 9๐ก + 5
a) Tentukan kecepatan obyek tersebut saat ๐ก = 0 dan ๐ก = 4
b) Tentukan total jarak yang ditempuh oleh obyek tersebut antara ๐ก = 0 dan ๐ก = 4
c) Tentukan percepatan obyek antara ๐ก = 0 dan ๐ก = 4
![Page 17: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/17.jpg)
LATIHAN 2
1.
2.
Pertumbuhan Populasi Diperkirakan bahwa x bulan darisekarang, populasi dari kota tertentu akan menjadi
๐ ๐ฅ = 2๐ฅ + 4๐ฅ3
2 + 5,000.a) Sembilan bulan dari sekarang, berapakah kecepatan
pertumbuhan populasi tersebut?b) Berapakah persentase kecepatan pertumbuhan
populasi saat 9 bulan dari sekarang?
Polusi udara Studi lingkungan dari suatu daerahmengemukakan bahwa ๐ก tahun dari sekarang, rata-rata tingkat karbon monoksida di udara akan menjadi๐ ๐ก = 0.05๐ก2 + 0.1๐ก + 3.4 ppm.a) Pada 1 tahun mendatang, berapakah kecepatan
perubahan tingkat karbon monoksida di udara?b) Berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon
monoksida tahun ini?
![Page 18: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/18.jpg)
3.
4. Efisiensi Pekerja Studi efisiensi dari shift pagi pada suatuperusahaan mengindikasikan bahwa rata-rata pekerjayang datang pukul 08:00, akan mengumpulkansebanyak ๐ ๐ฅ = โ๐ฅ3 + 6๐ฅ2 + 15๐ฅ unit pekerjaan, ๐ฅjam kemudian. a) Tentukan fungsi kecepatan pekerja dalam
mengumpulkan pekerjaan setelah ๐ฅ jam.b) Pada pukul 09:00, berapakah kecepatan pekerja
mengumpulkan pekerjaannya?c) Sketsakan grafik keefektifan pekerja tersebut.
![Page 19: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/19.jpg)
ATURAN PENJUMLAHAN
The sum rule:๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ =
๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ +
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
Then, the difference of derivative: ๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ =
๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ โ
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
![Page 20: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/20.jpg)
ATURAN PERKALIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika ๐ dan ๐ fungsi yang terdiferensial pada ๐ฅ, maka perkalian kedua fungsi tersebutdidefinisikan:
๐ โ ๐ โฒ ๐ฅ = ๐โฒ ๐ฅ ๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ ๐โฒ(๐ฅ)
![Page 21: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/21.jpg)
ATURAN PEMBAGIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika ๐ dan ๐ fungsi yang terdiferensial pada ๐ฅ dan ๐(๐ฅ) โ 0, maka pembagian keduafungsi tersebut didefinisikan:
๐
๐
โฒ๐ฅ =
๐โฒ ๐ฅ ๐ ๐ฅ โ๐ ๐ฅ ๐โฒ ๐ฅ
๐ ๐ฅ 2
![Page 22: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/22.jpg)
ATURAN RANTAI
![Page 23: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/23.jpg)
LATIHAN 3
1) ๐น ๐ฅ =๐ฅ2โ1
2๐ฅ+3
2) ๐บ ๐ฅ = (๐ฅ3 โ 2๐ฅ)(2๐ฅ + 5)
3) Diketahui fungsi ๐บ ๐ฅ = (9๐ฅ8 โ 8๐ฅ9) ๐ฅ +1
๐ฅ:
a) Tentukan ๐บโฒ(๐ฅ)
b) Tentukan ๐บโฒ(โ1)
4) ๐น ๐ฅ =1
๐ฅ5โ2๐ฅ+1 2
5) Tentukan nilai ๐บโฒ(2) dari ๐บ ๐ =3
5๐ 2+2
![Page 24: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/24.jpg)
DIFERENSIALFUNGSI IMPLISIT
![Page 25: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/26.jpg)
LATIHAN 4
1. ๐ฅ3 + ๐ฆ3 = ๐ฅ๐ฆ
2. 5๐ฅ โ ๐ฅ2๐ฆ3 = 2y
3. ๐ฆ2 + 3๐ฅ๐ฆ โ 4๐ฅ2 = 9
4. ๐ฅ + ๐ฆ = 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang sudah diberikan:
5. ๐ฅ2 = ๐ฆ3 di (8, 4)
6. ๐ฅ2 โ ๐ฆ3 = 2๐ฅ di (1, โ1)
![Page 27: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/27.jpg)
7. Pertumbuhan tumor suatu tumor dimodelkan, secarakasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius tumor saat ini ๐ = 0.54 cm dan mempunyaikecepatan tumbuh 0.13 cm per bulan. Berapakankecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui:
๐ =4
3๐๐ 3
![Page 28: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/28.jpg)
APLIKASI DERIVATIVE
![Page 29: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/29.jpg)
LATIHAN
Tentukan interval naik dan turun dari kurva berikut
1. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 5
2. ๐(๐ก) = ๐ก3 + 3๐ก2 + 1
3. ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ5 โ 5๐ฅ3
![Page 30: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/30.jpg)
4.
![Page 31: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/31.jpg)
THE MEAN-VALUE THEORM
Jika ๐ adalah fungsi terdiferensial pada selang terbuka (๐, ๐) dan kontinu di selangtertutup [๐, ๐], maka terdapat paling tidak satu bilangan ๐ di (๐, ๐) sedemikiansehingga:
๐โฒ ๐ =๐ ๐ โ๐ ๐
๐โ๐
![Page 32: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/32.jpg)
KETERANGAN
Perhatikan gambar:Nilai dari
๐ ๐ โ๐ ๐
๐โ๐adalah kemiringan dari suatu garis, โ,
yang melalui titik (๐, ๐ ๐ ) dan (๐, ๐ ๐ ).
Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwagrafik ๐ mempunyai paling tidak satu titik (๐, ๐ ๐ )dimana garis singgungnya sejajar dengan garis โ.
![Page 33: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/33.jpg)
ROLLE THEORM
Andaikan bahwa ๐ adalah fungsi yang terdiferensial pada selang terbuka (๐, ๐) dankontinu pada selang tertutup ๐, ๐ . Jika ๐(๐) dan ๐(๐) keduanya bernilai 0, makaterdapat paling tidak satu bilangan ๐ sedemikian hingga:
๐โฒ ๐ = 0
![Page 34: DERIVATIVE - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius ... Berapakan kecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui: ๐= 4 3 ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020206/5cd17a8b88c9933b778cc2a3/html5/thumbnails/34.jpg)
LATIHAN
Tunjukkan bahwa ๐ memenuhi kondisi dari teorema Rolle di interval yang diberikan. Tentukan bilangan ๐ di dalam interval sedemikian sehingga ๐โฒ ๐ = 0
1. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ ๐ฅ; [0,1]
2. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ4 โ 2๐ฅ2 โ 8; [โ2,2]
Tunjukkan bahwa ๐ memenuhi kondisi teorema mean-value pada interval yang diberikan. Tentukan nilai ๐ yang memenuhi konklusi dari teorema.
3. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2; [1,2]
4. ๐ ๐ฅ = 3 ๐ฅ โ 4๐ฅ; [1,4]