Derivar las fórmulas de interés compuesto.doc

5/25/2018 Derivar las f rmulas de inter s compuesto.doc

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Inters compuesto

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.html

A lo mejor quieres leer primero laIntroduccin al inters

Para el inters compuesto, calculamos el inters del primer periodo, lo sumamos al total,y despuscalculamos el inters del siguiente periodo, y sigue... as:

Aqu tienes los clculos para un prstamo de 5 aos al 10%:

AoPrstamo

inicialInters Prstamo final

0 A!ora" #1,000.00 #1,000.00 $ 10% " $100.00 #1,100.00

1 #1,100.00 #1,100.00 $ 10% " $110.00 #1,&10.00

& #1,&10.00 #1,&10.00 $ 10% " $121.00 #1,''1.00

' #1,''1.00 #1,''1.00 $ 10% " $133.10 #1,()(.10

( #1,()(.10 #1,()(.10 $ 10% " $146.41 #1,)10.51

5 #1,)10.51

*omo +es, es cil calcular si +as paso a paso.

1. *alcula el inters -prstamo inicial- $ tasa de inters"&. uma el inters al -prstamo inicial- para calcular el -prstamo inal- del ao'. /l -prstamo inal- del ao es el -prstamo inicial- del ao siguiente

na tarea simple, con muc!os clculos.Pero hay maneras ms rpidas siendo listoscon las matemticas.

Hagamos una frmula

amos a !acer una 2rmula para lo de arri3a... empe4amos mirando el primer ao:

#1,000.00 #1,000.00 $ 10%" $1!100.00
http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes.html


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6o podemos reescri3ir as:

As que sumar el 10% de inters es como multiplicar por 1.10

!ota: la tasa de inters la hemos escrito en decimal di"idiendo entre #$$: 10% =10/100 = 0.10 leePorcentajespara sa%er ms.

As" #ue aora es todo en un paso%

1. &ultiplica el 'prstamo inicial' por (1 ) tasa de inters* para calcular el

'prstamo final'

&'Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de inters en decimal( $.#$ no

#$)*

*on un simple clculo +emos que el resultado es el mismo:

#1,000 #1,000 7 10%" #1,000 #100 $1!100

es lo mismo que: #1,000 $ 1.10 $1!100

A!ora +iene la magia...

... +la misma frmula ,ale todos los aos-

8 Podemos calcular el ao siguiente as: $1!100 1.10 / $1!2108 9 seguimos otro ao ms: $1!210 1.10 / $1!3318 etc...

As es como unciona:

e eco podemos ir directamente desde el principio asta el ao !

multiplicando ,eces%

#1,000 $ 1.10 $ 1.10 $ 1.10 $ 1.10 $ 1.10 $1!610.1

Pero es ms cil escri3ir las multiplicaciones usando e7ponentes o potencias"as:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/exponentes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/porcentajes.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/exponentes.html


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a frmula

emos usado un e;emplo real, pero podemos !acerlo en general con letras en ,e denmeros, as:

#1,)10.51"

+sta es la frmula %sica para el inters compuesto.

Aprndetela es muy ,til.

5emplos


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Digamos que tu o3;eti+o es tener #&,000 dentro de 5 aos. Ee dan un 10% en el 3anco,as que 8cu9nto tienes #ue poner al principio:

/s decir, conoces el +alor uturo, y #uieres conocer el ,alor presente.

a3emos que si multiplicamosun +alor presente P" por 1r"nnos da el +alor uturo>", as que podemos +ol+er atrs di,idiendo:

As que la 2rmula es:

P > F 1r"n

9 podemos calcular la respuesta del pro3lema:

P #&,000 F 10.10"5 #&,000 F 1.)1051 $1!241.;4

G sea, #1,&(1.@( crecern !asta #&,000 si los in+ertimos al 10% durante 5 aos.


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> P $ 1rFn"n #1,000 $ 1 )%F1&"1& #1,000 $ 1.005"1& #1,000 $ 1.0)1)@... $1!061.6;a de+ol+er

/sto es lo mismo que un 6.16;?durante un ao $$$ se han con"ertido en#$#.0*.

As que ten cuidado con los signiicadosC

@A5

*omo es cil conundirse cuando lees un anuncio a +eces lo !acena prop2sitoC", se suele usar el -@A5-.

@A5quiere decir -Tasa Anual Equivalente- ... te dice lo que +as asacar en realidad cada ao incluyendo el compuesto, costes, etc."

/n este anuncio parece que es ).&5%, pero en realidad es 6.33?

Aqu !ay ms e;emplos:

/;emplo 1: -1? al mes- en realidad es @A5 12.6;3?si no !ay costes".

9:

/;emplo &: -6? de inters compuesto mensualmente- en realidad es @A5 6.16;?sino !ay costes".

i ests 3uscando !acer negocios, pregunta por el EA/.

+n respiro-

asta a!ora !emos usado 1r"npara ir de un +alor presente P" a un +alor uturo >"y al re+s, adems !emos +isto algunos de los trucos que te puedes encontrar en un

prstamo.

A!ora t2mate un descanso antes de seguir con los dos temas siguientes:

*2mo calcular la tasa de interssi conoces el P, el > y el nBmero de

periodos *2mo calcular el nmero de periodossi conocemos el P, el > y la tasa de

inters

7alcular la tasa de inters


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Puedes calcular la tasa de inters si sa3es el +alor presente, el +alor uturo y cuntosperiodos son.

/;emplo: tienes #1,000, y quieres tener #&,000 en 5 aos, F P "1FnI 1

!ota: el pequeo 1#/n1 es un e2ponente fraccionario primero

calcula #/n y lue3o ,salo como e2ponente en la calculadora.

Por ejemplo 4$.4lo calcular5amos as5: 2, "x^y", 0, ., 2, =

A!ora -metemos- los +alores para tener el resultado:

r #&,000 F #1,000 "1F5I 1 & "0.&I 1 1.1(@J I 1 0.14;B

9 0.1(@J en porcenta;e es 14.;B?,

As que te !ara alta una tasa de inters del 1(.@J% para que #1,000 se con+irtieran en#&,000 en 5 aos.


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/n in, +amos a -meter- los +alores:

n ln #&,000 F #1,000 " F ln 1 0.10 " ln&"Fln1.10" 0.)H'15F0.0H5'1 B.2B

KagiaC Dentro de B.2B aostus #1,000 sern #&,000 al 10% de inters.


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asta a!ora !emos !a3lado de lo que pasa con una cantidad cuando el tiempo +apasando...


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8 Podemos calcular el ao siguiente as: $1!100 1.10 / $1!2108 9 seguimos otro ao ms: $1!210 1.10 / $1!3318 etc...

As es como unciona:

e eco podemos ir directamente desde el principio asta el ao !

multiplicando ,eces%

#1,000 $ 1.10 $ 1.10 $ 1.10 $ 1.10 $ 1.10 $1!610.1

Pero es ms cil escri3ir las multiplicaciones usando e7ponentes o potencias"as:

a frmula

emos usado un e;emplo real, pero podemos !acerlo en general con letras en ,e denmeros, as:

#1,)10.51"

5emplos


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as cuatro frmulas

6a 2rmula 3sica para el inters compuesto es:

> P 1r"n Para calcular el ,alor futuro, donde: > +alor uturo,

P +alor presente,

r tasa de inters en decimal", y

n nBmero de periodos

*on esto podemos calcular > si sa3emos P, la tasa de inters y el nBmero deperiodos

9 manipulandola 2rmula podemos calcular P, la tasa de inters o el nBmero de

periodos si sa3emos los otros tres:

P > F 1r"n*alcular el ,alor presentesi sa3emos el+alor uturo, la tasa de inters y el nBmerode periodos.

r > F P "1FnI 1*alcular la tasa de interssi sa3emos el+alor presente, el +alor uturo y el nBmerode periodos.

n ln> F P" F ln1 r"*alcular el nmero de periodossi sa3emosel +alor presente, el +alor uturo y la tasa deinters.


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A!ora podemos calcular la respuesta:

P #&,000 F 10.10"5 #&,000 F 1.)1051 $1!241.;4

>unciona as:


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r #5,000 F #1,000 "1F&0I 1 5 "0.05I 1 1.0@'@ I 1 0.0;3;

9 0.0@'@ en porcenta;e es ;.3;?. As que un @.'@% con+ertir tus #1,000 en #5,000 en&0 aos.

7alcular el nmero de periodos

i quieres sa3er cuntos periodos necesitas para que tus #1,000 se con+iertan en #&,000al 10% de inters, tam3in para esto puedes reordenar la 2rmula 3sica.

Pero nos +a a !acer alta usar la unci2n logaritmo natural ln(para calcularlo.

A!ora -ponemos dentro- los +alores:

n ln #&,000 F #1,000 " F ln 1 0.10 " ln&"Fln1.10" 0.)H'15F0.0H5'1 B.2B

KagiaC Ee !arn alta B.2B periodospara que tus #1,000 se con+iertan en #&,000 al10% de inters.


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5l inters compuesto

/l inters compuestorepresenta el costo del dinero, >eneficioo utilidadde un capitalinicial (7*o principal a una tasa de inters (i*durante un per"odo (t*, en el cual losintereses que se o3tienen al inal de cada perodo de in+ersi2n no se retiran sino que serein+ierten o aaden al capital inicialM es decir, se capitalian, produciendo un capitalfinal (7f*.

Para un perodo determinado sera

7apital final (7f* / capital inicial (7* m9s los intereses.

eamos si podemos generali4arlo con un e;emplo:

agamos clculos para sa3er el monto inal de un dep2sito inicial de # 1.000.000, a 5aos pla4o con un inters compuesto de 10 % como no se especiica, se su3entiendeque es 10 % anual".

Ao epsitoinicial

Inters Ealdo final

0 inicio" #1.000.000 #1.000.000 7 10% " $100.000 #1.100.000

1 #1.100.000#1.100.000 $ 10% "

$110.000#1.&10.000

& #1.&10.000 #1.&10.000$ 10% " $121.000 #1.''1.000

' #1.''1.000#1.''1.000 $ 10% "

$133.100#1.()(.100

( #1.()(.100 #1.()(.100 $ 10% "$146.410

#1.)10.510

5 #1.)10.510

Paso a paso resulta cil calcular el inters so3re el dep2sito inicial y sumarlo para queesa suma sea el nue+o dep2sito inicial al empe4ar el segundo ao, y as sucesi+amente!asta llegar al monto inal.


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Nesulta simple, pero !ay muc!os clculosM para e+itarlos usaremos una 2rmula de tipogeneral:

/n in+ersiones a inters compuesto, el capital final (7f*, que se o3tiene a partir de uncapital inicial (7*, a una tasa de inters (i*, en un tiempo (t*, est dado por la 2rmula:

Necordemos que ise e7presa en orma decimal ya que corresponde a .9 donde tcorresponde al nBmero de aos durante los cuales se mantiene el dep2sito ose paga una deuda.

7omo corolario a esta frmula%

A partir de ella, puesto que el inters compuesto final (I*es la dierencia entre elcapital inal y el inicial, podramos calcular la tasa de inters (i*:

acamos actor comBn *:

Eam3in podemos calcular la tasa de inters despe;ando en la 2rmula de *:

/n los pro3lemas de inters compuesto iy tde3en e7presarse en la misma unidad detiempo eectuando las con+ersiones apropiadas cuando estas +aria3les correspondan adierentes perodos de tiempo.

Periodos de inters compuesto

/l inters compuesto no se calcula siempre por ao, puede ser semestral, trimestral, almes, al da, etc. +Pero si no es anual de>er"a informarse-


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As, si la 2rmula del inters compuesto se !a deducido para una tasa de inters anualdurante taos, todo sigue siendo +lido si los periodos de con+ersi2n son semestres,trimestres, das, etc., solo !ay que con+ertir stos a aos.

Por e;emplo, si ise e7presa en tasa anual y su aplicaci2n como inters compuesto se

,alida en forma mensual, en ese caso i de3e di+idirse por 1&

. /n seguida, la potencia tel nBmerode aos" de3e multiplicarse por 1& para mantener la unidad mensual de tiempo 1&meses por el nBmero de aos".

i los periodos de con+ersi2n son semestrales, ise di+ide por & ya que el ao tiene dossemestres lo cual signiica que los aos los !emos con+ertido a semestres", por lomismo, luego !a3r que multiplicar la potencia tel nBmero de aos" por & el nBmerode semestres de un ao":

uponiendo una tasa anual de 10%, !acemos del siguiente modo:

ser igual a

i los periodos de con+ersi2n son trimestrales, ise di+ide por ( ya que el ao tiene (trimestres lo cual signiica que los aos los !emos con+ertido a trimestres" por lomismo, luego !a3r que multiplicar la potencia tel nBmero de aos" por ( el nBmerode trimestres que !ay en un ao".

Del siguiente modo:

ser igual a

/n general, en todos los casos donde !aya que con+ertir a semestres, trimestres, meses,o das se multiplica por nsemestres, trimestres, meses o das el 100 de la 2rmula

que es igual a . 6a potencia ten nBmero de aos" se de3emultiplicar por el mismo +alor de n, en cada caso, as, suponiendo una tasa anual de10%:

ser igual a


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Fer% PE% &atem9tica! Pregunta 3G2010

5ercicios de pr9ctica

5ercicio 1

A+eriguar en qu se con+ierte un capital de 1.&00.000 pesos al ca3o de 5 aos, y a unatasa de inters compuesto anual del @ %.

Cesolucin%

Aplicando la 2rmula

Neempla4amos con los +alores conocidos:

/n tasa de inters compuesto

*apital inicial

Eiempo en aos (t* /

Cespuesta%

/l capital inal es de 1.J)'.1H( pesos.

5ercicio 2

n cierto capital in+ertido durante J aos a una tasa de inters compuesto anual del 10% se !a con+ertido en 1.5@'.H(5 pesos. *alcular el capital inicial, sa3iendo que losintereses se !an pagado semestralmente.

Cesolucin%

Aplicando la 2rmula
http://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2035_2010.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2035_2010.html


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*apital inal (7f* / 1.;3.=4

/n tasa de inters compuestoEiempo en aos (t* / B

Despe;ando *:

Cespuesta%

Nedondeando la cira resultante, el capital inicial ue de @00.000 pesos.

5ercicio 3

*alcular la tasa de inters compuesto anual que se !a aplicado a un capital de 1.500.000

pesos para que al ca3o de ( aos se !aya con+ertido en &.')0.&JH pesos.

Cesolucin%

Aplicando la 2rmula

Neempla4amos los +alores conocidos:

*apital inicial (7 * / 1.00.000

*apital inal (7f* / 2.360.2B=

Eiempo en aos (t* / 4


Despe;amos (1 ) i*4


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Nedondeamos a 0,1& y multiplicamos por 100 recuerda que isiempre se e7presa como

0!12 J 100 / 12 ?

Cespuesta%

6a tasa de inters compuesto anual !a sido de 1& %.

5ercicio 4

Digamos que pretendemos tener #&.000.000 dentro de 5 aos. i el 3anco paga una tasade 10% anual


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n capital inicial de # 1.&(1.@(&,)( crecer !asta # &.000.000 si lo in+ertimos al 10%durante 5 aos.


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Fer% 5l inters K el dinero

Luentes Internet%

ttp%MMNNN.disfrutalasmatematicas.comMdineroMinteresOcompuesto.tml

ttp%MMNNN.sectormatematica.clMcontenidosMinteres1.tm

5s propiedad% NNN.profesorenlinea.cl. Cegistro 1;;.40
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Interes_simple.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.htmlhttp://www.sectormatematica.cl/contenidos/interes1.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Interes_simple.htmlhttp://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto.htmlhttp://www.sectormatematica.cl/contenidos/interes1.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/

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